bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH   Nguyễn Tăng Vũ  BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO    Chuyênngành : Toán Giải Tích Mãsố : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Nguyễn Anh Tuấn      Thành phố Hồ Chí Minh – 2010  LỜI CẢM ƠN   ĐầutiêntôixinđượcbàytỏlòngbiếtơnsâusắcnhấtđếnPGS.TSNguyễnAnhTuấn, mặcdùbậnrấtnhiềuviệcnhưngđãtậntâmhướngdẫnvàtạođiềukiệntốiđađểtôicóthể hoànthànhluậnvăn.Nhânđâyemcũngxinlỗithầyvìđãlàmthầythấtvọngvềmìnhtrong thờigianlàmluậnvăn,vàmongthầyluôncósứckhỏetốtvàthànhcôngtrongcôngviệc. TôixingửilờicảmơnđếnQuýThầyCôtrongHộiđồngchấmluậnvănđãgiànhthời gianđọc,chỉnhsửavàđónggópýkiếngiúpchotôihoànthànhluậnvănnàymộtcáchhoàn chỉnh. TôixincảmơnBanGiámHiệu,PhòngKHCN-SauĐạihọccùngtoànthểthầycôkhoa Toán-TinhọctrườngĐạihọcSưPhạmTP.HồChíMinhđãgiảngdạyvàtạomọiđiềukiện tốtnhấtchotôitrongsuốtthờigianhọctậpvànghiêncứutạitrường. Tôicũngchânthànhcảmơngiađình,cácanhchịđồngnghiệpvàbạnbèthânhữuđã độngviên,giúpđỡtôihoànthànhluậnvănnày. Cuốicùng,trongquátrìnhviếtluậnvănnàykhótránhkhỏinhữngthiếusót,rấtmong nhậnđượcsựgópýcủaQuýThầyCôvàbạnđọcnhằmbổsungvàhoànthiệnđềtàihơn. Xinchânthànhcảmơn.       TPHồChíMinhtháng10năm2010   DANH MỤC KÍ HIỆU    , I a b    n R làkhônggianvectơnchiềuvớivectơcột   1 n i i x x   trongđó i x R   Trên n R tatrangbịchuẩn: 1 n i i x x      n n R  làkhônggiancácmatrậncấp n n     , 1 n ik i k X x   trongđó   , 1,2, , ik x R i k n   vớichuẩn: , 1 n ik i k X x          1 : 0; 1, , n n n i i i R x R x i n       ,     , 1 : 0; , 1, , n n n n ik ik i k R x R x i k n          Nếu , n x y R  và , n n X Y R   thì: , n n n x y y x R X Y Y X R              Nếu   n n i i x x R   và   , 1 n n n ik i k X x R     thì:         1 1 , 1 , , sgn sgn n n n i ik i i i i k x x X x x x           ; n C I R khônggiancácvectơhàmliêntục : n x I R  vớichuẩn     max : C x x t t I     C  với 0   làkhônggiancáchàmliêntục  -tuầnhoàn : u R R  vớichuẩn:     max : C u u t t R          1 0; n C   làkhônggiancáchàm   : 0; u R   khảviliêntụccấp(n–1)với chuẩn             1 1 0; 1 max :0 n n k C k u u t t               1 n C   làkhônggiancáchàmkhảviliêntụccấp   1 n  ,  -tuầnhoànvớichuẩn   1 1 1 n n k C C k u u           1 n C   làkhônggiancáchàm 1 n u C    với   1 n u  làliêntụctuyệtđối.      0; L  làkhônggiancáchàmkhảtíchLebesgue   : 0; u R   vớichuẩn            0; 0 L u u t dt          ; n L I R khônggiancácvectơhàmkhảtích : n x I R  vớichuẩn       b L a x x t dt     L  làkhônggiancáchàm : u R R  ,  -tuầnhoàn,khảtíchLebesguetrên   0;  với chuẩn   0 L u u s ds       MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lýthuyếtbàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânthườngvàphươngtrìnhvi phânhàmrađờitừthếkỷ18,songđếnnayvẫnđượcnhiềungườiquantâmnhờcácứng dụngrộngrãicủanótrongcáclĩnhvựcvậtlý,cơhọc,kinhtế,nôngnghiệp,….Đặcbiệt,bài toánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânhàmđạtđượcnhiềukếtquảbắtđầutừnăm 1995nhờcáckếtquảcủacáctácgiảnhưI.Kiguradze,B.Puzachohệphươngtrìnhviphân hàmtổngquát.Cáckếtquảvềphươngtrìnhviphânhàmbậccaocũngđượcnghiêncứumột cáchrộngrãivàcũngđạtđượcnhiềukếtquảđángchúý.Vìvậychúngtôichọnđềtàinày làmnộidungnghiêncứucủaluậnvănnhằmhọctậpvàpháttriểnđềtàicủamìnhtheohướng củacáctácgiảtrên. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiêncứutínhgiảiđượccủabàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânhàm bậccao.Từđó,ápdụngcáckếtquảđạtđượcchophươngtrìnhviphânđốisốchậm,đốisố lệch. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Lýthuyếtbàitoánbiên,giảitíchhàm,lýthuyếtphươngtrìnhviphânhàm.Lýthuyết bàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhviphânhàmbậccao. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Luậnvănlàtàiliệuthamkhảochotấtcảmọingườiquantâmđếnbàitoánbiêntuần hoànchophươngtrìnhviphânhàmbậccao. 5. Cấu trúc luận văn  Nộidungchínhcủaluậnvăngồm2chương Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến Nộidungchínhcủachươnglànghiêncứusựtồntạinghiệmđốivớibàitoánbiêncho hệphươngtrìnhviphânhàmphituyến. Chương 2: Nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao Chươngnàynghiêncứutínhgiảiđượccủabàitoánbiêntuầnhoànchophươngtrìnhvi phânhàmbậccaovàápdụngcáckếtquảchophươngtrìnhviphânđốisốlệch,đốisốchậm. Chương 1. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN   1.1 Giới thiệu bài toán Cho     : ; ; n n f C I R L I R  và   : ; n n h C I R R  làcáctoántửliêntụcthỏavớimọi   0;    thì:                sup . : ; , ; sup : ; , n C n C f x x C I R x L I R h x x C I R x           Xéthệphươngtrìnhviphânhàmphituyến:      dx t f x t dt   (1.1) vớiđiềukiệnbiên     0 h x        (1.2) Định nghĩa 1.1 Nghiệmcủacủabàitoán(1.1),(1.2)làcácvectơhàmliêntụctuyệtđối : n x I R  , thỏa(1.1)hầukhắpnơitrên I vàthỏa(1.2).   Trongphầnhaitanghiêncứucácđiềukiệnđủchosựtồntạinghiệmcủaphươngtrình (1.1),(1.2).Trongphầnba,tathiếtlậpcáctiêuchuẩnchosựtồntạinghiệmcủabàitoán biên:            0 , dx t f t x t dt      (1.3)           1 2 0 x t x A x x t x c       (1.4) trongđó 0 : n n f I R R   làvectơhàmthỏađiềukiệnCaratheodory, 0 n c R   và   : ; n i t C I R I  và   : ; n n n A C I R R   làtoántửliêntục. 1.2Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) Định nghĩa 1.2 Cặptoántử   , p l với       : ; ; ; n n n p C I R C I R L I R   và     : ; ; n n n C I R C I R R   đượcgọilànhấtquánnếuthỏacácđiềukiệnsau: i) Vớimỗi   ; n x C I R  cốđịnh,toántử       ,. : ; ; n n p x C I R L I R  và     ,. : ; n n x C I R R  làtuyếntính. ii) Vớimọi   , ; n x y C I R  vàhầuhết t I  tacócácbấtđẳngthức:       , , C C p x y t t x y   ,     0 , C C x y x y   , trongđó 0 : R R     làhàmkhônggiảmvà : I R R      khảtíchtheođốisố thứnhấtvàkhônggiảmtheođốisốthứhai. iii) Tồntạisốthựcdương  saochovớimọi   ; n x C I R  ,   ; n q C I R  và 0 n c R  , và với mọi nghiệm bất kỳ y của bài toán biên:          0 , , , dy t p x y t q t x y c dt        (1.5) thỏa   0 C L y c q          (1.6) Định lý 1.3 Giảsửtồntạisốdươngρvàcặpnhấtquán   , p  với       : ; ; ; n n n p C I R C I R L I R   và     : ; ; n n n C I R C I R R   làcáctoántửliêntục saocho   0;1    mọinghiệmcủabàitoán            , , dx t p x x t f x t p x x t dt          (1.7)       , , x x x x h x              (1.8) thỏa   C x          (1.9)   Khiđóbàitoán(1.1),(1.2)cónghiệm. Chứng minh Gọi 0 ,   và  làcáchàmvàcácsốtrongđịnhnghĩa1.2.Tađặt:                      0 0 2 ,2 sup : ; , 2 2 2 sup : ; , 2 n C n C t t f x t x C I R x t h x x C I R x                      1 khi 0 2 khi 2 1 0 khi 2 s s s s s s                             (1.10)               , C q x t x f x t p x x t             (1.11)         0 , C c x x x x h x          Khiđódođịnhnghĩacủafvàαtacó     0 ; ,t L I R      vàvớimỗi   ; n x C I R  tacó     0 2 , 1 2 C C C x x x x           nênvớihầuhết t I  ,tacóbấtđẳngthức:         0 0 ,q x t t c x         (1.12) (do     0 2 C q x t x     ) Cốđịnh   ; n x C I R  ,xétbàitoánbiêntuyếntính             0 , , , dy t p x y t q x t x y c x dt     (1.13) Theođiềukiện(iii)củađịnhnghĩa1.2thìbàitoánthuầnnhất        , , , 0 dy t p x y t x y dt       (1.13 0 ) chỉcónghiệmtầmthường.Theođịnhlý1.1([5])từđiềukiện(i),(ii)củađịnhnghĩa1.2và (1.13 0 )chỉcónghiệmtầmthườngnênbàitoán(1.13)cónghiệmduynhất. Mặtkhác,từcácđiềukiện(ii),(iii)củađịnhnghĩa1.2vàcácbấtđẳngthứctrong(1.12), nghiệmycủabàitoán(1.13)thỏa     * 0 , C y y t t       hầuhết t I   (1.14) trongđó         * 0 0 0 0 , , L t t t               Đặt     : ; ; n n u C I R C I R  làtoántửđặttươngứngmỗi   ; n x C I R  vớinghiệm y trong bàitoán(1.13).Từhệquả(1.6)(hệquảcủađịnhlývềtínhxấpxỉnghiệmcủabàitoánbiên củahệphươngtrìnhviphânhàmtuyếntínhtrong[5]),thìtoántửuliêntục.Mặtkhác,từcác bấtđẳngthức(1.14)tacó:           * 0 , t C s u x u x t u x s d         vớis, t∈I. Đặt     0 0 ; : n C C x C I R x      ,khiđóulàtoántửliêntụctừ 0 C  vàotậpconcompact củachínhnó,nêntheonguyênlýSchauder,tồntại 0 x C   saocho       u x t x t  vớit∈I. Theođẳngthức(1.11),xrõrànglànghiệmcủabàitoán(1.7),(1.8)với   C x         (1.15) Chúngtacầnchứngminhxthỏa(1.9).Giảsửngượclại,khiđósẽxảyrahaitrườnghợp   2 C x          (1.16) Hoặc   2 C x         (1.17) Nếubấtđẳngthức(1.16)thỏamãn,thìtheo(1.10)và(1.15)thì   0,1   .Tuyvậy,theođiều kiệncủađịnhlýtacó(1.9)nênmâuthuẫnvới(1.16). Nếu(1.17) thỏa. Khi đótheo (1.10) và (1.15) thì 0   , suy rax là nghiệmcủa bài toán (1.13 0 ).Điềunàylàkhôngthểvì(1.13 0 )chỉcónghiệmtầmthường. Từcácđiềutrêntathấyxthỏa(1.9). Dođó,từ(1.9),(1.10),(1.15)rõràng 1   ,suyraxlànghiệmcủabàitoán(1.1),(1.2).  Định nghĩa 1.4 Cho       : ; ; ; n n n p C I R C I R L I R   và     : ; ; n n n C I R C I R R   bấtkì,và     0 : ; ; n n p C I R L I R  và   : ; n n C I R R  làcáctoántửtuyếntính.Chúngtanóirằng cặp   0 0 , p  thuộcvềlớp , n p l  nếutồntạidãy     ; 1,2, n k x C I R k  saochovớimỗi   ; n y C I R  cácđiềukiệnsauđượcthỏamãn:        0 0 0 lim , t t k k p x y s ds p y s ds     đềutrênI     0 lim , k k x y y       Định nghĩa 1.5 Tanóicặptoántửliêntục       : ; ; ; n n n p C I R C I R L I R   và     : ; ; n n n C I R C I R R   ,thuộclớp 0 n O nếu: i) Vớix cốđịnhthuộc   ; n C I R thìtoántử       ,. : ; ; n n p x C I R L I R  và     ,. : ; n n x C I R R  làcáctoántửtuyếntính. ii’)Vớibấtkìxvàythuộc   ; n C I R vàhầuhết t I  ,cácbấtđẳngthức            0 , , , C C p x y t t y x y y        thỏamãn,trongđó : I R    làkhảtíchvà 0 R     iii’)Vớimỗi   0 0 , n pl p   ,bàitoán        0 0 , 0 dy t p y t y dt        (1.18)  chỉcónghiệmtầmthường. Hệ quả 1.6 [...]... NGHIỆM TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO 2.1 Giới thiệu bài toán   n Cho số tự nhiên  n  2  và    0 ,  f : C1  L  là toán tử liên tục.Ta xét phương trình vi phân hàm:           n u   t   f  u  t    (2.1)  với  f  thỏa    f r* .  sup f  u . : u  r  L  với  r  0     (2.2)    Định nghĩa 2.1  n 1 Một hàm u  C được gọi là nghiệm   -tuần hoàn của bài toán (2.1)  nếu thỏa ... Trong phần này ta xây dựng một số bổ đề về tính giải được của bài toán biên tuần hoàn bậc cao trong trường hợp tổng quát.    Xét phương trình vi phân hàm bậc n        n u   t   f  u  t              (2.33)   i  1,2, , n    (2.34)  Với điều kiện biên tuần hoàn   u i 1  0  u i 1   trong đó f : C n 1 0;   L 0;   là toán tử liên tục và thỏa điều kiện Caratheodory   f r ... 1  0;   r0           (2.38)  Khi đó bài toán (2.33), (2.34) có nghiệm.    Áp dụng kết quả trên cho toán tử  p  u   au  0   ta có kết quả sau:  Bổ đề 2.7 n Cho f : C1  L  là toán tử liên tục thỏa điều kiện (2.2). Hơn nữa, tồn tại hằng số  a  0  và  r0  0  sao cho với bất kỳ     0;1 , mỗi  nghiệm   - tuần hoàn  của phương trình vi phân hàm       n u   t    au  0  1 ... Khi đó từ hệ quả 1.8 ta nhận được kết quả sau:   Bổ đề 2.6 Giả sử tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn  p : C n 1   0;   L  0;   và một hằng số  dương  r0 sao cho phương trình vi phân tuyến tính    n u   t   p  u  t            (2.36)  với điều kiện tuần hoàn (2.34) chỉ có nghiệm tầm thường và với bất kỳ     0;1  mỗi nghiệm  của phương trình vi phân         n u   t    p  u  t   1   ... của (2.33), (2.34).   - Ngược  lại,  nếu  u là  nghiệm của bài toán (2.33),  (2.34) thì  mở  rộng của  u  lên  R  thành  một hàm ω -tuần hoàn thì đó là nghiệm  -tuần hoàn của bài toán (2.1).  Do đó để chứng minh bổ đề này, ta cần chứng minh bài toán (2.33), (2.34) có nghiệm.    Theo đẳng thức (2.41), (2.42) và điều kiện (2.2),  f : C n 1 0;   L 0;   là toán tử liên  tục, thỏa điều kiện (2.35)  với mọi ... au  0  , thì bài toán (2.33), (2.34) chỉ có nghiệm tầm thường. Theo  các điều kiện của bổ đề (2.6), bài toán (2.33), (2.34) có nghiệm với mọi     0;1   Giả sử  u  là nghiệm của bài toán (2.34), (2.37)  với     0;1  Khi đó mở rộng tuần hoàn lên  R  với chu kỳ    là nghiệm của bài toán (2.39) và thỏa (2.26) nên thỏa (2.38) ■   2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) 2.3.1... 1    u n1  0    với  0  t        (2.41)   Và mở rộng tuần hoàn z  u .  lên  R  với chu kỳ      n Ta thấy  z : C n 1  0,   C 1  là toán tử tuyến tính bị chặn.   Giả sử       f  u  t   f  z  u    t          (2.42)  Xét phương trình (2.33), (2.34).   - Nếu hàm u  là một nghiệm  -tuần hoàn  của bài toán (2.1) thì ta xét  u là hạn chế của  u lên   0;   , khi đó ... y Toán tử  p0 : C I ; R n  L I ; Rn được gọi là bị chặn mạnh nếu tồn tại một hàm khả  0 C  thỏa  mãn với hầu hết  t  I    Hệ quả 1.8  Giả sử tồn tại số nguyên dương ρ, một toán tử tuyến tính bị chặn mạnh         p0 : C I ; R n  L I ; Rn  và một toán tử tuyến tính bị chặn  0 : C I ; Rn  R n sao cho bài toán (1.18) chỉ có nghiệm tầm thường và với mỗi     0,1  nghiệm bất kì của bài toán. ..  au  0  1    f  u  t          (2.39)  thỏa (2.25). Khi đó bài toán (2.1) có nghiệm   -tuần hoàn .   Chứng minh Với các hằng số  c1, , cn  bất kỳ, bài toán       2n i 1 i 1 y   t   0, y   0  0, y      ci  i  1, , n    (2.40)  có nghiệm duy nhất. Khi đó ta đặt  y  t , c1, , cn   là nghiệm của bài toán trên.   Với  u  C n 1  0;  , đặt   z  u  t   u  t ... thỏa  điều  kiện  (iii’)  của  định  nghĩa 1.5.  n Do đó   p,    O0  Từ đó theo hệ quả 1.6 thì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.     1.3 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.3), (1.4) Trong bài toán (1.3), (1.4) thì ta xét vectơ hàm f0 : I  R n  R n  thỏa điều kiện        Caratheodory, các toán tử  ti : C I ; R n  I  i  1,2  và  A : C I ; R n  Rnn  là tiên tục.   Đặt    I 0  t1 . hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao Chươngnàynghiêncứutínhgiảiđượccủa bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao vàápdụngcáckếtquả cho phương trình vi phân đốisốlệch,đốisốchậm. Chương. phạm vi nghiên cứu Lýthuyết bài toán biên, giảitích hàm, lýthuyết phương trình vi phân hàm. Lýthuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao.  4. Ý nghĩa khoa học và. Nghiêncứutínhgiảiđượccủa bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao. Từđó,ápdụngcáckếtquảđạtđược cho phương trình vi phân đốisốchậm,đốisố lệch. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên