Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông qua nội dung tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI KHÁNH TOÀN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA NỘI DUNG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) HÀ NỘI-2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI KHÁNH TOÀN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA NỘI DUNG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TỐN Chun ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TSKH Vũ Đình Hịa HÀ NỘI-2010 LỜI CẢM ƠN Với tất tình cảm mình, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSKH Vũ Đình Hồ, người thầy tận tâm hướng dẫn, bảo tác giả suốt trình làm luận văn Xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy giáo, giáo nhiệt tình giảng dạy đặc biệt thầy cô Trường Đại học Giáo Dục, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện, động viên, khích lệ, giúp đỡ tác giả lúc học tập làm luận văn Xin cảm ơn thầy cô giáo em học sinh lớp 11B1 11B2 trường THPT Hải An, Hải Phòng giúp đỡ tác giả thực thực nghiệm sư phạm Mặc dù cố gắng song luận văn không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận dẫn, đóng góp ý kiến thầy cô giáo, nhà khoa học, bạn đồng nghiệp người quan tâm đến vấn đề nêu luận văn để luận văn hồn thiện có giá trị thực tiễn Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2010 Tác giả Bùi Khánh Toàn DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BT: Bài toán GV: Giáo viên HS: Học sinh SGK: Sách giáo khoa SGV: Sách giáo viên SBT: Sách tập TH: Trƣờng hợp THPT: Trung học phổ thơng DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU A kn : Số chỉnh hợp chập k n phần tử  kn : A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử C kn : Số tổ hợp chập k n phần tử  kn : C Số tổ hợp lặp chập k n phần tử Pn : Số hoán vị n phần tử Qn : Số hốn vị đƣờng trịn n phần tử MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 13 1.1 Kỹ 13 1.1.1 Khái niệm kỹ 13 1.1.2 Phân loại kỹ mơn tốn 14 1.2 Tƣ sáng tạo 15 1.2.1 Tƣ duy, hình thức tƣ duy, thao tác tƣ 15 1.2.2 Sáng tạo trình sáng tạo 19 1.2.3 Khái niệm tƣ sáng tạo, thành phần tƣ sáng tạo 21 1.2.4 Một số cơng trình nghiên cứu lực tƣ sáng tạo học sinh 24 1.3 Phƣơng hƣớng bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học mơn Tốn 29 1.3.1 Bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với hoạt động trí tuệ khác 29 1.3.2 Bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả phát vấn đề mới, khơi dậy ý tƣởng 30 1.3.3 Bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cho học sinh q trình lâu dài có tiến hành tất khâu trình dạy học 30 1.3.4 Chú trọng bồi dƣỡng yếu tố cụ thể tƣ sáng tạo quan việc xây dựng dạy học hệ thống tập 31 1.4 Thực vấn đề rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh dạy học tập tổ hợp 11 32 Kết luận chƣơng 33 Chƣơng RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA NỘI DUNG TỔ HỢP 34 2.1 Các định hƣớng phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh qua nội dung tổ hợp 34 2.1.1 Rèn luyện theo thành phần tƣ sáng tạo 34 2.1.2 Hƣớng vào rèn luyện hoạt động trí tuệ 41 2.1.3 Khuyến khích tìm nhiều lời giải cho tốn 44 2.1.4 Sáng tạo toán 45 2.1.5 Giải toán thực tế tổ hợp 48 2.2 Một số tập tổ hợp 51 2.2.1 Quy tắc cộng - quy tắc nhân 51 2.2.2 Chỉnh hợp lặp 53 2.2.3 Chỉnh hợp không lặp 54 2.2.4 Hoán vị 56 2.2.5 Tổ hợp không lặp 60 2.2.6 Tổ hợp lặp 62 2.2.7 Nhị thức Newton 64 2.3 Một số tập nâng cao tổ hợp 69 2.3.1 Phƣơng pháp tổ hợp lí thuyết tập hợp 69 2.3.2 Mạng lƣới ô vuông 72 2.4 Những khó khăn sai lầm thƣờng gặp học sinh giải tập tổ hợp 77 2.5 Bài tập tổng hợp 78 Kết luận chƣơng 79 Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 80 3.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 80 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 80 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm: 80 3.2.2 Nội dung dạy thực nghiệm: 80 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm: 82 3.3.1 Đánh giá định tính: 82 3.3.2 Đánh giá định lƣợng: 82 Kết luận chƣơng 85 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 PHỤ LỤC 89 HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 91 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nâng cao chất lƣợng dạy học nói chung, chất lƣợng dạy học mơn Tốn nói riêng yêu cầu cấp bách ngành Giáo dục nƣớc ta Một khâu then chốt để thực yêu cầu đổi nội dung phƣơng pháp dạy học Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học đƣợc rõ Luật Giáo dục (1998): “…Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn…” Phát triển lực tƣ cho học sinh mục tiêu nhà trƣờng phổ thơng việc rèn luyện tƣ sáng tạo giữ vai trò quan trọng việc phát triển lực tƣ Các hoạt động trí tuệ nói chung, tƣ sáng tạo nói riêng khơng giúp ngƣời tƣ duy, hành động tốt học tập, nghiên cứu khoa học mà cịn giúp ngƣời tham gia vào lĩnh vực khác sống với hiệu cao Chƣơng trình mơn tốn (thí điểm) trƣờng trung học phổ thông (năm 2002) rõ: “… Mơn tốn phải góp phần quan trọng vào việc phát triển lực trí tuệ, hình thành khả suy luận đặc trưng Toán học cần thiết cho sống, … rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức học vào việc giải toán đơn giản thực tiễn, phát triển khả suy luận có lý, hợp logic tình cụ thể, khả tiếp cận biểu đạt vấn đề cách xác …” Dạy tốn dạy kiến thức, tƣ tính cách (Nguyễn Cảnh Tồn), dạy kỹ có vị trí đặc biệt quan trọng, khơng có kỹ khơng phát triển đƣợc tƣ không đáp ứng đƣợc nhu cầu giải vấn đề Tuy nhiên, nhận định phƣơng pháp dạy tốn trƣờng phổ thơng giai đoạn nay, tác giả Hoàng Tuỵ Nguyễn Cảnh Toàn viết: “Cách dạy phổ biến thầy kiến thức (khái niệm, định lý) giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng cơng thức, định lý để tính tốn, chứng minh …”; “…Ta cịn chuộng cách nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải tốn ối oăm, giả tạo, chẳng giúp để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi chán nản …" [11, tr.38] Nhiều cơng trình nghiên cứu tâm lý học, phƣơng pháp dạy học, … khẳng định cần thiết phải rèn luyện số kỹ dạy học Đại số nói chung Đại số tổ hợp nói riêng cho học sinh Tác giả Trần Khánh Hƣng cho rằng: “Kỹ yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ học hành Việc dạy học không đạt kết học sinh biết học thuộc định nghĩa, định lý mà vận dụng vào việc giải tập”, cịn Nguyễn Bá Kim viết: “Nó sở để thực phương diện mục đích khác” [5, tr.46] Nhƣ khẳng định cần thiết phải rèn luyện cho học sinh kỹ dạy học Toán Tuy nhiên, việc rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh trƣờng phổ thơng khơng đƣợc thể tƣờng minh Do ngƣời giáo viên cần tìm hội, nội dung kiến thức phù hợp để rèn luyện lực tƣ cho học sinh Với học sinh phổ thông, tƣ sáng tạo thể qua việc vận dụng kiến thức tự cấu trúc lại biết, tìm tịi, phát điều chƣa biết Với mơn học, tƣ sáng tạo có đặc trƣng riêng Khi học tốn: việc tìm tịi lời giải khác sáng tạo toán cách thể tƣ sáng tạo Nó khơng giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà tạo niềm say mê, tích cực học tập Có thể nói sáng tạo lực tƣ cần thiết học toán Tổ hợp mảng kiến thức tốn hay khó nhƣng có nhiều tiềm rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh Với lý định chọn đề tài là: “ Rèn luyện kỹ giải toán phát triển tư sáng tạo cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông qua nội dung tổ hợp” Lịch sử nghiên cứu Ở nƣớc ta có nhiều tác giả nghiên cứu tổ hợp nhƣ: Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hịa, Đặng Huy Ruận , nhiều tác giả nhƣ Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Tồn, Nguyễn Bá Kim có nhiều cơng trình nghiên cứu lý luận thực tiễn việc rèn luyện kỹ năng, phát triển tƣ cho học sinh học mơn Tốn Tuy cơng trình, nghiên cứu vấn đề rèn luyện kỹ phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh lý luận chung nhƣng có gợi mở quan trọng cho tơi q trình triển khai đề tài Mục tiêu nghiên cứu Tạo hệ thống toán tổ hợp theo chủ đề nhằm rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học mơn tốn trƣờng phổ thơng Phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nội dung: Nghiên cứu tập tổ hợp sách gióa khoa sách tập Đại Số Giải Tích 11 nâng cao (NXBGD – 2008) - Phạm vi thời gian: Năm học 2009-2010 Mẫu khảo sát - Học sinh khối 11 trƣờng THPT Hải An (Quận Hải An, Thành phố Hải Phòng) Vấn đề nghiên cứu - Rèn luyện kỹ phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học tốn tổ hợp nhƣ nào? KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Sáng tạo phẩm chất cần thiết ngƣời xã hội phát triển Việc rèn luyện tƣ sáng tạo khả thi cần thiết tiến hành nhà trƣờng phổ thông, điều đƣợc nhận thức thành nhiệm vụ đặt cho ngành giáo dục Dạy học mơn tốn nói chung phân mơn Đại số tổ hợp nói riêng có điều kiện thuận lợi để thực nhiệm vụ dạy học Qua trình nghiên cứu đề tài, thu đƣợc kết sau: - Làm sáng tỏ đƣợc đặc điểm hoạt động sáng tạo khoa học số yếu tố tƣ sáng tạo - Đã xác định đƣợc để xây hệ thống tập bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cho học sinh - Đã xây dựng hệ thống tập gồm 44 bƣớc đầu đề xuất giải pháp thực dạy học để nâng cao hiệu rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh - Đã bƣớc đầu điều tra, thực nghiệm sƣ phạm, bƣớc đầu xác định đƣợc tính cấp thiết việc dạy học sáng tạo xác định đƣợc tính khả thi phƣơng án đề xuất, đồng thời bƣớc đầu khẳng định đƣợc giả thuyết khoa học đƣa luận văn đắn - Đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đề Hơn nữa, đề tài phƣơng pháp nghiên cứu luận văn cịn tiếp tục đƣợc áp dụng cho nhiều nội dung khác mơn tốn cho lớp, cấp học khác Qua việc thực luận văn, thu nhận đƣợc nhiều kiến thức bổ ích lý luận qua sách, báo, tạp chí cơng trình nghiên cứu lĩnh vực liên quan đến đề tài luận văn Chúng hy vọng rằng, thời gian tƣ tƣởng giải pháp đƣợc đề xuất tiếp tục đƣợc thử nghiệm, khẳng định tính khả thi việc bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cho học sinh 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả sáng tạo tốn học trường phổ thơng NXB Giáo Dục Vũ Đình Hịa (1999), Một số kiến thức sở hình học Tổ hợp NXBKhoa học Giáo Dục Vũ Đình Hịa (2002), Lý thuyết tổ hợp tập ứng dụng NXB Giáo Dục Đà Nẵng Vũ Đình Hịa (2006), Lý thuyết tập hợp Hà Nội Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB ĐHSP Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hịa (2008), Chun đề chọn lọc Tổ Hợp Toán Rời Rạc NXB giáo dục Polya (1978), Sáng tạo tốn học NXB Giáo dục Đồn Quỳnh(Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số Giải tích 11 Nâng cao NXB Giáo Dục Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 Nâng cao NXB Giáo Dục 10 Đặng Huy Ruận (2004), Lý thuyết đồ thị ứng dụng NXB Khoa Học Kỹ Thuật 11 Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận vật biện chứng với việc dạy, học, nghiên cứu toán học, tập NXB ĐHQG Hà Nội 12 Bộ giáo dục đào tạo(2010), Phân phối chương trình mơn Tốn trung học phổ thông 87 13 Bộ giáo dục đào tạo(2007), Tài liệu bồi dưỡng sách giáo khoa lớp 11 NXB Giáo dục 14 Dự án đào tạo giáo viên trung học sở (2005), Đổi phương pháp dạy học mơn Tốn THCS nhằm hình thành phát triển lực sáng tạo cho học sinh NXB giáo dục, Hà Nội 15 Tạp chí “Tốn học tuổi trẻ” 16 Viện ngôn ngữ học (2005), Từ điển Tiếng Việt NXB Thành phố Hồ Chí Minh 88 PHỤ LỤC PHIẾU ĐIỀU TRA (Mẫu 01) Xin đồng chí vui lịng trả lời câu hỏi sau cách khoanh tròn chữ a, b, c, d sau câu hỏi dƣới Trong trình dạy học đồng chí: Câu 1: Chú ý rèn luyện cho học sinh khả dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác, khả nhận đối tƣợng điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức đối tƣợng quen biết a Không b Hiếm c Thỉnh thoảng d Thƣờng xuyên Câu 2: Chú ý rèn luyện cho học sinh khả tìm nhiều giải pháp, khả xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác a Không b Hiếm c Thỉnh thoảng d Thƣờng xuyên Câu 3: Chú ý rèn luyện cho học sinh khả tìm liên tƣởng kết hợp mới, khả tìm mối liên hệ qua kiện bên khả tìm giải pháp lạ a Khơng b Hiếm c Thỉnh thoảng d Thƣờng xuyên Câu 4: Chú ý rèn luyện cho học sinh khả lập kế hoạch phối hợp ý nghĩa hành động, phát triển ý tƣởng, kiểm tra chứng minh ý tƣởng a Không b Hiếm c Thỉnh thoảng d Thƣờng xuyên Câu 5: Chú ý rèn luyện cho học sinh lực nhanh chóng phát vấn đề, phát mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic chƣa tối ƣu giải tốn a Khơng b Hiếm c Thỉnh thoảng d Thƣờng xuyên Chúng xin chân thành cảm ơn đồng chí! 89 PHIẾU ĐIỀU TRA (Mẫu 02) Đề nghị em trả lời câu hỏi sau cách khoanh tròn chữ a, b,c,d sau câu hỏi dƣới Câu 1: Sau giải xong tốn em có thƣờng xun kiểm tra khai thác giải hay khơng? (Kiểm tra tính đắn lời giải, tìm nhiều lời giải, tìm lời giải hay nhất) a Không b Hiếm c Thỉnh thoảng d Thƣờng xuyên Câu 2: Sau giải xong tốn, em có thói quen đặt vấn đề ngƣợc lại (có thể) hay khơng? a Không b Hiếm c Thỉnh thoảng d Thƣờng xuyên Câu 3: Khi gặp toán chƣa biết cách giải, em có xét trƣờng hợp riêng để mị mẫm, dự đốn kết quả, tìm lời giải hay không? a Không b Hiếm c Thỉnh thoảng d Thƣờng xuyên Câu 4: Khi giải tốn, em có thói quen xét tốn tƣơng tự tìm cách giải tốn tƣơng tự hay không? a Không b Hiếm c Thỉnh thoảng d Thƣờng xuyên Câu 5: Sau giải xong tốn, em có thói quen thay đổi kiện theo giả thiết thay đổi kết luận toán để lập toán giải tốn hay khơng? a Khơng b Hiếm c Thỉnh thoảng d Thƣờng xuyên Chúng xin chân thành cảm ơn em! 90 HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Gọi số cần tìm abcde Nếu a  {5, 7, 9} có cách chọn e, cịn a  {6, 8} có cách chọn c Có tất (3.4 + 2.5) A84 = 36960 số Bài a) Có 7.9 = 63 cách chọn đƣờng b) Vì đƣờng lúc khơng trùng với đƣờng lúc nên có 7.9.8.6 = 3024 cách chọn đƣờng c) Để từ A đến C có hai phƣơng thức: A  B  C A  D  C Số cách chọn đƣờng 7.9 + 3.4 = 75 cách Bài Có hai trƣờng hợp: trƣờng hợp chọn áo sơ mi trắng quần khơng màu kem, có 3.3 = cách; chọn áo sơ mi màu trắng quần màu kem, có 4.2 = cách Vậy có tất + = 17 cách chọn quần áo thỏa mãn yêu cầu Bài Gọi X tập hợp số x = abcde , a 0, cho tổng chữ số x số lẻ Nếu x có chữ số lẻ có C15 cách chọn vị trí x làm chữ số lẻ; chọn số {1; 3; 5; 7; 9} cho vị trí đó, có cách; chọn bốn số {0; 2; 4; 6; 8} cho vị trí cịn lại, có 54 cách; có C15.51.54 số x có chữ số lẻ Lập luận tƣơng tự cho số x có ba năm chữ số lẻ, suy | X | C15 5154  C53 5352  C55 55  16.55 Gọi Y tập hợp số y = 0bcde , cho tổng chữ số y số lẻ Khi y có ba chữ số lẻ Lập luận tƣơng tự nhƣ tập hợp X, suy | Y | C14 5153  C34 5351  8.54 Vậy đáp số | X |  | Y | 16.55  8.54 = 45000 (số) Bài a) Gọi x = abcd ; có A 35 số mà d = 0; d  có cách chọn d, cách chọn a A 24 cách chọn bc Vậy có A 35 + 2.4 A 24 = 108 số 91 b) Gọi x = abc ; có A 52 số mà c = 0; c = có cách chọn a, cách chọn b Vậy có A 24 + 4.4 = 36 số c) Các số (a, b, c) đôi khác lấy từ chữ số cho có tổng chia hết cho là: (0, 4, 5), (1, 3, 5), (2, 3, 4) Vậy có 2.2! + 2.3! = 16 số thỏa mãn Bài Có cách chọn chữ số hàng đơn vị cách chọn cho chữ số cịn lại, có tất 48 = 65536 số Bài Có cách chọn chữ số hàng trăm, cách chọn chữ số hàng đơn vị cách chọn chữ số hàng chục Do có tất 6.7.4 = 168 số thỏa mãn Bài Gọi số x = abcd , chữ số Chọn ba chữ số tùy ý, có 33  27 cách, có cách chọn chữ số d  {0, 1, 2} cho (a+b+c+d) chia hết cho Vì x  2001 nên ta đếm số x không thỏa mãn 27 số đó: số x có a = gồm 32 số, đặc biệt 2001 số x có a = thỏa mãn Vậy số số thỏa mãn 27  + = 19 Bài Tƣơng tự tập 4, đáp số bằng: C     C72  C74  C67 57  C06  C62  C64  C66 56  4500000 Bài 10 Mỗi cách trao giải cách chọn đội phân biệt, có thứ tự từ 10 đội, số cách trao giải A10 = 4896 Bài 11 Để xác định đơn ánh ta phải chọn giá trị phân biệt từ tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} để ảnh tƣơng ứng phần tử {a; b; c; d; e} Do số đơn ánh A 59 = 15120 Bài 12 Gọi số cần lập x = abcde Nếu e = có A 64 cách chọn chữ số cịn lại Nếu e = có cách chọn cho a, có A 35 cách chọn chữ số lại Vậy số số x thỏa mãn A 64 + A 35 = 660 92 Bài 13 Nếu chữ số hàng đơn vị có A86 số Nếu chữ số hàng đơn vị khác có cách chọn chữ số hàng đơn vị; có cách chọn chữ số hàng triệu A 57 cách chọn chữ số cịn lại Do có tất A64  4.7.A57 = 90720 số Bài 14 Xét số x = abcde , chữ số đƣợc chọn từ A = {1, 2, 3, 4, 5} a) Mỗi số x hoán vị phần tử A, có 5! = 120 số b) Với a = 1, có 4! = 24 số thỏa mãn c) Với a  1, có 5!  4! = 120  24 = 96 số d) Với a = 2, b = 4, có 3! = số e) Với abc = 241, có 2! = số Vậy có 120  = 198 số thỏa mãn Bài 15 Tất có 5! = 120 số đƣợc viết năm chữ số 1, 2, 3, 4, Vì khong có số tận nên khơng có số bội 120 Nhƣ số dƣ 120 số phép chia cho 120 nhận giá trị 1, 2, , 119 Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hai số khác có số dƣ phép chia cho 120, hiệu hai số chia hết cho 120 Bài 16 Số từ khác tạo hoán vị 14 chữ (với ba chữ T giống nhau, ba chữ O giống nhau) 14! Nếu ba chữ T đứng cạnh 3!3! coi ba chữ “chữ”, có tốn 12! từ đƣợc tạo Vậy đáp số 3! 14! 12!  3!3! 3! Bài 17 Xét trƣờng hợp chữ số 0, tám chữ số có ba chữ số giống nên số hoán vị tám chữ số 8!  6720 3! Trƣờng hợp chữ số 0, bảy chữ số cịn lại có ba chữ số giống nên số số loại 93 7! = 840 3! Vậy đáp số toán 6720  840 = 5880 Bài 18 Chọn hai vị trí (trong bốn vị trí) theo hƣớng tàu chạy cho hai ngƣời muốn ngồi nhƣ vậy, có A 24 cách Chọn hai vị trí (trong bốn vị trí) ngƣợc hƣớng cho hai ngƣời muốn ngồi ngƣợc hƣớng, có A 24 cách Xếp bốn ngƣời khách cịn lại vào bốn vị trí cịn lại, có 4! cách Vậy tất có A 24 A 24 4! = 3456 cách xếp chỗ ngồi Bài 19 Mỗi đơn ánh đƣợc xác định cách chọn k số phân biệt n số tập hợp {1; 2; ; n} Do điều kiện f(1) < f(2) <  < f(k) nên với tập k phần tử có cách thứ tự nhƣ Vậy số đơn ánh tạo thành C kn Bài 20 Mỗi giao điểm hai đƣờng chéo ứng với đỉnh đỉnh đầu cuối hai đƣờng chéo này, đỉnh n-giác cho cho ta giao điểm giao điểm hai đƣờng chéo tứ giác lồi tạo chúng Vậy số giao điểm đƣờng chéo n-giác lồi cho C 4n Bài 21 a) Mỗi tam giác tƣơng ứng với đỉnh đa giác Vậy số tam giác tạo thành C320 = 1140 b) Tam giác ABC có hai cạnh cạnh H ba đỉnh A, B, C ba đỉnh  liên tiếp đa giác H, tam giác có góc ABC trùng với góc đa giác Có C120 = 20 cách chọn góc này, có 20 tam giác có hai cạnh cạnh H c) Để tam giác có cạnh cạnh H, chọn cạnh đa giác, có C120 = 20 cách Khi chọn đỉnh cịn lại khơng hai đỉnh liên tiếp cạnh trên, có 16 cách Vậy số tam giác tạo thành 20.16 = 320 94 Bài 22 a) Mỗi số tạo thành cách chọn 20 chữ số (có thể trùng nhau) từ chữ số viết theo thứ tự khơng giảm, tổ hợp lặp chập 20  920  C20 = 3108105 phần tử Vậy số số thỏa mãn C 28 b) Xét số x1x  x 20 , có 19 vị trí số ( x i , x i1 ) Chọn vị trí 19 vị trí để làm vách ngăn chia 20 chữ số x i thành loại: chữ số từ x1 đến trƣớc vách ngăn thứ chữ số 1, , chữ số cuối chữ số Khi ta nhận đƣợc số tự nhiên 20 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề Vậy đáp số toán C19 = 75582 Bài 23 a) Mỗi cách chia nghiệm ngun khơng âm phƣơng trình x1  x    x k  n ( x i số kẹo em bé thứ i, tổng số kẹo n) Số cách chia kẹo Cnn k 1 b) Mỗi cách chia kẹo cho em có kẹo nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình x1  x    x k  n Số cách chia kẹo Ckn 11 Bài 24 Đây tốn tìm số nghiệm ngun khơng âm phƣơng trình x1  x    x n  k (k cho trƣớc) Số cần tìm Ckn k 1 Bài 25 Số hạng tổng quát khai triển: k  C18  18k 1  x 2 x  k 2 k 3k 18 k C18x Số hạng không chứa x ứng với k  12 Do số hạng cần tìm 212 C12 18 Bài 26 Số hạng tổng quát k a k = C19    3 k 19k = k 19k k C19 3 , (  k  19 ) Để có số hạng ngun dƣơng k  (19  k)3 Từ dễ thấy có 23 , giá trị k = 4; 10; 16 thỏa mãn Vậy số hạng nguyên dƣơng C19 16 C10 19 , C19 Bài 27 Ta có: 95 (1  x  x  x )  (1  x) (1  x )   5 k 0 C5k x k  i 0 Ci5x 2i 5   C5k Ci5x k 2i k 0 i 0 Để có x10 k + 2i = 10 Các số thỏa mãn (k, i) = (0, 5); (2, 4); (4, 3) Vậy hệ số x10 C50C55  C52C54  C54C35 = 101 Bài 28 Theo định lý Viet cho đa thức bậc n, dễ thấy hệ số x n 1 bằng: a n 1  1 1    n 1 n 2 2 Hệ số x n 2 bằng:   1  1  1 a n 2   i  j       n        2n    2  2 2   1i jn 2 22n  3.2n  = 3.22n n 1 n k n k k  x 2 n Bài 29     n (x  2)  n  Cn x Xét hệ số a k  Ckn 2n k Do  5 5 k 0 hệ số a lớn nên:   C9n  2C8n n  26  a  a8    n  26, 27, 28, 29  10 a  a n  29 2C  C  10    n n  Dễ thử lại với n nhƣ thỏa mãn yêu cầu toán Bài 30 S = (1  1)2n  (1  1)2n  22n 1 Bài 31 S = (1  3)2010  42010 Bài 32 S = n n k 1 k 1  3k Ckn   2Ckn  (4n  1)  2(2n  1)  4n  2n1  (1  3)100  (1  3)100  2199  299 Bài 33 S = 96 5 Bài 34 Xét khai triển đa thức (1  x)  (1  x) (1  x)   C5kC5i x k i 12 k 0 i 0 Hệ số x khai triển tổng S C12 = 792 Bài 35 Xét khai triển đa thức: n n (1  x)2n  (1  x) n (1  x) n   CknCnn i x k n i k 0 i 0 So sánh hệ số x n khai triển đa thức suy điều phải chứng minh Bài 36 Vì có hai chữ O giống nên số hoán vị dãy chữ 7! 2! Trong dãy chữ có hai chữ O đứng cạnh 6! Vậy đáp số toán 7!  6! = 1800 2! Bài 37 Ký hiệu Pi , i = 1, 2, , bảy đa giác có diện tích nằm hình vng V có diện tích Ký hiệu S( Pi ) diện tích đa giác Pi Giả sử phản chứng khơng có hai đa giác cắt với diện tích phần chung khơng nhỏ 1 , tức là: S(Pi  Pj )  với  i  j  Suy ra: 7 S(P1  P2 )  S(P1)  S(P2 )  S(P1  P2 )    S(P1  P2  P3 )  S(P1  P2 )  S(P3 )  S((P1  P3 )  (P2  P3 ))  S(P1  P2 )  S(P3 )  S(P1  P3 )  S(P2  P3) 1 1  (2  )   (  )   (  ) 7 7 Lặp lại cách làm ta nhận đƣợc: S(P1  P2    P7 )        7 97 Điều xảy đa giác nằm hình vng V có diện tích Từ suy điều phải chứng minh Bài 38 Ta tƣởng tƣợng ô vuông đƣợc kẻ cho cạnh nằm theo phƣơng nằm ngang thẳng đứng Để trở đỉnh ban đầu, ta lên bƣớc phải xuống dƣới nhiêu bƣớc, sang trái bƣớc phải bên phải nhiêu bƣớc Do tổng số bƣớc phải số chẵn Bài 39 Nếu hai điểm có tọa độ tính chẵn lẻ trung điểm có tọa độ nguyên Từ đỉnh ngũ giác ta chọn đƣợc đỉnh nhƣ vậy, tồn điểm nguyên cạnh đƣờng chéo ngũ giác Ta chứng minh tồn điểm nguyên P điểm ngũ giác Thật vậy, P nằm đƣờng chéo điểm Còn P nằm cạnh xét ngũ giác cách bỏ hai đầu mút đoạn thẳng này, ngũ giác có đỉnh P đỉnh ngũ giác cũ, có điểm nguyên cạnh đƣờng chéo Cứ tiếp tục nhƣ nhận đƣợc điểm nguyên nằm đƣờng chéo ngũ giác Theo định lý Picard, diện tích ngũ giác lồi  5   Mặt 2 khác, tồn ngũ giác với đỉnh (0, 0), (0, 1), (1, 0), (2, 1), (1, 2) có diện tích 5 Vậy diện tích nhỏ ngũ giác lồi có đỉnh nguyên 2 Bài 40 Trƣớc hết ta phủ tờ giấy mạng lƣới ô vuông đơn vị có cạnh song song với cạnh giấy Sau cắt hình vng đơn vị khỏi tờ giấy đặt chúng chồng lên Giả sử mực thấm từ vng sang vng khác, diện tích chúng nhỏ 1, có điểm hình vng khơng bị thấm mực Khi lại trải vng vị trí cũ, vị trí điểm tạo nên hệ thống đỉnh mạng lƣới ô vuông đơn vị, điểm chúng nằm vết mực 98 Bài 41 Gọi X tập hợp số nhận đƣợc hoán vị chữ số x, gọi A i tập số X cho hai chữ số i cạnh nhau, i = 1, 2, 3, Số cần tìm là: | X |  | A1  A2  A3  A4 | = | X |   | Ai |  i 1  1i j4 | Ai  A j |    1i jk 4 = | Ai  A j  A k |  | A1  A2  A3  A4 | 5! 8! 7! 6!  C14  C34 C44 4! = 864 C24 2! (2!) (2!) (2!) Bài 42 a) Chọn hai học sinh (có thứ tự) xếp vào bàn một, sau chọn tiếp hai học sinh số cịn lại xếp vào bàn hai, Số cách xếp là: 2 A12 A10 A82 A24A22 = 12! b) Vì chọn hai học sinh không quan tâm thứ tự nên số cách xếp là: 2 C12 C10C8 C42C22  12! =7484400 (2!)6 c) Khi xếp thành cặp đôi ta không quan tâm đến thứ tự cặp đơi, nghĩa từ phần b) hốn vị nhóm ta nhận đƣợc kết Do số xếp 12! = 10395 (2!)6 6! Bài 43 a) Chọn sách sách tặng cho học sinh, có A 96 = 60480 cách b) Thầy giáo có C12 cách chọn sách tùy ý Nếu chọn hết sách văn học có C17 cách; có C82 cách chọn hết sách âm nhạc; có C39 cách chọn hết sách hội họa Không xảy trƣờng hợp chọn hết hai loại sách Vậy số cách 99 chọn sách cho loại cịn C12 C17  C82  C93 = 805 Đáp số tốn 805.6! = 579600 Bài 44 Có a k  Cnk Từ giả thiết suy hệ phƣơng trình sau:  9Ckn 1  2Ckn  9k  2(n  k  1) k2    k k 1 24(k  1)  9(n  k) n  10 24Cn  9Cn 100 ... LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA NỘI DUNG TỔ HỢP 34 2.1 Các định hƣớng phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh qua nội dung tổ. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI KHÁNH TOÀN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA NỘI DUNG TỔ HỢP... thức toán hay khó nhƣng có nhiều tiềm rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh Với lý tơi định chọn đề tài là: “ Rèn luyện kỹ giải toán phát triển tư sáng tạo cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông qua