Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho học sinh ở trường trung học cơ sở

Sau quá trình phát triển lâu dài, hình học đã xây dựng được một hệ thống đồ sộ lý thuyết và bài tập, đồng thời thu lượm được khối lượng hết sức phong phú về thuật giải, có lẽ không ở đâu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu, các thầy cô giáo Trường Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện

về vật chất cũng như về tinh thần giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hướng dẫn: PGS

TS Vũ Quốc Chung – người đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo cùng các em học sinh trường trung học cơ sở Tiền Phong, Mê Linh; trường trung học cơ sở Bình Yên, Thạch Thất và trường trung học cơ sở Trần Đăng Ninh, Sơn Tây, Hà Nội đã nhiệt tình giúp đỡ thực hiện tốt công việc trả lời các phiếu điều tra và tham gia thực hiện lớp học đối chứng

Cảm ơn gia đình cùng bạn bè, đồng nghiệp đã ủng hộ tinh thần, thời gian, vật chất để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

Hà Nội, ngày 17 tháng 10 năm 2010 Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Bình

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 3

3 Mục tiêu nghiên cứu 4

4 Phạm vi nghiên cứu 4

5 Mẫu khảo sát 4

6 Vấn đề nghiên cứu 4

7.Giả thuyết nghiên cứu 5

8 Phương pháp chứng minh luận điểm 5

9 Bố cục của luận văn 5

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Một số vấn đề về rèn luyện kỹ năng 6

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 6

1.1.2.Kỹ năng giải toán 8

1.1.3.Sự hình thành kỹ năng giải toán 11

1.2.Một số vấn đề về bài toán dựng hình 12

1.2.1 Vai trò của bài tập toán 12

1.2.2 Những bài toán dựng hình 15

1.2.3 Các dụng cụ dựng hình 18

1.2.4 Các phép dựng hình cơ bản 18

1.3 Quy trình chung giải toán dựng hình 20

1.3.1 Phân tích 20

1.3.2 Cách dựng 22

1.3.3 Chứng minh 23

1.3.4 Biện luận 25

1.4 Thực trạng của việc dạy học giải bài toán dựng hình ở các lớp trung 26

học cơ sở hiện nay

1.4.1 Mục đích điều tra 26

1.4.2 Phương pháp điều tra 26

1.4.3.Kết quả điều tra 27

Kết luận chương 1 35

Chương 2: RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG CƠ BẢN 36

GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

2.1 Một số vấn đề về chương trình hình học có liên quan đến dựng hình 36

ở trường trung học cơ sở

2.1.1 Tóm tắt nội dung kiến thức của chương trình hình học có liên quan 36

đến dựng hình ở trường trung học cơ sở 2.1.3 Những yêu cầu về dạy học hình học ở trường trung học cơ sở 37

2.2 Một số phương pháp giải toán dựng hình ở trường trung học cơ sở 41

2.2.1 Phương pháp sử dụng quỹ tích tương giao 41

2.2.2 Phương pháp sử dụng phép tịnh tiến 45

2.2.3 Phương pháp sử dụng hìng đồng dạng 50

2.2.4 Phương pháp sử dụng đại số 54

2.3 Một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài toán dựng hình ở 60

trường trung học cơ sở 2.3.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm đường phụ (hình phụ), khi 60

giải bài toán dựng hình 2.3.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán dựng hình 65

2.3.3 Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh cách biện luận bài toán dựng hình 66

2.3.4 Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu đặc trưng của từng 70

phương pháp, từ đó vận dụng vào việcgiải bài toán cụ thể một cách dễ dàng 2.3.5 Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng thực hiện đầy đủ các bước của quy 73

trình giải bài toán dựng hình 2.3.6 Biện pháp 6: Vận dụng linh hoạt các phương pháp dựng hình khác 76

nhau Kết luận chương 2 79

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 80

3.1 Mục đích thực nghiệm 80

3.2 Tổ chức thực nghiệm 80

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 80

3.3.2 Phương pháp thực nghiệm 81

3.2.3 Thời gian thực nghiệm: 81

3.2.4 Nội dung thực nghiệm 81

3.3 Kết quả thực nghiệm 88

3.4 Kết luận thực nghiệm 88

3.4.1 Phương pháp giảng dạy 88

3.4.2 Khả năng lĩnh hội của học sinh 88

Kết luận chương 3 89

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

Tên đề tài: "Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho học sinh ở

trường trung học cơ sở"

1 Lý do chọn đề tài

Trong giai đoạn hiện nay, đất nước đang thời kỳ hội nhập, đòi hỏi toàn Đảng, toàn dân phải biết nâng cao kiến thức, góp phần thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước Trong đó, nhà giáo là nòng cốt chiếm vai trò quan trọng trong ngành giáo dục

Chính vì vậy, những năm gần đây, ngành giáo dục đã có những bước đổi mới toàn diện về phương pháp dạy học trong nhà trường để góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh Việc đổi mới phương pháp dạy học được thực hiện theo định hướng hoạt động hoá người học, tức là tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động Người học là chủ thể kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ Tính tự giác, tích cực và chủ động của người học có thể đạt được bằng cách thông qua những hoạt động được hướng đích và gợi động cơ nhằm chuyển hoá nhu cầu của xã hội thành nhu cầu nội tại của chính bản thân mình

Người học chỉ có thể phát huy sáng tạo khi họ được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động Đòi hỏi này xuất phát từ những yêu cầu của xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung và từ bản chất của quá trình học tập Để đáp ứng đòi hỏi đó, chúng ta không chỉ dừng

ở việc nêu định hướng đổi mới phương pháp dạy học mà cần phải đi sâu vào những phương pháp dạy học cụ thể như những giải pháp để thực hiện định hướng nói trên

Trong quá trình dạy học, mỗi nội dung bao gồm những hoạt động nhất định, bên cạnh việc người học lĩnh hội tri thức, người học còn có thể kiến tạo, ứng dụng, củng cố tri thức, rèn luyện kỹ năng và hình thành thái độ có liên quan đến nội dung tri thức đó Phát hiện được những hoạt động như vậy trong một nội dung là vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt

được những mục tiêu dạy học khác, cũng đồng thời là cụ thể hoá được mục tiêu dạy học nội dung đó và chỉ ra được cách kiểm tra xem mục tiêu dạy học đó có đạt được hay không và đạt được đến mức độ nào Điều này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học cho rằng ''con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động''

Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng vì toán học là công cụ của nhiều môn học khác Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh óc tư duy, tính chính xác, hợp lô-gíc Qua đó có tác dụng rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong các phân môn của Toán học thì hình học là một trong những phân môn có lịch sử rất lâu đời Sau quá trình phát triển lâu dài, hình học đã xây dựng được một hệ thống đồ sộ lý thuyết và bài tập, đồng thời thu lượm được khối lượng hết sức phong phú về thuật giải, có lẽ không ở đâu lại đòi hỏi nhiều kỹ năng trong quá trình giải bài tập như hình học, nhất là trong giải các bài toán dựng hình

Ở trường phổ thông, việc giải các bài toán dựng hình phát triển tư duy gíc và tính tích cực của học sinh nhiều hơn việc giải các bài toán về tính toán hay các bài toán chứng minh “Không có bài toán nào làm phát triển trong học sinh tính nghiêm túc và đúng đắn trong tư duy, đồng thời lại có sức hấp dẫn lớn đối với họ như các bài toán dựng hình” (theo I.U.Pêtecsen.“Phương pháp và lý thuyết giải toán dựng hình hình học” Phần mở đầu)

lô-Thật vậy, đa số các bài toán về tính toán không đòi hỏi các phép vẽ phụ và những lý luận lô-gíc phức tạp, chỉ dùng để củng cố các kiến thức thiết thực: các định lý, tính chất của các hình v.v Muốn phát triển tư duy lô-gíc của học sinh,

mà chính điều đó làm cho kiến thức của họ có hệ thống chắc chắn và sâu sắc, thì phải cho họ giải các bài toán chứng minh

Các bài toán dựng hình còn có tác dụng lớn hơn trong việc phát triển tư duy lô-gíc của học sinh Sự có mặt của phần phân tích, chứng minh và biện luận trong quá trình giải đa số các bài toán dựng hình chứng tỏ rằng, các bài toán đó

là nguồn phong phú để hình thành trong học sinh những thói quen tư duy lô-gíc Nhưng nếu khi giải toán chứng minh, học sinh có sẵn hình vẽ cụ thể, xác định, thì khi giải toán dựng hình họ phải tự tạo ra hình vẽ cần thiết, trong đó phải xét

sự liên quan giữa các yếu tố cho trước không tĩnh tại, mà chịu những biến đổi khác nhau trong quá trình giải Khi giải toán dựng hình, ta phát hiện mối liên hệ tương hỗ giữa các yếu tố cho trước và thấy được sự thay đổi của một số yếu tố này có ảnh hưởng đến các yếu tố khác và toàn bộ hình như thế nào Do đó, ta đã dạy học sinh phép tư duy biện chứng

Các bài toán dựng hình góp phần củng cố kiến thức đã học vì khi giải mỗi bài ấy hầu như phải ứng dụng kiến thức của nhiều chương khác nhau trong giáo trình hình học Điều đó rất phù hợp với quan điểm dạy học “tích cực hoá hoạt động của người học” hiện nay

Với những lí do nêu trên, tôi quyết định lựa chọn đề tài cho khoá luận của

mình là: “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho học sinh ở trường trung học cơ sở”

2 Lịch sử nghiên cứu

Trên thế giới:

Đã có rất nhiều nhà Toán học, nhà giáo dạy Toán quan tâm, tìm hiểu về vấn đề này như giáo sư N.F.Chetvêrukhin đã trình bày trong “Các phương pháp dựng hình”, hay tác giả I.U.Pêtecsen đã trình bày trong “Phương pháp và lý thuyết giải toán dựng hình hình học”, hay tác giả Hứa Thuần Phỏng đã trình bày trong “Dựng hình” Tuy nhiên việc mà các tác giả quan tâm phần lớn nằm ở vấn đề lý thuyết, nghiên cứu những vấn đề to lớn còn phần bài tập áp dụng cho

việc dạy học cụ thể thì còn lẻ tẻ chưa được nghiên cứu hệ thống và toàn diện

Ở Việt Nam:

Các tác giả như Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm, Trương Công Thành, Vũ Hữu Bình, cũng đã nhiều lần nói về dựng hình trong Toán học Thế nhưng những đề cập đó chỉ mang tính định hướng trong nghiên cứu về phương pháp dạy Toán và học Toán Trong thực tế giảng dạy Toán ở các trường phổ thông, rất nhiều thầy cô có ý thức vận dụng nội dung của phương pháp dựng hình bằng thước và compa vào việc dạy hình học phẳng cho học sinh Mặc dù vậy vẫn chưa có nghiên cứu nào chuyên sâu, toàn diện và có hệ thống về phương pháp dạy học những nội dung cụ thể của bài toán dựng hình

Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà toán học đã đưa ra, căn cứ vào thực trạng dạy học hình học ở một số trường trung học cơ sở trong giai đoạn hiện nay, giai đoạn mà việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động của người học là vô cùng cấp thiết thì với luận văn này xin được trình bày một ý tưởng rất hẹp và cụ thể là: nghiên cứu một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho học sinh nhằn nâng cao chất lượng dạy - học hình học ở trường trung học cơ sở

3 Mục tiêu nghiên cứu:

Tìm ra biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho học sinh trong việc dạy hình học ở trường trung học cơ sở

4 Phạm vi nghiên cứu:

Quá trình dạy và học hình học ở các lớp trung học cơ sở (phần bài tập)

5 Mẫu khảo sát:

Ở một số lớp khối 8 trường trung học cơ sở Tiền Phong, Mê Linh, Hà Nội

6 Câu hỏi nghiên cứu:

Phải rèn luyện kỹ năng giải bài toán dựng hình cho học sinh như thế nào trong việc dạy học giải toán hình học ở trường trung học cơ sở?

7 Giả thuyết nghiên cứu

Bằng cách hướng dẫn học sinh vận dụng những phương pháp dựng hình khác nhau giải các bài toán dựng hình, sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học Toán hình học ở trường trung học cơ sở

8 Phương pháp chứng minh

- Thu thập, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá các tài liệu nghiên cứu về

kỹ năng giải bài toán dựng hình

- Nghiên cứu hệ thống các bài toán giải bằng phương pháp dựng hình từ

đó nêu ra giải pháp thực hiện việc rèn luyện kỹ năng giải toán dựng hình

- Khảo sát việc dạy và học hình học bằng phương pháp dựng hình thông qua việc dự giờ và kết quả kiểm tra đánh giá của học sinh

- Thực nghiệm về việc giải bài toán dựng hình trên các lớp giảng dạy ở một số giờ, so sánh đối chiếu với kết quả giờ dạy khi không vận dụng phương pháp dựng hình giải các bài toán

- Phương pháp phỏng vấn: đưa ra các câu hỏi để phỏng vấn một số giáo viên và học sinh về quan điểm và cách thức sử dụng phương pháp dựng hình trong việc dạy học hình học

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, kết luận, phụ lục, nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện cho học sinh các kỹ năng cơ bản giải bài toán dựng hình

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề về rèn luyện kỹ năng

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra cho con người những nhiệm vụ thuộc các lĩnh vực lý luận, thực hành hay nhận thức Để giải quyết được công việc con người cần vận dụng vốn hiểu biết và kinh nghiệm để xử lý vấn đề đặt ra Yêu cầu cốt lõi nằm ở chỗ phải vận dụng được những kiến thức chung nhất cho từng

trường hợp cụ thể Trong quá trình đó, con người dần hình thành cho mình các

kỹ năng để giải quyết những vấn đề đặt ra

Theo tâm lý học, “Kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định” Nếu ta tạm thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng biệt thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết” còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm” Cũng theo Tâm lý học, bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết – đó là kiến thức Bởi vì, xuất phát từ cấu trúc của

kỹ năng (phải hiểu mục đích, biết cách thức đi đến kết quả và hiểu được những điều kiện cần thiết để triển khai các cách thức đó)

Theo từ điển Tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế ”

Còn các nhà giáo dục học thì cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần

là thông tin “kiến thức thuần tuý” và một phần là kỹ năng Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình; kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định; cuối cùng, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”

Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng:

kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, )

để giải quyết nhiệm vụ đặt ra

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục lại chỉ ra rằng, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những nguyên tắc đã lĩnh hội được cho việc giải quyết những nhiệm vụ cụ thể Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không biết tách ra khỏi đối tượng nhận thức những tri thức thứ yếu và không bản chất, đồng thời cũng không phát hiện được mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó Trong trường hợp này tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức; và như vậy, khối tri thức mà họ có là một khối

tri thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và không biến thành cơ sở của các kỹ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh các thuộc tính khác nhau của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp của các đối tượng khác nhau cho những hoạt động với các mục đích nhất định Như vậy, để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn các hành động, thì cần phải biết lựa chọn đúng các tri thức hợp lý nhất Nói khác đi, cần lựa chọn tri thức phản ánh được thuộc tính của sự vật, lựa chọn tri thức phản ánh được thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành động, để sao cho hành động hay một dãy các hành động đạt tới mục tiêu

Để minh hoạ ta xem xét bài toán sau: “Dựng hình thang biết hiệu hai đáy, hai cạnh bên và một đường chéo”

Tri thức phản ánh trong sự vật ở đây có rất nhiều: dấu hiệu đặc trưng, tham số, công thức, v.v Để tiến hành giải toán ta phải lựa chọn tri thức phù hợp với mục tiêu nhằm giúp học sinh:

– Nhận biết được đây là dạng bài gì?

Dựng hình thang ABCD (hình 1.1)

– Quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố phải tìm của bài toán:

+/ Biết hiệu hai đáy AD và BC; hai

cạnh bên AB, CD và một đường chéo BD

+/ Trên hình vẽ, hiệu đó không có,

nhưng cần phải dùng nó khi dựng, do

đó trên hình phải xác định rõ kích thước

hiệu đó Sau khi dựng hiệu đó ta được

tam giác phụ KCD có ba cạnh đã biết,

từ đó có thể quy về việc dựng được hình thang

– Có thể dựng như thế nào và dùng phương pháp nào để dựng?

Đến đây học sinh có thể sử dụng quy trình chung hoặc có thể sử dụng phương pháp tịnh tiến để giải bài toán dựng hình này

Qua bài toán người giáo viên cần rèn cho học sinh:

* Năng lực nhận ra dạng bài toán

* Phát hiện ra quan hệ cần thiết

* Thâu tóm toàn bộ tình huống

* Thủ thuật làm dễ dàng cho sự suy xét: – nguyên tắc giải – tách ra hay nhấn mạnh những cứ liệu và quan hệ bản chất bài toán – phân tích bài toán –

dấu hiệu đặc trưng nhận biết trong trường hợp cụ thể

1.1.2 Kỹ năng giải toán

Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học toán là học sinh phải nắm vững kiến thức, có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải toán

Trong toán học: “Kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” [Polya] Kỹ năng giải toán được hiểu là kỹ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh, )

Như vậy, kỹ năng giải toán có cơ sở là các tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp) Sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố kiến thức toán học thì kỹ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hoá kiến thức toán học

Kỹ năng giải toán được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động học tập trong môn toán Kỹ năng cũng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động Tuỳ theo từng nội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng Trong nhà trường phổ thông, có thể rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng để giải toán như:

a Kỹ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận

độc lập, sáng tạo, không xem nhẹ việc rèn luyện kỹ năng tính toán vì nó có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việc học tập hiện tại và cuộc sống sau này Trong hoạt động thực tế ở bất kỳ lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán: tính đúng, tính nhanh, tính hợp lý

b Kỹ năng vận dụng thành thạo các quy tắc: Về mặt kỹ năng này thì cần

yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc

c Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán: Học sinh được rèn luyện kỹ

năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giải bài toán Nên hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán theo quy trình giải toán của Polya:

+/ Tìm hiểu nội dung bài toán

+/ Xây dựng chương trình giải

+/ Thực hiện chương trình giải

+/ Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

d Kỹ năng chứng minh toán học: Theo Hoàng Chúng, để có kỹ năng

chứng minh toán học, học sinh cần phải đạt được:

+/ Hình thành động cơ chứng minh

+/ Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh

+/ Truyền thụ những tri thức, phương pháp về chứng minh, các phép suy luận

e Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều: Là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm

vững và vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của toán học Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

g Kỹ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Đây là kỹ năng cần thiết và phải rèn

luyện cho học sinh một cách cẩn thận Đặc biệt với kỹ năng vẽ hình, học sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước và phù hợp với lý thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, đẹp

h Kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn: Kỹ năng toán học

hoá các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức toán

học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập giúp học sinh nắm được thực chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức

i Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên

quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng Tư duy hàm đóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông Những hoạt động tư duy hàm là: hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng, hoạt động nghiên cứu sự tương ứng

k Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm khi giải toán: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của

mình”(Polya) Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm của lời giải là một thành công của người học toán Trên thực tế, có nhiều học sinh,

kể cả học sinh khá giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát hiện những sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích được những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó Qua đó học sinh cũng cần được rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải, chẳng hạn như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính xác, hình thức Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh góp phần nâng cao thành tích, chất lượng dạy và học

1.1.3 Sự hình thành các kỹ năng giải toán

Theo tâm lý học, thực chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể

Kỹ năng giải toán chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Quá trình tư duy được diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá và khái quát hoá

Như vậy, khi hình thành kỹ năng chủ yếu là kỹ năng giải toán cho học sinh chúng ta cần phải:

+ Giúp học sinh biết cách tìm tòi và nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm

và mối quan hệ giữa chúng

+ Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại

+ Xác lập mối liên quan giữa bài tập mô hình và các kiến thức tương ứng

Ví dụ: "Dựng hình bình hành biết một cạnh và hai đường chéo"

Giả sử hình bình hành ABCD là hình phải tìm (hình 1.2)

Các yếu tố đã biết là: cạnh AD và các đường chéo AC, BD

Các yếu tố phải tìm là: Dựng hình bình hành ABCD

Mối quan hệ giữa các yếu tố đã biết và yếu tố phải tìm là: Vì các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại điểm giữa

mỗi đường nên phép dựng hình bình

theo ba cạnh: AD là cạnh của hình bình

hành còn AO, OD là các nửa của các

đường chéo của hình bình hành

Từ tam giác AOD ta có thể suy ra

hình bình hành cần dựng

1.2 Một số vấn đề về bài toán dựng hình

1.2.1 Vai trò của bài tập toán học

Trong trường phổ thông việc dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể coi việc giải bài tập toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học Hệ thống các bài toán ở trường phổ thông có vai trò rất hữu hiệu và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Do đó việc giải bài tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông và việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

a Bài tập giúp học sinh ôn lại kiến thức cũ đồng thời hình thành kiến thức mới Chẳng hạn, trước khi học về giải bài toán dựng hình bằng phương

DO

CB

A

Hình 1.2

pháp quỹ tích giáo viên có thể cho học sinh giải các bài toán về dựng tam giác bằng tam giác cho trước, dựng tam giác biết ba cạnh, dựng các đường thẳng góc… Từ đó học sinh vừa được ôn tập và củng cố lại cách dựng các dạng bài toán dựng hình trước đó đồng thời qua việc nhận xét chung về đường thẳng góc hình thành nên khái niệm quỹ tích và dẫn dắt học sinh dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao

b Bài tập có tác dụng rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào những trường hợp cụ thể trong toán học cũng như trong thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát

Ví dụ: + Vận dụng kiến thức giải toán dựng hình bằng phương pháp tịnh

tiến học sinh có thể giải thích tại sao người ta có thể bắc một cái cầu qua một con sông có hai bờ song song ở chỗ nào để cho đường đi giữa hai làng A và B ở hai bên bờ là ngắn nhất

+ Vận dụng kiến thức hình học để chứng minh nhiều đẳng thức đại số, chẳng hạn như để chứng minh hằng đẳng thức: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (hình 1.3)

Loại bài tập này thường ra dưới

dạng trắc nghiệm điền khuyết, điền đúng sai, lựa chọn phương án đúng v.v để giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức trong thời gian ngắn Chẳng hạn, sau khi học xong về đường trung bình của hình thang, giáo viên có thể củng cố kiến thức cho học sinh bằng hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách quan như sau:

Hãy cho biết trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? mệnh đề nào sai?

(A) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba

(B) Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên của hình thang thì song song với hai đáy

(C) Không thể có hình thang mà đường trung bình bằng độ dài một đáy (D) Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên của hình thang

d Bài tập phát triển khả năng độc lập của học sinh:

Trong quá trình giải bài tập học sinh phải tự phân tích đề bài, kiểm tra lại kết quả nên tư duy của học sinh phát triển và khả năng độc lập giải quyết vấn đề cao, rèn luyện tính kiên trì, khả năng nhanh nhạy với các dữ kiện của bài toán

e Bài tập góp phần làm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh:

Có nhiều bài tập không chỉ dừng lại trong phạm vi vận dụng kiến thức đã học mà còn giúp bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học Đặc biệt là những bài tập có câu hỏi mang tính dự đoán kết quả khi dữ kiện bài toán thay đổi, những bài tập có nhiều cách giải, hoặc bài tập phải kẻ thêm đường phụ hay dùng bài toán phụ

Ví dụ: Từ một điểm cho trước ngoài một đường tròn cho trước

1) Hãy dựng một cát tuyến với đường tròn đó sao cho phần ngoài đường tròn bằng phần trong đường tròn

2) Có thể áp dụng những phương pháp nào để giải bài toán?

3) Có bao nhiêu cách phân tích để giải bài toán?

Ở ví dụ này, câu 3) là câu phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

g Bài tập để kiểm tra, phân loại học sinh:

Bài tập cũng là phương tiện có hiệu quả để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh, tuỳ theo cách đặt câu hỏi kiểm tra ta có thể phân loại

được các mức độ nắm vững kiến thức của học sinh khiến cho việc đánh giá chất lượng kiến thức của học sinh được chính xác

Ví dụ: Cho tứ diện S.ABC Qua trung điểm M của cạnh SA ta dựng mặt

phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC)

1) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) 2) Chứng minh thiết diện đồng dạng với tam giác ABC Tìm tỉ

số đồng dạng

3) Kết quả bài toán còn đúng không nếu:

– Thay tứ diện ABCD bởi hình chóp S.A1A2A3…An? – M là một điểm bất kỳ trên cạnh SA (M khác S và A)

Ở ví dụ này, câu 1) là câu học sinh trung bình có thể làm được, học sinh khá sẽ làm được câu 2), còn học sinh giỏi mới làm được câu 3)

Như vậy, ngay trong một bài tập, mỗi câu hỏi theo trình tự yêu cầu được nâng cao dần lên, không những giúp ta kiểm tra được kiến thức của học sinh mà còn có thể phân loại được học sinh

1.2.2.Những bài toán dựng hình

a Thế nào là một bài toán dựng hình

Bài toán dựng hình trong hình học là một bài toán mà trong quá trình dựng ta dựa vào những điều kiện đã biết dùng phương pháp hình học hợp lý, chính xác, dựng một hình cần thiết Chẳng hạn, xét bài toán “dựng một hình tam giác biết cạnh đáy b, góc A kề với đáy và tổng s của hai cạnh kia”

+ Khi muốn dựng một hình tam giác (với các yếu tố đã cho của bài toán), đầu tiên cần làm là xác định độ lớn của nó

Nếu xem tam giác A1B1C1 (hình 1.4)

là tam giác phải tìm thì ta đã biết các yếu tố:

đáy A1C1, góc B1A1C1 và tổng hai cạnh kia

(hai cạnh A1B1 và B1C1) Trên hình vẽ

tổng đó không có, nhưng cần phải dùng nó

khi giải Do đó trên hình phải chỉ rõ (kéo dài

D1

B1

Hình 1.4

cạnh bên A1B1 về phía B1 của tam giác và đặt

trên đường kéo dài ấy cạnh thứ hai B1D1 = B1C1 )

+ Đã có độ lớn của hình đó rồi, ta có thể bắt đầu dựng tam giác phải tìm như thế nào? Ta có thể dựng được đoạn A1C1, sau đó dựng góc B1A1C1, trên cạnh A1B1 của góc đó đặt một đoạn có độ dài bằng tổng s đã cho, ta được điểm

D1 sau đó dựng điểm B1 nằm trên A1D1 cách đều các điểm C1 và D1, nghĩa là dựng được tam giác phải tìm

+ Sau khi đã dựng xong tam giác ABC ta dùng định lý hình học thử lại xem tam giác vừa dựng có thoả mãn các điều kiện đầu bài không?

Ta thấy đáy AC và BAC đã được lấy trực tiếp từ giả thiết, chỉ còn phải chứng minh AB + BC = AB + BD = s (điểm B nằm trên trung trực BE của CD, cách đều các điểm C và D)

+ Vấn đề vừa nêu trên dựa vào những yếu tố đã cho của bài toán (chẳng hạn đáy AC và BAC), dùng phương pháp dựng hình hợp lý, chính xác (chẳng hạn điểm B nằm trên trung trực BE của CD, cách đều các điểm C và D) dựng một hình cần thiết

Tất cả những điều đó chính là bài toán dựng hình trong hình học

b Bài toán dựng hình giải được: Bài toán dựng hình giải được là những

bài toán được giải bằng các dụng cụ dựng hình là thước thẳng, com-pa và các định đề

Ví dụ: 1) Qua một điểm cho trước nằm trên một đường thẳng (hoặc ngoài

đường thẳng) cho trước, hãy dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho

2) Cho một đường thẳng XY và hai điểm A, B cố định cùng nằm về một bên đường thẳng, hãy tìm hai điểm P, Q trên XY sao cho PQ bằng đoạn k cho trước và AP = BQ

c Bài toán dựng hình không giải được: Bài toán dựng hình không giải

được là các bài toán mà khi giải bằng các dụng cụ dựng hình như thước thẳng,

com-pa và các định đề không tìm được lời giải (muốn giải phải bổ sung thêm dụng cụ)

Ví dụ: Bài toán “chia một góc bất kỳ ra ba phần bằng nhau” là một bài

toán không giải được (trong phạm vi dùng các dụng cụ com-pa và thước thẳng)

Để giải bài toán này ngoài việc sử dụng các dụng cụ dựng hình như thước thẳng, com-pa và các định đề còn phải dùng thêm một số công cụ khác như thêm định đề, thước chia độ hoặc ê-ke mới có thể dựng được

d Bài toán dựng hình vô định: Trong những bài toán có thể dựng được,

có khi vì đặc điểm của các điều kiện đã cho, số lời giải có thể nhiều vô hạn; có khi do các điều kiện đã cho trong bài toán không đủ, nên số hình vẽ đáp ứng với các điều kiện đã cho cũng có thể nhiều vô hạn Những bài toán dựng hình như vậy gọi là những bài toán vô định

Ví dụ: “Cho một đường thẳng XY và hai điểm A, B cố định cùng nằm về

một bên đường thẳng, hãy tìm hai điểm P, Q trên XY sao cho PQ bằng đoạn k cho trước và AP = BQ”

Nếu như điểm B đã cho nằm

trên MN (hình 1.5) và khoảng cách đến

A đúng bằng k thì khi ấy cứ hai đường

thẳng song song bất kỳ qua hai điểm A,

B đã dựng cắt XY ở hai điểm nào thì hai

điểm ấy đều là điểm cần tìm, số lời giải

sẽ nhiều vô hạn

e Bài toán dựng hình không hợp lý: Do điều kiện của bài toán dựng

hình không đủ, nên số lời giải có thể nhiều vô cùng, bài toán trở nên bất định Ngược lại, nếu các điều kiện của bài toán dựng hình quá nhiều, mà lại phải được thoả mãn hoàn toàn, thì thực tế không thể làm được, bài toán sẽ trở thành không hợp lý

Chẳng hạn, bài toán “Qua một điểm P cho trước ngoài một đoạn thẳng

cho trước AB, dựng đường trung trực của AB” Đường thẳng cần dựng phải

đồng thời thoả mãn cả ba điều kiện đã cho:

1 Đường thẳng này phải qua điểm P

2 Đường thẳng này phải vuông góc với AB

3 Đường thẳng này phải chia đôi AB

Các điều kiện của bài toán này quá nhiều, không thể dựng được Nếu bớt

đi một điều kiện tuỳ ý trong ba điều kiện thì có thể dựng được

1.2.3 Các dụng cụ dựng hình

Các dụng cụ được sử dụng để dựng hình gồm: compa, thước thẳng và các

định đề

a) Định đề dựng đường thẳng: Qua hai điểm khác nhau có thể vẽ được

một đường thẳng (nghĩa là hai điểm có thể nối được bằng một đường thẳng)

b) Định đề kéo dài một đoạn thẳng: Một đoạn thẳng có thể kéo dài tuỳ ý

c) Định đề dựng đường tròn: Lấy một điểm cố định làm tâm, một đoạn

thẳng nhất định làm bán kính thì có thể vẽ được một đường tròn (hoặc một

cung)

Trong đó a), b) có thể dùng thước thẳng và c) có thể dùng compa để dựng

1.2.4 Các phép dựng hình cơ bản

Học tập dựng hình cũng có nhiều phương pháp cơ bản mà trước hết cần

phải nắm vững Ngoài ba phương pháp cơ bản nhất mà người ta đã nêu trong

mục 1.2.2 Còn có những phương pháp khác như: “qua một điểm cho trước

dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước”, “lấy trung

điểm một đoạn thẳng” v.v Tất cả chúng đều là những phương pháp cần sử dụng

khi giải một bài toán dựng hình và được gọi là phép dựng hình cơ bản

Để thực hiện thành thạo các phép dựng hình cơ bản chúng ta cần phải

luyện tập rất nhiều, chúng ta có thể sắp xếp lại và phân ra làm bốn loại sau đây:

a Về loại đường thẳng

* Dựng một đoạn thẳng có độ dài cho trước trên một đường thẳng nhất định

* Dựng đường phân giác của một góc cho trước

* Trên một cạnh đã biết dựng một góc bằng một góc cho trước

* Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước

* Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước

* Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

* Chia một đoạn thẳng cho trước ra nhiều phần bằng nhau

* Dựng hình tam giác khi biết: ba cạnh (c.c.c), hai góc và cạch kề hai góc đó(g.c.g), hai cạnh và góc kẹp giữa hai cạnh đó(c.g.c), hai góc và cạnh đối của một trong hai góc(g.g.c) hoặc hai cạnh và góc đối của một trong hai cạnh(c.c.g)

* Dựng một hình tam giác đều hoặc một hình vuông khi biết một cạnh của nó

* Dựng một hình chữ nhật khi biết hai cạnh kề nhau

* Lấy một đường thẳng đã biết làm một cạnh, dựng một góc 600 hoặc 300

b Về loại đường tròn

* Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đã cho

* Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác đã cho

* Lấy một đoạn thẳng đã cho làm bán kính dựng một đường tròn

* Chia đôi một cung cho trước

* Từ một điểm cho trước ở ngoài hoặc ở trên đường tròn, vẽ tiếp tuyến của đường tròn đó

* Lấy một đoạn thẳng cho trước làm dây cung, dựng hình viên phân chứa góc cho trước

c Về loại tỷ lệ

* Cho ba đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ tư

* Chia một đoạn thẳng cho trước ra làm hai phần sao cho tỷ số của chúng bằng

tỷ số đã biết m : n

* Dựng đoạn thẳng trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước

d Về loại diện tích

* Dựng một hình vuông sao cho diện tích của nó bằng tổng (hiệu) diện tích của hai hình vuông cho trước

Các phép dựng hình cơ bản trên đây đều đã được học trong sách giáo khoa đòi hỏi người học phải rèn luyện cho thành thạo khi vận dụng vào giải các bài tập dựng hình, ta không cần trình bày lại các phép dựng hình cơ bản này nữa

1.3 Quy trình chung giải một bài toán dựng hình

Ngay từ thế kỷ IV trước công nguyên, các nhà hình học cổ Hy-lạp đã tìm

ra quy trình chung giải một bài toán dựng hình mà hiện nay chúng ta đang dùng Phép giải các bài toán dựng hình thông thường phải tuân theo bốn bước chính là: phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận

Học sinh cần nắm vững nội dung công việc của mỗi bước và mối liên hệ,

sự phụ thuộc giữa các bước Từ bước phân tích ta suy ra cách dựng, tức là bước dựng hình phụ thuộc vào phân tích Dựa trên cơ sở cách dựng để chứng minh Dựa trên cơ sở phân tích, cách dựng và điều kiện của bài ra để biện luận

Công việc cụ thể của từng bước như sau:

1.3.1 Phân tích: (bước thứ nhất của quá trình giải toán dựng hình)

Phân tích một bài toán dựng hình chính là chuẩn bị bước vào việc, qua bước đó thì ta có thể biết được nên dùng phương pháp nào, nên theo một thứ tự nào để giải bài toán Cách thức để học sinh thực hiện bước phân tích bài toán dựng hình như sau:

- Giả sử đã có một hình thoả mãn các điều kiện của bài toán

- Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác )

- Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng cơ bản

Ví dụ: Thực hiện bước phân tích bài toán dựng hình sau: “Dựng tam giác

biết đáy, góc nhỏ ở đáy và hiệu hai cạnh kia”

Muốn giải, đầu tiên cần nghiên cứu điều kiện của bài toán, xét xem những yếu tố nào của tam giác phải tìm đã cho rồi Muốn vậy, ta vẽ tam giác

A1B1C1 (hình 1.6) bất kỳ và ghi các yếu tố tương ứng với các yếu tố đã cho trong

đầu bài Đó là cạnh A1C1 và góc C1A1B1, nhưng trên hình vẽ không có hiệu hai

cạnh kia Vì trong khi giải bài toán ta phải xét đến tất cả những yếu tố đã cho,

nên cần phải chỉ ra trên hình vẽ hiệu đó Điều này có thể làm theo 4 cách: 1) Ta đặt cạnh lớn của tam giác lên trên cạnh nhỏ, kể từ điểm C1 hay B1,hay

ngược lại đặt cạnh nhỏ trên cạnh lớn

2) Nếu ta đặt đoạn hiệu ở phía B1 thì

các yếu tố cho trước không liên hệ với

nhau và không tìm được cách giải

3) Nếu đặt B1A1 trên B1C1 kể từ B1,

thì các yếu tố đã cho: đáy, góc ở đáy và

hiệu của hai cạnh kia sẽ liên hệ với nhau,

nhưng mối liên hệ đó không giúp ta tìm

ra cách giải vì mối liên hệ không đủ chặt

chẽ để dựng được hình D2C1A1B1

4) Đặt B1D1 = B1C1 Ta thấy các yếu tố đã cho liên hệ được với nhau thoả mãn

yêu cầu đặt ra, vì trong trường hợp này ta đã có thể dựng được hình C1A1D1

Sau khi đã cụ thể hoá như vậy các yếu tố đã cho của bài toán, ta tiến hành lập

phương án dựng: Trên một đường thẳng bất kỳ, ta dựng một đoạn thẳng bằng

đáy và được hai đỉnh của tam giác: Avà C Ta có thể xác định được điểm D1 với

DA = BA – BC Chỉ còn xét cách dựng B khi biết D, Vì BC = BD nên B cách

đều các điểm C và D, nó phải nằm trên trung trực PQ của CD Giao điểm của

đường thẳng PQ và tia AD sẽ là B Do đó ta đi đến phép dựng sau đây: Trên một

đường thẳng bất kỳ đặt một đoạn thẳng bằng đáy và dựng một góc bằng góc cho

trước mà một cạnh là đoạn vừa dựng, đỉnh là đầu mút của đoạn đó Trên cạnh

thứ hai của góc đặt một đoạn bằng hiệu hai cạnh kia của tam giác và dựng quỹ

tích các điểm cách đều đầu mút của đáy và đầu mút của đoạn vừa dựng; quỹ tích

này cắt cạnh của góc có chứa đoạn hiệu tại một điểm Nối điểm này với hai đầu

mút của đáy ta được tam giác phải tìm

1.3.2 Cách dựng: (bước thứ hai của quá trình giải toán dựng hình)

Bước thứ hai của quá trình giải toán dựng hình gồm hai phần:

+) Kể theo một thứ tự nhất định, tất cả các phép dựng cơ bản cần thực hiện, được suy ra từ phần phân tích

+) Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ, nghĩa là không phải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mô tả cách dựng đó

Khi giải bài toán dựng hình bằng dụng cụ này hoặc dụng cụ khác nghĩa là nêu ra một tập hợp hữu hạn các phép dựng cơ bản có thể thực hiện được bằng dụng cụ đó, sự thực hiện các phép dựng ấy theo một thứ tự nhất định đưa ta đến lời giải của bài toán

Sau khi đã nêu cách giải, ta còn phải nêu cách thực hiện phép dựng đó vì cùng một phép dựng có thể có những phương pháp khác nhau

Ví dụ: Dựng hình bình hành biết hai đường chéo và một góc nhọn của

hình bình hành đó

Phân tích: Giả sử đã cho góc B1A1D1

và các đường chéo A1C1, B1D1 (hình 1.7)

Vì các đường chéo củahình bình hành cắt

nhau tại các điểm giữa của chúng nên ta

có thểdựng tam giác B1A1D1 khi biết đáy

bằng đường chéo nhỏ (ứng với góc

nhọn cho trước) và trên đoạn ấy dựng

viên phân chứa góc cho trước, sau đó

dựng đường tròn có bán kính bằng nửa

đường chéo kia có tâm là trung điểm

của đoạn vừa dựng được Nối giao điểm

O

d2 a

CB

A

d1

DHình 1.8

của các quỹ tích với hai đầu của đoạn nói trên Ta được tam giác BAD, có thể bổ

sung thành hình bình hành bằng nhiều cách Chẳng hạn:

1) Qua B dựng BC // AD, qua D dựng DC // AB

2) Trên BD, dựng tam giác biết hai cạnh BC = AD và CD = AB

3) Kéo dài AO về phía O và đặt OC = AO, nối điểm C với các điểm A, D

1.3.3 Chứng minh: (bước thứ ba của quá trình giải toán dựng hình)

Sau khi đã dựng được hình, cần phải xác nhận xem nó có thoả mãn các

điều kiện của bài toán hay không, tức là chứng minh rằng hình dựng được từ các

yếu tố cho trước và bằng các phép dựng hình nhất định, sẽ thoả mãn tất cả các

điều kiện của đầu bài Nghĩa là, phép chứng minh phụ thuộc hẳn vào cách dựng

Có thể giải cùng một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau, tuỳ theo cách

dựng đã nêu trong phần phân tích, cho nên nói chung, cách chứng minh trong

từng trường hợp sẽ khác Phép chứng minh sẽ dựa trên các tiên đề, các định lý

và tính chất của các hình hình học Nếu khi giải các bài toán đơn giản nhất, tất

cả các điều kiện của bài toán đã được phản ảnh trực tiếp trong cách dựng thì

không cần phải chứng minh rằng hình có được bằng cách dựng ấy theo các yếu

tố cho trước, chính là hình phải tìm Chẳng hạn, xét ví dụ: “Dựng tam giác biết

hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó” Ở đây phần chứng minh chỉ là phép thử

đơn giản xem đã lấy những cạnh nào bằng những đoạn cho trước và góc đã dựng

có bằng góc cho trước không Trong bài toán này, phần chứng minh là thừa vì

sự đúng đắn của bài giải đã được bảo đảm bởi sự tương ứng giữa phép dựng và

các điều kiện cho trước của bài toán

Nhưng có khi, không phải tất cả các điều kiện đã được phản ảnh trong

phần phân tích hoặc trong cách dựng Chẳng hạn trong trường hợp (3) ví dụ

trước, rõ ràng điểm B phải nằm trên BC và cách A một khoảng cho trước

Nhưng như vậy chưa đủ, vì đoạn AB còn phải song song với CK, điều mà ta

không tính đến trong cách dựng đã chọn

Ví dụ: Dựng hình thang biết bốn cạnh”

Sau khi vẽ CK // BA, ta quy việc giải bài toán về việc dựng ∆KCD theo

ba cạnh (hình 1.9): hai cạnh bên bằng nhau của hình thang (AB = KC) còn cạnh kia KD = AD – BC Dựng xong tam giác KCD ta có thể bổ sung nó cho thành hình thang bằng nhiều cách:

1) Coi cạnh AD là dựng được,

ta vẽ BC // AD và sau khi đặt trên nó

đáy nhỏ, ta nối điểm B tìm được với

điểm A Phần chứng minh sẽ quy về

việc khẳng định đẳng thức AB = KC

2) Nếu ta vẽ AB // KC và BC // AD

thì sẽ phải chứng minh rằng AB = KC và BC = AK

3) Nếu vẽ đường thẳng CB // DA và tìm trên đường ấy các điểm B và B1cách A một khoảng bằng cạnh bên, thì trong trường hợp này điểm B1 sẽ không thích hợp và chỉ có điểm B là điểm phải tìm, phép chứng minh sẽ phức tạp hơn

4) Nếu coi B như giao điểm của các đường tròn (A, AB) và (C, CB) thì trong hai điểm B và B2 chỉ có điểm B là điểm phải tìm

Ta có thể thấy các trường hợp (3) và (4) đã nêu trên nhấn mạnh sự cần thiết của phần chứng minh Trong phần phân tích ta tìm ra những điều kiện cần,

mà cách dựng của ta phải thoả mãn để có được hình phải dựng Còn phải khẳng định rằng các điều kiện cần ấy cũng là đủ, tức là khẳng định rằng hình dựng được thoả mãn tất cả các yêu cầu của đầu bài

1.3.4 Biện luận: (bước thứ tư của quá trình giải toán dựng hình)

Biện luận là một phần của bài giải Việc giải bài toán dựng hình có thể coi là xong, nếu giải đáp được rằng sẽ tìm được bao nhiêu nghiệm hình với những yếu tố cho trước xác định và đặc biệt nêu lên được khi nào không có nghiệm hình

Biện luận chính là phân tích mối quan hệ giữa các điều kiện đã cho và hình đã dựng được, nói rõ trong trường hợp nào thì bài toán không có lời giải,

KB

trường hợp nào bài toán chỉ có một lời giải, trường hợp nào nhiều lời giải hoặc

là vô định

Ví dụ: Xét bài toán “Cho biết độ dài đường cao và trung tuyến hạ xuống

một cạnh và độ dài cạnh kia của một tam giác, hãy dựng hình tam giác ấy”

Sau khi thực hiện các bước phân tích, cách dựng và chứng minh (hình 1.10), ta có thể biện luận bài toán như sau:

- Bài toán không có lời giải khi

- Bài toán có hai lời giải khi b > ma > ha

2.2 Thực trạng của việc dạy học giải bài toán dựng hình ở các lớp trung

học cơ sở hiện nay

2.2.2 Phương pháp điều tra

Để thực hiện mục đích trên, chúng tôi đã tiến hành:

– Điều tra giáo viên: phát phiếu điều tra, trao đổi trực tiếp với giáo viên, xem giáo án cụ thể và dự giờ dạy thực của giáo viên dạy các lớp trung học cơ sở

* Phát phiếu điều tra và trao đổi với giáo viên của ba trường trung học cơ sở: trung học cơ sở Tiền Phong, trung học cơ sở Bình Yên, trung học cơ sở Trần Đăng Ninh, Hà nội Mẫu phiếu điều tra của chúng tôi như sau:

Phiếu điều tra giáo viên dạy Toán hình học các lớp trung học cơ sở

Họ và tên giáo viên:

Trường:

Số năm công tác:

Đồng chí hãy cho biết phần giải các bài toán dựng hình ở các lớp trung học cơ sở:

A Có mấy phương pháp dựng hình cơ bản cần luyện tập cho học sinh

Lớp Chương Các phương pháp dựng hình cơ bản

*Dự giờ dạy của giáo viên trường trung học cơ sở Tiền Phong, Mê linh,

Hà nội

– Điều tra học sinh: Trao đổi trực tiếp với các học sinh các khối của trường trung học cơ sở Tiền Phong, Mê Linh; trung học cơ sở Bình Yên, Thạch Thất; trung học cơ sở Trần Đăng Ninh, Sơn Tây, Hà Nội

2.2.3 Kết quả điều tra

a Tình hình dạy học của giáo viên

Bài soạn của giáo viên để giảng dạy giải bài toán dựng hình ở phần kiến thức hình học này đa số giáo viên đều có sự phân loại các dạng bài tập, từ dễ đến khó Qua việc xem giáo án giảng dạy của các giáo viên, chúng tôi nhận thấy hầu hết các giáo viên chỉ giải tóm tắt bài tập mà không có phần hướng dẫn hoạt động giải bài tập cho học sinh Trong bài soạn của giáo viên, các bài tập chỉ dừng ở những bài cơ bản, có hình vẽ đơn giản Những bài hay, khó ít được đề cập tới

Khi được phỏng vấn thì các giáo viên đều trả lời: Giải các bài toán dựng hình ở trường trung học cơ sở là một chủ đề khó, yêu cầu học sinh cần phải vận dụng linh hoạt các bước như phân tích, vẽ hình, trình bày bài, vận dụng những kiến thức đã biết trong hình học (tính chất, định lý, định đề ) để chứng minh, biện luận; Hơn nữa, thời gian dành cho phần này không nhiều (chỉ có một vài tiết lồng vào trong chương trình chính khoá) cho nên gặp rất nhiều khó khăn đối với cả giáo viên và học sinh Nếu đưa nhiều bài tập khó thì học sinh không giải quyết được, ngay cả khi thầy, cô chữa rồi học sinh vẫn thấy trừu tượng, khó hiểu

b Tình hình học tập của học sinh

– Một số học sinh được hỏi đã quên nhiều kiến thức hình học như các định đề, tính chất, định lý

– Học sinh học thụ động, lười suy nghĩ, thường đợi giáo viên phân tích,

vẽ hình, hướng dẫn cách giải rồi mới trình bày theo hướng dẫn của thầy cô

– Học sinh thường học lý thuyết suông mà chưa biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt trong việc giải bài tập

– Đa số học sinh được hỏi đều cho rằng học giải bài toán dựng hình rất khó, khó khi phân tích, khó tưởng tượng khi vẽ thêm hình phụ, khi xây dựng cách dựng, khi chứng minh, khi biện luận Trong chương trình có nhiều bài tập khó đối với các em

c Khó khăn, sai lầm của học sinh gặp phải khi giải bài toán dựng hình

Thông qua kết quả tìm hiểu tình hình dạy học cụ thể ở trường trung học

cơ sở và kinh nghiệm dạy học của nhiều giáo viên, chúng tôi thấy học sinh

thường mắc phải các khó khăn và sai lầm khi giải các bài toán dựng hình như sau:

+) Không thực hiện được tốt và đầy đủ các bước của quy trình khi giải bài toán dựng hình

Chẳng hạn, cho học sinh lớp 8A1 của trường trung học cơ sở Tiền phong với tổng số 45 học sinh làm bài tập sau: “Dựng tam giác biết cạnh đáy b, góc A

kề với đáy và tổng s của hai cạnh kia”

Kiểm tra việc thực hiện các bước của quy trình chung khi giải bài toán dựng hình của học sinh, ta có bảng kết quả sau:

sinh

Tỷ

lệ %

1 Số học sinh thực hiện tốt các bước của quy trình

chung khi giải toán dựng hình

2 Số học sinh có hướng thực hiện được các bước của

quy trình chung khi giải toán dựng hình

17 37,8%

3 Số học sinh không thực hiện được quy trình chung

khi giải toán dựng hình

19 42,2%

+) Học sinh không biết cách vẽ thêm đường phụ

Qua thực tế ở trường, phần lớn học sinh khi giải bài bài toán dựng hình

mà gặp phải những bài toán vẽ thêm đường phụ đa số học sinh còn bỡ ngỡ, không biết phải vẽ như thế nào, bắt đầu từ đâu và vẽ như thế nào cho có lợi để giải bài toán vì trong sách giáo khoa không nêu lên phương pháp vẽ thêm đường phụ, vì vậy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải loại bài tập này

Ví dụ: Cho học sinh 4 lớp 8A1, 8A2, 8A3, 8A4 trường trung học cơ sở Tiền phong làm bài tập sau:

STT Sĩ số Số học sinh vẽ được thêm đường phụ Tỷ

lệ %

8A2 49 24 48,9

+) Không tìm được lời giải bài toán

Theo G Pôlya, có bốn bước cơ bản để giải một bài toán, đó là:

1) Hiểu đề toán

2) Xây dựng chương trình giải

3) Thực hiện chương trình giải 4) Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

Việc học sinh không tìm được lời giải bài toán thường là làm chưa tốt bước một và bước hai, tức là chưa hiểu kỹ đề bài, chưa khai thác hết các giả thiết mà đầu bài cho Hoặc chưa xây dựng được chương trình giải, cụ thể là chưa tìm thấy quan hệ giữa cái đã cho và cái chưa biết, chưa biết sử dụng các phép suy luận như tổng quát hoá, đặc biệt hoá hay tương tự để tìm ra lời giải

Ví dụ: Khi biện luận bài toán: “Dựng tam giác biết đáy b, góc nhỏ kề đáy

và hiệu c – a của hai cạnh bên” Học sinh thường viết phần biện luận của bài toán đó như sau: nếu b ≤ c – a, bài toán không có lời giải, còn khi b > c – a bài toán có một lời giải

Bây giờ ta tiến hành biện luận bài toán như sau (hình 1.11):

Sau khi dựng tam giác ADC theo

hai cạnh AC = b, AD = c – a và góc giữa

chúng CAD = β, ta dựng trung trực PQ

của DC Giao điểm củađường thẳng PQ

với tia AD sẽ là đỉnh thứ ba của tam giác

ABC Ở đây chỉ cần xét khả năng tìm giao

điểm của PQ và tia AD, ta thấy ngay rằng

nếu AD = AC cosβ thì ADC = 900 và PQ // AD

Khi AD > ACcosβ, đường thẳng PQ sẽ không cắt tia AK mà cắt phần kéo dài

AK1 của nó và bài toán không có lời giải Chỉ khi AD < ACcosβ, đường thẳng

PQ và tia AK mới cắt nhau Nghĩa là, nếu c – a < bcosβ bài toán có một lời giải, còn nếu c – a ≥ bcosβ thì bài toán không có lời giải

Có thể thấy rõ ràng sự khác nhau giữa hai kết quả, nếu lấy góc β = 600, lúc đó khi 2(c – a) ≥ b > c – a bài toán không có lời giải dù rằng b > c – a

Như vậy, khi bắt tay vào giải bài toán ta phải đọc kỹ đề bài, phải khai thác hết các giả thiết mà đầu bài cho, phải chỉ ra được quan hệ giữa cái đã cho và cái chưa biết, từ đó sử dụng các phép suy luận như tổng quát hoá, đặc biệt hoá để tìm ra lời giải Ở bài toán trên ta thấy, trong các yếu tố cho trước còn có góc β, cho nên có thể nói rằng số lời giải không những chỉ phụ thuộc vào b và s mà còn phụ thuộc vào β

+) Trình bày lời giải bài toán thiếu logic

Học sinh thường trình bày bài giải theo suy nghĩ của mình, không tường minh và chặt chẽ Đối với bài toán dựng hình, nhiều bài giải phải trình bày qua nhiều bước, có khi còn phải vẽ thêm hình phụ mới tường minh được Mỗi bước

là một điều kiện để đi tới kết luận Học sinh thường quên một số bước hoặc trình bày không rõ ràng, khoa học

Ví dụ: “Dựng tam giác khi biết độ dài các đường trung tuyến thuộc hai

cạnh và đường cao thuộc cạnh thứ ba của tam giác” Đối với bài toán này ta phải

vẽ thêm đường phụ thì mới có thể giải được một cách tường minh và chặt chẽ được

Giả sử, Δ A1B1C1 là tam giác cần dựng, có: A1D1, B1E1 là các đường trung tuyến thuộc hai cạnh a, b B1F1 là đường cao thuộc cạnh c (hình 1.12) Ta đã biết

độ dài của A1D1 = ma; B1E1 = mb; C1F1 = hc và A1F1C1 = 900 Các mối quan hệ

đã biết là: B1D1 = D1C1; A1E1 = E1C1

Khảo sát các hình tam giác

trong hình vẽ ta thấy trong tất cả

các góc và cạnh đều không có đủ

ba yếu tố đã biết, cho nên phải vẽ

thêm một đường bổ sung Giả sử

kéo dài A1B1 ra hai phía sao cho

H1A1 = A1B1 = B1G1, thế thì theo

định lý về đường nối liền những trung điểm của hai cạnh trong một tam giác ta biết C1H1 = 2A1D1 = 2ma; C1G1 = 2B1E1 = 2mb; do đó ΔC1F1H1 và ΔC1F1G1 đều

có hai cạnh và một góc đã biết, cho nên có thể dựng được

+) Thiếu tính linh hoạt, sáng tạo khi giải toán

Chẳng hạn, khi học sinh gặp bài toán rất gần với bài toán mà học sinh đó

đã giải có thể chỉ tổng quát hơn, đặc biệt hơn, hoặc hoàn toàn tương tự nhau nhưng học sinh lại không nhận ra cách giải

Ví dụ: Bài toán 1: Qua điểm O cho trước, là trung điểm của đoạn AB,

dựng một đường thẳng góc với đoạn đó

Bài toán 2: Qua một điểm C cho trước trên đường thẳng AB, dựng một đường thẳng góc với đường thẳng đó

Ta có thể phân tích việc dựng đường thẳng góc bài toán 1 (hình 1.13a) như sau:

Vì đường trung trực của một đoạn thẳng là quỹ tích những điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng ấy, cho nên muốn giải được bài toán thì ngoài điểm O ra còn phải dựng một điểm cách đều A và B Còn đối với việc dựng đường thẳng góc ở bài toán 2 (hình 1.13b), nếu điểm C là trung điểm của một đoạn nào đó của đường thẳng AB thì bài toán không có gì mới Cho nên ta cần biến đổi bài toán

2 một chút bằng cách đặt trên đường AB về hai phía của điểm C những đoạn bằng nhau (độ dài tuỳ ý) CD và CE, rồi quy bài toán 2 về bài toán 1 đã xét ở trên

Tuy nhiên một số học sinh thường làm một trong hai bài toán khi gặp bài kia lại không hề nhận ra và không nhớ cách giải

d Nguyên nhân dẫn tới những khó khăn và sai lầm của học sinh

Sau khi tìm hiểu và phân tích nội dung chương trình, chúng tôi nhận thấy rằng học sinh hay mắc phải các sai lầm trên là do các nguyên nhân sau:

+ Học sinh chưa hểu rõ và chưa nắm vững bản chất của các phép dựng hình cơ bản

+ Khi dựng hình học sinh thường không dùng những yếu tố đã cho của bài toán mà lại dùng những yếu tố tương ứng của hình vẽ khi phân tích;

+ Khi vẽ hình để phân tích học sinh thường hay đưa hình vẽ của bài toán

về dạng hình đặc biệt dẫn đến làm sai hướng đi của bài toán trong quá trình giải Chẳng hạn, nếu giải bài toán về dựng một tam giác nào đó mà ta lấy hình tam giác đều để phân tích, thì cùng với những mối liên hệ cần thiết giữa các yếu tố

đã cho và các yếu tố phải tìm, học sinh sẽ có thể dùng cả những mối liên hệ khác nảy sinh ra do ấn tượng về tam giác đều

+ Các kiến thức trình bày trong sách giáo khoa thì nhiều, mà phần ứng dụng thực tế còn ít Hệ thống các bài tập mẫu chưa nhiều, những hướng dẫn và gợi ý chưa sát thực Vì vậy học sinh cảm thấy rất trừu tượng, khó tiếp thu kiến thức lý thuyết cơ bản

+ Mặc dù giáo viên nào khi dạy giải bài toán dựng hình cũng đều trăn trở,

cố gắng tìm tòi, áp dụng các phương pháp dạy học tối ưu Chẳng hạn, sử dụng

mô hình, giáo cụ trực quan, sử dụng các phần mềm dạy học, để việc dạy học mang lại hiệu quả cao Song do những khó khăn đã trình bày ở trên nên việc truyền trụ các kiến thức của giáo viên gặp rất nhiều cản trở; khi dạy khái niệm, định lý, tính chất, một số giáo viên chỉ đưa nội dung sau đó minh hoạ bằng các

mô hình, bằng các hình ảnh xung quanh lớp học mà không chứng minh vì còn dành thời gian để rèn kỹ năng, tìm lời giải cho các bài tập Một số giáo viên thường chỉ cho học sinh làm các bài tập dễ, các bài tập có hình vẽ đơn giản, quen thuộc, tránh các bài tập khó, ít sử dụng lược đồ chung với lý do là sợ tốn

thời gian, thành ra càng ngày các em càng thụ động và không có thói quen độc lập suy nghĩ, thiếu sự liên hệ giữa cái đã biết và điều phải chúng minh, phải tính toán Khi gặp bài toán không quen thuộc, các em thường không cố gắng tìm tòi lời giải mà nếu cố gắng các em sẽ làm được

+ Một số giáo viên dạy học chưa thực sự xuất phát từ sai lầm của học sinh,

để từ đó hướng dẫn, tổ chức được hoạt động giải bài tập cho học sinh, từng bước giúp các em vượt qua các sai lầm khi giải một bài tập

Đối chiếu kết quả điều tra với mục tiêu về kiến thức, kỹ năng cần đạt được ở học sinh dẫn chúng tôi đến suy nghĩ: Làm thế nào để giúp học sinh vượt qua những khó khăn trong khi học và không mắc phải những sai lầm đã chỉ ra ở trên?

Trên cơ sở đã biết một số nguyên nhân dẫn tới những sai lầm của học sinh, chúng tôi tìm cách khắc phục ở cả ba mặt:

+ Về nội dung kiến thức: Hạn chế tối đa việc thông báo kiến thức, mà thường sử dụng giáo cụ trực quan, hình ảnh xung quanh lớp học, hình ảnh trong đời sống thực tế để minh hoạ, dẫn dắt hình thành khái niệm

+ Học sinh: Thường xuyên nhắc nhở học sinh ôn tập, bổ sung và củng cố các kiến thức cũ trước khi học kiến thức mới

+ Giáo viên: – Soạn thảo một hệ thống các bài tập vận dụng, sau đó tổ chức hoạt động dạy học cụ thể dựa trên hệ thống bài tập đó, trong đó có những câu hỏi định hướng nhằm giúp học sinh từng bước giải quyết được những yêu cầu của bài toán

– Khi giải các bài toán cần phải theo một thứ tự nhất định để học sinh có thể dùng kiến thức của lời giải bài toán trước mà đi đến lời giải bài toán đang làm Chẳng hạn, học sinh không thể giải được bài toán “dựng tiếp tuyến với cung của một hình quạt sao cho phần của nó ở giữa hai bán kính giới hạn hình quạt kéo dài, bằng đoạn cho trước” nếu không biết “dựng tam giác theo đáy, góc

ở đỉnh và chiều cao” như thế nào

Kết luận chương 1

Do đặc trưng môn học, dạy học Toán gắn liền với dạy kỹ năng, trong các nội dung dạy học thì nội dung rèn luyện kỹ năng có vai trò hết sức quan trọng trong việc giải quyết một số bài tập, nhất là bài tập hình học

Nhiệm vụ của mỗi giáo viên dạy Toán ở trường phổ thông là phải không ngừng nâng cao chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm để ngày càng có cách giảng dạy hay hơn, hiệu quả hơn Xuất phát từ đối tượng học sinh, nội dung chương trình, điều kiện cơ sở vật chất của nhà trường mà trong từng thao tác dạy học, trong từng tiết học, trong từng bài học, từng chương v.v người thầy phải luôn

có ý thức suy nghĩ, tìm tòi, học hỏi để thiết kế bài dạy sao cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản, đồng thời phát triển khả năng độc lập, sáng tạo, từ đó tạo niềm say mê, hứng thú trong học tập

Chương này trình bày về các khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán, tiếp

đó luận văn trình bày sơ lược về phương pháp dựng hình cơ bản, các bước giải một bài toán dựng hình… Mỗi nội dung đều có một số ví dụ minh hoạ để làm sáng tỏ cho lý luận Có thể nói, trong quá trình giải toán dựng hình, học sinh phát triển được óc tưởng tượng không gian vì họ phải biết hình dung rõ ràng một hình nào đó; hơn nữa, phải biết thực hiện được bằng tưởng tượng phép dựng các yếu tố của hình đó; rèn luyện được cho học sinh các đức tính bền bỉ đạt tới mục đích đã định và phát triển tư duy sáng tạo Các bài toán dựng hình còn góp phần củng cố kiến thức đã học vì khi giải mỗi bài ấy hầu như phải ứng dụng kiến thức của nhiều chương khác nhau trong giáo trình hình học Điều đó rất phù hợp với quan điểm dạy học "Tích cực hoá hoạt động của người học" hiện nay

Và đó cũng chính là cơ sở lý luận cho việc nghiên cứu đề tài "Rèn luyện

kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho học sinh ở trường trung học cơ sở" mà

tôi sẽ trình bày ở các chương tiếp theo

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH CÁC KỸ NĂNG

CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH 2.1 Một số vấn đề về chương trình hình học có liên quan đến bài toán dựng hình ở bậc trung học cơ sở

2.1.1 Tóm tắt nội dung kiến thức của chương trình hình học có liên quan đến bài toán dựng hình ở bậc trung học cơ sở

Chương trình hình học ở bậc trung học cơ sở có các nội dung chính sau: a) Ở Chương trình lớp 6 gồm có 2 chương: Đoạn thẳng và Góc Ở hai chương này học sinh được làm quen với các đối tượng cơ bản của hình học phẳng, đó là các khái niệm cơ bản: điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, đường thẳng

đi qua hai điểm, ba điểm thẳng hàng, độ dài đoạn thẳng, mặt phẳng, nửa mặt phẳng, đường tròn, tam giác, góc (góc vuông, góc nhọn, góc bẹt, ) tia, tia phân giác của góc

b) Ở Chương trình lớp 7 học sinh được học 2 chương: Đó là chương đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc; chương tam giác và chương quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy trong tam giác Học sinh được học về định nghĩa, tính chất của các đường trong tam giác, các tam giác và các mối quan hệ cơ bản của các góc, các đường

+ Các đường: đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc, đường trung trực của đoạn thẳng; đường trung bình, đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao của tam giác

+ Các tam giác: tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông,

+ Các quan hệ: quan hệ giữa các góc và cạnh trong tam giác, quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó, quan hệ giữa ba cạnh của tam giác, các trường hợp bằng nhau của tam giác …

c) Ở Chương trình lớp 8 các em được học các chương: như chương tứ giác, chương đa giác-diện tích của đa giácvà chương tam giác đồng dạng Học