Rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐỖ ĐÌNH NGÂN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐỖ ĐÌNH NGÂN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Lời tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Giáo dục- Đại học Quốc Gia Hà Nội thầy giáo, cô giáo công tác giảng dạy trường nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu đề tài Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Nhụy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình làm việc để Luận văn hồn chỉnh hoàn thành thời hạn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu thầy giáo tổ Tốn- Tin em học sinh trường THPT Khoái Châu Khoái Châu - Hưng Yên nhiệt tình ủng hộ, giúp đỡ tác giả trình thực nghiệm sư phạm để đề tài thực đáp ứng yêu cầu đặt Sự quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi gia đình, bạn bè đồng nghiệp trình học tập, thực nghiên cứu đề tài nguồn động viên, cổ vũ tiếp thêm sức mạnh cho tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn Mặc dù có nhiều cố gắng chắn Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Hưng Yên, ngày 08 tháng 11 năm 2014 Tác giả Đỗ Đình Ngân i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ Viết tắt ĐKXĐ GQVĐ GV HS L SGK THPT VN Chữ viết đầy đủ Điều kiện xác định Giải vấn đề Giáo viên Học sinh Loại Sách giáo khoa Trung học phổ thông Vô nghiệm ii MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn i Danh mục chữ viết tắt ii Mục lục iii Danh mục hình v MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Kỹ kỹ giải toán 1.1.1 Khái niệm kỹ 1.1.2 Kỹ giải toán 1.1.3 Vai trị kỹ giải tốn 1.1.4 Phân loại kỹ mơn Tốn 1.2 Thực trạng việc dạy học Toán, dạy học Phương trình lượng giác số trường Trung học phổ thông 11 1.2.1 Thực trạng dạy học Toán số trường Trung học phổ thông địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên 11 1.2.2 Thực trạng việc học Phương trình lượng giác số trường Trung học phổ thông địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên 13 1.2.3 Thực trạng việc dạy Phương trình lượng giác số trường Trung học phổ thông địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên 14 1.2.4 Những khó khăn sai lầm học sinh thường gặp giải Phương trình lượng giác 15 1.3 Một số kỹ giải tốn "Phương trình lượng giác" 23 1.3.1 Kĩ phân tích định nghĩa khái niệm 23 1.3.2 Kĩ phân tích sai lầm thường mắc phải trình giải tốn Phương trình lượng giác 24 1.3.3 Kĩ hệ thống hóa dạng tốn Phương trình lượng giác 25 1.3.4 Kĩ tính tốn 25 iii CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI "PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC" CHO HỌC SINH 26 2.1 Nội dung Phương trình lượng giác chương trình Đại số Giải tích 11 Trung học phổ thơng 26 2.1.1 Nội dung Phương trình lượng giác chương trình Đại số Giải tích 11 Trung học phổ thơng 26 2.1.2 Những ý dạy nội dung Phương trình lượng giác chương trình Đại số Giải tích 11 Trung học phổ thông 27 2.2 Xây dựng hệ thống tập chủ đề "Phương trình lượng giác" nhằm rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh 28 2.2.1 Phương trình lượng giác 28 2.2.2 Phương trình bậc sinx cosx 35 2.2.3 Phương trình lượng giác đại số hóa 40 2.2.4 Phương trình lượng giác biến đổi tích 55 2.2.5 Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc ẩn 67 2.2.6 Phương trình lượng giác khơng mẫu mực 80 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 86 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 86 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 86 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 86 3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 86 3.3 Kế hoạch nội dung thực nghiệm sư phạm 87 3.3.1 Kế hoạch đối tượng thực nghiệm sư phạm 87 3.3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 87 3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm 103 3.5 Kết thực nghiệm sư phạm 103 3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết thực nghiệm sư phạm 103 3.5.2 Kết thực nghiệm sư phạm 107 3.6 Tổng kết 110 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO 112 iv DANH MỤC CÁC BIỂU TT Tên biểu Trang Biểu đồ 3.1 So sánh kết kiểm tra số trường THPT Khoái Châu- Hưng Yên 107 Biểu đồ 3.2 So sánh kết kiểm tra số 108 v MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phát triển giáo dục đào tạo nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học Học đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình giáo dục xã hội Đây mục tiêu quan trọng mà Đảng Nhà nước ta hướng tới Nghị "Về đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế" Hội nghị T.Ư (Khóa XI) thơng qua Nghị nêu rõ quan điểm đạo, mục tiêu nhiệm vụ, giải pháp thực đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nước nhà Nhằm thực mục tiêu phát triển toàn diện giáo dục, năm gần ngành giáo dục tích cực tiến hành đổi nhằm nâng cao chất lượng dạy học Một khâu then chốt để thực yêu cầu đổi nội dung phương pháp dạy học Thực tế cho thấy thói quen "cầm tay việc" trở thành "mẫu số chung" giáo viên nhiều trường học Việc đổi nhằm khắc phục lối truyền thụ kiến thức chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học, giáo viên tập trung dạy cách học, cách nghĩ tự học theo phương châm "giảng ít, học nhiều", bồi dưỡng ý thức học tập suốt đời Đổi từ cách học chủ yếu lắng nghe ghi chép sang suy nghĩ phản hồi tích cực với bạn, với thầy Trước đây, lối truyền thụ kiến thức chiều hạn chế lực tư học sinh Tuy nhiên, kiến thức phải tự làm vững bền, chắn, phương pháp dạy học để tự học sinh phát hiện, tìm tịi, sáng tạo kiến thức chắn, linh hoạt, nhớ lâu Trong dạy học, cần lấy học sinh làm trung tâm, với vai trò người tự khám phá kiến thức cho mình; thầy giáo người hướng dẫn, đạo việc học không truyền thụ kiến thức Khoa học, công nghệ phát triển liên tục, ngành nghề, kỹ thuật đổi địi hỏi người phải có lực tự học, bậc học phổ thông phải rèn luyện lực tự học cho học sinh Vì vậy, điều quan trọng đổi phương pháp dạy học phải rèn luyện phương pháp tự học học sinh; học sinh tự học mối tương tác học sinh với nhau, tương tác với tài liệu sách giáo khoa, dẫn thầy để chiếm lĩnh tri thức Trong chương trình tốn Trung học phổ thơng nội dung "Lượng giác" dạy từ lớp 10 đến lớp 11 nội dung thường xuất đề thi đại học, cao đẳng nhiều năm Các tập phương trình lượng giác có nhiều cơng thức lượng giác khó nhớ, dạng tập phong phú với nhiều cách giải khác nhau, cần rèn luyện cho học sinh kỹ giải dạng tốn Việc học tập mơn Tốn diễn nhà trường phổ thông chủ yếu hoạt động giải tốn Trong q trình tìm trình bày lời giải cho toán, học sinh thường mắc số sai lầm lúng túng sai lầm từ đâu v ì c c e m t h i ế u kỹ giải toán Trên thực tế số lượng tập dạng tập phương trình lượng giác nhiều, học sinh giải mà cần phải phân lớp dạng Qua thực tế giảng dạy tơi nhận thấy học sinh thường gặp khó khăn giải tập lượng giác, kỹ giải tốn Từ kinh nghiệm qua nhiều năm giảng dạy, tổng kết, xếp cách hệ thống biện pháp rèn luyện kỹ giải tốn phương trình lượng giác chương trình Đại số Giải tích lớp 11 Trung học phổ thơng Chính lý nên chọn tên đề tài là: "Rèn luyện kỹ giải tốn Phương trình l ượng giác cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông" Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh b) sin 2x  2cos x   sinx 4cosx  2sinxcosx sinx 4cos2 x  4cos x    sinx(2cosx1)  (2cosx1)(2cosx 3)   (2cosx1)(sinx 2cosx 3)   cosx  (do phương trình sinx 2cosx  vơ nghiệm) x    k 2 , k  Vậy nghiệm phương trình x  k2 , k  3  Củng cố GV nhấn mạnh lại nhận xét lưu ý để HS khắc sâu nội dung học Hướng dẫn nhà Xem lại chữa Tìm thêm lời giải khác cho toán GIÁO ÁN CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx I MỤC TIÊU Kiến thức HS nắm cách giải phương trình đẳng cấp sinx cosx Kĩ Giải biến đổi thành thạo phương trình đẳng cấp sinx cosx 3.Thái độ - Tự giác, tích cực học tập - Tư vấn đề toán học cách lôgic hệ thống 97 II CHUẨN BỊ Chuẩn bị GV - Chuẩn bị giáo án câu hỏi gợi mở - Chuẩn bị phấn màu số đồ dùng khác Chuẩn bị HS Cần ôn lại số kiến thức học lượng giác lớp 10 công thức lượng giác III.TIẾN TRÌNH Ổn định lớp Kiểm tra cũ Bài GV nêu dạng phương trình bậc hai sinx cosx Phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = 0, a, b, c số cho, với a ≠ b ≠ c ≠ gọi phương trình bậc hai sinx cosx Để giải phương trình dạng này, ta chia hai vế cho cos2x (với điều kiện cosx ≠ 0) để đưa phương trình tanx, chia hai vế cho sin2x (với điều kiện sinx ≠ ) để đưa phương trình cotx Hoạt động 1: Rèn luyện kĩ giải phương trình Hoạt động GV Hoạt động HS Giải phương trình 2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x = Câu hỏi Gợi ý trả lời câu hỏi cosx = có phải nghiệm Khơng phải nghiệm cosx =  sin2x = Thay vào hai vế thấy phương trình hay khơng? không 98 Hoạt động GV Câu hỏi Hãy giải phương trình cho Hoạt động HS Gợi ý trả lời câu hỏi 2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x =  2tan2x - 3tanx +1 = tan x    x    k    (k  ) x  arctan  k   Vậy nghiệm phương trình cho  k , x  arctan  k   (k  ) x Hoạt động Luyện kĩ giải phương trình bậc hai sinx cosx theo nhiều cách khác Hoạt động GV Câu hỏi Hoạt động HS Gợi ý trả lời câu hỏi sinx = có phải nghiệm Khơng phải nghiệm sinx = phương trình hay khơng?  cos2x = Thay vào hai vế thấy không Câu hỏi Hãy giải phương trình cho Gợi ý trả lời câu hỏi 2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x =  cot2x - 3cotx + = cot x   cot x   99 Hoạt động GV Hoạt động HS x k    C   x  a r c c o t  k  Em có ý tưởng k hác cho lời giải Gợi ý trả2lời câu hỏi Do 2cos x = + cos2x, b   k2 3sin  2x   1  cos x     2x 0    k ( k 3sin2x +   sin ) 2x  co s 2x   10 10 10  sin2xcos G V n ê u 2x = cos  sin(2x  )  2x   k 2   2  c c n h ậ n x  x    k é t : inxcosx + ccos2x = đưa phương a = c trình tích = - Nếu a = ta có bsinxcosx đ + ccos2x =  cosx(bsinx + ccosx) = ) ợ - Nếu c = ta có asin2x + b c sinx.cosx =  P sinx (asinx + bcosx) = h g Cách 2: Do 2cos2x = + cos2x, 2sin i ả nên n i t g x = - cos2x 2sinxcosx = sin2x a g t ọ c r n ó n h a h s n i ì a n s b i ằ x n n g + c b s c i h n x + b s x c o s x + c c o s x = 0  a(1  cos 2x)  b sin 2x  c(1  cos 2x)  2  bsin2x + (c-a)cos2x = - (a + c) 2) Phương trình asin2x + bsinx.cosx + ccos2x + d = (a, b, c, d R, a2 + b2 + c2 ≠ 0) Ta quy giải phương trình bậc hai sinx cosx cách viết d dạng d = d (sin2x + cos2x) Khi ta phương trình mới: (a + d)sin2x + bsinx.cosx + (c + d)cos2x = 3) Mở rộng: Phương trình dạng Asin3x + Bcos3x + Csin2xcosx + Dcos2xsinx + Esinx + Fcosx = (*) Cách giải: Phương trình (*) tương đương với Asin3x + Bcos3x + Csin2xcosx + Dcos2xsinx + (Esinx + Fcosx)(sin2x + cos2x) =  (A + E)sin3x + (B + F)cos3x + (C + F) sin2xcosx + + (D + E) cos2xsinx = Nếu cosx = (*) có dạng sinx(Asin2x + E) =  Asin2x + E = Nếu cosx  , chia hai vế cho cos3x ≠ ta (A + E)tan3x + (C + F) tan2x + (D + E)tanx + B + F = Hoạt động 3: Luyện kĩ giải phương trình quy sinx cosx Hoạt động GV Hoạt động HS Giải phương trình sau: Gợi ý lời giải 1) 1)Cách 1: 6sin2 x  sin x cos x  cos2 x  2)sin3x + 2cos3x + sinxcos2x =2cosx 101 Hoạt động GV (GV gọi HS lên bảng làm bài: Hoạt động HS x  sin x cos x  cos2 x  6sin HS làm câu theo cách khác  6sin2 x  sin x cos x  cos2 x  (mỗi HS cách), HS làm câu 2)  3)2cosxsin(2x+ 2(sin2 x+cos2x)  4sin2 x  sin x cos x  3cos2 x  ) = sinx + cosx Nếu cosx = sin x = thay vào phương trình khơng thỏa mãn (GV yêu cầu HS suy nghĩ cosx ≠ chia hai vế cho cos2x ta lớp sau lên bảng trình bày) phương trình tan2 x  tan x   tan x  1 x  k  x      ( k  x  arctan  k   2) sin x  2cos x  sin xcos x  2cos x  sin3 x  2cos3 x  sin x cos2 x  2cos sin2 x  cos2 x x  sin3 x  sin x cos2 x - 2cos xsin2 x  Vì cosx = khơng thỏa mãn phương trình nên chia hai vế cho cos3x ≠ 0, ta có tan3 x  tan2 x  tan x   tanx( tan2 x  tan x 1)=0  tan (k x   ) x  k    4 Củng cố GV nhấn mạnh lại nhận xét lưu ý để HS khắc sâu nội dung học Hướng dẫn nhà Xem lại chữa BTVN: 32, 33 (SGK, tr.42) 102 3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm Trước tiến hành thực nghiệm, trao đổi với giáo viên dạy thực nghiệm mục đích, nội dung, kế hoạch cụ thể để tới việc thống mục đích, nội dung phương pháp dạy tiết thực nghiệm Đối với lớp đối chứng tiến hành dạy bình thường, khơng có đặc biệt Việc dạy học thực nghiệm đối chứng tiến hành song song theo lịch trình dạy học nhà trường Kết thúc thực nghiệm, tiến hành kiểm tra lớp thực nghiệm lớp đối chứng với đề kiểm tra, thời gian làm bài, chấm với đáp án thang điểm Sau đó, chúng tơi tiến hành tổng hợp, phân tích, xử lí kết kiểm tra phương pháp thống kê toán học, đánh giá hai mặt: định lượng định tính Đồng thời, chúng tơi tổ chức lấy ý kiến giáo viên dự thực nghiệm, đánh giá tiết dạy thực nghiệm 3.5 Kết thực nghiệm sư phạm 3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết thực nghiệm sư phạm Dựa vào nhận xét, ý kiến đóng góp giáo viên học sinh tham gia thực nghiệm sư phạm; dựa vào kết kiểm tra học sinh Các đề kiểm tra sử dụng để đánh giá kết thực nghiệm sư phạm: ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT SỐ Câu (4,0 điểm) Giải PT sau: a) cosx  sin x  b) cos 2x  sin 2x  Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) 2sin2 x  sin 2x  cos2x  b) 4sin2 x  2sin 2x  2cos2 x  Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau sin x.cos 4x  sin2 2x  4sin2    x  2   103 ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN a) Phương trình  sin  x    x  k   62   k 2  x    6     k 2 , b)Phương trình  sin  2x    3    2x      k2 x    k  34  24 (k  )   2x  3 k 2 x  5     k  34  24   a) 2sin2 x  sin 2x  cos2x   sin x cos x  3cos2x   cos x(2sin x  cos x)  cos x  cos x    2sin x  cos x  tan x   23  x    k  (k  )  x  arctan  k   b) 4sin2 x  2sin 2x  2cos2 x  (1) + Khi cos x   sin2 x  phương trình (1): = (sai) nên x    k ;k  Z nghiệm PT + Khi cos x  , chia vế PT (1) cho cos2 x ta có PT: tan2 x  tan x   1 tan2 x  3tan2 x  tan x   x tan x  1  k       k   Z x  arctan     k     3 104 P.trình  sin x.cos 4x   cos 4x  1  cos    x            2sin x.cos 4x  cos 4x  4sin x  2sin x  cos  4x    x    k 2  sin x    1 x 7 k   2  (k  )