10. Cấu trúc luận văn
2.2.2. Kỹ năng sử dụng công thức chỉnh hợp không lặp
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k
0 k n phần tử được sắp thứ tự của tập hợp A gọi là một chỉnh hợp (chỉnh hợp không lặp) chập k của n phần tử thuộc A.
Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là k n
A .
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được tính bởi công thức: ! 1 2 ... 1 ! k n n A n n n n k n k
Cách áp dụng. Một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n
phần tử thường được nhận dạng dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Ví dụ minh họa.
Trước hết, ta xét một ví dụ đơn giản giúp học sinh biết cách trình bày khi vận dụng khái niệm chỉnh hợp để thực hiện bài toán.
Ví dụ 12. Cho tập A 1;2;3;4;5 . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A?
Giải. Nhận thấy, mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A
tương ứng là một chỉnh hợp chập 3 của tập hợp có 5 phần tử. Vậy từ tập A có thể lập được 3
5 5.4.3 60
A số gồm 3 chữ số khác nhau.
Tiếp theo, ta xét một ví dụ với yêu cầu như trên nhưng trong trường hợp này thì tập A chứa số 0.
Ví dụ 13. Cho tập A 0;2;4;6;8 . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A?
Giải. Gọi số cần tìm có dạng abc, với a b c A, , ; a 0 và a b c. - Vì a A và a 0 nên chữ số a chỉ có thể chọn chữ số t là một trong bốn số thuộc tập A\ 0 .
- Mỗi bộ số b c; tương ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử của tập hợp A t\ .
Vậy từ tập A có thể lập được 2 4
4.A 48 số gồm 3 chữ số khác nhau.
Ở Ví dụ 13ta đã sử dụng quy tắc nhân kết hợp với khái niệm chỉnh hợp để giải; tuy nhiên, ta cũng có thể sử dụng khái niệm chỉnh hợp cùng với phép loại bỏ để giải như sau:
Nhận thấy, mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Do đó, từ tập A có thể lập được
3
5 5.4.3 60
A số gồm 3 chữ số khác nhau.
Trong 60 số gồm 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A có những số có chữ số hàng trăm là chữ số 0, ta cần phải loại bỏ đi. Ta có thể coi những số này là những số gồm 2 chữ số khác chữ số 0 chọn từ bốn chữ số 2; 4; 6; 8. Đó chính là số chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử. Vậy số các số gồm 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A là: 3 2 5 4 60 12 48 A A số. Ví dụ 14. Cho tập A 1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và mỗi số đều chứa chữ số 5? Trong các số đó, có bao nhiêu số không chia hết cho 5?
Giải. Gọi số cần tìm có dạng abcdef , với a b c d e f, , , , , A và
- Vì số cần tìm phải chứa chữ số 5 nên chữ số 5 có thể là một trong sáu vị trí của các chữ số a b c d e f, , , , , .
- Mỗi bộ số dành cho năm vị trí còn lại tương ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 8 phần tử của tập hợp A\ 5 .
Như vậy, có tất cả 5
8
6.A 40320 số gồm 6 chữ số khác nhau và mỗi số đều chứa chữ số 5.
Trong các số trên, những số chia hết cho 5 là những số có chữ số 6 f . Do đó có 5 8 A số chia hết cho 5. Vậy có tất cả 5 5 8 8
6A A 33600 số không chia hết cho 5.
Ví dụ 15. Cho tập A 0;1;2;3;4;5;6 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5?
Giải. Gọi số cần tìm có dạng abcde, với a b c d e A và , , , ,
a b c d e.
Ta xét hai trường hợp cụ thể sau:
Trường hợp 1. Nếu a 5 thì có 1 cách lựa chọn chữ số a. Khi đó, mỗi bộ số b c d e, , , tương ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử của tập
hợp A\ 5 . Như vậy, có 4
6
1.A số.
Trường hợp 2. Nếu 5 b c d e, , , thì có 4 cách lựa chọn cho vị trí của chữ số 5. Khi đó, chữ số a chỉ có thể chọn chữ số t là một trong năm chữ số thuộc tập A\ 0;5 . Và mỗi bộ số dành cho ba vị trí còn lại tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử của tập hợp A\ 5;t . Như vậy, có 3
5
4.5.A số. Vậy số các số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có chữ số 5 hình thành
từ tập A là: 4 3
6 5
Dễ dàng nhận thấy, Ví dụ 14 và Ví dụ 15 có cùng yêu cầu; nhưng tập hợp A trong Ví dụ 15 có chứa chữ số 0 nên bài toán có phần phức tạp hơn. Do đó, học sinh cần chú ý để tránh sai lầm dẫn tới việc xét thiếu trường hợp.
Như vậy, khi đã nắm bắt được bản chất vấn đề thì ta có thể trình bày bài toán theo những lập luận đơn giản hơn.
Ví dụ 16. Cho tập hợp A 0;1;2;3;4;5;6;7 .
a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi số luôn có mặt hai chữ số 1 và 7?
b) Trong các số tìm được ở câu a) có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 7 đứng kề nhau, chữ số 1 bên trái chữ số 7?
Giải.
a) Gọi số cần tìm có dạng abcde, với a b c d e A và , , , ,
a b c d e.
- Vì hai chữ số 1 và 7 luôn có mặt nên mỗi cách sắp xếp chữ số 1 và chữ số 7 vào 5 vị trí tương ứng là một chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử.
- Chữ số a chỉ có thể chọn chữ số t là một trong năm số thuộc tập \ 0;1;7
A .
- Mỗi bộ số dành cho hai vị trí còn lại tương ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử của tập hợp A\ 1;7;t .
Vậy số các số phải tìm là 2 2
5.5. 5 2000
A A số.
b) Nhận thấy: số cách chọn vị trí cho hai chữ số 1 và 7 đứng kề nhau mà chữ số 1 đứng bên trái chữ số 7 trong một dãy có 5 vị trí là 4 cách.
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Nếu a 1 thì b 7. Khi đó, mỗi bộ số dành cho ba vị trí còn lại tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử của tập hợp
\ 1;7
A . Như vậy, trong trường hợp này có tất cả 3
6
Trường hợp 2. Nếu 1 b c d, , thì 3 cách chọn vị trí cho hai chữ số 1 và chữ số 7. Khi đó, chữ số a chỉ có thể chọn chữ số t là một trong năm số thuộc tập A\ 0;1;7 . Mỗi bộ số dành cho hai vị trí còn lại tương ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử của tập hợp A\ 1;7;t . Như vậy, trong
trường hợp này có tất cả 2 5 3.5.A số. Vậy số các số cần tìm là 3 2 6 5 1.A 3.5.A 420 số.
Ta có thể giải ý b) của Ví dụ 16 bằng cách sử dụng phép loại bỏ. Tức là ta tìm số các số gồm 5 chữ số khác nhau hình thành từ tập A mà mỗi số luôn có mặt hai chữ số 1 và 7 không đứng kề nhau.
Sau đây ta xét các ví dụ đếm số phương án.
Ví dụ 17. Vào giữa tháng 1 năm 2007, tám đội bóng đá thuộc Liên
đoàn bóng đá Đông Nam Á (gọi tắt là AFF) khởi tranh cúp vô địch, chia thành hai bảng:
+) Bảng A gồm có: Thái Lan, Malaysia, Mianma, Philipin. +) Bảng B gồm có: Việt Nam, Singapo, Indonexia, Lào.
a) Ban tổ chức sẽ trao 2 huy chương vàng và bạc cho 2 đội nhất và nhì (không có tranh giải ba). Hỏi có bao nhiêu khả năng trao 2 huy chương cho 2 đội đoạt giải nhất và nhì? (giả sử 8 đội có trình độ tương đương).
b) Theo dự đoán Lào và Philipin là hai đội yếu, không có khả năng vào bán kết. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra 4 đội vào bán kết theo quy định mỗi bảng có 2 đội, gồm một đội nhất bảng và một đội nhì bảng?
Giải.
a) Mỗi trường hợp 2 trong 8 đội bóng giành được các vị trí nhất, nhì tương ứng là chỉnh hợp chập 2 của 8 phần tử.
Vậy số khả năng trao 2 huy chương cho 2 đội đoạt giải nhất và nhì là:
2
8 56
b) Theo dự đoán chắc chắn có 2 đội không vào bán kết nên chỉ còn 6 đội tranh vào bán kết, mỗi bảng có 3 đội.
Vì mỗi bảng chỉ chọn 2 đội gồm một đội nhất bảng và một đội nhì bảng nên số khả năng ở mỗi bảng là: 2
3
A .
Vậy số khả năng xảy ra 4 đội vào bán kết là: 2 3
2.A 12.
Ví dụ 18. Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ tham gia. Đạo diễn
chọn có thứ tự 4 nam và 4 nữ để ghép thành 4 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải . Chọn có thứ tự 4 nam trong 10 nam là chỉnh hợp chập 4 của 10,
nên có 4 10 10! 5040 10 4 ! A cách chọn.
Chọn có thứ tự 4 nữ trong 6 nữ là chỉnh hợp chập 4 của 6, nên có
4 6 6! 360 6 4 ! A cách chọn.
Mỗi cách chọn nam lại tương ứng với tất cả các cách chọn nữ, nên có cách chọn thứ tự 4 nam, 4 nữ trong số nam, nữ tham gia cuộc thi sẽ là
5040.360 1814400 cách chọn.
Bài tập vận dụng.
Bài 21. Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Cần chọn ra 1
lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ. a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng phải là học sinh nam?
Bài 22. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 ta lập ra các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Trong những số tìm được, có bao nhiêu số lẻ, bao nhiêu số chẵn?
Bài 23. Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau được thành
Bài 24. Cho tập A 1;2;3;4;5;6;7;8;9 .
a) Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số hình thành từ tập A?
b) Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên tìm được ở câu a) chia hết cho 11111.
Bài 25. Cho tập A 1;2;3;4;5;6;7 .
a) Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau hình thành từ tập A?
b) Trong các số tìm được ở câu a), có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 7? c) Trong các số tìm được ở câu a), có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng nghìn là chữ số 1?