Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Tăng Vũ BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO Chuyênngành : Toán Giải Tích Mãsố : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Nguyễn Anh Tuấn Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN ĐầutiêntôixinđượcbàytỏlòngbiếtơnsâusắcnhấtđếnPGS.TSNguyễnAnhTuấn, mặcdùbậnrấtnhiềuviệcnhưngđãtậntâmhướngdẫnvàtạođiềukiệntốiđađểtôicóthể hoànthànhluậnvăn.Nhânđâyemcũngxinlỗithầyvìđãlàmthầythấtvọngvềmìnhtrong thờigianlàmluậnvăn,vàmongthầyluôncósứckhỏetốtvàthànhcôngtrongcôngviệc. TôixingửilờicảmơnđếnQuýThầyCôtrongHộiđồngchấmluậnvănđãgiànhthời gianđọc,chỉnhsửavàđónggópýkiếngiúpchotôihoànthànhluậnvănnàymộtcáchhoàn chỉnh. TôixincảmơnBanGiámHiệu,PhòngKHCN-SauĐạihọccùngtoànthểthầycôkhoa Toán-TinhọctrườngĐạihọcSưPhạmTP.HồChíMinhđãgiảngdạyvàtạomọiđiềukiện tốtnhấtchotôitrongsuốtthờigianhọctậpvànghiêncứutạitrường. Tôicũngchânthànhcảmơngiađình,cácanhchịđồngnghiệpvàbạnbèthânhữuđã độngviên,giúpđỡtôihoànthànhluậnvănnày. Cuốicùng,trongquátrìnhviếtluậnvănnàykhótránhkhỏinhữngthiếusót,rấtmong nhậnđượcsựgópýcủaQuýThầyCôvàbạnđọcnhằmbổsungvàhoànthiệnđềtàihơn. Xinchânthànhcảmơn. TPHồChíMinhtháng10năm2010 DANH MỤC KÍ HIỆU , I a b n R làkhônggianvectơnchiềuvớivectơcột 1 n i i x x trongđó i x R Trên n R tatrangbịchuẩn: 1 n i i x x n n R làkhônggiancácmatrậncấp n n , 1 n ik i k X x trongđó , 1,2, , ik x R i k n vớichuẩn: , 1 n ik i k X x 1 : 0; 1, , n n n i i i R x R x i n , , 1 : 0; , 1, , n n n n ik ik i k R x R x i k n Nếu , n x y R và , n n X Y R thì: , n n n x y y x R X Y Y X R Nếu n n i i x x R và , 1 n n n ik i k X x R thì: 1 1 , 1 , , sgn sgn n n n i ik i i i i k x x X x x x ; n C I R khônggiancácvectơhàmliêntục : n x I R vớichuẩn max : C x x t t I C với 0 làkhônggiancáchàmliêntục -tuầnhoàn : u R R vớichuẩn: max : C u u t t R 1 0; n C làkhônggiancáchàm : 0; u R khảviliêntụccấp(n–1)với chuẩn 1 1 0; 1 max :0 n n k C k u u t t 1 n C làkhônggiancáchàmkhảviliêntụccấp 1 n , -tuầnhoànvớichuẩn 1 1 1 n n k C C k u u 1 n C làkhônggiancáchàm 1 n u C với 1 n u làliêntụctuyệtđối. 0; L làkhônggiancáchàmkhảtíchLebesgue : 0; u R vớichuẩn 0; 0 L u u t dt ; n L I R khônggiancácvectơhàmkhảtích : n x I R vớichuẩn b L a x x t dt L làkhônggiancáchàm : u R R , -tuầnhoàn,khảtíchLebesguetrên 0; với chuẩn 0 L u u s ds MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lýthuyếtbàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânthườngvàphươngtrìnhvi phânhàmrađờitừthếkỷ18,songđếnnayvẫnđượcnhiềungườiquantâmnhờcácứng dụngrộngrãicủanótrongcáclĩnhvựcvậtlý,cơhọc,kinhtế,nôngnghiệp,….Đặcbiệt,bài toánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânhàmđạtđượcnhiềukếtquảbắtđầutừnăm 1995nhờcáckếtquảcủacáctácgiảnhưI.Kiguradze,B.Puzachohệphươngtrìnhviphân hàmtổngquát.Cáckếtquảvềphươngtrìnhviphânhàmbậccaocũngđượcnghiêncứumột cáchrộngrãivàcũngđạtđượcnhiềukếtquảđángchúý.Vìvậychúngtôichọnđềtàinày làmnộidungnghiêncứucủaluậnvănnhằmhọctậpvàpháttriểnđềtàicủamìnhtheohướng củacáctácgiảtrên. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiêncứutínhgiảiđượccủabàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânhàm bậccao.Từđó,ápdụngcáckếtquảđạtđượcchophươngtrìnhviphânđốisốchậm,đốisố lệch. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Lýthuyếtbàitoánbiên,giảitíchhàm,lýthuyếtphươngtrìnhviphânhàm.Lýthuyết bàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânhàmbậccao. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Luậnvănlàtàiliệuthamkhảochotấtcảmọingườiquantâmđếnbàitoánbiêntuần hoànchophươngtrìnhviphânhàmbậccao. 5. Cấu trúc luận văn Nộidungchínhcủaluậnvăngồm2chương Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến Nộidungchínhcủachươnglànghiêncứusựtồntạinghiệmđốivớibàitoánbiêncho hệphươngtrìnhviphânhàmphituyến. Chương 2: Nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao Chươngnàynghiêncứutínhgiảiđượccủabàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhvi phânhàmbậccaovàápdụngcáckếtquảchophươngtrìnhviphânđốisốlệch,đốisốchậm. Chương 1. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN 1.1 Giới thiệu bài toán Cho : ; ; n n f C I R L I R và : ; n n h C I R R làcáctoántửliêntụcthỏavớimọi 0; thì: sup . : ; , ; sup : ; , n C n C f x x C I R x L I R h x x C I R x Xéthệphươngtrìnhviphânhàmphituyến: dx t f x t dt (1.1) vớiđiềukiệnbiên 0 h x (1.2) Định nghĩa 1.1 Nghiệmcủacủabàitoán(1.1),(1.2)làcácvectơhàmliêntụctuyệtđối : n x I R , thỏa(1.1)hầukhắpnơitrên I vàthỏa(1.2). Trongphầnhaitanghiêncứucácđiềukiệnđủchosựtồntạinghiệmcủaphươngtrình (1.1),(1.2).Trongphầnba,tathiếtlậpcáctiêuchuẩnchosựtồntạinghiệmcủabàitoán biên: 0 , dx t f t x t dt (1.3) 1 2 0 x t x A x x t x c (1.4) trongđó 0 : n n f I R R làvectơhàmthỏađiềukiệnCaratheodory, 0 n c R và : ; n i t C I R I và : ; n n n A C I R R làtoántửliêntục. 1.2Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) Định nghĩa 1.2 Cặptoántử , p l với : ; ; ; n n n p C I R C I R L I R và : ; ; n n n C I R C I R R đượcgọilànhấtquánnếuthỏacácđiềukiệnsau: i) Vớimỗi ; n x C I R cốđịnh,toántử ,. : ; ; n n p x C I R L I R và ,. : ; n n x C I R R làtuyếntính. ii) Vớimọi , ; n x y C I R vàhầuhết t I tacócácbấtđẳngthức: , , C C p x y t t x y , 0 , C C x y x y , trongđó 0 : R R làhàmkhônggiảmvà : I R R khảtíchtheođốisố thứnhấtvàkhônggiảmtheođốisốthứhai. iii) Tồntạisốthựcdương saochovớimọi ; n x C I R , ; n q C I R và 0 n c R , và với mọi nghiệm bất kỳ y của bài toán biên: 0 , , , dy t p x y t q t x y c dt (1.5) thỏa 0 C L y c q (1.6) Định lý 1.3 Giảsửtồntạisốdươngρvàcặpnhấtquán , p với : ; ; ; n n n p C I R C I R L I R và : ; ; n n n C I R C I R R làcáctoántửliêntục saocho 0;1 mọinghiệmcủabàitoán , , dx t p x x t f x t p x x t dt (1.7) , , x x x x h x (1.8) thỏa C x (1.9) Khiđóbàitoán(1.1),(1.2)cónghiệm. Chứng minh Gọi 0 , và làcáchàmvàcácsốtrongđịnhnghĩa1.2.Tađặt: 0 0 2 ,2 sup : ; , 2 2 2 sup : ; , 2 n C n C t t f x t x C I R x t h x x C I R x 1 khi 0 2 khi 2 1 0 khi 2 s s s s s s (1.10) , C q x t x f x t p x x t (1.11) 0 , C c x x x x h x Khiđódođịnhnghĩacủafvàαtacó 0 ; ,t L I R vàvớimỗi ; n x C I R tacó 0 2 , 1 2 C C C x x x x nênvớihầuhết t I ,tacóbấtđẳngthức: 0 0 ,q x t t c x (1.12) (do 0 2 C q x t x ) Cốđịnh ; n x C I R ,xétbàitoánbiêntuyếntính 0 , , , dy t p x y t q x t x y c x dt (1.13) Theođiềukiện(iii)củađịnhnghĩa1.2thìbàitoánthuầnnhất , , , 0 dy t p x y t x y dt (1.13 0 ) chỉcónghiệmtầmthường.Theođịnhlý1.1([5])từđiềukiện(i),(ii)củađịnhnghĩa1.2và (1.13 0 )chỉcónghiệmtầmthườngnênbàitoán(1.13)cónghiệmduynhất. Mặtkhác,từcácđiềukiện(ii),(iii)củađịnhnghĩa1.2vàcácbấtđẳngthứctrong(1.12), nghiệmycủabàitoán(1.13)thỏa * 0 , C y y t t hầuhết t I (1.14) trongđó * 0 0 0 0 , , L t t t Đặt : ; ; n n u C I R C I R làtoántửđặttươngứngmỗi ; n x C I R vớinghiệm y trong bàitoán(1.13).Từhệquả(1.6)(hệquảcủađịnhlývềtínhxấpxỉnghiệmcủabàitoánbiên củahệphươngtrìnhviphânhàmtuyếntínhtrong[5]),thìtoántửuliêntục.Mặtkhác,từcác bấtđẳngthức(1.14)tacó: * 0 , t C s u x u x t u x s d vớis, t∈I. Đặt 0 0 ; : n C C x C I R x ,khiđóulàtoántửliêntụctừ 0 C vàotậpconcompact củachínhnó,nêntheonguyênlýSchauder,tồntại 0 x C saocho u x t x t vớit∈I. Theođẳngthức(1.11),xrõrànglànghiệmcủabàitoán(1.7),(1.8)với C x (1.15) Chúngtacầnchứngminhxthỏa(1.9).Giảsửngượclại,khiđósẽxảyrahaitrườnghợp 2 C x (1.16) Hoặc 2 C x (1.17) Nếubấtđẳngthức(1.16)thỏamãn,thìtheo(1.10)và(1.15)thì 0,1 .Tuyvậy,theođiều kiệncủađịnhlýtacó(1.9)nênmâuthuẫnvới(1.16). Nếu(1.17) thỏa. Khi đótheo (1.10) và (1.15) thì 0 , suy rax là nghiệmcủa bài toán (1.13 0 ).Điềunàylàkhôngthểvì(1.13 0 )chỉcónghiệmtầmthường. Từcácđiềutrêntathấyxthỏa(1.9). Dođó,từ(1.9),(1.10),(1.15)rõràng 1 ,suyraxlànghiệmcủabàitoán(1.1),(1.2). Định nghĩa 1.4 Cho : ; ; ; n n n p C I R C I R L I R và : ; ; n n n C I R C I R R bấtkì,và 0 : ; ; n n p C I R L I R và : ; n n C I R R làcáctoántửtuyếntính.Chúngtanóirằng cặp 0 0 , p thuộcvềlớp , n p l nếutồntạidãy ; 1,2, n k x C I R k saochovớimỗi ; n y C I R cácđiềukiệnsauđượcthỏamãn: 0 0 0 lim , t t k k p x y s ds p y s ds đềutrênI 0 lim , k k x y y Định nghĩa 1.5 Tanóicặptoántửliêntục : ; ; ; n n n p C I R C I R L I R và : ; ; n n n C I R C I R R ,thuộclớp 0 n O nếu: i) Vớix cốđịnhthuộc ; n C I R thìtoántử ,. : ; ; n n p x C I R L I R và ,. : ; n n x C I R R làcáctoántửtuyếntính. ii’)Vớibấtkìxvàythuộc ; n C I R vàhầuhết t I ,cácbấtđẳngthức 0 , , , C C p x y t t y x y y thỏamãn,trongđó : I R làkhảtíchvà 0 R iii’)Vớimỗi 0 0 , n pl p ,bàitoán 0 0 , 0 dy t p y t y dt (1.18) chỉcónghiệmtầmthường. Hệ quả 1.6 [...]... NGHIỆM TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO 2.1 Giới thiệu bài toán n Cho số tự nhiên n 2 và 0 , f : C1 L là toán tử liên tục.Ta xét phương trình vi phân hàm: n u t f u t (2.1) với f thỏa f r* . sup f u . : u r L với r 0 (2.2) Định nghĩa 2.1 n 1 Một hàm u C được gọi là nghiệm -tuần hoàn của bài toán (2.1) nếu thỏa ... Trong phần này ta xây dựng một số bổ đề về tính giải được của bài toán biên tuần hoàn bậc cao trong trường hợp tổng quát. Xét phương trình vi phân hàm bậc n n u t f u t (2.33) i 1,2, , n (2.34) Với điều kiện biên tuần hoàn u i 1 0 u i 1 trong đó f : C n 1 0; L 0; là toán tử liên tục và thỏa điều kiện Caratheodory f r ... 1 0; r0 (2.38) Khi đó bài toán (2.33), (2.34) có nghiệm. Áp dụng kết quả trên cho toán tử p u au 0 ta có kết quả sau: Bổ đề 2.7 n Cho f : C1 L là toán tử liên tục thỏa điều kiện (2.2). Hơn nữa, tồn tại hằng số a 0 và r0 0 sao cho với bất kỳ 0;1 , mỗi nghiệm - tuần hoàn của phương trình vi phân hàm n u t au 0 1 ... Khi đó từ hệ quả 1.8 ta nhận được kết quả sau: Bổ đề 2.6 Giả sử tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn p : C n 1 0; L 0; và một hằng số dương r0 sao cho phương trình vi phân tuyến tính n u t p u t (2.36) với điều kiện tuần hoàn (2.34) chỉ có nghiệm tầm thường và với bất kỳ 0;1 mỗi nghiệm của phương trình vi phân n u t p u t 1 ... của (2.33), (2.34). - Ngược lại, nếu u là nghiệm của bài toán (2.33), (2.34) thì mở rộng của u lên R thành một hàm ω -tuần hoàn thì đó là nghiệm -tuần hoàn của bài toán (2.1). Do đó để chứng minh bổ đề này, ta cần chứng minh bài toán (2.33), (2.34) có nghiệm. Theo đẳng thức (2.41), (2.42) và điều kiện (2.2), f : C n 1 0; L 0; là toán tử liên tục, thỏa điều kiện (2.35) với mọi ... au 0 , thì bài toán (2.33), (2.34) chỉ có nghiệm tầm thường. Theo các điều kiện của bổ đề (2.6), bài toán (2.33), (2.34) có nghiệm với mọi 0;1 Giả sử u là nghiệm của bài toán (2.34), (2.37) với 0;1 Khi đó mở rộng tuần hoàn lên R với chu kỳ là nghiệm của bài toán (2.39) và thỏa (2.26) nên thỏa (2.38) ■ 2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) 2.3.1... 1 u n1 0 với 0 t (2.41) Và mở rộng tuần hoàn z u . lên R với chu kỳ n Ta thấy z : C n 1 0, C 1 là toán tử tuyến tính bị chặn. Giả sử f u t f z u t (2.42) Xét phương trình (2.33), (2.34). - Nếu hàm u là một nghiệm -tuần hoàn của bài toán (2.1) thì ta xét u là hạn chế của u lên 0; , khi đó ... y Toán tử p0 : C I ; R n L I ; Rn được gọi là bị chặn mạnh nếu tồn tại một hàm khả 0 C thỏa mãn với hầu hết t I Hệ quả 1.8 Giả sử tồn tại số nguyên dương ρ, một toán tử tuyến tính bị chặn mạnh p0 : C I ; R n L I ; Rn và một toán tử tuyến tính bị chặn 0 : C I ; Rn R n sao cho bài toán (1.18) chỉ có nghiệm tầm thường và với mỗi 0,1 nghiệm bất kì của bài toán. .. au 0 1 f u t (2.39) thỏa (2.25). Khi đó bài toán (2.1) có nghiệm -tuần hoàn . Chứng minh Với các hằng số c1, , cn bất kỳ, bài toán 2n i 1 i 1 y t 0, y 0 0, y ci i 1, , n (2.40) có nghiệm duy nhất. Khi đó ta đặt y t , c1, , cn là nghiệm của bài toán trên. Với u C n 1 0; , đặt z u t u t ... thỏa điều kiện (iii’) của định nghĩa 1.5. n Do đó p, O0 Từ đó theo hệ quả 1.6 thì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm. 1.3 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.3), (1.4) Trong bài toán (1.3), (1.4) thì ta xét vectơ hàm f0 : I R n R n thỏa điều kiện Caratheodory, các toán tử ti : C I ; R n I i 1,2 và A : C I ; R n Rnn là tiên tục. Đặt I 0 t1 . hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao Chươngnàynghiêncứutínhgiảiđượccủa bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao vàápdụngcáckếtquả cho phương trình vi phân đốisốlệch,đốisốchậm. Chương. phạm vi nghiên cứu Lýthuyết bài toán biên, giảitích hàm, lýthuyết phương trình vi phân hàm. Lýthuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao. 4. Ý nghĩa khoa học và. Nghiêncứutínhgiảiđượccủa bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao. Từđó,ápdụngcáckếtquảđạtđược cho phương trình vi phân đốisốchậm,đốisố lệch. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên
Ngày đăng: 10/06/2014, 11:57
Xem thêm: bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao