10. Cấu trúc luận văn
2.3.1.Các bài toán cơ bản sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất
Để giải được các bài toán cơ bản sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất thì trước hết ta cần nắm được các khái niệm cơ bản sau đây:
* Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
- Kết quả của nó không đoán trước được.
- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T.
* Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể
xảy ra của phép thử và được kí hiệu bởi chữ .
* Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử
T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A. Khi đó người ta nói biến cố A
Trong cuộc sống hằng ngày, khi nói về biến cố ta thường nói biến cố này nhiều khả năng xảy ra, biến cố kia có ít khả năng xảy ra, biến cố này có nhiều khả năng xảy ra hơn biến cố kia. Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một số không âm, nhỏ hơn hay bằng 1 gọi là xác suất của biến cố đó. Xác suất của biến cố A được kí hiệu là
P A . Nó đo lường khả năng khách quan sự xuất hiện của biến cố A.
Định nghĩa cổ điển của xác suất. Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hữu hạn các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P A , được xác định bởi công
thức P A A , với A và lần lượt là số phần tử của A và .
Trong định nghĩa cổ điển của xác suất, ta cần giả thiết phép thử T có một số hữu hạn các kết quả có thể và các kết quả này là đồng khả năng. Nhưng trongnhiều trường hợp, giả thiết đồng khả năng không được thỏa mãn. Chẳng hạn khi gieo một con súc sắc không cân đối thì các mặt của con súc sắc không có cùng khả năng xuất hiện. Trong trường hợp đó ta sử dụng định nghĩa sau đây gọi là định nghĩa thống kê của xác suất.
Định nghĩa thống kê của xác suất. Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần.
- Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T.
- Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N
lần thực hiện phép thử T.
Để giải các bài toán thuần túy sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất, ta thường tiến hành hai bước sau:
- Xác định không gian mẫu và tính số phần tử của không gian mẫu . - Xét tập hợp A là tập hợp tất cả các khả năng thuận lợi cho biến cố A, rồi tính A . Khi đó, áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất để tính được xác suất của biến cố A.
Như vậy, các bài toán này liên quan chặt chẽ đến các bài toán tổ hợp, hay nói cách khác các bài toán xác suất dựa vào định nghĩa cổ điển của xác suất là một trong những ứng dụng hay dùng của bài toán tổ hợp.
Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa.
Dạng 1. Tính xác suất P A dựa vào cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu và các phần tử của tập A
Ví dụ 48. Với phép thử gieo ba đồng xu phân biệt một lần.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi A là biến cố: “Có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt sấp”. Tìm tập
A mô tả các kết quả của A và tính P A .
c) Gọi B là biến cố: “Có ít nhất hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa”. Tìm tập B mô tả các kết quả của B và tính P B .
Giải. a) Nếu dùng kí hiệu S, N lần lượt chỉ đồng xu xuất hiện mặt sấp và xuất hiện mặt ngửa thì không gian mẫu của phép thử là:
; ; ; ; ; ; ;
SSS SSN SNS SNN NSS NNS NSN NNN (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) Với A là biến cố: “Có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt sấp” thì tập
A mô tả các kết quả của A là : A SSN SNS NSS; ; .
Do đó ta có: 3
8
A
P A .
c) Với B là biến cố: “Có ít nhất hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa” thì tập
B mô tả các kết quả của B là : B SNN NNS NSN NNN; ; ; .
Do đó ta có: 4 1
8 2
B
Ví dụ 49. Gọi T là phép thử “Gieo hai con súc sắc”. a) Mô tả không gian mẫu của T.
b) Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên các mặt xuất hiện của hai súc sắc lớn hơn 8”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P A .
c) Gọi B là biến cố: “Hiệu số chấm trên các mặt xuất hiện của hai súc sắc bé hơn 2”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho B. Tính P B .
Giải. a) Nếu súc sắc thứ nhất hiện ra mặt m chấm và súc sắc thứ hai hiện ra mặt n chấm thì ta gọi cặp m n; là một khả năng xảy ra và đây là một phần tử của không gian mẫu . Do đó, không gian mẫu của T là
, 1 , 6
m n m n . Do đó 36.
b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên các mặt xuất hiện của hai súc sắc lớn hơn 8”. Ta có tập A mô tả các kết quả thuận lợi của A là:
3;6 ; 6;3 ; 4;5 ; 5;4 ; 4;6 ; 6;4 ; 5;5 ; 5;6 ; 6;5 ; 6;6 A Vậy 10 5 36 18 A P A .
c) Gọi B là biến cố “Hiệu số chấm trên các mặt xuất hiện của hai súc sắc bé hơn 2”. Ta có tập B mô tả các kết quả thuận lợi của B là:
1;1 ; 1;2 ; 2;1 ; 2;2 ; 2;3 ; 3;2 ; 3;3 ; 3;4 4;3 ; 4;4 ; 4;5 ; 5;4 ; 5;5 ; 5;6 ; 6;5 ; 6;6 B Vậy 16 4 36 9 B P B .
Dạng 2. Tính xác suất P A dựa vào các quy tắc cộng, quy tắc nhân và dựa vào công thức tính các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Ví dụ 50. Lớp 11A có 25 đoàn viên trong đó có 10 nam và 15 nữ.
b) Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên trong chi đoàn để tham dự hội trại. Tìm xác suất để hai đoàn viên được chọn có một nam và một nữ.
Giải. a) Chọn 1 đoàn viên trong số 25 đoàn viên của lớp thì có 25 cách chọn, suy ra không gian mẫu có 25 phần tử.
Gọi A là biến cố “Chọn một đoàn viên nữ”. Lớp có 15 đoàn viên nữ, chọn 1 đoàn viên nữ thì có 15 cách chọn, suy ra A có 15 phần tử.
Vậy 15 3
25 5
A
P A . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) Chọn ngẫu nhiên 2 đoàn viên trong số 25 đoàn viên của lớp thì có
2
25 300
C cách chọn.
Có 10 đoàn viên nam, chọn 1 đoàn viên nam thì có 1
10 10
C cách chọn.
Gọi B là biến cố “Hai đoàn viên được chọn có 1 nam và 1 nữ” thì số phần tử của tập B là 1 1 10. 15 10.15 150 C C . Vậy 150 1 300 2 B P B .
Ở Ví dụ 50 này thì mỗi ý của bài có một không gian mẫu riêng, học sinh nên tránh nhầm tưởng rằng sử dụng không gian mẫu của ý a) cho ý b).
Ví dụ 51. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau.
Gọi A là biến cố “Số tự nhiên được chọn gồm bốn chữ số 1,2,3,4”. Tính số thuận lợi của A và tính xác suất P A .
Giải. Từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9 để lập một số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau có dạng abcd thì số cách chọn là 9.9.8.7 4536 cách.
Như vậy, không gian mẫu có 4536 phần tử.
Gọi A là biến cố “Số tự nhiên được chọn gồm 4 chữ số khác nhau1, 2, 3, 4”. Ta có tập A mô tả các kết quả thuận lợi của A có 4! 24 phần tử.
Vậy 24 1
4536 89
A
Bài tập vận dụng
Bài 58. Với phép thử gieo hai đồng xu một lần.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa”. Tìm tập A mô tả các kết quả của A và tính P A .
Bài 59. Với phép thử gieo ba đồng xu một lần. Tính xác suất để có ít
nhất hai đồng xu xuất hiện mặt sấp.
Bài 60. Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp
thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề nhau.
Bài 61. Chọn ngẫu nhiên một biển số xe gắn máy cùng một họ Z1, mỗi
biển số có 4 chữ số. Tính xác suất để có biển số có hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số sau giống nhau, biết 4 chữ số đó không hoàn toàn giống nhau.
Bài 62. Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 5 bi đỏ, 3 bi xanh và 2 bi
vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để: a) Cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ.
b) Trong hai bi lấy ra, có một bi xanh và một bi vàng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 63. Trong một buổi họp mặt có 10 sinh viên, trong đó có 5 nam và
5 nữ. Xếp ngẫu nhiên 10 sinh viên ngồi quanh một bàn tròn. Tính xác suất sao cho không có hai nam, hai nữ nào ngồi cạnh nhau.
Bài 64. Trong một cuộc thi tìm hiểu về an toàn giao thông, có 3 lớp 11
có học sinh tham gia dự thi. Lớp A có 8 học sinh, lớp B có 7 học sinh và lớp C có 9 học sinh. Ban tổ chức sẽ trao 3 giải thưởng cho 3 bài dự thi xuất xắc nhất. Tính xác suất để mỗi lớp đều có học sinh đoạt giải.
Bài 65. Trong một lễ sinh nhật các học sinh An, Bình, Xuân, Thu, Cúc
và Hoa muốn chụp hình lưu niệm và đứng ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để hình chụp có hai bạn An và Bình luôn đứng cạnh nhau.
Bài 66. Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 3 nữ. Phân 9 học sinh này về
sinh hoạt hè với 3 nhóm thiếu nhi, mỗi nhóm 3 học sinh. Tìm xác suất để mỗi nhóm thiếu nhi có một học sinh nữ.