Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông qua nội dung tổ hợp

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ trong Luật Giáo dục 1998: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; ph

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

-

BÙI KHÁNH TOÀN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN

TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG QUA NỘI DUNG TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

HÀ NỘI-2010

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

-

BÙI KHÁNH TOÀN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN

TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG QUA NỘI DUNG TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Vũ Đình Hòa

HÀ NỘI-2010

LỜI CẢM ƠN

Với tất cả tình cảm của mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

PGS.TSKH Vũ Đình Hoà, người thầy đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trong suốt

quá trình làm luận văn

Xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo đã nhiệt tình giảng dạy và đặc biệt là các thầy cô trong Trường Đại học Giáo Dục, Đại học Quốc gia

Hà Nội đã tạo điều kiện, động viên, khích lệ, giúp đỡ tác giả trong lúc học tập và làm luận văn

Xin cảm ơn các thầy cô giáo và các em học sinh lớp 11B1 và 11B2 trường THPT Hải An, Hải Phòng đã giúp đỡ tác giả thực hiện các thực nghiệm sư phạm

Mặc dù rất cố gắng song bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tác giả rất mong nhận được sự chỉ dẫn, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các nhà khoa học, các bạn đồng nghiệp và những người quan tâm đến vấn đề nêu trong luận văn này để luận văn được hoàn thiện và có giá trị thực tiễn hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2010

Tác giả

Bùi Khánh Toàn

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BT: Bài toán GV: Giáo viên HS: Học sinh SGK: Sách giáo khoa SGV: Sách giáo viên SBT: Sách bài tập TH: Trường hợp THPT: Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

k n

A : Số chỉnh hợp chập k của n phần tử

k n

A : Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử k

n

C : Số tổ hợp chập k của n phần tử

k n

C : Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử

n

P : Số hoán vị của n phần tử n

Q : Số hoán vị trên đường tròn của n phần tử

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 7

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 13

1.1 Kỹ năng 13

1.1.1 Khái niệm về kỹ năng 13

1.1.2 Phân loại kỹ năng trong môn toán 14

1.2 Tư duy sáng tạo 15

1.2.1 Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy 15

1.2.2 Sáng tạo và quá trình sáng tạo 19

1.2.3 Khái niệm tư duy sáng tạo, các thành phần của tư duy sáng tạo 21

1.2.4 Một số công trình nghiên cứu về năng lực tư duy sáng tạo của học sinh 24

1.3 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán 29

1.3.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác 29

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới 30

1.3.3 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài có tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 30

1.3.4 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo quan việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập 31

1.4 Thực hiện vấn đề rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bài tập tổ hợp 11 32

Kết luận chương 1 33

Chương 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ

DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

QUA NỘI DUNG TỔ HỢP 34

2.1 Các định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua nội dung tổ hợp 34

2.1.1 Rèn luyện theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo 34

2.1.2 Hướng vào rèn luyện các hoạt động trí tuệ 41

2.1.3 Khuyến khích tìm nhiều lời giải cho một bài toán 44

2.1.4 Sáng tạo bài toán mới 45

2.1.5 Giải các bài toán thực tế về tổ hợp 48

2.2 Một số bài tập cơ bản về tổ hợp 51

2.2.1 Quy tắc cộng - quy tắc nhân 51

2.2.2 Chỉnh hợp lặp 53

2.2.3 Chỉnh hợp không lặp 54

2.2.4 Hoán vị 56

2.2.5 Tổ hợp không lặp 60

2.2.6 Tổ hợp lặp 62

2.2.7 Nhị thức Newton 64

2.3 Một số bài tập nâng cao về tổ hợp 69

2.3.1 Phương pháp tổ hợp trong lí thuyết tập hợp 69

2.3.2 Mạng lưới ô vuông 72

2.4 Những khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài tập tổ hợp 77

2.5 Bài tập tổng hợp 78

Kết luận chương 2 79

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 80

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 80

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 80

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm: 80

3.2.2 Nội dung dạy thực nghiệm: 80

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm: 82

3.3.1 Đánh giá định tính: 82

3.3.2 Đánh giá định lượng: 82

Kết luận chương 3 85

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

PHỤ LỤC 89

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 91

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ trong Luật Giáo dục (1998):

“…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”

Phát triển năng lực tư duy cho học sinh là một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường phổ thông trong đó việc rèn luyện tư duy sáng tạo giữ một vai trò quan trọng đối với việc phát triển năng lực tư duy Các hoạt động trí tuệ nói chung, tư duy sáng tạo nói riêng không những giúp con người tư duy, hành động tốt hơn trong học tập, nghiên cứu khoa học mà còn giúp con người

có thể tham gia vào các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống với hiệu quả cao

Chương trình môn toán (thí điểm) trường trung học phổ thông (năm

2002) cũng đã chỉ rõ: “… Môn toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, … rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác …”

Dạy toán là dạy kiến thức, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn), trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề

Tuy nhiên, nhận định về phương pháp dạy toán ở trường phổ thông trong giai đoạn hiện nay, các tác giả Hoàng Tuỵ và Nguyễn Cảnh Toàn viết:

“Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đã ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định lý để tính toán, chứng minh …”; “…Ta còn chuộng cách nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản …"

[11, tr.38]

Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lý học, phương pháp dạy học, …

đã khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một số kỹ năng trong dạy học Đại

số nói chung và Đại số tổ hợp nói riêng cho học sinh Tác giả Trần Khánh

Hưng cho rằng: “Kỹ năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài tập”, còn Nguyễn Bá Kim viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện mục đích khác” [5, tr.46] Như vậy có thể khẳng định rằng cần

thiết phải rèn luyện cho học sinh các kỹ năng trong dạy học Toán

Tuy nhiên, việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở các trường phổ thông không được thể hiện tường minh Do đó người giáo viên cần tìm những cơ hội, những nội dung kiến thức phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy này cho học sinh

Với học sinh phổ thông, tư duy sáng tạo thể hiện qua việc vận dụng kiến thức tự cấu trúc lại cái đã biết, tìm tòi, phát hiện điều chưa biết Với mỗi môn học, tư duy sáng tạo có đặc trưng riêng Khi học toán: việc tìm tòi các lời giải khác nhau hoặc sáng tạo ra bài toán mới là cách thể hiện của tư duy sáng tạo Nó không chỉ giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà còn tạo ra niềm say

mê, tích cực học tập Có thể nói sáng tạo là năng lực tư duy cần thiết khi học

toán Tổ hợp là một trong những mảng kiến thức toán hay và khó nhưng có nhiều tiềm năng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

Với những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài của mình là:

“ Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông qua nội dung tổ hợp”

2 Lịch sử nghiên cứu

Ở nước ta đã có nhiều tác giả nghiên cứu về tổ hợp như: Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận , và nhiều tác giả như Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim có rất nhiều công trình nghiên cứu về lý luận và thực tiễn về việc rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy cho học sinh trong học môn Toán

Tuy những công trình, bài nghiên cứu trên về vấn đề rèn luyện kỹ năng

và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh mới chỉ là lý luận chung nhưng đã

có những gợi mở quan trọng cho tôi trong quá trình triển khai đề tài

3 Mục tiêu nghiên cứu

Tạo ra hệ thống các bài toán về tổ hợp theo chủ đề nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở

trường phổ thông

4 Phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu về các bài tập tổ hợp trong sách

gióa khoa và sách bài tập Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao (NXBGD – 2008)

- Phạm vi về thời gian: Năm học 2009-2010

7 Giả thuyết nghiên cứu

- Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua hệ thống bài tập từ dễ đến khó

- Bài tập có tính xâu chuỗi, hệ thống, từ một bài học sinh có thể sáng tạo ra nhiều dạng bài khác, hoặc tìm được nhiều lời giải của một bài toán

8 Phương pháp chứng minh luận điểm

8.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách báo, tư liệu, các công trình có liên

quan đến đề tài

8.2 Điều tra – Quan sát: Dự giờ, quan sát việc giảng dạy của giáo viên và

việc học tập của học sinh trong quá trình chứng minh, khai thác các bài toán

tổ hợp nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

8.3 Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Dạy thử nghiệm cho học sinh khối

11 để bước đầu kiểm tra tính khả thi, hiệu quả của đề tài

8.4 Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế

giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân qua trao đổi với những đồng

nghiệm có kinh nghiệm ở các trường phổ thông

8.5 Dự kiến luận cứ

* Luận cứ lý thuyết:

- Các mục tiêu chung trong dạy học môn toán ở trường phổ thông

- Vấn đề phát triển năng lực tư duy cho học sinh

- Bản chất tư duy sáng tạo

- Mối liên hệ giữa dạy học giải toán và rèn luyện tư duy sáng tạo

Qua nghiên cứu của các nhà chuyên môn, đặc biệt là các nhà nghiên cứu phương pháp dạy toán, tư duy sáng tạo của học sinh được phát triển theo mức độ tăng dần của độ khó của hệ thống bài tập, nó thể hiện qua khả năng giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, khả năng sáng tạo ra bài toán mới

* Luận cứ thực tế:

- Kiến thức tổ hợp ở trường THPT

Kiến thức tổ hợp được trình bày ở phần đại số và giải tích lớp 11 nâng cao với 8 tiết trong đó có 4 tiết lý thuyết Khảo sát phần kiến thức này, chúng tôi nhận thấy có rất nhiều dạng toán có thể rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh: bài toán lập số tự nhiên từ các số cho trước, bài toán dùng sơ đồ nhánh, bài toán tính tổng các chỉnh hợp, bài toán dùng quy tắc tương ứng, bài toán tính hệ số của một luỹ thừa trong biểu thức khai triển

Tình hình dạy học đại số tổ hợp và việc rèn luyện tư duy sáng tạo ở trường trung học phổ thông: Đại số tổ hợp là một trong những phần toán đẹp

và thú vị, nó chứa đựng những bài toán khó đôi khi làm cho học sinh cũng như giáo viên phải e ngại Phần kiến thức này thực sự gây hứng thú đối với những học sinh yêu thích môn toán, đam mê sự sáng tạo, tìm tòi Tuy nhiên, việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở các trường phổ thông cũng mờ nhạt, ít được chú ý gọt rũa Có chăng chỉ một số ít đối tượng như các học sinh giỏi toán được ôn luyện một cách tỉ mỉ, công phu nhờ giáo viên và tổ bộ môn, còn các học sinh trung bình và trung bình khá thì hầu như không được chú ý

để rèn luyện tư duy sáng tạo, mà lẽ ra điều đó rất tốt đối với việc phát triển trí tuệ

- Phỏng vấn trực tiếp nhóm học sinh khối 11 và phỏng vấn giáo viên trong trường về việc dạy và học phần đại số tổ hợp

- Dự giờ đồng nghiệp Làm phiếu điều tra

- Tiến hành dạy thử nghiệm một số tiết ở phần đại số tổ hợp cho học sinh lớp 11 ở trường THPT Hải An Cụ thể: chọn 2 lớp trong đó một lớp thực nghiệm và một lớp đối chứng Sau đó tổ chức làm một bài kiểm tra cho mỗi lớp với thời gian 45 phút

9 Đóng góp của luận văn

9.1 Về mặt lý luận

Đã đưa ra được các căn cứ và một số kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong dạy học Đại số tổ hợp thông qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

II Phần nội dung

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho

học sinh lớp 11 trung học phổ thông qua nội dung tổ hợp Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

III Kết luận và khuyến nghị

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Kỹ năng

1.1.1 Khái niệm về kỹ năng

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức và thực hành nhất định cho con người Để giải quyết được công việc con người cần sử dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là bản chất đối với nhiệm vụ của được đặt ra và nó thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới chỗ giải quyết được nhiệm vụ đó Với quá trình đó con người dần dần hình thành cho mình một hệ thống các kỹ năng để giải quyết các vấn đề

Trong tài liệu tâm lý giáo dục, đã nêu lên một số quan điểm về khái niệm kỹ năng như sau:

Quan điểm 1 cho rằng: Kỹ năng là sự nắm vững nhưng có ý thức các

phương thức hoạt động

Quan điểm 2 cho rằng : Kỹ năng là sự sử dụng kiến thức và kỹ xảo đã

có để lựa chọn và thực hiện các phương thức hành động phù hợp với mục đích đặt ra

Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [14, tr 149]

Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về kỹ năng, chẳng hạn: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [16, tr 462] hoặc “Kỹ năng là sự lựa chọn trong tình huống cụ thể các phương thức đúng đắn của hành động để đạt được mục đích”

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựu trung lại thì đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới

Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết Cơ sở lý thuyết

đó là kiến thức Sở dĩ như vậy là vì xuất phát từ cấu trúc kỹ năng (phải hiểu mục đích, biết cách thức đi đến két quả và hiểu được những điều kiện cần thiết để triển khai các cách thức đó)

Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kỹ năng

Muốn kiến thức là cơ sở của kỹ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy đủ thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong

ý thức với tư cách là công cụ của hành động (kỹ năng) Nói cách khác, cần làm sao cho các sự vật quả thực là có những thuộc tính được phản ánh trong tri thức đã cho, làm sao cho các dấu hiệu là bản chất đối với những mục tiêu đặt ra trước hành động, làm sao cho những hành động này đảm bảo biến đổi đối tượng, một sự biến đổi cần thiết để đạt mục tiêu

1.1.2 Phân loại kỹ năng trong môn toán

Có nhiều cách phân loại kỹ năng

Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản thành 4 nhóm:

a) Kỹ năng nhận thức

Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kỹ năng nắm một khái niệm, định lý; kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc, trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…

b) Kỹ năng thực hành

Trong môn toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải bài toán, kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (trong bài toán hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế

c) Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá

Theo các tác giả: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, … lại xem xét kỹ năng toán học trên 3 bình diện: kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống

1.1.3 Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng

Kỹ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kỹ năng là cơ sở

để tiến hành các thao tác tư duy và kỹ năng chỉ được hình hành thông qua quá trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra

1.2 Tư duy sáng tạo

1.2.1 Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy

1.2.1.1 Khái niệm về tư duy

Tư duy là "sản vật cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán " Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một hình thức nhất định của sự vận động của vật chất với sự hoạt động của óc Khoa

học hiện đại đã chứng minh rằng tư duy là đặc tính của vật chất

Páp-lôp đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc là cơ cấu vật chất của hoạt động tâm lý Ông viết: " Hoạt động tâm lý là kết quả của hoạt động sinh lý của một bộ phận nhất định của óc"

"Cơ sở trực tiếp của tư duy là những tri giác và biểu tượng hình thành do

sự tác động của tự nhiên vào khí quan cảm giác trong quá trình hoạt động thực tiễn của con người Đó là nguồn gốc của tư duy"

"Không còn nghi ngờ gì nữa, trong tương lai tư duy sẽ được quy kết thành những vận động phân tử và hóa học nhất định của óc, nghĩa là tư duy sẽ cho những sự vận động đó giải thích" [7, tr.873, tr.875, tr.876]

Theo tâm lý học, tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết

Từ điển tiếng Việt nêu rõ: tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý" [16, tr.1437]

Một đặc điểm nổi bật của tư duy là tính “có vấn đề ở hoàn cảnh, tình huống

có vấn đề mà sự giải quyết vấn đề đó gợi lên một nhu cầu và nằm trong khả năng

hiểu biết tri thức của chủ thể nhận thức thì tư duy được hình thành và phát triển”

Nhà toán học A.Ia.Khinxin cho rằng những nét độc đáo của phong cách

tư duy toán học là:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến mục đích

- Phân chia rành mạch các bước suy luận

- Sử dụng chính xác các kí hiệu

- Lập luận có căn cứ đầy đủ

1.2.1.2 Các hình thức cơ bản của tư duy

Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối

tượng và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nội hàm Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng đó Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A gọi là khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là khái niệm

loại của A

Trong toán học người ta còn sử dụng những khái niệm không định nghĩa, còn gọi là khái niệm nguyên thủy làm cơ sở xây dựng hệ thống các khái niệm toán học như: điểm, đường thẳng, mặt phẳng

Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy trong đó khẳng định một dấu

hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi

Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu: trực tiếp và gián tiếp Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của quá trình tự giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai, phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các luận điểm

Suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định

(gọi là quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo quy luật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp, suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau, quy nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại

suy diễn kiểm chứng kết quả của quy nạp

1.2.1.3 Các thao tác tư duy

Phân tích - tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng

nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau Còn tổng hợp là thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môn toán phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

So sánh - tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống

nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức So sánh liên quan chặt chẽ

với phân tích, tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ

đơn giản hơn nhưng vần có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ớ dấu hiệu khác Trong cuốn sách "Toán học và những suy luận có lý", G.Polya viết: "Hai

hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa bộ phận tương ứng" [7, tr.29]

Như vậy tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một

mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Khái quát hoá - đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp

nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định Các thuộc tính chung đó gồm hai loại như: những thuộc tính chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo GS Nguyễn Bá Kim: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [5, tr.46]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát hoặc từ một cái tổng quát đến cái tổng quát

hơn Trong toán học người ta thường khái quát hoá một số yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, đỉnh lý, bài toán thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hóa

Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hóa ta thử đặc biệt hóa Nếu kết quả là của đặc biệt hóa là đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hóa Nhưng nếu sai thì dừng lại

Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những

mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Tất nhiên sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở dạy chỉ mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

1.2.2 Sáng tạo và quá trình sáng tạo

1.2.2.1 Khái niệm về sáng tạo

Theo từ điển tiếng Việt: "Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết cái mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có (cái mới, cách giải quyết mới phải có ý nghĩa, có giá trị xã hội)" [16, tr.1130]

Dưới góc độ một phạm trù triết học, sáng tạo được hiểu "là quá trình hoạt động của con người tạo ra những giá trị vật chất, tinh thần mới về chất" Dưới góc độ tâm lý học, sáng tạo được hiểu là một năng lực tâm lý? Sáng tạo là năng lực đáp ứng một cách thích đáng nhu cầu tồn tại theo lối mới, năng lực gây ra cái gì đấy mới mẻ

Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: "Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới" [11, tr.7]

Từ những quan điểm trên, ta có thể quan niệm: Một quá trình tư duy được coi là sáng tạo nếu nó tạo ra cái mới Tuy nhiên cần chú ý là ta nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Cái mới thường nẩy sinh và kế thừa từ cái cũ, hay nói cách khác cái cũ đã chứa mầm mống nảy sinh cái mới

Vấn đề nhìn cái cũ như thế nào rất quan trọng

Tuy nhiên nói "sáng tạo" là có tính tương đối Một phát hiện có thể coi là sáng tạo trong một hoàn cảnh nào đó, chưa chắc đã được coi là sáng tạo trong một tình huống, hoàn cảnh khác Một phát hiện có thể là sáng tạo với người này nhưng không phải mới mẻ với người khác; sáng tạo ở thời điểm này nhưng không là sáng tạo ở thời điểm khác;

Trong toán học nói riêng và các môn khoa học nói chung, việc giải quyết vấn đề đã quan trọng, nhưng nêu vấn đề cũng không kém phần quan trọng và được đánh giá rất cao Thậm chí Albert Einstein còn cho rằng: "Việc thiết lập vấn đề thường thiết yếu hơn việc giải quyết vấn đề đó, vì giải quyết chỉ là công việc của kỹ năng toán học hay kinh nghiệm Nêu được vấn đề mới, những khả năng mới nhìn nhận những vấn đề cũ dưới một góc độ mới đòi hỏi phải có trí tưởng tượng và nó đánh dấu bước tiến bộ thực sự của khoa học" Sáng tạo chính là nêu vấn đề

Với nhận thức như trên, trong dạy học sáng tạo phải luyện tập cho học sinh thói quen và khả năng biến đổi các sự vật, hiện tượng, quá trình Đồng thời, đối với học sinh phổ thông, sự sáng tạo đối với họ không nhất thiết đòi hỏi phải đưa ra các mới đối với nhân loại Nếu họ đương đầu với những vấn

đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc lập những vấn đề đó để thu được cái mới mà họ chưa từng biết, hoặc thu được các kết quả bằng những thủ pháp mới, các thao tác mới, các công cụ mới, thì đó chính là sự sáng tạo

1.2.2.2 Quá trình sáng tạo

Theo sự công nhận rộng rãi của nhiều nhà khoa học thì quá trình sáng tạo trải qua bốn giai đoạn:

- Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể hoạt động tìm kiếm cách giải

quyết vấn đề, thu thập tài liệu, tìm hiểu các thông tin liên quan

- Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết các vấn

đề một cách có ý thức bị ngừng lại, chỉ còn các hoạt động của tiềm thức, các

hoạt động bổ xung cho vấn đề được quan tâm

- Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự "bừng

sáng" trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải

- Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển

khai các luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới được khẳng định

Quá trình sáng tạo có một số đặc điểm sau:

- Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới

- Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc

- Nhận ra chức năng mới ở những điều kiện quen thuộc

- Nhận ra cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu

- Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau

- Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong khi đã biết được nhiều phương pháp truyền thống

- Tính kế hoạch, tỉ mỉ, chuyên cần, kiên định mục đích

Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái hay tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên "bừng sáng" trong đầu óc con người hoặc đặt con người trong trạng thái "hứng khởi cao độ, khi đó các tư tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, những "ý hay", theo cách nói của G.Polya, sẽ giúp họ đi đến những kết quả mới

1.2.3 Khái niệm tư duy sáng tạo, các thành phần của tư duy sáng tạo

1.2.3.1 Tư duy sáng tạo

Một số tác giả cho rằng: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo

ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết ván đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất” [14, tr.72]

Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức

độ tư duy đi sau Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực đặc trưng bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực còn tư duy độc lập thể hiện ở khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tư duy độc lập Mặt khác, một số tác giả cho rằng: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo"

Có thể biểu thị mối quan hệ giữa các loại hình tư duy như sau:

Ba vòng tròn đồng tâm về tư duy của V.Krutexcki Nhà tâm lý học V.A Krutexcki lấy ví dụ cho ba loại hình tư duy:

- Mức tư duy tích cực: Học sinh chăm chú lắng nghe, cố gắng hiểu, tham gia nhiệt tình vào bài giảng

- Mức tư duy độc lập: Học sinh tự đọc, tự chứng minh các vấn đề được thầy nêu ra, có thể là nghiên cứu gợi ý hoặc thậm chí đáp án, miễn là hoạt động độc lập theo dụng ý trước của thầy (định hướng)

- Mức tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá ra định lý, tự chứng minh định lý đó

Về mặt tâm lý học, tư duy sáng tạo có những dấu hiệu đặc trưng như:

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

- Sản phẩm của tư duy có tính mới mẻ và giá trị (có thể theo nghĩa chủ quan hay khách quan)

- Quá trình tư duy được chỉ đạo bởi tư tưởng, quan điểm, phương pháp luận tiến bộ so với thực tại xã hội

- Quá trình tư duy còn được đặc trưng bởi sự tồn tại của động cơ mạnh, của tính kiên trì vượt khó khăn, sự nỗ lực cá nhân vượt bậc và của nhiều phẩm chất đặc biệt khác nhau thuộc nhân cách

Tuy vậy, như một quá trình sáng tạo, tư duy sáng tạo có tính chất tương đối: Tư duy sáng tạo của ai, trong hoàn cảnh nào? Cùng một chủ thể giải quyết vấn đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo nhưng không sáng tạo trong điều kiện khác, hoặc cùng một vấn đề được giải quyết có thể đối với người này là mang tính sáng tạo còn với người khác thì không như vậy

1.2.3.2 Các thành phần của tư duy sáng tạo

Nhiều nghiên cứu đã đưa ra các cấu trúc khác nhau của tư duy sáng tạo, tuy nhiên theo [14] thì tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi ba yếu tố cơ bản sau

+) Tính mềm dẻo (flexibility): Đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh

chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc

độ quan niệm khác, có khả năng định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối liên hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người

+ ) Tính nhuần nhuyễn (fluency: Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh

chóng sự tổ hợp các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết về ý tưởng mới Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo

ra một số lượng nhất định các ý tưởng trong một đơn vị thời gian Số ý tưởng

nghĩ ra càng nhiều thì càng có khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, điều này phù hợp với quy luật lượng đổi, chất đổi của triết học duy vật biện chứng

+) Tính độc đáo (orginality): Là khả năng tìm và quyết định phương

thức giải quyết lạ hoặc duy nhất

Ngoài ra, chúng ta cũng cần quan tâm lới một vài yếu tố đặc trưng khác của tư duy sáng tạo như:

+) Tính hoàn thiện (elabolation): Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng +) Tính nhạy cảm vấn đề (problem's sensibility): Là năng lực nhanh

chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu và

từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới

Ngoài ra còn có các yếu tố quan trọng khác như: Tính chính xác (precise), năng lực định giá (ability to valued), phán đoán (decide), năng lực định nghĩa lại (redefinition)

Tuy nhiên có thể thấy: Các yếu tố đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo

nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ

trợ bổ sung cho nhau Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

1.2.4 Một số công trình nghiên cứu về năng lực tư duy sáng tạo của học sinh

Cho đến nay, trên thế giới nói chung và ở Việt Nam nói riêng đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực sáng tạo cũng như về vấn đề bồi dưỡng, rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh Trên thế giới, thì những năm 50 của thế kỷ XX trở lại đây các công trình nghiên cứu về năng khiếu và tài năng phát triển rất mạnh mẽ

Vào năm 1960, các nhà trắc nghiệm Mỹ J.W Getzels và P.W Jackson

đã thông báo các số liệu chứng tỏ không có sự phụ thuộc giữa các chỉ số trí tuệ (chỉ số IQ) và năng lực sáng tạo (creativity) Vì vậy, để đánh giá năng lực

sáng tạo người ta dựa vào chỉ số CrQ với các tham số như: Tính linh hoạt của

tư duy (số lượng các ý tưởng xuất hiện trong một đơn vị thời gian), tính mềm dẻo của tư duy (năng lực chuyển từ ý tưởng này sang ý tưởng khác), tính độc đáo của tư duy (năng lực sản sinh ra các ý tưởng khác với các quan niệm đã được công nhận chung), tính nhạy cảm (đối với các vấn đề trong thế giới

xung quanh), năng lực vạch ra các giả thuyết; tính viễn tưởng Việc tách biệt

giữa các chỉ số IQ và chỉ số Cr đã đặt nền tảng cho việc đặt đối lập giữa logic

+) Hai là, theo nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tạo ra những kết quả mới, khách quan, có một giá trị lớn đối với loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt đối Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập đến năng lực sáng tạo Có nhiều học sinh có năng lực đã nắm giáo trình toán học một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt ra và giải những bài toán không phức tạp lắm,

đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lí, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo

những bài toán không mẫu mực

Tác giả đã sử dụng một hệ thống bài toán thực nghiệm được chọn lọc một cách công phu để nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh Từ các kết quả nghiên cứu đó, tác giả kết luận: Tính linh hoạt của quá trình tư duy khi giải toán thể hiện trong việc dễ dàng và nhanh chóng chuyển từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, trong tính đa dạng của các

cách xử lý khi giải toán, trong việc thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những phương pháp dập khuôn

Krutecxki cũng nghiên cứu sâu về tính thuận nghịch của quá trình tư duy trong lập luận toán học (khả năng chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy đảo) Tác giả đã nêu lên sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học sinh bao gồm các mặt:

+) Thu nhận thông tin toán học

+) Chế biến thông tin toán học

+) Lưu trữ thông tin toán học

+) Thành phần tổng hợp khái quát

Trong đó, tính linh hoạt của tư duy trong hoạt động toán học, năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực nhanh chóng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy đảo là những thành phần quan trọng về mặt chế biến thông tin toán học Đặc biệt năng lực khái quát hóa tài liệu toán học được coi là thành phần cơ bản của năng lực toán học

Ở nước ta khi nói đến những công trình nghiên cứu về năng lực sáng tạo toán học của học sinh trong những năm vừa qua, trước hết phải kể đến tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, Hoàng Chúng, Phạm Gia Đức, Phạm Văn Hoàn, Trần

Thúc Trình, Phạm Gia Cốc, Tôn Thân, Trần Luận,

Trong [4], tác giả Hoàng Chúng đã nghiên cứu về vấn đề rèn luyện cho học sinh các phương pháp suy nghĩ cơ bản trong sáng tạo toán học, cụ thể là phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tương tự Trong tài liệu này, tác giả đã phân tích vấn đề trên một hệ thống ví dụ cụ thể kèm theo việc đề xuất một số lượng bài tập thực hành hết sức phong phú Đặc biệt là, để giúp học sinh rèn luyện phương pháp tư duy, tác giả đã vạch ra và phân tích kĩ qui trình suy nghĩ để tìm lời giải hoặc sáng tạo các bài toán mới cũng như việc phân tích về những khó khăn thường gặp khi giải toán và phương hướng khắc phục những khó khăn đó Đó là việc mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra các

phương pháp giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức Theo tác giả, để rèn luyện khả năng sáng tạo toán học, ngoài lòng say mê học tập cần rèn luyện khả năng phân tích vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau biểu hiện ở hai mặt quan trọng dưới đây:

+) Khả năng phân tích khái niệm, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều khía cạnh khác nhau từ đó tổng quát hoá hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều khía cạnh khác nhau

+) Khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác các lời giải đó để giải các bài toán tương tự hay tổng quát hơn hoặc là đề xuất các

bài toán mới

Trong [11], tác giả Nguyễn Cảnh Toàn đã đề ra mục đích chủ yếu của cuốn sách là rèn luyện tư duy sáng tạo nhất là tư duy biện chứng, đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, rèn luyện tư duy biện chứng thông qua lao động tìm tòi cái mới Tác giả khẳng định: "Muốn sáng tạo, muốn tìm ra cái mới thì trước hết phải có "vấn đề" có thể do tự mình phát hiện, có thể do người khác đề xuất cho mình giải quyết Nhưng muốn trở thành một người có khả năng chủ động độc lập nghiên cứu thì phải lo bồi dưỡng năng lực, phát hiện vấn đề" [11, tr.166]

Để đi đến cái mới trong toán học, phải kết hợp được tư duy logic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng và thói quen tìm tòi thực nghiệm Trong việc phát hiện vấn đề và định hướng cho cách giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng đóng vai trò chủ đạo Khi hướng giải quyết vấn đề đã có thì tư duy lôgic giữ vai trò chính Muốn sáng tạo toán học, rõ ràng là phải giỏi vừa cả về phân tích, vừa cả tổng hợp, phân tích và tổng hợp đan xen vào nhau, nối tiếp

nhau, cái này tạo điều kiện cho cái kia

Trong [1], tác giả Hoàng Chúng đã nêu rõ: "Rèn luyện kỹ năng công tác độc lập là phương thức hiệu quả nhất để học sinh hiểu kiến thức một cách sâu sắc, có ý thức và sáng tạo" Vốn kiến thức thu nhận được ở nhà trường "chỉ

sống và sinh sôi nảy nở nếu người học sinh biết sử dụng nó một cách sáng tạo bằng công tác độc lập suy nghĩ của bản thân đã được tôi luyện Học sinh không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy độc lập Các tác giả nhấn mạnh: Công tác độc lập cần phải phát triển ở học sinh sự hoạt động của tư duy và sáng tạo [1, tr.9]

Khi trình bày về công tác độc lập của học sinh trong việc giải bài tập toán, các tác giả lưu ý đến một trong những hình thức cao của công tác độc lập đòi hỏi nhiều sáng tạo là việc học sinh tự ra lấy đề toán Đó là biện pháp

để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Trong quá trình đề xuất bài toán mới, phát hiện vấn đề mới, các phẩm chất của tư duy sáng tạo được nảy nở và phát triển Trong các giáo trình toán học, khi nói đến nhiệm vụ của môn toán đều nhấn mạnh đến nhiệm vụ phát triển năng lực trí tuệ chung, trong đó có nhiệm vụ hình thành những phẩm chất trí tuệ, đặc biệt là các phẩm chất tư duy sáng tạo Tác giả Nguyễn Bá Kim đã phân tích: " Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa

là coi nhẹ cái cũ Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ nhưng vấn đề

là ở chỗ cách nhìn cái cũ như thế nào" [4, tr.50]

Trong [14], các tác giả đã khẳng định: phát triển những năng lực toán

học ớ học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người thầy giáo [14, tr.130]

Như vậy, chúng ta có thể thấy rằng đã có nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu về năng lực và cấu trúc của tư duy sáng tạo của học sinh Đó là một năng lực hết sức quan trọng trong cấu trúc năng lực toán học của học sinh

1.3 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán

1.3.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác

Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích

và tổng hợp đóng vai trò nền tảng Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau Trên cơ sở so sánh từng trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa, làm rõ mối quan hệ chung giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta

có thể tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy Theo Hoàng Chúng (trong [1]), các phương pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá và tương tự có ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học Có thể vận dụng các phương pháp này để giải các bài toán đã cho; để mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra phương hướng giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa các kiến thức, từ đó giúp phát hiện ra những vấn đề mới, những bài toán mới, hoặc giúp ta nhìn thấy sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau Nhờ

có những phương pháp đó, học sinh có thể mở rộng, đào sâu kiến thức bằng cách nêu lên và giải quyết những vấn đề tổng quát hơn, những vấn đề tương

tự, hoặc đi sâu vào những trường hợp đặc biệt có ý nghĩa toán học

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới

Khi dạy lý thuyết, giáo viên cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong đó giáo viên cần tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi khám phá kiến thức mới Trong quá trình này, tuỳ theo từng loại đối tượng mà học sinh tự lực tiếp cận các kiến thức với các mức độ khác nhau

Chú ý thường xuyên tập dượt cho học sinh suy luận có lý (thông qua

quan sát so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, quy nạp, tương tự, ) để có thể

tự mình tìm tòi, dự đoán các kết quả, để tìm cách giải một bài toán, chứng minh một định lý, bồi dưỡng cho học sinh các phương pháp chứng minh toán học như phân tích, tổng hợp, phản chứng, quy nạp để có thể tự mình tìm tòi,

dự đoán được các qui luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh định lý Nói cách khác là tăng cường cả hai bước suy đoán

và suy diễn trong quá trình dạy toán

Khi luyện tập củng cố, chẳng hạn khi học sinh học một qui tắc nào đó, cần lựa chọn một vài ví dụ có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục tính ỳ của tư duy, tránh hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới Cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ vấn đề cần chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vẫn đề và giải quyết vấn đề

1.3.3 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài có tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khoá cũng như các hoạt động ngoại khoá Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện

khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc tự sáng tác những đề toán, tìm tòi những cách giải mới, những kết quả

mới khai thác từ các bài toán đã giải

Khâu kiểm tra đánh giá phải được xem là khâu quan trọng song song với việc dạy học Các đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu ngoài việc kiểm tra việc nắm bắt các kiến thức cơ bản còn phải có những câu kiểm tra được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra đó trên cơ sở bộc lộ rõ năng lực tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ là học tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo Ngoài ra cần tổ chức các hoạt động ngoại khóa, câu lạc bộ toán học Các hoạt động đó tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, rèn luyện cho học sinh khả năng làm việc độc lập và kích thích hứng thú học tập của học sinh

1.3.4 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo quan việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của

tư duy sáng tạo, đặc biệt là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo

Có thể khai thác nội dung các vấn đề dạy học, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc

lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo

Giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu

tố của tư duy sáng tạo Chẳng hạn như đưa ra những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để tránh tính ỳ của tư duy, tránh hành động máy móc không thay đổi phù hợp với điều kiện mới Việc đưa ra những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau giúp học sinh hình thành

các liên tưởng ngược đồng thời với liên tưởng thuận Bên cạnh đó, giáo viên cần khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán Yêu cầu này đòi hỏi các em phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác nhau, biết chuyển từ thao tác trí tuệ này sang thao tác trí tuệ khác Cần phải rèn luyện cho học sinh chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy nghịch Có thể thực hiện bằng cách làm những bài tập mà trong đó vấn đề thuận, nghịch đi liền với nhau Đối với các bài tập có thể tìm được nhiều lời giải, mặc

dù mỗi lời giải có một nghĩa khác nhau nhưng cũng cần rèn luyện cho học sinh ý thức tự đánh giá và chọn lựa cách giải hay nhất cho bài toán

Việc tìm nhiều lời giải của bài toán gắn liền với việc nhìn một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó mở đường cho sự sáng tạo phong phú Ngoài ra, khi dạy giải bài tập cần đưa ra các bài tập mới, để học sinh tập dượt sáng tạo, ra các bài tập "không theo mẫu", không đưa được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định lý, quy tắc trong chương trình để bồi dưỡng tính độc đáo của tư duy sáng tạo

1.4 Thực hiện vấn đề rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bài tập tổ hợp 11

Vấn đề dạy học toán trong dạy học bài tập Tổ hợp - Đại số và Giải tích

11 tuy đã có đổi mới về phương pháp giảng dạy nhưng vẫn còn tồn tại ở nhiều nơi phương pháp dạy học cũ thiếu tích cực từ phía người học, thiên về dạy, yếu về học Chúng ta vẫn hay gặp tình trạng phổ biến trong dạy học bài tập

Tổ hợp chỉ cố gắng chữa hết các bài tập trong sách giáo khoa hoặc có chăng

là bổ xung thêm một ít bài tập nâng cao Đa số trong các giờ bài tập, giáo viên chỉ chú trọng đến số lượng bài tập mà vấn đề rèn luyện kỹ năng và phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bài tập Tổ hợp chưa được chú trọng Chính vì vậy sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh đã bị kìm hãm Phần lớn học sinh phổ thông thường thụ động trong học toán

Trong dạy học môn toán ở đa số các trường phổ thông, thầy giáo thường phân dạng bài tập để chữa cho học sinh rồi luyện cho các em theo những dạng

đó Chính vì thế, các em thường chỉ giải được những bài toán dạng như thầy

đã chữa một cách máy móc mà khi thay đổi bài toán một chút là các em

không muốn tiếp tục suy nghĩ, tìm tòi lời giải

Chương 2

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG

TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

QUA NỘI DUNG TỔ HỢP

2.1 Các định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua nội dung

tổ hợp

Ở phần trước ta đã nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề tư duy và tư duy sáng tạo Việc trang bị kiến thức, kỹ năng cơ bản cho học sinh, đặc biệt bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình liên tục, trải qua nhiều giai đoạn với những mức độ khác nhau Điều quan trọng nhất trong dạy học sáng tạo là giải phóng hoạt động tư duy của học sinh bằng cách để các em tự hoạt động, tự khám phá tìm tòi, phải kết hợp tốt giữa hoạt động học tập và hoạt động nhận thức Bên cạnh đó tính tích cực được nâng dần theo mức độ từ thấp đến cao: tích cực động não, độc lập suy nghĩ đến tích cực sáng tạo Người thầy cần rèn luyện học trò nâng dần các hoạt động từ dễ đến khó:

từ theo dõi cách chứng minh, đến hoạt động mò mẫm dự đoán kết quả và cuối cùng tự lực chứng minh Việc dự đoán, mò mẫm kết quả không chỉ tập cho học sinh phong cách nghiên cứu khoa học, tập các thao tác tư duy cần thiết,

mà còn là biện pháp quan trọng nhằm nâng cao tính tích cực của học sinh Khi tự đưa ra dự đoán, học sinh sẽ hào hứng và có trách nhiệm hơn trong quá trình tìm tòi lời giải cho kết quả dự đoán của mình

Để bồi dưỡng, phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh, có thể tiến hành theo các phương hướng sau:

2.1.1 Rèn luyện theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo

a) Tính mềm dẻo Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy

diễn, tương tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời suy nghĩ nếu gặp trở ngại

- Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của của những kinh nghiệm, những phương pháp, những suy nghĩ đã

Ví dụ 1 Lần lượt xét các bài toán sau đây:

Bài toán 1.1 Có bao nhiêu số được tạo ra bằng cách hoán vị các chữ số của

số 1234567?

Lời giải Vì các chữ số của số đã cho 1234567 đôi một khác nhau nên

mỗi số tạo ra là một hoán vị của bảy chữ số trên Vậy có thể tạo ra 7! = 5040

số

Bài toán 1.2 Có bao nhiêu số được tạo ra bằng cách hoán vị các chữ số của

số 1133345?

Hướng dẫn và lời giải Tiếp tục ý tưởng của BT1.1, sử dụng công thức

về số hoán vị để giải BT này Tuy nhiên vì hai chữ số 1 giống nhau, ba chữ số

3 giống nhau nên khi hoán vị hai chữ số 1 cho nhau, ba chữ số 3 cho nhau ta nhận được cùng một kết quả Vì vậy bài toán được giải như sau:

Coi bảy chữ số trên khác nhau, số hoán vị của bảy phần tử là 7!

Khi hoán vị hai chữ số 1 có 2! cách, hoán vị ba chữ số 3 có 3! cách

Do đó chỉ lập được 7!

2!.3!= 420 số thỏa mãn

Bài toán 1.3 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Hỏi từ A có thể lập được

bao nhiêu số tự nhiên bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần, chữ số 3 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số khác xuất hiện không quá một lần?

Hướng dẫn Đây là bài toán lập số, chẳng hạn một số lập được là

4232733 Khi nói đến lập số, học sinh dễ nghĩ đến sử dụng chỉnh hợp, vì cần phải quan tâm đến thứ tự các chữ số Tuy nhiên trong bài toán này, số lập ra

có các chữ số giống nhau, và xuất hiện một số lần nhất định Do đó nên gợi

mở cho học sinh suy nghĩ theo các hướng: cách thứ nhất là HS có thể tiếp tục

ý tưởng của BT1.2, chọn các chữ số trước, sau đó hoán vị các chữ số để tạo thành số thỏa mãn; cách thứ hai là thực hiện chọn các phần tử của tập hợp A xếp vào bảy vị trí để được một số thỏa mãn yêu cầu

Lời giải của bài toán như sau:

Lời giải 1 Chọn hai chữ số khác nhau {a, b}, a < b, trong năm chữ số

b) Tính nhuần nhuyễn được thể hiện ở hai đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán: khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất nhiều phương án khác nhau để giải quyết, từ đó đưa ra được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

Khi thực hành giải toán, để thực hiện được điều này, ta cần phân tích cho học sinh thấy rõ các bước để giải một bài toán, tìm sự quan hệ gần gũi giữa bài toán đã cho và bài toán đã biết

Ví dụ 2 Tính hệ số của 15

x trong khai triển của  2 3 20

( 1 x x )

Hướng dẫn và lời giải Đây là bài toán liên quan đến khai triển lũy

thừa của đa thức, do đó nên sử dụng công thức nhị thức Newton Vì công thức Newton chỉ khai triển cho tổng dạng n

(ab) nên phải sử dụng công thức đó hai lần, đầu tiên cho a = 2

1 x , b = x , sau đó tiếp tục áp dụng cho a = 1, 32

= C1520 C C1720 173 C C1920 196 = 217056

c) Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những phương pháp khác

Ví dụ 3 Cho phương trình x 1x 2 x 3x 4 12

a) Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình sao cho x i đôi một khác nhau

b) Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình

c) Tìm số các nghiệm nguyên không âm của phương trình

Hướng dẫn và lời giải

a) Nhận xét Vì số 12 là số khá nhỏ nên có thể nghĩ đến liệt kê các bộ bốn số

đôi một khác nhau và có tổng là 12 Việc liệt kê này chắc chắn không quá nhiều trường hợp vì chỉ kể ra những bộ số x1, x2, x3, x4 có giá trị tăng dần

+ Nếu x12 thì x2 3, x34, x45 không thỏa mãn

Như vậy lời giải phần a) như sau:

Chỉ có các bộ số nguyên dương sau đây đôi một khác nhau và có tổng bằng 12:

(1, 2, 3, 6) (1, 2, 4, 5) Mỗi hoán vị của một bộ số trên là một nghiệm của phương trình ban đầu, do

đó số nghiệm thỏa mãn là: 2.4! = 48

b) Nhận xét Tiếp tục ý tưởng phần a, học sinh có thể nghĩ đến việc liệt kê các

nghiệm thỏa mãn, tuy nhiên khi giả thiết bỏ đi điều kiện “các số xi phân biệt” thì công việc khó khăn hơn rất nhiều, vì trong bốn nghiệm đó có thể có hoặc không có các nghiệm nhận cùng một giá trị Khi đó phải hình dung bài toán theo một cách khác như sau: coi 12 là 12 đơn vị, và phân chia 12 đơn vị này vào 4 ô x1, x2, x3, x4 sao cho ô nào cũng có ít nhất một đơn vị

Lời giải phần b) như sau:

Xét 12 ký hiệu “x” dưới đây:

x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x giữa chúng có 11 khoảng cách mà ta ký hiệu là dấu “_”

Viết xen vào khoảng cách giữa chúng 3 dấu phân chia “|”, chẳng hạn:

x _ x _ x | x _ x _ x _ x | x _ x | x _ x _ x tức là có x1= 3, x2= 4, x3 = 2, x4= 3 thỏa mãn yêu cầu

Vậy mỗi nghiệm của phương trình có được bằng cách chọn 3 trong 11 khoảng cách để phân chia, do đó số nghiệm nguyên dương là 3

11

C = 165

c) Nhận xét Học sinh có thể nhận thấy khi giả thiết thay đổi từ “dương” sang

“không âm” thì các nghiệm có thể bằng 0, điều đó nghĩa là chọn theo kiểu của phần b) không sử dụng được, vì khi chọn khoảng cách “_” làm dấu phân chia

“|” thì giữa chúng thế nào cũng có ít nhất một đơn vị “x” Muốn xảy ra các nghiệm bằng 0 thì phải chọn được trường hợp mà hai dấu phân chia “|” kề