Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu

Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước:.. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trongvà ngoài nước: Mô hình toán học của hiện tượng d

0.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước: 4

0.2 Tính cấp thiết của đề tài: 5

0.3 Mục tiêu của đề tài: 5

0.4 Cách tiếp cận: 5

0.5 Phương pháp nghiên cứu: 5

0.6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 5

0.7 Nội dung nghiên cứu: 6

Chương 1 Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp

2

Kết quả nghiên cứu được nhận đăng trên tạp chí quốc tế Note di Matematica, Italy.

3

0.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong

và ngoài nước:

Mô hình toán học của hiện tượng di truyền được Miranda và Pascali mô tả như sau:

trong đó, u = u(x, t), (x, t) ∈ R × [0, +∞) là hàm cần tìm thỏa một vài điều kiện đầu tại

t = 0, A và B là các toán tử vi phân hoặc tích phân Chẳng hạn,

Bu(x, t) =

Z t 0

và B trong phương trình (0.1) được gọi là toán tử di truyền Phương trình (0.1) có thể đượcxem là phương trình trong di truyền học

Một vài trường hợp đặc biệt của (0.1) được nghiên cứu đầu tiên bởi Volterra vào đầu thế

kỷ XX (xem [9] và các tài liệu tham khảo trong đó) Trong trường hợp đơn giản, khi B làtoán tử đồng nhất, Eder trong [2] đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm của bàitoán

4

Trong [4], Miranda và Pascali đã chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm địaphương của phương trình

Di truyền học là một bộ môn của sinh học, nghiên cứu về tính di truyền và biến dị của sinhvật, nó có vị trí và vai trò đặc biệt đối với con người Các nhà khoa học trên thế giới cũng

đã đưa ra mô hình di truyền học và nghiên cứu hiện tượng này dưới những dạng khác nhau.Một trong những mô hình thú vị đó là phương trình vi phân đạo hàm riêng ứng dụng trong

di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu đã và đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhàtoán học trên thế giới

Nghiên cứu mô hình toán học trong di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu, có định hướngứng dụng trong thực tiễn

Thông qua việc tìm hiểu lịch sử nghiên cứu vấn đề của mô hình (0.1), cũng như các kết quảnghiên cứu được trình bày trong [1], [2], [4], [5]-[11] và trong danh mục tài liệu tham khảocủa các bài báo đó, cuối cùng tác giả đã đưa ra kết quả tổng quát hơn bài toán nghiên cứutrong [4]

Trong đề tài này, tác giả sử dụng các công cụ hiện đại của toán học như: giải tích hàm,phương trình đạo hàm riêng,

Phương trình vi phân đạo hàm riêng tự tham chiếu ứng dụng trong di truyền học

0.7 Nội dung nghiên cứu:

Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm của bài toán giá trị đầu cho phươngtrình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu

Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm

riêng cấp hai tự tham chiếu

Trong đề tài này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương của bài toán

,u(x, 0) = p(x)

Z τ 0

µ1u ∂2

∂s2u(x, s) + µ2u ∂

2

∂s2u(x, s)+ µ3u(x, s), s, s

dsdτ,

Chứng minh

Để chứng minh định lí này, ta sử dụng phương pháp lặp Phép chứng minh bao gồm cácbước sau

7

Z τ 0

µ1u0µ2u0(µ3u0(x, s), s), sdsdτ,

un+1(x, t) = u0(x, t) +

Z t 0

Z τ 0

, s

dsdτ

• Bước 3: Chứng minh un Lipschitz theo biến thứ nhất

Do p và q liên tục Lipschitz nên ta có

Và

|u1(x, t) − u1(y, t)| ≤ L0(t)|x − y| +

Z t 0

Z τ 0

µ1u0(µ2u0(µ3u0(x, s), s), s)

− µ1u0(µ2u0(µ3u0(y, s), s), s)

dsdτ

≤



L0(t) +

Z t 0

Z τ 0

µ2u0(µ3u0(x, t), t) − µ2u0(µ3u0(y, t), t)

dsdτ

≤

Z t 0

Z τ 0

kpkL∞ + tkqkL∞

dsdτ

Z τ 0

Qui nạp đến bước thứ n, ta thu được

trong đó

An+1(t) :=

Z t 0

Z τ 0

Trong bước sau, ta chọn T0 sao cho (un) và (∂t∂22un) là các dãy dừng đều

• Bước 5: Sự tồn tại nghiệm địa phương Vì σ < 1, ta có thể tìm được T0 > 0, 0 <

M < 1, 0 < h < 1 sao cho khi t ∈ [0, T0], ta có

Z τ 0

≤ kun− u∞kL∞ + M



∂2

∂t2un(x, t) − φ∞(x, t)

+

Từ (1.26), ta suy ra

u∞(x, t) = u0(x, t) +

Z t 0

Z τ 0

µ1u∞



φ∞(x, s) + µ2u∞φ∞(x, s)+ µ3u∞(x, s), s, s

dsdτ

2

∂t2un

L ∞ +

... bước sau, ta chọn T0 cho (un) (∂t∂22un) dãy dừng

• Bước 5: Sự tồn nghiệm địa phương Vì σ < 1, ta tìm T0...

|vn+1(x, t) − vn(x, t)| ≤ fn(t),trong (fn) dãy hàm thực không âm, xác định [0, T ] Nếu fn = f với

n, ta nói (vn) dãy... tồn nghiệm địa phương Vì σ < 1, ta tìm T0 > 0, <

M < 1, < h < cho t ∈ [0, T0], ta có

Z τ 0