Về bài toán biên nhiều điểm cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số 2

ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌ C K H O A HỌC T ự N H IÊN T Ê N D Ề T À I: VỀ BÀI TO Á N BIÊN N H IỀ U ĐIEM c h o p h n g T R ÌN H SAI P H  N SUY B IE N TU Y Ê N t í n h c h ỉ SỐ M Ả S Ố : Q T -0 - C H Ủ T R Ì D Ề T À I: TS LÊ C Ô N G LỢl C Á C C Á N B ộ T H A M G IA : T hS Vũ C ông B ằng OA! H Ọ C Q U O C G IA HA NỌl ?UNG TÂM THÒNG T!N THƯ VIỀN OTỊ AQỆ, HÀ N Ộ I - 2010 M ục lục M ục lục 1 BÁO CÁO TÓM T Ắ T 2 A B STRAC T PHẦN CHÍNH CỬA BÁO C Á O 3.1 Giới t h i ệ u 3.2 Các kết 3.3 Két l u ậ n 11 3.4 Tai liệu tham k h ả o 11 PIỈỰ L Ụ C 13 1 BÁO CÁO T Ó M TẮT a Tên đề tài: toán biên nhiều điểm cho phương trìn h phương trìn h sai phân su y biến tuyến tín h số M ã số: Q T - - b Chủ trì đề tài: TS Lẽ Cơng Lợi c Các cán tham gia: ThS Vũ Công Bằng d Mục tiêu nội dung nghiên cứu - M ụ c t i ê u : Lý thuyết định tính v ề phương trình vi phân phương trình sai phân suy biến dã thu hút qủan tâm nhiều người nghiển cứu lý thuyết ứng dụng thời quan vừa qua, Gear, Petzold, Campbell, Reinbold Griepentrog, Marz, Kunkel, Mehrmann, Lubich, Hairer, Balla Bojarincev, Chistyakov, Dai Bondarenko Rutkas v.v Từ cuối năm thập kỷ 90, nhóm nghiên cứu phương trình vi phân đại số phương trình sai phân suy biến hình thành Khoa Tốn-Cơ-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Dại học Quốc gia, Hà Nội Bước đầu, nhóm nhận dược số kết có ý nghĩa khoa học, có khoảng 25 báo khoa học nhóm cơng bố nhiều tạp chí Quốc tế chun ngành có uy tín Cùng với việc đạt số kết khoa học, bên cạnh nhóm nghiên cứu góp phần đào tạo Cử nhân, Thạc sỹ, Tiến sỹ cho Khoa Toán-Cơ-Tin học thời gian qua Sau nhận rnột số kết phương trình sai phân suy biến tuyến tín.] phi tuyến cho t rường hợp số 1, bước đầu nhận kết thú vị phương trình sai phân suy biến tuyến tính số 2, tính giải cơng thức nghiệm tường minh cho tốn giá trị ban đầu phương trình sai phân suy biến tuyến tính số Dể ‘iếp tục phát triển kết phương trình sai phân suy biến tuyến tím số 2, đề tài tập trung vào nghiên cứu tốn biên nhiều điểm cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính số - N ộ i dung: Nội dung nghiên cứu đề tài bao gồm phần I BÁO CÁO TĨ M TẮ T au: Dưa 1'a điều kiện cần đủ đio tính giải nghiệm tốn biên nhiều điềm cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính số cho hai trường hợp phương trình sai phân suy biến tuyến tính số — ơ-tơ-nơin; - khơng' ơ-tơ-nơm Thiết lập điều kiện cần đủ cho tính giải tốn hai trường hợp Dưa công thức nghiệm tường minh cho toán hai trường hợp X â y clựng số ví dụ minh họa Các kết đạt M ộ t b i báo kh o a học gửi đăng L c Loi On m ultipoint boundary value problems fo r index-2 linear singular difference equations 25 pages T ìn h hình kinh phí đề tài Kinh phí 25 triệu đồng chi vào mục sail: Vật tư văn phịng: ‘2.000.000 đồng Thơng till liên lạc: 2.000.000 đồng Hội nghị: 5.000.000 (lồng Thuê mướn: 14.000.000 (tồng C hi phí nghiệp vụ chuyên môn: 2.000.000 đồng KHO A Q U Ả N LÝ CHỦ THÌ DỀ TÀI Khoa Tốn-Cơ-Tin học TRƯ ỜNG DẠI HỌC KHO A HỌC T ự NHIÊN m ó MIỀU TSiiỏNG A B S T R A C T A B ST R A C T a Project’s title: On multipoint boundary value problems for linear index-2 singular difference equations Code: QT-09-04 b Project’s supervisor: Dr Le Cong Loi c Project’s members: Vu Cong Bang cl Objective and content of the project: This project deals with a careful analysis of index-2 linear singular differ­ ence equations with both constant and varying coefficients cases, multipoint boundary value problems for these equations are considered In paticular, we establish necessary and sufficient conditions for the solvability of multipoint boundary value problems Further, a general solution formula is explicitly constructed The main objective of the research are as follows Proposing necessary and sufficient conditions for the unique solvabil­ ity of multipoint boundary value problems for index-2 linear singular difference equations with both autonomous and non-autonomous cases Establishing necessary and sufficient conditions for the solvability of multipoint boundary value problems for index-2 linear singular differ­ ence equations with both autonomous and non-autonomous cases Proposing explicit general solution formulae for both two problems Presenting some illustrative examples e Main results of the project: Publications: L C Loi, On multipoint boundary value problems for index-2 linear singular difference equations, 25 pages (to submit) PHẤN CHÍNH; CÙA BÀO CẢO P H Ầ N C H ÍN H CỦA BÁO CÁO V Ề BÀI TO ÁN B IÊN NHIỀU DIEM c h o p h n g t r ìn h s a i p h ả n SƯY BIẾN T U Y Ế N TÍN H CH Ỉ s ố G iớ i thiệu Phương trình sai phân ẩn hay cịn gọi phượng trình sai phân suy biến dạng fn(xn+ i,x n) = 0, o n > 0, (1) /» ker — -(y, x) suy biến, xuất hiên nliiều lĩnh VƯC mơ hình kinh dy tế đa thành phần Leontief, mô lành phát triển dân số Leslie, toán điều khiển tối ưu rời rạc, v.v Hơn phương trình sai phân suy biến (1) phương trình vi phân đại số = 0, í€ J := [ío ,T ] (2) với ker x) suy biến, đươc nhiều nhà nghiên cứu lý thu vết ứng dung dy phương trình vi phân quan tâm thời gian gần đây, có mối liên hệ với nhau, chẳng hạn rời rạc (2) lược đồ sai phân Euler ta nhận phương trình sai phân suy biến (xem [2]) Nhiềukết chophương trình sai phân suy biến tuyến tính -^n^n+l — B rix nTL ^ 0, (3) A n, Dv € R mxm, (],, e E ,r' rank A n = r (1 < r < rn —1) với n > công bố (xem [2-8]) Khái niệm số chùm ma trận dã đưa để giải toán (3) cho trường hợp ơ-tơ-nơm cụ thể tính giải toán giá trị ban đầu cho toán nghiên cứu tương đối thấu đáo nhiều báo tài liệu chuyên khảo (xem [4-6]) Theo hiểu biết chủng tơi, í.hì hài tốn biên nhiều điểm cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính có số lớn trường hợp hệ số chưa nhắc đến Trong trường hợp hệ số (3) biến thiên, khái niệm số (3) được: giới thiệu [2 8], tính giải dược toán giá trị bail đầu tốn tốn biên nhiều điểm cho phương trình số dược xét đến [2 3, 8) Dặc biệt gần đây, khái niệm số (3) dã dưa t.rong [7], dựa vào khái niệm này, điều kiện giải cơng thức nghiệm tường minh tốn giá trị ban đầu cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính số thiết lập (xem [7]) Chúng t.a biết rằng, nhiều kết cho trường hợp số phát triển cho trường hợp số 2, nhiên gặp phải nhiều khó khăn (xem [7]) Mục tiêu nội dung đề tài nghiên cứu tốn biên nhiều điểm cho phương trình sai phân suy hiến tuyến tính số rho hai trường hợp hệ số phương trình sai phân biến thiên Một cơng cụ để giải toán dựa vào khái niệm số k của chùm ma trận {.4, B} số phương trình sai phân suy biến tuyến tính (3) Trong trường hợp hệ số hằng, áp dụng kỹ thuật [4-6], giải phương trình sai phân suy biến số k vào điều kiện biên để tìm điồu kiện cần đủ cho tính giải cho toán biên nhiều điểm, xây dựng cơng thức tìm nghiệm tường minh tốn Chúng ta biết nhiều kết trường hợp hệ số chuyển sang cho trường hợp hệ số biến thiên (xem [2, 3, 7, 8]) Vì trường hợp hệ số biến thiên, hướng liếp cận để giải toán biên nhiều điểm phải sử (lụng kỹ thuật hoàn toàn khác trường hợp hệ số Dựa vào kết [7] phát triển số kỹ thuật [3, 8] nhận điều kiện cần đủ cho tính giải dược cơng thức nghiệm cho tốn biên nhiều điểm 3.2 C ác kết Do kỹ thuật áp dụng cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính số trường hợp hệ số biến thiên dựa vào khái niệm số phương PHẦN CHÍNH CỦA BÁO CẢO trình phép chiếu nên phát biểu, cống thức đưa phụ thuộc vào phép chiếu Kết quan trọng đạt đề tài chúng tơi chứng minh phát biểu tính giải công thức nghiệm không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu Còn trường hợp hệ số hằng, chúng tơi sử dụng mẹo nhỏ tách phương trình sai phân suy biến tuyến tính số k thành hai phường trình sai phân thường tiến lùi T r n g liỢp h ệ s ố h ằ n g Xét toán biên nhiều điểm Axi+I = B xị + qu i = , , N - 1, (4) N (5) giả thiết số cặp ma trận {.4 B } lớn N số nguyên dương đủ lớn G iả sử A € c cho det(XA-\-B) Ỷ 0; đặt Ầ \ := è \ := (A.4 + B ) ~ l B, ậi — (XA + B )~ [qr ký hiệu Ầ ỵ , A, ma trận nghịch (lảo suy rộng Drazin Ầ \ Ồ\ tương ứng Trong phần nhận kết sau: • Dưa cơng thức nghiệm (4) phụ thuộc vào ma trận À \, Ả ị \ Ba, ? , véc tơ ậi = (À.4 + B) 1(ị, hai véc tơ tùy ý Xo X/V- Tuy nhiên, dựa vào kết [4-6] ta khẳng định cơng thức nghiệm khơng phụ thuộc vào À • Phát biểu điều kiện cần đủ để toán (4) (5) giải nhất, điều kiện phát biểu không gian R 2w cầnvà đủ đổ tốn (4) và(5) giải được(bài tốn cóvơsốnghiệm), cácđiều kiện đượcxét cáckhông gian R 2™ vàR ởđây q sốnguyên dương xácđịnh nhỏ 771 • Phát, biểu điều kiện 18 LK CONG LOI Wc denote by i—1 : II, Y M!-k- 2PkPi.kCllkqk + T,QtTu+1Qhi+lG ^ +l