10. Cấu trúc luận văn
2.2.3. Kỹ năng sử dụng công thức chỉnh hợp lặp
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k phần tử của tập A, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc tập A.
Kí hiệu số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là: k n
A .
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được tính bởi công thức: k k n
A n .
Cách áp dụng. Thông thường sử dụng chỉnh hợp lặp khi gặp tình
huống: lập một dãy có thứ tự gồm k phần tử, mà mỗi phần tử được lấy từ một tập hợp A gồm n phần tử. Khi đó, mỗi phần tử có n cách chọn, nên theo quy tắc nhân, số cách lập một dãy như vậy là nk.
Ví dụ minh họa.
Ví dụ 19. Có bao nhiêu số tự nhiên có chin chữ số mà trong biểu diễn
thập phân của nó không có mặt chữ số nào trong tập hợp 0;1;2;3;4;5 ?
Giải. Mỗi số tự nhiên có chín chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là một dãy chín kí tự (có thể giống nhau) của tập hợp 6;7;8;9 , tức là một chỉnh hợp lặp chập 9 của 4. Vậy có tất cả 49 262144 số.
Ví dụ 20. Có 3 người khách vào một khách sạn còn 7 phòng trống, mỗi
phòng có thể ở được nhiều nhất 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp phòng cho những vị khách này?
Giải. Mỗi người khách có 7 cách chọn phòng, do đó số cách xếp phòng
là 3 3
7 7 343
A cách.
Ví dụ 21. Từ bốn chữ số 1;2;3;5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số?
Giải. Vì tập 1;2;3;5 chỉ có duy nhất một chữ số chẵn là 2, nên
x abcd với a b c d, , , 1;2;3;5 là số chẵn khi và chỉ khi d 2.
Mặt khác, a b c, , có thể bằng nhau, nên y abc là một chỉnh hợp chập 3 của bốn phần tử 1;2;3;5.
Để thành lập số x ta chỉ cần lấy một số y nào đó rồi thêm 2 vào cuối. Bởi vậy, số các số x abc2 bằng số các số y abc và bằng 3 3
4 4 64
A .
Khi hướng dẫn học sinh thực hiện ví dụ này, giáo viên có thể một vài số cụ thể để minh họa cho học sinh hiểu rõ hơn. Chẳng hạn: 1112, 1122, 1132, 1152, …, 5542, 5552.
Ví dụ 22. Có thể lập được bao nhiêu biển số xe với hai chữ số đầu
thuộc tập A B C D E, , , , , tiếp theo là một số nguyên dương gồm năm chữ số chia hết cho 5?
Giải. Giả sử biển số cần lập có dạng XY abcdf .
Vì X, Y có thể trùng nhau nên XY là chỉnh hợp lặp chập 2 của 5 phần tử
A, B, C, D, E nên số cách chọn XY bằng 2 2 5 5 25
A .
Do a 0 nên có 9 cách chọn a là các chữ số thập phân khác 0. Vì abcdf5 f 0 hoặc f 5 nên có 2 cách chọn chữ số f.
Do b, c, d có thể trùng nhau, nên mỗi số bcd là một chỉnh hợp chập 3 của 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Như vậy, số cách chọn số bcd là
3 3
10 10 1000
A .
Vậy số biển số xe có thể thành lập theo yêu cầu đề bài là: 25 2 1000 5000.
Bài tập vận dụng.
Bài 26. Có bao nhiêu số tự nhiên là bội của 5 và có 9 chữ số, mà trong
biểu diễn thập phân của nó không có mặt chữ số nào trong các số 0,1,2,3,4,6?
Bài 27. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số mà trong biểu diễn
thập phân của nó không có mặt chữ số nào trong các số 7,8,9?
Bài 28. Cho tập A 0;1;2 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không vượt quá 2001 và là bội của 3?
Bài 29. Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau, mỗi số có 7 chữ số
có thể trùng nhau sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn?