Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình giải tích lớp 12, ban nâng cao

Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao Practicing Mathematics for students in teaching of applying deriv

Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong

dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao Practicing Mathematics for students in teaching of applying derivative,

Program of Calculus 12, Upgrade NXB H : ĐHGD, 2012 Số trang 115 tr +

Lê Thị Huyền

Trường Đại học Quốc gia Hà Nội; Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán);

Mã số: 60 14 10 Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Vũ Lương

Năm bảo vệ: 2012

Abstract Làm sáng tỏ khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải toán, sự hình thành kỹ năng, các

yêu cầu và biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán, đặc biệt là kỹ năng giải các dạng bài tập ứng dụng đạo hàm Đưa ra hệ thống các bài tập, đã được phân thành từng dạng bài, được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, có nhận xét, đánh giá sau mỗi bài giải Bước đầu đề xuất những định hướng và các biện pháp sư phạm phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay để hình thành và phát triển một số kỹ năng giải toán Làm rõ tiềm năng phát triển kỹ năng giải toán Đưa ra kỹ năng cần thiết để giải một số loại toán về giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm cực trị hàm số, chứng minh bất đẳng thức…, đồng thời cung cấp những kỹ năng cần thiết để giải các bài toán về hàm số

Keywords: Phương pháp dạy học; Toán học; Giải tích; Lớp 12; Đạo hàm

"Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo

cho học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn "

Đạo hàm là một nội dung quan trọng của toán học bậc THPT Nó vừa là đối tượng, nhưng hơn thế nó vừa là công cụ mạnh được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp của toán THPT

Vận dụng đạo hàm để giải toán THPT là một nội dung trọng tâm của chương trình ôn thi Tốt nghiệp THPT, luyện thi Đại học và bồi dưỡng HS giỏi Việc sử dụng đạo hàm thế nào cho hợp lý trong các vấn đề liên quan vẫn luôn gây ra nhiều khó khăn cho các em HS Với mong muốn: làm sao để các em học sinh THPT nói chung, các sinh viên Sư phạm Toán nói riêng được trang bị đầy đủ các kiến thức trong việc học tập nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm Đặc biệt với mục đích đưa ra hệ thống bài tập được phân thành từng dạng bài, nhằm đem lại thuận lợi cho HS, sinh viên trong quá trình học tập và nghiên cứu về đạo hàm của hàm số Từ những lý do trên tác giả đã lựa chọn đề tài: "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao"

2 Lịch sử nghiên cứu

Đến nay có một số công trình nghiên cứu toán học theo một số góc góc độ khác nhau, nhưng chưa có công trình nào đề cập đến vấn đề này Vì vậy tác giả tập trung đi sâu nghiên cứu về những

kỹ năng cơ bản và cần thiết trong chương Ứng dụng đạo hàm, chương trình Giải tích lớp 12

3 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

Tạo ra hệ thống các bài toán ứng dụng đạo hàm theo chủ đề nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Khách thể nghiên cứu: Tình hình dạy học ở trường THPT Thanh Hà- Hải Dương

Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học các nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12

5 Mẫu khảo sát

Học sinh lớp 12B, 12C, trường THPT Thanh Hà, Thanh Hà, Hải Dương

6 Vấn đề nghiên cứu

Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học “Ứng dụng đạo hàm” như thế

nào để mang lại hiệu quả cao?

7 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán, vận dụng các phương pháp đã đề xuất trong luận văn thì học sinh có kỹ năng tốt hơn để giải các bài toán “Ứng dụng đào hàm”, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông

8 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này tác giả sử dụng chủ yếu 4 phương pháp nghiên cứu sau:

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận

+ Phương pháp điều tra, quan sát

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm

+ Phương pháp thống kê toán học

9 Dự kiến các luận cứ

Luận cứ lý thuyết

Luận cứ thực tiễn

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Theo [26], "Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp"

Theo [14] "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận trong một lĩnh vực nào

1.1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng

Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kỹ năng:

- Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

1.1.1.3 Sự hình thành kỹ năng

Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích yêu cầu Kỹ

năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra

1.1.1.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

- Nội dung bài toán : Nhiệm vụ đặt ra được trìu tượng hoá hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng Việc tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp học sinh dễ dàng trong việc hình thành kỹ năng

- Kỹ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay thấp

1.1.2 Kỹ năng giải toán

1.1.2.1 Khái niệm

Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, theo tôi quan niệm về

kỹ năng giải toán của học sinh như sau: "Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học"

1.1.2.2 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT

Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của môn Toán Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán nhằm đạt được những yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình

- Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ

- Coi trọng việc rèn luyện khả năng tính toán trong giờ học, đó là sự phát triển trí tuệ cho học sinh qua môn Toán gắn bó với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành

- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính kiên trì, cẩn thận chính xác, các thói quen tự kiểm tra,đánh giá để tránh sai lầm có thể gặp

1.1.2.3 Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán

Hệ thống kỹ năng giải toán cho học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể

Trong giải toán học sinh cần có nhóm kỹ năng sau:

* Nhóm kỹ năng chung

* Nhóm kỹ năng thực hành

* Nhóm kỹ năng về tư duy

- Kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức trong giải toán:

- Kỹ năng tổng hợp: Liên hệ các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt nội dung bài toán, kết cấu lại

đề toán đã định hướng giải

- Kỹ năng phân tích

- Kỹ năng mô hình hoá

- Kỹ năng sử dụng thông tin

1.2 Thực trạng việc dạy học Toán, dạy và học đạo hàm ở trường THPT

1.2.1 Thực trạng dạy học Toán ở trường THPT

Việc rèn luyện tư duy lô gíc cho học sinh không đầy đủ, GV ít khi chú ý đến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hoặc các tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải pháp Còn nhiều GV sử dụng chủ yếu phương pháp thuyết trình, đàm thoại chưa chú ý đến nhu cầu hứng thú học sinh trong quá trình học

1.2.2 Thực trạng việc học đạo hàm ở trường THPT

Trong chương trình lớp 12, kiến thức hàm số được mở rộng, học sinh được tìm hiểu rõ hơn về

sự đồng biến nghịch biến của hàm số và lần đầu tiên HS được học về cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số, đường tiệm cận…, do đó học sinh tiếp xúc với những kiến thức mới này sẽ không tránh khỏi lúng túng và mắc sai lầm Hơn nữa các bài tập về ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán rất phong phú đòi hỏi HS có kiến thức tổng hợp, khả năng suy đoán, kỹ năng tính toán, thậm chí nhiều bài tập đòi hỏi học sinh có tư duy cao mới có thể làm được

1.2.3 Thực trạng việc dạy đạo hàm ở trường THPT

Do dạng bài tập của phần đạo hàm và ứng dụng đạo hàm rất đa dạng và phong phú, GV phải mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát thành một hệ thống bài tập phù hợp với trình độ nhận thức của từng HS Đối với những bài toán quen thuộc thì cách hướng dẫn có phần đơn giản, nhưng gặp dạng toán không quen thuộc, GV phải mất nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn

1.3 Dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12

1.3.1 Mục đích, yêu cầu của đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

Việc dạy đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT nhằm đạt các mục đích và yêu cầu sau:

+ Về kiến thức

Giúp học sinh nắm vững

- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số;

- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số;

- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và các cách tìm các giá trị đó;

+ Về phương pháp

GV cần phải tổ chức cho HS được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo Chú trọng cho học sinh biết cách khai thác các phương pháp khác nhau, lựa chọn các ưu điểm của phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học khám phá, phương pháp dạy học tự học… để giải các dạng

bài toán ứng dụng đạo hàm bằng con đường tổng hợp

+ Về việc phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho học sinh

Việc dạy học đạo hàm và ứng dụng đạo hàm nhằm đạt được mục đích, yêu cầu rèn luyện kỹ năng chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ, rút ra các kết luận từ những định lý, quy tắc

1.3.2 Những kỹ năng cơ bản thuộc nội dung

Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong các bài toán cực trị

Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong các bài toán về bất đẳng thức

sẽ giải đáp những câu hỏi đó

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12, BAN NÂNG CAO

2.1 Một số kiến thức cơ bản

2.1.1 Khái niệm đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x o thuộc khoảng đó Khi đó giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số 0

0

f(x) - f(x ) x-x khi x  x o được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm xo

Kí hiệu

0

' 0

Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm

M(x o ;f(x o) ) thì hệ số góc của tiếp tuyến đó chính bằng f’(x o)

Vậy tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có phương trình y = f’(xo)(x - xo) +yo

2.1.4 Cực trị hàm số

*Định lý Fermat:

Nếu hàm f: (a,b)  đạt cực trị tại c (a,b) và f khả vi tại c thì f'(c) = 0

* Hai tiêu chuẩn tìm cực trị

2.1.5 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D   )

a) Nếu tồn tại một điểm xo sao cho f(x)  f(xo) với mọi x  D

thì số M = f(xo) được gọi là GTLN của hàm số f trên , kí hiệu là M =max ( )

x D f x



b) Nếu tồn tại một điểm xo sao cho f(x)  f(xo) với mọi x  D

thì số m = f(xo) được gọi là GTNN của hàm số f trên , kí hiệu là m =min ( )

cũng có thể sử dụng hàm số để giải Ở đây, tôi xin đưa ra một số ứng dụng của hàm số trong việc giải phương trình và bất phương trình, hệ phương trình

2.2.1 Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán giải phương trình, bất phương trình thường gặp

- Với các phương trình và bất phương trình không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải

- Với các phương trình và bất phương trình có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về một vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng:

f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x)  m; hoặc f(x)  m )

Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải

* Đối với phương trình, bất phương trình ta thường tiến hành theo các bước sau:

- Tính y’, giải phương trình y’ = 0, xét dấu y’

- Lập bảng biến thiên của hàm số

- Dựa vào bảng biến thiên kết luận nghiệm phương trình

5 Nếu f(x) là hàm số đơn điệu trên D và tồn tại u, v D mà f(u) = f(v) thì u = v

2.2.2 Hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

2.2.2.1 Ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình

Bài 1: Tìm m để phương trình x3

- x2 + 18mx - 2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thoả mãn

x1 < 0 < x2 < x3

Nhận xét : Đây là phương trình bậc cao có chứa tham số, cái khó bài toán này HS không nhẩm được

nghiệm của phương trình Do đó từ phương trình HS cô lập tham số, sau đó sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải

Lời giải: Ta có x3 - x2 + 18mx - 2m = 0

 2m(9x - 1) = - x3 + x2

Nếu x = 1/9 phương trình vô nghiệm

 

 

 

2 2

Nhìn vào bảng biến thiên => m < 0

2.2.2.2 Ứng dụng đạo hàm trong việc giải bất phương trình

Bài 1: Giải bất phương trình:

x -2x+3- x -6x+11> 3-x - x-1 (1) D =[1; 3]

Nhận xét: Thông thường khi nhìn thấy bài toán có chứa căn thức, HS thường nghĩ ngay đến phương

pháp làm biến căn thức bằng cách bình phưng hai vế, nhưng bài toán rất phức tạp nếu trong đó có chứa nhiều hơn ba biểu thức chứa căn HS có thể tìm cách biến đổi đưa bài toán về một hàm rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải

2.2.2.3 Ứng dụng đạo hàm trong việc giải hệ phương trình

Bài 1: Giải hệ:

x+ x +1=2010 y+ y +1=2010







Nhận xét: Đây là một bài toán không những chứa căn thức mà còn có cả hàm số mũ, nếu sử dụng

phưng pháp thông thường: phương pháp thế, cộng trừ đại số, bình phương hai vế … thì rất phức tạp Cũng tương tự bài 1 ở trên, đây là dạng toán đối xứng biến, HS có thể tư duy cách giải quyết đưa về

Hệ phương trình có nghiệm x = y = 0

2.3 Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán cực trị

2.3.1 Cực trị của hàm số chứa tham số

Nếu f’’(xi)< 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

Nếu f’’(xi)> 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

2.3.1.2 Các dạng bài tập

Bài 1 Cho hàm số y  x3 3mx2  4m2 (m tham số) có đồ thị (Cm).

Xác định m để (Cm) có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường y = x

Nhận xét: Để giải quyết bài toán này trước hết cho HS nêu hai quy tắc tìm cực trị, sau đó từ đề bài

HS định hướng bài toán giải theo quy tắc nào cho phù hợp