một số bài toán phương trình đạo hàm riêng cấp 2 giải bằng phương pháp tách biến

LỜI NÓI ĐẦU Giải bài toán Diricler trên hình tròn bằng phương pháp tách biến Một vài kết quả về chuối Fourier Giải bài toán Diricler trên hình tròn Bài toán Diricler trên mặt tròn B 0,r

TRUONG DAI HOC VINH

KHOA TOAN

MOT SO BAI TOAN PHUONG TRINH

PAO HAM RIENG CAP II GIẢI BẰNG

PHUONG PHAP TACH BIEN

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

NGANH CU NHAN KHOA HOC TOAN

GV hướng dẫn: PGS.TS TẠ QUANG HAI

SV thực hiện: PHAN THỊ LƯƠNG Lop: 42E, - Toán

VINH - 2006

LỜI NÓI ĐẦU

Giải bài toán Diricler trên hình tròn bằng phương pháp

tách biến

Một vài kết quả về chuối Fourier

Giải bài toán Diricler trên hình tròn

Bài toán Diricler trên mặt tròn B (0,r)

Phương pháp tách biến để giải bài toán Diricler

Bài toán không thuần nhất

Bài toán hỗn hợp tổng quát

Phương pháp tách biến

Bài toán 1

Bài toán 12

Bài toán hỗn hợp tổng quát

Phương trình truyền nhiệt

1

MO DAU

Phương trình đạo hàm riêng là một môn mới được đem vào chương trình

đào tạo cử nhân khoa học ngành toán ở trường Đại Học Vinh, nên sách tham

khảo và bài tập bộ môn này chưa nhiều Khoá luận này nhằm cung cấp cho bạn

đọc một cách hệ thống về lí thuyết, giải một số bài toán biên bằng phương pháp tách biến hay còn gọi là phương pháp Fourier

Nội dung khoá luận được trình bày:

Mục I: Giải bài toán Diricler trong hình tròn bao gồm bài toán Diricler trên hình tròn đơn vị, bài toán hỗn hợp tổng quát và bài toán không thuần nhất

Mục II: Trong mục này trình bày cách giải bài toán hỗn hợp tổng quát dựa

vào cách giải hai bài toán đơn giản hơn rồi sau đó dùng phương pháp chồng

nghiệm ta sẽ tìm được nghiệm của bài toán

Mục III: Bằng phương pháp tách biến giải một số bài toán phụ để đi đến

phương pháp giải bài toán phương trình truyền nhiệt

Khoá luận được thực hiện và hoàn thành tại Đại Học Vinh Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Tạ Quang Hải người đã đặt vấn đề và dẫn dắt, chỉ ra những sai sót cũng như những góp ý chân thành giúp chúng tôi

hoàn thành khoá luận này

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sai

sót, rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo và bạn đọc

Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các

thầy cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này

Vinh, ngày 10 tháng 4 năm 2006

Tác giả

2

MOT SO BAI TOAN PHUONG TRINH DAO HAM RIENG CAP II GIAI BANG PHUONG PHAP TACH

BIEN

Để giải bài toán hỗn hợp trong rất nhiều trường hợp ta dùng phương pháp

tách biến hay thường gọi là phương pháp Fourier

I GIẢI BÀI TOÁN DIRICLER TRONG HÌNH TRÒN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

Do đó nếu chuỗi này hội tụ thì tổng () là hàm tuần hoàn trên # Để đơn

giản hơn ta xét trên một đoạn có độ dài 27

1.2 Dinh ly 1

Cho hàm số ƒ(x) tuần hoàn với chu kỳ 2m Giả sử tôn tại chuỗi lượng giác (1) hội tụ đều về ƒ(x) trên [—m, 2] Khi dé ta cé:

1 A,=— [ZG)co nxdx ,n = 0,1,2

a —Z

B,= + [7@ cos nxdx ,n = 1,2

a _#

1.3 Định lý 2

Giả sử hàm ƒ(v) tuần hoàn, chu kỳ 2m và hàm trơn từng phân Khi đó chuỗi

Fourier của ƒx) hội tụ về f(x) Nếu ƒ@) liên tục tại + và hội tụ về

2ƯŒ+0) + ƒ(x-0)) nến x là điểm gián doan cua f(x)

Nói cách khác, với WVxv € R ta cé

§ 2 GIẢI BÀI TOÁN DIRICLER TRÊN HÌNH TRÒN

2.1 Bài toán Diricler trên mặt tròn B(0, r)

Phương trình laplat:

Chuyển phương trình xét trong hệ toạ độ cực bằng cách đặt

x=rcosø y=rsinø

2.2 Phương pháp tách biến để giải bài toán Diricler

Ta tìm nghiệm của phương trình (3) dưới dạng

Do đó c¡ = c; = 0 suy ra ®(ø) = 0 là nghiệm tầm thường

Nếu 2 =0 thì & =0 (bội 2)

Vậy ®(Ø) = c¡COS10 + C;SIn0

Thay 24 = 7 vào (b) ta được

=r'(A, cos ng +B, sin ng) Với A„= œ.C¡, B„= œ.C;

Khi đó nghiệm của bài toán sẽ có dạng

Thoả mãn điều kiện

= 1'+ 347y?+ 2y = 16 cosø + 48 cos 2ø sin 2ø + 4 sin ø

U

r=

1+cos 29

2

= 16( )? +12sin” 2ø +4sin ø

=4+8§cos 2ø + 2(I + cos 4ø) + 6 - 6cos 4Ø + 4 sin ø

=4+8cos 2ø +8— 4cos 4ø + 4sin ø

Nếu n =4 thì A,= ay pao -= =

Z

Neue lime dnt an

Vay nghiệm của bài toán là

Uự ø) = 12 + 2r sin ø + 2/?cos2ø — pros 4ø

Chú ý: Ta có thể xác định các hệ số 4A, A„ và Ö„ bằng cách sau đây: Dựa

Vậy nghiệm của bài toán là

U(r, 9) = 12+ 2rsin g +27 cos 2g - ~r'cos 4ø

Ví dụ 2 Giải bài toán sau

y=2sinø

Ta tìm nghiệm của bài toán dưới dạng

UŒ ø) = 2+ Xr" G,cos ng +B, sin ng)

n=l

Ta có ry +2°+xy = 16 cos’ gsin g +4 cos’ +4 cos gsin gp

= 8cos’gsin 2g + 2(1 + cos2¢g) + 4 cos gsin g

4(1 + cos 2ø)sin 2ø + 2 + 2 cos 2ø + 2 sin 2ø

= 4sin 2ø+ 2 sin 4ø + 2 + 2 cos2ø + 2 sin 2ø

=2+2cos2ø +6 sin 2ø + 2 sin 4ø

Vậy nghiệm của bà toán là

UŒ, ø)=2+ 2720 20+ Šr2sin 2ø+ a cos 49

Vi dụ 3 Giải bài toán sau

Ta tìm nghiệm của bài toán dưới dạng

U(r, 9) = + + > r" (A,cosng +B, sin ng)

+—r’ cos 29 — gr" cos 49+2rsing,

Ví dụ 4 Giải bài toán sau

ou ou _g r+y<4

Ox” ôy

U|, , =3-4y-4xy

x +y =4 Giải tương tự các ví dụ trên ta có nghiệm của bài toán là

UŒ., ø) =—5 - 8r cosø + 8r?cos 2ø + 8r`cos 3ø

fu , Ou f(x,y)a+ y? <R° V6i diéu kien f| fy)a* yy" =f] fona*y",, = 0 ()

Ta có: 5 >

ox” Oy”

V ayer? (x, y) =Ø%w,y)—-U |, L ,„ _ge~ Ø Œ, Y) _,=gŒ,y)

Ví dụ 6 Giải bài toán sau

=— —rcos2g + —rsin2g+ —r'sin2g + —r'sin 4g

15 Giải tương tự các ví dụ trên ta có nghiệm của bài toán đã cho là

1 3

Ur, p—) =2+ ; r?cos 2ø — Gr ~57)sin 2ø + giác0s 4ø

Ví dụ 8 Giải bài toán sau

la x Oy vety<l (1)

xẻ +y =I Giải tương tự các ví dụ trên ta có nghiệm của bài toán là

1

5

U(r, g) = ar 2T cos 2Ø — arcos 49+ 2rsin g — 2r`sin 9

II BAI TOAN HON HOP TONG QUAT

Tim nghiém U(x, t) của phương trình

Giải phuong trinh (3) X"(x) + 2 X(x) = 0

Phương trình (3) là phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số, hằng số

Phương trình đặc trưng của (3) là #?+ 4 = 0 suy ra &? = -A

17 suy raad=b=0

X(0)=b=0

lấn arxe=o

Do d6 X(x) = 0

Vay U(x, t) = 0 là nghiệm tầm thường

Nếu 2> 0 Khi đó nghiệm tổng quát của (3) là

2,2

Các giá trị 4= = thoả mãn điều kiện nghiệm của phương trình (3) là nghiệm không tâm thường được gọi là các giá trị riêng, tương ứng với giá trị

riêng X(x) được gọi là hàm riêng

Hàm X(+) phụ thuộc vào #, vì vậy ta ký hiệu là X,(x) va c, ky hiéu 1a c, Khi

Dat w@ =a* = suy ra 7") + ø?7ứ)=0

Nghiệm tổng quát của phương trình này là

1,0) = D,cos øf+ E,sin øí

Hay

T(t) = D,cos at + E, sin at

18

Vậy phương trình (1) có nghiệm là

Ux, 0) = X©) T,ữ) = C,sin WD, cos r 7 at + E, sin “áp

= (A,cos at + B,sin ““apsin Ty

trong đó A,= C,D,, B, = C,E, là những hằng số

Những nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (c) và (d)

Như vậy, nếu bài toán 1 có nghiệm thì nghiệm đó phải được biểu diễn bởi

công thức (6) Trong đó A, va Öö, được xác định theo công thức (7) và (8)

Theo kết quả đã biết đối với chuỗi Fourier cua ham g(x) va ự (x) cho trên

đoạn [0, ¢] thì để bài toán 1 có nghiệm biểu diễn bởi (6), (7), (8) các hàm g(x)

và (+) chỉ cần thoả mãn các điều kiện sau:

ø{x), x e[0, £] có đạo làm liên tục đến cấp 2 và thoả mãn

Ta tim nghiệm của bài toán dưới dạng

U(x, t) = > (A, cos Am + B, sin KZ at) sin kay

Với a= 1; £ =7 thay vào ta được

U(x, t) = » (A, cos k£ + Ö, sin k£)sin kx

Sr (x0) = Y kB, sin ke = 0 , Suy raB, k=l = 0; Vk > 0

Vay nghiệm của bài toán là

U(x, 0) = 2 cos t sin x

Vi dụ 2 Tìm nghiệm của bài toán

Ta tìm nghiệm của bài toán dưới dạng

U(x, th= » (A, cos 2kt + B, sin 2kt) sin kx

=B,=-L [ C2sinx+8 kZ ÿ sin 2x) sin kxdx

g=-LỊ 2 sin x sin kxdx + Ỉ 2 sin 2x sin kx dx kZ 0 kZ ọ

22

Néu k # l1; k #2 thì ta có

B,=-A,+ + Ỉ cos (#~—2)xdx— Ê | cos (k + 2)xdx

Vậy nghiệm của bài toán sẽ là

U(x, t) = (cos 2t — sin 2f)sin x + 2 sin 4¢ sin 2x

Vi du 3 Tìm nghiệm của bài toán

Ou _ Ou

ô? x?

tho’ ma U(x,0) = sin* x 0<x<

oa man: yy(y,0) = 3sin x + 4sin 2x x>z

U(0,t) =0

t>0

U(a,t) = 0

Giải

Giải tương tự các ví dụ trên ta có nghiệm của bài toán đã cho là

UŒ, Ð)= Co + 3sin/)sin x + 2sin2/sin2x — 2°053/sin3x

Ví dụ 4 tìm nghiệm của bài toán sau

or ôy thoả mãn:

23

Giai Giải tương tự các ví dụ trên ta có nghiệm của bài toán đã cho là

U(x, t= cos! sinx + (2sin - cosSf 5 sin 3x

_32 Qạ ÓÉ + DZ „vn (2 + De

7# k=0

3.2 Bai toan 2

24 Tìm nghiệm của phương trình

Ta tìm nghiệm của bài toán 2 dưới dạng

Suy ra Š [T,"ứ) + ae YT ,(t)|sin ey = fix, 0)

Khai triển hàm f(x, #) thanh chuéi Fourier theo sin Sự tacó

ƒœ,ÐĐ=® f0) sin x, với ƒ;() là hệ số Fourier của hàm ƒ,(x, 1)

T(t) = 2) [sn @,(f— z)[7(x,z)sin IF ae

Thay 7,() vừa tìm được vào (2.6) ta được nghiệm của bài toán 2

Điều kiện để bài toán 2 có nghiệm biểu diễn bởi (2.6) thì điều kiện đặt ra với hàm ƒx, /) là có đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục theo x và thoả mãn

ƒ(0.)=ƒ+.t®)=0

Ví dụ Tìm nghiệm của bài toán

Ou = —tx(x- 1 Ou ot? ax? +x@r- 1)

(vi f,() khong phu thudc vao 7)

Suy ra Tứ) = fo fo —sinkCz =9 dứ - = apf cos k(z — f) ọ

3.3 Bài toán hỗn hợp tổng quát

Tìm nghiệm của phương trình

Oru > Oru

ar a zy = fix, 0)

Thoa man điều kiện đầu và điều kiện biên

Ta dat: U(x, t) = v(x, 1) + a(x, + U(x, 0)

Với v(x, ?) là nghiệm của bài toán 1 thay ø, ự bởi ÿ, ự”

Trong d6 g(x) = @x) - U(, 0)

y (x)= v(x) -U, @, 0)

Và ø(x, ?) là nghiệm của bài toán 2 thay f(x, A) bdi f(x, A)

trong do: f(x, ?) = fx, ) - (Uy - aU" ,,) thoả mãn điều kiện:

@(x,0) =0

ø(0,£)=0 ø(f,f)= 0

Khi đó nghiệm của bài toán hỗn hợp là

Tương tự bài toán 1 của Ï ta có

trong d6 C, =A,B,

Tìm nghiệm của bài toán dưới dạng

2/22 akan

30

4&= l1 kt 42+

U(x, t) Le sin > sin &7tx

Ví dụ 2 Tìm nghiệm của phương trình

Ta tim nghiệm của bài toán dưới dạng

Uw, p= >, C,e°* ‘sin 2kx

(2.5)

3 Bài toán hỗn hợp tổng quát

Tìm nghiệm của phương trình

liên tục trong miền 0 <x<¿; 0<¡<T

'Thoả mãn các đều kiện

U(x, 0) = +) 0 <x</

U(O, t) = u(t) O<t<T U(¿ th = v(t) 0</<7 Các hàm +); ¿(); vŒ) được giả thiết là khả vi liên tục và thoả mãn các

điều kiện

QO) = (0)

A 4) = v(0)

Tương tự với bài toán hỗn hợp tổng quát của phần I

Ta dat: U(x, ) = 0) + “0 -u(t).

33 Khi đó nghiệm của bài toán là

UG, 0) = ví, 0) + ø@(x, ?) + Ư, f)

trong đó v(, /), ø (x, /) lần lượt là nghiệm của bài toán 1 và bài toán 2

4 Cuối cùng xét 1 trường hợp đặc biệt sau đây mà có thể dùng được

phương pháp tách biến để tìm nghiệm

Tìm nghiệm U(+, f) liên tục và giới nội khi £ > 0 thoả mãn phương trình

trong đó A, 8 là hằng số phụ thuộc vào 2

Vậy U(x, t)= et [A(A) cosAx + BA) sin Ax]

Lay tich phan ham U(,, ?) theo 4 từ —œ đến + ta thu được

Uặ, 0= J &**[AQycosa x + BQ) sin Ax|dx

—œ

Cho t = 0 từ (4.2) ta có

UŒ, 0) = Ø(x) = J [A(A)cos 4 x + B(A) sin Ax] dx

34

ti rong d6 A(A) = 2 j @(¿)cos rXEdE ⁄ _ TL

ph BQ) = a | Ø(£)sin x£ dế

35

KET LUAN

Khoá luận đã thu được một số kết quả sau:

Trong mục 2 chúng tôi đã nêu lên và giải bài toán Đirichler trong hình tròn

Trong mục 3 chúng tôi đã trình bày cách giải bài toán hỗn hợp tổng quát

Trong mục 4 chúng tôi đã sử dụng phương pháp tách biến để giải một số bài toán phụ để đi đến phương pháp giải bài toán phương trình truyền nhiệt

Trong từng mục chúng tôi đều đưa ra các ví dụ minh hoạ và giải chỉ tiết các

ví dụ đó

36

TAI LIEU THAM KHAO

riêng, tài liệu lưu hành nội bộ

[2l — Nguyễn Thừa Hợp, Giáo trình phương trình đạo hàm riêng - Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2001