10. Cấu trúc luận văn
2.4.1. Một số phương pháp giải các bài toán tổ hợp nâng cao
2.4.1.1. Quy tắc cộng mở rộng
Một cách tổng quát, bản chất toán học của quy tắc cộng (phát biểu cho công việc với n phương án) là công thức tính số phần tử của hợp n tập hợp hữu hạn đôi một không giao nhau.
Quy tắc cộng cho nhiều tập hợp đôi một không giao nhau được phát biểu như sau:
Cho n tập hợp A A1, ,...,2 An đôi một không giao nhau. Khi đó
1 2 ... n 1 2 ... n
A A A A A A
Trong nhiều bài toán tổ hợp, chúng ta phải tính số phần tử của hợp hai tập hợp bất kì (có thể không rời nhau). Khi đó, ta có quy tắc cộng cho hai tập hợp bất kì như sau:
Định lí 1. Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì. Khi đó, ta có:
A B A B A B
Ví dụ 63. Một lớp học có 25 học sinh học khá môn Toán, 24 học sinh
học khá môn Ngữ văn, 10 học sinh học khá cả môn Toán và môn Ngữ văn và 3 học sinh không học khá cả môn Toán lẫn môn Ngữ văn. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh?
Giải. Gọi A là tập hợp các học sinh học khá môn Toán, B là tập hợp các học sinh học khá môn Ngữ văn. Theo đề bài ta có:
25
A , B 24, A B 10
Khi đó A B là tập hợp các học sinh học khá môn Toán hoặc môn Ngữ văn. Theo định lí 1 ta có:
25 24 10 39
Do đó lớp học có 30 3 42 học sinh.
Quy tắc cộng cho ba tập hợp bất kì được cho bởi định lí sau:
Định lí 2. Cho A, B, C là ba tập hợp bất kì, ta luôn có:
A B C A B C A B B C C A A B C
Ví dụ 64. Trong kì thi Đại học vừa qua trong số các thí sinh dự thi vào
trường ĐHSP ở khối A có 51 em đạt điểm giỏi môn Toán, 73 em đạt điểm giỏi môn Vật lí, 64 em đạt điểm giỏi môn Hóa học; 32 em đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật lí, 45 em đạt điểm giỏi cả hai môn Vật lí và Hóa học, 21 em đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa học và 10 em đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật lí, Hóa học. Có 767 em cả ba môn đều không có môn nào đạt điểm giỏi. Hỏi có bao nhiêu thí sinh dự thi vào trường ĐHSP ở khối A?
Giải. Kí hiệu A, B, C tương ứng là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi môn Toán, Vật lí và Hóa học. Theo đề bài ta có:
51, 73 , 64, 32, 45, 21, 10
A B C A B B C C A A B C
Khi đó A B C là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn Toán, Vật lí và Hóa học. Theo định lí 2 ta có:
51 73 64 32 45 21 10 100
A B C A B C A B B C C A A B C
Vậy số thí sinh dự thi vào trường ĐHSP ở khối A là 100 767 867.
Bằng cách tương tự, học sinh có thể tự thiết lập quy tắc cộng cho bốn tập hợp bằng cách dựa vào quy tắc cộng cho ba tập hợp.
Bài tập vận dụng
Bài 85. Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 1000 mà chia
hết cho 3 hoặc chia hết cho 5?
Bài 86. Trong một khu phố gồm 53 hộ. Thống kê cho thấy có 30 hộ đặt
mua báo A, 18 hộ đặt mua báo B và 26 hộ đặt mua báo C. Có 9 hộ đặt mua báo A và B, 16 hộ đặt mua báo A và C, 8 hộ đặt mua báo B và C. Có 47 hộ có đặt mua ít nhất một tờ báo. Hỏi:
a) Có bao nhiêu hộ không mua tờ báo nào? b) Có bao nhiêu hộ mua cả ba tờ báo?
c) Có bao nhiêu hộ mua báo A và B nhưng không mua báo C? d) Có bao nhiêu hộ chỉ mua báo A mà không mua báo B và C?
2.4.1.2. Quy tắc nhân mở rộng
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn liên tiếp. Giả sử công đoạn đầu có thể tiến hành theo n cách: a a1, ,...,2 an và công đoạn thứ hai có thể tiến hành theo m cách b b1, ,...,2 bm. Như vậy việc thực hiện công việc được mô tả bởi cặp a bi, j với i 1,2,...,n và j 1,2,...,m. Do đó, tập hợp tất cả các cách thực hiện công việc được mô tả bởi tập hợp tất cả các cặp
,
i j
a b i 1,2,..., ;n j 1,2,...,m .
Nếu kí hiệu A a a1, ,...,2 an , B b b1, ,...,2 bm thì tập hợp tất cả các cặp a bi, j i 1,2,..., ;n j 1,2,...,m được gọi là tích Đề-các của hai tập hợp A và B và được kí hiệu là A B.
Như vậy, bản chất toán học của quy tắc nhân là: Số phần tử của tích Đề-các A B của hai tập hữu hạn A và B bằng số phần tử của A nhân với số phần tử của B.
.
A B A B
Một cách tổng quát, bản chất toán học của quy tắc nhân (phát biểu cho công việc với nhiều công đoạn) là công thức tính số phần tử của tích Đề-các của nhiều tập hợp.
Cho k tập hợp A A1, ,...,2 Ak. Tập hợp tất cả các cặp a a1, ,...,2 ak với
i i
a A i 1,2,...,k được gọi là tích Đề-các của k tập hợp A A1, ,...,2 Ak và kí hiệu là A A1 2 ... Ak. Ta có quy tắc nhân như sau:
1 2 ... k 1. 2 ... k
Ví dụ 65. Cho A a b c, , , B x y, , C 0;1 . Khi đó các phần tử của tích Đề-các A B C là , ,0 ; , ,1 ; , ,0 ; , ,1 ; , ,0 ; , ,1 ; , ,0 ; , ,1 ; , ,0 ; , ,1 ; , ,0 ; , ,1 A B C a x a x a y a y b x b x b y b y c x c x c y c y Số phần tử của A B C là 3.2.2 12.
2.4.1.3. Thiết kế các công đoạn thích hợp
Để áp dụng quy tắc nhân, điều cốt yếu là phải thiết kế một mô hình gồm việc thực hiện liên tiếp các công đoạn. Số cách thực hiện ở mỗi công đoạn phải không phụ thuộc vào cách nào đã được thực hiện ở công đoạn trước đó. Do đó, muôn sử dụng được quy tắc nhân, mô hình của ta bao gồm việc thực hiện liên tiếp các công đoạn và số cách thực hiện ở mỗi công đoạn phải như nhau với mọi cách đã được thực hiện ở công đoạn trước đó.
Ví dụ 66. Có bốn người A, B, C, D cần chọn ba người vào chức Giám
đốc, Kế toán trưởng và Chủ tịch hội đồng quản trị (HĐQT). Giả sử việc chọn nhân sự phải thỏa mãn yêu cầu: ông A không thể được chọn làm Giám đốc, chức chủ tịch HĐQT phải là ông C hoặc ông D. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải. Việc chọn ba vị trí Giám đốc, Kế toán trưởng và Chủ tịch HĐQT tiến hành theo 3 công đoạn:
Công đoạn 1. Chọn Giám đốc: có 3 cách chọn (chọn B, C, D).
Công đoạn 2. Chọn Kế toán trưởng: có 3 cách chọn Kế toán trưởng từ ba người còn lại.
Công đoạn 3. Chọn Chủ tịch HĐQT: có 2 cách chọn (ông C hoặc ông D). Theo quy tắc nhân thì số cách là 3.3.2 18.
Ta dễ dàng nhận thấy cách giải này không đúng vì số cách thực hiện công đoạn 3 phụ thuộc vào kết quả của các công đoạn 1 và công đoạn 2 trước đó. Nếu ở các công đoạn trước, ông C và ông D không được chọn thì công đoạn 3 mới có hai cách chọn, còn nếu ông C hoặc ông D đã được chọn thì ở công đoạn 3 chỉ có một cách chọn hoặc thậm chí không có.
Tuy nhiên, nếu việc chọn ba vị trí Giám đốc, Kế toán trưởng và Chủ tịch HĐQT được tiến hành theo 3 công đoạn khác thì vẫn có thể áp dụng quy tắc nhân. Cụ thể như sau:
Công đoạn 1. Chọn Chủ tịch HĐQT: luôn có hai cách chọn ông C hoặc ông D.
Công đoạn 2. Chọn Giám đốc: luôn có hai cách chọn dù ở kết quả của công đoạn 1 thế nào. Sau công đoạn 1 còn ba người, trong đó có ông A. Bỏ ông A ra thì còn hai người có thể chọn vào chức Giám đốc.
Công đoạn 3. Chọn Kế toán trưởng: luôn có hai cách (từ hai người còn lại). Vậy kết quả có 2.2.2 8 cách chọn. Và đây mới là đáp số đúng.
Ví dụ 67. a) Giả sử có 8 vận động viên bóng bàn tham dự một giải đấu.
Trong vòng đầu của giải, ban tổ chức cần phân ra 4 cặp đấu. Hỏi có bao nhiêu cách ghép thành 4 cặp đấu?
b) Giả sử có 2n vận động viên bóng bàn tham dự một giải đấu. Trong vòng đầu của giải, ban tổ chức cần phân ra n cặp đấu. Hỏi có bao nhiêu cách ghép thành n cặp đấu?
c) Từ b) chứng tỏ rằng với mỗi n *, ta có n 1 n 2 ... 2n 1 2n chia hết cho 2n.
Giải. a) Ta thiết kế việc chọn theo các công đoạn sau:
Công đoạn 1. Chọn 2 người trong 8 người làm thành cặp đấu thứ nhất:
có 2
8
C cách chọn.
Công đoạn 2. Chọn 2 người trong 6 người còn lại để làm thành cặp đấu thứ hai: có 2
6
C cách chọn.
Công đoạn 3. Chọn 2 người trong 4 người còn lại để làm thành cặp đấu thứ ba: có 2
4
C cách chọn.
Công đoạn 4. Có 2
2 1
Theo quy tắc nhân có 2 8 C . 2 6 C . 2 4 C . 2 2 C cách chọn. Vì thứ tự 4 cặp đấu không được xét đến nên số cách ghép thành 4 cặp đấu là
2 2 2 2 8. . .6 4 2 105 4! C C C C . b) Lập luận tương tự như trên, số cách ghép thành n cặp đấu là
2 2 2 2 2 . 2 2... .4 2 ! n n C C C C T n c) Dễ dàng biến đổi 2 ! 1 2 ... 2 1 2 !2n 2n n n n n n T n .
Vì T là một số nguyên dương nên công thức này chứng tỏ tích 1 2 ... 2 1 2
n n n n chia hết cho 2n.
2.4.1.4. Sử dụng suy luận tổ hợp để chứng minh các hằng đẳng thức tổ hợp
Trong sách giáo khoa có nêu hai hằng đẳng thức cơ bản của tổ hợp là:
k n k n n C C (*) 1 1 k k k n n n C C C (**) Trong đó k là số nguyên dương và 1 k n.
Và cũng trong sách giáo khoa đã chứng minh các hằng đẳng thức (*) và (**) nhờ công thức tính k
n
C và các biến đổi đại số. Tuy nhiên có nhiều hằng đẳng thức tổ hợp có thể chứng minh bằng cách suy luận tổ hợp mà không cần phải thực hiện một phép biến đổi đại số nào. Ta minh họa phương pháp này bằng các ví dụ sau:
Ví dụ 68. Chứng minh các hằng đẳng thức (*) và (**) bằng suy luận tổ hợp.
Giải. a) Xét tập A có n phần tử. Nhận xét rằng nếu tập con M của A có k
phần tử thì phần bù của M trong A có n k phần tử và ngược lại. Do đó số các tập con có k phần tử của A bằng số các tập con có n k phần tử của A. Mặt khác, số các tập con có k phần tử của A bằng k n C , số các tập con có n k phần tử của A bằng n k n C . Do đó ta có k n k n n C C .
b) Nếu k 1 thì (**) hiển nhiên đúng vì 1 1 1 n C n , 1 n C n, Cn0 1. Xét k 1. Xét tập A a a1, ,..., ,2 a an n 1 có n 1 phần tử và các tập con
M của A có k phần tử. Mỗi tập con M của A có k phần tử được chia thành hai loại: Loại 1: gồm các tập M không chứa an 1.
Loại 2: gồm các tập M chứa an 1.
Các tập thuộc loại 1 chính là các tập con k phần tử của tập
1, ,...,2 n
B a a a . Do đó số các tập loại 1 là k n
C . Mỗi tập loại 2, khi lấy đi phần tử an 1, cho ta một tập con k 1 phần tử của B. Ngược lại, mỗi tập con
1
k phần tử của B khi bổ sung thêm phần tử an 1 sẽ cho ta một tập loại 2. Như vậy số tập loại 2 bằng số các tập con có k 1 phần tử của B tức là bằng
1
k n
C . Vậy số các tập con M của A có k phần tử là k k 1
n n C C . Mặt khác, số các tập con M của A có k phần tử là k1 n C . Do đó ta có 1 1 k k k n n n C C C . Ví dụ 69. Chứng minh hằng đẳng thức 2 2 2 2n 2 n C C n . a) Bằng biến đổi đại số.
b) Bằng suy luận tổ hợp. Giải. a) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 n n n n C n n n n n n C .
b) Xét hai tập B và C không giao nhau, mỗi tập gồm n phần tử. Đặt
A B C. Để chọn ra hai phần tử của A ta có thể thực hiện theo một trong ba phương án sau:
+) Phương án 1: Chọn hai phần tử của B. Phương án này có thể thực hiện theo 2
n
C cách.
+) Phương án 2: Chọn hai phần tử của C. Phương án này có thể thực hiện theo 2
n
C cách.
+) Phương án 3: Gồm hai công đoạn là chọn một phần tử của B (có n
cách chọn) rồi chọn tiếp một phần tử của C (có n cách chọn). Theo quy tắc nhân, phương án 3 có n n n. 2 cách thực hiện.
Theo quy tắc cộng ta có Cn2 Cn2 n2 2Cn2 n2 cách chọn hai phần tử của A. Mặt khác, số cách chọn hai phần tử của của A là 2
2n C . Vậy ta có: 2 2 2 2n 2 n C C n Bài tập vận dụng
Bài 87. Chứng minh công thức khai triển nhị thức Newton bằng suy
luận tổ hợp.
Bài 88. Cho m, n và r là các số nguyên dương sao cho r m r n, . Chứng minh rằng: 0 r k r k r n m m n k C C C .
Bài 89. Cho n, r là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:
1 0 r k r n k n r k C C . a) Bằng cách suy luận tổ hợp.
b) Bằng cách dùng hằng đẳng thức Pascal và phương pháp quy nạp toán học.