nghiệm dương của một số lớp bài toán biên cho phương trình vi phân bậc cao

Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.. Hồ Chí Minh đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong thời gian học tậ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LƯƠNG NGỌC TIẾN

TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Lương Ngọc Tiến

TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI

Chuyên ngành: Toán Gi ải Tích

Mã s ố: 60 46 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUY ỄN ANH TUẤN

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến PGS.TS.Nguyễn Anh Tuấn lời cảm ơn sâu sắc và

chân thành nhất vì sự tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của Thầy dành cho tôi trong suốt thời gian làm luận văn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, trường Đại học KHTN TP Hồ Chí Minh, trường Đại học Quốc Tế TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo, Chuyên viên Phòng Sau Đại học - trường Đại học

Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học

tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã giành

thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, các bạn học viên cao học lớp Giải tích K19, trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm luận văn

Vì kiến thức bản thân còn hạn chế và thời gian có hạn nên luận văn sẽ khó tránh khỏi

những thiếu sót.Rất mong được sự nhận xét và chỉ bảo của Quí Thầy Cô và sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để luận văn ngày càng hoàn thiện hơn

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 3

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 0 6

M ỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

CHƯƠNG 1 8

NGHI ỆM DƯƠNG CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO 8

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC BA 8

1.1 Mở đầu 8

1.2 Hàm Green và đánh giá tiên nghiệm của nghiệm dương 8

1.3 Các định lý tồn tại nghiệm dương 15

1.4 Các định lý về sự không tồn tại nghiệm dương 22

CHƯƠNG 2 25

NGHI ỆM DƯƠNG CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO 25

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC BỐN 25

2.1 Mở đầu 25

2.2 Hàm Green c ủa bài toán (2.1),(2.2) 25

2.3 Các đánh giá cho nghiệm dương 27

2.4 Các định lý tồn tại nghiệm cho bài toán (2.1),(2.2) 29

2.5 Các định lý về sự không tồn tại nghiệm dương cho bài toán (2.1), (2.2) 35

CHƯƠNG 3 38

NGHI ỆM DƯƠNG CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO 38

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC N 38

3.1 Mở đầu 38

3.2 Hàm Green và các đánh giá tiên nghiệm 38

3.3 Các định lý về tồn tại, không tồn tại nghiệm dương của (3.1), (3.2) 44

3.6 Ví dụ Xét bài toán biên 52

K ẾT LUẬN 55

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 56

MỞ ĐẦU

Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân ra đời từ thế kỷ XVIII, song đến nay ngày càng phát triển mạnh mẽ do các ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực của

cuộc sống như:vật lý, cơ học, cơ khí, sinh học, kinh tế,…

Vấn đề nghiệm dương của các bài toán biên trong những năm gần đây được sự quan tâm sâu sắc bởi nhiều nhà toán học trên thế giới như: R.P.Agarwal,

D.O’Regan, D.R.Anderson, I.T.Kiguradze,…

Vấn đề nghiệm dương cho bài toán biên cho phương trình vi phân bậc cao ngày càng được nhiều người quan tâm và có nhiều kết qủa rộng lớn và sâu sắc theo các hướng khác nhau, nhưng có thể nói phương pháp chung là áp dụng định lý điểm bất động Guo –Krasnosel’skii trong nón

Mục đích chính của luận văn là ứng dụng định lý điểm bất động Guo – Krasnoselskii

để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm dương của các bài toán biên cho phương trình vi phân

bậc cao

Nội dung của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại, không tồn tại nghiệm dương của các phương trình vi phân bậc cao với các điều kiện biên khác nhau

Luận văn được chia làm 3 chương, cụ thể như sau

Chương 1: Nghiên cứu về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của phương

trình vi phân bậc ba dạng:

'''( ) ( ) ( ( )), 0 1

u t =g t f u t ≤ ≤t ,

với điều kiện biên: u(0)−αu'(0)=u p'( )=βu'(1)+γu''(1)=0

Chương 2: Nghiên cứu về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của phương

trình vi phân bậc bốn dạng:

''''( ) ( ) ( ( )), 0 1

u t =g t f u t ≤ ≤t ,

với điều kiện biên: u(0) =u'(0) =u''(1) =u'''(1) = 0

Chương 3: Nghiên cứu về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của phương

trình vi phân bậc n dạng:

( )( )+λ ( ) ( ( ))=0, 0< <1,

n

với các điều kiện biên cụ thể khác nhau

Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên năm cuối hoặc học viên cao học ngành Toán khi nghiên cứu về vấn đề nghiệm dương của phương trình vi phân bậc cao cũng như hệ phương trình vi phân

CHƯƠNG 0 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

0.1 Định nghĩa

Cho f t( ) xác định trên 0  t , f t( ) kh ả tích trên mọiđoạn a b, ,

(v ới 0   a b ) và s là tham s ố thực (hoặc phức) Ta định nghĩa biến đổi

Ta s ẽ ký hiệu L(f) là biến đổi Laplace của hàm f

Định lý 0.1.1 Giả sử L f t( ) và L g t ( ) t ồn tại Cho a và b là các hằng

Khi đó, biến đổi Laplace của ( )n

f t ồn tại với mọi savà

L f t s L f t s  f s  f  f 

0.2 Bi ến đổi Laplace ngược

Định nghĩa 0.2.1 Giả sử F là biến đổi Laplace của hàm liên tục f, tức là

( ) ( ) ( )

F s L f t s Khi đó hàm liên tục f được gọi là biến đổi Laplace ngược

c ủa hàm F và ký hiệu như sau

Cho hai hàm s ố f và g xác định trênthì hàm s ố f g định bởi

v ới giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của f và g

N ếu f và g là các hàm liên t ục trên 0, , khi đó

L(f g t)( )L f t ( ) L g t( )

0.4 Định lý Guo – Krasnosel’skii

Định nghĩa 0.4.1 Một toán tử gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó liên tục và ánh xạ một tập bị

chặn thành tập compact tương đối

Định nghĩa 0.4.2 Cho X là không gian Banach thực.Tập con lồi, đóng, khác rỗng P của X

gọi là một nón trong X nếu nó thỏa mãn các điều kiện

Chương 1 NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO

1.2 Hàm Green và đánh giá tiên nghiệm của nghiệm dương

Trong phần này sẻ nghiên cứu hàm Green của bài toán (1.1) ,(1.2) và chứng

minh một số đánh giá cho nghiệm dương của bài toán

Trong suốt phần này ta định nghĩa hằng số M = + −β γ βp Theo (H1), (H3) dễ

Ma trận hệ số của hệ trên có định thức là 2M > 0 nên hệ chỉ có nghiệm tầm thường

Trong (1.5), cho t p= ta thu được: y p'( ) = 0

Cho t =0 trong (1.4) và (1.5) ta được:

và G t s( , ) gọi là hàm Green của bài toán (1.2), (1.2)

Sau đây là một số tính chất của hàm G t s( , )

M ệnh đề 1.2.4 Nếu điều kiện (H2) được thỏa mãn, thì

u t G t s u s ds

Do G t s( , ) ≥ 0,0 ≤ ≤t 1, 0 ≤ ≤s 1, u'''( )t ≥ 0, 0 ≤ ≤t 1,nên khẳng định 1) được chứng minh

2) Chứng minh u t'( ) ≥ 0trên [ ]0, p và u t'( ) ≤ 0trên [ ]p,1

Tiếp theo ta định nghĩa hàm liên tụca: 0,1[ ] → [0,+∞) như sau:

2 2

−

Bây giờ ta có h'(0) > 0 và h r'( )1 <0, và h p'( ) = 0 Vì h’ lõm trên đoạn [ ]0,1 , nên tồn

tại r2∈(0, )r1 sao cho: h t'( ) > 0trên [0, r2), h t'( ) ≤ 0 trên [r p2, ],h t( ) ≥ 0 trên (p,1]

Từ h(0) ≥ 0 và h p( ) = 0 trên [ ]0,1 , ta có h t( ) ≥ 0 trên [ ]0,1

Vậy h t( ) ≥ 0 trên đoạn [ ]0,1 trong mọi trường hợp Mệnh đề được chứng minh 

Định lý 1.2.8.Giả sử các điều kiện (H1) – (H3) được thỏa mãn Khi đó:

→∞ =lim ( ) ( )

như vậy ta có: a t v p( ) ( ) 0 ≤v t0 ( ) ≤v p0 ( ), ∀ ∈  t  0 1 , và v p0( ) ≥ 0 , từ đây suy ra v0 ∈P.

• Dễ thấy T là toán tử liên tục

Lấy D u P u:   l l, 0 P là tập bị chặn trong P Ta sẽ chứng minh T(D) bị

chặn điểm và đồng liên tục Ta có:

2 0

22

0

22

2 2

p ( ) ( ( )))

2 2

1

22

+ ∫ (t −t )+ s t( −t) ( ) ( ( ))g s f u s ds

1 2 2 1 0

22

Hiển nhiên Tu t( )thỏa điều kiện (1.2), (vìu t( )thỏa điều kiện (1.2))

Theo Định lý 1.2.8 ta suy ra: a t Tu p( ) ( ) ≤Tu t( ) ≤Tu p( ), ∀ ∈  t  0 1 , hay T P( ) ⊂P. 

Định lý 1.3.4 Nếu BF0 < < 1 Af∞, thì bài toán (1.1),(1.2) có ít nhất một nghiệm

0 0

c∈ và δ > 0sao cho

1

1( ) c ( , ) ( ) ( )

c

c c

c c

c

c c

Vậy điều kiện (K1) được thỏa mãn, theo định lý Guo –Krasnosel’skii tồn tại điểm

bất động của T trong P∩ Ω Ω( 2 \ 1) Do đó bài toán (1.1),(1.2) có ít nhất một nghiệm

Với mỗi u∈P và u =H1,ta có

1

0 1

0 0

1 0

0 0

2 0 2 2

Nghĩa là Tu ≤ u . Do đó, nếu ta đặt Ω =2 {u∈X : u <H2},thì Ω ⊂ Ω1 2,và

Tu ≤ u , với mọi u∈ ∩ ∂ΩP 2

Vậy điều kiện (K2) được thỏa mãn, theo định lý Guo –Krasnosel’skii tồn tại điểm

bất động của T trong P∩ Ω Ω( 2 \ 1) Do đó bài toán (1.1),(1.2) có ít nhất một nghiệm

1.4 Các định lý về sự không tồn tại nghiệm dương

Sau đây là các tiêu chuẩn về sự không tồn tại nghiệm dương, đồng thời ta đưa

một ví dụ về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương

Định lý 1.4.1 Giả sử rằng (H1) – (H3) thỏa mãn Nếu Bf x( ) <x với mọi

x∈ +∞ , thì bài toán (1.1),(1.2) không có nghiệm dương

Ví d ụ 1.4.3.Xét bài toán biên bậc ba

u'''( )t =g t f u t( ) ( ( )), 0 < <t 1 (1.14)

u(0) −u'(0) =u'(3 / 4) =u'(1) +u''(1) = 0 (1.15) Trong đó

( )

u

f u F

1

2 0

Chương 2 NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO

g t dt>

2.2 Hàm Green c ủa bài toán (2.1),(2.2)

M ệnh đề 2.2.1 Hàm Green G: 0,1[ ] [ ]× 0,1 → [0,+∞)của bài toán (1.2),(1.2) được cho

( )− ''(0)− '''(0)= ( )

Từ đó suy ra

0'''( )= '''(0) +∫t ( )

Sử dụng điều kiện u''(1)=u'''(1)=0 ta thu được

0'''(0)= −∫t ( ) ,

Áp dụng kết quả trên, mệnh đề 2.1.1 được chứng minh 

Theo m ệnh đề 2.1.1, bài toán (2.1),(2.2) tương đương với phương trình tích phân

  = = (điều kiện (2.2)).Từ đây cho ta u t''( )≥ ∀ ∈  0, t  0 1,

Áp dụng kết quả u t''( ) ≥ ∀ ∈   0 , t  0 1 , , suy ra u t'( )không giảm trên đoạn   0 1 , và do

đó,

0 1 u t u 0 0

,

min '( ) '( )

  = = (điều kiện (2.2)), nên ta được u t'( ) ≥ ∀ ∈   0 , t  0 1 ,

Cuối cùng, lại áp dụng kết quả u t'( )≥ ∀ ∈  0, t  0 1, , suy ra u t'( )không giảm trên đoạn  0 1,

thấy rằng (2.8) đúng trong trường hợp này

• Nếu u( ) 1 > 0 Trước hết ta chứng minh vế trái của (2.8)

Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng u( ) 1 = 1

Vậy ta có h( ) 0 =h( ) 1 =h'( ) 0 =h''( ) 1 = 0

Theo định lý giá trị trung bình, vì h( ) 0 =h( ) 1 = 0 , tồn tại r1 ∈ ( , ) 0 1 sao cho h r'( )1 = 0

Từ h'( ) 0 =h r'( ) 1 = 0 , tồn tại r2 ∈ ( , ) 0 r1 sao cho h r''( )2 = 0 Từ (2.9) ta thấy h t''( )là hàm lõm trên khoảng ( , )0 1 Từ h r''( ) 2 =h''( ) 1 = 0 ,ta cóh t''( )≥0 với mọi t∈ ( , ) 0 r2 và

h t ≥ với mọi t∈( , )0 r1 và h t'( ) ≤ 0 với mọi t∈( , )r11

Từ điều kiện h( ) 0 =h( ) 1 = 0, kết hợp với h t'( ) ≥ 0 với mọi t∈ ( , ) 0 r1 và h t'( ) ≤ 0 với

mọi t∈ ( , )r1 1 dẫn đến h t( ) ≥ 0 với mọi t∈ ( , ) 0 1

Vậy phần trái của (2.8) được chứng minh khi u( ) 1 > 0

• Tiếp theo ta sẻ chứng minh phần phải của (2.8) khi u( ) 1 > 0 ,ta giả sử rằng

Từ (2.10) ta nhận thấy y(t) là hàm lồi, kết hợp với (2.11) ta được y t( ) ≥ ∀ ∈   0 , t  0 1 ,

Vậy phần phải của (2.8) được chứng minh khi u( ) 1 > 0 Từ đây suy ra điều phải

Mệnh đề 2.3.4 Giả sử các điều kiện (H1) và (H2) được thỏa mãn Nếu u(t) là một

nghiệm không âm của bài toán (2.1),(2.2), thì u(t) thỏa điều kiện (2.7) và (2.8)

Khi đó dễ thấy kết quả của mệnh đề được suy ra từ mệnh đề 2.3.2 và 2.3.3 

2.4 Các định lý tồn tại nghiệm cho bài toán (2.1),(2.2)

Trước hết ta định nghĩa các hằng số

• Lấy v∈P và λ > 0 Ta chứng minh λv∈P Thật vậy,

Vì v∈P nên λv( ) 1 ≥ 0 và λa t v( ) ( ) 1 ≤λv t( ) ≤λtv( ) 1 Từ đây suy ra λv∈P

• Giả sử v∈P và − ∈v P.Ta chứng minh v = 0

Do v∈P và − ∈v P nên ta có: v( ) 1 ≥ 0 và −v( ) 1 ≥ 0 Điều này dẫn đến v( ) 1 = 0

Ta lại có a t v( ) ( ) 1 ≤v t( ) ≤tv( ), 1 ∀ ∈  t  0 1 , (do v∈P), kết hợp với v( ) 1 = 0 suy ra

Mệnh đề tiếp theo cho thấy rằng nếu u∈P, thì u t( )đạt maximum tại t = 1

Hiển nhiên Tu t( )thỏa điều kiện (2.2),(vìu t( )thỏa điều kiện (2.2))

Theo m ệnh đề 2.3.3 ta suy ra:a t Tu( )( )( ) 1 ≤( )Tu t( ) ≤t Tu( )( ), 1 ∀ ∈  t  0 1 ,

0 1 ,

BF < <Af∞ thì bài toán (2.1),(2.2) có ít nhất một nghiệm dương

Ch ứng minh

Từ BF0 < 1, chọn ε > 0sao cho(F0+ε)B≤ 1.Từ định nghĩa của F0, ta thấy rằng tồn

tại H1>0sao cho

0 0

01

Điều này có nghĩa là Tu ≤ u . Do đó, nếu ta đặt Ω =1 {u∈X : u <H1},thì

( )

0 1

δδδ

Nghĩa là Tu ≥ u . Do đó, nếu ta đặt Ω =2 {u∈X : u <H2},thì Ω ⊂ Ω1 2,và

Tu ≥ u , với mọi u∈ ∩ ∂ΩP 2

Vậy điều kiện (K1) được thỏa mãn, do đó áp dụng định lý Guo –Krasnosel’skii tồn

tại điểm bất động của T trong P∩ Ω Ω( 2\ 1) Vậy bài toán (2.1),(2.2) có ít nhất một

0 0

1

0 0

εε

0 0

Nghĩa là Tu ≤ u . Do đó, nếu ta đặt Ω =2 {u∈X : u <H2},thì Ω ⊂ Ω1 2,và

Tu ≤ u , với mọi u∈ ∩ ∂ΩP 2

Vậy điều kiện (K2) được thỏa, do đó áp dụng định lý Guo –Krasnosel’skii tồn

tại điểm bất động của T trong P∩ Ω Ω( 2\ 1) Vậy bài toán (2.1),(2.2) có ít nhất một

nghiệm dương 

2.5 Các định lý về sự không tồn tại nghiệm dương cho bài toán (2.1), (2.2)

Sau đây là một vài tiêu chuẩn về sự không tồn tại nghiệm dương, đồng thời ta đưa

một ví dụ về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương

Định lý 2.5.1 Nếu (H1),(H2), và điều kiện sau được thỏa

−

<B ∫G( , ) ( ) ( )s g s u s ds

1 1 0

thì bài toán (2.1),(2.2) không có nghiệm dương

Ví d ụ 2.5.3 Xét bài toán giá trị biên bậc bốn

( ) ( ) ( ( )), 0 1

u(0) =u'(0) =u''(1) =u'''(1) = 0 , (2.15) Trong đó

( )

u

f u F

Chương 3 NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO

∫a t dt

3.2 Hàm Green và các đánh giá tiên nghiệm

M ệnh đề 3.2.1 Giả sử rằngy C∈ [ ]0,1 , khi đó nghiệm của phương trình vi phân

Đặt u s( )=L u t( ( )), f s( )=L f t( ( ))

Tác động toán tử Laplace vào hai vế của phương trình (3.5), ta được

2( )− − (0)= − ( )

Nếu 0 ≤ ≤ ≤t s 1, thì

2 2

(1 )( , )

( , ) (1, ) =

Gọi u s y s( ), ( ) lần lượt là biến đổi Laplace của các hàm u t y t( ), ( )

Tác động toán tử Laplace vào hai vế của phương trình (3.9), ta được

( 1)( )− − (0)= − ( )

Từ đây suy ra

( 1)(0) ( )

( , ) (1, )

u t G t s y s ds

trong đó

Gọi u s y s( ), ( ) lần lượt là biến đổi Laplace của các hàm u t y t( ), ( )

Tác động toán tử Laplace vào hai vế của phương trình (3.13), ta được

( 1)( )− − (0)= − ( )

Từ đây suy ra

( 1)(0) ( )

( , )

.(1, )

4

( , )

(1, )

Các hàm G t s G t s2( , ), 3( , )và G t s4( , ) theo th ứ tự đó gọi là hàm Green của các bài toán (3.5)

v ới điều kiện (3.2); (3.9) với điều kiện (3.3) và (3.13) với điều kiện (3.4)

3.3 Các định lý về tồn tại, không tồn tại nghiệm dương của (3.1), (3.2)

Xét phương trình vi phân ( )

( )+λ ( ) ( ( ))=0, 0< <1,

n

u t a t f u t t với điều kiện (3.2)

Theo m ệnh đề 3.2.1,ta thấy rằng u t( )là nghiệm của bài toán (3.1), (3.2) nếu và chỉ nếu

Xét không gian Banach X =C[ ]0,1 với chuẩn'' max'', tức là [ ]

1 1

T là toán tử hoàn toàn liên tục

Khi đó bài toán (3.1),(3.2) tương đương với phương trình toán tử

2 2 0 1

2 0 1 2

0 2

( ) ( , ) ( ) ( ( ))

( ) ( , ) ( ) ( ( ))( )max ( , ) ( ) ( ( ))

0 1 2

Vậy điều kiện (K1) được thỏa mãn, do đó theo định lý Guo –Krasnosel’skii tồn

tại điểm bất động của T trong P∩ Ω Ω( 2\ 1) Vậy bài toán (3.1), (3.2) có ít nhất một

f u( ) (2 ≥ f0−ε)u2 với 0 < ≤u H1

Với mỗi u∈P và u =H1,ta có

1 2 0 1

Vậy điều kiện (K2) được thỏa mãn, do đó theo định lý Guo –Krasnosel’skii tồn

tại điểm bất động của T trong P∩ Ω Ω( 2\ 1) Vậy bài toán (3.1), (3.2) có ít nhất một

Định lý 3.3.4 và 3.3.5 cho ta các tiêu chuẩn nhận biết sự tồn tại nghiệm dương