Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐỖ KHẮC CHUNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN GIỚI HẠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG L

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ KHẮC CHUNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN GIỚI HẠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Chí Thành

HÀ NỘI - 2012

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục tiêu nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Câu hỏi nghiên cứu

5 Giả thuyết nghiên cứu

6 Phương pháp nghiên cứu

7 Phạm vi nghiên cứu

8 Khách thể nghiên cứu

9 Cấu trúc luận văn

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy

1.1.1 Tư duy là gì?

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

1.1.3 Các giai đoạn hoạt động của tư duy

1.1.4 Các thao tác của tư duy

1.2 Tư duy sáng tạo

1.3 Các đặc trưng của tư duy sáng tạo

1.3.1 Tính mềm dẻo

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

1.3.3 Tính độc đáo

1.3.4 Tính hoàn thiện

1.3.5.Tính nhạy cảm vấn đề

1.4 Phát triển tư duy sáng tạo cho HS

1.5 Dạy học giải toán

1.5.1 Yêu cầu đối với lời giải toán

1.5.2 Các bước của hoạt động giải toán

1.6 Thực trạng dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT

1.6.1 Sơ lược nội dung chương giới hạn Sách giáo khoa Ban chuẩn và Ban Nâng cao lớp 11 1.6.2 Những thuận lợi và khó khăn khi dạy học giới hạn trong việc

phát triển tư duy sáng tạo

1.6.3 Thực tiễn dạy học giải toán giới hạn tại trường THPT Bắc Duyên Hà 1.6.4 Tiềm năng phát triển tư duy sáng tạo cho HS khi giải toán giới hạn

1.7 Kết luận chương 1

Chương 2: BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN GIỚI HẠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện các thành phần của tư duy sáng tạo thông qua giải các dạng toán về giới hạn

2.1.1 Dạng 1 Tìm giới hạn của dãy số

2.1.2 Dạng 2 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

2.1.3 Dạng 3 Tính giới hạn của hàm số

2.1.4 Dạng 4 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn

2.1.5 Dạng 5 Chứng minh phương trình có nghiệm

2.2 Biện pháp 2: Phát triển tư duy kiểu “vô hạn, liên tục”

2.3 Kết luận chương 2

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm

3.1.1 Mục đích thực nghiệm

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm

3.2 Nội dung và tổ chức thực nghiệm

3.2.1 Nội dung thực nghiệm

3.2.2 Tổ chức thực nghiệm

3.2.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.3 Kết luận chương 3

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1.Kết luận

2.Khuyến nghị

TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC

Ví dụ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay ở Việt Nam cũng như ở nhiều nước trên thế giới giáo dục được

coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội Với nhiệm

vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển

toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được

kiến thức trong tình huống công việc Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện và phát

triển tư duy sáng tạo cho HS ở các trường phổ thông của những người làm

công tác giáo dục là hết sức quan trọng

Điều 24.2 trong Luật Giáo dục cũng ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ

thông phải phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo của HS, phù hợp với đặc

điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ

năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm

vui, hứng thú học tập cho HS ”

Còn Nghị quyết TW 2 khoá VIII nhận định: “Phải đổi mới phương pháp

giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy

sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương

tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự

nghiên cứu cho HS, nhất là sinh viên đại học”

Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến

vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS Trong tác phẩm "Sáng tạo toán

học” [36], G Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá

trình sáng tạo toán học và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân

V.A.Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc năng lực toán

học của HS và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho

HS trong cuốn “Tâm lí năng lực toán học của HS” [40]

Ở nước ta cũng có nhiều công trình của Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh

Toàn, nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho

HS Tuy nhiên, việc tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện hệ thống lí luận có liên quan tới tư duy sáng tạo vẫn là cần thiết, đặc biệt là vận dụng vào quá trình dạy học các chủ đề quan trọng trong chương trình toán ở THPT

Gần đây có một số luận văn thạc sĩ cũng nghiên cứu về vấn đề này, như Khoa Thị Loan – trường Đại học Giáo dục năm 2008 với luận văn thạc sĩ

“Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo của HS” [15]; Dương Mai Hương – trường Đại học Giáo dục năm 2011 với luận văn thạc sĩ “Phát triển

tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian lớp 11 trung học phổ thông” [11]; Đặng Thị Thanh Xuân – trường Đại học Giáo dục năm 2011 với luận văn thạc sĩ “Phát triển tư duy sáng tạo của HS thông qua dạy học phần đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ thông” [35]; Dương Quang Thọ - trường Đại học Giáo dục năm 2012 với luận văn thạc sĩ “Phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học tính tích phân ở lớp 12 THPT” [28] Như vậy chưa có luận văn thạc sĩ nào nghiên cứu

về phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT

Mặt khác, trong giải tích toán học khái niệm giới hạn giữ vai trò trung tâm Giới hạn là một trong những khái niệm quan trọng vì nó cung cấp nhiều kiến thức, phát triển nhiều tư duy Ví dụ như tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy thuật toán, tư duy sáng tạo Việc tiếp thu khái niệm này đòi hỏi tiến hành nhiều thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hóa

Nó cũng đòi hỏi nhiều phẩm chất tư duy như: Linh hoạt sáng tạo, sự tính toán chính xác, các phẩm chất đạo đức kiên trì chịu khó Mặt khác giới hạn là một khái niệm mới và trừu tượng đối với HS THPT, hơn nữa phân phối chương trình giới hạn chiếm một thời gian ít nên việc nắm vững lí thuyết, vận dụng lí thuyết vào làm bài tập đối với HS là rất khó khăn và gặp nhiều lúng túng

Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: “Phát triển

tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học toán giới hạn trong chương trình toán trung học phổ thông”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Khai thác khả năng phát triển tư duy sáng tạo và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán trung học phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng tư duy sáng tạo

- Nghiên cứu một phần thực trạng khi dạy học giải toán giới hạn

- Định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải toán giới hạn

- Đề xuất các biện pháp dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán trung học phổ thông nhằm phát triển tư duy sáng tạo HS

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệu quả của đề tài

4 Câu hỏi nghiên cứu

Làm thế nào để phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán trung học phổ thông?

5 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán trung học phổ thông theo các biện pháp đề xuất trong luận văn này thì sẽ phát triển tư duy sáng tạo cho HS

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học môn toán

- Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài

Điều tra, quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy của GV và việc học của HS trong quá trình dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn trình trình bày trong ba chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy

1.1.1 Tư duy là gì ?

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy

Tác giả Nguyễn Quang Uẩn định nghĩa: “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của

sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan” [34]

Theo tác giả MN Sacđacov: “Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [39]

Tư duy toán học được hiểu thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học, toán học hay trong quá trình áp dụng toán học vào các khoa học khác như: kỹ thuật, kinh tế quốc dân Thứ hai tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực cũng như chính các phương thức chung của

tư duy mà nó sử dụng Theo Bùi Văn Nghị trong học tập môn toán thường có các loại hình tư duy là: Tư duy biện chứng, tư duy logic, tư duy thuật toán, tư duy hàm, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo [23]:

- Tư duy hàm là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề trong tương quan khi một đối tượng này thay đổi kéo theo đối tượng khác thay đổi

- Tư duy thuật toán là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo một trình tự nhất định

- Tư duy trừu tượng là suy nghĩ để nhận thực, giải quyết vấn để theo những dấu hiệu bản chất

- Tư duy sáng tạo là suy nghĩ để nhận thức theo một phương diện mới (cách nhìn mới), giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh mới

Nhà toán học A.Ia.Khinxin cho rằng, tư duy toán học có các đặc tính sau [23]:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến mục đích;

- Phân chia rành mạch các bước suy luận;

- Sự chính xác các kí hiệu;

- Lập luận có căn cứ đầy đủ

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Theo Nguyễn Quang Uẩn thì tư duy do con người tiến hành với tư cách

là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau [34]:

- Tính “có vấn đề” của tư duy: Muốn kích thích được tư duy phải đồng thời có hai điều kiện sau đây:

+ Phải gặp tình huống có chứa đựng một mục đích mới, một vấn đề mới, một cách thức giải quyết mới mà những phương tiện, phương pháp hoạt động

cũ, mặc dầu vẫn còn cần thiết nhưng không còn đủ sức để giải quyết vấn đề mới đó Muốn giải quyết vấn đề mới đó phải tìm cách thức giải quyết mới, tức là phải tư duy

+ Tình huống có vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ cá nhân và vấn đề đó phải nằm trong tầm hiểu biết của cá nhân

- Tính gián tiếp của tư duy: Thể hiện ở việc sử dụng công cụ, phương tiện, các phương tiện nhận thức, dùng ngôn ngữ để tư duy

- Tính trừu tượng và khái niệm của tư duy: Tư duy phản ánh cái bản chất nhất, chung nhất cho nhiều sự vật hợp thành một nhóm, một loại, một phạm

trù, đồng thời trừu xuất khỏi những sự vật đó những cái cụ thể, cá biệt Nói cách khác tư duy đồng thời mang tính trừu tượng và khái quát

- Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy, trong sự diễn biến của quá trình tư duy nhờ sự tham gia của hệ thống tín hiệu thứ hai (ngôn ngữ) mà con người tiến hành các thao tác tư duy, cuối cùng sản phẩm của quá trình tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy lý được biểu đạt bằng từ ngữ, câu

- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy và nhận thức cảm tính thuộc 2 mức độ nhận thức khác nhau nhưng không tách rời nhau, có quan hệ chặt chẽ bổ sung cho nhau, chi phối lẫn nhau trong hoạt động nhận thức thống nhất và biện chứng

1.1.3 Các giai đoạn hoạt động của tư duy

Tư duy là một hoạt động trí tuệ có các giai đoạn sau:

Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề: Việc xác định vấn đề cần giải quyết sẽ quyết định chiến lược tư duy và đây là giai đoạn đầu tiên và quan trọng nhất của quá trình tư duy

Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm: Khâu này làm xuất hiện ở trong đầu những tri thức, kinh nghiệm, những liên tưởng nhất định có liên quan đến vấn đề đã biểu đạt điều này phụ thuộc vào nhiệm vụ đã xác định

Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết: Các tri thức, kinh nghiệm và liên tưởng xuất hiện đầu tiên còn mang tính chất rộng rãi, bao trùm và chưa khu biệt nên cần được sàng lọc cho phù hợp với nhiệm

vụ đề ra Trên cơ sở sàng lọc này sẽ hình thành giả thuyết

Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết: Sự đa dạng của các giả thuyết không phải là mục đích tự thân nên phải kiểm tra xem giả thuyết nào tương ứng với các điều kiện và vấn đề đặt ra Kết quả kiểm tra sẽ dẫn đễn sự khẳng định phủ định hay chính xác giả thuyết đã nêu Trong quá trình kiểm tra này có thể lại phát hiện ra những nhiệm vụ mới, do đó lại bắt đầu một quá trình tư duy mới Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra

1.1.4 Các thao tác của tư duy

1.1.4.1 Phân tích và tổng hợp

Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tượng thành các bộ phận các thành phần khác nhau

Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất các thành phần đã được tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể

Phân tích và tổng hợp có quan hệ qua lại mật thiết với nhau và không thể tách dời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất: Sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp, còn sự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích Trong học tập môn toán thì phân tích và tổng hợp tiến hành trong mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

VD1 Tìm

3

x 1 x 1 2lim

HS nhận thấy khix 0 thì x 1 1và 3 x 1 1, do đó biến đổi biểu

thức tính giới hạn như sau:

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó giống nhau ở các dấu hiệu khác

VD2 Tìm các giới hạn sau:

xlim ( x 2x x); 2) 2

xlim ( x 2x x) Quan sát hai câu và tiến hành so sánh HS nhận thấy sự giống nhau về hình thức Vì vậy trong tư duy HS nghĩ cách giải hai câu này sẽ tương tự nhau Tuy nhiên ta có lời câu 1) như sau:

x và xuất hiện dạng vô định 0. Vậy

cách giải này không thực hiện được Như vậy HS nhận thấy hình thức giống nhau nhưng cách giải chưa tương tự nhau Câu 2) nhân liên hợp có lời giải

Câu hỏi đặt ra với HS là: Tại sao hình thức giống nhau nhưng cách giải khác nhau? HS phân tích bài toán và nhận thấy câu 1) không phải là dạng vô định , câu 2) thuộc dạng vô định Từ đó HS linh hoạt khi tìm cách giải với bài toán tìm giới hạn

1.1.4.3 Khái quát hóa và đặc biệt hóa

Theo Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp đối tượng ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [13] Qua đó ta thấy rằng khái quát hóa là quá trình tư duy đi từ nhiều cái riêng đến cái chung cái tổng quát hoặc từ cái tổng quát đến tổng quát hơn

Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược với lại khái quát hóa

x , và tổng quát hơn nữa ta có

bài toán tìm giới hạn 3

x a

f (x) g(x)lim

x a , với điều kiện f (a) 3 g(a) 0

Ngoài các thao tác tư duy ở trên còn kể để các thao tác tư duy khác như: Trừu tượng hóa, tương tự hóa, quy lạ về quen, lật ngược vấn đề

Các thao tác tư duy ở trên có quan hệ mật thiết, thống nhất nhau theo một hướng nhất định do nhiệm vụ của tư duy quy định

1.2 Tƣ duy sáng tạo

Các nhà nghiên cứu đưa ra quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo:

Theo J.DanTon: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những

ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: Sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thử nghiệm, sự thám hiểm” [42]

Theo Henry Gleitman: “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích” [43]

Theo Bùi Văn Nghị: “Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị” [23]

Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Cái mới thường nảy sinh bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là cách nhìn cái cũ như thế nào” [14] Theo Tôn Thân: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao” Và theo tác giả thì tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái

đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó” [27]

Theo G.Polya: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, ví dụ như: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi

ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả ” [37]

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán: “Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu

với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết”

[31] Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho HS sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày

Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì

đó là tư duy tạo ra cái mới Tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới về các phương thức hoạt động

I.Lcene [38] cho rằng quá trình hoạt động sáng tạo có những đặc điểm:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo;

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”;

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết;

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu;

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một phương thức mới);

- Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết những phương thức khác

Bàn về mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập,

tư duy sáng tạo thì V.A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn dưới dạng những đường tròn đồng tâm [41]

Đó là các mức độ tư duy khác nhau mà tư duy tích cực có vai trò là tiền

đề Quá trình từ tư duy tích cực đến tư duy sáng tạo thông qua tư duy độc lập Như vậy trong tư duy sáng tạo luôn có tư duy tích cực và tư duy độc lập Ông làm sáng tỏ mối quan hệ của ba dạng tư duy thông qua ví dụ sau:

- Tư duy tích cực: Khi một HS chăm chú theo dõi việc giải bài tập và cố gắng hiểu được các bước giải

- Tư duy độc lập: Thể hiện ở việc HS tự mình phát hiện ra vấn đề tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được

- Tư duy sáng tạo: Trên các kết quả đó HS tự khám phá tìm ra cách chứng minh, lời giải mà HS chưa biết

Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Tuy nhiên tư duy sáng tạo có tính chất tương đối Một cách thức giải quyết coi là sáng tạo trong một hoàn cảnh, điều kiện này lại chưa chắc đã được coi là sáng tạo trong điều kiện hoàn cảnh khác Một cách thức giải quyết

có thể coi là sáng tạo với người này nhưng không phải là sáng tạo với người khác, sáng tạo ở thời điểm này nhưng lại không là sáng tạo ở thời điểm khác

1.3 Các đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo

Theo Rubinstein tư duy sáng tạo bắt đầu từ một tình huống gợi vấn đề [21] Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi HS tự khám phá, tự tìm cách chứng minh

mà HS đó chưa biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống có vấn đề với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp

Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học, thì cấu trúccủa tư duy sáng tạo có 5 thành phần đặc trưng cơ bản sau [23]:

- Tính mềm dẻo;

- Tính nhuần nhuyễn;

Tính mềm dẻo, linh hoạt là khả năng chủ thể biến đổi thông tin, kiến thức

đã tiếp thu được một cách dễ dàng, nhanh chóng từ góc độ và quan niệm này sang góc độ và quan niệm khác, chuyển đổi sơ đồ tư duy có sẵn trong đầu sang một hệ tư duy khác, chuyển từ phương pháp tư duy cũ sang hệ thống phương pháp tư duy mới, chuyển đổi từ hành động trở thành thói quen sang hành động mới, gạt bỏ sự cứng nhắc mà con người đã có để thay đổi nhận thức dưới một góc độ mới, thay đổi cả những thái độ đã cố hữu trong hoạt động tinh thần trí tuệ Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo có các đặc trưng nổi bật sau:

- Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại

- Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc

độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan

hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

Đối với bài toán này HS thường xác định bậc tử số là 3, bậc mẫu số là 2

nên chia cả tử và mẫu n3 và ta có

thấy tử số tiến tới 2 còn mẫu số tiến tới 0 nhưng rất khó xác định dấu ở mẫu

Vì vậy rất khó xác định giới hạn đó là hay - Như vậy với cách suy nghĩ máy móc, dập khuôn đó việc giải bài toán gặp khó khăn lúc đó GV có thể gợi ý chia cả tử và mẫu cho n2 ta có lời giải sau:

- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một

vấn đề phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau từ đó tìm được phương án tối ưu

- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

VD5 Tìm giới hạn: 3

x 1

x 1lim

x 1

Đối với bài toán này HS có tính nhuần nhuyễn sẽ có thể đưa ra được nhiều cách giải như: Nhân liên hợp, đổi biến số, chia cả tử và mẫu cho (x – 1) Đặc biệt với cách nhìn không cứng nhắc HS sẽ thấy x ( x )6 3, 3 x ( x )6 2

khi đó HS đưa ra lời giải tối ưu sau:

3 6 2

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng:

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới;

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau;

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

VD 6 Tìm giới hạn 3

x 1

x 1lim

x 1

Hầu hết HS giải bài toán này bằng cách nhân hợp để khử dạng vô định Tuy nhiên GV khuyến khích HS tìm thêm cách giải với gợi ý đặt ẩn phụ Với gợi ý đó HS có thể tìm ra cách giải sau độc đáo sau:

Đặtt = x ta có 6

2 3

1.3.4 Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng

1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề;

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu Từ

đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

VD7 Nêu ý kiến của em về lời giải sau:

GV yêu cầu HS giải thích lời giải đó sai vì sao? Tìm lời giải đúng? HS suy nghĩ và trả lời được yêu cầu của GV như sau:

Lời giải đó sai vì các định lý về phép toán giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn

số hạng Trong lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn đến sai lầm

Qua bài tập này tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo được phát triển

Ngoài ra còn kể đến: tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

1.4 Phát triển tƣ duy sáng tạo cho HS

Theo Bùi Văn Nghị có thể rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS theo các cách sau [23]:

- Theo 5 thành phần của tư duy sáng tạo

- Dựa trên các hoạt động trí tuệ: Dự đoán, bác bỏ, khái quát hóa, tương tự hóa

- Tìm nhiều lời giải, khai thác, đào sâu kết quả cho một bài toán

Biểu hiện của sự sáng tạo là:

- Nhìn sự vật theo một khía cạnh mới, nhìn một sự kiện dưới nhiều góc

độ khác nhau

- Biết đặt ra nhiều giải thuyết khi phải lí giải một hiện tượng

- Biết đề xuất các giải pháp khác nhau khi phải xử lí một tình huống

HS học tập sáng tạo thường không bằng lòng với giải pháp đã có, không

có suy nghĩ cứng nhắc theo những quy tắc đã học trước đó, không máy móc

áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử những tình huống mới Việc đánh giá tính sáng tạo cần căn cứ vào số lượng tính mới mẻ, tính độc đáo, tính hữu ích của đề xuất

Để HS tích cực, chủ động sáng tạo trong học tập GV cần tạo ra không khí giao tiếp thuận lợi giữa GV với HS, giữa HS với HS bằng cách tổ chức và điều khiển hợp lí các hoạt động của từng cá nhân và tập thể HS Tốt nhất là tổ chức những tình huống có vấn đề đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận, những tình huống này phải phù hợp với trình độ nhận thức của HS Cần biết dẫn dắt HS luôn tìm thấy cái mới, có thể tự giành lấy kiến thức Để học tập sáng tạo cần tạo tình huống có vấn đề rồi yêu cầu HS tìm giải pháp, càng tối ưu càng tốt

Học tập sáng tạo là đích cần đạt Tính sáng tạo liên quan với tính tích cực, chủ động, độc lập Muốn phát triển trí sáng tạo, cần chú trọng để HS tự lực khám phá kiến thức mới, phải dạy HS phương pháp tự học Chính qua các hoạt động tự lực, được giao cho từng cá nhân hoặc nhóm nhỏ, tiềm năng sáng tạo của cá nhân được phát triển

1.5 Dạy học giải toán

1.5.1 Yêu cầu đối với lời giải toán

Lời giải một bài toán cần thực hiện các yêu cầu sau [13]:

- Lời giải không có sai lầm;

- Lập luận phải có căn cứ chính xác;

- Lời giải phải đầy đủ

Ngoài các yêu cầu trên, trong dạy học giải toán còn yêu cầu lời giải ngắn gọn, cách trình bày rõ ràng, hợp lí

1.5.2 Các bước của hoạt động giải toán

Hoạt động giải toán thường diễn ra theo bốn bước sau đây [13]:

- Tìm hiểu đề toán;

- Tìm kiếm phương hướng giải;

- Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành giải theo hướng đã chọn;

- Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải

1.6 Thực trạng dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT

1.6.1 Sơ lược nội dung chương giới hạn Sách giáo khoa Ban chuẩn và Ban Nâng cao lớp 11

Theo [1] và [26] ta có nội dung của chủ đề giới hạn cụ thể như sau:

Ban chuẩn (14 tiết) Ban nâng cao (17 tiết)

Dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa và một số định lý về giới hạn của hàm số

Giới hạn một bên Luyện tập

Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Luyện tập

Các dạng vô định Luyện tập

Hàm số liên tục Luyện tập

Từ đó chúng tôi nhận thấy: Với thời lượng dành cho chủ đề giới hạn là

14 tiết của ban cơ bản và 17 của ban nâng cao, GV chỉ giúp HS giải quyết được các bài tập cơ bản về giới hạn chứ chưa có điều kiện hướng dẫn HS làm các bài toán khó về giới hạn để qua đó bồi dưỡng tư duy sáng tạo

Phân loại các bài tập trong SGK đại số và giải tích 11 ban cơ bản và ban nâng cao theo dạng toán chúng tôi nhận thấy có thể chia chúng thành các 5 dạng toán sau:

- Dạng 1 Tính giới hạn của dãy số:

Với số lượng 22 bài tập gồm 6 bài trong SGK đại số và giải tích 11 ban

cơ bản và 16 bài trong SGK ban nâng cao, các bài toán tập trung vào việc chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số Tuy nhiên hầu hết các bài tập này cơ bản nên để có thể bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho

HS thông qua giải toán trong dạng này GV cần phải bổ sung thêm các bài tập

ở mức độ khó hơn

- Dạng 2 Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

Với số lượng bài tập là 5 bài gồm 3 bài trong SGK đại số và giải tích 11 ban chuẩn và 2 bài trong SGK ban nâng cao, các bài tập này cũng cơ bản chưa có nhiều các bài tập đòi hỏi phải tư duy cao nên cần phải bổ sung thêm các bài tập ở mức độ khó hơn để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình giải toán

- Dạng 3 Tính giới hạn của hàm số:

Với số lượng bài tập là 33 bài trong đó có 8 bài trong SGK đại số và giải tích 11 ban chuẩn và 25 bài trong SGK ban nâng cao, số lượng bài tập này khá nhiều Tuy nhiên hầu hết các bài tập này cũng cơ bản chưa có nhiều các bài tập đòi hỏi phải tư duy cao nên cần phải bổ sung thêm các bài tập ở mức

độ khó hơn để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình giải toán

- Dạng 4 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng:

Với số lượng bài tập là 11 bài trong đó có 6 bài trong SGK đại số và giải tích 11 ban chuẩn và 5 bài trong SGK ban nâng cao, các bài tập này cũng cơ bản chưa có nhiều các bài tập đòi hỏi phải tư duy cao nên cần phải bổ sung thêm các bài tập ở mức độ khó hơn để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình giải toán

Dạng 5 Chứng minh phương trình có nghiệm:

Với số lượng bài tập là 5 bài trong đó có 2 bài trong SGK đại số và giải tích 11 ban chuẩn và 3 bài trong SGK ban nâng cao, các bài tập này cũng cơ bản chưa có nhiều các bài tập đòi hỏi phải tư duy cao nên cần phải bổ sung thêm các bài tập ở mức độ khó hơn để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình giải toán

Ngoài ra còn một số bài toán cần vận dụng lí thuyết giới hạn để giải đó là những bài toán có nội dung liên quan đến hình học và thực tế, những bài toán này có tác dụng tốt trong việc phát triển tư duy kiểu “vô hạn, liên tục” cho

HS, các bài tập đó nhìn chung là cơ bản

Việc phân bài tập SGK đại số và giải tích 11 thành các dạng toán trên chỉ mang tính tương đối vì nhiều bài toán vừa ở dạng toán này cũng có thể ở dạng toán khác trong 5 dạng toán trên Qua tổng hợp, phân tích ở trên ta thấy các bài tập trong 5 dạng toán mà SGK đại số và giải tích 11 ban cơ bản cũng như ban nâng cao đưa ra hầu hết là các bài tập cơ bản, ít có những bài tập khó, việc giải các bài tập này chủ yếu giúp HS củng cố kiến thức cơ bản về

lí thuyết giới hạn chứ chưa có tác dụng nhiều trong việc phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo, điều đó phù hợp với mục đích giảm tải của chương trình và thời lượng dành cho chủ đề giới hạn Tuy nhiên để phát triển tư duy cho HS thông qua giải các dạng toán thì ngoài bài tập sách giáo khoa, GV cần lựa chọn các bài tập khó trong sách bài tập đại số và giải tích

11 ở cả hai ban, bài tập trong sách tham khảo và bổ sung thêm vào các dạng toán đó, hơn nữa cần tận dụng thêm thời gian ở các tiết tự chọn để luyện tập

và phát triển tư duy sáng tạo cho HS

1.6.2 Những thuận lợi và khó khăn khi dạy học giới hạn trong việc phát triển tư duy sáng tạo

Qua thực tiễn dạy chủ đề giới hạn chúng tôi thấy có những thuận lợi và khó khăn sau:

Những thuận lợi:

- Các khái niệm giới hạn 0 giới hạn vô cực của dãy số được đưa vào

theo con đường quy nạp Cụ thể qua các hoạt động khái niệm được mô tả nhờ vào các ghi nhận trực giác số và trực giác hình học, sau đó định nghĩa tổng quát dưới dạng mô tả làm cho HS dễ hiểu hơn

- Phân biệt rõ ràng cho HS hiểu được khái niệm + và - không trình

bày chung là như sách giáo khoa năm 2000

- Các dạng bài tập trong SGK đa dạng, phong phú, phù hợp với trình độ

HS và có thể sắp xếp chúng đồng thời bổ sung thêm một số bài tập khác để thành các dạng toán có tiềm năng to lớn trong việc phát triển tư duy sáng tạo

- Các bài toán về giới hạn gắn liền với quá trình vô hạn, liên tục Vì vậy việc giải các bài toán này giúp HS phát triển tư duy kiểu “vô hạn, liên tục” qua đó phát triển tư duy sáng tạo

Những khó khăn:

Về kiến thức:

- Đây là một trong những chương khó nhất của giải tích THPT Các khái niệm về giới hạn, hàm số liên tục là hoàn toàn mới mẻ, trừu tượng đối với HS THPT Vì vậy việc lĩnh hội các khái niệm đó đã khó, thông qua đó để phát triển tư duy sáng tạo còn khó hơn

- Cách tiếp cận khái niệm cũng khác trước đây nên trong thời gian ngắn của phân phối chương trình HS khó có thể hiểu thấu đáo mọi vấn đề

- Các định lí trong SGK chỉ nêu ra mà không chứng minh do vậy khi vận dụng định lí gặp nhiều khó khăn

- Việc vận dụng quy tắc SGK là khó, HS dễ nhầm khi gặp giới hạn dạng này

Về tư duy: Trong các quá trình giải các bài toán về giới hạn đòi hỏi HS phải vận dụng linh hoạt các quy tắc biến đổi đại số, điều này không phải HS nào cũng làm được

Về phương pháp: Khi học phần này HS đôi khi phải sử dụng phương pháp đặc biệt hóa, khái quát hóa, để làm công cụ học tập Khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng của HS còn gặp nhiều hạn chế dẫn tới việc học giới hạn còn gặp không ít khó khăn và cản trở nhiều đến việc phát triển tư duy sáng tạo

Về kỹ năng: Đối với HS nhìn chung kĩ năng biến đổi đại số để tính giới hạn còn hạn chế nên hay sai khi giải toán

1.6.3 Thực tiễn dạy học giải toán giới hạn tại trường THPT Bắc Duyên Hà

Đầu học kì 2 năm 2011 chúng tôi tiến hành điều tra bằng phiếu hỏi đối với 12 GV toán và 60 HS trường THPT Bắc Duyên Hà (xem phụ lục 1 và phụ lục 2), tiến hành dự giờ 2 tiết dạy của GV(xem phụ lục 3 và phụ lục 4) với mục đích tìm hiểu những thuận lợi và khó khăn cũng như mức độ rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải toán giới hạn Tổng hợp kết quả thu được từ phiếu hỏi, từ kết quả dự giờ GV chúng tôi rút ra các nhận xét sau:

Về phía GV:

Khi dạy học lí thuyết: Đa số GV nhận xét lí thuyết giới hạn là khó với đa

số HS vì tính trừu tượng cao, thời gian cho chủ đề giới hạn ít nên việc tìm ra cách thức dạy học phát huy tính tích cực, sáng tạo của HS là khó khăn

Khi dạy học giải bài tập: GV chú trọng rèn luyện các kỹ năng tính toán đối với từng dạng toán cụ thể, GV chưa đưa ra nhiều tình huống bài tập khác nhau, chưa chú trọng tới các bài tập mà đòi hỏi HS phải mò mẫm, dự đoán, tìm phương án giải quyết, chưa chú trọng đến sai lầm mà HS mắc phải khi tìm giới hạn, chưa rèn cho HS tìm tòi khai thác mở rộng bài toán, đề xuất các bài toán mới, chưa khai thác các dạng bài tập để bồi dưỡng các thành phần của tư duy sáng tạo cho HS, chưa có các bài tập phát triển kiểu tư duy “vô hạn, liên tục” để qua đó bồi dưỡng tư duy sáng tạo nên thực sự GV chưa có biện pháp

rõ ràng nào để phát triển tư duy sáng tạo cho HS

Về phía HS:

- Khi học lí thuyết: Đa số HS không hứng thú, không tích cực khi học lí thuyết giới hạn và cho rằng lí thuyết giới hạn rất trừu tượng

- Khi giải bài tập: Chỉ làm được các bài tập cơ bản mà GV đã hướng dẫn

và đúng dạng, gặp nhiều khó khăn khi bài toán thay đổi, còn mắc nhiều sai lầm khi giải toán, ít có thói quen khai thác lời giải bài toán, tìm nhiều lời giải, khái quát hóa bài toán, tìm sai lầm trong lời giải, đề xuất bài toán tương tự bài toán mới nếu có Vì vậy thực sự qua giải toán giới hạn HS chưa phát triển được nhiều tư duy sáng tạo

1.6.4 Tiềm năng phát triển tư duy sáng tạo cho HS khi giải toán giới hạn

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với HS, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu nhất của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo ứng dụng vào thực tiễn, từ đó thực hiện tốt các mục đích dạy học trong đó có phát triển tư duy sáng tạo Các nhà tâm lý học cho rằng:

“sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phương pháp logic để giải quyết nhiệm

vụ đó là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ” [28] Chủ đề toán giới hạn được đưa vào trong chương trình toán lớp 11 ở chương IV cả hai ban cơ bản và ban nâng cao Các bài tập và dạng toán về giới hạn phong phú điều đó tạo điều kiện thuận lợi cho GV rèn cho HS giải các dạng toán này để qua đó phát triển tư duy sáng tạo Mặt khác giới hạn là kiến thức mở đầu cho bộ môn giải tích ở trường phổ thông, và đặc trưng của

tư duy toán học trong môn giải tích đó chính là tư duy “vô hạn và liên tục” Vì vậy trong dạy học giải toán giới hạn GV khai thác tốt kiểu tư duy này để phát triển tư duy sáng tạo cho HS

1.7 Kết luận chương 1

- Trong chương này luận văn đã làm rõ và sâu sắc khái niệm tư duy, đặc biệt là khái niệm tư duy sáng tạo, nêu được 5 yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Đó là căn cứ để GV phát triển tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình dạy học giải toán giới hạn

- Trình bày nội dung và phân phối chương giới hạn trong chương trình toán lớp 11, hệ thống các dạng toán về giới hạn, qua đó thấy được thời gian dành cho chủ đề này còn ít mà kiến thức giới hạn lại rất trừu tượng với HS nên việc phát triển tư duy sáng tạo qua giải toán giới hạn gặp nhiều khó khăn

- Chỉ ra những thuận lợi và khó khăn khi dạy học giới hạn cũng như phát triển tư duy đặc biệt là tư duy sáng tạo

- Bước đầu tìm hiểu thực tế dạy học giải toán giới hạn để phát triển tư duy sáng tạo cho HS còn yếu do GV chưa tìm ra biện pháp cụ thể nào để thông qua dạy học giải toán giới hạn mà phát triển tư duy sáng tạo cho HS

- Trình bày được tiềm năng của kiến thức giới hạn nói chung, đặc biệt là các dạng toán của giới hạn trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho HS

Việc phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải toán là rất cần thiết, bởi qua đó GV giúp HS học tập tích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của HS trong học tập và trong cuộc sống đáp ứng được yêu cầu xã hội tri thức Công việc của mỗi GV trong dạy học toán là tìm ra được các biện pháp nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho HS Căn cứ vào cơ sở

lí luận và thực tiễn đã trình bày thì trong chương 2 chúng tôi đề xuất 2 biện pháp để phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT

Chương 2: BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN GIỚI HẠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Phát triển tư duy sáng tạo cho HS là một quá trình cần nhiều thời gian và phải được tiến hành ở tất cả các khâu của quá trình dạy học Trong quá trình dạy học toán ngoài việc trang bị cho HS kiến thức GV cần chú trọng nhiều đến việc phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo Để làm được điều đó GV cần chú trọng rèn luyện các đặc trưng của tư duy sáng tạo trên cơ sở trang bị kiến thức và rèn luyện các hoạt động trí tuệ GV cần rèn cho HS cách nhìn, cách giải quyết vấn đề một cách linh hoạt không gò bó, rèn khả năng dự đoán, mò mẫm khi giải toán, rèn HS biết nhìn tình huống bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để có hướng giải quyết vấn đề dưới nhiều khía cạnh, tìm ra cách giải tối ưu GV đóng vai trò là người điều khiển, hướng dẫn HS để thông qua giải toán tư duy sáng tạo của HS được phát huy Căn cứ vào cơ sở lí luận và thực tiễn về tư duy sáng tạo thì việc rèn luyện các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo cho HS thông qua giải các dạng toán về giới hạn là một biện pháp để phát triển tư duy sáng tạo

2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện các thành phần của tư duy sáng tạo thông qua giải các dạng toán về giới hạn

Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc trưng của nó và dựa vào quan điểm phát triển tư duy sáng tạo cho HS Bồi dưỡng các yếu tố của tư duy sáng tạo cho HS là một trong những biện pháp

để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho các em Để làm được điều này khi giải toán GV tập cho HS thói quen tìm nhiều lời giải cho một bài toán qua đó tìm ra lời giải tối ưu, xây dựng các bài toán tương tự, tìm bài toán tổng quát, xây dựng các bài toán mới, biết dự đoán, mò mẫm, xử lí linh hoạt đối với các tình huống bài tập, suy nghĩ không dập khuôn, nhanh chóng phát hiện những sai lầm thiếu lôgic, sửa chữa sai lầm trong lời giải, biết phân loại các dạng bài tập và tìm ra đường lối giải chung

2.1.1 Dạng 1 Tìm giới hạn của dãy số

Qua tìm hiểu và phân tích chương trình SGK đại số và giải tích 11 ở cả hai ban cơ bản và nâng cao thì dạng toán này có 22 bài tập gồm 6 bài trong SGK đại số và giải tích 11 ban cơ bản và 16 bài trong SGK ban nâng cao, các bài tập trung vào việc chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số, hầu hết các bài tập này cơ bản nên ít có tiềm năng bồi dưỡng các thành phần của tư duy sáng tạo do vậy ngoài việc sử dụng các bài tập trong SGK đại số và giải tích 11 ở cả hai ban cơ bản và nâng cao GV cần phải chọn lựa, bổ sung hợp lí thêm các bài tập ở mức độ khó hơn trong sách bài tập đại

số và giải tích 11 và các sách tham khảo khác GV hướng dẫn HS giải các bài tập này để thông qua việc giải các bài tập HS được bồi dưỡng 5 thành phần của tư duy sáng tạo, chúng tôi sẽ đi vào cụ thể vấn đề này như sau:

2.1.1.1 Chứng minh dãy số có giới hạn

Trong dạng toán này GV rèn luyện cho HS ba vấn đề chính sau:

- Chứng minh dãy số có giới hạn 0;

- Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn khác 0;

- Chứng minh dãy số có giới hạn vô cực

VD8 [7] Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:

3 1 HS sẽ nghĩ ngay tới kết quả

n

limq 0, nếu q 1

Vận dụng kết quả đó HS có thể tìm ra lời giải sau đây:

n n

độ (un) là hiệu của hai dãy số có giới hạn 0 là: vn =

wn= 1n 1

3 khi đó limwn = lim

n

1 1

3 3 = 0 nên limwn = 0

Vậy limun = lim(vn –wn) = limvn- limwn = 0

Để kích thích tư duy GV yêu cầu HS đề xuất bài tập tương tự HS có thể xây dựng được các bài tập sau:

Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:

Cách 2: Tách thành tổng hai dãy cùng có giới hạn 0

Như vậy qua ví dụ này GV giúp HS có tư duy linh, khả năng suy nghĩ không dập khuôn, tìm giải pháp khác khi gặp trở ngại, đặc biệt có thể tạo tự

đề ra các bài tập tương tự và khó hơn qua đó bồi dưỡng các thành phần của tư duy sáng tạo cho HS

2) Cách 1: Hiển nhiên điều khẳng định đúng với a = 1

u a 1 nhỏ hơn dãy số có giới 0 là rất khó đòi hỏi GV phải có những hướng dẫn thích hợp, đồng thời HS phải nhạy bén trong biến đổi, nhìn nhận các đối tượng trong mối liên hệ với nhau, có sự sắp xếp hoàn thiện trong việc chia các trường hợp, luôn suy nghĩ tìm lời giải khác của bài toán thông qua đó tư duy sáng tạo của HS được phát triển

VD10 Chứng minh dãy số (un) với un = (-1) n không có giới hạn 0?

minh dãy số có giới hạn 0 qua đó rèn HS biết phân tích, mò mẫm tìm cách giải mới

VD11 Cho dãy số (un) xác định: 1

* n

n 1

1u2u

và bị chặn dưới có giới hạn” HS vận dụng và đưa đến kết quả sau:

Cách 1: Ta có u1> 0 Giả sử uk > 0 với k N*thì với mọi n có k

u n 1 , nên (un) là dãy đơn điệu giảm (2)

Từ (1) và (2) suy ra tồn tại limun = a suy ra limun+1= a

Ta chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp Thật vậy:

Như vậy với ví dụ trên thông thường HS chỉ làm theo cách 1 hoặc cách

2 Tuy nhiên GV gợi ý thích hợp HS có thể tìm ra được cách 3 và cách 4 Như vậy GV đã phát triển được tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy sáng tạo cho HS

Hướng dẫn

Đối với bài toán này HS xác định được yêu cầu của câu1) và câu 2) giống nhau tuy nhiên câu 1) dãy số cho bởi hệ thức truy hồi còn câu 2) dãy số cho bởi công thức tính số hạng tổng quát Đối với câu 1) với sự gợi ý của GV HS

có tìm được lời giải sau:

Cách 2: Ta chứng minh (un) giảm và bị chặn dưới

Thật vậy u1>1; Giả sử uk >1với1 k N, thì k

Từ (1) và (2) suy ra tồn tại limun = a nên lim un+1 = a

2) Với câu này HS nghĩ tới việc thu gọn số hạng tổng quát điều đó không dễ

GV gợi ý HS áp dụng hằng đẳng thức a2 a và kết quả cos 2

4 2 Với sự

gợi ý đó HS có thể tìm ra lời giải hay sau:

Cách 1: Ta biết 2 2 2 2cos 2cos 2

Cách 2: Ta có công thức truy hồi dãy (un): 1