10. Cấu trúc luận văn
2.2.4. Kỹ năng giải các bài toán hoán vị
Định nghĩa. Cho tập hợp A có n n 1 phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A.
Nếu các phần tử được sắp xếp trên một đường tròn thì ta có hoán vị vòng quanh của n phần tử. Đối với hoán vị vòng quanh, hai cách xếp trùng nhau qua phép quay được coi là một.
Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là: Pn.
số hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn. Số hoán vị của n phần tử được tính bởi công thức:
! 1 ...3.2.1
n
P n n n
Số hoán vị vòng quanh của n phần tử được tình bởi công thức: 1 !
n
Cách áp dụng. Một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử thường được nhận dạng dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:
- Tất cả n phần tử đều có mặt.
- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
Ví dụ minh họa.
Trước hết, ta xét các ví dụ hoán vị không lặp như sau:
Ví dụ 23. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
Giải. Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần lập tương ứng là một hoán vị của 5 phần tử. Do đó, số các số có thể lập bằng số hoán vị của 5 phần tử.
Vậy số các số lập được là P5 5! 120 số. Ví dụ 24. Cho tập A 1;2;3;4;5;6;7 . Hỏi:
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau hình thành từ tập A? b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau hình thành từ tập
A, trong đó các số 3; 4; 5 đứng cạnh nhau?
c) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau hình thành từ tập
A và bắt đầu bằng 123?
Giải.
a) Mỗi số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau hình thành từ tập A tương ứng với một hoán vị của 7 phần tử của tập A.
Vậy số các số cần tìm là P7 7! 5040 số. b) Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1. Các số 3; 4; 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự đó.
Giả sử 3; 4; 5 là bộ ba số 3; 4; 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự đó. Mỗi số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau hình thành từ tập A, trong đó các chữ số 3; 4; 5 đứng cạnh nhau (theo thứ tự đó) tương ứng với một hoán vị của 5 phần tử của tập B 1;2; ;6;7
Như vậy số các số cần tìm là P5 5! 120 số.
Trường hợp 2. Các số 3; 4; 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự bất kỳ.
Giả sử 3; 4; 5 là bộ ba số 3; 4; 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự bất kỳ.
Mỗi bộ số 3; 4; 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự bất kỳ tương ứng là một hoán vị của 3 phần tử.
Mỗi số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau hình thành từ tập A, trong đó các chữ số 3; 4; 5 đứng cạnh nhau (theo thứ tự bất kỳ) tương ứng với một hoán vị của 5 phần tử của tập B 1;2; ;6;7
Như vậy số các số cần tìm là 3!.P5 3!.5! 720 số.
Vậy số các số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau hình thành từ tập A, trong đó các chữ số 3; 4; 5 đứng cạnh nhau là 120 720 840 số.
c) Mỗi hoán vị gồm 7 chữ số khác nhau hình thành từ tập A và bắt đầu bằng 123 tương ứng là một hoán vị của 4 phần tử của tập hợp 4;5;6;7 .
Vậy số các số cần tìm là P4 4! 24 số.
Tuy nhiên, trong một số bài toán hoán vị không lặp xuất hiện dạng toán tính tổng các hoán vị. Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 25. Cho tập A 1;2;3;4;5 .
a) Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau hình thành từ tập A?
b) Trong những số tìm được ở câu a) có bao nhiêu số chẵn? c) Tính tổng những số tìm được ở câu a).
Giải.
a) Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được hình thành từ tập A
tương ứng là một hoán vị của 5 phần tử của tập A. Vậy số các số cần tìm là P5 5! 120 số.
b) Gọi các số tự nhiên chẵn cần tìm có dạng abcde, với e 2;4 ; , , ,
a b c d A và a b c d e.
- Vì e 2;4 nên có 2 cách chọn chữ số e.
- Mỗi bộ số a b c d, , , được thành lập từ các chữ số còn lại thuộc tập \
A e tương ứng là mộ hoán vị của 4 phần tử. Vậy có tất cả 2.P4 48 số chẵn cần tìm.
c) Ta tính tổng của 120 số tự nhiên tìm được ở ý a).
Chia 120 số tự nhiên đó thành 60 cặp, mỗi cặp gồm 2 số tự nhiên x x; ' có dạng x abcde và x' a b c d e' ' ' ' ' sao cho
' ' ' ' ' 6
a a b b c c d d e e
Nói cách khác đối với số bất kỳ abcde luôn tồn tại số a b c d e' ' ' ' ' sao cho abcde a b c d e' ' ' ' ' 66666 (ví dụ như x 12345 thì luôn tồn tại
' 54321
x ).
Vì có 60 cặp số x x; ' như trên, mà x x' 66666 nên tổng các số tìm được là 60.66666 3999960.
Vậy tổng các số tìm được ở câu a) bằng 3999960.
Trong lời giải ở ý c) của ví dụ trên, ta sử dụng tương ứng 1 – 1 để tạo ra các cặp số có tổng không đổi, từ đó tính được tổng các hoán vị.
Ví dụ 26. Cho tập A 3;4;5;6;7 .
a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? b) Tính tổng của các số tìm được ở ý a).
Giải.
a) Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được hình thành từ tập A
tương ứng là một hoán vị của 5 phần tử của tập A. Vậy số các số cần tìm là P5 5! 120 số.
Chia 120 số tự nhiên đó thành 60 cặp, mỗi cặp gồm 2 số tự nhiên x x; ' có dạng x abcde và x' a b c d e' ' ' ' ' sao cho
' ' ' ' ' 10
a a b b c c d d e e
Nói cách khác đối với số bất kỳ abcde luôn tồn tại số a b c d e' ' ' ' ' sao cho abcde a b c d e' ' ' ' ' 111110 (ví dụ như x 34567 thì luôn tồn tại
' 76543
x ).
Vì có 60 cặp số x x; ' như trên, mà x x' 111110 nên tổng các số tìm được là 60.111110 6666600.
Vậy tổng các số tìm được ở câu a) bằng 6666600.
Sau đây, ta xét các ví dụ hoán vị vòng quanh. Đầu tiên ta xét ví dụ dẫn dắt sau:
Ví dụ 27. Mời sáu người khách ngồi xung quanh một bàn tròn. Liệu có
bao nhiêu cách sắp xếp?
Giải. Nếu mời một người nào đó ngồi vào một ví trí bất kỳ thì mỗi cách sắp xếp năm người còn lại vào 5 vị trí dành cho họ tương ứng là một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có tất cả 5! 120 cách sắp xếp sáu người ngồi xung quanh một bàn tròn.
Ví dụ 28. Một hội nghị bàn tròn có năm nước tham gia: Anh có 3 đại
biểu, Pháp có 5 đại biểu, Đức có 2 đại biểu, Nhật có 3 đại biểu và Mỹ có 4 đại biểu. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi vị đại biểu sao cho 2 người cùng quốc tịch đều ngồi cạnh nhau?
Giải. Đầu tiên sắp xếp khu vực cho đại biểu từng nước. Mời bất kỳ phái đoàn nào ngồi vào chỗ trước. Khi đó, mỗi cách sắp xếp bốn phái đoàn còn lại vào chỗ ngồi tương ứng là một hoán vị của 4 phần tử.
Đối với mỗi cách sắp xếp của từng phái đoàn ta có:
- Có 3! cách sắp xếp các đại biểu trong nội bộ phái đoàn Anh. - Có 5! cách sắp xếp các đại biểu trong nội bộ phái đoàn Pháp.
- Có 2! cách sắp xếp các đại biểu trong nội bộ phái đoàn Đức. - Có 3! cách sắp xếp các đại biểu trong nội bộ phái đoàn Nhật. - Có 4! cách sắp xếp các đại biểu trong nội bộ phái đoàn Mỹ.
Vậy số cách sắp xếp chỗ ngồi cho tất cả các đại biểu để những người cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau là 1.4!.3!.5!.2!.3!.4! 4976640.
Ví dụ 29. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 nam: A A A A A1; ; ; ;2 3 4 5 và 3 nữ:
1; ;2 3
B B B ngồi xung quanh một bàn tròn nếu: a) Không có điều kiện gì?
b) Nam A1 không ngồi cạnh nữ B1? c) Nữ không ngồi cạnh nhau?
Giải.
a) Mỗi cách sắp xếp 5 nam và 3 nữ ngồi xung quanh một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 8 phần tử.
Vậy có tất cả Q8 7! 5040 cách sắp xếp. b)
Bên cạnh các bài toán hoán vị không lặp và hoán vị vòng quanh, còn có các bài toán hoán vị lặp. Trước hết, ta xét ví dụ dẫn dắt sau:
Ví dụ 30. Với các chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số gồm chín chữ số, trong đó mỗi chữ số 0;1;2;3 xuất hiện đúng một lần, chữ số 4 xuất hiện đúng hai lần và chữ số 5 xuất hiện đúng ba lần?
Giải. Xét một số tùy ý x 140525345 và kí hiệu các vị trí của x một cách hình thức như sau: x a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9.
Khi đó, mỗi số x tương ứng với một hoán vị của 9 phần tử
1; ; ; ; ; ; ; ;2 3 4 5 6 7 8 9
a a a a a a a a a .
Số các hoán vị khác nhau của 9 phần tử ai 1 i 9 là 9!, nhưng do
2 8 4
vẫn chỉ cho ta số x. Tương tự, khi ta đổi chỗ hai trong ba phần tử a a a4; ;6 9 cho nhau ta cũng chỉ thu được số x.
Như vậy, khi thực hiện 2! hoán vị a a2; 8 và 3! hoán vị a a a4; ;6 9 ta chỉ được một số cần tìm x.
Vậy số các số có thể lập được là 9! 30240
2!.3! số.
Qua bài toán trên ta có thể phát biểu như sau: “Hoán vị lặp là hoán vị mà trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần”.
Số hoán vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loại i
1 i k xuất hiện ni lần được kí hiệu là P n n1, ,...,2 nk và được tính bằng công thức 1 2 1 2 ! , ,..., ! !... ! k k n P n n n n n n Tiếp theo, ta xét thêm một ví dụ về hoán vị lặp:
Ví dụ 31. Với sáu chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số chia hết cho 5 gồm 11 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 4 lần, chữ số 2 có mặt 3 lần, chữ số 3 có mặt 2 lần, chữ số 4 có mặt 1 lần và tổng số lần xuất hiện của chữ số 0 và chữ số 5 là 1 lần?
Giải. Gọi số cần tìm có dạng x a a a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.
Để số x chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng của x phải là chữ số 0 hoặc chữ số 5.
Vì tổng số lần xuất hiện trong x của chữ số 0 và chữ số 5 bằng 1 lần nên nếu x có chữ số tận cùng là chữ số 0 thì chứ số 5 không có mặt và ngược lại nếu x có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì chữ số 0 không xuất hiện. Do đó,
1 10
i
a i chỉ có thể là một trong những chữ số 1;2;3;4.
Khi đó, số khả năng lập phần đầu đọ dài 10 của số x là
số 1;2;3;4 với chữ số 1 xuất hiện 4 lần, chữ số 2 xuất hiện 3 lần, chữ số 3 xuất hiện 2 lần và chữ số 4 xuất hiện 1 lần, sẽ bằng P 4,3,2,1 .
Ngoài ra, a11 lại có thể nhận giá trị 0 hoặc 5 nên số các số cần tìm là 2 4,3,2,1P . Vậy số các số cần tìm là 2. 4,3,2,1 2. 10! 25200 4!3!2!1! P . Bài tập vận dụng. Hoán vị không lặp Bài 30. Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xét tập hợp E các số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã cho. Chứng minh rằng tổng tất cả các số của tập E chia hết cho 9.
Bài 31. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau, trong đó hai chữ số 1 và 2 khống đứng cạnh nhau?
Bài 32. Có 6 con tem khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Hỏi có
bao nhiêu cách dán 6 con tem lên 6 bì thư đã cho biết rằng một bì thư chỉ dán đúng một con tem?
Bài 33. Cần sắp xếp 3 học sinh nữ và 5 học sinh nam thành một hàng dọc.
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 3 học sinh nữ luôn đứng liền nhau? b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu học sinh đứng đầu hàng là học sinh nữ và học sinh đứng cuối hàng là học sinh nam?
Hoán vị vòng quanh
Bài 34. Có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi xung quanh một bàn tròn,
hai cách ngồi được xem là như nhau nếu cách này có thể nhận được từ cách kia bằng cách quay bàn đi một góc nào đó?
Bài 35. Có 4 nữ sinh là Huệ, Oanh, Lan, Nhã và 4 nam sinh là An,
Bình, Khoa, Hải cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ.
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau nhưng hai bạn Oanh và Khoa không chịu ngồi cạnh nhau?
Hoán vị lặp
Bài 36. Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số mà trong mỗi số thì chữ số 5 xuất hiện đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số xuất hiện đúng 1 lần?
b) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số mà trong mỗi số thì chữ số 2 xuất hiện đúng 3 lần, chữ số 4 xuất hiện đúng 2 lần và các chữ số khác mỗi chữ số xuất hiện đúng 1 lần?
Bài 37. Xếp 3 quyển sách Toán giống nhau, 4 quyển sách Lý giống
nhau và 5 quyển sách Hóa giống nhau vào một kệ sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?