Rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI  TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC           ĐỖ ĐÌNH NGÂN         RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG                   LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN       HÀ NỘI – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI  TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC           ĐỖ ĐÌNH NGÂN           RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG       LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 01 11                        Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN   Lời tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Giáo dục- Đại học Quốc Gia Hà Nội thầy giáo, cô giáo công tác giảng dạy trường nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu đề tài Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Nhụy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình làm việc để Luận văn hoàn chỉnh hoàn thành thời hạn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu thầy giáo tổ Tốn- Tin em học sinh trường THPT Khoái Châu – Khoái Châu – Hưng Yên nhiệt tình ủng hộ, giúp đỡ tác giả trình thực nghiệm sư phạm để đề tài thực đáp ứng yêu cầu đặt Sự quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi gia đình, bạn bè đồng nghiệp trình học tập, thực nghiên cứu đề tài nguồn động viên, cổ vũ tiếp thêm sức mạnh cho tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn Mặc dù có nhiều cố gắng chắn Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Hưng Yên, ngày 08 tháng 11 năm 2014 Tác giả Đỗ Đình Ngân   i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT   Chữ Viết tắt Chữ viết đầy đủ ĐKXĐ  Điều kiện xác định  GQVĐ  Giải quyết vấn đề  GV  Giáo viên  HS  Học sinh  L   Loại  SGK  Sách giáo khoa  THPT  Trung học phổ thông  VN  Vô nghiệm                                             ii MỤC LỤC Trang  Lời cảm ơn   i  Danh mục các chữ viết tắt   ii  Mục lục  . iii  Danh  mục các hình   v  MỞ ĐẦU  . 1  CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN  . 6  1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán   6  1.1.1. Khái niệm kỹ năng   6  1.1.2. Kỹ năng giải toán  . 7  1.1.3. Vai trị của kỹ năng giải tốn   8  1.1.4. Phân loại kỹ năng trong mơn Tốn  . 9  1.2. Thực trạng việc dạy học Tốn, dạy và học Phương trình lượng giác ở  một số trường Trung học phổ thơng   11  1.2.1. Thực trạng dạy học Tốn ở một số trường Trung học phổ thơng trên  địa bàn huyện Khối Châu - Hưng n   11  1.2.2. Thực trạng việc học Phương trình lượng giác ở một số trường Trung  học phổ thơng trên địa bàn huyện Khối Châu - Hưng n   13  1.2.3. Thực trạng việc dạy Phương trình lượng giác ở một số trường Trung  học phổ thơng trên địa bàn huyện Khối Châu - Hưng n   14  1.2.4.  Những  khó  khăn  và  sai  lầm  của  học  sinh  thường  gặp  khi  giải  Phương trình lượng giác  . 15  1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải tốn “Phương trình lượng giác”   23  1.3.1. Kĩ năng phân tích định nghĩa khái niệm   23  1.3.2.  Kĩ  năng  phân  tích  những  sai  lầm  thường  mắc  phải trong  q  trình  giải các bài tốn về Phương trình lượng giác   24  1.3.3. Kĩ năng hệ thống hóa các dạng tốn về Phương trình lượng giác   25  1.3.4. Kĩ năng tính tốn   25    iii  CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” CHO HỌC SINH   26  2.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải  tích 11 Trung học phổ thơng  . 26  2.1.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải  tích 11 Trung học phổ thơng  . 26  2.1.2.  Những  chú  ý  khi  dạy  nội  dung  Phương  trình  lượng  giác  trong  chương trình Đại số và Giải tích 11 Trung học phổ thơng   27  2.2. Xây dựng hệ thống các bài tập trong chủ đề “Phương trình lượng giác”  nhằm rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh   28  2.2.1. Phương trình lượng giác cơ bản   28  2.2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx   35  2.2.3. Phương trình lượng giác có thể đại số hóa   40  2.2.4. Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích   55  2.2.5. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn   67  2.2.6. Phương trình lượng giác khơng mẫu mực   80  CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM   86  3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm   86  3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm   86  3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm   86  3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm  . 86  3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm  . 87  3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm   87  3.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm   87  3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm   103  3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm   103  3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm   103  3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm   107  3.6. Tổng kết   110  KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ   111  TÀI LIỆU THAM KHẢO   112    iv DANH MỤC CÁC BIỂU   TT Tên biểu Trang Biểu  đồ  3.1.  So  sánh  kết  quả  bài  kiểm  tra  số  1  tại  trường  THPT  Khoái  Châu- Hưng Yên   107  Biểu đồ 3.2.  So sánh kết quả bài kiểm tra số 2   108      v MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi  dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh q trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức  sang  phát  triển  tồn  diện  năng  lực  và  phẩm  chất  người  học.  Học  đi  đôi  với  hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia  đình  và  giáo  dục  xã  hội.  Đây  là  một  trong  những  mục  tiêu  cơ  bản  và  quan  trọng mà Đảng và Nhà nước ta đang hướng tới.   Nghị  quyết  "Về đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế" đã được Hội nghị T.Ư 8  (Khóa XI) thơng qua. Nghị quyết nêu rõ quan điểm chỉ đạo, mục tiêu và các  nhiệm vụ, giải pháp thực hiện đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo  nước nhà.   Nhằm  thực  hiện  mục  tiêu  phát  triển  căn  bản  và  tồn  diện  giáo  dục,  trong những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang tích cực tiến  hành  đổi  mới  nhằm  nâng  cao  chất  lượng  dạy  và  học.  Một      khâu then  chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.  Thực  tế  cho  thấy  thói  quen  "cầm  tay  chỉ  việc"  đã  trở  thành  "mẫu  số  chung"  của  giáo  viên  ở  nhiều  trường  học.  Việc  đổi  mới  nhằm  khắc  phục  lối  truyền thụ kiến thức một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ  động, sáng  tạo và vận  dụng  kiến thức,  kỹ  năng  của  người  học,  giáo viên tập  trung  dạy  cách  học,  cách  nghĩ  và  tự  học  theo  phương  châm  “giảng  ít,  học  nhiều”, bồi dưỡng ý thức học tập suốt đời. Đổi mới từ cách học chủ yếu là lắng  nghe và ghi chép sang suy nghĩ và phản hồi tích cực với bạn, với thầy.   Trước đây, lối truyền thụ kiến thức một chiều đã hạn chế năng lực tư  duy của học sinh. Tuy nhiên, kiến thức phải tự làm ra thì mới vững bền, chắc  chắn, cho nên phương pháp dạy học để tự học sinh phát hiện, tìm tịi, sáng  tạo thì kiến thức mới chắc chắn, linh hoạt, nhớ lâu được. Trong dạy học, cần    lấy  học sinh làm trung tâm, với vai trị là người tự khám phá kiến thức cho  mình; thầy giáo là người hướng dẫn, chỉ đạo việc học chứ khơng truyền thụ  kiến  thức.  Khoa  học,  cơng  nghệ  phát  triển  liên  tục,  ngành  nghề,  kỹ  thuật  ln đổi mới địi hỏi mỗi người phải có năng lực tự học, cho nên ngay bậc  học phổ thơng đã phải rèn luyện năng lực tự học cho học sinh. Vì vậy, điều  quan  trọng  trong  đổi  mới  phương  pháp  dạy  học  là  phải  rèn  luyện  phương  pháp tự học của học sinh; học sinh tự học trong mối tương tác giữa học sinh  với nhau, tương tác với tài liệu và sách giáo khoa, dưới sự chỉ dẫn của thầy  để chiếm lĩnh được tri thức.  Trong  chương  trình  tốn  Trung  học  phổ  thơng  nội  dung  về  “Lượng  giác” được dạy từ lớp 10 đến lớp 11 và đây là một nội dung thường xuất hiện  trong  các  đề  thi  đại  học,  cao  đẳng  trong  nhiều  năm  nay.  Các  bài  tập  về  phương trình lượng giác có nhiều cơng thức lượng giác khó nhớ, các dạng bài  tập phong phú  với  nhiều  cách  giải  khác nhau,  do  đó  cần  rèn  luyện  cho  học  sinh các kỹ năng giải dạng tốn này.  Việc học tập  mơn Tốn được diễn ra  trong nhà trường phổ thơng chủ  yếu là  hoạt  động  giải  tốn.  Trong q trình  đi  tìm  và  trình bày lời  giải  cho  bài tốn, học sinh thường mắc một số sai lầm và lúng túng khơng biết sai lầm  từ  đâu  v ì   c c   e m  t h i ế u   kỹ năng giải tốn. Trên thực tế số lượng các bài  tập và các dạng bài tập về phương trình lượng giác cũng rất nhiều, học sinh  khơng thể giải từng bài một mà cần phải phân lớp các dạng bài. Qua thực tế  giảng dạy tơi nhận thấy học  sinh  thường gặp khó khăn  mỗi khi giải các bài  tập  về  lượng  giác,  do  khơng  có  kỹ  năng  giải  tốn.  Từ  những  kinh  nghiệm  qua nhiều năm giảng dạy, tơi đã tổng kết, sắp xếp một cách hệ thống các biện  pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn về phương trình lượng giác chương  trình Đại số và Giải tích lớp 11 Trung học phổ thơng.  Chính vì những lý do trên nên tơi chọn tên đề tài là:  “Rèn luyện kỹ giải tốn Phương trình l ượng giác cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông”    2 Lịch sử nghiên cứu Ở  nước  ta,  có  nhiều nhà  tốn  học  nghiên cứu  về  Lượng giác  như  Phan  Huy Khải, Trần Phương, Lê Hồng Đức, … Tuy nhiên, những nghiên cứu đó mới  mang tính định hướng trong nghiên cứu về phương pháp dạy và học Tốn.  Ngồi ra, các thầy giáo như Nguyễn Cảnh Tồn, Nguyễn Bá Kim cũng  đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh trong dạy  học  mơn  Tốn. Tuy  những nghiên  cứu đó về vấn đề rèn  luyện kỹ năng giải  tốn cho học sinh  mới chỉ là lý luận nhưng đã có những gợi mở quan trọng  cho tơi trong q trình thực hiện đề tài.  Bên cạnh đó cũng có một số luận văn, khóa luận nghiên cứu về vấn đề  rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh nhưng chủ yếu là thơng qua các nội  dung  Tốn  học  như  đạo  hàm,  tích  phân,  phép  biến  hình,  phương  pháp  vectơ,… nhưng chưa có luận văn nào nghiên cứu về việc rèn luyện kỹ năng  giải Phương trình Lượng giác cho học sinh.  Mục đích nghiên cứu Mục đích của Luận văn là nghiên cứu xây dựng, phát triển hệ thống bài  tập chủ đề “Phương trình lượng giác” nhằm rèn luyện kỹ năng giải tốn cho  học sinh Trung học Phổ thơng qua chủ đề này Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải tốn.  - Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải tốn của học sinh trong khi học  chủ đề “Phương trình lượng giác”.  - Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý  luận khi dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác”.  - Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp  dụng vào giảng dạy.  Khách thể, đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu 5.1 Khách thể nghiên cứu Hoạt động dạy và học mơn Tốn ở một số trường Trung học phổ thơng.    II CHUẨN BỊ Chuẩn bị GV - Chuẩn bị giáo án và các câu hỏi gợi mở.  - Chuẩn bị phấn màu và một số đồ dùng khác.  Chuẩn bị HS Cần ơn lại một số kiến thức đã học về lượng giác ở lớp 10 về cơng thức  lượng giác.  III.TIẾN TRÌNH Ổn định lớp Kiểm tra cũ Bài GV nêu dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.    Phương trình dạng:      asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = 0,  trong đó  a, b,  c là những số  đã cho, với a  ≠  0  hoặc b ≠  0  hoặc c  ≠ 0  được gọi là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.  Để giải phương trình dạng này, ta chia hai vế cho cos2x (với điều kiện    cosx ≠ 0) để đưa về phương trình đối với tanx, hoặc chia hai vế cho sin2x (với  điều kiện sinx ≠ 0 ) để đưa về phương trình đối với cotx.  Hoạt động 1: Rèn luyện kĩ năng giải phương trình thuần nhất.  Hoạt động GV Hoạt động HS Giải phương trình     2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x = 0    Câu hỏi Gợi ý trả lời câu hỏi       cosx  =  0  có  phải  là  nghiệm  của  Khơng  phải  là  nghiệm  vì  cosx  =  0    phương trình hay khơng?   sin x  =  1.  Thay  vào  hai  vế  thấy    không bằng nhau      98 Hoạt động GV Hoạt động HS Câu hỏi 2  Gợi ý trả lời câu hỏi       Hãy giải phương trình đã cho  2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x = 0     2tan x – 3tanx +1 = 0    tan x    1   tan x      x   k  (k  )      x  arctan  k  Vậy nghiệm của phương trình đã cho  là  x   k , x  arctan  k  (k  )   Hoạt động 2. Luyện kĩ năng giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx  và cosx theo nhiều cách khác nhau.  Hoạt động GV Câu hỏi Hoạt động HS Gợi ý trả lời câu hỏi     sinx  =  0  có  phải  là  nghiệm  của  Khơng  phải  là  nghiệm  vì  sinx  =  phương trình hay khơng?   cos2x  =  1.  Thay  vào  hai  vế  thấy  không bằng nhau.  Câu hỏi Gợi ý trả lời câu hỏi     Hãy giải phương trình đã cho  2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x = 0     cot x – 3cotx + 2 = 0      cot x    cot x        99 Hoạt động GV Hoạt động HS     x   k       x  arc cot  k   Câu hỏi Em nào có ý tưởng khác cho lời giải  bài này?    Gợi ý trả lời câu hỏi  Do 2cos2x = 1 + cos2x,          2sin2x = 1 – cos2x           2sinxcosx = sin2x  nên  2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x = 0  3sin x  cos x   0  2  3sin2x + cos2x = 3    cos x   3   sin x  cos x  10 10 10  sin2xcosα + sinαcos2x =  cos    sin(2x + α) =  sin(  )      x       k 2       x       k 2     x     k (k  )      x    k    GV nêu các nhận xét:  1) Phương trình asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 khi a = 0 hoặc c = 0 có thể  được giải gọn hơn bằng cách đưa về phương trình tích.  - Nếu a = 0 thì ta có bsinxcosx + ccos2x = 0   cosx(bsinx + ccosx) = 0  - Nếu c = 0 thì ta có asin2x + bsinx.cosx = 0   sinx (asinx + bcosx) = 0  Cách 2: Do 2cos2x = 1 + cos2x, 2sin2x = 1 – cos2x và 2sinxcosx = sin2x nên  ta có asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = 0     100  a (1  cos x) b sin x c(1  cos x)    0  2  bsin2x + (c-a)cos2x  = - (a + c)   2) Phương trình asin2x + bsinx.cosx + ccos2x + d = 0    (a, b, c, d   R, a2 + b2 + c2 ≠ 0)  Ta  có thể quy về giải phương trình  thuần  nhất  bậc hai đối với  sinx  và cosx  bằng cách viết d dưới dạng d = d (sin2x + cos2x)  Khi đó ta được phương trình mới:    (a + d)sin2x + bsinx.cosx + (c + d)cos2x = 0   3) Mở rộng: Phương trình dạng   Asin3x + Bcos3x + Csin2xcosx + Dcos2xsinx + Esinx + Fcosx = 0 (*)  Cách giải:   Phương trình (*) tương đương với   Asin3x + Bcos3x + Csin2xcosx + Dcos2xsinx +   (Esinx + Fcosx)(sin2x + cos2x) = 0  3  (A + E)sin x + (B + F)cos x + (C + F) sin xcosx +             + (D + E) cos2xsinx = 0  Nếu cosx = 0 thì (*) có dạng     sinx(Asin2x + E) = 0   Asin2x + E = 0  Nếu  cosx  , chia cả hai vế cho cos3x ≠ 0 ta được     (A + E)tan3x +  (C + F) tan2x +  (D + E)tanx + B + F = 0  Hoạt động 3: Luyện kĩ năng giải phương trình quy về thuần nhất đối với sinx  và cosx.  Hoạt động GV Hoạt động HS Giải các phương trình sau:  Gợi ý lời giải  1) 1)Cách 1:   6sin x  sin x cos x  cos x   2     2)sin3x  +  2cos3x  +  sinxcos2x  =2cosx    101 Hoạt động GV Hoạt động HS (GV gọi 3 HS lên bảng làm bài:  6sin x  sin x cos x  cos x   2 2 HS làm câu 1 theo 2 cách khác   6sin x  sin x cos x  cos x  2 nhau  (mỗi  HS  một  cách),  1  HS  2(sin x+cos x)  4sin x  sin x cos x  3cos x  làm câu 2)      Nếu  cosx  =  0  thì  sin2x  =  1  thay  vào  phương trình khơng thỏa mãn.  3)2cosxsin(2x+ )  = sinx + cosx  (GV  u  cầu  HS  suy  nghĩ  dưới  cosx ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2x ta được  lớp sau đó lên bảng trình bày)  phương trình  tan x  tan x      tan x  1  x    k  (k  )   tan x   x  arctan  k   3  2)  sin x  2cos x  sin x cos x  2cos x     sin x  2cos3 x  sin x cos x  2cos x  sin x  cos x      sin x  sin x cos x – 2cos x sin x  0   Vì  cosx  =  0  khơng  là  thỏa  mãn  phương  trình  nên  chia  cả hai  vế  cho  cos3x  ≠  0,  ta  có  tan x  tan x  tan x   tanx( tan x  tan x  1)=0    x  k  tan x     (k  )   x   k tan x    4 Củng cố GV nhấn mạnh lại các nhận xét và lưu ý để HS khắc sâu nội dung bài học.  Hướng dẫn nhà Xem lại các bài đã chữa. BTVN: bài 32, 33 (SGK, tr.42)    102 3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm Trước  khi  tiến  hành  thực  nghiệm,  tôi  trao  đổi  với  giáo  viên  dạy  thực  nghiệm về mục đích, nội dung, kế hoạch cụ thể để đi tới việc thống nhất mục  đích,  nội  dung  và  phương  pháp  dạy  các  tiết  thực  nghiệm.  Đối  với  lớp  đối  chứng vẫn tiến hành dạy như bình thường, khơng có gì đặc biệt. Việc dạy học  thực nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo lịch trình dạy học  của nhà trường.  Kết thúc thực nghiệm, chúng tơi tiến hành kiểm tra ở lớp thực nghiệm và  lớp đối chứng với cùng một đề kiểm tra, cùng thời gian làm bài, chấm bài với  cùng đáp án và thang điểm. Sau đó, chúng tơi tiến hành tổng hợp, phân tích, xử lí  kết quả các bài kiểm tra bằng phương pháp thống kê tốn học, đánh giá về cả hai  mặt: định lượng và định tính. Đồng thời, chúng tơi cũng tổ chức lấy ý kiến của  các giáo viên dự giờ thực nghiệm, đánh giá về tiết dạy thực nghiệm.   3.5 Kết thực nghiệm sư phạm 3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết thực nghiệm sư phạm Dựa vào các nhận xét, ý kiến đóng góp của các giáo viên và học sinh tham  gia thực nghiệm sư phạm; dựa vào kết quả của các bài kiểm tra của học sinh.  Các đề kiểm tra được sử dụng để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm:  ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT SỐ Câu (4,0 điểm) Giải các PT sau:   a)  cos x  sin x      b)  cos 2x  sin 2x    Câu (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:   a)  2sin x  sin x  cos x           b)  4sin x  2sin x  2cos x    Câu (2,0 điểm) Giải  phương trình sau     x sin x.cos x  sin 2 x  4sin        2     103 ĐÁP ÁN  CÂU 1    ĐÁP ÁN   a) Phương trình   sin  x      6   x     k 2    x    k 2 ,  k        b)Phương trình   sin  x      3        x    k 2  x  24  k      (k  )    x    3  k 2  x  5  k   24 2  a) 2sin x  sin x  cos x     sin x cos x  3cos x            cos x(2sin x  cos x )  cos x  cos x       tan x   2sin x  cos x     x   k    (k  )     x  arctan  k b)  4sin x  2sin x  2cos x  1 (1)  + Khi  cos x   sin x   phương trình (1): 4 = 1 (sai) nên    k ; k  Z  không phải là nghiệm của PT.  + Khi  cos x  , chia 2 vế của PT (1) cho  cos x  ta có PT:  x tan x  tan x    tan x  3tan x  tan x      tan x  1  x    k   k  Z  1  tan x    x  arctan     k      3   104   P.trình    sin x.cos x   cos x     1  cos   x      2                 2sin x.cos x  cos x  4sin x                   2sin x  1 cos x        x    k 2                sin x     (k  )    x   k 2    ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT – SỐ Giải các phương trình sau:      1) 2sin2 x  150  3sin x  150   x x 2.  2sin²   sinx +2 2cos²    2  3)   cotx     cos x    2015  cos  x     x x     4)   cos  sin x  sin x  1  sin  cos x  cos x  4     ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN      sin x  150   2sin x  150  3sin x  150     1  sin x  15      x  1050  k 360 ; x  450  k 3600 ; x  1650  k 3600   x x 2sin²   sinx +2 2cos²    2   x x x x  2sin ²   sin cos +2 2cos²  2 2     x x x  Xét  cos  , từ pt  sin  = 0 (Vô lý)   cos  không thỏa  2   105 CÂU ĐÁP ÁN mãn pt x x  Xét  cos  ,chia 2 vế của pt cho  cos² ta có pt:   2  x tan 1  x x   2tan   tan +2 2=   2  tan x       x   k 2                                                                    x  2arctan  k 2 Vậy PT có nghiệm  x    k 2  và  x  2arctan  k 2    cos x  4cot x    cos x  2015  sin x cos  x     ĐK: sin x   Phương trình đã cho:   cos x  2sin x   cos2 x  cot x   (cos x  sin x )  3(cos x  sin x )   (cos x  sin x )(cos x  sin x )    (1  cos x  sin x )(cos x  sin x  3)   x  k 2 (L ) sin x  cos x  1      3  sin x  cos x  x   k    x x      cos  sin x  sin x  1  sin  cos x  cos x    4     x x     cos sin x  sin cos x   cos x   sin x  cos x     4   x x    sin  x    cos x    sin  x    cos x     4 4   x  vì  sin  x     và cos x   với  x  nên PT Vô nghiệm  4    106 3.5.2 Kết thực nghiệm sư phạm 3.5.2.1 Phân tích, đánh giá kết kiểm tra a) Bảng thống kê điểm bài kiểm tra số 1 của học sinh                 Điểm  Kém  Yếu  Trung  bình  Khá  Giỏi  Đối chứng  0  4  30  6  0  (11A2)  (0%)  (10%)  (75%)  (15%)  (0%)  Thực nghiệm  0  0  15  20  5  (11A3)  (0%)  (0%)  (37,5%)  (50%)  (12,5%)  Lớp  Số  bài  40  40    Biểu đồ 3.1 So sánh kết kiểm tra số trường THPT Khoái Châu- Hưng Yên 80 70 60 50 Lớp 11A3 40 Lớp 11A2 30 20 10 Kém Yếu Tbình Khá Giỏi   Từ biểu đồ trên cho thấy:    - Số điểm dưới trung bình (yếu – kém) của lớp thực nghiệm chiếm 0% ,  thấp hơn so với lớp đối chứng là 10%.    - Số điểm từ trung bình trở lên của lớp thực nghiệm chiếm 100%, cao  hơn so với lớp đối chứng là 90%.    Tỉ lệ điểm trung bình, khá, giỏi ở lớp thực nghiệm ln cao hơn lớp đối  chứng, điều này thể hiện độ bền vững kiến thức của lớp thực nghiệm hơn lớp  đối chứng.    107 b) Bảng thống kê điểm bài kiểm tra số 2 của học sinh Điểm  Kém  Yếu  Trung  bình  Khá  Giỏi  Đối chứng  0  3  17  15  5  (11A3)  (0%)  (7,5%)  Thực nghiệm  0  0  8  22  10  (11A2)  (0%)  (0%)  (20%)  (55%)  (25%)  Lớp  Số  bài  40  (42,5%)  (37,5%)  (12,5%)  40    Biểu đồ 3.2 So sánh kết kiểm tra số 60 50 40 Lớp 11A3 30 Lớp 11A2 20 10 Kém Yếu Tbình Khá Giỏi   Từ biểu đồ trên cho thấy:    - Số điểm dưới trung bình (yếu – kém) của lớp thực nghiệm chiếm 0%,  thấp hơn so với lớp đối chứng là 7,5%.    - Số điểm trên trung bình của lớp thực nghiệm chiếm 80%, cao hơn so  với lớp đối chứng là 50%.    Tỉ lệ điểm trên trung bình ở lớp thực nghiệm ln cao hơn lớp đối chứng,  điều này thể hiện độ bền vững kiến thức của lớp thực nghiệm hơn lớp đối chứng.  3.5.2.2 Ý kiến đánh giá giáo viên học sinh tham dự thực nghiệm sư phạm Ý kiến, nhận xét của giáo viên và học sinh được tổng hợp lại thành các  ý kiến chủ yếu sau đây:    108 -  Đa số giáo viên cho rằng: giáo án có chất lượng tốt (80% ý kiến đồng  ý), có nhiều tính mới trong phương pháp dạy học giúp phân loại học sinh và  có tính khả thi, hiệu quả (90% đồng ý với đánh giá này).  -    Đa  số  học  sinh  cho  rằng:  Giờ  học  có  sự  hấp  dẫn,  lơi  cuốn  (70% ý  kiến đồng ý), có nhiều tính mới trong phương pháp dạy học giúp học sinh tiếp  thu bài tốt hơn và có tính hiệu quả cao.  -  Về giáo viên dạy thực nghiệm sư phạm: nhiệt tình hưởng ứng những  phương pháp dạy học rèn luyện kỹ năng cho học sinh mà giáo án thực nghiệm  đề ra, nắm được cách phân chia dạng bài cho từng đối tượng học sinh cụ thể,  nắm được cách tạo ra những hoạt động tương thích với nội dung cụ thể.  -  Về học sinh tham gia thực nghiệm:   +)  Mặc dù trình độ nhận thức của học sinh cịn nhiều hạn chế, nhưng  trong các giờ dạy thực nghiệm, các em tích cực tham gia xây dựng bài thơng  qua việc thực hiện các hoạt động thành phần phù hợp.  +)  Trong mỗi giờ học, vai trị của học sinh được đề cao; mỗi ý kiến của  các em trở thành một thành phần nhỏ trong nội dung bài học nên các em thấy  tự tin, hào hứng, mạnh dạn đưa ra những ý kiến đóng góp xây dựng bài.  +)  Sau mỗi bài kiểm tra đã xuất hiện những cuộc tranh luận sơi nổi về  kết quả và phương pháp giải tốn.  +)  Các học sinh ở lớp thực nghiệm hăng hái, tích cực phát biểu ý kiến  xây dựng bài và đưa ra nhận xét chính xác hơn lớp đối chứng. Các em tỏ ra tự  tin hơn khi gặp những câu hỏi về lí thuyết và các bài tốn vận dụng.  +)  Nếu học sinh được học thơng qua những biện pháp đã đề xuất thì  các em có cơ hội tự khám phá, tự kiến tạo tri thức cho bản thân mình (đa số  học sinh khám phá thành cơng các kiến thức như dự kiến của tác giả).  Tuy  nhiên,  khả  năng  giải  quyết  vấn  đề  của  học  sinh  nói  chung  cịn  chậm.  Nhiều  giáo  viên  cịn  e  ngại  vì  thiết  kế  giáo  án  theo  hướng  phân  loại  dạng bài tập cho từng nhóm học sinh cụ thể cần đầu tư nhiều và mất thời gian.  Do điều kiện về thời gian, do những khó khăn về việc tổ chức thực nghiệm tại    109 trường trung  học phổ thông,  nên việc thử  nghiệm  chưa  được  triển khai  trên  diện  rộng  với  nhiều  đối  tượng.  Vì  vậy  việc  đánh  giá  hiệu  quả  của  nó  chưa  mang tính khái qt. Chúng tơi hy vọng rằng sẽ tiếp tục giải quyết những vấn  đề này trong thời gian sắp tới.  3.6 Tổng kết Chương này trình bày việc thực nghiệm sư phạm của tác giả tại trường  THPT Khối Châu- Hưng n trong khoảng thời gian gần 2 tháng với 06 tiết  học. Giáo viên dạy thực nghiệm sư phạm là cơ giáo Lê Minh Nga với 03 giáo  án tự soạn.  Kết quả thực nghiệm sư phạm được đánh giá qua bài kiểm tra sau thực  nghiệm sư phạm và ý kiến đánh giá từ giáo viên và học sinh. Kết quả cho thấy  các đề xuất có tính khả thi và hiệu quả. Kiểm định giả thiết cho thấy kết quả  học tập ở lớp thực nghiệm sư phạm tốt hơn lớp đối chứng một cách thực sự và  có ý nghĩa.  Như vậy giả thuyết khoa học đề ra có thể chấp nhận được.      110 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Qua thời gian thực hiện đề tài, tơi thu được các kết quả chính như sau:  - Bước đầu hệ thống các cơ sở lý luận về kỹ năng giải tốn.   - Bước đầu xác định được các căn cứ để xây dựng hệ thống bài tập của  chủ đề “Phương trình lượng giác” lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng rèn  luyện kỹ năng giải tốn.  Ngồi ra, tơi cũng thu nhận được nhiều kiến thức bổ ích qua các tài liệu  về các lĩnh vực liên quan đến đề tài của luận văn. Tơi mạnh dạn đưa ra một số  ý kiến đề xuất sau:  -  Cần  tăng  thời  lượng  dành  cho  nội  dung  Phương  trình  lượng  giác  ở  trường  phổ  thơng,  vì  đây  là  nội  dung  tốn  học  khá  khó  và  quan  trọng,  có  nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc tăng thời lượng cũng giúp cho giáo viên  triển khai tốt hơn kế hoạch giảng dạy của mình.  - Giáo viên cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng  dạy,  cần  có  nhiều  tìm  tịi,  sáng  tạo  trong  việc  nghiên  cứu  nội  dung  chương  trình. Giáo viên cũng cần được bồi dưỡng thường xun về các bài tốn nâng  cao để có thể dạy học tốt hơn.  Do  khả  năng  và  thời  gian nghiên  cứu  có  hạn  nên  một  số kết quả  của  luận văn mới dừng lại ở những kết luận ban đầu, một số vấn đề của luận văn  có thể chưa được phát triển sâu và cịn có thể chứa đựng sai sót. Vì vậy, rất  mong  được  sự  quan  tâm  của  các  nhà  nghiên  cứu  giáo  dục  và  các  bạn  đồng  nghiệp để bổ sung tốt hơn cho đề tài.    111 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Ngọc Anh, Trịnh Bằng Giang (1998), 231 tốn lượng giác.  Nhà xuất bản Đồng Nai.  2. Vũ Cao Đàm (2010), Giáo trình phương pháp luận nghiên cứu khoa học Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.  3. Trần Văn Hạo (2006), Đại số Giải tích lớp 11. Nhà xuất bản Giáo dục.  4.  Trần Văn Hạo  (2006),  Sách giáo viên  Đại số Giải tích lớp 11.  Nhà  xuất bản Giáo dục.  5. Phan Huy Khải (2010), Phương pháp giải toán trọng tâm giảng luyện thi tốt nghiệp- Đại học- Cao đẳng Bộ giáo dục & Đào tạo Nhà  xuất bản Đại học sư phạm.  6.  Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992),  Phương pháp dạy học mơn Tốn. Nhà xuất bản Hà Nội.  7.  Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), Lượng giác - Đẳng thức Phương trình- Tập 1. Nhà xuất  bản Giáo dục.  8. Lê Quý Mậu, Lê Quang Ánh (2000), Phương pháp giải toán lượng giác Nhà xuất bản Đà Nẵng.  9. Trần Thành Minh, Trần Quang Nghĩa, Lâm Văn Triệu, Dương Quốc Tuấn (2001), Giải tốn lượng giác. Nhà xuất bản Giáo dục.  10. Lê Bích Ngọc, Lê Hồng Đức (2008), Học ơn tập tốn lượng giác lớp 11 Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội       112 ... - Vai trị của việc? ?rèn? ?luyện? ?kỹ? ?năng? ?giải? ?tốn.  - Dùng những? ?phương? ?pháp nào để? ?rèn? ?luyện? ?kỹ? ?năng? ?giải? ?tốn? ?cho? ?học? ? sinh? ?khi dạy? ?học? ?chủ đề ? ?Phương? ?trình? ?lượng? ?giác? ??.  - Những? ?kỹ? ?năng? ?cần? ?rèn? ?luyện? ?khi? ?học? ?chủ đề ? ?Phương? ?trình? ?lượng? ?giác? ??. ... cách tính tốn khác nhau và biết chọn? ?phương? ?án hợp lý nhất.    25 CHƯƠNG BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” CHO HỌC SINH 2.1 Nội dung Phương trình lượng giác chương trình Đại số Giải tích 11 Trung học phổ. .. CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” CHO HỌC SINH? ?  26  2.1. Nội dung? ?Phương? ?trình? ?lượng? ?giác? ?trong chương? ?trình? ?Đại số và? ?Giải? ? tích? ?11? ?Trung? ?học? ?phổ? ?thơng