Một số bài toán trong lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn

Một số bài toán trong lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn d.. - Mục tiêu: Lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỐNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, TS Lê Còng Lợi,

NCS Hà Thị Ngọc Yên, ThS Nguvễn Quốc Tuấn,

CN Lê Huv Hoàng, CN Đoàn Duv Hài

HÀ NỘI - 2006

2.2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân

2.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân

1 B Á O C Á O T Ó M T Ắ T

a Tên đê tài , mã số.

Một số bài toán trong lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn

d Mục tiêu và nội dung nghiên cứu.

- Mục tiêu: Lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân đại số được các nhà nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng trên thế giới đặc biệt quan tâm trong khoảng thời gian 25 năm trớ lại đây Một số trường phái nghiên cứu tiêu biểu đã được hình thành ở Mỹ (Gear, Petzold, Campbell, Rheinbold), Đức (Maerz, Kunkel, Mehrmann, Lubich), Thụy Sỹ (Hairer), Nga (Bojarincev, Chistyakov), .w Nhiều bộ chương trình phần mềm đã được xây dựng và áp dụng hiệu quả vào các bài toán công nghệ và kỹ thuật trong các dự án công nghiệp ớ các nước tiên tiến, ví dụ như các bài toán điều khiển tối ưu, bài toán mô phỏng mạch điện tử, mô phỏng hệ cơ học nhiều vật và một số bài toán tính toán khoa học khác.

Tại khoa Toán — Cơ — Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG

HN, từ cuối những nãm 90, một nhóm nghiên cứu vể phương trình vi phân đại số

đã được hình thành (GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, TS VQ Hoàng Linh, TS Lê Công Lợi) Trong 5 năm vừa qua chúng tôi đã thực hiện 2

đề tài cấp ĐHQG về lTnh vực này Các kết quả đã được trình bày tại nhiều hội nghị khoa học trong và ngoài nước Hơn 15 bài báo khoa học đã được công bố, trong đó nhiều bài báo được đăng ờ các tạp chí quốc tế có uy tín như J Differential Equations, Applied Numerical Mathematics, Systems & Control Letters, IMA J Mathematical Control and Information, J Difference Equations Applic., J Math Analysis Applic., Advances in Difference Equ., w Đê tiếp

cận các hướng nghiên cứu hiện đại trên thê giới, từ nhiều năm nay chúng tôi đã duy trì một seminar về phương trình vi phân và tính toán khoa học Ngoài mục tiêu chính là đạt được các kết quả khoa học có chất lượng, chúng tôi cũng hướng tới việc bồi dưỡng, đào tạo các sinh viên, học viên cao học, và lớp cán bộ trẻ có năng lực trong lĩnh vực Toán học tính toán và Toán ứng dụng thành những cán

bộ khoa học có chuyên môn tốt, đảm nhận được công tác đào tạo và nghiên cứu khoa học, đổng thời đóng góp vào việc nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân đại số.

- Nội dunẹ: Phương trình vi phân đại số cấp 1 có dạng tổng quát:

trong đó ma trận Jacobi của f theo biến thứ nhất được giả thiết là suy biến Dạng tuyến tính của (1) có thể viết như sau:

E(t)x’(t)+A(t)x(t)=q(t) (2) Chúng tôi cũng quan tâm đến hệ thời gian rời rạc

Enxn+I+Anxn=qn (3) cũng như các trường hợp hệ (2-3) với hệ số hằng Nội dung nghiên cứu của đề tài gồm các vấn đề chính như sau:

1 Tính ổn định vững của hệ PTVPĐS với hệ số hằng có chứa tham số bé: tính ổn định của hệ khi ma trận dẫn có chứa tham số bé, dáng điệu tiệm cận của bán kính ổn định phức khi tham số tiến đến 0.

2 Bán kính ổn định và tính ổn định vững của phương trình (2): xây dựng công thức tính bán kính ổn định, mở rộng lý thuyết số mũ Bohl, khảo sát

sự phụ thuộc của tính ổn định vững vào dữ liệu của bài toán Chúng tối đã

có một số kết quả ban đầu trong hướng nghiên cứu này và đã được nhận đăng ở tạp chí J Differential Equations, một trong những tạp chí toán học hàng đầu trên thế giới (theo các số liệu thống kê mới nhất, tạp chí này được xếp hạng thứ 22 trong số trên 500 tạp chí toán học lý thuyết trên thế giới).

/ Tình hình kinh p h í của đề tài (hoặc dự án)

Kinh phí 20 triệu đồng đã chi vào các mục như sau:

1 Thanh toán dịch vụ công cộng: 800.000đ

2 Vật tư vãn phòng: l.OOO.OOOđ

3 Thông tin liên lạc: l.OOO.OOOđ

4 Hội nghị: l.OOO.OOOđ

5 Công tác phí: 5.000.000đ

6 Thuê mướn: 10.000.OOOđ

7 Chi phí nghiệp vụ chuyên môn: 1.200.000đ

T R Ư Ờ N G ĐẠI H ỌC K H O A H Ọ C T ự N H I Ê N

K H O A Q U Ả N LÝ ( Ký và ghi rõ họ tên)

C H Ủ T R Ì Đ Ể TÀI (Ký và ghi rõ họ tên)

7

3 Các tính chất định tính của hệ (3) : tính khả qui và hệ tuần hoàn, mờ rộng các định lý cổ điển như Erugin, Floquet, vv; phương pháp hàm Lyapunov khảo sát tính ổn định của hệ; mối liên hệ giữa hệ thời gian liên tục và hệ rời rạc nhận được khi rời rạc hóa; ứng dụng trong lời giải số của phương trình vi phân đại số và phương trình đạo hàm riêng đại số.

e Các kết quả đạt được.

B i i báo khoa học (còng bô ở tạp chí và kỷ yếu hội thảo khoa học):

1 N.H Du, V.H Linh, On the robust stability of implicit linear systems containing a small parameter in the leading term, IMA Journal on Mathematical Control and Information , 23(2006), 67-74 .

2 P.K Anh, H.T.N Yen, Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference systems, J Math Analysis Appl., 321(2), 2006, 921-929.

3 V.H Linh, N.H Du, Stability radii for linear time-varying differential algebraic equations and their dependence on data, in: ObeiM’olfach Report 18/2006 , MFO Workshop on Differential Algebraic Equations, April 16-22,

2006, Oberwolfach, Germany, 43-45.

Báo cáo tại hội nghị khoa học:

1 Hội nghị Quốc tế về Phương trình vi phân đại số, Oberwolfach, Germany, 16-22/4/2006, người báo cáo: V.H Linh, tên báo cáo: Stability radii for lineơr time-varying differential algebraic equations and their dependence

on data. (báo cáo mời)

2 Hội nghị khoa học Khoa Toán — Cơ - Tin học, 7/10/2006, người báo cáo:

Vũ Hoàng Linh, tên báo cáo: Exponentiơ! stability and stabiỉity radii for time-varvinq differentiơl-aloebrơic equations.

3. Hội nghị khoa học Khoa Toán — Cơ - Tin học, 7/10/2006, người báo cáo: Phạm Kỳ Anh, tên báo cáo: Some recent results on singular difference equations.

Đào tạo đại học và sau đại học: 6 luận vãn đại học, 4 luận văn cao học 1 NCS (chuẩn bị bảo vệ)

/ Tình hình kinh p h í của đề tài (hoặc dự án)

Kinh phí 20 triệu đồng đã chi vào các mục như sau:

1 Thanh toán dịch vụ công cộng: 800.000đ

2 Vật tư văn phòng: l.OOO.OOOđ

3 Thông tin liên lạc: l.OOO.OOOđ

4 Hội nghị: l.OOO.OOOđ

5 Công tác phí: 5.000.000đ

6 Thuê mướn: 10.000.OOOđ

7 Chi phí nghiệp vụ chuyên môn: 1.200.000đ

T R Ư Ờ N G ĐẠI H ỌC K H O A H O C T ự N H I Ê N

K H O A Q U Ả N LÝ ( Ký và ghi rõ họ tên)

C H Ủ T R Ì Đ Ể TÀI (Ký và ghi rõ họ tên)

2 ABSTRACT

a Project's title. Some problems in the qualitative theory and numerical

analysis of differential-algebraic equations and implicit difference equations Code: QT-06-

b Project's supervisor. Dr Vu Hoang Linh

c ProịecCs members. Prof.Dr Pham Ky Anh, Prof.Dr Nguyen Huu Du, Dr Le Cong Loi, Ha Thi Ngoe Yen, Tran Quoc Tuan, Le Huy Hoang, Doan Duy Hai

d Objective and content o f the proịect.

In the project we consider the differential equation of general form

2 Stability radii and robust stability of time-varying system (2): we aim to propose a ĩormula of the stability radii to extend the well-known Bohl theorv for differential-algebraic equations, and to analyse the data-dependence of the stability radii.

3 Stability of difference system (3) : our main problems and objectives are reducibility and Erugin’s Theorem, periodic systems and Floquet’s Theorem; the Lyapunov function method for the stability analysis; and relations betvveen qualitative properties of continuous-time system (2) and discretized system of form (3).

e Main resuỉts o f the projects.

Publications (in journals and conĩerence proceedings):

1 N.H Du, V.H Linh, On the robust stability of implicit linear systems containing a small parameter in the leading term, IMA Journal on Mathematical Control and ỉnỊormation , 23(2006), 67-74.

2 P.K Anh, H.T.N Yen, Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference systems, J Xĩath Anal Appl., 321(2), 2006, 921-929.

3 V.H Linh, N.H Du, Stability radii for linear time-varying differential algebraic equations and their dependence on data, in: Oberwolfach Report

ỉ 812006, MFO VVorkshop on Differential Algebraic Equations, April 16-22,

2006, Oberwolfach, Germany, 43-45.

Lecture at conference and vvorkshop:

1 MFO Workshop on Differential-Algebraic Equations, Oberwolfach, Germany, 16-22/4/2006, speaker: V.H Linh, title: Stability radii for linear time-varyìng differential algebraic equations and their cỉependence on data

(invited lecture)

2 Conference of Faculty Mathematics, Mechanics and Iníormatics, 7/10/2006, speaker: V.H Linh, title: Exponenticil stability ancỉ Sỉabilitỵ raclii for tinie-vcirxin° clijferential-algebraic equations.

3 Conĩerence of Faculty Mathematics, Mechanics and Informatics, 7/10/2006, speaker: Phạm Kỳ Anh, title: Sorne recent results on sinẹular difference equations.

Education and training: % B.Sc theses, 4 M.Sc Theses, 1 Ph.D Thesis

Một số bài toán trong

lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân đại số

và phương trình sai phân ẩn

Lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân đại

số được các nhà nghiên cứu lý thu vết và ứng dụng trẽn thế giới đặc biệt quan tâm trong khoảng thời gian 25 năm trở lại đây Nói một cách nôm na, phương trình vi phân đại số là một hệ hỗn hợp phương trình vi phân và phương trình đại số Như vậy, lời giải bài toán bao hàm cả phép tính tích phân và phép tính vi phân Nhiều khi phần phương trình vi phân chưa được giải ra tường minh theo đạo hàm và phần ràng buộc đại số dược "ẩn" trong hệ Dây là nguyên nhân khiến việc nghiên cứu định tính cũng như giải số bài toán gặp khó khăn Một số trường phái nghiên cứu tiêu biểu được được hình thành ở Mỹ (Gear, Petzold Campbell Rheinbold), Dức (Maerz Kunkel, Mehrmann Lubich), Thụy Sỹ (Hairer) Nga (Bojarincev Chistyakov) vv Nhiều bộ chương trình phần mềm

đã được xây dựng và áp dụng hiệu quả vào các bài toán công nghệ và kỹ thuật trong các dự án công nghiệp ở các nước tiên tiến, ví dụ như các bài toán điều khiển tối ưu trong công nghiệp, bài toán mô phỏng mạch điện tử mô phỏng hệ cơ học nhiều vật

và một số bài toán tính toán khoa học khác, xem [13.5] Trong

đề tài này chúng tôi cũng khảo sát phương trình sai phân ẩn hav

là dạng rời rạc tương ứng của phương trình vi phân đại số Lớp phương trinh này xuất hiện nhiều trong các mô hình kinh tế và

xã hội cũng như trong quá trình giải số phương trinh vi phân đại

số và phương trình vi phân đại số đạo hàm riêng.

Mục tiêu chính của chúng tôi khi thực hiện đề tài QT 06-02 là Iighiên cứu một số bài toán trong lý thuyết PTVPĐS và PTSP

ẩn, cụ thể là những bài toán mà nhóm nghiên cứu của chúng tôi

đã quan tâm và có một số kết quả ban đầu trong thời gian 5 Iiăm

2 Bán kính ổn định cho hệ PTVPĐS tuyến tính chỉ số 1 với

hệ số biến thiên dạng

E { t ) y ' ự ) = A ( t ) y ( t ) ,

trong đó hàm ma trận E ( t) suy biến với mọi t. Chúng tôi đã xây dựng công thức tính bán kính ổn định cho hộ trcn đồng thời khảo sát sự phụ thuộc của tính ổn định vững vào dữ liệu của bài toán.

3 Lý thuyết Floquet cho hệ sai phân tuyến tính an dạng

A n X n + l -f- B n x n — CỊn i

trong đó ma trận A n suy biến với mọi n. Chúng tôi chứng minh rằng mọi hệ sai phân chỉ số 1 đều có thể đưa về dạng chính tắc Kronecker định nghĩa tính khả qui và mở rộng định lv cổ điển Floquet cho hệ sai phân tuần hoàn Như một ứng dụng, tính 011

định rủa hệ tuần hoàn phi tuyến cũng được đề cập.

Các kết quả nghiên cứu của đề tài đã được trình bày tại

• Xemina "Giải số phương trình vi phân", Khoa Toán-Cơ-Tin học, 2/2006-11/2006,

• Hội nghị kv niệm 50 năm thành lập Khoa Toán-Cơ-Tin học

Kết quả của đề tài đã dược công bố trong 3 bài báo khoa học (1-1 bài trong các tạp chí quốc tế IMA Journal on Mathematical Control and Information - Nhà xuất bản Đại học Oxfonl và tạp chí .ĩournal on Mathernatical Analysis and Applications - Nhà xuất bản Elsevier 1 bài trong kỷ yếu hội nghị quốc tế về PTYPĐS của Viện Toán học Ober\volfaeli CHLB Dức).

Chúng tôi xin trân trọng cám rtn Dại học Quốc gia Hà Nội trường Đại học Khoa học Tự nhiên Phòng Khoa học - Công nghệ,

và Khoa Toán - Cơ - Tin học đã tao điều kiện đe chúng tôi thực hiện đề tài này.

số nhỏ Trong phần lớn của nghiên cứu này, ma trận dẫn (khi chưa bị nhiễu) E suy biến nhưng

Giả thiết A l Cặp { E , A } chính qui, có chỉ số 1 và ôn dinh tiệm

cận.

Tính on định tiệm cận cửa một cập ma trận { E A } có nghĩa rằng tất rả các giá trị riêng hữu hạn (nghiệm của đa thức đặc trưng det X E — A) đều có phần thức âm Câu hỏi thứ nhất đặt

ra là với điều kiện nào của F thì hộ (2.1) ón định tiệm cận với mọi £ đủ nhỏ ?

Trong các ứng dụng thực tế ma trận hệ số A thường chịu tác (lộng của nhiều không xác định Xét hệ có nhiễu

( E + sF)y'ụ-) = Í.4 + B A C ) y ( x ) (2.2) Trong (2.2) ma trận A là nhiễu chưa xác định, các ma trận B <E C"xp c 6 C'/x" xác ctịnli cấu trúc của nhiễu Ta có định nghĩa bán kính 011 định cho hệ (2.1) đối với (2.2) như sau

Đ ịnh nghĩa 1 Bán kính ôn dinh (phức) của hệ (2.1) đối VỚI

r { E + s F A : B C ) = mf { II A|| A E c pỵq và (2.2) không ô.ả.t.c }

(2.3) Chuẩn được- sử dụng là chuẩn ma trận tương thích với chuẩn véc

tơ bất kỳ Chú ý rằng nhiễu có thể làm mất tính chính qui của cặp ma trận hệ số Khi đó, dương nhiên khống thể Iiói gì về tính

011 định của hệ Công thức của bán kính ổn định cho hộ chì số

1 đã được xây (lưng trong [24.6 và cho hệ chỉ số bất kỳ trong

12

[8,9] Hinrichsen &z Prithchard trong [16] đã chỉ ra rằng, đối với

hệ hiển E = I. bán kính ổn định phụ thuộc liên tục vào ma trận

hệ số A. Câu hỏi thứ hai đặt ra ở đây là bán kính ổn định phụ thuộc như thế nào vào ma trận dẫn? Hàm r ( E + sF A: B C) có tiến đến r ( E , A\ B , C) khi £ tiến đến 0 ? Vì £ có giá trị nhỏ, việc tính toán r { E + cF, A \ B , C ) thường dẫn đến bài toán đặt không chỉnh Vì thế một công thức tiệm cận của r ( E + £F, A; B C) có

ý nghĩa trong cả lý thuyết và tính toán.

Trước hết chúng tôi nhắc lại kết quả về bán kính ổn định cho

ớ đây, ilR kỷ hiệu trục số ảo trong mặt phẳng phức.

Dưới sự tác động của tham số c cấu trúc đại số (chỉ số số giá trị riêng hữu hạn) có thể thay đổi Chỉ số của cặp ma trận hệ số trong (2.1) cũng c:ó thể trở thành lớn hơn 1 Tuy nhiên khi đó bán kính ổn định của hệ thường bằng 0 trừ trường hợp nhiễu ở

vế phải có cấu trúc đặc biệt Vì thế chúng tôi phân loại và chỉ quan tâm đến các trường hợp sau.

C l C hỉ số th a y đổi: Chỉ số của { E + z F A } thay đổi từ

0 sa ng 1 khi £ b ằ n g 0 nói cách khác, tồ n tại C() > 0 sao cho

ind e x { E + s F 4} = 0 với mọi c , 0 < £ < í ( j nhưng index{£ .4} = 1 Đương nhiên, sự thay đoi về chỉ số kéo theo sự thay đổi về hạnơ của ma trận dẫn.

C2 H ạ n g m a tr ậ n dẫn th ay đổi: Chỉ số cua { E + sF. *4} luôn bằng 1 với mọi c đủ nhỏ và 5 = 0: Tuy nhiên, hạng của

[E + s F ) là hằng số và khác với hạng của E khi c > 0 đủ nhỏ Diều này có nghĩa lằng một số giá trị riêng hữu hạn sẽ biến mất khi £ bằng 0.

C3 C ấ u t r ú c đại số không đổi: Chí số của cặp ma trận hệ

số cũng như hạng của ma trận dẫn không thay đổi khi £■ đủ Iihỏ

và bằng 0 Khi đó nhiễu z F được gọi là Iihiễu cho phép, xem [G\

13

Hai trường hợp đầu được gọi là bài toán nhiễu kì dị, còn trường hợp cuối là bài toán nhiễu chính qui.

Để đơn giản, chúng ta xét hệ (2.1) ở dạng khối Không mất tổng quát, giả sử

trong đó E n không suy biến Điều kiện in d e x ịE , A ) = 1 tương đương với tính khả nghịch của Aọ2. Hơn nữa, chúng ta cũng giả thiết rằng các ma trận xác định cấu trúc nhiễu có dạng

Chúng ta giả thiết thêm như sau.

Giả th iế t A2 Ma trận F- 2 2 không suy biến.

14

Giả th iết A3 Các cặp ma trận {F 22 - A 22 } và { E \ \ , A ị \ —A \ 2 A 0} A ọ \}

ổn (lịnh tiệm cận.

Chúng ta có thể chứng minh rằng các điều kiện trên không phụ thuộc vào quá trình biến đổi các ma trận về dạng khối thưa như đã trình bày ở trên Hơn nữa các điều kiện Iiày đủ dể đảm bảo tính ổn định của hệ (2.2).

M ệnh đề 4 Giả sử A 1 - A 3 đúng Khi đó hệ (2.1), (2.5) ôn định với mọi £ đủ nhỏ nói cách khác, tồn tại c > 0 sao cho ơ { E +

ơ { E + eF, A } = {X !(£),A2(e) A„1+n2(c)}.

Khi đó, Iiếu các giá trị riêng của { E + s F , A ) dược sắp xếp một cách thích hợp ta có

15

2.1.2 Trường hợp hạng ma trận dẫn th a y đổi

Trong phần này thay cho A2 chúng ta có giả thiết sau.

Giả thiết A 2 # Ma trận F có dạng tam giác khối, có nghĩa rằng

F 2 \ (hoặc F i 2 ) là m a trận 0 và ỉndex{Fo 2 , ^ 22 } —

1-Tương tự như trường hợp trước, chúng ta có các kết quả sau.

M ệnh đề 5 Giả sử A1.A2&, và A 3 đúng Khi đó với mọi c đá nhỏ , cặp { E 4- e F , A } có chí số 1 và ôn đinh tiệm, cận, có nghĩa rằng, tồn tại ĩ sao cho

suy biến và ơ { E + e F , 4} c c - với mọi £ G [0,?].

Định lý 3 Giả sử các giả thiết của mệnh đề trên được thỏa mãn

suy biến với điều kiện nhiễu ĩ F không làm thay dổi cấu trúc dại

số của hệ.

2.2 B á n k ín h ổn đ ịn h của phư ơ ng t r ì n h vi p h â n đ ại số

với hệ số biến thiên

Trong phần này chúng tỏi giới thiệu một số kết quá ban đầu về bài toán ổn định vững của PTVPĐS tuyến tính với hệ số biến thiên dạng

Giả sử E(-) € L'^c{ 0 oc: X'?x" ) có nhản liên tục tuyệt (tối K = {C R}

và A { ‘) € V ỉ £ { 0 dc :K" <n). Ma trận hàm E { t ) suy biến hầu với mọi t > 0 Chúng ta giá thiết (2.8) có toán tử Cauchv cỊ) = {$(Ể, s)}f s >0 ổn định inũ có nghĩa lằng tồn tại các số dương

Lp( 0 oc; K'1) là toán tử nhiễu tuyến tính và có tính chất nhân quả

(causal) Khi đó (2.10) là một lớp phương trình vi phân hàm ví

dụ có thể là phương trình vi phân có chậm, phương trình vi-tích phân, vv Trong các ứng dụng, hệ (2.8) đóng vai trò mô hình lý

th uy ết đ ã được dơn giản hóa còn hệ nhiễu (2.10) là I11Ô hình th ự c

tế.

Bán kính ổn định của một hệ động' lực được định nghĩa như

là giá trị r lớn n h ấ t SAO cho tí n h ổn đ ị n h c ủ a hệ được hảo t o à n

với mọi nhiễu A có chuẩn nhỏ hơn r. Khái niệm này được đưa

ra bởi Hinriehsen and Pritchard r14Ị cho hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng với nhiễu tĩnh (static perturbation không phụ thuộc vào thời gian và đầu ra) Trong các ứng dụng thực tế nhiễu thường phụ thuộc vào bản thân lời giải hoặc đầu ra, ví dụ khi ta tuyến tính hóa một hộ phi tuyến Tính ổn định vững đối với nhiỗu động (dynamic pcrturbation) được xct trong [17] Bài toán về bán kính ổn định cho hệ tuyến tính với thời gian biến thiên được giải quyết trung [19] Bán kính ổn định được II 1 Ớ lộng cho PTVPĐS với hệ số hàng trong [24] và [6].

Mục tiêu chính của nghiên cứu này là mở rộng kết quả của

•Jacob trong [19] cho hệ (2.8) có chỉ số 1 Việc phân tích được dựa trên lý thuyết chỉ số (tractability index) của Griepentrog và Márz [13] Bán kính ổn định của (2.8) đối với (2.10) được định nghĩa và

ký hiệu bằng ry_(E.A: B C ) Khác với trường hợp phương trình

vi phân thường, chúng ta muốn bảo toàn không chỉ tính ổn định

mà cả chỉ số 1 của hệ Chúng ta sẽ xây dựng và chứng minh một cống thức của bán kính ổn định ry_{E A: B C ) biểu diễn bằng chuẩn của một toán tử input-output.

Giả sử Q là một phép chiếu liên tục tuyệt đối (khả vi hầu khắp nơi) lẽn ker E. Dặt p = I — Q. .4 = A + E P ' và G = E - AQ

Giả sử các giả thiết sau.

Giả th iế t A l Hệ (2.8) có chi số 1 và tồn tại M > 0 a > 0 sao cho

chặn ( essentiallv bounded ) trên [O.oc)

Định lý 6 G i ả sứ hệ ( 2 8 ) VỚI hệ số hẵng có chi số 1 v à ôn định tiệm cận Khi dó

Hơn nữa , nếu p — 2, có nghĩa rằng chuẩn Lọ được s ứ dụng, khi

Sự phụ thuộc của bán kính ổn định vào dữ liệu (các hàm ma trận A 13 C) cũng được dề cập trong nghiên cứu này Một số kết quả đã có trước đỏ về bài toán tương tự có thổ tìm thấy trong '15] và [18] cho hệ PTYP thường, trong [11' cho hộ YPĐS với hộ

số hằng Giả sử {Fk(-)}iie^ là một dãy các hàm ma trận đo được

và căn bản bị chặn Xét dãy bài toán

E { t ) x ' { t ) = ( A ( t ) + F k ( t ) ) x ( t ) , t > 0, Ả: =1,2 (2.11)

Giả th iế t A3 Với hàm chiếu Q như trên, các ma trận Gk —

E — (A + Fk)Q khả nghịch hầu khắp và với mọi k. Hơn nữa,

P G ^ 1, Q G ^ 1 and Q ị = —Q G ^ l Ả căn bản bị chặn trên [0 oo).

Định lý 7 Giả sử A 1-3 đúng Hơn nữa, dãy hàm {Fk(-)}keN thỏa

mãn

i ) P G - lFk{-) 6 Li(0 oo; K nxn), v/c

ú') lim ess sup Ế>0|| P ( G ^ 1 — G_1)(í)|| — 0,

iii) lim ess sup f>0|| Q { G ^ 1 — G ~ l )(t)\\ = 0.

k — oc

Khỉ dó dãy hệ (2.11) cũng có các toán tử Cauchy ổn đĩnh mũ và

lim r:<(£\ A + Fk\ B C) = rx ( E A: B C).

/r—oc

Các kết quả trẽn với chứng minh chi tiết đa và đang được công

bố trong các bài báo riêng.

2.3 Lý th u y ế t F lo q u et cho phương tr ìn h sai p h â n ẩ n và

ứng d ụ n g

Trong phần này chúng tôi nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình sai phân ẩn dạng

A / i X n + l “t" B n x n — Ọ,Ị, ( 2 1 2 )

trong đó A„, B„ E R rnxm và Cịn G w Chúng tôi luôn giả thiết

ma trận dẫn 4,, suy biến và có hạng hằng, rank A n = r. (1 <

Khái niệm chỉ số 1 của PTSP tương tự khái niệm chỉ số 1 (tractabil- ity index) của PTVPĐS do Márz đưa ra tuy nhiên sự khác biệt

là ở đây cập ma trận {.4„, B n} không nhất thiết cũng có chí số 1 (theo Iighĩa chỉ số Kronecker) như trong trường hợp PTVPĐS Bây giờ chúng ta xét hệ sai phân nhận được từ hệ (2.12) bàng rách đổi hiến x n = Fn- \ X n- i và nhân cả hai vế của hệ với ma trận E ri, trong đó E n, Fn là các ma trận không suy biến

diag (Ir, O m- r ) x n +1 + diag Im- r ) x n = cịn.

Tiếp theo, chứng tôi sẽ khảo sát tính chất nghiệm của hệ sai phân tuần hoàn.

Định nghĩa 3 Hệ (2.12) dược gọi là tuần hoàn chu kỳ X c N

trong dó P _1 — P.V - 1 là phép chiếu lên s_ V - 1 song song với

ker A - I = ker được gọi là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuần hoàn (2.12).

Chúng ta chứng minh được kết ([Uci chính sau (lây.

Đ ịnh lý 9 Tồn tại ma trận Fn không suy biến, tuần hoàn chu kỳ

i \ và ma trận hằng R € ỈR' X/ không suy biến sao cho ma trận nghiệm cơ bán của hệ tuần hoàn (2.12) với ma trận B„ không suy biến có biêu diễn

x „ = F„_idiag { R" Om- r) F: Ị Vn > 1.

21

Như một hệ quả, chúng ta có kết quả về tính khả qui của hệ sai phân tuần hoàn.

Định lý 10 Phương trình sai phân (2.12) tuần hoàn, chi số 1 với

ma trận B n không suy biến luôn có thê biến đôi về dạng chính tắc Kronecker VỚI hệ số hằng như sau

cliag ự r , O m- r ’ừ n + 1 + d ia g ( - R I m - r ) x n = q„.

Sử dụng các kết quả trôn chúng tôi CÒ 11 khảo sát được một số bài toán phụ khác như bài toán về sự tồn tại cluy nhất nghiệm của phương trình sai phân ấn tuần hoàn và có trễ dạng

2 Dưa ra công thức bán kính ổn định cho phương trình vi

p h â n đại số với hệ số hiến thiên, chứng m i n h m ộ t số kết qu ả về

sự phự thuộc vào (lữ liệu của hán kính ổn định.

3 Nghiên cứu tính chất nghiệm của hệ sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn và có chí số 1 Mở rộng lý thuyết Floquet cho phươnơ trình sai phân án.

4 Tài liệ u th a m khảo

1 R.p Aganvall Difference Equations and Inequaỉities - The- ory Methods, and Applications. Dekker Ne\v York 2000.

2 P.K Anh H.T.X Yen On the solvability of initial value problenis for nonlinear implicit difference equations Aduances Difference Equations. 3(2004) 195-200.

3 K Balla V.H Linh, Adjoint pairs of differential-algebraic equations and Hamiltonian systems, Applied Numerical Math- ematic.s. 53(2005) 131-148.

4 M Bracke On stability rad.il of parametrized linear differenticil- algebraic systems. Ph.D Thesis ưniversity of Kaiserslautern

5 K.E Brenan S.L Campbell L.R Petzolcl Numericaỉ solu- tion of inỉtial valae problems in differential algebrcưc equa- tions. SIAM Philaclelphia 1996.

6 R Byers, N.K Nichols, On the stability radiux of general- ized state-space systems. Linear Algebra Applications 188-

1 8 9 ( 1(J ‘J 3 ) 1 1 3 -1 3 4

7 \ r Dragan The asyniptotic behavior of the stabilitv radius for a singularly perturbed linear svstem Int ■] Robuát and Nonlinear Control. 8(1998; 817-829.

8 N.H Du Stability radii of linear differential algebraic equa- tions Vietnam J Math. 27*1999) 379-382.

9 N.H Du D.T Lien V'.H Linh On complex stabilitv radii for iinplicit discrete time systems Vietnarn -J Math 31(20031) 475-488.

10 N.H Du Y.H Linh Implicit-system approach to the robust stability for a class of singularly perturbed linear systems

Systems Control Lette.rs. 54(2005) 33-41.

11 N.H Du V.H Linh Robust stability of implicit linear sys- tems containing a small parameter in the leading terni ỈMA

J Mathernatical Control InỊormation , 23(2006) 67-84.

12 N.H Du, V.H Linh, Stability radii for linear time-varying differential algebraic equations with respect to dynamic per- turbations J Diỷỷerential Equatỉons. 230(2006) 579-599.

13 E Griepentrơg R Márz Differential Algebraic Equations and Their Numericaỉ Treatment. Teubner Texte zur Mathe- matik 88 Teubner Leipzig 1986.

14 D Hinrichsen,A.J Pritchard Stability for structured pertur- bations and the algebraic Riccati equation Systems Control Letters. 8(1986), 105-113.

15 D Hinrichsen A Ilchmann A.J Pritchard, Robustness of stability of time-varving linear svstems J DiỊỷerential Equa- tions. 82(1989) 219-250.

16 D Hinrichsen A.J Pritchard A note on some differences betvveen complex and real stability raclii Systems Control Letters. 14(1990) 401-408.

17 D Hinrichsen A.J Pritchard Destabilization by output feed- back Dựferential ỉntegraỉ Equations. 5(1992) 2 357-380.

18 A Ilchmann I.M.V Mareels Stability radli fo r slowly tune- ưaryiny systems. in: Advances in mathematical svstem the- orv, Boston Birkháuser ‘2001 55-75.

19 B Jacob A íormula for the stability radius of time-varying systems -J Differential Equations. 142(1998) 107-187.

20 G.A Kurina Singular perturbations of control problems \vith equation of State not solved for the derivative (A survev) J Computer Syste m Sciences Int 31(1993) 17-45.

21 R Lamour R Mărz R v\’inkler Ho\v Floquet tlieory applies

to index-1 clifferential algebraic equations ./ Math Annl

A p p i 217(1998) 371-394.

24

22 V.H Linh On the robustness of asymptotic stability for a class of singularlv perturbed svstems vvith multiple delavs

Acta Mathernatica Yietnamica. 30(2005), 137-151.

23 L.c Loi, N.H Du P.K Anh On linear itnplicit non-autonomous system of difference equations, J DiỊỊerence Equations Appl

8(2002) 1085-1105.

24 L Qiu E.J Davison The stabilitv robustness of general- izecl eigenvalues IEEE Transactions on Automatic Control

37(1992) 886-891.

25 L Qiu B Bernhardsson A Rantzer E.J Davison P.M Young

raclius Automatica. 31(1995) 879-890.

PHU Lưc

IMA J o u rn a l o f M a l h e m a t i c a l C o n lr o l a n d In/ormcilion ( 2 0 0 6 ) 2 3 , 6 7 - 8 4

doi: 1 0 1 0 9 3 / i m a m c i / d n i 0 4 4

Advance A c c e s s p u b l i c a t i o n o n J u lv 2 7 2 0 0 5

On the robust stability of implicit linear systems containing a small

parameter in the lcading term

Ng u y e n Hl t Du a n d Vu Ho a n g L i N H t

F ac u lly o J M a t h e m a t i c s , M ech an ic s a n d In/ormatics, U n iv e r silv o / N a l u n i l S cie nces.

Vietnam ,\rci/ionaI ư n iv e rsity , 334, X g u y e n Trai Street, Thanh Xucm Hanui, rie tn a m

o f s y s t e m s in a larg e n u m b e r o f re s e a r c h papers e.g s e e a tairlv u p -t o -d a te list o t ' r e t c r e n c e s in B r a ck e ( 2 0 0 0 ) A lot o f p r o b l e m s a r i s i n g in a p p lie d lì eld s su ch as m o d e l li n t ỉ e le c t r ic a l c ir c u its, inLilti-bodv

m e c h a n i c s , o p t i m a l c o n t r o l e t c , c a n be d e s c r i b e d by d i í ĩ e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s (t'or short w e

w rite D A E s ; o th er t r e q u e n t ly u s e d n a m e s are im p li c it s y s t e m s , s i n a u la r s y s t e m s , g e n e r a l i z e d s t a t e - s p a c e

s y s t e m s and d e s c r i p t o r s y s t e m s ) \ v h i c h m a y c o n ta in One or se v e r a l s m a l l p a r a m e t e r s as vvel!, s e e Bren an

el al ( 1 9 8 9 ) , S e c t i o n 1.3 a n d K u rin a ( 1 9 9 3 ) In this paper, the robust sta b ility and the s e n s it i v it y d e p e n d -

ine on data for i m p l i c i t li n ea r ti m e - i n v a r ia n t s y s t e m s c o n t a i n i n g a s m a ll p a r a m e t e r w i l l be a n a lv s e d

E x a m p l e 1 C o n s i d e r the c l a s s i c a l s i n s u l a r perturbation p r o b le m

vvhere Vj(.t) e C"', A , ị s C" i, j £ { 1 2 } , and í : is a p a ra m eter (0 < « 1) T h i s is the s i m p l e s t

e x a m p l e for i m p l i c i t s y s t e m s c o n t a i n i n g a sm a ll param eter in the le a d i n g term and it h as b e e n d i s c u s s e d vvidely in the lite rature o f c o n t r o l theorv, e g s e e K o k o t o v i c ei al ( 1 9 8 6 ) D r a a a n & H a l a n a y ( 1 9 9 9 )

N o t e that the l e a d i n g m a t r ix is n o n - s i n g u l a r tor í: > 0 and s i n g u la r for c — 0 A c o n c r e t e n u m e r ic a l

e x a m p l e m o d e l l i n í a v o l t a g e r e g u la t o r c o n t r o l l e d by a s o - c a l l e d c o r r e c t e d n e a r - o p t i m a l State f e e d b a c k

t E m a il: v h lin h @ h n v n n v n

c The aulhor 2005 Published b\ O xto rd t ni\ersitN Press on behall o! Ihe Instilute ot'M alh e m atics and Its A pp licatio ns A ll ri"h ls ressr.ed

6 8

lavv c a n b e t b u n d in K o k o t o v i c ei aỉ ( 1 9 8 6 ) a n d Ọ i u & D a v i s o n ( 1 9 9 2 ) F o r e x a m p l e s in o p t i m a l c o n t r o l

p r o b l e m s d e s c r i b e d b y i m p l i c i t s y s t e m s o t m o r e a e n e r a l t b n n s e e K u r i n a ( 1 9 9 3 ) a n d r e f e r e n c e s c i t e d therei n.

EXA M PLE 2 In g e n e r a l , e n a i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s m a y c o n t a i n s e v e r a l s m a l l p a r a m e t e r s a n d th e o r i a i n a l

e q u a t i o n s m a y b e D A E s a s vvell ( i e t h e l e a d i n g m a t r i x is s i n a u l a r ) C o n s i d e r t h e Circu it k n o u n a s a

l o a d e d d e g r e e - o n e H a z o n y s e c t i o n u n d e r s m a l l l o a d i n s , s e e B r e n a n et al. ( 1 9 8 9 ) T h i s c i r c u i t h a s t i m e - inv ariant l in e a r r e s i s t o r s , c a p a c i t o r s , a c u r r e n t s o u r c e a n d a g y r a t o r T h e r e s i s t a n c e s ar e l a r g e a n d th e

A s s u m PTION A I P e n c i l Ị £ -1Ị is ( a s y m p t o t i c a l l y ) s t a b l e a n d i n d e \ Ị £ , .-I) = 1.

T h e a s v m p t o t i c s t a b i l i t y o f { £ , .-í} m e a n s e x a c t l v t h a t a l l í ì n i t e g e n e r a l i z e d e i g e n v a l u e s o f t h e p e n c i l lie in th e o p e n l e f t h a i r c - o f t h e c o m p l e x p l a n e T h e a l m o s t t r iv i a l s u b c a s e v v h e n E is n o n - s i n2u la r

is trea ted s e p a r a t e l y in S e c t i o n 5 1 It is w e l l k n o \ v n tha t in t h e c a s e o f a s i n g u l a r E t h e a s y m p t o t i c

D e f i n i t i o n 2 S u p p o s e th at {E , A} is r e g u la r T h e n i l p o t e n c y i n d e x o f N in t h e \ V e i e r s t r a s s - K r o n e c k e r tbrm ( 2 2 ) is c a l l e d th e i n d e x o f m a t r i x p e n c i l { £ , A ) a n d w e \v rite i n d e x { £ , A ) = k. I f E is n o n - sin g u la r , w e s e t i n d e x [ E , A ) = 0

a l s o r em a r k tha t, tbr l i n e a r t i m e - i n v a r i a n t s y s t e m s , th e c o n c e p t s o f a s y m p t o t i c s t a b i l i t y a n d e x p o n e n t i a l

s t a b ilit y are e q u i v a l e n t O n e m a y e a s i l y v e r i f y th e f o l l o w i n e s t a t e m e n t

P r o p o s i t i o n 1 T h e s y s t e m ( 2 1 ) is a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e i f a n d o n l y i f t h e m a t r i x p e n c i l { £ } i i ( a s y m p t o t i c a l l y ) s t a b l e , i.e.

o n e , o n l y T h u s , i f w e d o n o t m e n t i o n e x p l i c i t l y , th e s t a b i l i t y r a d i u s w i l l m e a n th e s t m c t u r e d c o m p l e x

o n e F u r t h e r m o r e , t h e s u b s c r i p t c i n t h e n o t a t i o n o f t h e s t a b i l i t y r a d i u s w i l l b e o m i t t e d f o r b r e v it y The

f o l l o w i n g r e s u l t is a n a l o g o u s to t h a t f o r e x p l i c i t l i n e a r s y s t e m s , s e e H i n r i c h s e n & P r i t c h a r d ( 1 9 8 6 b )

P r o p o s i t i o n 2 (Du, 1 9 9 9 , s e e a l s o Qiu & Davison, 1 9 9 2 ; Bvers & Nichols 1 9 9 3 ) Suppose th a t the

matrix pencil {£, A } is regular and asymptoticallv stable Then the complex stability radius of (2.1) has

the representation

Here, iK denotes the imaainary axis of the complex plane Note that the above tbrmula of the stability radius holds not only for the Frobenius norm (see Bvers & Nichols, 1993) and the Euclidean norm (see Qiu & Davison, 1992) but also for anv matrix norm ìnduced by vector nonns.

R e m a r k 1 The matrix function G(s) = C( s E — A)~ B is called the associated transfer matri.x see Hinrichsen & Pritchard ( 1986b) For a non-sinaular matrix E it is easy to verify that

In the case of a singular E bv using the canonical VVeierstrass-Kronecker tbrm (2.2), we vvrite

and easily deduce that Ị:|G(s)|! tends to either a tìnite number (e.g in case k = 1) or iníìnity vvhen

is strictly positive This fact does not hold for a hiaher index system with respect to an arbitrary perturb-

ation structure For example if k > 1 and B — c — ! one mav find that

\vhich implies r ( E , A; B C) = 0.

R e m a r k 2 It is n o t d i í ĩ i c u l t t o s h o \ v th a t in th e c a s e o f i n d e x - 1 s y s t e m s , t h e stabiIit>' r a d i u s i n t r o d u c e d

here has also the structure-preserving property see Qiu & Davison (1992) and Byers & Nichols (1993) That is, under any perturbation of the norrn less than the value of the stability radius, not only the asymptotic stability is preserved but also the index of the penurbed matrix pencil The latter property also implies the degree invariance íor the 2eneralized characteristic polynomial.

C 2 R a n k - c h a n g e c a s e : T h e i n d e x o f { E + i : F, .4 Ị is e q u a l to 1 f o r a ll s u f f i c i e n t l y s m a l l !J a n d i = 0; the rank o f ( £ 4- i : F) is c o n s t a n t t o r all s u t T ic i e n t lv s m a l l , bu t c l i a n g e s w h e n ; b e c o m e s 0 T h i s m e a n s

ON T H E R OBUST STABILITY OF IMPLICIT LINEAR SYSTEMS 73

where E II is non-singular The condition index{£, A) = 1 is equivalent to the non-singularity of -b;- Furthermore, the matrices B c are decomposed ínto block forms as

H e r e , a ll t h e s u b m a t r i c e s a r e s u p p o s e d to h a v e a p p r o p r i a t e s i z e s , e g Ả ị ị h a s t h e s i z e n, X n ị i j = 1, 2 vvhere n \ + m = n l ĩ t h e o r í g i n a l m a t r i x E is n o t o f th e s p a r s e a n d b l o c k f o r m a s in ( 3 1 ), o n e m a v u s e ,

variable \ Ỉ V is a non-singular matrix, then there exist a sufficiently small í.’o > 0 such that

(a) Matrix (V + t:Q) is invertible for all c, 0 ^ t: ^ í.-ộ Furthermore, the norrn of the in\erse matrix

ar e in b l o c k f o r m ( 3 1 ) —( 3 2 ) T h e i n d e x o f { £ , ^4.(/r)} i m p l i e s th a t >4.2 2(-) is i n v e r t i b l e fo r a l l:: £ [ 0 : Ị

U s i n g f o r m u l a ( 2 6 ) fo r c o m p u t i n g th e i n v e r s e o f b l o c k m a t r i c e s , a f t e r s o m e m a t r i x c a l c u l a t i o n s vve arrive at

It is trivial to check the equality n \ E , A) = ơ {£i I, Ả11 — A \ 2 Ả Ĩ 2 Ă 2 \), i.e the second stability

c o n d i t i o n in A s s u m p t i o n A 3 h a s a l r e a d y b e e n p r o v i d e d in f a c t b v t h e s t a b i l i t v o f p e n c i l [ E -í}, s e e

A s s u m p t i o n A l F ir st, w e e s t a b l i s h a s t a t e m e n t o n th e a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f ( 1 1 )

P r o p o s i t i o n 5 A s s u m e th a t A s s u m p t i o n s A 1 - A 3 h o l d true T h e n t h e s y s t e m ( 1 1 ) , ( 3 1 ) is a s y m p t o t i c -

a l ly s t a b l e fo r all s u f f i c i e n t l y s m a l l t , i e t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e n u m b e r ? s u c h th a t r r [ E + c F , .4} c c _ for e a c h p a r a m e t e r i: e [ 0 , ~ |