định lý hội tụ martingale dưới và ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học

Trang 1

Chuong 1 KIEN THUC CHUAN BI

1.1 ĐỊNH LÝ RADON-NIKODYM

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử (Q, Ở) là không gian đo U, lì là các hàm tập cộng tính ơ-hữu hạn

trên Ở Ta nói U liên tục tuyệt đối đối với i nếu VA © G ma (A) = 0, thi (A) =0 Ký hiệu: <g pu

112 Ví dụ

Giả sử (Q, Z, P) là không gian xác suất G C F, = P là độ đo xác suất

X :9 — R là biến ngẫu nhiên khả tich va E|X| < 00 Với mọi A € ở đặt (A) = ƒXdụu (1)

A

Khi đó, nếu (A) = 0 thì (4) = 0 Tức là, <g pe

Nếu có X thì ta xác định được thoả mãn (1) Ngược lại, có 1 thì ta xác định được X thoả mãn (1) Đó chính là nội dung định lý Radon-Nikodym

1.1.3 Định lý Radon-Nikodym

Giả sử (Q, Ở) là không gian đo 1 là hàm tập ơ-cộng tính trên Ở, 1 la dé do

Trang 2

1.2 KY VONG CO DIEU KIEN

Giả sử (Q, 7, TP) là không gian xác suất, X : Q —› ]R là đại lượng ngẫu nhién kha tich (E|X| < 00) va G C 7 Khi đó, đại lượng ngẫu nhiên Y gọi là

kỳ vọng có điều kiện của X đối với ø-đại số Ở nếu: i) Y la G- do duoc; ii) Voi moi A € Ở, ta có / YdP = J XadP A A Ta thường ký hiệu Y = E(X/) hay Y = ESX 12.2 Chú ý

e Nếu X,Y là các đại lượng ngẫu nhiên đã cho trên (O, Z, P) và G 1a o-dai số sinh bởi Y, thì E(X | đ) được ký hiệu là E(X | Y) và được gọi là kỳ vọng

điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên X đối với đại lượng ngẫu nhiên Y

e Nếu X\, Xa, ,là các đại lượng ngẫu nhiên xác định trên (Q, Z7, P) và đ là ơ-đại số sinh bởi chúng thì E(X | đ) được ký hiệu là E(X | Xị, X›, )

e Nếu X = lạ, A€ đ thì E(X | đ) được ký hiệu là P(A | đ) và được gọi

là xác suất điều kiện của biến cố A đối với ơ-đại số đ E(I | Xì, Xa, .) được

ký hiệu là P(A | X:, Xa, ) và được gọi là xác suất điều kiện của biến cố A

đối với các đại lượng ngẫu nhiên X, X2,

1.2.3 Cac tính chất của kỳ vọng có điều kiện

Giả sử (O, Z7, P) là không gian xác suất, các đại lượng ngẫu nhiên đều có

kỳ vọng (khả tích hoặc nửa khả tích) và đ C Z Khi đó ta có các tính chất sau:

Tính chat 1 Néu E|X| < 00 thi ton tai duy nhất Y = R(X/6)

Ching minh Xét ham tap v : GR cho bdi cong thttc

Trang 3

Do E|X| < 00 suy ra v <g P Theo dinh ly Radon-Nikodym suy ra tén tai

duy nhất đại lượng ngẫu nhiên Y là G-do dugc sao cho v(A) = / Yap (1.2) A / YdP = / XP A A Tính chất 2 Nếu X = e là hằng số, thì E(X/6) = E(c/6) =¢ (hice) Từ (1.1) và (1.2) ta có Vậy Y = E(X/6)

Chứng mình Ta có Y —= c là ;-đo được Mặt khác với mọi A € G, Jre= [em= [xe A A A do dé ta suy ra Y = c = E(c/G) Tính chất 3 Nếu X > Y (ñ c c), thì B(X/6) > E(Y/Ø) (h.ee)

Chứng mình Đạt Z = E(X/G), T = E(Y/G), khi dé Z,T la G-do duoc

Hơn nữa với mọi A € Ớ, ta có

Trang 4

Chứng mình Dat Z = E(X/G), T = E(Y/G) khi đó Z,T 1a G-do dugc

do dé aZ + bT ciing la G-do dugc Mat khac, véi moi A € Ở ta có ¿2+0 = af zae +o [ rae A A A = 0 [ren [ve = [ox sora A Theo định nghĩa kỳ vọng có điều kiện suy ra E(aX +bY |đ) = aZ + ĐT

Vay E(aX + bY/G) = aE(X/G) + bE(Y/G) Tinh chat 5 Néu X và Ở độc lập, thì E(X/G) = Chứng mình Ta có Y = EX 1a G-do dugc vi véi moi B € B(R) thi - wp) JY 0, nếu EXự£ y ø ={Ð néu EX € B Do d6 Y-1(B) €G Ta lại có: [ve = [exe = Ex [ap = P(A)EX (1.3) A A

Mặt khác, với moi A € G, tacé X va Ly doc lap, do dé

/ XdP = J XI4dP = E(X14) = E(X)E(1a)

= EXP(A) =P(A)EX (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) suy ra

/ YdP = | XdP, hay E(X/G) =

Trang 5

Tính chất 6 7z có: E[E(X/đ)] = EX Chứng mình Vì Q € G ta cé EIE(X/ở)] = J E(X/G)dP = / XdP = EX Q Q

Tính chất 7 Néu X la G-do duoc thi E(X/G) = X

Chứng mình Theo giả thiết ta có Y = X 1a G-do duoc Mặt khác, với mọi A € Ở, ta có Jra- [ xe A A Vay E(X/G) = X

Tinh chat 8 (Tinh chat hit) Néu Gy C Go thì

E(X/G,) = E[E(X/G1)/G2] = E[E(X/G2)/Gi]

Chứng mình Đặt E(X/G,) = Y, E(X/Ge) = Z Khi dé, Y = E(Y/G2) va Y = E(Z/G,) That vay, taco Y = E(X/đi) suy ra Y là đ¡-đo được Do

Trang 6

Theo dinh nghia ky vong c6 diéu kién thi Y = E(Z/G;)

Vay

E(X/6i) = E[E(X/G1)/G2] = E[E(X/G2)/Gi]

Tính chất 9 Nếu E|XY| < œ, E|Y| < œ, Y là đ-đo được thì

E(XY/G) = YE(X/6) (x)

Chứng mình Ta có Y.E(X/) là đ-đo được Trước hết ta chứng minh đẳng

thức (*) đúng với Y = l¡\, với mọi A € G

Thật vậy, với mọi 4/ € Ở từ Y = l¡ ta có

/ YE(X/G) = J I4E(X/G)dP = / E(X/G)dP Al A AA = J xe= |tuxe= [ xver AA Al 4 Từ đó suy ra Jxe(x/øe = [xve Al A’

Vậy theo định nghĩa kỳ vọng có điều kiên ta có: E(XY/đ) = YE(X/), tức

là (+) đúng với Y = Lụ Từ đó suy ra (+) đúng với các hàm đơn giản Bây giờ n nếu Y -đo được thì Y = lim hạ, với {h„ = S} ;L¿,} là dãy các hàm đơn giản, ¡=0 do đó tính chất được chứng minh Tinh chat 10 Gid sip : R > R Ia ham Idi, va @(X) là đại lượng ngẫu nhiên khả tích Khi đó Elz(X) | đ] > y[E(X | 9)]

Chitng minh That vay, vi œ là hàm lôi nên ¿ liên tục có đạo hàm phải, và

đạo hàm trái tại mọi điểm Do đó ¿(X) cũng là đại lượng ngẫu nhiên, ngoài

ra voi Zo € R tuy ¥ ta cd

p(x) > (#o) + ( — #o)k(œo), œ€_TR, (1.7) ở đây #(zo) có thể lấy là đạo hàm phải hoặc trái của ý tại 20

Thay x boi X, z bởi E(X | đ) vào (1.7) ta có

Trang 7

Lấy kỳ vọng có điều kiện (1.8) ta có

E[¿z(X) | đ] > E[z[E(X | 9)] | 9]

+#|[E(X | đ)|[E(X | đ) - E(E(X | đ) | 6)]

Từ tính chất 7, suy ra

Elz(X) | đ] > y[E(X | ở)

Định lý hội tụ đơn điệu B-Levi

1) Nếu dãy X„ † X (h c c) và tôn tại n € N sao cho R(X„) < © thì

E(X;„/) † E(X/6)(h.c.c)

1) Nếu dấy X„ | X (h c c) và tơn tạin C Đ sao cho B(X„) < oo thì Chứng minh Ta chứng minh cho tính chất thứ nhất Giả sử tồn tại nọ để

EX,,, < 00 Khi dé, ta có 0 < X„; + Xn, | X + Xn, Theo dinh ly Lebesgue

về hội tụ đơn điệu, ta có

im E[(Xn + Xnq)/G]aP = lim [ec + Xn.)/GldP

A A

=lim | (X, + X7,)dP = ime, + Xn, )dP = J + X„„)đdP

n n

A A A

Từ đó, kết hợp với tính chất tuyến tính của tích phân ta có

hpmR(x,/6)aP= [x= [(x/90a, với mọi A € Ở

A A A

Vậy

lim E(X,/9) = E(X/Q) (h.c.c)

Trường hợp còn lại, ta chứng minh tương tự

Bồ đề Fatou Giả sứ tôn tại Y khả tích, khi đó U Nếu X„ < Y (h c e) với mọi n0 > 1 thì

E(lim X;,/G) < limE(X,,/G) (h.c.c)

ii) Nếu X„ > Y (h c c) thì

limE(X„/ở) < E(lim X„/ở) (h.e.e)

Chứng minh hai tính chất này tương tự như chứng minh định lý hội tụ đơn điệu

Trang 8

1.3 KHÁI NIỆM TƯƠNG THÍCH VÀ ĐỐI XÚNG

Giả sử (O, 7, P) là không gian xác suất, Ø là ơ-đại số con của Z và X là

đại lượng ngẫu nhiên nào đó Ta nói rằng X tương thích với Ở nếu X là đ- đo được Trong trường hợp đó ta viết:

Xeg

Ky hiéu o(X) = X~1(B), trong đó Ö là ø-đại số Borel của R R6 rang, X € G

khi va chi khi

o(X) CG

Cho trước dãy ngẫu nhién {X;,i © N} Ky hiéu o({X;,i © N}) la o-

đại số con bé nhất của Z chứa tất cả các ơ- đại số øơ(X;),¡ € Ñ Ta gọi

ơ({X;,¡ € Ñ}) là ơ- đại số sinh ra từ {X;,7 € Đ} Đặt: dã, =Ø«¡ =0({X¿,k < ¡}), k,¡€ Ñ, o%, =0/¡= ơ({X;.k < i}), k,n € Ñ, gỄ,=ø~¡ =ø(X,), ¡ € Ñ, Š, =ø>¡ = ø({Xy,k > i}) k,¡€ Ñ,

ox, =05;= ơ({X¡.k >7}) k,¡€Ñ >i

Cho day o- dai s6 con {F;,i € N} cla F Day nay dugc goi là day khong

giam, néu

FC Fi, k <i, Vk,i EN

Chang han, {o<;,i € N} 1A day khong giam Ta lu y rang o<; gém cdc biến cố quan sát được tính đến thời điểm 7

Giả sử {F;,i © N} la day không gidm các ơ-đại số con của 7, tạ nói rằng dãy ngẫu nhiên { X¡, 7;,¡ € Ñ} là dãy tương thích, nếu X;¡ € 7;¡ với mỗi ¡€NÑ

Ta noi rdng {V;,Fi-1,i € N,F_1 = Fo} la day du bdo duoc, néu Vi € Fi; voi méin EN

Rõ ràng, dãy dự báo được là dãy tương thích Ta luôn có {X;,ø«;,¿ € Đ}

là dãy tương thích Người ta thường gọi ø<; là ơ-đại số tự nhiên của dãy

{X;,¡ € Ñ} Nó gồm tất cả những biến cố liên quan đến quá khứ (trước 7), và

Trang 9

13.2 Định nghĩa

¿) Một dãy ngẫu nhiên tương thích {Y;, 7;,¡ € NÑ} được gọi là đối xứng nếu

P((Yi, Yist, -; Yiem) € 4 | Fi-a]

=P|(—Y¡, —Yiu, 1 -Yiem) € A| Fe] (hc),

với tất cả các tập Borel (m + 1)- chiếu A, và mọi mm > 0, i > 1

ii) Một dãy ngẫu nhiên tương thích {Y;, 7¡,¡ C Ñ} được gọi là đối xứng yếu nếu tôn tại số nguyên M > 1 nào đó

» E[Y7I(Yi| < M) | Z¡ 1] hội tụ hậu chắc chắn,

i=1

voi méim > M

1.4 THOI DIEM MARKOV VA THO! DIEM DUNG

Từ nay về sau ta luôn giữ các giả thiết sau:

e (Q,F,P) la khong gian xác suất với Z chứa tất cả các tập con của tập có xác suất 0 Trong trường hợp này, ta nói (O, Z7, P) là không gian xác suất day du e N= {0,1,2, }, N=NU {oo} e R= RU {oof U {oo} e {F;,i © N} là day các ơ-đại số không giảm Ký hiệu là z-đại số bé nhất chứa tất cả 7;, 7 € Ñ 1.441 Định nghĩa

Gid sit tT: Q —— ÑU {oo} là đại lượng ngẫu nhiên (có thể lấy giá tri oo) Ta nói rằng T là thời điểm Markov đối với {7;,¡ € Ñ}, nến

{2:7(0)=i}C7;, Wen

Trang 10

14.2 Chú ý 7T là thời điểm Markov khi và chỉ khi {w:t(w) <i}eEF, Vi€cN Thật vậy, chứng minh suy từ bất đẳng thức sau: i {w: tw) <i}=Ww:rw)=k}eF, Wien k=0

{w:7(w) =i} ={w:7 <i}\{w: rw) <i-1 EF

Ký hiệu Z7; là lớp gồm tất cả các tập con A của © sao cho AE Fee,

va AN (7 <i) € F;

Nhu vay, F, g6m các biến cố quan sát được tính đến thời điểm 7

Dé dàng chứng minh rằng Z7; là ø-đại số con của ø-đại số F Thật vậy, eQ€ 7„, vì )n(r e Giả sử A„ € F,,k Khi đó, ta có sứ = 1,2, (Yao n(r <i) =[ Ane <i) €F: k=l k=1 Suy ra, Ares k=1 e Giả sử A € F,, va A° =) \ A Ta thay

Trang 11

Ví dụ 2 Giả sử {X;,¡ € Ñ} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên, và Ø là tập

Borel cua R Dat: mỉin{:X,€} Nếu œ€ (]{X;c PB} Tb —= ¡e€Ñ œ Nếu X;£ ÖD Khi đó, 7p là thời điểm Markov đối với {o<;,i € N} Chứng minh suy ra từ i {r<i}= Ue Byeou, VWiEN k=0

Ví dụ 3 Giả sử { X;,¿ € Ñ} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên, va {B;},i =

1,2, la day tap Boerl cla R Dat 7) = Tz,;

min{i >7:X;€ Bo} Néu we U{X; € Bo} N{n < ow}

Tạ —= ¡eÑ

co trong trường hợp ngược lại

7; được định nghĩa tương tự Khi đó, (7;,¿ € Ñ) là dãy các thời điểm Markov

đối với {ơ<¿,¡ € Ñ}

Chứng minh đối với 72 suy ra từ

{7a < i} = {n < i} N U {Xx € By}

k>Tt

1.4.4 Các tính chất của thời điểm Markov và thời điểm dừng

Tính chất 1 Giả sử 7 là thời điển Markov đối voi {F;,i € N} Khi đó, {7 <i} €F,

Chứng mình Thật vậy, ta có

(Œ<Ø=LJtr<¡—k}€Z ¡C7

k=l

Trang 12

Tinh chat 2 Néw 7, 7 la cdc thoi diéu Markov doi voi {F;,i € N}, thi T| A 72 = min(71,72),71 V 72 = max(71,72), va T1 + Ta là các thời điểm

Markov déi voi {F;,i € N} Chứng mình Thật vậy, ta có {n Am <i}={n <¡}U {7a < ¡} € 7¡ {n V7› < ¡} = {Ti <¡}N 7a < ¡} € 7¡ +? {n +7z=i} = UJ{n =k}n {7a =¡— k} € 7i k=0 Tinh chất 3 Nếu 7¡, 7›, là các thời điểm Markov đối voi {F;,i € N}, thì Vii = SUP Ti, An = inf 75 ? ? cũng là thời điểm Markov đối với {Z;,¡ € Ñ} Chứng mình Thật vậy, ta có {sup7 < ?} = (Ì{? < i} © F, k k {inf 7, <i} =Ulm <i} © F : k

Tính chất 4 Nếi 7 là các thời diém Markov déi voi {F;,i € N}, thì

T € 7, Nếu T và ơ là các thời điểm Markov déi véi {F;,i € N} sao cho P(r < øơ) = 1, thì 7; C 7z

Chứng mình Thật vậy, giả sử A = {r < k} Để chứng minh 7 € 7; ta phải chỉ ra A € Z;, hoặc tưong đương 41 {7 < i} € 7¡ và A € 7 Ta có

A=t{r<k}cZ,c Z

Mặt khác, ta có

{7 <k}nf{r <¡} ={r =¡A k} € ZTịy C 7i

Bây giờ giả sử A C {w: 0 < oo} va A © F, Khi dé, do P(r <0) = 1, và

o-dai s6 F; day du, hai tap:

AnN{a <i}; AN{r <i}{o < i}

Chi sai khác nhau một tập có độ đo không Tập thứ hai thuộc vào Z„, nên

AN {o <i} € Fi, tite la, A € F,

Tinh chat 5 Néu 71, 7, la cdc thoi diém Markov doi voi {F;,i € N},

va T= inf Tr, thi

Trang 13

Chứng mình Thật vậy, theo tính chất 4, ta có:

+ cƒÌ# (1.9)

k

Mat khac, néu A € (| F,,, thi k

Aanfr<#= An({Jf% < #) =|J(an1s <¡}) eZ

k k

Đo đó A € 7; Suy ra

() Fu C Fr (1.10)

k

Từ (1.9) và (1.10) ta có điều phải chứng minh

Trang 14

17 Từ (1.11) và (1.12) suy ra {7 < ơ} € Z+ñ Z7 e Ta chứng minh {7 = ø} € Z;f1Zz Thật vậy, ta có oo {r =o} =r =i N{o =) EA CK i=0 Suy ra {r =o} € Fu Mat khac, {z=ø}fn{r =¡} ={ø =i}n{r =¡} € 7i Vậy {r=ơ}c7; (1.13) Tương tự, ta có {r =o} € Fu va {r=o0}N{o =i} = {7 =i} N{o =i} € 7i Suy ra {tr =o} © Fy (1.14) Từ (1.13) và (1.14) suy ra {7 =o} © F,N Fz e Ta chứng minh {7 < ø} € 7; 7z Thật vậy, ta có {r <ø} ={r<ø}U{r=ơ}c€ 7;fñ7

Tính chất 7 Nếu {X;, 7;,¡ € Ñ} là đấy tương thích và T là thời điểm

Markov đối với {7¡,¡ € Ñ}, thi

- — J ÄX;()(0) nếu w € {r(w) < oo}

Xr:9 — Ñ, Xz(@) = { 0 nếu w € {T(w) = oo}

là đo được đối với 7; tức là, X,„ € 7;

Trang 15

18 Mặt khác, ta có {X;¿€ B}ñn{r =¡} ={X;c P]{r = ¡} € 7¡ Điều này chứng tỏ: {X; € j3} € 7;, tức là, X; € 7; 1.5 MARTINGALE 1.5.1 Các định nghĩa

Giả sử (Q, F, P) là không gian xác suất {7;,¡ € Ñ} là dãy tăng các ơ-đại số con của 7, khi đó dãy {X;, 7;,¡ € Ñ} gọi là: e Martingale, nếu: ¡) {X¡,Z¡,¡ € Ñ} là dấy tương thích, nghĩa là: X; € 7; với mỗi ¡ € Ñ ñ) BỊX;j|< so, Vi€N iii) Voik <i, i,kEN E(X; | Fr) => Xp, (h.c.c) e Martingale trén, néu:

i) {X;, Fi, i € Ñ} là dãy tuong thich, nghia la: X; € 7;¡ với mỗi ¡ € Ñ

ii) E|X,| <00, ViEN

iii’) Vik <i, i,k EN

E(X; | Fr) < Xp, (h.c.c)

e Martingale du6i, néu:

i) {X;,7;,¡ © N} la day tuong thich, nghia la: X; € 7;¡ với mỗi ¡ € N

ii) E|X;| < 00, ViEN iii”) Voik <i, i,k eN

E(X; | Fr) > Xk, (h.c.c)

e Hiéu martingale, néu:

¡) {X¡,Z¡,¡ € Ñ} là dấy tương thích, nghĩa là: X; € 7; với mỗi ¡ € Đ

đ) BỊX:|< so, Vi€N

iii”) Voik<i, i.kEN

E(X; | Fi.) =0, (h.c.c)

e Phép bién déi martingale Cho {Y;,F,,i € N} la mét hiéu mar-

Trang 16

Tn = >- ViY;, được gọi là một biến đổi martingale va {V;,i © N} duoc goi la i=0

đấy biến đổi

1.5.2 Cac vi du

Vi du 1 Giả sử {X;,¿ € Ñ} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập với

EX; = 0,¡ € Ñ Khi đó dãy tổng riêng

Sn = Xụ + + Ấ„

la day martingale doi v6i F,, = ơ(Xụ, , X„)

Thật vậy, do S„ ¡ là Z„_¡-đo được và tính độc lập của X„ với F,_1, ta c6:

E(S; | Z2 1) = E(S„ 1 + Xp, | Z2 1) = Sra + EX, = Sy-1-

Vi du 2 Giả sử {X;,¿ € Ñ} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập với

EX; = 1,;€ Ñ Khi đó các tích riêng Sp = I Xi

k=0 la day martingale doi v6i F;, = 0 (Xo, ., Xn)

Thật vậy, tương tự trên ta có:

E(S, | Fn-1) = E(S»_-1.Xn | Z2_1) = Sn-1-EXn — Đn—]-

Vi du 3 Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên nào đó có E|X| < œ va {Z¡,¡ € Ñ} là day o-dai số con không giảm của Z7 Khi đó, dãy

X; =E(X | Fi)

la day martingale đối với 7;,¡ € Ñ

Thật vậy, vì 7; ¡ C Z7; ta có:

Xi = E(X | Fin) = E(E(X | Fi) | Fi-1) = E(% | Fi-1) 1.53 Các tinh chat cua martingale

Tính chất 1 Néu day {X;,F;,i © N} la martingale thi (EX;) la day

khong doi

Chứng mình Thật vậy, với k < ¡ ta có:

Trang 17

Tinh chat 2 Néu day {X;, F;,i € N} là matingale dưới, thì hàm trung

binh EX; khéng giam theo ¡ € Ñ

Chứng mình Thật vậy, với k < ¡ ta có

EX; < E(EX; | Z,) = EX,

Tính chat 3 Gia si day {X;, F;,i € N} la martingale (martingale duoi),

và 7 là thời điểm dừng Khi đó dãy "ngất" tại thời điểm T, tức là, X”* ={X¡;,Z;,¡c Ñ} cũng là martingale (martingale dưới) Chứng mình Thật vậy, ta thấy 7—1 Xinr = YO Xky—ky + Xi<¡ k=0

Suy ra X;4; là 7;-đo được và có kỳ vọng hữu hạn Hơn nữa,

Xipiar — XpAr = Lprsn} (Xin — Xi),

do đó

E(Xistar — Xinz | Fi) = Tsay (Xia — Xj) | Fi) =0 (20) (h.c.c)

Tinh chất 4 Nếu đấy {X;, 7¡,¡ € Ñ} là hiéu martingale thì dấy {S„ = > Xj, F;,i € N} la martingale " Chứng mình Thật vậy, ta có S„ là 7„-đo được Mặt khác v6im <n,m,n EN, E(S, | Fn) =E(Sm | Fin) +EC 32 Xi | Fin) = Sms (h.ee) i=m4+1

Tinh chat 5 Gid si X = {X;,F;,i = 0,1, , N} la martingale trén,

và T, ơ là hai thời điểm Markov (đối với {Z;,¡ = 0, 1, , N}) sao cho P{T <

N} =P{øơ < N} = 1 Khi đó

X„>E(X;|Zs) ({r > ơ} P— hầu chắc chắn), (1.15)

tức là

P{œ¿ €{rz >ø}: X„ < E(X,|Z„)}= 0,

hoặc tương đương

Trang 18

Chứng mình Thật vậy, đầu tiên ta chú ý rằng

N N N

E|X,|= >> J |X;|ldP= 3` / |Xn|dP < 3 `E|X;| < s,

i=0 (=i) i=0 tri - i=0

tức là E|X;| < œo Tiếp theo ta chú ý rằng

Œr>ø}=|Jz=i?ntz>1 o=[Jfz =1

i=0 i=0

Vì thế ta xét tập {ơ = 7} và chứng tỏ rằng (1.15) đúng đối với œ€{‡ơ=i}ñ{r >ø} ={ơø=¡}ñn{r >?} Trên tập này X„ = X;, nên theo tính chất thời điểm dừng ta có

E(X; | F,) = E(X,F;) ({o =i}, P — hau chic chan)

chi can chi ra rang trén tap {0 = i} N {7 > i}

X; > E(X, | F;) P— hau chac chắn Giả sử A € F; Khi dé J (X;— X,)dP = J (X; — X,)dP AU{ơ=?}n{r>¡} AU{ø=?}n{r=¡} + / (X; — X,)dP = / (X; — X,)dP AU{ø=¡}n{r>¿} AU{ø=¡}n{r>?} > / (X; — X,)đP, (1.17) AU{ø=i}f{z>7+1}

trong đó bất đẳng thức sau cùng được thực hiện là do: {X;, Z;,¡ = 0,1, , N}

là martingale trên, nên trên tập

{fo=i}N{r >i EF,

ta CÓ

X; > E(Xi41 | Fi), (P — hau chic chan)

hoặc tương đương

[xo > [ern | Z;)dP = xua VAE Fi

Trang 20

Chuong 2

DINH LY HOI TU MARTINGALE DUGOI VA UNG DUNG

2.1 BAO TOAN CAU TRUC MARTINGALE VA MARTINGALE DUOI

24.1 Định lý

() Nếu dấy {X¡, 7;,¡ € Ñ} là martingale và vy la ham lôi, liên tục với

|Ey(X;)| < 00, thì dãy {¿(X;) 7¡,¡ € Ñ} là martingale dưới

(ii) Nếu dấy {X;, 7;,¡ C Ñ} là martingale dưới và @ là hàm lôi, liên tục,

không giảm với |@(X;)| < œ, thì dãy {¿(X;).7¡,.¡ € Ñ} là martingale đưới Chứng mình () Để chứng mình {¿(X;), 7;,¿ € Ñ} là martingale dưới ta thử các điều kiện: ® ¿@(X;j)C 7, ViCNĐ e El¿(X;)|< œ VieÑ

e Với ¡ —= I,2, Ta cần chứng minh:

Ely(Xi) | Fi] 2 e(Xi-1) (h.c.c)

Thật vậy, theo tính chất kỳ vọng có điều kiện ta có

Elz(X;) | #1] > #[E(Xi¬ | Z#2)]| (hec.c) (2.1)

Trang 21

Vay (i) dugc chitng minh

(¡) Để chứng minh {¿(X;), Z¡,¿ € Ñ} là martingale dưới ta thử các điều

kiện:

e ¿@(X;)C 7, ViCN

e El¿(X;)|< VieN

e Với — 1,2, Ta cần chứng minh:

Ely(Xi) | Fina] 2 e(Xi-1) (h.ec) Thật vậy, theo tính chất kỳ vọng có điều kiện ta có

Ely(Xi) | Fi-a] 2 [ECG | Fi-a)] (h.e.c) (2.3)

Theo gia thiét thi {X;, F;,i € N} 1a martingale dưới nên, voi i = 1,2, E(X; | Fi-1) = Xj-1 (h.c.c) Suy ra pIE(X; | Fi-1)] => v(Xi-1) (h.c.c) (Do ý là hàm không giảm) (2.4) Từ (2.3) và (2.4) suy ra

Ely(Xi) | Fina] 2 e(Xi-1) (h.ec)

Vay (ii) duoc chitng minh O

2.1.2 Hệ quả

(i) Cho p > 1 Nếu dãy {X;, 7;,¡ € Ñ} là martingale với E|X;|? < co,i EN, thi day {|X;|?, F;,1 © N} la martingale dui

(ii) Néu day {X;,F;,i © N} la martingale du6éi thi ddy {X;*, F;,i € N} la martingale duoi Chứng mình () Với p > 1, thì p(x) = |x|? là hàm lồi, theo định lý 2.1.1 ta có điều chứng minh (ii) Tuong tu ¿(#) = #* cùng là hàm lồi không giảm nên ta có điều phải chứng minh L] 2.1.3 Định lý

(i) Néu day {X;,F;,i © N} la martingale, và T là thời điểm dừng thi day

{X7 = Xinz, Ff, 1 © N} cling la martingale

Trang 23

Chon A = BN (r > ?) ta được: J xe= J X; ¡đP Bn(r>i) Bn(r>i) Kết hợp với (2.5) suy ra Jym= / X;_-,dP + / Xj] Bn(r>i) Bt(r<?) - | X; ¡dP + J X; ¡dP = [xo X; Bn(r>?) Bn(r<?)

Vay (i) duoc chứng minh

(¡) Để chứng minh X7 = {X;¿;,Z7,¡ € ÑHà martingale dưới ta thử các điều kiện:

e XƒC7/, VEN

e E|X?|<œ Vi€N

Thật vậy, đặt Yn = Xn — Xn- 1 véin > 1 va Xo = 0

Ta 6 |X7| = | > Yalirzal < | > Ynl S > [Yn] < 00 n= n=l n=1

Trang 24

Nếu r <i thi X7 = X7,

Nếu r > ¡ thì X; = X7 Trên biến cố (7 > ?) thì

(Xƒ,Xĩ XƑ ¡) = (Xq, Xo, ., Xi) Đo đó, tồn tai tap Borel (i — 1)-chiéu C sao cho

Bo (7 >t) = [(MH, X, ., Xi-1) € C]N (7 = 2) va (7 >i) € 7;_ì, suyra BN (7 >i) € Fa

Theo gia thiết martingale dưới ta có Jxm> Tae VACZ7; Chon A = BN (r > ?) ta được / X;dP > / X;_1đP Bn(r>i) BO(r>i) Kết hợp với (2.6) suy ra [ xae> / X\-.dP + / X7_,dP B BO(r>i) BN(r<i) [x 7 dP + J XƑ dP = f Xf dP B Bn(r>?) Bn(Œr<i) Vay (ii) được chứng minh LÌ 2.1.4 Hé qua

Nếu dãy {Y;, F;,i © N} là hiệu martingale với EY) = 0 va 7 la thoi diém dừng thoả mãn T < M (h.c.c) véi M < ox, thi E> Y;) = 0

Chứng minh Theo giả thiết thì dãy {Y/, 7;,¡ € Ny là mot hiéu martingale

Suy ra, day {X,, = Si Z„,m € Ñ} là martingale

Theo định lý 2.1.3 ta có Xƒ = > Y;I(r > i) = > Y; cũng là martingale đối

với {Z7,¡ c Ñ} “ “

Trang 25

2.2 BAT DANG THUC CAT NGANG VA DINH LÝ HỘI TỤ MARTIN- GALE DUGI

2.2.1 Bat dang thức cắt ngang

Nếu dãy {X;, F;,0 <i < N} la martingale dưới, thi

(b—a)Ev < E(Xy —a)* —E(Xp —a)*,

trong dé v la sé lan cắt ngang từ dưới lên trên đoạn |a, b của dấy {X;,0 <

i< N}

Ching minh Vi day {X;, F;,0 < i < N} là martingale dưới, nên theo hệ qua 2.1.2 ii, thi day:

{(X;—a)*,Z¡j,0<¡< N}

cũng là martingale dưới, và bằng số lần cắt ngang từ dưới lên trên đoạn

[0,0], (với = b— a) của dãy {(X; — a)*,0 < ¡ < N} Do đó ta chỉ cần

chứng minh rằng: Đối với martingale dưới không âm {Y;, 7;,0 < ¡ < Ñ} (với Y; = (X; — a)*) ta cd ME < E(YN — Yq) trong đó + số lần cắt ngang từ dưới lên trên đoạn [0, ] của dãy {Y;,0 < ¡ < AT} Ký hiệu T| = 0; 71 =min{m:0<m<N, Y, =0}; 7m) =min{m:7 <m<N, Yy > 0}; Toi-1 = min{m : T;-2 <m < N, Yn = 0},

Tạ; = min{m : Te;-1 <m < N, Y;, > U'}

Trang 26

Nếu ¿ > Ï, thì Vì vậy 3 0Œ, — Y„) > 3 2ï — Y2) > [I/2]b = v, (2.8) ilé zlẻ<l trong d6 [I /2] là phần nguyên của l/2 e Xét ¡ chắn Các biến ngẫu nhiên mò O<i<N

lập thành dãy không giảm các thời điểm dừng đối với {Z7;,¿ € Ñ}, do đó theo

tính chất của martingale thì dãy: {Y„.Z+.0<¡<N} là martingale dưới Suy ra EÓ, c— Y;,) 2 0, va do dé E[ `, — Y)] > 0 (2.9) 7 Chân Thay (2.7), (2.8) vào (2.9) ta có

E(Yy — Yo) > VEv

Thay Y; = (X, —a)* val! = b-—atacé

(b—a)Ev < E(Xy —a)* —E(X)-a)* O 2.2.2 Dinh ly hội tu martingale duéi

Nếu dãy {X;, F;,i € N} la martingale duéi L'- bi chan, tite la sup E|X;| < œ,

i

Trang 27

30

Chitng minh Ky hiéu vy 1a s6 lan day {X;,0 < i < N} cat [a, b| từ dưới

lên trên Theo bất đẳng thức cắt ngang ta có:

(b—a)Evy < E(Xy —a)* —E(Xy —a)* < E(Xy —a)* < E|Xy - a] < E(|Xy| + lal) < supE|Xy| + Jal, VN N Suy ra, sup E|Xy| + |a| Evy < ~—— — , VN b-a Dat vo = Jim VN (vi uy 1a day tăng) Khi đó IV— 00

sup E|Xy| + |a|

Ev = lim Evy < NW oo, Va <b Noo b—q Suy ra P(⁄=oo)=0 Va,b; —=oo<ø<< œ Mặt khác, ¬ (⁄ = 00) = (limX; <a <b < limX;) Ta có: — {X; Không có giới hạn} = {limX; < lim X;} = J 0ứnX; <a< b<TimX;) a, beQ Suy ra

P({X, Khong c6 gidi han}) = P{limX; <limX,}

Trang 28

31

2.2.3 Hé qua

Giả sử dãy {X;, F;,i € Ñ} là martingale dưới với

sup EX; < oo i Khi đó, dãy {X;} hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X nào đó với E|Xx| < oo Chứng mình Ta có E|X;| =3EX‡ - EX; < 3EX‡ - EXụ Suy ra sup E|X;| = 2sup(EX;* — EXo) = 2supX7 — EXụ < % i i i Theo định lý 2.2.2 ta có điều chứng minh L1 2.2.4 Hệ quả

tingale trên không âm) Khi đó, dãy {X;} hội tụ hâu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X„ nào đó Chứng mình e Nếu dãy {X;,.7;,¡ € Ñ} là martingale dưới không dương thì X,' = 0 Suy ra suplRX;' =0 < +œ + Theo hệ quả 2.2.3 thì dãy {X;} hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X nào đó

e Nếu dãy {X;,Z7;,¡¿ € Đ} là martingale trên khơng không am thi Y; = {—X;, Z;,¡ € Ñ} là martingale dưới không dương Theo chứng minh trên suy

ra, Y; = {—X;} hội tụ hầu chắc chấn tới biến ngẫu nhiên Y2 := —Xs

Do đó, X; hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X D

2.2.5 Hệ quả

Giả sử dãy {X¡, 7¡,¡ C Ñ} là martingale dưới không dương (hoặc martingale trên không âm) Khi đó dấy

X={Xi,Z,¡€Ñ}, voi Xo = lim X; #¿ =ø(]Z;)

i—œ

Trang 29

lập thành martingal dưới không dương (hodc martingale trén không âm) Chứng mình e Nếu dãy {X;, 7;,¡ € Ñ} là martingale dưới không dương thì, i) Ta có X„ € Foo it) Ta chttng minh: E|X.,| < +00 Thật vay, Xx =E| jim X;| = EllimX;| < limE|X;| < 00 (theo bổ đề Fatou) Suy ra E].X.,| < +00

iti) Ta chittng minh: E(X., | Fm) > Xm Vn EN

Thật vậy, sử dụng bổ đề Fatou và tinh martingale đưới ta có

E(Xx | Fm) = E( lim X; | Fim) = E(limX; | Fm) = limE(X; | Fm) > Xm-

Mặt khác, do X; < 0, Vi € N nén X, = lim X; < 0

i—oc

Tương tự ta có điều phải chứng minh L] 2.2.6 Hệ quả

Giả sử (X;) dấy các đại lượng ngầu nhiên độc lập, có kỳ vọng không và (S,) là đấy các tổng riêng của nó:

So = Xo; Sn = »

¡=0

Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

?) (S„) hội tụ hầu chắc chắn, it) (Sp) hội tụ theo xác suất, iit) (Sp) hội tụ theo phân phối

Chiing minh (i) => (ii) = (iii) : Tâm thường Ta can chitng minh: (ii?) = (i)

Giả sử (S„) hội tụ theo phan phdi téi S Khi dé,

Trang 30

33

Ta chting minh {Z,,0X,,,n € N} là martingale Thật vậy, điều kiện 7), 77) hién nhién

Ta cần chứng minh điều kiên 722), ta có E cft5n-tcttXn F, cft5n-1TR eitXn FF, E(Z, | Fn1) _ ( | n ) _ ( | n 1) n =1 Il Eett*i Ie#X;IeitX› j1 j=l n eit Sn—1 Ret Xn Mat khac, E|Z,|=1, Vn Vậy {Z„} là martingale va sup E|Z,,| = 1 < % Theo định lý 2.2.2 ta suy ra n Za hội tụ hầu chắc chắn Suy ra củ n Il Re#x 7 j=l hội tu hầu chắc chắn

Suy ra e5" hội tụ hầu chắc chắn Vậy (S„) hội tụ hầu chắc chắn

2.3 UNG DUNG DINH LY HOI TU MARTINGALE DUGI 2.3.1 Dinh ly Giả sử dãy {X;, F;,i © N} la hiéu martingale véi E(sup X;) < co n n Khi đó, nếu sup S„ < 00 thì S„ = >) X; hội tụ hầu chắc chắn n i=0

Chứng minh Cố định M > 0 Goi Ty 1a s6 nguyên nhỏ nhất n > 1 sao

cho S;, > M néu tén tai n nao d6 Nguoc lai, dat Ty = co V6i M cho trudc

như vậy, biểu thị 7; bằng 7 Khi đó 7 là thời điểm dừng

Đặt:

Trang 31

34 Theo dinh ly 2.3.1 (i) tacé {S7,F7,n © N} 1a martingale Nếu 7 >n thì 5S; < À Nếu 7 < ñØ thì S2 = 5; ¡ + X; < Mĩ + sup Xj Do đó, ‘ sup E($7)* < E[sup(S;,)*] < 00 n n

Theo hé qua 2.2.3 suy ra, (8) hội tụ hầu chắc chấn

Trén [Ty = co] thi S7 = 5; với mọi > 0 Ta có se [sup S, < oo] = U [ra = ox] " M=1 Suy ra, (S„) hội tu hau chac chan O 2.3.2 Định lý Giả sử {Y;, 7¡,¡ C Ñ} là một dấy ngẫu nhiên tương thích đối xứng yếu Khi đó, néu n sup › Y; < œ và sup|Y;i| < ov, n - n i=0 thì Ề` Y¡ hội tụ hầu chắc chắn i=0 Chứng mình Gọi M là số nguyên xác định trong định nghĩa của đối xứng yếu Đặt: n Ưạ = ){Yi(Y| < m) E|Yil(Vi| < m) | Fal} i=1

véi méi n > 0 va mot m > M cé dinh

Ching ta chitng minh dugc {U,, Fn, n € N} 1a martingale

Mặt khác, ta có

|Yif(lri| < m) — E|Yif(JYi| < m) | Z: 1Ì

< JYI([Yi| < m)| + |E[Yi(JYi| < m) | Fi-]| < 2m

Trang 32

35

A= [su upd ¡ < 00,sup |¥i] < 00] Y; < co, sup |Y;| < oo]

Trang 33

36 n Chứng mình Đặt U„ = ` Y; với n > 0 ¡=0 Giả sử P[sup U„ < œ} > 0, và chọn k > 0 sao cho P|sup Ứ„ < k| > 0 n n Bằng tính đối xứng ta có IP[sup Ứ„ < k | sup Ữ„ < k| = P[sup(U„ — Uy) < k — Ủx | sup U„ < k] n>N n<N n>N n<N = =PlimE U, > 2Uy —k | sup U„ < k] với mọi số nguyên N > 0 n<N Mặt khác, P[sup U„ < È| P[sup U, < k | sup U, < k) = <= 1 kh¿ N — œ [sup " | eek ns] P[sup Ứ„ < k] _ử n<N Từ đó suy ra Plinf Un > 2Un —k | sup U, < k] —+1 khi N > ow n>N n<N Do đó,

[sup U„ < k} C [inf U, > —ox]

vi [sup Un < œ] = Usp Un < ki

Vay khi Plsup Un < - > 0, thì [sup Ủ„ < k] C [inf U„ > —o]

Trang 34

37

2.3.6 Dinh ly

Giả sử {Bị,¡ € Ñ} là một dấy biến cố và {7;, € Ñ} là dãy tăng của o-dai

số sao cho Bị € 7; với mỗi ¡ > 1 Khi đó,

LH; xảy ra vô hạn lần] = ` P(B; | Fi-1) = oo] i=l oO Nehia la, S> P(B; | Fi-1) < co kéo theo Dị xảy ra tại hữm hạn lần và ¡=1 œ So P(B; | Fi-1) = œ kéo theo Bị xảy ra vô hạn lân i=l

Chứng mình Dat U;, = St ;) — BỊI(Đ;) | Z;_1]} với n > 1, ta chứng minh được dãy {„, 7„, e N } 1a martingale thoa man:

JI(,) — EII(,) | Fi-a]| < U(h.c.c)

Suy mạ Esnp(T(ñ,) — EII3) | #1] < 1

œ

Rõ ràng, [; xảy ra tại hữu hạn lần | = [Š) 1(;) < s]

i=l

Néu > I(Đ;) < œ, theo cách đặt „ ta suy ra sup Ữ„ < 00 Do đó, theo định lý 2.3.1 suy ra Ứ„ hội tụ hầu chắc chắn

Trang 35

38

2.3.7 Hệ quả

Trang 36

39 Chứng mình Không mất tính tổng quát giả sử Xọ = 0 (thay thế Xọ bởi 0 nếu cần) Cố định k > 0 Dat 7, 1a giá trị nguyên nhỏ nhất + > 0 sao cho n+1 SO E(X? | Fia)>k i=1

nếu tồn tai mot n ndo dé, nguoc lai dat 7 = oo V6i k cho truéc biéu thi 7;

bằng 7 Suy ra, 7 là một thời điểm dừng

Cố định + > 0 Dat S7 = Span

Khi đó, theo định lý 2.1.3 thì {57, 7Z7,m € Ñ} là một martingale với S7 = 3) X;Ïr > 7) Ta chứng minh {X;, 7;} là dãy trực giao

¡=0

Thật vậy, với ¿ > 7 ta có

Voi 7 < 7 ta lam tuong tu Tir do ta suy ra n E(5/)? =ES` X?lự > i) = E(R[SD XM > 8) | Fal} i=0 ¡=0 TAN = B{I(r > )E[Š ` X? | Z¡ 1j} = BEX? | Fa sk i=0 i=0 Sử dụng bất đẳng thức |ø| < a? + 1 ta có E|S7|< E(57)”+1< k+1

Suy ra sup E]S;,| < oo

Theo dinh lý 2.2.2 ta suy ra S7 hội tụ hầu chắc chan Trén [r = co] thi ST = S, véi moi n > 0

Trang 37

40

2.3.9 Định lý

Giả sử {X;, 7¡,¡ € Ñ} là một dấy tương thích của các biến ngẫu nhiên Gọi c là hằng số dương Khi đó, trên biến cố thoả mãn: DPX = | Fin) <x, (2.14) i=l Yap |Xi] <¢ | Fi-1)] Agi m, (2.15) œ 3 `{E[X?1(|X:| <0) | Fix) —E’[X1((Xi| < ©) | Z¿ 1]} hội tự, (2.16) i=l thi, S, = » X; hội tụ hầu chắc chắn i=0

Chứng minh Gọi A là biến cố mà những đẳng thức (2.14), (2.15) và (2.16) đúng Khi đó, từ (2.14) và hệ quả 2.3.7 ta suy ra

[Dx hội tụ | = IS X¡I([X;| < e) hội tụ | trên A

i=l

Kết hợp với (2.15), trên biến cố 4 ta có

[3 ) Xi hội tụ ] = { ) X;1(JX¡| < e) — E[XjI(X¡| < ¢ | Fi-1)] hoity }

Đặt:

Y¡ = X/(|X¡| < e) = R[X,(|X¿| <e| #¿ 1)} voi i> 1

Ta chứng minh được dấy {Y/, 7;,¡ € Ñ} là một hiệu martingale

Mặt khác, ta có

DEW? | Fa) = DABIXAN <0) | Fil

—EIX,IX¡| < e) | #¡ 1|}:

Trang 38

41 Theo dinh ly 2.3.8 thi 5° Y; hoi tu trén A i=l oo [` hoi tu | = (x hoi tu | i=l định lý được chttng minh O Ta có 2.3.10 Hệ quả Giả sử dãy {X;, 7;,¡ € Ñ} là hiệu martingale Khi đó, nếu œ 3 E(|X¡|P|Z¡1) <<, 0<p<2 n thi, S, = >> X; héi tu hdu chdc chan i=0 Chitng minh C6 dinh c > 0 e Nếu < p< I1

Trang 39

oo < SEX | Fal/e <0 (hee) (2.18) Lai do p < 2 nén ta có J EIXI (|X:| <e) | Fin < ` ([X:|1(X:| < e) | #;-]/# i=l i=1 < >> | Fial/@ <0oo (h.ee) @.19) i=l Từ (2.17), (2.18), (2.19) và định lý 2.3.9 ta có điều phải chứng minh e Nếu <p<2 Với i > O, ta co: SPIN > oF =3 EM |X| >) | Fa] < »}_EI|X.|I(X;| = ©) | Fial/e t2 Me E[|X;?P1(XG| > ©) | Fial/e? 1 < SOEX| | Fal/e < oo (hc) (2.20) i=1

Mặt khác, do dãy { X;, 7;,¡ € Ñ} là hiệu martingal và p > 1 ta có

Trang 40

43 2.4 TONG CAC BÌNH PHƯƠNG VÀ PHÉP BIEN DOI MARTINGALE 2.4.1 Bổ đề Giả sử T là thời điểm dừng và dấy {X;, 7;¡,¡ € Ñ} là martingale Đặt Xj =Xj¿; vớimôi ¡ > 1 Khi đó, E|X;l{z < œ)| < lim infE|X7| < sup [EX7| < sup E|X;| ? n noo 7

Chứng mình Theo giả thiết thì X7 hội tụ hầu chắc chắn tới X; trên (r < œ) Vì vậy, theo bổ để Fatou ta có

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	7,05 MB