10. Cấu trúc luận văn
2.2.5.Kỹ năng tính toán tổ hợp không lặp
Định nghĩa. Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k
0 k n phần tử thuộc A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là: k n
C .
Số tổ hợp chập k của n phần tử được tính bởi công thức: ! ! ! k n n C k n k .
Cách áp dụng. Một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n
phần tử thường được nhận dạng dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Không có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Ví dụ minh họa.
Trước hết, ta xét một ví dụ đơn giản mà ta dễ dàng nhận thấy việc sử dụng tổ hợp bởi cả hai dấu hiệu đặc trưng đều được thể hiện rất rõ.
Ví dụ 32. Có bao nhiêu cách chọn 5 trong 8 cầu thủ của một đội cầu
lông để đi thi đấu?
Giải. Mỗi cách chọn 5 trong 8 cầu thủ tương ứng với một tổ hợp chập 5 của 8 phần tử.
Vậy số cách chọn là 5
8 56
C cách.
Sau đây ta xét một số ví dụ mà khi giải học sinh có thể mắc sai lầm “xét thiếu trường hợp”.
Ví dụ 33. Ông Xuân có 12 người bạn. Ông ta muốn mời 5 người trong
số 11 người bạn đó đi chơi xa. Trong 11 người bạn đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông Xuân có bao nhiêu cách mời?
Giải. Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1. Ông Xuân chỉ mời 1 trong 2 người không muốn gặp mặt nhau và mời thêm 4 người trong số 10 người còn lại. Khi đó, ta có
4 10
2.C 420 cách mời.
Trường hợp 2. Ông Xuân không mời ai trong 2 người không muốn gặp mặt nhau mà chỉ mời 5 trong số 10 người bạn còn lại. Khi đó, ta có 5
10 252
C
cách mời.
Vậy ông Xuân có tất cả 420 252 672 cách mời 5 người bạn đi chơi xa.
Ví dụ 34. Trong một trường có 4 học sinh giỏi lớp 12, 3 học sinh giỏi
lớp 11 và 5 học sinh giỏi lớp 10. Cần chọn ra 5 học sinh giỏi để tham gia thi “Đố vui để học” nhân ngày Nhà giáo Việt Nam 20-11 sao cho khối 12 có ít nhất 2 học sinh và mỗi khối 10, 11 có ít nhất 1 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải. Gọi số học sinh được chọn của các khối 12, 11, 10 tương ứng là , , (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a b c. Xét các trường hợp xảy ra sau đây:
Trường hợp 1. Nếu a 3;b 1;c 1 thì chọn 3 học sinh giỏi khối 12 có
3
sinh giỏi khối 10 có 1 5
C cách chọn. Như vậy, trong trường hợp này có
3 1 1
4. .3 5 60
C C C cách chọn.
Trường hợp 2. Nếu a 2;b 2;c 1 thì chọn 3 học sinh giỏi khối 12 có
2 4
C cách chọn, chọn 1 học sinh giỏi khối 11 có 2 3
C cách chọn và chọn 1 học sinh giỏi khối 10 có 1
5
C cách chọn. Như vậy, trong trường hợp này có
2 2 1
4. .3 5 90
C C C cách chọn.
Trường hợp 3. Nếu a 2;b 1;c 2 thì chọn 3 học sinh giỏi khối 12 có
2 4
C cách chọn, chọn 1 học sinh giỏi khối 11 có 1 3
C cách chọn và chọn 1 học sinh giỏi khối 10 có 2
5
C cách chọn. Như vậy, trong trường hợp này có
2 1 2
4. .3 5 180
C C C cách chọn.
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là 60 90 180 330 cách.
Ví dụ 35. Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a
ta chọn 10 điểm phân biệt và trên đường thẳng b ta chọn 11 điểm phân biệt. a) Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng a và b?
b) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng a và b? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giải.
a) Để có một hình thang thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta phải chọn trên mỗi đường thẳng 2 điểm tùy ý.
- Mỗi cách chọn 2 điểm trên đường thẳng a tương ứng là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Do đó, có 2
10
C cách chọn 2 điểm trên đường thẳng a. - Mỗi cách chọn 2 điểm trên đường thẳng b tương ứng là một tổ hợp chập 2 của 11 phần tử. Do đó, có 2
11
C cách chọn 2 điểm trên đường thẳng b. Như vậy, có tất cả 2 2
10. 11 2475
Vậy có tất cả 2475 hình thang được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng a và b.
b) Có 2 trường hợp để có một tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán như là:
Trường hợp 1. Chọn 1 điểm trên đường thẳng a và 2 điểm trên đường thẳng b. Mỗi cách chọn 1 điểm trên đường thẳng a tương ứng là một chỉnh hợp chập 1 của 10 phần tử và mỗi cách chọn 2 điểm trên đường thẳng b tương ứng là một chỉnh hợp chập 2 của 11 phần tử. Do đó, có 1 2
10. 11 550
C C cách.
Trường hợp 2. Chọn 2 điểm trên đường thẳng a và 1 điểm trên đường thẳng b. Mỗi cách chọn 2 điểm trên đường thẳng a tương ứng là một chỉnh hợp chập 1 của 10 phần tử và mỗi cách chọn 1 điểm trên đường thẳng b tương ứng là một chỉnh hợp chập 2 của 11 phần tử. Do đó, có 2 1
10. 11 495
C C cách.
Vậy có tất cả 550 495 1045 hình tam giác được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng a và b.
Bài tập vận dụng.
Bài 38. Tại một cuộc họp của tổ chức Apec tại Hà Nội vào tháng 12
năm 2006 có 21 đại biểu là thành viên của các nước. Trước khi họp, các đại biểu chào hỏi và bắt tay nhau, mỗi đại biểu bắt tay một đại biểu khác một lần. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?
Bài 39. Có bao nhiêu cách chia một lớp 40 học sinh thành 4 tổ, sao cho
mỗi tổ có đúng 10 học sinh?
Bài 40. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên
chủ nhiệm cần chọn ra 6 học sinh để tham gia trồng cây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Không phân biệt nam, nữ?
b) Có ít nhất 4 học sinh nam và 1 học sinh nữ? c) Có nhiều nhất 2 học sinh nữ?
Bài 41. Cho 15 điểm nằm trên một mặt phẳng trong đó có 5 điểm nằm
trên một đường thẳng, ngoài ra không có bất cứ 3 điểm nào khác thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho?
Bài 42. Một cái hộp đựng 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ. Hỏi có bao
nhiêu cách lấy ra 4 quả cầu nếu: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a) Không phân biệt quả cầu trắng và quả cầu đỏ? b) Lấy ra được đúng 2 quả cầu đỏ?
c) Lấy ra được nhiều nhất 2 quả cầu đỏ? d) Lấy ra được ít nhất 2 quả cầu đỏ?
Bài 43. Một tập hợp gồm 8 đường thẳng song song cắt một tập hợp
gồm có n đường thẳng song song tạo ra 420 hình bình hành. Tìm n.