PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————— TỐNG THIÊN LONG PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————— TỐNG THIÊN LONG PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học : TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Tống Thiên Long MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 1.3 KHÁI NIỆM HÀM SỐ 1.1.1 Các tập hợp số 1.1.2 Ánh xạ 1.1.3 Hàm số biến thực HỆ TỌA ĐỘ 1.2.1 Hệ tọa độ Descartes 1.2.2 Hệ tọa độ cực 11 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ 12 Chương XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT 2.1 16 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ CỦA CÁC HÀM ĐA THỨC CƠ BẢN 16 2.1.1 Hàm đa thức bậc 16 2.1.2 Hàm đa thức bậc hai 17 2.1.3 Hàm đa thức bậc ba 18 2.2 2.1.4 Hàm trùng phương 23 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ 26 2.2.1 Hàm số hữu tỷ bậc bậc 26 2.2.2 Hàm số hữu tỷ bậc hai bậc 28 Pn (x) , Qm (x) = Qm (x) 30 2.2.3 Đồ thị hàm phân thức y = 2.3 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 33 2.4 2.5 2.3.1 Hàm số mũ 33 2.3.2 Hàm số Logarit 34 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 36 2.4.1 Đồ thị hàm số y = sin x 36 2.4.2 Đồ thị hàm số y = cos x 36 2.4.3 Đồ thị hàm số y = tan x 37 2.4.4 Đồ thị hàm số y = cot x 38 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM GIẢI TÍCH CĨ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 39 2.5.1 Đồ thị hàm số y = |f (x)| 39 2.5.2 Đồ thị hàm số y = f (|x|) 41 2.5.3 Đồ thị hàm số y = |f (|x|)| 42 2.5.4 Đường biểu diễn đường cong |y| = f (x) 43 2.6 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ NGƯỢC 45 2.7 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ PHỨC TẠP 46 2.7.1 Đồ thị hàm số y = f (x) ± g(x) 46 2.7.2 Đồ thị hàm số y = f (x).g(x) 49 f (x) , g(x) = g(x) 51 2.7.3 Đồ thị hàm số y = 2.8 2.9 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 54 2.8.1 Đồ thị hàm số y = −f (x) 54 2.8.2 Đồ thị hàm số y = f (−x) 55 2.8.3 Đồ thị hàm số y = −f (−x) 55 2.8.4 Đồ thị hàm số y = f (x) + b 56 2.8.5 Đồ thị hàm số y = f (x + a) 57 2.8.6 Đồ thị hàm số y = f (x + a) + b 58 2.8.7 Đồ thị hàm số y = p.f (x), p > 0, p = 59 2.8.8 Đồ thị hàm số y = f (kx), k > 0, k = 61 BÀI TẬP ÁP DỤNG 62 Chương ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP) TRONG VIỆC XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3.1 3.2 75 GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP) 75 3.1.1 Giao diện phần mềm GSP 76 3.1.2 Các công cụ 76 3.1.3 Menu 78 ĐỒ THỊ TRONG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP) 79 3.3 3.2.1 Hệ trục tọa độ GSP 79 3.2.2 Vẽ đồ thị hàm số GSP 80 3.2.3 Đạo hàm tiếp tuyến đường cong GSP 82 ỨNG DỤNG BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP) KẾT LUẬN 85 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) 98 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong chương trình Tốn cấp Trung học phổ thơng(THPT), tốn xây dựng đồ thị hàm số chủ đề thú vị hấp dẫn Ngoài phương pháp kinh điển dựa vào đạo hàm để từ xây dựng đồ thị hàm số, ta xây dựng đồ thị chúng thơng qua tính chất đặc thù hàm số nhằm tạo nét mới, giới thiệu thêm phương pháp xây dựng đồ thị hàm số, để giúp cho giáo viên học sinh cấp THPT có thêm cách nhìn nhận lựa chọn việc tiếp cận với việc xây dựng đồ thị cho hàm số Được gợi ý giáo viên hướng dẫn, thầy giáo – TS Lê Hải Trung, chọn đề tài “ Phương pháp xây dựng đồ thị hàm số chương trình Trung học phổ thơng ” cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu tính chất hàm số, để từ xây dựng phương pháp vẽ đồ thị chúng, đồng thời ứng dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP) để vẽ đồ thị Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp xây dựng đồ thị hàm số biến hàm số phức tạp chương trình THPT Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn, phương pháp sử dụng nằm lĩnh vực sau đây: Giải tích, Đại số, Bố cục đề tài Luận văn có cấu trúc sau: - Chương 1: Kiến thức sở - Chương 2: Xây dựng đồ thị số hàm số chương trình Trung học phổ thông - Chương 3: Ứng dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP) việc xây dựng đồ thị hàm số - Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ 1.1.1 Các tập hợp số Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp số tự nhiên tập hợp bao gồm số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Ký hiệu: N Ta viết sau: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, } Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp số tự nhiên khác (còn gọi tập hợp số nguyên dương) ký hiệu N∗ Ta viết sau: N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, } Định nghĩa 1.1.3 Tập hợp số nguyên tập hợp bao gồm số tự nhiên số đối số tự nhiên khác Ký hiệu: Z Ta viết sau: Z = { , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, } Định nghĩa 1.1.4 Tập hợp số hữu tỉ tập hợp số có dạng a , b a, b số nguyên b = Ký hiệu: Q Ta viết sau: a Q= ; a, b ∈ Z; b = b Định lý 1.1.1 Mỗi số hữu tỉ viết dạng số thập phân hữu hạn số thập phân vơ hạn tuần hồn.1 Định nghĩa 1.1.5 Tập hợp số thực tập hợp bao gồm số hữu tỉ số vô tỉ (số vô tỉ số biểu diễn số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn) Ký hiệu : R Quan hệ tập hợp số: N∗ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Định lý 1.1.1 trích dẫn từ tài liệu tham khảo [4] 85 3.3 ỨNG DỤNG BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP) Bài tập 3.3.1 Vẽ đồ thị hàm số y = sin x + cos 2x Một điểm A di động đồ thị đó, vẽ tiếp tuyến A Lời giải Ta ứng dụng phần mềm GSP để vẽ tiếp tuyến đồ thị hàm số (Xem 3.2.1) thu kết hình đây: Hình 3.15a Sau vẽ tiếp tuyến đồ thị điểm A, muốn điểm A di chuyển đồ thị hàm số ta thực hiện: Click chuột phải vào điểm A → Chuyển động điểm Khi tiếp tuyến đồ thị thay đổi tương ứng với vị trí điểm A đồ thị hàm số Hình 3.15b Hình 3.15c Bài tập 3.3.2 Từ đồ thị hàm số f (x) = x2 − 4x + 2, sử dụng cơng cụ Biến hình phần mềm GSP để xây dựng đồ thị hàm số g(x) = f (2x) 86 Lời giải Ta dễ dàng vẽ đồ thị hàm số f (x) = x2 − 4x + hình Hình 3.16a Hàm số f (x) = x2 − 4x + đạt cực tiểu x = giá trị nhỏ y = −2 Bây ta xây dựng đồ thị hàm số g(x) = f (2x) (Xem 2.8.8) cách sử dụng cơng cụ Biến hình phần mềm GSP theo bước sau: Dựng điểm Y (0; y0 ) nằm trục tung với y0 ≥ −2 Từ điểm Y , ta dựng đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị hàm f (x) điểm A(xA ; y0 ) B(xB ; y0 ) Hình 3.16b 87 Ta chọn điểm Y làm tâm vị tự cách Click double vào điểm Y , sau Click chọn điểm A B Tiếp theo, ta chọn Menu Biến hình → Phép vị tự Khi đó, cửa sổ Phép vị tự xuất hiện, ta nhập tỷ số vị tự (vì g(x) = f (2x)) hình đây: Hình 3.16c Kết phép vị tự biến điểm A; B thành điểm 1 A ; B tương ứng với xA = xA xB = xB 2 Ta click chuột phải vào điểm A ; B chọn Vết điểm Ta click chuột phải vào điểm Y chọn Chuyển động điểm Khi đó, điểm Y di chuyển dọc trục tung, kéo theo điểm A, B, A , B di chuyển Khi điểm A B di chuyển để lại vết di chuyển mặt phẳng Vết di chuyển A B đồ thị hàm số g(x) = f (2x) (Hình 3.16d) Hình 3.16d 88 Bài tập 3.3.3 Từ đồ thị hàm số f (x) = x2 − 4x + 3, sử dụng cơng cụ Biến hình phần mềm GSP để xây dựng đồ thị hàm số g(x) = 3f (x) Lời giải Ta dễ dàng vẽ đồ thị hàm số f (x) = x2 − 4x + hình Hình 3.17a Bây ta xây dựng đồ thị hàm số g(x) = 3f (x) (Xem 2.8.7) cách sử dụng cơng cụ Biến hình phần mềm GSP theo bước sau: Dựng điểm X(x0 ; 0) trục hoành Từ X dựng đường thẳng vng góc với trục hồnh cắt đồ thị hàm f (x) điểm A(x0 ; yA ) Hình 3.17b 89 Ta chọn điểm X làm tâm vị tự cách Click double vào điểm X , sau Click chọn điểm A Tiếp theo, ta chọn Menu Biến hình → Phép vị tự Khi đó, cửa sổ Phép vị tự xuất hiện, ta nhập tỷ số vị tự (vì g(x) = 3f (x)) hình đây: Hình 3.17c Kết phép vị tự biến điểm A thành điểm A tương ứng với yA = 3yA Ta click chuột phải vào điểm A chọn Vết điểm Ta click chuột phải vào điểm X chọn Chuyển động điểm Khi đó, điểm X di chuyển dọc trục tung, kéo theo điểm A A di chuyển Khi điểm A di chuyển để lại vết di chuyển mặt phẳng Vết di chuyển A đồ thị hàm số g(x) = 3f (x).(Hình 3.17d) Hình 3.17d 90 Bài tập 3.3.4 Từ đồ thị hàm số f (x) = x3 − 3x + 2, sử dụng công cụ Biến hình phần mềm GSP để xây dựng đồ thị hàm số g(x) = f (x − 5) Lời giải Ta dễ dàng vẽ đồ thị hàm số f (x) = x3 − 3x + Hình 3.18a Bây ta xây dựng đồ thị hàm số g(x) = f (x − 5) (Xem 2.8.5) cách sử dụng cơng cụ Biến hình phần mềm GSP theo Hình 3.18a bước sau: Vẽ điểm X(−5; 0) trục hồnh Sau Click chọn điểm X trước chọn điểm O sau → Menu Biến hình → Đánh dấu Véctơ Dựng điểm A đồ thị hàm số f (x) Sau Click chọn điểm A → Menu Biến hình → Phép Tịnh tiến Khi đó, cửa sổ Phép Tịnh tiến xuất hình đây: Hình 3.18b Kết phép tịnh tiến biến điểm A thành điểm A tương ứng với xA = xA + hay nói cách khác điểm A dịch chuyển sang phải theo trục hoành đơn vị 91 Ta click chuột phải vào điểm A chọn Vết điểm Ta click chuột phải vào điểm A chọn Chuyển động điểm Khi đó, điểm A di chuyển dọc trục tung, kéo theo điểm A di chuyển Khi điểm A di chuyển để lại vết di chuyển mặt phẳng Vết di chuyển A đồ thị hàm số g(x) = f (x − 5) (Hình 3.18c) Hình 3.18c Bài tập 3.3.5 Từ đồ thị hàm số f (x) = x3 − 3x + 2, sử dụng cơng cụ Biến hình phần mềm GSP để xây dựng đồ thị hàm số g(x) = f (x) − Lời giải Ta xây dựng đồ thị hàm số g(x) = f (x) − (Xem 2.8.4) cách sử dụng cơng cụ Biến hình phần mềm GSP theo bước sau: Vẽ điểm Y (0; −3) trục tung Sau Click chọn điểm O trước chọn điểm Y sau → Menu Biến hình → Đánh dấu Véctơ Dựng điểm A đồ thị hàm số f (x) Sau Click chọn điểm A → Menu Biến hình → Phép Tịnh tiến Khi đó, cửa sổ Phép Tịnh tiến xuất hình đây: 92 Hình 3.19a Kết phép tịnh tiến biến điểm A thành điểm A tương ứng với yA = yA − hay nói cách khác điểm A dịch chuyển xuống phía theo trục tung đơn vị Ta click chuột phải vào điểm A chọn Vết điểm Ta click chuột phải vào điểm A chọn Chuyển động điểm Khi đó, điểm A di chuyển dọc trục tung, kéo theo điểm A di chuyển Khi điểm A di chuyển để lại vết di chuyển mặt phẳng Vết di chuyển A đồ thị hàm số g(x) = f (x) − 3.(Hình 3.19b) Hình 3.19b 93 Bài tập 3.3.6 Hãy sử dụng cơng cụ Biến hình phần mềm GSP để xây dựng đồ thị hàm số y = −x + cos x Lời giải Đặt f (x) = −x; g(x) = cos x Khi y = −x + cos x = f (x) + g(x) Ta dễ dàng vẽ đồ thị hàm f (x) = −x đồ thị hàm g(x) = cos x hình đây: Hình 3.20a Bây ta xây dựng đồ thị hàm số y = f (x) + g(x) (Xem 2.7.1) cách sử dụng công cụ Biến hình phần mềm GSP theo bước sau: Dựng điểm X(x0 ; 0) trục hoành Từ X dựng đường thẳng a vng góc với trục hoành, cắt đồ thị hàm f (x) điểm A(x0 ; yA ) cắt đồ thị hàm g(x) điểm B(x0 ; yB ) Hình 3.20b 94 Xác định tung độ điểm A B cách Click chuột phải vào điểm A; B → Tung độ(y) Dựng đường thẳng y = yA + yB Đường thẳng cắt đường thẳng a điểm C Hình 3.20c Ta click chuột phải vào điểm C chọn Vết giao điểm Ta click chuột phải vào điểm X chọn Chuyển động điểm Khi đó, điểm X di chuyển ngang trục hoành, kéo theo điểm A, B, C di chuyển Khi điểm C di chuyển để lại vết di chuyển mặt phẳng Vết di chuyển C đồ thị hàm số y = f (x) + g(x) Hình 3.20d 95 Bài tập 3.3.7 Hãy sử dụng công cụ Biến hình phần mềm GSP sin x để xây dựng đồ thị hàm số y = x sin x f (x) = x g(x) Ta dễ dàng vẽ đồ thị hàm f (x) = sin x đồ thị hàm g(x) = x Lời giải Đặt f (x) = sin x; g(x) = x Khi y = hình đây: Hình 3.21a f (x) (Xem 2.7.3) cách sử g(x) dụng công cụ Biến hình phần mềm GSP theo bước sau: Bây ta xây dựng đồ thị hàm số y = Dựng điểm X(x0 ; 0) trục hồnh Từ X dựng đường thẳng a vng góc với trục hoành, cắt đồ thị hàm f (x) điểm A(x0 ; yA ) cắt đồ thị hàm g(x) điểm B(x0 ; yB ) Hình 3.21b Xác định tung độ điểm A B cách Click chuột phải vào điểm A; B → Tung độ(y) 96 Dựng đường thẳng y = yA Đường thẳng cắt đường thẳng a yB điểm C Hình 3.21c Ta click chuột phải vào điểm C chọn Vết giao điểm Ta click chuột phải vào điểm X chọn Chuyển động điểm Khi đó, điểm X di chuyển ngang trục hồnh, kéo theo điểm A, B, C di chuyển Khi điểm C di chuyển để lại vết di chuyển mặt phẳng f (x) Vết di chuyển C đồ thị hàm số y = (Hình 3.21d) g(x) Hình 3.21d 97 KẾT LUẬN Luận văn giải số vấn đề sau: Hệ thống hóa lại kiến thức hàm số, tính chất đồ thị chúng chương trình Toán cấp THPT Xây dựng số phương pháp để vẽ đồ thị hàm số thông qua tính chất đặc trưng hàm số Xây dựng số phép biến đổi đồ thị để xây dựng đồ thị hàm số phức tạp từ đồ thị hàm số đơn giản Ứng dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad vào việc vẽ đồ thị hàm số nhằm mang lại tiện dụng, hiệu việc vẽ đồ thị hàm số Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh giáo viên giảng dạy mơn Tốn cấp THPT Tuy nhiên, kiến thức thời gian có hạn, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận nhận xét ý kiến đóng góp từ q thầy độc giả đề đề tài hoàn thiện 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Cam (2008), Giải toán đạo hàm khảo sát hàm số 12, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Hồng Đức (Chủ biên) (2008), Phương pháp giải tốn Giải tích - Đồ thị hàm số toán liên quan, NXB Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh [3] Trần Phúc Hòa (2007), Ứng dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad, Đồng Nai [4] Đinh Thế Lục (2009), Giải tích hàm biến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) (1997), Giải tích Toán học - Tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Văn Quý - Nguyễn Tiến Dũng (2007), Chuyên đề nâng cao Khảo sát hàm số, NXB Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh [7] Vũ Gia Tê (2007), Toán cao cấp A1, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Hà Nội [8] Lê Văn Trực (2007), Giải tích Tốn học - Tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Hà Quốc Văn (2013) Hướng dẫn sử dụng Geometer’s Sketchpad, Thành phố Hồ Chí Minh 99 [10] Võ Thanh Văn (Chủ biên) (2009), Chuyên đề ứng dụng - Khảo sát vẽ đồ thị hàm số giải toán THPT, NXB Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh [11] MARCEL B.FINAN (2013), Transformations of Graph, Arkansas Tech University, United States of America [12] I.M GELFAND - E.G GLAGOLEVA - E.E SHNOI (2002), Functions and Graphs, Manufactured in the United States by Courier Corporation [13] RHONDA HUETTENMUELLER (2004), College Algebra Demystified, The McGraw-Hill Companies, United States of America [14] G.KORN-T.KORN (1997), Sổ tay Toán học (Phan Văn Hạp Nguyễn Trọng Bá dịch), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [15] CARL STITZ - JEFF ZEAGER (2013) College Algebra Version π = , University of Missouri, Columbia [16] MICHAEL SULLIVAN (2011) College Algebra, 9th edition, Pearson Education Publishing, Chicago State University ... tài Trong chương trình Tốn cấp Trung học phổ thơng(THPT), tốn xây dựng đồ thị hàm số chủ đề thú vị hấp dẫn Ngoài phương pháp kinh điển dựa vào đạo hàm để từ xây dựng đồ thị hàm số, ta xây dựng đồ. .. KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ 12 Chương XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT 2.1 16 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ CỦA CÁC HÀM ĐA... sở - Chương 2: Xây dựng đồ thị số hàm số chương trình Trung học phổ thông - Chương 3: Ứng dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP) việc xây dựng đồ thị hàm số - Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG