Ứng dụng đạo hàm của hàm số một biến vào việc giải một số lớp bài toán chương trình trung học phổ thông

-1- -2- B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Cơng trình đư c hồn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG Đ I H C ĐÀ N NG NGUY N TH HOÀNG HI U Ngư i hư ng d n khoa h c: TS Nguy n Ng c Châu NG D NG Đ O HÀM C A HÀM S M TS M T BI N VÀO VI C GI I L P BÀI TỐN CHƯƠNG TRÌNH TRUNG H C PH Ngư i ph n bi n 1: Ngư i ph n bi n 2: THƠNG Lu n văn s đư c b o v trư c H i ñ ng ch m Lu n văn Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60.46.40 t t nghi p th c sĩ ngành Toán h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày tháng năm 2011 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Có th tìm hi u lu n văn t i: Đà N ng - Năm 2011 Trung tâm Thông tin – H c li u, Đ i h c Đà N ng Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m , Đ i h c Đà N ng -3M -4- Đ U Lý ch n ñ tài: Đ o hàm c a hàm s m t nh ng n i dung b n c a gi i tích tốn h c, có vai trị quan tr ng khơng nh ng toán h c mà c nh ng ngành khoa h c khác Trong chương trình tốn c p Trung h c ph thơng hi n hành, đ o hàm c a hàm m t bi n ñư c gi ng d y t năm l p 11 Ph n ng d ng c a ñ o hàm h c sinh ñư c h c năm h c cu i c p (l p 12), nhiên v i th i lư ng không nhi u ch m t m c ñ nh t ñ nh N u khơng n m v ng khái ni m đ o hàm nh ng ng d ng c a h c sinh ph thơng s khó khăn đ h c t t mơn Tốn m t s môn h c khác Đ ng th i ñ o hàm m t ph n ki n th c khơng th thi u đ thi n sinh Đ i h c – Cao ñ ng, ñ thi h c sinh gi i c p qu c gia, qu c t Nh m m c đích tìm hi u h th ng ng d ng c a ñ o hàm chương trình Trung h c ph thơng, tơi ch n đ tài ‘‘ ng d ng ñ o hàm c a hàm s m t bi n vào vi c gi i m t s l p toán thu c chương trình Trung h c ph thơng’’ cho lu n văn c a M c đích nghiên c u - Tìm hi u, nghiên c u ki n th c v ñ o hàm c a hàm m t bi n nh ng ng d ng c a - H th ng phân lo i m t s l p toán thu c chương trình Trung h c ph thơng có th gi i ñư c nh ng d ng c a ñ o hàm - Đưa qui trình, ñ nh hư ng vi c ng d ng ñ o hàm vào vi c gi i toán Đ i tư ng ph m vi nghiên c u - Chương trình tốn Trung h c ph thơng - Các ng d ng c a ñ o hàm hàm s m t bi n chương trình Trung h c ph thơng - L p tốn có th gi i ñư c b ng phương pháp ñ o hàm Phương pháp nghiên c u - Nghiên c u lý thuy t tài li u v ñ o hàm như: sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham kh o, t p chí tốn h c, tài li u khác t internet - Nghiên c u th c t thông qua vi c gi ng d y, rút kinh nghi m, k t h p v i ki n th c ñã ñ t đư c q trình thu th p thơng tin ñ h th ng ñưa d ng tốn c th gi i đư c b ng phương pháp ñ o hàm - Trao ñ i, th o lu n v i th y hư ng d n lu n văn Ý nghĩa khoa h c th c ti n c a ñ tài N u hoàn thi n t t h th ng ki n th c khai thác ñư c ng d ng c a ñ o hàm vi c gi i toán s giúp cho h c sinh kh c sâu ki n th c v ñ o hàm, đ ng th i có th ch đ ng, linh ho t v n d ng ng d ng c a ñ o hàm ñ gi i nh ng toán sơ c p B c c lu n văn N i dung lu n văn ñư c c u trúc sau: M ñ u Chương - Đ o hàm c a hàm s m t bi n Chương - ng d ng c a đ o hàm chương trình Trung h c ph thông K t lu n -5- -6- CHƯƠNG - Đ O HÀM C A HÀM S M T BI N Chương trình bày sơ lư c ki n th c s v ñ o hàm c a hàm s m t bi n ñ làm ti n đ cho chương sau ∆y có gi i h n tan β có gi i h n ∆x Như v y β d n đ n m t góc xác đ nh mà ta g i α , nghĩa cát n MN d n đ n m t v trí gi i h n Mt t o v i chi u ∆y dương c a Ox m t góc α V y tan α = lim ∆ x → ∆x Theo đ nh nghĩa đ o hàm ta có: tanα = f ' ( x0 ) Cho hàm s y = f(x) có đ th (C) có ñ o hàm t i x Khi ñó ta có: Đ nh lý 1: Đ o hàm f ' ( x ) c a hàm s f(x) t i x b ng h s góc c a ti p n v i ñ th (C) t i M ( x , f( x )) Đ nh lý 2: Phương trình ti p n c a hàm s y = f(x) có đ th ′ (C) t i ñi m M ( x0 , y0 ) là: y − y0 = f (x0 ).(x− x0 ) 1.5.2 Ý nghĩa v t lý c a đ o hàm 1.5.2.1 Bài tốn v n t c t c th i Xét s chuy n ñ ng th ng c a m t ch t ñi m Gi s quãng ñư ng s ñi ñư c c a m t hàm s s = s(t) c a th i gian t (s = s(t) cịn g i phương trình chuy n đ ng c a ch t ñi m) Trong kho ng th i gian t t ñ n t, ch t ñi m ñi ñư c quãng 1.1 Đ NH NGHĨA Đ O HÀM T I M T ĐI M 1.2 Đ NH NGHĨA Đ O HÀM TRÊN M T KHO NG, ĐO N 1.3 Đ O HÀM C P CAO 1.4 TÍNH ĐƠN ĐI U C A HÀM S 1.5 Ý NGHĨA HÌNH H C VÀ V T LÍ C A Đ O HÀM 1.5.1 Ý nghĩa hình h c c a ñ o hàm Xét m t ñư ng cong (C) ñ th c a hàm s y = f(x), ñi m M c ñ nh (C) m t cát n di ñ ng MN N u N di chuy n (C) ñ n ñi m M mà cát n MN d n đ n m t v trí gi i h n Mt đư ng th ng Mt đư c g i ti p n c a ñư ng cong (C) t i ñi m M Đi m M ñư c g i ti p ñi m G i M ( x0 ; f ( x )) ñi m N ( x0 + ∆x; f ( x0 + ∆x)) H s góc c a cát n MN là: tan β = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆x = ∆y ∆x Cho N d n ñ n M (C), lúc ∆x → (hình 1.1) ñư ng là: s −s0 = s(t) −s(t0 ) N u ch t ñi m chuy n ñ ng ñ u t s : c m t h ng s v i m i t Đó v n t c c a chuy n ñ ng t i m i th i ñi m N u ch t m chuy n đ ng khơng ñ u t s v n t c trung bình c a chuy n đ ng kho ng th i gian t − t y f ( x + ∆x ) N β M f(xo) t α β O x0 x o + ∆x N ut s x Khi t g n to, t c t − t nh v n t c trung bình th hi n đư c xác m c đ nhanh ch m c a chuy n ñ ng t i th i ñi m t0 s(t) − s(t0 ) (n u có) t→t0 t − t0 Ngư i ta g i gi i h n h u h n: v(t0 ) = lim v n t c t c th i c a chuy n ñ ng t i th i m t Hình 1.1: Minh h a cho ti p n -7- -8- V y v n t c t c th i v(t ) t i th i ñi m t (v n t c t i t ) c a m t chuy n đ ng có phương trình s = s(t) b ng ñ o hàm c a hàm s s = s(t) t i ñi m t , t c : v(t ) = s' (t ) 1.5.2.2 Bài toán gia t c t c th i Cho phương trình chuy n ñ ng th ng: s = s(t), gi thuy t s(t) có đ o hàm c p hai Ta bi t, v n t c t c th i th i ñi m t c a chuy n ñ ng là: v(t)= s’(t) Cho t m t s gia ∆t v(t) có s gia tương ng ∆v ∆v ñư c g i gia t c trung bình c a chuy n đ ng T s ∆t kho ng th i gian ∆t ∆v Gi i h n n u có c a t s ∆t → ñư c g i gia t c ∆t t c th i t i th i ñi m t c a chuy n ñ ng, kí hi u γ (t ) ∆v Ta có: γ ( t ) = lim = v ' ( t ) , v’(t)= s”(t) ∆t → ∆ t V y: “ Gia t c t c th i t i th i ñi m t c a chuy n ñ ng : γ (t ) = s" (t ) ” 1.5.2.3 Bài toán cư ng ñ t c th i Đi n lư ng Q truy n dây d n m t hàm s c a th i gian t: Q = Q (t ) Cư ng đ trung bình c a dịng n kho ng th i gian V y cư ng ñ t c th i I (t ) c a dịng n t i th i ñi m t (v n t c t i t ) b ng ñ o hàm c a hàm s Q = Q (t ) t i ñi m t , t c : I (t ) = Q' (t ) t − t : I tb = Q(t ) − Q(t0 ) t − t0 N u t − t nh t s bi u th xác cư ng đ dịng n t i th i ñi m to Ngư i ta g i gi i h n h u Q (t ) − Q (t ) h n: I (t ) = lim (n u có) cư ng ñ t c th i c a t →t0 t − t0 dịng n t i th i m t 1.6 Ý NGHĨA C A Đ O HÀM TRONG KINH T Cho hàm s y = f(x) v i x, y bi n kinh t , x bi n đ c l p hay bi n ñ u vào; y bi n ph thu c hay bi n ñ u Trong qu n tr kinh doanh, ngư i ta hay quan tâm ñ n xu hư ng thay ñ i c a y x thay ñ i m t lư ng nh V i ñ nh nghĩa ñ o hàm c a hàm m t bi n, ta có: f ' ( x ) = lim ∆x → Khi ∆x đ nh ta có th vi t : ∆y ∆x ∆y f ( xo + ∆x) − f ( x0 ) = ≈ f ' ( x0 ) ∆x ∆x ⇔ ∆y = f ( xo + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ' ( x0 ).∆x Khi ∆x = ⇒ ∆y ≈ f ' ( x0 ) V y ñ o hàm bi u di n x p x lư ng thay ñ i c a bi n s y bi n s x tăng thêm m t ñơn v V i quan h hàm y = f(x) ñ mô t s thay ñ i c a bi n kinh t y, bi n kinh t x thay ñ i, g i f ' ( x0 ) giá tr biên t y t i x0 (còn g i biên t ) V i m i hàm kinh t biên t có m t tên g i riêng, ch ng h n: dTR Hàm doanh thu: TR = p.Q (trong p giá bán dQ m t s n ph m, Q s lư ng hàng bán ñư c) ñư c g i doanh thu biên t Hàm chi phí: TC = f ( x) dTC df , (v i x s n lư ng) = dx dx ñư c g i chi phí biên t Hàm s n xu t Q = f(L), (v i L s dQ df ñư c g i s n lư ng biên t = dL dL lao ñ ng) -9- - 10 - 1.7 B NG Đ O HÀM CÁC HÀM S (C)’ = (C = const) SƠ C P 13 ( u )' = (x)’ = 1, v i m i x ′ ( x ) = x , ∀x > (xn)’ = n.xn – ( u' u , ñk: u > 14 ( u α )’ = α u ' u α −1 u' 15 ( )' = − , ∀u ≠ u u 1 )' = − , ∀x ≠ x x 16 (sinu)’ = u’.cosu (sinx)’ = cosx 17 (cosu)’ = - u’.sinu (cosx)’ = - sinx 18 (tan u )' = = + tan x ( cos x) ( tan x) ' = ( cot x)' = −1 = −(1 + cot2 x) ( sin x) 10 (ln x ) ' = , x≠ x , x ln a a ≠ 1, x ≠ 19 (cot u )' = ( ) 20 ln u ' = − u' (sin u ) u' , u≠ u 21 (au)’ = u’.au lna 11 (ax)’ = ax lna 12 (log a x )' = u' , (cos u ) 22 (log a u )' = v i a>0 , u ' ln a u ≠ 0, a > a ≠ CHƯƠNG NG D NG Đ O HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG H C PH THƠNG Chương n i dung c a lu n văn, trình bày nh ng ng d ng c a ñ o hàm hàm s m t bi n chương trình trung h c ph thơng 2.1 M T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N KH O SÁT HÀM S 2.1.1 Ti p n c a đư ng cong Các tốn l p phương trình ti p n c a m t đư ng cong thư ng g p d ng sau: Ti p n t i m t ñi m thu c ñư ng cong Ti p n ñi qua m t ñi m cho trư c Ti p n có h s góc cho trư c Lưu ý: Gi s hai ñư ng th ng d1 , d2 l n lư t có h s góc k1, k2 đó: - N u d1 vng góc v i d2 ch k1 k2 = - - N u d1 song song v i d2 k1 = k2 Ta xét toán t ng quát sau: Cho hàm s y = f(x) có đ th (C) có đ o hàm mi n xác đ nh c a Vi t phương trình ti p n d c a (C), bi t r ng: a d ti p xúc v i (C) t i M ( x0 ; f ( x0 )) b d ñi qua A( x A ; y A ) c d có h s góc k cho trư c Hư ng gi i: a Tính f’(x0) Phương trình ti p n c a ñ th (C) t i M ( x0 ; f ( x0 )) có d ng: y − y0 = f '(x0 )(x − x0 ), v i y0 = f (x0 ) b G i d ñư ng th ng b t kỳ ñi qua A(xA ; yA) có h s góc k, phương trình c a d là: y = k(x- xA ) + y A Đi u ki n ñ ñư ng th ng d ti p xúc (C) h phương trình:  f (x) = k(x − xA ) + yA ph i có nghi m (nghi m ( x A ; k ) c a h   f ' (x) = k hồnh đ ti p m h s góc k c a ti p n) - 11 - - 12 - c Gi i phương trình f’(x) = k Các nghi m c a phương trình (n u có) hồnh ñ ti p ñi m Gi s x o m t nghi m c a phương trình f’(x) = k yo = f (xo) Khi phương trình ti p n có h s góc k, t i m có t a đ (xo ; f (xo)) là: y – y0 = f’(x0)(x – x0) Ví d : Cho hàm s y = x3 + 3x2 có đ th (C) Tìm t t c m tr c hồnh mà t k ñư c ñúng ba ti p n ñ n đ th (C), có hai ti p n vng góc v i Gi i: T p xác ñ nh c a hàm s : D = R Ta có: y = x + 3x ⇒ y ' = 3x + x G i M (a ; ) ∈ Ox , đư ng th ng (d) qua M có h s góc k có phương trình là: y = k( x - a)  x + 3x = k (x − a ) có Đ (d) ti p xúc (C) h phương trình ⇔   3 x + x = k  nghi m Suy ra: x + 3x = (3x + x)( x − a) ⇔ 2x − 3(a − 1) x − 6ax = x = ⇔ x 2x2 − 3(a −1) x − 6a = ⇔  (2.1) 2x − 3(a −1) x − 6a = V i x = ⇒ k = ⇒ phương trình ti p n y = Đ t M k ñư c ti p n ñ n (C) có ti p n vng góc v i phương trình (2.1) có nghi m phân bi t x1 , x ≠ k1 k = − , ñi u có nghĩa là: [ ] a ≠  ∆ > ( 3x2 + x )(3x2 + x ) = −1 2  a ≠  ⇔ 9( a − 1) + 48a >  9( x1 x ) + 18 x1 x ( x1 + x ) + 36 x1 x = −1 (2.2) 3( a − ) −1 −1   a < −3 ∨ a > a < −3 ∨ a >   (2.2) ⇔ a ≠ ⇔ a ≠ 81a − 81a(a −1) −108a +1 = 1 − 27a =     ⇔ a= 27 V y ch có m M ( , 0) ∈ Ox tho u ki n tốn 27 2.1.2 C c tr c a hàm s Gi s hàm s f(x) xác ñ nh t p h p D (D ⊂ R ) x ∈ D Khi x đư c g i m t ñi m c c ñ i (tương ng c c ti u) c a hàm s f(x) n u t n t i m t kho ng ( a ; b ) ch a ñi m x cho (a ; b ) ⊂ D f ( x) < f ( x0 ) (tương ng Theo cơng th c Viet x1x2 = - 3a x1 + x2 = f ( x ) > f ( x0 ) ) v i m i x ∈ (a ; b ) \ {x0 } Khi ñó f ( x0 ) ñư c g i giá tr c c ñ i c a hàm s ( tương ng giá tr c c ti u c a hàm s ) Đi m c c ñ i, ñi m c c ti u ñư c g i chung ñi m c c tr Giá tr c c ñ i giá tr c c ti u ñư c g i chung giá tr c c tr c a hàm s Đ nh lí (Đi u ki n c n ñ hàm s ñ t c c tr ): Gi s hàm s f(x) ñ t c c tr t i ñi m x0 Khi đó, n u f(x) có đ o hàm t i x0 f ' ( x0 ) = Đ nh lí (Đi u ki n ñ ñ hàm s ñ t c c tr ): Gi s hàm s f(x) liên t c kho ng (a ; b)) ch a x0 có đ o hàm kho ng (a ; x0) (x0 ; b) Khi đó: - 13 a N u f ' ( x0 ) < , ∀x ∈ (a ; x ) hàm s - 14 f ' ( x0 ) > , ∀x∈ ( x ; b ) f(x) đ t c c ti u t i ñi m x0 b N u f ' (x0 ) > 0, ∀x∈ (a ; x0 ) f '(x0 ) < 0, ∀x∈( x0 ; b) hàm s f(x) đ t c c ñ i t i ñi m x0 Đ nh lí 3: Gi s hàm s f(x) có đ o hàm c p m t kho ng (a ; b) ch a ñi m x0 , f ' ( x0 ) = f(x) có đ o hàm c p hai khác t i x0 a N u f " ( x ) < hàm s f(x) ñ t c c ñ i t i ñi m x0 b N u f " ( x ) > hàm s f(x) ñ t c c ti u t i ñi m x0 Các tốn liên quan đ n c c tr hàm s thư ng g p là: tìm c c tr c a hàm s ; tìm u ki n đ hàm s có c c tr ; vi t phương trình đư ng th ng qua ñi m c c tr c a hàm s ,… Phương pháp chung: Đ tìm c c tr c a hàm s y = f(x), ta có th dùng ñ o hàm c p m t ho c ñ o hàm c p hai: a Dùng ñ o hàm c p m t: Ta th c hi n sau: - Tìm t p xác đ nh D c a hàm s ; - Tìm đ o hàm y’ = f’(x); - L p b ng bi n thiên, d a vào b ng bi n thiên ñ k t lu n b Dùng ñ o hàm c p hai (đ i v i hàm s có ñ o hàm c p hai): Ta th c hi n sau: - Tìm t p xác đ nh D c a hàm s ; - Tìm đ o hàm y ' = f ' ( x) y " = f "( x) ; - Tìm m x0 ∈ D mà f ' ( x ) = N u f " ( x0 ) < (tương ng f " ( x0 ) > ) x m c c ñ i (tương ng x0 ñi m c c ti u) N u f " ( x0 ) = chưa có k t lu n tính c c tr c a x Ví d : Cho hàm s y = x + 3(m - 3) x + 11- 3m có đ th ( Cm ) a Tìm m đ hàm s có hai c c tr b G i M M ñi m c c tr , tìm m đ m M , M ñi m B (0; -1) th ng hàng Gi i: a Tìm m đ hàm s có hai c c tr T p xác đ nh c a hàm s D = R y = x + 3( m − 3) x + 11 − 3m ⇒ y ' = x + 6( m − 3) x x = y ' = ⇔ x + 6( m − 3) x = ⇔  x = − m Hàm s có c c tr ⇔ phương trình y’ = có nghi m phân bi t ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ V y đ hàm s có hai c c tr m ≠ b Tìm m ñ ñi m c c tr M1, M2 B (0; -1) th ng hàng Chia f(x) cho f ' ( x ) , ta ñư c: m −3 1 f ( x ) = f ' ( x ) x +  − (m − 3) x + 11 − 3m   Suy phương trình đư ng th ng M1M2 là: y = − (m − 3) x + 11 − 3m Ba ñi m M1, M2, B th ng hàng ⇔ B ∈ M1M2 ⇔ -1 = 11 - 3m ⇔ m = 4, th a ñi u ki n m ≠ V y m = ba ñi m M1, M2, B th ng hàng 2.2 TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T C A HÀM S 2.2.1 Đ nh nghĩa Gi s hàm s f(x) xác ñ nh t p h p D (D ⊂ R ) a N u t n t i m t ñi m x0 ∈D cho f ( x) ≤ f ( x0 ) , ∀x ∈ D s M = f ( x0 ) ñư c g i giá tr l n nh t c a hàm s f(x) D, ký hi u M = max f ( x ) x∈D b N u t n t i m t ñi m x0 ∈ D cho f ( x) ≥ f ( x ) , ∀x ∈ D - 15 - - 16 - s m = f ( x0 ) ñư c g i giá tr nh nh t c a hàm s f(x) D, ký hi u m = f ( x) - Tính giá tr f(a), f(b), f( x i ) ( i= 1,2 ) - S l n nh t M s nh nh t m giá tr l n lư t giá tr l n nh t; giá tr nh nh t c a hàm s [a ; b] 2.2.4 Ví d Cho m t t m nhơm hình vuông c nh a Ngư i ta c t góc hình vng b ng r i g p t m nhơm l i đ có m t h p khơng n p Tính c nh c a hình vng b c t cho th tích c a kh i h p l n nh t Gi i: G i x ñ dài c nh c a hình vng b c t, u ki n a 0 Suy hàm s f(x) có nhi u nh t hai nghi m Mà f(0) = f(1) nên phương trình cho có hai nghi m x = x = 2.4 CH NG MINH B T Đ NG TH C 2.4.1 Phương pháp chung Cơ s c a phương pháp s d ng ñ o hàm ñ ch ng minh b t ñ ng th c v n d ng tính ñơn ñi u c a hàm s , c th : Xét hàm s f(x) có đ o hàm ño n [a; b] a N u f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] hàm s f(x) ñ ng bi n [a; b] suy f (a ) ≤ f ( x) ≤ f (b) b N u f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b ] hàm s f(x) ngh ch bi n [a; b] suy f (b) ≤ f ( x ) ≤ f (a ) 2.4.2 Ví d Ch ng minh r ng: e x−1 ≥ x, ∀x ∈ R D u b ng x y ch x = Gi i: Xét hàm s f(x) = ex – – x R Ta có: f ' ( x) = e x−1 − , ∀x ∈ R Phương trình f’(x) = ⇔ ex – – = ⇔ x = T tính ch t c a hàm s mũ suy ra: f’(x) > x > 1, f’(x) < x 0, ∀x ∈ R , x ≠ f ( x) = ⇔ x = , nghĩa là: e x − ≥ x, x ∈ R , d u b ng x y ch x = V y tốn đư c ch ng minh ⇒ AM , AB = ( −2t − 2; − 2t − 1; 2t + 2) V y: 1 S ∆AMB = AM , AB = (2t + 2)2 + (2t + 1)2 + (2t + 2)2 2 = 12t + 20t + Xét hàm s : f (t ) = 12t + 20t + > Ta có: f ' (t ) = 24t + 20, f'(t) = ⇔ t = - , hàm s có đ th m t parabol có b lõm quay lên Do f(t) có giá tr nh 1 3 nh t t = − M  ;− ;−  6 2 1 3 V y ñ di n tích tam giác AMB nh nh t M  ;− ;−  6 2 2.6 GI I CÁC BÀI TOÁN LƯ NG GIÁC 2.6.1 Phương pháp chung - Bi n ñ i bi u th c lư ng giác v d ng m t bi u th c c a m t hàm s lư ng giác (ho c m t nhóm hàm lư ng giác) theo m t cung (ho c m t góc ) - Đ t n ph , tìm mi n giá tr c a n ph Chuy n hàm ñã cho v hàm ñơn gi n - S d ng ñ o hàm tính ch t liên quan đ n hàm m t bi n đ gi i 2.6.2 Ví d Cho hàm s : f ( x) = cos2 2x + 2(sin x + cos x) − 3sin 2x + m Tùy theo giá tr c a m, tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a f(x) T tìm m cho: ( f ( x) )2 ≤ 36, ∀x ∈ R Gi i: Ta có: f ( x) = cos2 x + 2(sin x + cos x)3 − sin x + m = − sin 2 x + 2(sin x + cos x) − sin x + m 2.5 GI I CÁC BÀI TỐN HÌNH H C 2.5.1 Phương pháp chung Các tốn c c tr hình h c thư ng g p là: xác ñ nh t a ñ c a m t m, l p phương trình c a m t ñư ng th ng hay m t m t ph ng ñ m t bi u th c hình h c đ t giá tr l n nh t hay nh nh t Thông thư ng g p d ng toán ta gi i theo phương pháp sau: Đ t m t ñ i lư ng thay đ i b ng bi n t (lưu ý ñ n mi n xác ñ nh c a bi n t), chuy n toán v vi c kh o sát hàm m t bi n t, sau v n d ng đ o hàm ki n th c liên quan ñ n hàm m t bi n ñ gi i quy t 2.5.2 Ví d x + y − z − = hai Cho ñư ng th ng ∆ có phương trình:  2 x − y − = ñi m A(2; -1; 1); B(1; -1; 0) Tìm m M thu c đư ng th ng ∆ đ di n tích tam giác AMB ñ t giá tr nh nh t Gi i: Xét c p vectơ pháp n c a hai m t ph ng xác ñ nh ñư ng th ng ∆ n1 (1;1;−1) n2 (2; − 1; 0) , ñư ng th ng ∆ ñi qua [ ] N(1; 1; 1) có vectơ ch phương u = n1 , n = (−1;−2 ;−3) hay u = ( 1; ; ) nên phương trình tham s c a ñư ng th ng ∆ : x = + t   y = + 2t  z = + 3t  G i M(1+t; 1+2t; 1+3t) ñi m thu c ñư ng th ng ∆ Ta có: AM (t − 1; 2t + 2; 3t ), AB(−1; 0; − 1) [ ] [ ] - 21 - - 22 - Đ t: t = sin x + cos x , − ≤ t ≤ Khi đó: t = 1+ sin2x ⇒sin2x = t −1 Lúc f(x) tr thành: g (t ) = − (t − 1) + 2t − 3(t − 1) + m = −t + 2t − t + + m ⇒ g ' (t ) = − 4t + 6t − 2t = − 2t ( 2t − 3t + 1)  t =  ⇒ g ' (t ) = ⇔ t =  t =  B ng bi n thiên: t g’(t) g(t) - + m+3 m−3− - m+ 47 16 + m+3 - m−3+ T b ng bi n thiên ta ñư c: f ( x) = g (t ) = m − − ; max f ( x) = max g (t ) = m + Theo gi thi t tốn thì: ( f ( x) )2 ≤ 36 ⇔ −6 ≤ f ( x) ≤ B t ñ ng th c ñúng v i m i x ∈ R , : − ≤ f ( x) ⇔  6 ≥ max f ( x) m − − ≥ −6 ⇔ −3 ≤ m ≤  m + ≤ V y ñ ( f ( x) )2 ≤ 36, ∀x ∈ R − ≤ m ≤ 2.7 M T S BÀI TOÁN TH C T Đ o hàm c a hàm s m t bi n ñư c ng d ng ñ gi i quy t nhi u toán th c t cu c s ng Đ gi i nh ng toán v y, ta ph i c vào ñi u ki n c a tốn đ tìm bi n s đ c l p, bi u th c hàm s liên h gi a ñ i lư ng ph i kh o sát v i bi n s ñ c l p Sau m t s tốn v y: Ví d M t nhà máy s n xu t can hình tr b ng kim lo i có th lít Tìm kích thư c c a hình tr đ nhà máy s n xu t can t n kim lo i nh t Gi i: Ta có can đư c bi u di n hình 2.1, g i r bán kính, h chi u cao c a hình tr h (đơn v tính cm) Đ t n kim lo i nh t có nghĩa t ng di n tích (di n tích r tồn ph n) c a hình tr nh nh t Ta d dàng th y n u c t m t Hình 2.1 : Minh h a cho xung quanh c a hình tr theo m t can ñư ng sinh r i tr i m t m t ph ng ta s đư c m t hình ch nh t có chi u dài c nh 2πr h Vì v y di n tích tồn ph n c a m t tr A = 2πr + 2πrh Theo gi thi t can có ñư c th tích lit = 1000 cm 1000 Do đó: V = Bh = πr h = 1000 ⇒ h = , thay vào bi u πr th c A , ta ñư c: 1000 2000 A = 2πr + 2πrh = 2πr + 2πr ( ) = 2πr + r πr Bài tốn tr thành tìm giá tr nh nh t c a hàm s : 2000 A(r ) = 2πr + , r>0 r - 23 - - 24 - 2000 4(πr − 500) Ta có: A' (r ) = 4πr − = r r2 500 ⇒ A' (r ) = ⇔ r = , r>0 π L p b ng bi n thiên: r A’(r) - A(r) +∞ 500 π +  500   A  π    D a vào b ng bi n thiên ta th y A ñ t giá tr nh nh t 500 r=3 Đ ng th i h = 1000 = 1000 = 23 500 = 2r π π πr  500   π3  π    V y ñ t n nguyên li u s n xu t can can hình tr có 500 bán kính r = (cm) chi u cao g p đơi bán kính t c π h = r = 23 500 π (cm) K T LU N Lu n văn “ ng d ng ñ o hàm c a hàm s m t bi n vào vi c gi i m t s l p tốn thu c chương trình Trung h c ph thơng” ñã th c hi n ñư c v n ñ sau ñây: Thông qua tài li u v hàm s m t bi n ñ c bi t ñ o hàm ñ h th ng phân lo i m t s l p toán thu c chương trình Trung h c ph thơng có th gi i ñư c b ng ñ o hàm c a hàm s m t bi n C th là: tốn liên quan đ n kh o sát hàm s , tốn tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t; gi i phương trình, h phương trình b t phương trình, ch ng minh b t ñ ng th c, m t s tốn hình h c lư ng giác Đ i v i m i l p tốn, ngồi nh ng nh n xét v đ nh hư ng phương pháp gi i, cịn có nh ng ví d minh h a ph n toán b sung Ph n cu i c a lu n văn gi i thi u m t s tốn th c t , gi i đư c b ng ng d ng c a ñ o hàm hàm s m t bi n Hy v ng r ng, n i dung c a lu n văn cịn ti p t c đư c hồn thi n m r ng nh m góp ph n vào vi c d y, h c toán thu c chương trình Trung h c ph thơng  ... ≠ CHƯƠNG NG D NG Đ O HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG H C PH THƠNG Chương n i dung c a lu n văn, trình bày nh ng ng d ng c a ñ o hàm hàm s m t bi n chương trình trung h c ph thông 2.1 M T S BÀI TOÁN... u trúc sau: M ñ u Chương - Đ o hàm c a hàm s m t bi n Chương - ng d ng c a ñ o hàm chương trình Trung h c ph thơng K t lu n -5- -6- CHƯƠNG - Đ O HÀM C A HÀM S M T BI N Chương trình bày sơ lư c... hư ng vi c ng d ng ñ o hàm vào vi c gi i toán Đ i tư ng ph m vi nghiên c u - Chương trình tốn Trung h c ph thông - Các ng d ng c a ñ o hàm hàm s m t bi n chương trình Trung h c ph thơng - L p