Rèn luyện kỹ năng giải bài toán cho học sinh thông qua dạy học chương Tổ hợp và xác suất lớp 11 trung học phổ thông ( Ban nâng cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VƯƠNG THÙY DUNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG “TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG BA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

VƯƠNG THÙY DUNG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG “TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN NÂNG CAO)

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Vũ Đình Hòa

HÀ NỘI - 2012

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài ……… 1

2 Lịch sử nghiên cứu ……… 2

3 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu ……… …… 3

4 Phạm vi nghiên cứu……….…… 3

5 Mẫu khảo sát……… ……… 3

6 Vấn đề nghiên cứu……… ……… 4

7 Giả thuyết khoa học……… 4

8 Phương pháp nghiên cứu……… 4

9 Những đóng góp của luận văn……… 5

10 Cấu trúc luận văn……… 5

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI……… 6

1.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán……… 6

1.1.1 Khái niệm kỹ năng……… … 6

1.1.2 Kỹ năng giải toán……… 6

1.1.3 Vai trò của kỹ năng giải toán……… 7

1.1.4 Phân loại kỹ năng trong môn Toán……… 8

1.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”……… 9

1.2.1 Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”……… 9

1.2.2 Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải toán chương “Tổ hợp và xác suất”……… 10

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG “TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN NÂNG CAO) THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN……… 19

2.1 Nội dung chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)……… 19

2.1.1 Mục tiêu, nhiệm vụ và cấu tạo của chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao) ……… 19

2.1.2 Những chú ý khi dạy và học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11

trung học phổ thông (ban nâng cao)……… 21

2.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua một số bài tập về tổ hợp … 22 2.2.1 Kỹ năng sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân ……… 23

2.2.2 Kỹ năng sử dụng công thức chỉnh hợp không lặp ……… 35

2.2.3 Kỹ năng sử dụng công thức chỉnh hợp lặp ……… 41

2.2.4 Kỹ năng giải các bài toán hoán vị ……… 43

2.2.5 Kỹ năng tính toán tổ hợp không lặp ……… 51

2.2.6 Kỹ năng tính toán tổ hợp lặp …….……… 55

2.2.7 Kỹ năng giải các bài toán liên quan nhị thức Newton ………… 57

2.3 Một số bài tập về xác suất ………… ……… 64

2.3.1 Các bài toán cơ bản sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất … 64

2.3.2 Các bài toán sử dụng quy tắc tính xác suất ……… 70

2.3.3 Các bài toán tính xác suất liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc 76

2.4 Một số bài tập nâng cao ……… ……… 85

2.4.1 Một số phương pháp giải các bài toán tổ hợp nâng cao ………… 85

2.4.2 Các bài toán về xác suất có điều kiện ……… 92

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……… 98

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ….……… 98

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm ……… 98

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ……… 98

3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm ……… 98

3.3 Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm ……… 99

3.3.1 Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm … ……… 99

3.3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm ……… ……… 100

3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm ……….……… 100

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm …… ……… 101

3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ……… 101

3.5.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm ……….……… 103

3.6 Tổng kết ……… 108

KẾT LUẬN CHUNG ……… 109

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 110

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học

Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học học sinh có vai trò quan trọng vì: đó là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thông Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu

Các kiến thức về Tổ hợp và xác suất đang ngày càng trở nên quan trọng đối với mỗi con người trong xã hội hiện đại Vì vậy, ở nhiều quốc gia, Tổ hợp

và xác suất đã được giảng dạy trong trường phổ thông từ lâu nhưng với mức

độ rất khác nhau Ở nước ta, trong sách giáo khoa năm 2000 chỉ có tổ hợp mà không có xác suất Thực tế, xác suất mới chỉ được đưa vào chương trình phổ thông từ năm 2007 (không kể đến chương trình thí điểm phân ban năm 1995)

Trong chương trình Toán phổ thông, tổ hợp và xác suất là một trong những nội dung quan trọng luôn xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông cũng như đề thi Đại học Tổ hợp luôn được đánh giá là một nội dung khó Các bài toán tổ hợp thường đòi hỏi học sinh hiểu chính xác những mối quan hệ giữa các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữ cũng khó diễn

đạt một cách đầy đủ Nội dung xác suất có khá nhiều khái niệm mới và khó Nếu học sinh không nắm chắc các khái niệm thì không thể hiểu được các công thức tính xác suất Các bài toán về xác suất rời rạc có liên quan chặt chẽ đến vấn đề tổ hợp Do đó, nếu học sinh có kỹ năng giải các bài toán tổ hợp tốt thì có nhiều thuận lợi khi giải các bài toán xác suất rời rạc Mục đích của chương “Tổ hợp và xác suất” là để học sinh làm quen với những vấn đề đơn giản có nội dung tổ hợp thường gặp trong đời sống và khoa học

Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp của mình

là: “Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương

“Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)”

2.Lịch sử nghiên cứu

Ở nước ta, có nhiều nhà toán học nghiên cứu về tổ hợp, xác suất như: Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hòa, Phan Huy Khải, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng [10, 13], … Tuy nhiên, những nghiên cứu đó đơn thuần là các kết quả chuyên môn

Ngoài ra, các thầy giáo như: GS Nguyễn Cảnh Toàn, GS Nguyễn Bá Kim [11, 12, 16], … cũng đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học môn Toán Tuy những nghiên cứu đó về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh mới chỉ là lý luận chung nhưng đã có những gợi mở quan trọng cho tôi trong quá trình thực hiện đề tài

Bên cạnh đó cũng có một số luận văn, khóa luận nghiên cứu về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh nhưng chủ yếu là thông qua các nội dung Toán học như: đạo hàm, tích phân, phép biến hình, phương pháp vectơ, … Và cũng có một số luận văn nghiên cứu về việc rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua nội dung tổ hợp, nhưng chưa hề có luận văn nào nghiên cứu về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua nội dung xác suất rời rạc

Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà toán học đã đưa ra, căn cứ vào thực

trạng dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” ở một số trường trung học phổ

thông trong giai đoạn hiện nay thì với luận văn này, xin được trình bày một vấn đề rất hẹp và cụ thể là: vận dụng lý luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương “Tổ hợp

và xác suất” nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông

3.Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

- Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học chương “Tổ hợp và xác suất”

- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý luận khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”

- Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để

áp dụng vào giảng dạy

4.Phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi về thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 3/2011 đến nay,

cùng với 4 năm kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Dân tộc nội trú tỉnh Cao Bằng và trường THPT Cao Bình - Thị xã Cao Bằng - Tỉnh Cao Bằng

- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải toán cần rèn

luyện cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

5.Mẫu khảo sát

Giáo viên tổ Toán và học sinh thuộc các trường THPT Dân tộc nội trú tỉnh Cao Bằng và trường THPT Cao Bình, thị xã Cao Bằng, tỉnh Cao Bằng

6.Vấn đề nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây được đưa ra xem xét:

- Hiểu thế nào là kỹ năng giải toán?

- Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán là gì?

- Dùng những phương pháp nào để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”

- Trong dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” cần rèn luyện những kỹ năng giải toán nào?

7.Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện được các kỹ năng giải toán cần cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao) thì

sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới và góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục, đạt mục tiêu dạy học môn Toán

8.Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và phân tích các tài

liệu về lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan đến môn học

- Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải

toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao); chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm

- Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ

chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao) của các giáo viên

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm

tại trường THPT Dân tộc nội trú tỉnh Cao Bằng và trường THPT Cao Bình, thị xã Cao Bằng, tỉnh Cao Bằng; cung cấp bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm

- Phương pháp thống kê toán học: Xử lý các số liệu thu được sau khi

điều tra

9.Những đóng góp của luận văn

- Trình bày cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

- Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán ở trường THPT

10.Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương như sau:

Chương 1 Cơ sở lý luận của đề tài

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập của chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao) theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [16, tr426]

Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng

để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [4, tr149]

Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …)

để giải quyết một nhiệm vụ mới” [8, tr131]

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới

1.1.2 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán cần giải về dạng tương đương đơn giản

Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán là môn học giữ một vai trò và vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách cho học sinh Khi học môn Toán, kỹ năng giữ một vai trò quan trọng và đặc biệt cần thiết, bởi vì nếu không có kỹ năng học sinh sẽ không phát huy được

tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề

Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giải toán:

Phương pháp gián tiếp Cung cấp cho học sinh một số các bài

toán có cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kỹ năng giải toán Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá

và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh

Phương pháp trực tiếp Giáo viên soạn thành những bài giảng về

những kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn

và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết

1.1.3 Vai trò của kỹ năng giải toán

Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành

Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn luyện kỹ năng giải toán Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:

- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán

- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng

Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:

- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức

- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán

- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh

1.1.4 Phân loại kỹ năng trong môn Toán

1.1.4.1 Kỹ năng nhận thức

Kỹ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: khả năng nắm một khái niệm, định lý, kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc

1.1.4.2 Kỹ năng thực hành

Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong Toán học hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tiễn

1.1.4.3 Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có

kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân nhằm phấn đấu đạt được mục đích

1.1.4.4 Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá

Ở trường phổ thông chúng ta thường mới quan tâm tới kết quả kiểm tra

từ phía giáo viên đối với học sinh, từ đó giáo viên có thể điều chỉnh cách dạy

mà chưa quan tâm đến việc học sinh tự kiểm tra đánh giá bản thân

Các tác giả: Nguyễn Bá Kim [11, 12], Vũ Dương Thụy, … đã xét kỹ năng tự kiểm tra đánh giá trên các phương diện: kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống

1.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương

“Tổ hợp và xác suất”

1.2.1 Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”

Đối với giáo viên

- Khi dạy lý thuyết

Giáo viên không khó khăn để tạo được không khí học tập sôi nổi, hào hứng cho học sinh qua các ví dụ thực tế

Dạy định nghĩa, công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất thì giáo viên phải thuyết trình nhiều hơn khi dạy các nội dung toán học khác

Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi và vẽ hình minh họa cho các quá trình chọn lựa, mất thời gian viết bảng

Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các ví dụ ứng dụng trong thực tế

Giáo viên chưa có hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần xác suất

- Khi dạy bài tập

Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau của học sinh

Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập trên lớp cho học sinh không nhiều

Đối với học sinh

- Khi học lý thuyết

Học sinh thường có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra lúc bắt đầu giờ học Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp thì học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu Những học sinh trung bình thì chưa thể phân biệt được ngay sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp trong giờ lý thuyết

Một số học sinh do chưa nắm vững được kiến thức về tổ hợp nên khi học sang nội dung xác suất gặp rất nhiều khó khăn để nắm bắt kiến thức

Khi mới học, thậm chí đã học qua nhưng học sinh vẫn thường không biết diễn đạt ý hiểu của mình nên trình bày còn dài dòng, phức tạp, khó hiểu

Hầu như học sinh đều thấy khó rút kinh nghiệm, phương pháp làm bài và rất dễ quên khi chuyển sang học phần kiến thức mới

1.2.2 Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải toán chương “Tổ hợp và xác suất”

- Sau khi học xong bài “Hai quy tắc đếm cơ bản”, lúc vận dụng, nhiều học sinh hay nhầm lẫn giữa cách sử dụng quy tắc nhân với quy tắc cộng [14] Chẳng hạn, trong bài toán sau:

Bài toán Trong một lớp học có 20 nam và 23 nữ Giáo viên chủ nhiệm

cần chọn hai học sinh: một bạn nam và một bạn nữ đi dự Đại hội Hỏi giáo viên chủ nhiệm đó có bao nhiêu cách chọn?

Phân tích Sai lầm phổ biến học sinh thường mắc phải khi giải bài toán

này là dùng quy tắc cộng cho rằng có 20 23 43 (cách chọn) Thực ra ở đây

phải dùng quy tắc nhân, tức là có 20.23 460 (cách chọn) (Nếu giáo viên chủ nhiệm chỉ được chọn một học sinh đi dự Đại hội thì ta mới áp dụng quy tắc cộng) Khi đó giáo viên chủ nhiệm đó có 20 23 43 (cách chọn)

- Khó khăn, sai lầm tiếp theo của học sinh gặp phải là một bài toán không biết khi nào sử dụng tổ hợp, khi nào sử dụng chỉnh hợp Tuy nhiên, khó khăn này sẽ nhanh chóng được giải quyết nếu học sinh để ý bản chất của

tổ hợp là sắp xếp tùy ý không có thứ tự, còn chỉnh hợp thì có thứ tự Ta xét bài toán sau:

Bài toán Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam Cần chọn ra 6

học sinh (3 nam và 3 nữ) để ghép thành 3 đôi biểu diễn văn nghệ Hỏi có bao nhiêu cách ghép?

Lời giải 1 Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là 3

Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ) là 3 3

12. 10

C C cách Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! cách ghép giữa các đôi này với nhau (là hoán vị của 3 học sinh nam hoặc của 3 học sinh nữ) Vậy số cách chọn thỏa mãn là 3 3

12 10

3! C C cách

Phân tích Quan sát các lời giải trên ta thấy: ở lời giải 1 - rõ ràng là sai

vì bài toán không yêu cầu xếp thứ tự; lời giải 2 - thiếu số cách chọn để ghép thành các đôi; lời giải 3 - thoạt nhìn thì có vẻ như đúng, tuy nhiên ở bước cuối

đã nhầm lẫn việc chọn ra 3 đôi với việc chỉ đơn thuần chọn ra 1 nam và 1 nữ; lời giải 4 - là lời giải đúng

- Một sai lầm nữa mà học sinh hay vấp phải là: “Các phần tử còn lại tùy ý trong tập còn lại” Xin nêu ra một số bài toán đơn giản nhưng lại có nhiều cách giải như sau:

Bài toán 1 Một nhóm 5 học sinh A B C D E , , , , Cần chọn ra 3 học sinh thì có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải 1 Chọn 3 học sinh trong 5 học sinh A B C D E , , , , là một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử Do đó số cách chọn là 3

3

C cách Vậy có tất cả 1

5

C 1 4

C 1 3

5

C 2 4

5

C 1 3

C cách chọn

Phân tích Dễ dàng nhận thấy lời giải 1 là lời giải đúng Nếu thế sai

lầm là gì khiến các lời giải còn lại đều sai?

Bây giờ, xin phân tích sai lầm của lời giải 2: Trước tiên, khi chọn 1 học

sinh trong 5 học sinh thì sẽ có 5 cách chọn Nếu lần đầu chọn A (còn lại

, , ,

B C D E), lần 2 chọn B (còn lại C D E , , ), lần 3 chọn C thì ta chọn được 3 học sinh là A B C , , Nếu lần đầu chọn B (còn lại A C D E , , , ), lần 2 chọn C

(còn lại A D E , , ), lần 3 chọn A thì ta cũng chọn được 3 học sinh là A B C , , Như vậy số cách chọn ra 3 học sinh A B C , , đã bị lặp

Với cách giải thích tương tự như trên ta chỉ ra được sự sai lầm của lời giải 3 và lời giải 4

Bài toán 2 Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có bao

nhiêu cách chọn ra một nhóm gồm 6 học sinh sao cho có ít nhất 2 học sinh nữ?

Lời giải 1 (trực tiếp) Chia cụ thể các trường hợp:

Lời giải 3

Bước 1 Chọn ra 2 học sinh nữ (vì có ít nhất là 2 nữ) có 2

15

C cách Bước 2 Chọn ra 4 học sinh còn lại trong 43 học sinh có 4

43

C cách (Khi đó 6 học sinh được chọn luôn thỏa mãn có ít nhất 2

học sinh nữ) Vậy có tất cả 2

15

C 4 43

C cách chọn

Phân tích Ta dễ dàng nhận thấy rằng lời giải 1 và lời giải 2 đều đúng,

còn lời giải 3 sai Có thể phân tích như sau: giả sử bước 1 ta chọn 2 học sinh

nữ A và B, bước 2 ta chọn tiếp 4 học sinh trong đó lại có 2 học sinh nữ C, D

và 2 học sinh nam a, b; khi đó 6 học sinh được chọn là A, B, C, D, a, b Sau

đó, với cách khác, chẳng hạn bước 1 ta chọn 2 học sinh nữ là A và C, rồi bước

2 ta chọn 4 học sinh trong đó có 2 học sinh nữ là B, D và 2 học sinh nam a, b thì cuối cùng ta vẫn chọn được 6 học sinh là A, B, C, D, a, b Như vậy: 2 cách chọn như trên chỉ là một

- Đôi khi, học sinh mắc phải sai lầm “Xét thiếu các trường hợp trong bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp” Sau đây, xét hai bài toán sau:

Bài toán 1 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu hỏi dễ, 7 câu hỏi

trung bình và 4 câu hỏi khó Cần chọn ra 10 câu hỏi để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập được bao nhiêu

C cách

Trường hợp 2 Chọn 10 câu hỏi dễ và khó trong 13 câu hỏi có 10

13

C cách Trường hợp 3 Chọn 10 câu hỏi trung bình và khó trong 11 câu hỏi

có 10 11

C cách

Vậy có tất cả 10 10 10 10

20 16 13 11 176451

Phân tích Dễ dàng nhận thấy lời giải của bài toán trên là lời giải đúng

Tuy nhiên, ta xét thêm bài toán sau chỉ thay đổi một chút so với bài toán trên

là thay vì chọn ra 10 câu hỏi thì chọn ra 7 câu hỏi Với sự thay đổi đó có thể gây sai lầm cho học sinh

Bài toán 2 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu hỏi dễ, 7 câu hỏi

trung bình và 4 câu hỏi khó người ta chọn ra 7 câu hỏi để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập được bao nhiêu

Loại 2 Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 1 Chọn 7 câu hỏi dễ trong 9 câu hỏi có 7

9

C cách

Trường hợp 2 Chọn 7 câu hỏi trung bình có 1 cách

Trường hợp 3 Chọn 7 câu hỏi dễ và trung bình trong 16 câu hỏi có

7 16

C cách

Trường hợp 4 Chọn 7 câu hỏi dễ và khó trong 13 câu hỏi có 7

13

C cách Trường hợp 5 Chọn 7 câu hỏi trung bình và khó trong 11 câu hỏi có

7 11

Loại 2 Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 1 Chọn 7 câu hỏi dễ và trung bình trong 16 câu hỏi có

7 16

C cách

Trường hợp 2 Chọn 7 câu hỏi dễ và khó trong 13 câu hỏi có 7

13

C cách Trường hợp 3 Chọn 7 câu hỏi trung bình và khó trong 11 câu hỏi có

7 11

Loại 2 Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 1 Chọn 7 câu hỏi chỉ có 1 loại (là 1 loại dễ hoặc trung

bình) thì có 7 7

9 7

C C cách

Trường hợp 2 Chọn 7 câu hỏi có đủ 2 loại:

Dễ và trung bình (trong 16 câu hỏi dễ và trung bình thì khi chọn

ra 7 câu hỏi thì 7 câu hỏi đó hoặc thuộc cả 2 loại hoặc chỉ thuộc 1 loại) thì có 7 7 7

Phân tích Với cách thay đổi chọn ra 10 câu hỏi bởi việc chỉ chọn ra 7

câu hỏi thì đã khiến cho học sinh mắc phải những sai lầm Đối với bài toán 1 khi chọn ra 10 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu thì chắc chắn ta phải chọn 2 loại câu hỏi (dễ và trung bình, dễ và khó hoặc trung bình và khó); còn trong bài toán 2 việc chọn ra 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu thì có thể xảy ra trường hợp chỉ chọn 1 loại câu hỏi (dễ hoặc trung bình)

Trong 3 lời giải được đưa ra cho bài toán 2 thì chỉ có lời giải 1 là lời giải đúng Lời giải 2 thì xét thiếu trường hợp chọn 7 câu hỏi chỉ thuộc 1 loại, còn lời giải 3 thì lại xét lặp trường hợp 7 câu hỏi chỉ thuộc 1 loại

- Thỉnh thoảng, khi gặp các bài toán chỉnh hợp lặp hay tổ hợp lặp thì học sinh mắc phải lỗi là đếm lặp lại các cách chọn của bài toán Ta xét một ví

dụ cụ thể như sau:

Bài toán Nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ Có bao

nhiêu cách chọn từ đó ra 3 học sinh trong đó có ít nhất một nữ

Lời giải 1 Chọn 1 học sinh nữ trong 3 học sinh nữ, có 1

3

C cách Sau đó, chọn 2 học sinh trong số 6 học sinh còn lại, có 2

Phân tích Lời giải 1 sai ở chỗ đã đếm đi đếm lại cùng một cách chọn

Chẳng hạn có 7 học sinh 1,2,3,4,5,6,7 , trong đó 1,2,3,4 là các học sinh nam, 5,6,7 là các học sinh nữ Theo cách đếm ở lời giải 1 thì các cách chọn

6, 1,5 và 5, 1,6 đã được đếm thành hai cách khác nhau (thực ra đó là một) Như vậy cách giải đúng là lời giải 2

- Đa số học sinh chưa phân biệt được vấn đề: “Hai tổ hợp khác nhau khi và chỉ khi có một phần tử của tổ hợp này không là phần tử của tổ hợp kia Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi: hoặc có một phần tử của chỉnh hợp này không là phần tử của chỉnh hợp kia, hoặc các phần tử của chúng như nhau

(đều cùng là các phần tử của một tập hợp A nào đó) nhưng cách sắp xếp thứ

tự không giống nhau (tức là chúng là hai hoán vị khác nhau của tập A)”

- Việc tính toán xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển quy

về việc đếm số phần tử của không gian mẫu và đếm số phần tử của tập hợp con mô tả biến cố đang xét Việc này có liên quan chặt chẽ đến các kiến thức

về tổ hợp Do đó, một số học sinh chưa nắm vững kiến thức về tổ hợp gặp rất nhiều khó khăn khi làm các bài toán về xác suất

- Nhiều học sinh chưa biết sử dụng máy tính bỏ túi để tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn Điều đó khiến cho học sinh mất rất nhiều thời gian để tính toán khi làm bài kiểm tra

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG “TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN NÂNG CAO)

THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

2.1 Nội dung chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

2.1.1 Mục tiêu, nhiệm vụ và cấu tạo của chương “Tổ hợp và xác suất” lớp

11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

2.1.1.1 Mục tiêu, nhiệm vụ của chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

Chương này cung cấp cho học sinh những hiểu biết ban đầu, cơ bản về

tổ hợp và xác suất

- Về kiến thức Giúp học sinh

Nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân Hiểu được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Đặc biệt thấy rõ mối liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp Nhớ các công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp và số tổ hợp

Nhớ công thức khai triển nhị thức Newton

Nắm được các khái niệm: phép thử, không gian mẫu, kết quả thuận lợi cho một biến cố

Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất

Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng của nó là kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn Nhớ công thức tính

kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn

- Về kỹ năng Giúp học sinh

Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản

Biết vận dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác suất

Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một

số bài toán xác suất đơn giản

Biết lập bảng phân bố xác suất; biết tính kì vọng, phương sai và

độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc đơn giản

2.1.1.2 Cấu tạo của chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

Nội dung của chương gồm hai phần dự kiến được thực hiện trong 21 tiết, phân phối cụ thể như sau:

Phần A Tổ hợp (8 tiết)

Bài đọc thêm Quy tắc cộng mở rộng

Em có biết? Cuốn sách tiếng Việt về Xác suất – Thống kê

xuất bản lần đầu tiên ở nước ta

§5 Các quy tắc tính xác suất (2 tiết)

Bài đọc thêm Sử dụng máy tính bỏ túi trong tính toán

tổ hợp và xác suất

Em có biết? Xác suất và số

Bài đọc thêm Liên hệ giữa biến ngẫu nhiên rời rạc và thống kê

2.1.2 Những chú ý khi dạy và học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

2.1.2.1 Những chú ý khi dạy chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

Đối với giáo viên, khi dạy chương này cần chú ý một số vấn đề sau:

- Thực tế giảng dạy cho thấy các bài toán tổ hợp luôn là một dạng toán khó đối với học sinh Đặc biệt học sinh rất lúng túng không biết khi nào thì dùng chỉnh hợp, khi nào thì dùng tổ hợp Do đó, khi giảng dạy giáo viên

cố gắng trình bày nội dung tổ hợp cho thật sinh động, gần với thực tiễn, tránh hàn lâm Giáo viên cần đưa ra nhiều ví dụ về các tình huống khác nhau để học sinh có cơ hội thực hành, bắt chước

- Để giúp cho học sinh có thể tự làm được các bài tập thì giáo viên cần hệ thống các bài tập sao cho được chọn lọc cẩn thận và đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố lý thuyết Đặc biệt, giáo viên cần hướng dẫn học sinh làm các bài tập đó thật cẩn thận

- Nội dung xác suất mới được đưa vào dạy ở trường phổ thông từ năm 2007 nên còn khá mới mẻ Do đó, đòi hỏi giáo viên phải cố gắng nhiều, phải chuẩn bị giáo án thật kỹ lưỡng

2.1.2.2 Những chú ý khi học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

Đối với học sinh, khi học chương này cần chú ý một số vấn đề sau:

- Nội dung tổ hợp là phần mở đầu của chương Các kiến thức của nó rất cơ bản và liên quan mật thiết tới nội dung xác suất Nếu học sinh không nắm vững nội dung tổ hợp thì sẽ ảnh hưởng không tốt đến việc học nội dung xác suất

- Học sinh muốn nắm vững nội dung tổ hợp thì phải tự mình làm được các bài tập

- Khi học nội dung xác suất, tuy dễ gây hứng thú cho học sinh vì các bài toán về xác suất nói chung gần gũi, thiết thực với đời sống nhưng khi học xong thì học sinh rất khó nhớ và nắm vững được kiến thức Do đó, học sinh cần phải làm nhiều bài tập

2.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua một số bài tập về tổ hợp

Khi giải một bài toán về tổ hợp, kỹ năng quan trọng cần rèn luyện là kỹ năng nhận thức, chỉ khi nhận thức xem bài toán đó thuộc dạng nào thì mới áp dụng đúng công thức Bên cạnh đó, việc rèn luyện kỹ năng thực hành cũng quan trọng không kém

Khi giải các bài toán về tổ hợp, ta có thể giải theo hai cách chính sau đây:

Phương pháp trực tiếp Phương pháp này giải quyết trực tiếp các

yêu cầu bài toán đặt ra Nói cách khác “hỏi gì, đếm nấy” là nội dung của phương pháp này Dựa vào yêu cầu của bài toán, ta lựa chọn hoặc quy tắc cộng, hoặc quy tắc nhân một cách thích hợp để giải

Phương pháp gián tiếp Phương pháp này dựa trên nguyên lí

“Đếm những cái không cần đếm, để biết những cái cần đếm” Nói cách khác theo ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp, thì phương pháp gián tiếp thực chất dựa vào “phép lấy phần bù”

2.2.1 Kỹ năng sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

Khi giải các bài tập về tổ hợp, ta thường sử dụng hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân Tuy nhiên, khi vận dụng các quy tắc đếm

cơ bản này vào giải toán thì học sinh hay nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân Do đó, việc rèn luyện kỹ năng sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân vào giải toán rất quan trọng, tạo tiền đề cho học sinh rèn luyện các kỹ năng khác khi giải các bài toán tổ hợp cũng như xác suất Và điều quan trọng nhất học sinh biết vận dụng được hai quy tắc đếm cơ bản trong những tình huống

cụ thể; biết được khi nào sử dụng quy tắc cộng, khi nào sử dụng quy tắc nhân Đôi khi, trong một bài toán cũng xảy ra tình huống kết hợp sử dụng cả quy tắc cộng và quy tắc nhân

2.2.1.1 Kỹ năng sử dụng quy tắc cộng

Định nghĩa Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một

trong k phương án A A1; ; ;2 Ak Có n1 cách thực hiện phương án A1, có n2

cách thực hiện phương án A2, …, có nk cách thực hiện phương án Ak và cách thực hiện phương án này không trùng với cách thực hiện phương án kia Khi

đó, công việc có thể thực hiện bởi n1 n2 nk cách

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Có 6 quyển sách tham khảo Đại số và 8 quyển sách tham khảo

Hình học Hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các quyển sách đó?

Ví dụ 2 Hãy tính số cách có thể đi từ Hà Nội tới thành phố Hồ Chí

Minh với một trong ba phương tiện khác nhau: đường hàng không, đường

thủy và đường bộ Biết rằng có 3 hãng hàng không; 2 hãng tàu thủy và 15 hãng giao thông đường bộ có phương tiện đi lại giữa hai thành phố trên

Giải Để đi lại giữa Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh, ta chọn một

trong ba phương tiện

- Có 3 cách đi bằng đường hàng không

- Có 2 cách đi bằng đường thủy

Giải Số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau có dạng x ab trong đó

b là một chữ số chẵn Vì a b , 0;1;2;3;4;5 nên xảy ra các trường hợp sau:

Bài 2 Giả sử cần chọn hoặc là một học sinh nam của khối 12 hoặc là

một học sinh nữ của khối 11 làm đại biểu trong hội đồng của một trường Trung học phổ thong Hỏi có bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này nếu khối 12

có 91 học sinh nam và khối 11 có 76 học sinh nữ

Bài 3 Ở Việt Nam, mọi học sinh đã tốt nghiệp Trung học phổ thông

đều có quyền dự thi vào một trường Đại học (có 35 trường) hoặc một trường Cao đẳng (có 25 trường) hoặc một trường Trung học chuyên nghiệp (có 21

trường) Hỏi mỗi học sinh đã tốt nghiệp Trung học phổ thong có bao nhiêu cách chọn trường thi?

2.2.1.2 Kỹ năng sử dụng quy tắc nhân

Định nghĩa Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn

Ví dụ 4 Một lớp học có 33 sinh viên Hỏi có bao nhiêu cách giao 3

chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên, biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất một chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Giải Theo giả thiết ta có:

- Mỗi sinh viên đều có thể đảm nhận một chức danh, do đó có 33 cách giao chức danh lớp trưởng

- Sau khi đã giao chức danh lớp trưởng thì mỗi sinh viên trong 32 sinh viên còn lại có thể nhận chức danh lớp phó, do đó có 32 cách giao chức danh lớp phó

- Sau khi đã giao chức danh lớp trưởng và lớp phó thì mỗi sinh viên trong 31 sinh viên còn lại có thể nhận chức dạnh bí thư, do đó có 31 cách giao chức danh bí thư

Vậy có tất cả 33.32.31 32736 cách giao ba chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 33 sinh viên

Ví dụ 5 Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một

giảng đường bằng một chữ cái và một số nguyên dương không vượt quá

100 Bằng cách như vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể được ghi nhãn khác nhau?

Giải Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc:

- Gán cho chiếc ghế một trong 26 chữ cái

- Sau đó, gán một trong 100 số nguyên dương

Vậy có tất cả 26.100 2600 cách khác nhau để gán nhãn cho một chiếc ghế

a) Gọi số cần tìm có dạng abcd, với a b c d A , , , và a b c d Do đó:

- Chữ số a chỉ có thể chọn chữ số t là một trong sáu số thuộc tập A

- Chữ số b chỉ có thể chọn chữ số s là một trong năm số thuộc tập

b) Gọi số cần tìm có dạng abc, với c 2;4;6 ; a b A , và a b c

- Chữ số a chỉ có thể chọn chữ số t là một trong sáu số thuộc tập A

- Chữ số b chỉ có thể chọn chữ số s là một trong năm số thuộc tập

d) Gọi số cần tìm có dạng abcde, với a b c d e A , , , , và

a b d e f

- Vì abcde chia hết cho 5 và e A nên e 5

- Chữ số a chỉ có thể chọn chữ số t là một trong năm số thuộc tập

số không trùng nhau Hãy tìm tổng của tất cả các số này

Giải Gọi các số cần tìm là abcd

Theo giả thiết cho 9 chữ số khác nhau nên nếu chọn chữ số a đầu tiên thì có 9 cách chọn

' ' ' ' 11110

abcd a b c d

có các chữ số không trùng nhau

Do đó, có 1 9.8

2 cặp số abcd, a b c d ' ' ' ' gồm bốn chữ số không trùng nhau thuộc tập 1;2;3;4;5;6;7;8;9

Vậy tổng tất cả các số dạng trên là 1 9.8.11110 16798320

Ví dụ 8 Cho số A 2 3 55 3 4

a) Có bao nhiêu số tự nhiên là ước dương của A?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên là ước dương của A2 và chia hết cho A ? Giải

a) Mỗi số tự nhiên a là ước dương của số A 2 3 55 3 4 có dạng

2 3 5m n p

a với m n p , , là các số tự nhiên và 0 m 5; 0 n 3; 0 p 4

Do đó có 6 cách chọn số m, 4 cách chọn số n và 5 cách chọn số p Vậy theo quy tắc nhân có tất cả 6.4.5 120 ước dương của số A

b) Mỗi số tự nhiên b là ước dương của số A2 2 3 510 6 8 có dạng

chia hết cho A

Bài tập vận dụng

Bài 4 Cho 3 thành phố A, B, C Biết rằng từ thành phố A đi đến thành

phốB có 4 con đường khác nhau, từ thành phố B đi đến thành phố C có 3 con đường khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C

mà phải đi qua thành phố B?

Bài 5 Một bé có thể mang họ cha là Lê hay họ mẹ là Đỗ, chữ lót có thể

là Văn, Hữu, Hồng, Bích hoặc Đình, còn tên có thể là Nhân, Nghĩa, Trí, Đức, Ngọc hoặc Dũng Hỏi có bao nhiêu cách để đặt họ và tên cho bé

Bài 6 a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một?

Bài 7 Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng ký xe máy nếu mỗi biển chứa

một dãy gồm một chữ cái tiếp đến một chữ số khác 0 và cuối cùng là 5 chữ số

Bài 8 Một lớp có 40 học sinh gồm 15 học sinh nữ và 25 học sinh nam

Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh tham gia hội trại với điều kiện phải có

cả nam lẫn nữ?

Bài 9 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và số đó chia

hết cho 10?

Bài 10 Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta thành lập các số tự nhiên có 5 chữ số Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số kề nhau khác nhau?

Bài 11 Một học sinh có 4 quyển sách toán khác nhau và 3 quyển sách

văn khác nhau Cần sắp xếp 7 quyển sách trên thành một dãy theo hàng ngang trên một tủ sách

a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu hai quyển sách kề nhau phải khác thể loại?

Bài 12 Bàn cờ vua có hình vuông, mỗi cạnh chia thành 8 ô, tổng cộng

có 64 ô Một quân xe có thể “ăn trực tiếp” bất kì một quân cùng cột hoặc hàng với nó Giả sử trên bàn cờ chỉ có hai quân xe, hỏi có bao nhiêu cách đặt 2 quân xe trên bàn cờ sao cho chúng không “ăn” lẫn nhau?

Bài 13 Trong vòng đấu loại của một cuộc thi cờ vua có 2n người tham

dự Mỗi người chơi đúng một bàn với một người khác Chứng minh rằng có

từ thành phố A đến thành phố D?

Giải Để đi từ A đến D thì có 2 cách hoặc đi qua B hoặc đi qua D

Tìm số đường đi từ A đến D qua B Có ba cách chọn đường từ A sang B

và hai cách chọn đường từ B sang D nên theo quy tắc nhân, số cách chọn đường từ A sang D qua B là 3.2 6

Tương tự, số cách chọn đường để từ A sang D qua C là 2.4 8

Vì cách chọn đường từ A sang D qua B và cách chọn đường từ A sang

D qua C không phụ thuộc lẫn nhau, nên theo quy tắc cộng, ta có số con đường

- Chữ số d chỉ có thể chọn một trong ba chữ số thuộc tập

0;2;3;4;5 \ ; t s

Như vậy, số các số dạng a cd 1 lập được là 4.4.3 48 hay A2 48

Vì các số thuộc các dạng khác nhau đều khác nhau nên

- Tập A1 chứa các số có 3 chữ số phân biệt hình thành từ tập A và có

chữ số hàng trăm là 1 hoặc 2 hoặc 3

- Tập A2 chứa các số có 3 chữ số phân biệt hình thành từ tập A và có

chữ số hàng trăm là 4 và chữ số hàng chục khác 6

Ta lần lượt đếm số phần tử của các tập A1; A2

a) Mỗi số thuộc tập A1 có dạng abc, với a 1;2;3 ; b c A , và

Như vậy, số các số của tập A1 là 3.5.4 60 số

b) Mỗi số thuộc tập A2 có dạng 4ab, với a b A , ; a 6 và a b Do đó:

- Chữ số a chỉ có thể là một trong bốn số thuộc tập A \ 4;6

- Chữ số b chỉ có thể là một trong bốn số thuộc tập A \ 4; a

Như vậy, số các số của tập A2 là 4.4 16 số

Vậy từ tập A có thể lập được 60 16 76 số thỏa mãn điều kiện bài toán

* Chú ý Đối với bài toán này, ngoài cách giải trên, ta có thể giải theo

phương pháp gián tiếp (hay bằng nguyên lí phần bù) dưới dạng:

Ngoài ra, mỗi số thuộc tập B có dạng abc, với a 5;6 ; b c A , và

a b c Do đó, chữ số a chỉ có thể là một trong hai số thuộc tập 5;6 ; chữ

số b chỉ có thể chọn chữ số t là một trong năm số thuộc tập A a \ và chữ số

c chỉ có thể chọn chữ số s là một trong bốn số thuộc tập A a t \ ;

Như vậy, số các số của tập B là 4 2.5.4 44 số

Vậy số các số gồm ba chữ số khác nhau hình thành từ tập A và không

lớn hơn 456 là 120 44 76 số

Bài tập vận dụng

Bài 14 Trên giá sách có 14 quyển sách, trong đó có 5 quyển sách toán,

6 quyển sách văn và 3 quyển sách ngoại ngữ Nếu chọn hai quyển sách khác thể loại trên giá sách đã cho thì có bao nhiêu cách chọn?

Bài 15 Quán Tản Đà có 4 món bò: nhúng dấm, lúc lắc, nướng mỡ chài,

nướng lá cách; có 3 mốn gà: xối mỡ, quay Tứ Xuyên, rút xương và 2 món cua: rang me, rang muối Hỏi nhà văn Vương Hà có bao nhiêu cách gọi hai món lai rai?

Bài 16 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam

Lập một đoàn công tác có 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý Hỏi có bao nhiêu cách lập?

Bài 17 Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5cần lập ra các số tự nhiên gồm 4 chữ số a) Hỏi có bao nhiêu số chia hết cho 5?

b) Hỏi có bao nhiêu số mà trong đó các chữ số đều khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 1?

Bài 18 Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 ta thành lập các số tự nhiên gồm

4 chữ số Hỏi có bao nhiêu số sao cho hai chữ số liền kề nhau phải khác nhau

về tính chẵn lẻ?

Bài 19 Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi

số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước

Bài 20 Với 5 chữ số 1; 2; 5; 7; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và thỏa mãn điều kiện:

a) Là một số chẵn

b) Là một số không lớn hơn 278

c) Là một số chẵn và không lớn hơn 278

2.2.2 Kỹ năng sử dụng công thức chỉnh hợp không lặp

Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k

0 k n phần tử được sắp thứ tự của tập hợp A gọi là một chỉnh hợp

(chỉnh hợp không lặp) chập k của n phần tử thuộc A

n

n k

Cách áp dụng Một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n

phần tử thường được nhận dạng dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:

- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

- Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

Ví dụ 13 Cho tập A 0;2;4;6;8 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên có 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A?

Giải Gọi số cần tìm có dạng abc, với a b c A , , ; a 0 và a b c

- Vì a A và a 0 nên chữ số a chỉ có thể chọn chữ số t là một trong bốn số thuộc tập A \ 0

- Mỗi bộ số b c ; tương ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử của tập hợp A t \

Vậy từ tập A có thể lập được 2

4

4 A 48 số gồm 3 chữ số khác nhau

Ở Ví dụ 13 ta đã sử dụng quy tắc nhân kết hợp với khái niệm chỉnh hợp

để giải; tuy nhiên, ta cũng có thể sử dụng khái niệm chỉnh hợp cùng với phép loại bỏ để giải như sau:

Nhận thấy, mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử Do đó, từ tập A có thể lập được

- Vì số cần tìm phải chứa chữ số 5 nên chữ số 5 có thể là một trong sáu vị trí của các chữ số a b c d e f , , , , ,

- Mỗi bộ số dành cho năm vị trí còn lại tương ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 8 phần tử của tập hợp A \ 5

Như vậy, có tất cả 5

8

6 A 40320 số gồm 6 chữ số khác nhau và mỗi số đều chứa chữ số 5

Trong các số trên, những số chia hết cho 5 là những số có chữ số

6 A A 33600 số không chia hết cho 5

Ví dụ 15 Cho tập A 0;1;2;3;4;5;6 Từ tập A có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5?

Giải Gọi số cần tìm có dạng abcde, với a b c d e A , , , , và

a b c d e

Ta xét hai trường hợp cụ thể sau:

Trường hợp 1 Nếu a 5 thì có 1 cách lựa chọn chữ số a Khi đó, mỗi

bộ số b c d e , , , tương ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử của tập hợp A \ 5 Như vậy, có 4

6

1.A số

Trường hợp 2 Nếu 5 b c d e , , , thì có 4 cách lựa chọn cho vị trí của chữ số 5 Khi đó, chữ số a chỉ có thể chọn chữ số t là một trong năm chữ số thuộc tập A \ 0;5 Và mỗi bộ số dành cho ba vị trí còn lại tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử của tập hợp A \ 5; t Như vậy, có 3

5

4.5.A số Vậy số các số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có chữ số 5 hình thành

từ tập A là: 4 3

1 A 4.5 A 1560 số