SKKN Rèn luyện kỹ năng giải toán và Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một số bài toán thể tích khối đa diện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG  ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH MIỀN NÚI QUA VIỆC LUYỆN TẬP CHO HỌC SINH MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN” MƠN: TỐN MỤC LỤC TT Nội dung A ĐẶT VẤN ĐỀ Trang B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 4 Tính trực tiếp thể tích khối đa diện toán liên quan 10 Tính thể tích phương pháp gián tiếp 22 Vận dụng tốn thể tích để giải toán khác 26 Thực nghiệm sư phạm 30 C KẾT LUẬN 34 Tài liệu tham khảo 35 A ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài - Nghị Quyết số 29-NQ/TW Trung ương Đảng ban hành ngày 4/11/2013 đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo có nêu rõ nhiệm vụ, giải pháp: ‘‘Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực Chuyển từ học chủ yếu lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng…” - Luật giáo dục sửa đổi năm 2019, Điều 29 Yêu cầu phương pháp giáo dục Phổ thơng có ghi: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh phù hợp với đặc trưng môn học, lớp học đặc điểm đối tượng học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học, hứng thú học tập, kỹ hợp tác, khả tư độc lập; phát triển toàn diện phẩm chất lực người học; tăng cường ứng dụng công nghệ thơng tin truyền thơng vào q trình giáo dục” - Đất nước đà đổi phát triển đòi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo Trong công đổi Tốn học mơn khoa học chiếm vị trí quan trọng giúp em học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo Để làm điều Giáo viên cần “ Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực sáng tạo…” - Trong chương trình mơn Hình học 12, thể tích khối đa diện những chủ đề trọng tâm, đa dạng, có tính ứng dụng thực tiễn cao Các tốn liên quan đến chủ đề có thường tính trừu tượng Vì vậy, gây khơng khó khăn cho em học sinh đặc biệt học sinh miền núi nơi có tỷ lệ đầu vào thấp; toán chủ đề xuất nhiều kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 kỳ thi THPT quốc gia nhiều cấp độ khác Thực tế dạy học cho thấy nhiều giáo viên dạy học nặng khâu truyền thụ kiến thức, kiến thức đưa sẵn có, yếu tố tìm tịi phát hiện, chưa trọng nhiều việc dạy học sinh cách học, chưa phát triển tư sáng tạo cho học sinh Thơng thường em học sinh giải trực tiếp tập toán mà chưa khai thác tiềm tốn Học sinh có khả giải vấn đề cách rời rạc mà có khả xâu chuỗi chúng lại với thành hệ thống kiến thức lớn Chính việc rèn luyện kỹ giải tập kết hợp bồi dưỡng, phát triển tư tương tự hóa, khái quát hóa,… cần thiết học sinh phổ thông Việc làm giúp em tích lũy nhiều kiến thức phong phú, khả nhìn nhận, phát vấn đề nhanh giải vấn đề có tính lơgic hệ thống cao Để học tốt chủ đề người học việc nắm vững hệ thống kiến thức cần có thêm nhiều kỹ giải, có khả tưởng tượng, có tư độc lập tư sáng tạo Với đối tượng học sinh miền núi, trình dạy học người dạy biết cách tạo cho học sinh có niềm tin để chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, khai thác sáng tạo tốn thể tích khối đa diện từ những kiến thức bản, tập đơn giản khơng những giúp em học tập có hiệu mà cịn tạo hứng thú học tập cho em học sinh, cịn góp phần quan trọng việc rèn luyện bồi dưỡng lực tư sáng tạo cho người học Từ thực trạng những lý nêu trên, với đạo trực tiếp thầy hiệu trưởng nhà trường, chuyên môn tốn chúng tơi định chọn đề tài nghiên cứu (SKKN) là: “Rèn luyện kỹ giải toán Phát triển lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh số tốn thể tích khối đa diện” Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, phân tích, đánh giá tình hình thực tế giảng dạy mơn tốn trường THPT Tương Dương Trên cở sở những ưu khuyết điểm đề giải pháp thực Đồng thời rút học kinh nghiệm từ thực tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp dạy giáo viên, cách học học sinh lớp đại trà , lớp ôn thi TN THPT QG ơn thi học sinh giỏi mơn tốn trường THPT Tương Dương Mục tiêu đề tài: Đối với giáo viên: +Phục vụ giảng dạy Đối với học sinh: + Ôn tập cho học sinh thi TN THPT QG + Ơn thi học sinh giỏi mơn Tốn + Biết cách nhìn nhận phân tích vấn đề tốn sống nhiều khía cạnh khác cách động sáng tạo Nội dung nghiên cứu đề tài Ngoài phần đặt vấn đề kết luận đề tài gồm phần sau I Cơ sở lý luận thực tiễn II Nội dung đề tài Bài tốn tính trực tiếp thể tích khối đa diện Bài tốn tính gián tiếp thể tích khối đa diện Vận dụng thể tích để giải tốn khác Thực nghiệm sư phạm Các phương pháp nghiên cứu + Điều tra tìm hiểu việc dạy học lớp ôn thi TN THPT QG + Dự rút kinh nghiệm giảng dạy + Tham khảo viết, ý kiến trao đổi việc dạy học toán thảo luận đổi phương pháp giảng dạy, tài liệu sách tham khảo mơn tốn Tổng quan đề tài tính đề tài 7.1 Tổng quan đề tài Từ số toán đơn giản xây dựng toán mới, toán thực tiễn nhằm giúp học sinh khơng những ơn tập tốt phần thể tích khối đa diện mà cịn biết vận dụng vào tốn thực tế sống 7.2 Tính đề tài Đề tài tạo cho đối tượng học sinh yếu, trung bình non có niềm tin để chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, khai thác sáng tạo tốn thể tích khối đa diện từ những kiến thức bản, tập đơn giản Ngồi đề tài cịn góp phần bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi cách tư độc lập, phát triển lực sáng tạo từ góp phần nâng cao chất lương dạy học mơn Tốn rút ngắn khoảng cách giữa miền núi với miền đồng B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I.1 Cơ sở lý luận I.1.1 Khái niệm kỹ Kỹ khả thực hành động với kết xác định thường khoảng thời gian lượng định hai I.1.2 Kỹ giải toán Kỹ giải toán khả vận dụng có mục đích những tri thức kinh nghiệm có vào giải những tốn cụ thể, thực có kết hệ thống hành động giải toán để đến lời giải toán cách khoa học Khi dạy học để rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh cần: - Giúp học sinh biết cách tìm tịi để tìm yếu tố cho, yếu tố phải tìm quan hệ giữa chúng; - Giúp học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải tập, đối tượng loại; - Xác lập mối liên hệ giữa tập mơ hình với khái qt với kiến thức tương ứng I.1.3 Khái niệm lực Theo moddun3 bồi dưỡng giáo viên Tốn THPT, chương trình giáo giáo dục phổ thông năm 2018“Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập , rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực thành công loại hoạt động định, kết mong muốn điều kiện cụ thể” Như nói đến lực nói đến tiềm ẩn bên cá nhân, thứ phi vật chất Song thể qua hành động đánh giá thơng qua kết hoạt động Thơng thường người gọi có lực người nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo loại hoạt động đạt kết cao hơn, tốt so với trình độ trung bình những người khác tiến hành hoạt động những điều kiện tương đương I.1.4 Năng lực Toán học Năng lực Toán học đánh giá hai phương diện: Năng lực nghiên cứu toán học lực học tập toán học Như vậy, lực tốn học đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng yêu của hoạt động toán tạo điều kiện lĩnh hội kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những điều kiện ngang Cấu trúc lực toán học: - Về mặt thu nhập thông tin - Chế biến thơng tin - Lưu trữ thơng tin - Thành phần tổng hợp chung Năng lực sáng tạo thể khả sau: - Khả phát những điểm tương đồng, khác biệt mối liên hệ giữa nhiều vật, tượng khác đời sống - Khả tìm tịi, phát những vấn đề mới, những giải pháp dựa những kiến thức, kinh nghiệm có hay những hạn chế, bất cập tồn hữu - Khả giải vấn đề nhiều đường, cách thức khác nhau; phân tích, đánh giá vấn đề nhiều phương diện, góc nhìn khác - Khả phát những điều bất hợp lí, những bất ổn hay những quy luật phổ biến những tượng, vật cụ thể dựa tinh tế, nhạy cảm khả trực giác cao chủ thể Để phát triển lực sáng tạo cho học sinh có nhiều cách, nhiên trọng phát triển cho học sinh khả năng: Năng lực tư duy, Năng lực tìm tịi cách giải, lực tìm tịi để sáng tạo toán (Bài toán tương tự, toán đảo, toán tổng quát, toán đặc biệt… ) I.1.5 Cơ sở lý thuyết 1) Cơng thức tính thể tích 1.1 Thể tích khối chóp: V = Sđáy h + Sđáy : Diện tích mặt đáy + h: Độ dài chiều cao khối chóp VS.ABCD = d ( S.( ABCD ) ) SABCD 1.2 Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy h + Sđáy : Diện tích mặt đáy + h: chiều cao khối chóp * Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên 1.3 Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c 1.4 Thể tích khối lập phương: V = a * Chú ý: • Đường chéo hình vng cạnh a a • Đường chéo hình lập phương cạnh a a • Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c là: a + b + c2 • Đường cao tam giác cạnh a a 2) Công thức hình phẳng 2.1 Hệ thức lượng tam giác a) Cho Δ ABC vuông A, đường cao AH  AB2 + AC2 = BC  AC = CH.BC  AB2 = BH.BC  AH.BC = AB.AC 1 = + 2 AH AB AC  AB = BC.sin C = BC.cos B = AC.tan C = AC = cot B  AH = BH.HC  b) Cho có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến m a , m b , mc ; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r; nửa chu vi p  Định lí hàm số cosin: a = b + c − 2bc.cos A; b = c + a − 2a.cos B; c = a + b − 2ab.cos C a b c = = = 2R  Định lí hàm số sin: sin A sin B sin C 2.2 Các cơng thức tính diện tích a) Tam giác: 1 2 1  S = bc.sin A = ca.sin B = ab.sin C 2 abc  S= 4R  S = pr  S = a.h a = b.h b = c.h c ( h a , h b , h c : ba đường cao)  S = p ( p − a ) ( p − b) ( p − c) AB.AC BC.AH = 2  ∆ ABC đều, cạnh a: AH = a , S = a  ∆ ABC vuông A: S = Ở đây: +) a, b, c cạnh đối diện với đỉnh tương ứng A, B, C +) ha; hb; hc đường cao tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C +) R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác +) r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác +) ra; rb; rc bán kính đường trịn bàng tiếp (tiếp xúc ngồi tam giác) +) P = a+b+c nửa chu vi tam giác b) Hình vng: S = a (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S = ab (a, b: hai kính thước) S = đáy ×ch.cao = AB AD sin ∠BAD d) Hình bình hành: e) Hình thoi: S = AB AD sin ∠BAD = f) Hình thang: S= ( a + b) h AC.BD (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S = AC.BD I.2 Cơ sở thực tiễn I.2.1 Thuận lợi - Ban giám hiệu có người có người chun mơn Tốn, ln quan tâm, đạo sát việc dạy học mơn Tốn nhà trường - Chúng thường xuyên trao đổi phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng học tập học sinh I.2.2 Khó khăn - Trường THPT Tương Dương đóng địa bàn huyện miền núi cao Tương Dương Tương Dương huyện nghèo, người dân chủ yếu lo kiếm ăn chưa thực chăm lo đến việc học Giao thông không thuận lợi, đa số học sinh học xa nhà phải trọ nên việc quản lý em học gặp nhiều khó khăn - Song song với điều kiện hồn cảnh, vị trí địa lý Thể tích khối đa diện chủ đề trừu tượng, nhiều em cảm thấy khơng thích học chủ đề I.2.3 Thực trạng đề tài - Tỷ lệ đầu vào trường thấp, khả tiếp thu cảu học sinh không đồng đều, số giáo viên ngại đưa vào yếu tố sáng tạo dạy học luyện tập toán cho em - Trong giảng dạy đơn truyền thụ kiến thức mà quên hoạt động tìm tịi, sáng tạo, nghiên cứu thân người giáo viên bị mai kiến thức học sinh bị hạn chế khả suy luận, tư sáng tạo - Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó để thi nên khơng hiểu sâu, hiểu rộng vấn đề tốn học I.2.4 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Để em học tốt phần thể tích trước hết phải làm cho em có niềm tin, hứng thú để học tập Muốn vậy, trước hết bám sát đối tượng để dạy kiến thức phù hợp - Giáo viên phải khéo léo dẫn dắt, hướng dẫn để học sinh tìm tịi, sáng tạo việc tìm lời giải sáng tạo toán từ những toán đơn giản, quen thuộc - Biết khai thác kiến thức để rèn luyện kỹ giải toán phát triển lực sáng tạo cho học sinh II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Chúng ta bắt đầu với tốn tính thể tích khối chóp có đáy tam giác đơn giản Bài tốn 1: Tính thể tích khối chóp S ABC biết tam giác ABC cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) SA= a Lời giải Cách Ta có h = SA = a ; B = S ∆ABC a2 = 1 a2 a3 VS ABC = Bh = a = 3 12 10 Hướng dẫn giải Hoàn toàn tương tự toán 2.2 cách dựng đường cao SH Từ chứng minh tứ giác ABHC hình chữ nhật Suy AH = a , SH = a 15 ⇒ VS ABC = a 15 Tiếp tục thay đáy hình thoi cạnh a, góc ∠BAD = 60 , SA = a ta có 1.24: Bài 1.24 Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi a Biết góc ∠BAD = 60 , cạnh SA vng góc với đáy SA = a Từ 1.24 ta sáng tạo tốn khó sau: Bài 1.25 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SB = SC , SB tạo với đáy góc 450 , SA tạo với đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp S ABC biết SA〉 SB Hướng dẫn Dựng đường cao SH ta đưa toán toán 1.24 Bằng cách tương tự giúp em sáng tạo tốn từ tốn như: Hình lập phương, hình hộp chữ nhật, lăng trụ đứng, lăng trụ xiên… Tính thể tích phương pháp gián tiếp Bài tốn Cho hình chóp S.ABC Lấy A’, B’, C’ tương tứng cạnh SA, SB, V SA ' SB' SC ' S.A 'B'C ' = SC Khi V SA SB SC S.ABC (Bài 4, SGK, trang 25, hình học 12-CB) Chứng minh: 23 1 d ( A′, ( SBC ) ) SB ′.SC ′ sin ∠B ′SC ′ d A ', ( SB'C ' ) ) S∆SB'C' VS.A 'B'C' VA 'SB'C ( = = =3 Ta có 1 VS.ABC VASBC d ( A, ( SBC ) ) S∆SBC d ( A, ( SBC ) ) .SB.SC sin ∠BSC 3 SA ' SB' SC ' ⇒ (đpcm) SA SB SC Trong đó: ∠B ′SC ′ = ∠BSC d ( A ', ( SBC ) ) SA ' A' K = Vì AA '∩ ( SBC ) = S ⇒ (= ) d ( A, ( SBC ) ) SA AH = Chú ý: - Bài toán áp dụng cho khối chóp tam giác, khối chóp khác ta phải phân chia lắp ghép khối đa diện để tính - Kết điểm A’, B’, C’ có điểm A ≡ A ', B ≡ B', C ≡ C ' Thông thường, loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu, … Trong cơng thức (1), đặc biệt hố, cho B’ ≡ B C’ ≡ C ta VS A ' B ' C ' SA ' = VS ABC SA (1’) Ta lại có VS ABC = VS A ' BC + VA ' ABC SA ' VS ABC + VA ' ABC SA V SA ' A ' A ⇒ A ' ABC = − = VS ABC SA SA VA ' ABC A ' A = Vậy: (2) VS ABC SA (1') ⇒ VS ABC = Trở lại toán 1, cách thêm giả thiết yêu cầu học sinh làm tập sau: Bài 2.1 Cho hình chóp S ABC biết tam giác ABC cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) SA= a Gọi K trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABK 24 Lời giải Cách Ta có VS ABK = VB.SAK S ∆SAK = S ∆CAK a3 ⇒ VB.SAK = VB AKC = VB.SAC = 24 Cách Gọi H trung điểm cạnh AC Suy a KH // SA KH = SA = KH đường cao khối chóp K ABC a3 a3 ⇒ VK ABC = VS ABC = ⇒ VS ABK = VS ABC − VK ABC = 24 24 a3 12 Xét khối chóp C.SAB K.SAB có chung đáy SAB Dựng KE ⊥ ( SAB ) , CF ⊥ ( SAB ) Dễ thấy ba điểm S , E , F thẳng hàng, từ suy KE = CF ( Do ∆KSE ~ ∆CSF ) Cách Ta có VS ABC = VC SAB = a3 ⇒ VS ABK = VK SAB = VC SAB = 24 Cách Sử dụng kết tốn ta có VS ABK SK 1 a3 = = ⇒ VS ABK = VS ABC = VS ABC SC 2 24 Thêm điểm P thuộc cạnh SB ta có tốn sau: Bài 2.2 Cho hình chóp S ABC biết tam giác ABC cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) SA= a Gọi K trung điểm cạnh SC, điểm P thuộc cạnh SB cho SP = PB Tính thể tích khối chóp S.APK 25 Hướng dẫn giải Cách Áp dụng tốn ta có VS APK SK SP.SA a3 = = ⇒ VS APK = VS ABC SC.SB.SA 30 Cách Tương tự cách giải 2.1 KE = CF ; S ∆SAP = S ∆SAB a3 ⇒ VK SAP = VC SAB = VC SAB = 5 30 Giáo viên yêu cầu học sinh giải theo cách khác Tiếp tục cho thêm điểm Q Bài 2.3 Cho hình chóp S ABC biết tam giác ABC cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) SA= a Gọi K trung điểm cạnh SC, điểm P thuộc cạnh SB cho SP = PB , điểm Q thuộc cạnh SA cho SQ = QA Tính thể tích khối chóp S.PQK thuộc cạnh SA cho SQ = QA Ta có tốn 2.3 Hướng dẫn giải Cách Áp dụng tốn ta có VS QPK VS ABC = VS QPK = SQ SP SK = = SA SB SC 5 25 a3 VS ABC = 25 50 Cách Thực tương tự 2.2 ta a3 VK SPQ = VC SAB = 5 50 Cách Ta có VS PQK = VS ABC − VBPKQAC , VBPKQAC = V A.BCKP + VP AQK Từ tính thể tích thành phần dựa vào tỷ lệ diện tích đáy chiều cao ta kết Nhận xét Đơi để tính thể tích khối đa diện xem xét tính thể tích khối đa diện liên quan sử dụng tỷ lệ chiều cao, diện tích đáy, phân chia lắp ghép khối đa diện để tính Tuy nhiên, dễ phát yếu tố Chẳng hạn sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện để giải toán 2.3 gặp khó khăn sử dụng tỷ lệ chiều cao diện tích đáy Trong trường hợp ta sử dụng toán giúp giải toán cách gọn gàng 26 Bài 2.4 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = a SA vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a Giải: Ta có VSAMN SM SN = VSABC SB SC AM AN đường cao tam giác vuông SAB SAC nên ta có SM SA 2a SM = = =2⇒ = MB AB SB a SN = Tương tự SC 2 Do VS.AMN = VS.ABC = VS.ABC 3 Suy 5 a3 a3 = VA.BCMN = VS.ABC = (đvtt) 9 12 108 Ghi chú: Ta có hệ thức lượng tam giác vuông ABC b ' b2 = c ' c2 ( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng) sau đây: Vận dụng tốn thể tích để giải toán khác Nhận xét Nếu khối chóp có đáy tỷ lệ thể tích tỷ lệ chiều cao tương ứng chúng, với đối tượng học sinh giỏi ta khai thác tốn tỷ lệ thể tích theo định hướng sau: Bài 3.1 Cho khối chóp S.ABC điểm M nằm khối chóp Gọi h, x VM ABC khoảng cách từ S M đến mặt phẳng (ABC) Tính tỷ số V S ABC VM ABC x = Dễ dàng chứng minh được: V h S ABC Từ toán 3.1 kết hợp với phân chia lắp ghép khối đa diện ta có tốn 3.2: Bài 3.2 Cho hình chóp S.ABC M điểm nằm hình chóp Gọi x, y, x, t khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC), (SBC), (SAC), (SAB) hs , , hb , hc khoảng cách từ đỉnh S, A, B, C đến mặt đối diện x y z t Chứng minh rằng: h + h + h + h = s a b c Lời giải 27 Ta có VM ABC x V y = ; M SBC = ; VS ABC hs VS ABC VM SAC z VM SAB t = = ; VS ABC hb VS ABC hc VM ABC VM SBC VM SAC VM SAB VS ABC + + + = =1 VS ABC VS ABC VS ABC VS ABC VS ABC x y z t + + + =1 Vậy hs hb hc Đặc biệt hóa M trùng với điểm đặc biệt hình chóp tạo số tốn liên quan đến đẳng thức, bất đẳng thức, GTLN-GTNN Chẳng hạn toán cho M thuộc mặt phẳng ABC ta có tốn 3.3: Bài 3.3 Cho hình chóp S.ABC, M điểm nằm tam giác ABC Đường thẳng qua M song song với SA cắt mặt phẳng (SBC) A’, đường thẳng qua M song song với SB cắt mặt phẳng (SAC) B’, đường thẳng qua M song song với SC cắt mặt phẳng (SAB) C’ Chứng minh rằng: MA' MB ' MC ' + + SA SB SC không phụ thuộc vào vị trí điểm M (Trích nội dung đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ an, bảng B, năm 2010) Hướng dẫn giải Áp dụng kết 3.2 x=0 suy MA' MB ' MC ' + + =1 SA SB SC Kết hợp với bất đẳng thức Cơsi cho số ta có tốn sau: Bài 3.4 Cho tứ diện SABC, M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SD tương ứng cắt mặt phẳng (BCS), (ACS), (ABS) A’, B’, C’ Tìm vị trí điểm M cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn (Trích nội dung đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ an, bảng A, năm 2010) Lời giải 28 Theo 3.3 ta có MA' MB ' MC ' + + =1 SA SB SC Ta có MA' MB ' MC ' MA' MB' MC ' + + ≥ 33 SA SB SC SA SB SC Suy MA’.MB’.MC’ ≤ SA.SB.SC 27 Vậy giá trị lớn MA’.MB’.MC’ SA.SB.SC, đạt 27 MA1 MB1 MC1 MA' MB' MC ' = = = = = = ⇔ AA1 BB1 CC1 SA SB SC Hay M trọng tâm tam giác ABC Nhận xét Nếu điểm M trùng với trọng tâm G đáy , cắt hình chóp mặt phẳng, có tốn liên quan đến thiết diện: Bài 3.5 Cho hình chóp S.ABC Mặt phẳng (P) cắt cạnh SA, SB, SC, SG A’, B’, C’, G’.Trong G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh : SA SB SC SG + + =3 SA ' SB ' SC ' SG ' Lời giải 3 Ta có S ∆GAB = S ∆CAB ⇒ VS GAB = VS ABC (Hai khối chóp có chiều cao) Do VS A'B 'G ' SA' SB' SG ' = VS ABG SA SB SG ⇔ 3VS A'B 'G ' SA' SB ' SG ' = VS ABC SA SB SG 3V SB ' SC ' SG ' S B 'C 'G ' = Tương tự: V SB SC SG S ABC (1) (2) 29 3VS A'C 'G ' SA' SC ' SG ' = VS ABC SA SC SG (3) 3VS A'B 'G ' 3VS B 'C 'G ' 3VS A'C 'G ' SG '  SA' SB ' SB ' SC ' SC ' SA'  + + = + +   VS ABC VS ABC VS ABC SG  SA SB SB SC SC SA  V + VS B 'C 'G ' + VS A'C 'G '  SG '  SA' SB ' SB ' SC ' SC ' SA'   = + + ⇔  S A'B 'G '   V S ABC   SG  SA SB SB SC SC SA  (*) VS.A 'B'C' SA ' SB ' SC ' SA SB SC SG = + + =3 Mặt khác V (**) Từ (*) (**) ta có SA SB SC SA ' SB' SC ' SG ' S.ABC Cho G trọng tâm tam giác BCD đóng vai trị 3.5 thay điểm G’ điểm I trung điểm đoạn AG ta có tốn sau Bài 3.6 Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm tam giác BCD.mặt phẳng qua trung điểm I AG cắt điểm AB,AC,AD điểm khác A.Gọi h A,hB, hC, hD khoảng cách từ A,B,C,D đến mp ( α ) Chứng minh : hB2 + hC2 + hD2 ≥ h A2 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ an, bảng A, năm học 2012-2013) Lời giải Gọi B', C', D' giao điểm mp ( α ) với cạnh AB, AC, AD Ta có VAGBC = VAGCD = VAGDB = VABCD (*) Vì VAB'C'D' = VAIB'C' + VAIC'D' + VAID'B' (*) nên VAB'C'D' VAIB'C' V V = + AIC'D' + AID'B' VABCD 3VAGBC 3VAGCD 3VAGDB 30 ⇔ AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB' = + + AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB ⇔ AB AC AD AG BB' CC' DD' + + = =6⇔ + + =3 AB' AC' AD' AI AB' AC' AD' Mặt khác ta có BB' h B CC' h C DD' h D = , = , = AB' h A AC' h A AD' h A Suy hB hC hD + + = ⇔ h B + h C + h D = 3h A (**) hA hA hA Ta có: ( hB + hC + hD ) ≤ ( h 2B + h C2 + h 2D ) ⇔ ( h B − h C ) + ( h C − h D ) + ( h D − h B ) ≥ ( ) 2 2 2 Kết hợp với (**) ta ( 3h A ) ≤ ( h B + h C + h D ) h 2B + h C2 + h 2D Hay ≥ h 2A Bài 3.7 Cho điểm I nằm tứ diện ABCD Các đường thẳng AI, BI, CI, DI cắt mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) A', B', C', D' thỏa AI BI CI DI + + + = 12 Gọi V, V1 thể tích mãn đẳng thức A 'I B'I C'I D'I khối tứ diện ABCD IBCD Chứng minh V = 4V1 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ an, bảng B, năm 2011- 2012) Lời giải 31 Gọi V2 , V3 , V4 thể tích tứ diện ICDA, IDAB, IABC AA' d ( A, ( BCD ) ) V IA V IA V V + V3 + V4 = = ⇔ 1+ = ⇔ = −1 = IA' d ( I, ( BCD ) ) V1 IA ' V1 IA ' V1 V1 ( 1) Tương tự ta có : IB V1 + V3 + V4 = IB' V2 ( 2) , IC V1 + V2 + V4 ID V1 + V2 + V3 = = ( 3) , IC' V3 ID' V4 từ ( 1) , ( ) , ( 3) ( ) ta có : VT = = ( 4) AI BI CI DI + + + = A 'I B'I C'I D'I V2 + V3 + V4 V3 + V4 + V1 V1 + V2 + V4 V1 + V2 + V3 + + + V1 V2 V3 V4 V V  V V  V V  V V  V V  V V  VT =  + ÷ +  + ÷ +  + ÷ +  + ÷ +  + ÷ +  + ÷ ≥ 12  V2 V1   V3 V2   V4 V3   V1 V4   V1 V3   V4 V2  Đẳng thức xảy V1 = V2 = V3 = V4 = V Suy V = 4V1 (đpcm) 4 Thực nghiệm sư phạm 4.1 Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm Sư phạm kiểm tra tính khả thi tính hiệu đề tài 4.2 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm theo nội dung sáng kiến kinh nghiệm 32 4.3 Tổ chức thực nghiệm 4.3.1 Địa điểm đối tượng thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Tương Dương 2, Huyện Tương Dương, Tỉnh Nghệ An + Lớp thực nghiệm : 12A1, 12A2 ( Năm học 2019- 2020 ) + Lớp đối chứng : 12A1, 12A2 ( Năm học 2020- 2021) + Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Nguyễn Đình Tứ, Trần Đình Mạnh( Tác giả ) + Giáo viên dạy lớp kiểm chứng: Trần Quốc Minh, Nguyễn Văn Huấn Qua năm trực tiếp giảng dạy trường tơi tìm hiểu kỹ nhận thấy trình độ chung mơn tốn lớp dạy thực nghiệm lớp dạy đối chứng tương đương Trên sở đó, chúng tơi đề xuất thực nghiệm lớp 12A1, 12A2 ( Năm học 2019- 2020), lấy lớp 12A1, 12A2 ( Năm học 2020- 2021 ) làm lớp đối chứng BGH Trường, Thầy tổ trưởng tổ Toán- Lý – Tin - CN Thầy giáo hai lớp đối chứng chấp nhận đề xuất tạo điều kiện thuận lợi cho tiến hành thực nghiệm 4.3.2.Thời gian thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm tiến hành tháng 15/10/2019 đến 20/01/ 2021 với số tiết dạy 16 tiết ( Trong có tiêt kiểm tra 45 phút ) Phần lớn số tiết giảng cho học sinh buổi học ôn khối vào buổi chiều, bồi dưỡng học sinh giỏi 4.3.3.Công tác chuẩn bị tổ chức thực - Công tác chuẩn bị: * Điều tra thực trạng học tập lớp thực nghiệm * Soạn Giáo án giảng dạy theo nội dung sáng kiến 33 - Tổ chức thực hiện: * Ở lớp dạy thực nghiệm * Dạy theo nội dung Sáng kiến ngoại khoá, bồi dưỡng học sinh giỏi; * Quan sát hoạt động học tập học sinh xem em có phát huy tính tích cực, chủ động có giải tốn hay khơng * Tiến hành kiểm tra ( 45 phút ) sau thực nghiệm * Ở lớp đối chứng Giáo viên thực quan sát hoạt động học tập học sinh lớp đối chứng Giáo viên giảng dạy tập nội dung thể tích khối đa diện khơng theo hướng sáng kiến * Tiến hành đề kiểm tra lớp thực nghiệm 4.4 Đánh giá kết thực nghiệm sư phạm 4.4.1 Đánh giá định tính Thực tế cho thấy nhiều em học sinh học tập bị động, máy móc, bí phương pháp Khi trình thực nghiệm bắt đầu, quan sát chất lượng trả lời câu hỏi, giải tập dừng mức sử dụng phương pháp thông thường cách giải, học tập không thật tích cực lớp thực nghiệm rơi vào tình trạng Mặc dù vậy, chúng tơi thấy rằng, lớp thực nghiệm nhìn chung em tích cực hoạt động, học tập sơi nổi, khơng có cảm giác khiên cưỡng Các học phát huy tính tích cực, chủ động, độc lập suy nghĩ em học sinh Còn lớp đối chứng , hoạt động học tập chưa nhiều, em chủ yếu bí tiếp thu cách rời rạc, không chủ động 4.4.2 Đánh giá định lượng 34 Điểm Lớp Thực nghiệm 12A1 (2019 - 2020) Đối chứng 12A1 (2020 - 2021) Thực nghiệm 12A2(2019-2020) Số 10 0 0 30 0 10 0 32 0 0 8 32 0 10 33 Đối chứng 12A2(2020-2021) Lớp thực nghiệm 1: Yếu: 10% ; Trung bình: 30%; Khá: 43,3%; Giỏi: 16,7% Lớp đối chứng 1: Yếu: 21,9%; Trung bình: 40,6%; Khá: 37,5%; Giỏi: 0% Lớp thực nghiệm 2: Yếu: 9,4%; Trung bình: 31,2%; Khá: 50%; Giỏi: 9,4% Lớp đối chứng 2: Yếu: 30,3%; Trung bình: 51,5%; Khá: 15,2%; Giỏi: 3% Căn vào kết kiểm tra, bước đầu thấy hiệu việc dạy học thể tích khối đa diện đề xuất thực trình dạy học C KẾT LUẬN Qua thực nghiệm đề tài thực tế dạy học thấy thu kết sau: 35 - Các toán học sinh tiếp cận cách dễ dàng - Bài toán khai thác cách tự nhiên, có hệ thống, khơng khiên cưỡng, khơng bị gị ép, từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, khuyến khích giải tốn nhiều cách Điều phù hợp với hoạt động tốn học phổ biến trường phổ thơng nhằm phát triển lực sáng tạo cho học sinh - Kết thu khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Nhiều em học đề tài có những chuyển biến tích cực Đặc biệt, năm học 2019 - 2020 học sinh hai tác giả giảng dạy có nhiều em đạt điểm cao kỳ thi TN THPT lấy điểm xét tuyển đại học có nhiều em đạt điểm số em đạt điểm chất lượng đại trà lớp tác giả giảng dạy nâng lên rõ rệt, chưa thật mỹ mãn nói với đầu vào thấp tỉnh, đồng thời thành tích tốt mơn tốn trường THPT Tương Dương từ trước đến Mặc dù có nhiều cố gắng nhiên q trình viết cịn những thiếu sót Với tinh thần cầu tiến mong Thầy Cô giáo, bạn bè đồng nghiệp Hội đồng khoa học đóng góp ý kiến, giúp đỡ để Đề tài tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Tương Dương, ngày 10 tháng 03 năm 2021 TÀI LIỆU THAM KHẢO G Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản dịch Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD 36 Hà Nội G Polya (1997), Giải toán nào?, NXB Giáo dục, Sách giáo khoa Hình học 11, 12 THPT hành, NXBGD Đề thi THPT quốc gia mơn Tốn Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXBGD 37 ... nghiên cứu (SKKN) là: ? ?Rèn luyện kỹ giải toán Phát triển lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh số tốn thể tích khối đa diện? ?? Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, phân tích, đánh... dẫn để học sinh tìm tịi, sáng tạo việc tìm lời giải sáng tạo toán từ những toán đơn giản, quen thuộc - Biết khai thác kiến thức để rèn luyện kỹ giải toán phát triển lực sáng tạo cho học sinh II... I.1.4 Năng lực Toán học Năng lực Toán học đánh giá hai phương diện: Năng lực nghiên cứu toán học lực học tập toán học Như vậy, lực tốn học đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng yêu của hoạt động toán tạo