Phương trình sai phân ẩn phi tuyến với kỹ thuật tuyến tính hóa tt

Cho đến nay, phương trình sai phân ẩn tuyến tính với hệ số hằng dạng Axn+1+ Bxn = fn, trong đó A ∈ Cm×m suy biến, đã được nghiên cứutương đối đầy đủ và tổng hợp trong một số cuốn sách củ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

————————

Hà Thị Ngọc Yến

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN PHI TUYẾN

VỚI KỸ THUẬT TUYẾN TÍNH HOÁ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

————————

Hà Thị Ngọc Yến

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN PHI TUYẾN

VỚI KỸ THUẬT TUYẾN TÍNH HOÁ

Chuyên ngành: Toán học tính toán

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Danh mục các ký hiệu sử dụng trong luận án 5

Mở đầu 6

CHƯƠNG 1 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 12

1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính 12

1.2 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính 14

1.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 15

1.3.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 15

1.3.2 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 17

1.4 PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 19

1.4.1 Khái niệm chỉ số 1 19

1.4.2 Các tính chất cơ bản của PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1 23

1.5 Lý thuyết Floquet 27

1.5.1 Định lý Kronecker 27

1.5.2 Định lý Floquet 33

1.5.3 Định lý Lyapunov 35

1.6 Áp dụng cho PTSP tuyến tính ẩn có chậm với hệ số tuần

hoàn 42

CHƯƠNG 2 PTSP tựa tuyến tính ẩn 45

2.1 Một số định lý tồn tại nghiệm 45

2.1.1 Trường hợp phần chính tuyến tính có chỉ số 1 45

2.1.2 Trường hợp phần chính tuyến tính tựa chỉ số 1 53

2.2 Giải gần đúng bài toán Cauchy cho PTSP tựa tuyến tính ẩn 61 2.3 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn 69

2.3.1 Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần hoàn 69

2.3.2 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn 71

CHƯƠNG 3 PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 77

3.1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1 77

3.2 PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 78

3.2.1 Khái niệm chỉ số 1 78

3.2.2 Một số tính chất của PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 80 3.3 Bài toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 82

3.3.1 Nguyên lý đồng phôi Hadamard 82

3.3.2 Tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 82

3.4 Sự ổn định nghiệm của PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn 88

Kết luận chung 96

Danh sách các bài báo đã được công bố 97

Tài liệu tham khảo 98

MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, phương trình sai phân ẩn là đối tượngđược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm vì nó xuất hiện ở nhiều lĩnh vựckhác nhau trong toán học cũng như trong thực tế ứng dụng Đặc biệt,phương trình sai phân ẩn là kết quả tự nhiên thu được từ việc sai phânhóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại số, lànhững đối tượng được quan tâm nghiên cứu rất nhiều trong thời gian gầnđây

Cho đến nay, phương trình sai phân ẩn tuyến tính với hệ số hằng

dạng Axn+1+ Bxn = fn, trong đó A ∈ Cm×m suy biến, đã được nghiên cứutương đối đầy đủ và tổng hợp trong một số cuốn sách của các tác giả S L.Campbell, L Dai, v.v Điều kiện tồn tại nghiệm và công thức nghiệm củabài toán giá trị ban đầu cho phương trình không thuần nhất đã được thiếtlập Các tác giả cũng thu được kết quả về sự tồn tại nghiệm cho bài toán

điều khiển rời rạc Exk+1 = Axk + Buk, k = 0, N − 1, trong đó E là ma

trận suy biến Tuy nhiên, những kết quả thu được cho phương trình saiphân tuyến tính với hệ số hằng không thể mở rộng trực tiếp cho phươngtrình với hệ số biến thiên

Nhóm nghiên cứu của M Benadbdallakh và A G Rutkas quan tâmđến phương trình sai phân với hệ số hằng trong không gian Bannach vàthu được một số kết quả nhất định như: áp dụng khai triển tiệm cận đểkhảo sát phương trình; đưa ra lời giải cho bài toán giá trị ban đầu; nghiêncứu tính ổn định nghiệm của phương trình thuần nhất từ các đặc trưngcủa phổ của cặp toán tử tuyến tính đóng trên không gian Bannach; từ đóthu được định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình tựa tuyến tínhtương ứng

Các bài toán điều khiển suy biến rời rạc với hệ số hằng, bài toán cónhiễu hoặc có trễ tương ứng cũng được nhiều tác giả quan tâm như Q L.Zhang, W Q Liu, David Hill, X Z Dong, X Ji, H Su, J.Chu, S Ma, Z.Cheng, C Zhang, Liyi Dai, Shengyuan Xu, v.v Nhiều kết quả về phươngtrình sai phân suy biến với hệ số hằng đã được thiết lập và mở rộng chophương trình sai phân có trễ

Nhóm nghiên cứu của Bondarenko và A G Rutkas quan tâm tớimột lớp các phương trình sai phân ẩn với hệ số biến thiên dạng đặc biệt

Tnxn+1+ xn = fn, trong đó Tn là ma trận suy biến với mọi n Họ đã đưa ra

một số kết quả về tính giải được của bài toán giá trị ban đầu và bài toánbiên tuần hoàn cho phương trình này

Từ cuối những năm 90 của thế kỷ XX cho tới nay, nhóm nghiên cứucủa GS TSKH Phạm Kỳ Anh và GS TS Nguyễn Hữu Dư quan tâm nhiềutới phương trình sai phân ẩn và đã thu được một số kết quả nhất định Cáckhái niệm về chỉ số, tựa chỉ số, chỉ số lạ của phương trình sai phân ẩn đượcthiết lập Tính giải được của bài toán giá trị ban đầu cho phương trìnhtuyến tính và phi tuyến cũng như bài toán biên nhiều điểm cho phươngtrình tuyến tính đã được nghiên cứu Hơn nữa, các tác giả đã chỉ ra mỗiquan hệ mật thiết giữa phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1với phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 cũng như sự hội tụ củanghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính tới nghiệm của phươngtrình vi phân đại số tuyến tính tương ứng Thêm vào đó, việc đưa ra đượcdạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass của phương trình sai phân tuyếntính ẩn giúp các tác giả xây dựng lý thuyết Floquet cho phương trình saiphân tuyến tính ẩn, từ đó khảo sát tính ổn định nghiệm của phương trìnhsai phân ẩn chỉ số 1 tuần hoàn tuyến tính cũng như phi tuyến Phươngpháp hàm Lyapunov đã được áp dụng cho phương trình sai phân tựa tuyếntính ẩn chỉ số 1 Công thức tính bán kính ổn định nghiệm của hệ phươngtrình sai phân tuyến tính chỉ số 1 với hệ số hằng có nhiễu cũng đã đượcthiết lập Việc nghiên cứu phương trình sai phân ẩn với chỉ số cao hơn 1mới chỉ được bắt đầu

Phương trình sai phân ẩn tuyến tính ngẫu nhiên

A(ξn)X(n + 1) = B(ξn)X(n) + qn, n ∈ N,

trong đó {ξn : n ∈ N} là dãy độc lập cùng phân phối với giá trị trong không

gian Polish đã được nghiên cứu Từ đó, khái niệm chỉ số 1 và đặc trưng cho

tập các giá trị ban đầu để bài toán Cauchy với điều kiện X(0) = x0 ∈ Rm

có nghiệm được thiết lập Khai triển Furstenberg-Kifer cho phương trìnhsai phân tuyến tính ẩn ngẫu nhiên thuần nhất dạng Furstenberg-Kifer đãđược chứng minh Sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình sai phân

tuyến tính ẩn ngẫu nhiên không thuần nhất với giá trị ngẫu nhiên qn thỏamãn những điều kiện nhất định được thiết lập.

Luận án này được viết dựa trên ba bài báo đã được đăng [1,2,3] vàmột vài kết quả áp dụng từ những bài báo đó Luận án gồm có mở đầu,kết luận chung và 3 chương được phân bố lần lượt như sau:

1 Chương 1 Lý thuyết floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn:Trong chương này, chúng tôi đưa ra định nghĩa chỉ số 1, dạng chuẩntắc Kronecker - Weierstrass và xây dựng lý thuyết Floquet cho phươngtrình sai phân ẩn tuyến tính (trong [2]) Áp dụng kết quả thu đượccho bài toán Cauchy đối với phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ

số 1 và phương trình sai phân tuyến tính ẩn có trễ tuần hoàn chỉ số

1 Điều kiện ổn định nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tínhtuần hoàn chỉ số 1 cũng được thiết lập

2 Chương 2 Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn: Đưa ra khái niệmtựa chỉ số Chứng minh một số định lý tồn tại nghiệm cho bài toángiá trị ban đầu của phương trình sai phân tựa tuyến tính chỉ số 1 vàtựa chỉ số 1 Đưa ra một phương pháp giải gần đúng bài toán giá trịban đầu cho phương trình sai phân tựa tuyến tính chỉ số 1 (trong [3]).Đồng thời, chúng tôi áp dụng kết quả thu được trong Chương 1 đểkhảo sát tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân tựa tuyếntính ẩn tuần hoàn chỉ số 1

3 Chương 3 Phương trình sai phân phi tuyến ẩn: Đề xuất khái niệm chỉ

số cho phương trình sai phân phi tuyến ẩn Thiết lập tính giải đượcduy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (trong [1]) Phần cuốicủa chương khảo sát tính ổn định nghiệm của phương trình sai phânphi tuyến ẩn tuần hoàn chỉ số 1

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1.

Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng

Anxn+1 + Bnxn = qn, n > 0, (1.4.1) trong đó An ∈ Rm×m suy biến với mọi n, Bn ∈ Rm×m, và xn, qn ∈ Rm.

Mệnh đề 1.4.1 Mọi phép chiếu Q từ Rm lên N luôn đưa được về phép

chiếu chính tắc từ Rm lên Rk, tức là tồn tại ma trận khả nghịch V ∈ Rm×m

thoả mãn Q = V ˜ QV−1.

Mệnh đề 1.4.2 Gọi toán tử Qαβ = VαQV˜ −1

β là toán tử nối giữa hai không

gian có cùng số chiều Nα và Nβ (gọi tắt là toán tử nối) Khi đó toán tửnối thoả mãn các tính chất sau:

Định nghĩa 1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn (1.4.1) được gọi

là có chỉ số 1 nếu:

i/ rankAn = r, n > 0;

ii/ Sn∩ ker An−1 = {0}, ∀n > 1, trong đó Sn := {ξ ∈ Rm: Bnξ ∈ imAn}.

Ngoài ra, giả thiết rằng dim S0 = r Gọi A−1 ∈ Rm×m là ma trận thoả

mãn điều kiện S0⊕ kerA−1 = Rm Nếu cặp {A0, B0} có chỉ số 1 thì ta có thể

lấy A−1 = A0 Gọi Q−1 là phép chiếu nào đó lên ker A−1 và P−1 = I − Q−1.

Ta nhận thấy điều kiện ii/ trong Định nghĩa 1.4.3 bây giờ đúng với mọi

n > 0 và toán tử nối Qn−1,n cũng xác định với mọi n > 0.

1.4.2 Các tính chất cơ bản của phương trình sai phân ẩn tuyến

tính chỉ số 1

Trong phần này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất cơ bản củaphương trình sai phân tuyến tính ẩn Các tính chất tương tự đã được P

K Anh, N H Dư, L C Lợi thiết lập trước đó cho trường hợp Qn là phép

chiếu trực giao Ở đây Qn là phép chiếu bất kỳ lên ker An

Mệnh đề 1.4.4 Nếu ma trận Gn = An + BnQn−1,n là ma trận không suybiến thì ta có các đẳng thức sau

Hệ quả 1.4.6 Tính khả nghịch của ma trận Gn = An + BnQn−1,n không

phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu Qn, Qn−1.

Mệnh đề 1.4.7 Giả sử phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.4.1) có chỉ

số 1 và giả sử Qn−1 = Vn−1QV˜ n−1−1 là phép chiếu nào đó lên ker An−1(n > 1).

và ker An−1 = spann

hjn−1

om j=r+1



.

Mệnh đề 1.4.8 Giả sử {En}n>0 và {Fn}n>−1 là hai họ các ma trận khả

nghịch và giả sử phương trình (1.4.1) có chỉ số 1 Khi đó (1.4.1) tương

đương với phương trình sai phân tuyến tính ẩn

¯

Anx¯n+1+ ¯Bnx¯n = ¯qn, (1.4.8)

với ¯An = EnAnFn; ¯Bn = EnBnFn−1; ¯qn = Enqn Hơn nữa (1.4.8) cũng có

chỉ số 1 En được gọi là ma trận tỷ lệ và Fn là ma trận của phép đổi biến

xn = Fn−1x¯n.

1.5 Lý thuyết Floquet

1.5.1 Định lý Kronecker

Trong mục này, chúng tôi sử dụng các tính chất trong tiểu mục 1.4.2

tìm cặp (En, Fn) đưa phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 về dạngđơn giản, dễ giải hơn, từ đó đưa ra kết quả về nghiệm của bài toán giá trịban đầu

Định lý 1.5.1 Mọi phương trình sai phân tuyến tính chỉ số 1 đều có thể

đưa được về dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass

Định nghĩa 1.5.3 Phương trình (1.4.1) được gọi là phương trình tuần

hoàn với chu kỳ N ∈ N nếu N là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn

An+N = An, Bn+N = Bn, và qn+N = qn ∀n > 0.

Do định nghĩa phương trình tuần hoàn, ta khởi tạo A−1 := AN −1.

Một cách tương tự như phương trình vi phân đại số, ta cũng có định nghĩa

ma trận cơ bản của phương trình tuần hoàn (1.4.1)

Định nghĩa 1.5.4 Ma trận Xn ∈ Rm×m thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu

AnXn+1+ BnXn = 0; (1.5.5)

với P−1 = PN −1 là phép chiếu lên SN −1 song song với ker A−1 = ker AN −1,

được gọi là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình tuần hoàn (1.4.1).

Từ dạng chuẩn tắc Kronecker-Weierstrass và tính chất tuần hoàncủa phương trình (1.4.1) chúng tôi chứng minh được định lý Floquet chophương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1

Định lý 1.5.5 Cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn chỉ số

1

Anxn+1 + Bnxn = qn, n > 0,

trong đó Bn khả nghịch Khi đó, tồn tại họ các ma trận tuần hoàn khả

nghịch Fn và ma trận hằng R ∈ Cr×r sao cho ma trận nghiệm cơ bản biểudiễn dưới dạng

lý 1.5.5, chúng tôi chứng minh được định lý Lyapunov dưới đây

Định lý 1.5.6 Mọi phương trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn chỉ số

1 với Bn không suy biến đều đưa được về dạng Kronecker - Weierstrass với

Định lý 1.5.6 giúp chúng tôi khảo sát sự ổn định nghiệm của phươngtrình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1.

Hệ quả 1.5.7 Nếu mọi giá trị riêng của ma trận R (xác định theo Định

lý 1.5.6) của PTSP tuyến tính ẩn tuần hoàn thuần nhất chỉ số 1 (với Bn

không suy biến ) có môđun nhỏ hơn 1 thì nghiệm tầm thường xn = 0 ổn

định tiệm cận mũ Trái lại, nếu R có một giá trị riêng với môđun lớn hơn

1 thì nghiệm xn = 0 không ổn định

1.6 Áp dụng cho phương trình sai phân tuyến tính

ẩn có chậm

Trong phần này, chúng ta xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính

có chậm với hệ số tuần hoàn dạng

Anxn+1 + Bnxn + Cnxn−n0 = qn (n > 0), (1.6.1)

x−n0+i = γi (i = 0, n0), (1.6.2) trong đó An = An+N, Bn = Bn+N, Cn = Cn+N, qn = qn+N và γi(i = 0, n0)

là các véc tơ cho trước

Định nghĩa 1.6.1 Ta nói phương trình (1.6.1) có chỉ số 1 nếu phương

trình sai phân không có trễ tương ứng Anxn+1 + Bnxn = 0 có chỉ số 1

Định lý 1.6.2 Bài toán giá trị ban đầu (1.6.1), (1.6.2) của phương trình

sai phân tuyến tính ẩn có trễ tuần hoàn chỉ số 1 giải được duy nhất nghiệmnếu các giá trị ban đầu thỏa mãn ràng buộc sau

Anxn+1 + Bnxn+ fn(xn+1, xn) = 0, (n ≥ 0), (2.0.1) trong đó ma trận An suy biến với mọi n, fn : Rm × Rm −→ Rm là hàmvéctơ khả vi theo biến thứ nhất Hơn nữa, giả sử rằng

Từ đây, để ngắn gọn, ta nói phần chính tuyến tính của (2.0.1) có chỉ

số 1 nếu hệ phương trình sai phân tuyến tính (2.1.1) có chỉ số 1 và nói(2.0.1) là phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn có chỉ số 1 nếu (2.0.1)

có hàm fn(y, x) thỏa mãn điều kiện (2.0.2) và phần chính tuyến tính có

chỉ số 1

Dựa vào nguyên lý ánh xạ co, chúng tôi chứng minh được hai định lýtồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tựa tuyếntính mà phần chính tuyến tính có chỉ số 1

Định lý 2.1.1 Giả sử phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1) có

chỉ số 1 và giả sử hàm fn(y, x) thỏa mãn bất đẳng thức

kfn(y, x) − fn(ξ, ζ)k 6 αnky − ξk + βnkx − ζk , (2.1.2) với mọi y, x, ξ, ζ ∈ Rm, với αn và βn là các hằng số không âm Nếu

ωn := αn nG−1n n n−1Vn−1QnG−1n (2.1.3) thì bài toán (2.0.1), (2.0.3) có nghiệm duy nhất.

Những nhận xét dưới đây cho thấy những đòi hỏi đặt lên hàm fn

hoàn toàn có thể thỏa mãn được và lớp các bài toán (2.0.1) thỏa mãn yêucầu của Định lý 2.1.1 không quá hẹp

Định lý 2.1.3 Bài toán (2.0.1), (2.0.3) có nghiệm duy nhất nếu nó thỏa

mãn các điều kiện sau:

i/ Phương trình (2.0.1) có chỉ số 1;

ii/ fn thỏa mãn hai điều kiện

2.1.2 Trường hợp phần chính tuyến tính tựa chỉ số 1.

Trong phần trên, chúng ta đã khảo sát sự tồn tại nghiệm của phươngtrình sai phân tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1 Kết quả này có thể mở rộng cholớp các phương trình sai phân ẩn có tính chất gần giống với tính chất củaphương trình có chỉ số 1 Lớp các phương trình đó được định nghĩa nhưsau

Định nghĩa 2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn Anxn+1+ Bnxn =

qn, n > 0, được gọi là phương trình tựa chỉ số 1 nếu nó thỏa mãn những

tính chất sau:

i/ An suy biến thỏa mãn 0 < rankAn = rn < m, n > 0;

ii/ Với Sn := {ξ|Bnξ ∈ imAn} , thì Sn∩ ker An−1 = {0}, trong đó A−1 được

lấy để thỏa mãn S0∩ ker A−1 = {0}.

Tương tự như phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1, từ địnhnghĩa trên, ta chứng minh được các tính chất cơ bản của phương trình saiphân tuyến tính ẩn tựa chỉ số 1

Xét Qn là phép chiếu nào đó lên ker An, Pn = I −Qn là phép chiếu dọc

theo ker An Do 0 < rankAn = rn < m nên tồn tại Vn khả nghịch thỏa mãn

Qn = VnQ(n)Vn−1 và Pn = VnP(n)Vn−1 với Q(n) = Orn Orn×(m−rn)

O(m−rn)×rn Im−rn

!

,

P(n) = I − Q(n) Với các ký hiệu trên, dùng suy luận và các biến đổi tương

tự như trong chứng minh Mệnh đề 1.4.4, Mệnh đề 1.4.5, ta thu được cáctính chất sau: