Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ HUYỀN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12, BAN NÂNG CAO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ HUYỀN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHƯƠNG

TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12, BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ HUYỀN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHƯƠNG

TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12, BAN NÂNG CAO

CHUYÊN NGHÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

( BỘ MÔN TOÁN)

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Vũ Lương

HÀ NỘI – 2012

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục viết tắt ii

Mục lục iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Kỹ năng 6

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 6

1.1.2 Kỹ năng giải toán 10

1.2 Thực trạng việc dạy học Toán, dạy và học đạo hàm ở trường THPT

14 1.2.1 Thực trạng dạy học Toán ở trường THPT 14

1.2.2 Thực trạng việc học đạo hàm ở trường THPT 15

1.2.3 Thực trạng việc dạy đạo hàm ở trường THPT 16

1.3 Dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12

17 1.3.1 Mục đích, yêu cầu của đạo hàm và ứng dụng đạo hàm 17

1.3.2 Những kỹ năng cơ bản thuộc nội dung 19

1.4 Kết luận chương 1 20

Chương 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12, BAN NÂNG CAO 21

2.1 Một số kiến thức cơ bản 21

2.1.1 Khái niệm đạo hàm 21

2.1.2 Định lý tồn tại đạo hàm 21

2.1.3 Ý nghĩa hình học đạo hàm 22

2.1.4 Cực trị hàm số 22

2.1.5 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 22

2.2 Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 23

2.2.1 Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán giải phương trình, bất phương trình thường gặp 23

2.2.2 Hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 24

2.3 Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán cực trị 42

2.3.1 Cực trị của hàm số chứa tham số 42

2.3.2 Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán tìm GTLN và GTNN

47 2.4 Kỹ năng chứng minh bất đẳng thức 57

2.4.1 Một số bất đẳng thức cơ bản sử dụng đạo hàm 57

2.4.2 Bất đẳng thức sử dụng đạo hàm bậc cao 72

2.4.3 Bất đẳng thức hàm lồi 75

2.4.4 Sử dụng tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức 87

2.4.5 Bất đẳng thức BECNOULI 96

2.5 Kết luận chương 2 102

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 103

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 103

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 103

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 103

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 103

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 103

3.2.2 Nội dung dạy thực nghiệm 104

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 108

3.3.1 Phương pháp giảng dạy 108

3.3.2 Khả năng lĩnh hội của học sinh 108

3.3.3 Kết quả kiểm tra 109

3.4 Kết luận chương 3 110

KẾT LUẬN 111

TÀI LIỆU THAM KHẢO 113

DANH MỤC VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nâng cao chất lượng dạy học đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và PPDH Luật giáo dục (1998) đã chỉ

rõ "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn "

Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí đặc biệt quan trọng vì toán học là công cụ cho nhiều môn học khác Môn Toán có khả năng to lớn giúp cho học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, nó góp phần to lớn vào việc đào tạo những người lao động thông minh, sáng tạo

Việc truyền thụ những tri thức cũng như cung cấp cho học sinh phương pháp nghiên cứu toán học ở trường phổ thông được thực hiện chủ yếu thông qua quá trình rèn luyện phương pháp để giải các bài toán

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: "Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy

và tính cách", trong đó kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu

không có kỹ năng thì sẽ không phát triển tư duy và không đáp ứng nhu cầu giải quyết bài toán Dạy học trong các trường phổ thông hiện nay đang đứng trước thực trạng: nội dung dạy học nặng nề về cung cấp kiến thức, phương pháp dạy học chủ yếu hướng đến sử dụng khai thác trí nhớ và khả năng tư duy tái tạo của học sinh dẫn đến học sinh tiếp thu kiến thức một cách máy móc, ít yếu tố tìm tòi sáng tạo trong học tập Để khắc phục điều đó mỗi giáo viên phải

có một phương pháp giảng dạy linh hoạt thì mới có thể chuyển tải tối đa lượng kiến thức cho học sinh, mới phát huy được tư duy sáng tạo cho học sinh Trong quá trình dạy học, người thầy không chỉ cung cấp kiến thức cho học sinh mà còn dạy cách học, phát triển khả năng tư duy, phân tích, tổng

hợp, nhận xét, đánh giá, phát hiện và giải quyết vấn đề làm cho học sinh chủ động học tập, say mê nghiên cứu Để học sinh tích cực học tập, HS cần được cuốn hút vào các hoạt động học tập do GV tổ chức và chỉ đạo thông qua đó tự mình khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã được sắp đặt sẵn Cần đặt HS vào những tình huống thực tế, thảo luận, giải quyết vấn đề theo cách riêng của mình, qua đó HS vừa nắm được kiến thức mới, kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp “làm ra” những kiến thức đó, kỹ năng đó, không nhất thiết dập khuông theo những khuôn mẫu có sẵn, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo Qua hoạt động học tập HS được tiếp cận kiến thức mới xuất phát từ những vấn đề nào

đó đã được đặt ra và từ đó HS biết huy động kiến thức đã tích luỹ được để giải quyết những vấn đề mới Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy các hoạt động toán học Đối với HS, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau

Khi nói đến phương pháp giải bài tập tức là nói đến phương tiện, cách thức con đường để đạt được mục đích nhất định trong nhận thức và thực tiễn Đứng trước một bài toán khâu quan trọng nhất học sinh tìm ra phương pháp giải, vận dụng kiến thức, tự cấu trúc lại cái đã biết, tìm tòi phát hiện những điều chưa biết Khi học toán: việc tìm ra lời giải, tìm tòi các lời giải khác nhau hoặc sáng tạo ra bài toán mới là cách thể hiện kỹ năng giải toán Nó không những giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà còn tạo ra niềm say mê, tích cực học tập

Đạo hàm là một nội dung quan trọng của toán học bậc THPT Nó vừa

là đối tượng, nhưng hơn thế nó vừa là công cụ mạnh được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp của toán THPT

Vận dụng đạo hàm để giải toán THPT là một nội dung trọng tâm của chương trình luyện thi đại học và bồi dưỡng HSG Việc sử dụng đạo hàm thế

nào cho hợp lý trong các vấn đề liên quan vẫn luôn gây ra nhiều khó khăn cho các em HS Với mong muốn: làm sao để các em học sinh THPT được trang bị đầy đủ các kiến thức trong việc học tập nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm Đặc biệt với mục đích đưa ra hệ thống bài tập được phân thành từng dạng bài, nhằm đem lại thuận lợi cho HS trong quá trình học tập và nghiên cứu về đạo

hàm của hàm số Từ những lý do trên tác giả đã lựa chọn đề tài: "Rèn luyện

kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao"

2 Lịch sử nghiên cứu

Đến nay có một số công trình nghiên cứu toán học theo một số góc góc

độ khác nhau: Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khảo sát hàm số lớp 12 THPT - Luận văn thạc sĩ của Thân Văn Khoát, Đại học Giáo dục- Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2008 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương trình Tổ hợp và Xác xuất lớp 11 THPT - Luận văn thạc sĩ của Vương Thuỳ Dung, Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2011, đã mang lại hiệu quả thiết thực trong giảng dạy và tiếp thu kiến thức trên lớp, nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao

3 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

Tạo ra hệ thống các bài toán ứng dụng đạo hàm theo chủ đề nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu

Tình hình dạy học ở trường THPT Thanh Hà- Hải Dương

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học các nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12

5 Mẫu khảo sát

Lớp 12B, 12C, trường THPT Thanh Hà, Thanh Hà, Hải Dương

6 Vấn đề nghiên cứu

Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học “Ứng

dụng đạo hàm” như thế nào để mang lại hiệu quả cao?

7 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán, vận dụng các phương pháp đã đề xuất trong luận văn thì học sinh có kỹ năng tốt hơn để giải các bài toán “Ứng dụng đào hàm”, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông

8 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này tác giả sử dụng chủ yếu 4 phương pháp nghiên cứu sau:

8.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu lý luận dựa vào những tài liệu có sẵn, những văn kiện của Đảng và Nhà nước về các vấn đề liên quan đến giáo dục như: Thực trạng giáo dục, chương trình đổi mới sách giáo khoa, cách thức vận dụng và đổi mới các phương pháp dạy học hiện nay Nghiên cứu các sách về giáo dục môn Toán, Tâm lý học, nghiên cứu lý luận về phương pháp dạy học: phân tích, tổng hợp,

hệ thống hóa Nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa môn Toán THPT và các tài liệu có liên quan đến đề tài

8.2 Phương pháp điều tra, quan sát

Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các đồng nghiệp trong trường và các đồng nghiệp ở các trường khác

Tham khảo ý kiến của các giáo viên có nhiều kinh nghệm trong giảng dạy toán ở bậc THPT

Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của các giảng viên hướng dẫn, các chuyên gia về bộ môn

Xây dựng và sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình dạy và học

"Ứng dụng đạo hàm" (Điều tra qua giáo viên và học sinh)

Điều tra thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trước và sau khi giảng thực nghiệm

8.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Triển khai dạy thực nghiệm một số giáo án (vận dụng một số phương pháp trong các phương pháp đã thực hiện) để đánh giá tính khả thi, kiểm định giả thuyết khoa học để chứng tỏ giả thuyết đưa ra là đúng

8.4 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng phương pháp thống kê trong sử lí kết quả thực nghiệm sư phạm đối với HS trong dạy học phần “Ứng dụng đạo hàm”

9 Dự kiến các luận cứ

9.1 Luận cứ lý thuyết

Các mục tiêu chung trong dạy học môn Toán ở trường THPT

Các lý luận của các nhà tâm lý đã nghiên cứu về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT

9.2 Luận cứ thực tiễn

Thực tế nho thấy học sinh hiện tại đại bộ phận ít tìm tòi, tự học, thụ động, gần như không có sự sáng tạo Đa số học sinh chỉ làm được những bài tập mà giáo viên đã đưa ra và nếu học sinh gặp các bài toán dạng khác thì khó

có thể làm được Với việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì học sinh sẽ chủ động, tự giác, sáng tạo trong học tập

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Theo [24], “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định"

Theo [26], "Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp"

Theo [14] "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"

Theo [25] "Trong toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được"

Như vậy dù phát biểu dưới góc độ nào, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động

1.1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng

Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kỹ năng:

- Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh đầy

đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

- Muốn có kỹ năng về hành động nào thì cần phải :

+ Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động

+ Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

+ Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài Tuy nhiên thực tiễn cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những vấn đề cụ thể Cái khó khăn nằm ở chỗ, học sinh không biết phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy khối kiến thức mà họ có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn

và không biến thành cơ sở của các kỹ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau và các thuộc tính bản chất của các sự vật Như vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần phải biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lý, cần phải lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp với mục tiêu của hành động

Trong thực tiễn giảng dạy chúng tôi nhận thấy có nhiều học sinh học thuộc lý thuyết nhưng không vận dụng được lý thuyết đó vào giải bài tập, không biết lựa chọn định lý nào cho phù hợp với bài toán mà mình cần giải Nguyên nhân của hiện tượng đó là do kỹ năng chưa được hình thành

1.1.1.3 Sự hình thành kỹ năng

Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích yêu cầu Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trìu tượng hoá và khái quát hoá cho đến khi hình thành được mô hình về một mặt nào của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau: Con đường thứ nhất là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng những tri thức đó Từ

đó học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm, qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động Người ta còn gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề

Con đường thứ hai là: Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà

từ đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối đó vào bài toán cụ thể

Con đường thứ ba: Dạy học cho học sinh chủ yếu là những hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức Trong trường hợp này giáo viên không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và thao tác mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong việc cải biến sử dụng thông tin thu được để giải bài toán đặt ra

Trong giai đoạn đầu những mốc định hướng của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hoá dưới dạng sơ đồ, ký hiệu

về các đối tượng, còn thao tác và các mốc định hướng thì được thực hiện những hình thức, những hành động đối tượng

Ở giai đoạn thứ hai, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng được thay thế bằng các ký hiệu và các hành động ngôn ngữ

Như vậy người giáo viên đã định hướng cho học sinh: Để chứng minh bài toán trước hết phải phân loại dạng bài tập và tìm nội dung đã được học để tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể Từ đó xây dựng được cho học sinh các phương pháp giải toán Tuy nhiên để phát triển bài toán và khắc sâu cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh mở rộng bài toán: Tìm cách giải khác nhau ,tổng quát hoá bài toán, khái quát hoá, tương tự hoá…

Như vậy, học sinh được hình thành kỹ năng tư duy suy luận logíc Người ta còn gọi phương pháp dạy học nói trên là phương pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn Trên thực tế khi hình thành những tri thức mới ai cũng phải trải qua các giai đoạn này Tuy nhiên trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý thức Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những dấu hiệu lô gíc

mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn những hành động thích hợp để làm điều đó

Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo cho học sinh khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tạo các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi hình thành kỹ năng cho học sinh cần tiến hành :

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng

Sự hoạt động để hình thành kỹ năng và kỹ xảo bao gồm sự vận dụng bước đầu kiến thức và thực tiễn, công việc luyện tập để hoàn thiện hành động

đó Sự hình thành kỹ năng diễn ra thông minh hơn nếu ngoài hoạt động thực hành quá trình đó còn kèm theo cả hoạt động trí tuệ tích cực của học sinh nữa

1.1.1.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

- Nội dung bài toán : Nhiệm vụ đặt ra được trìu tượng hoá hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng Việc tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp học sinh dễ dàng trong việc hình thành kỹ năng

- Kỹ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay thấp

1.1.2 Kỹ năng giải toán

1.1.2.1 Khái niệm

Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, theo tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh như sau: "Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học"

Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ

năng tương ứng Tuỳ theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện

kỹ năng khác nhau

1.1.2.2 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT

Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của môn Toán Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán nhằm đạt được những yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình

- Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ Cụ thể là rèn luyện và phát triển

+ Tư duy lô gíc là ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán + Khả năng suy đoán, tư duy trìu tượng

+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, tương

- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính kiên trì, cẩn thận chính xác, các thói quen tự kiểm tra, đánh giá để tránh sai lầm có thể gặp

1.1.2.3 Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán

Hệ thống kỹ năng giải toán cho học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể

Trong giải toán học sinh cần có nhóm kỹ năng sau:

* Nhóm kỹ năng chung

- Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài toán:

Phân tích bài toán, làm rõ các dự kiến đặt ra Nếu bài toán có tính chất

là một vấn đề thì cần tìm khâu nào còn chưa biết, một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuật toán để giải bài toán, xác định đó là trọng tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hướng giải Đây là kỹ năng phát hiện giải quyết vấn đề, là một trong những kỹ năng quan trọng nhất khi giải bài tập toán Cần làm rõ thành phần mối liên hệ : tường minh hay không tường minh, qua các yếu tố có hoặc không có trong bài toán…

- Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài toán Vấn đề khó khăn nhất học sinh khi đứng trước bài toán, đặc biệt là những bài toán ứng dụng đạo hàm là đường lối giải Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả của bài toán Xét về mặt nhận thức thì việc giải bài toán bao gồm hai quá trình: thứ nhất là tìm hướng giải, thứ hai là tiến hành giải bài toán còn gọi là chiến thuật giải bài toán Hai quá trình này độc lập và hỗ trợ nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tách thành hai quá trình riêng biệt Có nhiều cách để học sinh thực hiện biện pháp này: Ví dụ giúp học sinh phân loại, phân dạng bài tập để xác định phương pháp chung giải các loại, dạng bài tập đó Phương pháp chung sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán cụ thể

Huy động tri thức, kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toán bao gồm hai dạng Dạng 1 là những nội dung học sinh sản sinh ra một cách tích cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành Dạng 2

là những ý tưởng chợt loé sáng tự phát, được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá trình tư duy sáng tạo

- Kỹ năng xây dựng và thực hiện kế hoặch cụ thể giải bài toán

- Kỹ năng thu nhận, hợp thức hoá bài toán thành kiến thức mới của người giải toán

- Kỹ năng kiểm tra đánh giá quá trình giải bài toán

- Kỹ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị hàm số

-Kỹ năng ước lược, đo đạc

- Kỹ năng toán học hoá tình huống thực tiễn

* Nhóm kỹ năng về tư duy

- Kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức trong giải toán:

+ Sắp xếp kiến thức theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích để giải toán

+ Phân loại bài toán để lựa chọn kế hoặch và phương pháp giải

+ Tập hợp các dữ kiện, xác định ẩn, biểu thị qua các mối liên hệ

+ Xác định rõ giả thiết, kết luận phản ánh rõ các ký hiệu trong bài toán

- Kỹ năng tổng hợp: Liên hệ các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt nội dung bài toán, kết cấu lại đề toán đã định hướng giải

- Kỹ năng phân tích:

+ Nhận dạng chung, phân tích các quan hệ và cấu trúc bài toán

+ Nhận dạng ý trọng tâm, dự đoán phân tích và khắc phục các sai lầm trong giải toán

+ Phân tích các khả có lời giải hoặc cách đi đến lời giải

- Kỹ năng mô hình hoá: chuyển bài toán thành mô hình và phân tích các quan hệ toán học cũng như phương pháp toán học trên mô hình đó Đây là

kỹ năng cần thiết trong giải toán

- Kỹ năng sử dụng thông tin: Nhận biết, thu thập và ghi nhận thông tin

từ nội dung bài toán

1.2 Thực trạng việc dạy học Toán, dạy và học đạo hàm ở trường THPT

1.2.1 Thực trạng dạy học Toán ở trường THPT

Xuất phát từ yêu cầu nâng cao chất lượng đào tạo, Bộ Giáo dục và Đào tạo có chủ chương đổi mới nội dung và PPDH Nhưng thực tế ở các trường phổ thông hiện nay các PPDH vẫn là phương pháp truyền thống Vấn đề cải tiến PPDH theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tạo cho học sinh rèn luyện khả năng tự học đã được đặt ra nhưng kết quả chưa đạt được như mong muốn Giáo viên đã có ý thức lựa chọn PPDH chủ đạo trong mỗi tình huống điển hình ở môn Toán nhưng nhìn chung còn có những vấn đề chưa được giải quyết, phương pháp thuyết trình vẫn còn khá phổ biến Những PPDH có khả năng phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo ở học sinh như dạy học phát hiện

và giải quyết vấn đề, dạy học phân hoá, dạy học kiến tạo… thì giáo viên ít sử dụng GV chưa được hướng dẫn một quy trình, một chỉ dẫn hành động để thiết

kế bài giảng phù hợp Vì vậy khi sử dụng các PPDH mới khó hoàn thành nội dung chương trình dạy học trong khuôn khổ thời gian quy định

Thực tế ở trường phổ thông hiện nay việc dạy học Toán được mô tả như sau: Phần lý thuyết giáo viên dạy theo từng chủ đề, theo các bước, đặt vấn đề, giảng giải dẫn học sinh tới kiến thức, kết hợp đàm thoại, vấn đáp, gợi

mở nhằm uốn nắn những lệch lạc (nếu có), củng cố kiến thức bằng bài tập, hướng dẫn công việc học tập ở nhà Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp, giáo viên gọi một hoặc một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xét lời giải, GV sửa hoặc đưa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố hiểu biết cho học sinh Một số bài toán sẽ được phát triển theo hướng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá cho đối tượng học sinh khá giỏi

Việc rèn luyện tư duy lô gíc cho học sinh không đầy đủ, thường chú ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp GV ít khi chú ý đến việc dạy toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi

dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hoặc các tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải pháp Còn nhiều GV sử dụng chủ yếu phương pháp thuyết trình, đàm thoại chưa chú ý đến nhu cầu hứng thú học sinh trong quá trình học

Thực tế ở các trường phổ thông hình thức dạy học chưa phong phú, đa dạng, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho học sinh, học sinh nhiều khi tiếp nhận kiến thức còn bị động Những kỹ năng cần thiết của việc tự học chưa được chú ý đúng mức Do vậy việc dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay còn bộc lộ nhiều điều cần đổi mới Đó là học sinh chưa thực sự hoạt động một cách tích cực, chưa chủ động sáng tạo, chưa được thảo luận để đưa ra khám phá của mình, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn còn yếu Vai trò GV chủ yếu vẫn là thông báo kiến thức dạy học sinh cách chứng minh, phán đoán và một số thói quen làm việc nhất định chứ chưa kích thích học sinh tìm đoán, sáng tạo bài toán Hơn nữa do thời gian hạn chế, khối lượng kiến thức cần truyền đạt theo SGK thì nhiều và phải dạy đúng phân phối chương trình nên chưa phát huy được tính độc lập, sáng tạo học sinh Chưa tạo được môi trường để học sinh độc lập khám phá, tìm tòi và nghiên cứu

1.2.2 Thực trạng việc học đạo hàm ở trường THPT

Ở lớp 10 học sinh làm quen với khái niệm hàm số và đồ thị của một số hàm số đơn giản như hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai Trong chương trình lớp 12, kiến thức hàm số được mở rộng, học sinh được tìm hiểu rõ hơn về sự đồng biến nghịch biến của hàm số và lần đầu tiên HS được học về cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số, đường tiệm cận…, do đó học sinh tiếp xúc với những kiến thức mới này sẽ không tránh khỏi lúng túng

và mắc sai lầm Hơn nữa các bài tập về ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán rất phong phú đòi hỏi HS có kiến thức tổng hợp, khả năng suy đoán, kỹ năng tính toán, thậm chí nhiều bài tập đòi hỏi học sinh có tư duy cao mới có thể làm được Trong dạy học, do thời gian phân phối chương trình về phần hàm

số lớp 12 còn ít nên một số GV ít vận dụng giải các bài toán về ứng dụng đồ thị hàm số, ít có thời gian học sinh nghiên cứu tạo hứng thú cho học sinh mà chủ yếu đưa học sinh những lớp bài tập nhất định và từ đó học sinh thực hành

GV chưa quan tâm nhiều đến việc làm cho học sinh hiểu rõ vấn đề, giúp học sinh tự mình phát hiện, khám phá, tự mình vận dụng kiến thức tìm tòi, mở rộng các vấn đề, chưa đặt vấn đề tự học vào đúng vị trí của nó

Khi làm bài tập HS thường vận dụng một cách máy móc theo những bài toán quen thuộc, chính vì vậy khi gặp bài toán khác lạ rất dễ làm cho học sinh hoang mang dẫn đến không giải quyết được bài toán

Phần nội dung đạo hàm được dạy trong chương trình cuối lớp 11, đến đầu lớp 12 mới được học phần ứng dụng của đạo hàm, nên rất dễ quên kiến thức cơ bản điều đó khó khăn trong việc vận dụng vào giải bài tập Nhất là phần ứng dụng đạo hàm thực tế đối với các em rất mơ hồ

1.2.3 Thực trạng việc dạy đạo hàm ở trường THPT

Từ năm 2007 theo chương trình cải cách giáo dục, phần đạo hàm được đưa xuống dạy ở cuối lớp 11 Chính vì vậy đây là nội dung được nhiều thầy

cô giáo và các em học sinh quan tâm Nhưng để hiểu sâu sắc và thấy được cái hay của các bài toán đạo hàm thì cả GV và HS đều phải bỏ rất nhiều thời gian

và công sức nghiên cứu GV cần có thời gian giảng dạy vài năm để đúc rút được kinh nghiệm giảng dạy phần môn học này HS cũng mất một khoảng thời gian để làm chủ kiến thức lâu hơn khi học các nội dung khác

Để tìm hiểu được thực trạng dạy học đạo hàm ở trường THPT tôi đã tiến hành dự giờ quan sát, đàm thoại kết quả thu được như sau:

Khi dạy lý thuyết:

- GV dễ dàng tạo được không khí học tập sôi nổi, hào hứng cho các em

HS thông qua các ví dụ cụ thể

- GV gặp khó khăn trong việc phân hoá HS chính vì vậy mất nhiều thời gian phân bậc kiến thức

Khi dạy bài tập

- Do dạng bài tập của phần đạo hàm và ứng dụng đạo hàm rất đa dạng

và phong phú, GV phải mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát thành một hệ thống bài tập phù hợp với trình độ nhận thức của từng HS Đối với những bài toán quen thuộc thì cách hướng dẫn có phần đơn giản, nhưng gặp dạng toán không quen thuộc, GV phải mất nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn

- Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhưng GV phải chữa một

số lượng lớn bài tập với đầy đủ các dạng và các bước sau:

+ Củng cố lại lý thuyết

+ Hướng dẫn HS dạng bài tập, mô hình hoá các tình huống để vận dụng công thức cho đúng

+ Chữa mẫu một số bài tập cơ bản

+ Hướng dẫn HS cách trình bày lời giải cô đọng, dễ hiểu, xúc tích + Dành nhiều thời gian để tìm hiểu, giải thích những sai lầm của HS + Dành thời gian dạy phân hóa: Rèn kỹ năng cho HS trung bình và hướng dẫn HS khá, giỏi làm bài tập khó để phát triển trí tuệ

Dạy và học phần đạo hàm và ứng dụng đạo hàm rất vất vả nhưng GV tạo được hứng thú cho HS bằng cách hướng dẫn khuyến khích các em tự sáng tạo ra bài tập tương tự Ngoài ra còn giúp các em thử sức với những bài tập

mở rộng hay phát triển bài toán mới…

1.3 Dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12

1.3.1 Mục đích, yêu cầu của đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

Việc dạy đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT nhằm đạt các mục đích và yêu cầu sau:

+ Về kiến thức

Giúp học sinh nắm vững

- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số;

- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số;

- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và các cách tìm các giá trị đó;

Để đạt mục tiêu trên cần xây dựng một hệ thống bài tập phù hợp để hình thành quy trình giải các dạng bài tập về cực trị hàm số, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số, các bài toán về tiếp tuyến, bài toán về ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bài toán về bất đẳng thức Hơn nữa học sinh cần phải rèn luyện kỹ năng vận dụng quy trình đó vào giải các bài toán

Với học sinh, nhu cầu củng cố, bồi dưỡng nâng cao kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán là tất yếu Muốn thoả mãn được nhu cầu đó thì các

em phải được vận dụng nhiều, phải tích cực tham gia các hoạt động luyện tập, đào sâu, hệ thống hoá và ôn tập Trên thực tế đa số học sinh khá, giỏi có khả năng tự đúc kết được tri thức và tri thức phương pháp thông qua con đường kinh nghiệm, qua giải một hệ thống bài tập Khi xây dựng hệ thống bài tập nên phân bậc hoạt động, chia hệ thống bài tập thành hai nhóm:

Nhóm 1: Những bài tập trung bình củng cố kiến thức cơ bản

Nhóm 2: Những bài tập nâng cao nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán, cũng như phát triển năng lực tư duy thuật toán cho học sinh

Thực tế cho thấy, nếu giáo viên lựa chọn một hệ thống bài tập phù hợp,

sẽ giúp học sinh có khả năng khắc sâu kiến thức cũ, củng cố kiến thức và kỹ năng cần thiết, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tiếp thu kiến thức một cách vững chắc

- Kỹ năng nhận dạng bài tập để lựa chọn đường lối giải

- Kỹ năng huy động các kiến thức lý thuyết đã được trang bị vào giải một bài toán cụ thể

- Kỹ năng kiểm tra đánh giá, trình bày lời giải của bài toán

+ Về phương pháp

Trong thực tiễn dạy học từ rất xưa phương pháp dạy học tích cực đã được xuất hiện, đến nay chúng ta đang cố gắng đổi mới PPDH là làm cho HS học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Phải làm sao trong mỗi tiết học HS được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận và hoạt động nhiều hơn GV cần phải tổ chức cho HS được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo Chú trọng cho học sinh biết cách khai thác các phương pháp khác nhau, lựa chọn các ưu điểm của phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học khám phá, phương pháp dạy học tự học… để giải các dạng bài toán ứng dụng đạo hàm bằng con đường tổng hợp Giáo viên cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh năng lực thiết lập mối liên hệ giữa kiến thức mới và kiến thức cũ

+ Về việc phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho học sinh

Việc dạy học ứng dụng đạo hàm nhằm đạt được mục đích, yêu cầu rèn luyện kỹ năng chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ, rút ra các kết luận từ những định lý, quy tắc Ngoài ra cần bồi dưỡng cho học sinh năng lực chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Quy tắc tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của hàm số Hơn nữa kích thích học sinh

tự hình thành thuật toán của riêng mình, tìm thuật toán tối ưu

1.3.2 Những kỹ năng cơ bản thuộc nội dung

Để giúp học sinh có kỹ năng giải bài tập về ứng dụng đạo hàm, trước tiên cần trang bị hệ thống kiến thức lý thuyết cơ bản và đầy đủ Trên cơ sở lý

thuyết đã được trang bị, học sinh cần học cách vận dụng lý thuyết đó vào giải bài tập cụ thể GV cần phân loại bài tập một cách có hệ thống Từ việc phân dạng bài tập, xác định những kỹ năng cơ bản, GV xây dựng cho học sinh quy trình giải các dạng toán, từ đó giúp HS tích luỹ những kinh nghiệm thông qua quá trình giải một dạng toán cụ thể Vì vậy trong đề tài này chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc xây dựng một hệ thống bài tập theo từng chủ đề, sắp xếp

hệ thống bài tập đó từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Cụ thể là:

- Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

- Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong các bài toán cực trị

- Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong các bài toán về bất đẳng thức

Quá trình giải bài tập toán nói chung, bài tập ứng dụng đạo hàm nói riêng góp phần quan trọng vào việc rèn luyện tư duy độc lập, sáng tạo cũng như nhiều phẩm chất tốt đẹp của người học: tính tích cực, sáng tạo, tính kiên trì vượt khó

Vấn đề khó khăn nhất học sinh khi đứng trước bài toán, đặc biệt những bài toán ứng dụng đạo hàm là đường lối giải Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả của bài toán Trên cơ sở tìm hiểu khái niệm kỹ năng, đặc điểm kỹ năng, các yếu tố ảnh hưởng ảnh hưởng đến sự hình thành

kỹ năng, kỹ năng giải toán cho thấy rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán là một trong những biện pháp tích cực góp phần khắc phục khó khăn trong học tập của HS và nâng cao chất lượng dạy học Việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập ứng dụng đạo hàm như thế nào? Trong chương 2, chúng tôi sẽ giải đáp những

câu hỏi đó

CHƯƠNG 2 RÈN LUỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHƯƠNG TRÌNH

GIẢI TÍCH LỚP 12, BAN NÂNG CAO 2.1 Một số kiến thức cơ bản

2.1.1 Khái niệm đạo hàm

+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x o thuộc khoảng đó Khi đó giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số 0

0

f(x) - f(x )x-x khi

x  x o được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm xo

Kí hiệu

0

' 0

0

x x

0

f(x)-f(x )lim f (x )

Trong đó x: số gia của biến số; y: số gia của hàm số

+ Đạo hàm phía trái của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là

x-x





+Đạo hàm trên một khoảng:

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x(a;b)

2.1.2 Định lý tồn tại đạo hàm

+ Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x oTXĐ khi và chỉ khi tồn tại

f’(x o +); f’(x o -) và f’(x o +)= f’(x o -) = f’(x o)

+ Mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số:

Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x o thì nó liên tục tại x o

Lưu ý: Định lý đảo không đúng

2.1.3 Ý nghĩa hình học đạo hàm

Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đồ thị của hàm số có tiếp

tuyến tại điểm M(x o;f(xo) ) thì hệ số góc của tiếp tuyến đó chính bằng f’(x o)

Vậy tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có phương trình y = f’(xo)(x - xo) +yo

2.1.4 Cực trị hàm số

*Định lý Fermat:

Nếu hàm f: (a,b)  đạt cực trị tại c (a,b) và f khả vi tại c thì f'(c) = 0

* Hai tiêu chuẩn tìm cực trị

- Tiêu chuẩn 1: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm

xo và có đạo hàm trên các khoảng (a;xo) và (xo;b) Khi đó:

a Nếu f'(x) < 0 với mọi x (a;x o ) và f'(x) > 0 với mọi x(x o ;b) thì hàm

số đạt cực tiểu tại điểm x o

b Nếu f'(x) > 0 với mọi x (a;x o ) và f'(x) < 0 với mọi x(x o ;b) thì hàm

số đạt cực đại tại điểm x o

- Tiêu chuẩn 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b)

chứa điểm xo, f'(xo) và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo

a Nếu f''(xo) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo

b Nếu f''(xo) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

2.1.5 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D  )

a) Nếu tồn tại một điểm xo sao cho f(x)  f(xo) với mọi x D

thì số M = f(xo) được gọi là GTLN của hàm số f trên, kí hiệu là M = max ( )

x D f x



b) Nếu tồn tại một điểm xo sao cho f(x)  f(xo) với mọi x D

thì số m = f(xo) được gọi là GTNN của hàm số f trên , kí hiệu là m = min ( )

x D f x



2.2 Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Khi định nghĩa phương trình, bất phương trình, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số Khi giải phương trình, bất phương trình, ta gặp phải một số bài không thể giải được bằng những phương pháp thông thường hoặc có những bài có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn Nhưng nếu ta sử dụng hàm số để giải những bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải Ở đây, tôi xin đưa ra một số ứng dụng của hàm số trong việc giải phương trình và bất phương trình,

Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải

* Đối với phương trình, bất phương trình ta thường tiến hành theo các bước sau:

- Tính y’, giải phương trình y’ = 0, xét dấu y’

- Lập bảng biến thiên của hàm số

- Dựa vào bảng biến thiên kết luận nghiệm phương trình

2.2.2.1 Ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình

Bài 1 Giải phương trình 4 x 2 4 4 x 2

Nhận xét: Nếu bài toán này HS thường giải mũ hoá hai vế hoặc đặt ẩn phụ

nhưng rất phức tạp Nếu quan sát kỹ vế phải là hằng số, đặt f(x) bằng vế trái thì f(3)=0 Khi đó HS có thể nghĩ đến việc sử dụng đạo hàm để giải quyết bài toán

Bài 2 Giải phương trình: 1

7

7x 6log (6x 5) 1

Nhận xét: Đây là một dạng của loại phương trình siêu việt, nhưng cái khó ở

chỗ cả hai vế của phương trình đều là hàm số tăng nên chưa thể kết luận được phương trình có nghiệm duy nhất hay không Tuy nhiên nếu HS để ý cơ số ở hàm số mũ và hàm số lôgarit thì sẽ đưa cách giải phù hợp

Lời giải: Điều kiện 6x - 5 > 0 5

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x = 2

Bài 3 Giải phương trình: 2012 2012

1005

1sin x cos x

1min f (t)

Nhận xét : Đây là phương trình bậc cao có chứa tham số, cái khó bài toán này

HS không nhẩm được nghiệm của phương trình Do đó từ phương trình HS cô lập tham số, sau đó sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải

Lời giải: Ta có x3 - x2 + 18mx - 2m = 0

 2m(9x - 1) = - x3 + x2 Nếu x = 1/9 phương trình vô nghiệm

 

 

 

2 2

-2x(3x-1)

f'(x)=

(9x-1)

x=0f'(x)=0 1

Nhìn vào bảng biến thiên => m < 0

Bài 5 Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm 0;

Nhận xét: Tương tự bài 4 HS cô lập tham số, sau đó sử dụng tính đơn điệu của

hàm số để giải Tuy nhiên đây là bài lượng giác khi đặt ẩn phụ chú ý điều kiện

x2

Xét

2 2

sin t

f(t)=

2sint(tcost-sint)f'(t)=

Nhận xét: Bài tập này ta có thể giải bằng phương pháp thông thường Tuy

nhiên, nếu giải bằng phương pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện của ẩn số rất phức tạp Ta sẽ giải bài này bằng cách sử dụng hàm số

Lời giải: TXĐ: D =   ;1 3; 

Trên D (1)  2 x

x -4x+3- =m

2Xét hàm số f(x) = 2 x

-x -4-x+3 > 0  x > 3;

f’(x) < 0 

2

13x4x

2x

Bài tập đề nghị:

Bài 1 Tìm m phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2

x+3=m x +1

Bài 2 Giải phương trình: 1-x+ 5x+4=x -x +33 2

Bài 3 Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt:



Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm thực:

2 4

3 x-1+m x+1=2 x -1

Bài 5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2x -2(m+4)x+5m+10+3-x=02

2.2.2.2 Ứng dụng đạo hàm trong việc giải bất phương trình

Bài 1 Giải bất phương trình:

x -2x+3- x -6x+11> 3-x- x-1 (1) D =[1; 3]

Nhận xét: Thông thường khi nhìn thấy bài toán có chứa căn thức, HS thường

nghĩ ngay đến phương pháp làm biến căn thức bằng cách bình phưng hai vế, nhưng bài toán rất phức tạp nếu trong đó có chứa nhiều hơn ba biểu thức chứa căn HS có thể tìm cách biến đổi đưa bài toán về một hàm rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải

Nhận xét: Trong khi giải phương trình, bất phương trình HS gặp những

dạng toán liên quan đến tham số Đây là một dạng toán tương đối khó vì nó không có dạng chuẩn mực hay một phương pháp làm chung, lượng bài tập thì tương đối đa dạng Thường thì HS làm nhiều bài tập sẽ dẫn đến quen

dạng và không bị lúng túng khi gặp những bài toán này Chính vì vậy, GV nên có những phân dạng bài tập, cho HS bài tập từ đơn giản đến phức tạp, sau đó mở rộng để rèn luyện kỹ năng giải toán, phát triển tư duy, sáng tạo cho HS

Bài 2 Cho bất phương trình: mx - x3  m + 1 (2)

21

12

0

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a Bất phương trình có nghiệm  m 

[3;7]

max ( )f x  m 

326

x +4x+8 x -2x+2

(x+2)(x-1) 0f'(x)=0 (x+2) (x-1)

=(x+2) +4 (x-1) +1

Bài 4 Tìm m để bất phương trình

cos4x + mcosx + 1  0  x R

Nhận xét: Với bài toán có chưa hàm số lượng giác, thông thường GV nên

hướng HS tiếp cận cách giải đưa về đặt ẩn phụ bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều Nhưng đặc biệt chú ý HS điều kiện ẩn phụ

Lời giải: Đặt t = cosx t  [-1; 1]

2

2

t=-1 (loai)2t -2t-4

f'(t)= =0

t=2(2t-1)