10. Cấu trúc luận văn
2.2.6. Kỹ năng tính toán tổ hợp lặp
Định nghĩa. Cho tập hợp A a a1, ,...,2 an . Một tổ hợp lặp chập k (k
không nhất thiết phải nhỏ hơn n) của n phần tử thuộc A là một bộ gồm k
phần tử, mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A. Kí hiệu số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là: k
n
C .
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử được tính bởi công thức:
1 1 ! ! 1 ! k k n n k n k C C k n Cách áp dụng. Ta thường sử dụng tổ hợp lặp khi cần chọn k phần tử có lặp và không phân biệt thứ tự từ n phần tử, từ n loại đồ vật, số lượng mỗi loại không hạn chế, chọn ra k phần tử, k vật; khi phải tính số các dãy k phần tử có lặp bảo tồn thứ tự của tập hợp n phần tử.
Ví dụ minh họa.
Ví dụ 36. Có 4 loại bút chì khác nhau về màu sắc: xanh, đen, tím, đỏ
Giải. Ký hiệu mỗi cái bút lấy ra là dấu “ ”, và ký hiệu phân chia các loại bút là dấu “ ”, số lượng mỗi loại được kể theo thứ tự: xanh, đen, tím, đỏ. Chẳng hạn: chỉ kết quả lấy 2 bút xanh, 1 bút đen, 1 bút tím, 2 bút đỏ.
chỉ kết quả lấy 1 bút xanh, 3 bút đen, 0 bút tím, 2 bút đỏ. Như vậy, ta có 6 ký hiệu “ ” (là k 6 bút) và 3 ký hiệu “ ” (do n 4 loại bút nên có n 1 3 vị trí phân chia), tức là có tất cả n k 1 6 3 9 vị trí:
Mỗi kết quả nhận được là một cách chọn từ 9 vị trí đó ra 6 vị trí cho dấu “ ”, các vị trí còn lại cho dấu “ ”, như vậy số cách chọn bút là:
6 3 9 9 84
C C cách chọn.
Chú ý: mỗi cách chọn 6 bút (không phân biệt thứ tự và có thể giống nhau) từ 4 loại bút là một tổ hợp lặp chập 6 của 4, do đó có
6 6 6
4 4 6 1 9 84
C C C .
Ví dụ 37. Tính số các số có năm chữ số có thứ tự không giảm và không
có chữ số 0 và chữ số 9?
Giải. Xét tập hợp A 1;2;3;4;5;6;7;8 . Số cách chọn từ đó ra năm chữ số (không phân biệt thứ tự và có thể giống nhau) từ A là:
5 5 5
8 8 5 1 12 792
C C C . Chẳng hạn chọn được 1,2,5,5,8 . Khi đó với mỗi kết
quả trên chỉ có duy nhất một cách sắp xếp thành số có năm chữ số có thứ tự không giảm. Vậy số các số cần tìm là 792 số.
Ví dụ 38. Giả sử có 4 loại bóng màu: xanh, đỏ, tím, vàng với số lượng
mỗi loại không hạn chế. Hai bộ bóng được xem là khác nhau, nếu có ít nhất một màu với số lượng thuộc hai bộ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra các bộ 6 (quả bóng) khác nhau?
Giải. Vì trong mỗi bộ sáu có thể có các quả bóng cùng màu và không phân biệt thứ tự chọn, nên số cách chọn khác nhau bằng số tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần tử (tập hợp bóng cùng màu được coi là một phần tử) và được tính
bằng công thức: 6 4
4 4 6 1 84
C C .
Ví dụ 39. Tiền giấy của Ngân hàng Quốc gia Việt Nam lưu hành phổ
biến trên thị trường có 10 loại: 200đ, 500đ, 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10000đ, 20000đ, 50000đ, 100000đ và 500000đ. Hãy xác định số bộ khác nhau gồm 15 tờ giấy bạc của Ngân hàng Quốc gia Việt Nam.
Giải. Mỗi bộ gồm 15 tờ giấy bạc thuộc không quá 10 loại, nên có những tờ giấy bạc cùng loại. Mặt khác trong mỗi bộ không quan tâm đến thứ tự sắp xếp, nên số bộ giấy bạc khác nhau gồm 15 tờ sẽ bằng số tổ hợp lặp
chập 15 của 10 (loại), tức bằng 15 15 15 10 10 15 1 24 24! 1307504 15!.9! C C C . Bài tập vận dụng.
Bài 44. a) Tính số các số tự nhiên có 20 chữ số, trong đó không có mặt
chữ số 0 và các chữ số trong mỗi số được xếp theo thứ tự không giảm.
b) Tính số các số tự nhiên có 20 chữ số, trong đó không có mặt chữ số 0 và có mặt đủ chín chữ số còn lại sao cho các chữ số trong mỗi số được xếp theo thứ tự không giảm.
Bài 45. a) Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo giống nhau cho k em bé? b) Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo giống nhau cho k em bé sao cho mỗi em bé có ít nhất một cái kẹo?
Bài 46. Cho trước các số tự nhiên n và k. Hãy tính số các ánh xạ : 1;2;...;
f n sao cho f 1 f 2 ... f n k cho trước.