Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ MÃ SỐ: B.2007-19-18 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ MÃ SỐ: B.2007-19-18 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ MÃ SỐ: B.2007-19-18 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2008 Tham gia thực đề tài: GS.TS Bedrich Puza Trƣờng Đại học tổng hợp Masaryk Cộng hòa Czech MỤC LỤC MỤC LỤC TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU SUMMARY NỘI DUNG CỦA BÁO CÁO TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 PHỤ LỤC 21 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ Tên đề tài: Một lớp toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm Mã số:B2007-19-18 Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Tel: 08.330124 E-Mail: nguenanhtuan2512@Gmail.com Cơ quan chủ trì đề tài: Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh Cơ quan cá nhân phối hợp thực hiện: Giáo sƣ,Tiến sỹ Bedrich Puza, môn toán giải tích, khoa khoa học, trƣờng Đại học tổng hợp Masaryk Cộng hòa Czech Thời gian thực hiện: tƣ tháng 4/2007 đến tháng 4/2009 1.Mục tiêu nghiên cứu: - Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc giải đƣợc hệ phƣơng trình vi phân hàm phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm 2.Nội dung chính: - Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân thƣờng với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm - Xây dựng tiêu chuẩn hiệu cho việc giải đƣợc hệ phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm - Nghiên cứu điều kiện đủ cho tồn nghiệm phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên đƣợc xây dựng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm - Xây dựng tiêu chuẩn hiệu cho việc tồn nghiệm cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng phƣơng pháp đáng giá tiên nghiệm Kết chính: Kết đề tài thu nhận đƣợc gồm bốn báo sau: 1).B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a bounảary value problem for system of ordinary differential equatons, East-west Journal of Matematics,Vol.6 No.2 (2004), 139151 2).Nguyen Anh Tuan, An effective crỉterion of solvability of boundary value problems for a system of ordinary differential equations East-west Journal of Matematics,Vol.7 No (2005), 69-77 3) Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp toán biên cho phƣơng trình vi phân bậc cao, Tạp chí KHOA HỌC.ĐHSP.TP.HCM, số 4(38), 2004 51-59 4) Nguyễn Anh Tuấn, Một tiêu chuẩn hiệu tính giải đƣợc toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP.TP.HCM, số 8(42),2006 6269 SUMMARY Project Title: A class of boundary value problems for functional differential equations Code number: B.2007-19-18 Coordinator: Nguyen Anh Tuan Assoc.Prof,Ph.D., Department of Mathematics-Computer science Implementing Institution: Ho Chi Minh City University of Pedagogy Cooperating Institution: Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science, Masaryk University Individuals attend the subject: Bedrich Puza, Prof.Ph.D., Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science, Masaryk University Duration: From April, 2007 to April, 2009 1)Objectives: Studying sufficient conditions of solvability of boundary value problem for system of ordinary differential equations or for functional differential equations of n-th order with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates 2) Main contents: -Studying sufficient conditions of existence and uniqueness of the solutions of boundary value problem for systems for ordinary differential equations with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates -Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problem for system of ordinary differential equations with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates -Studying sufficient conditions of existence and uniqueness of the solution of boundary value problem for functional differential equations of n-th order with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates - Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problem for functional differential equations of n-th order with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates Results obtained: The main results had got as follows: 1) B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary valueproblem for system of ordinary differentiaỉ equations, East-west Journal of Matematics,Vol.6 No.2 (2004), 139151 2) Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value problems for a system of ordinary differential equations East-west Journal of Matematics,Vol.7 No (2005) 69 - 77 3) Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problem functional differential equations of n-th order, Journal of science, Ho Chi Minh city university of Pedagogy, Vol (38) (122004).51-59 4) Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value problems functional differential equations of n-th order Journal of science, Ho Chi Minh City university of Pedagogy, Vol.8.(42) (7-2006).62-69 NỘI DUNG CỦA BÁO CÁO I.Tính cấp thiết tổng quan đề tài: Lý thuyết toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm đời từ kỷ 18 nhƣ công cụ để giải toán vật lý, học Tuy nhiên đến phát triển mạnh nhờ ứng dụng rộng rãi to lớn lĩnh vực khác sống nhƣ: vật lý, học, kỹ thuật công nghệ, nông nghiệp, sinh học kinh tế… Song nghiên cứu phát triển theo hƣớng thực phát triển mạnh thu đƣợc nhiều kết năm 1997 nhóm nhà toán học Grudia Cộng hòa Czech dƣới dẫn dắt giáo sƣ viện sỹ I.Kiguradze, viện trƣởng viện toán học Tbilisi Các công trình khai phá cho hƣớng nghiên cứu đƣợc trình bày công trình nhƣ [1],[2],[3], [10] Bài toán biên cho phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm năm gần đạt đƣợc số kết [10], [11 ], II Nội dung đề tài Nội dung đề tài gồm hai phần: toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân toán biên cho phƣơng trình hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm Xét toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân: với điều kiện biên: Trong với i ∈{1, ,n} hàm fi :[a,b] x Rn→R thỏa điều kiện Caratheodory, Φi phiếm hàm tuyến tính không giảm không gian C([a,b]) tập trung đoạn [ai,bi] [a,b] (có nghĩa giá trị hàm Φi phụ thuộc vào hàm số thu hẹp với đoạn [ai,bi] đoạn suy biên thành điểm) φi hàm số liên tục không gian Cn([a,b]) Trƣờng hợp đặc biệt điều kiện (2) là: Điều kiện biên nhiều điểm hay đặc biệt điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoletti Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số năm 2004 Với a ≤ t ≤ bn Mặt khác từ (7) ta có: Theo bổ đề (40) ta nhận đƣợc (47) với (41), (42) ta nhận đƣợc u nghiệm toán (1), (2) Định lý đƣợc chứng minh Cuối ta nhắc lại định lý nghiệm toán (1), (2) Định lý 2: Giả sử điều kiện (5) đƣợc thực f, φ1, , φ toán (1), (2) thỏa điều kiện sau: với u, v ∈ Cn-1 () toán (1), (2) có nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp toán biên cho phƣơng trình hàm bậc cao, Thông tin khoa học số 16 ( 11-1996) Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh [2] I Kiguradze, B.Puza (19-97), On boudary value problems for functional differential equations Mem Differential Equations Math Phys.12, 106-113 [3] p Hartman (1964), Ordinary differential equations, John Wiley & Sons 58 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn Tóm tắt: Một lớp toán biên cho phƣơng trình vi phân bậc cao Tác giả chứng minh điều kiện đủ cho tồn nh ất nghiệm cho phƣơng trình hàm b ậc n với điều kiện biên dạng hàm đƣợc thiết lập phƣơng pháp đánh giá ti ệm can Abstract: A class of boundary value problems for high order differential equations New sufficient conditions of the existence and uniqueness of the solutions of the boundary problem for a functional differential equations o f n-th order with certain functional boundary conditions are constructed by a method of a priori estimates 59 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số năm 2006 MỘT TIÊU CHUẨN HIỆU QUẢ VỀ TÍNH GIẢI ĐƢỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO NGUYỄN ANH TUẤN Trong báo tác giả sử dụng kết [1] để đƣa tiêu chuẩn hiệu cho tồn nghiệm phƣơng trình vi phần hàm bậc cao Xét phƣơng trình vi phân hàm bậc cao : với điều kiện biên dạng hàm : Trong toán tử thỏa mãn điều kiện Carathéodory Với i ∈ {1, 2, , n} phiếm hàm Φ i (2) tuyến tính, liên tục, không giảm không gian C ( [ a , b]) tập trung đoạn [ a i , bi] ∈ [ a , b] (có nghĩa giá trị phiếm hàm Φ i phụ thuộc vào hàm số thu hẹp đoạn [ai, bi] đoạn suy biến thành điểm) Ta giả thiết Φ i (1) = Trong điều kiện (2) phiếm hàm Φ i (i = , , , n ) liên tục không gian C n - ( [ a , b ] ) Các trƣờng hợp riêng điều kiện biên (2) : Điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoleti hay điều kiện biên dạng tuần hoàn Cho r: [a, b] → K ta định nghĩa toán tử ST nhƣ sau : T S , Khoa Toán - Tin học, Trƣờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh 62 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn Nghiệm toán (1), (2) hàm số có đạo hàm đến cấp (n - 1) liên tục tuyệt đối đoạn [ a , b ] , thỏa phƣơng trình (1) hầu khắp nơi đoạn [ a b] thỏa điều kiện biên (2) Trƣớc hết ta nhắc lại kết đạt đƣợc [1] Định nghĩa Giả sử toán tử không giảm, liên tục dƣơng, g ( t ) ∈ L ( [ a b ] ) Nếu hệ bất phƣơng trình vi phân : với điều kiện : có nghiệm tầm thƣờng, chúng t a nói : Định lí Giả sử toán ( ) , (2) thục điều kiện sau : với với với Trong dó hàm số ω : [ a , b] R+ → R+ đo đƣợc biến thứ không giảm biến thứ hai Hàm số r : R+ → R+ không giảm Khi đ ó toán biên (1), (2) có nghiệm 63 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số năm 2006 Định lí Giả sử điều kiện (5) đƣợc thực f,φu ,φn toán (1), (2) thỏa điều kiện sau : Với an ≤ t ≤b ,u,v ∈Cn-1([a,b]) Với an≤ t≤b ,u,v ∈Cn-1([a,b]) với u,v ∈Cn-1([a,b]) Khi toán (1), (2) có nghiệm Từ kết bổ đề dƣới ta thu đƣợc kết sau Định lí Giả sử điều kiện sau đƣợc thực : với a≤ t≤b ,u ∈Cn-1([a,b]) Trên Cn-1([a,b]) điều kiện sau đƣợc thực 64 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn Trong dó r, rij (i, j = 1, 2, , n) số thực không âm ω [a, b} R+ → m+ hàm đo đƣợc biến thứ nhất, không giảm biến thứ hai thỏa điều kiện (8) đơn điệu (i=1,2, ,n) Trong : Khi toán (1), (2) có nghiệm Định lí Giả sử bất đẳng thức sau đựơc thực : 65 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số năm 2006 với a ≤ t ≤ bn, u,v ∈ C(n-1) ([a, b]) C(n-1)([a, b]) (i = l,2, ,n) Trong hàm số hi,ki số rij, si δi (i j = 1,2, ,n) thỏa điều kiện định lý Khi toán (1), (2) có nghiệm Để chứng minh Định lí 3, ta cần đến bổ đề sau : Bổ đề Giả sử hi, ki ∈ Lp ([a, b], R+) , Ti ∈ AC ([a, b]) (i = 1, 2, , n), p ≥ với (x1,x2, ,xn) ∈ Cn ([a,b]), (i = 1,2, ,n) với (x1, x2, , xn) ∈ cn ([a, b]), (z = 1,2, ,n) Trong hi , ki,rij , Ti,(i,j = 1,2, ,n) thỏa điều kiện Định lí điều kiện (5) đƣợc thực Chứng minh Bổ đề Giả sử điều kiện Bổ đề đƣợc thực Để chứng minh điều kiện (5) thỏa ta cần véctơ (pi (t) ,p2 (t) , ,Pn (t)) nghiệm toán (3), (4), véctơ phải véctơ không Trƣớc hết ta chọn điểm ti thuộc đoạn [ai, bi] cho : Tích phân bất đẳng thức (3) áp dụng bất đẳng thức Honđer ta có : 66 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn Lấy chuẩn hai vế bất đẳng thức áp dụng bất Wirtinger (bổ đề 4.7 [2]) ta nhận đƣợc : 67 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số năm 2006 Theo (14) ta có : Thay (21) vao (20) t a có : (i = l , , , n ) Thay (5), (18) (19) vào bất đẳng thức ta nhận đƣợc Dặt o = max{||p i || L p (|a,b|) :i=1,2, ,n} ta nhận đƣợc: o ≤ o max {S i : i = 1, 2, , n} Vì S i < nên p o = Do Pi ≡ (i = 1, 2, ,n) Bổ đề đƣợc chứng minh □ Chứng minh Định lí 3, dễ dàng nhận đƣợc từ Định lí bổ đề TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn A n h Tuấn, Một lớp toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí khoa học số (12-2004) Trƣờng Dại học Sƣ phạm Tp.Hồ Chí Minh [2] Kiguradze.I.T, Some singỉuar boudary value of problem for ordinary equations (in Russian), Tbilisi Univ Press 1975 [3] Levin.V.I, On inequlities II, (in Russian) Mat Sbornik, 1938,(46), No.2, 309-324 68 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn Tóm tắt: Một tiêu chuẩn hiệu tính giải đƣợc toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao Trong báo trình bày tiểu chuẩn hiệu cho tồn duyh nghiệm toán biên cho pơhuowng trình hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng phƣơng pháp đánh giá tiệm cận Abstract: An effective criterion on solvability of a boundary value problem for a differential equation of high degree In this paper we present a new effective criterion for the existence and uniqueness of solution of boundary value problem for a functional-differential equation of higher degree with functional boundary conditions that are con-structed by the method of the asymptote estimates 69 Mẫu 1.02 BỘ GIÁO DỰC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐH SƢ PHẠM TP.HCM THUYẾT MINH ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ 1.TÊN ĐỀ TÀI: MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM LĨNH VỰC NGHIỆ CỨU Tự nhiên  LOẠI HÌNH NGHIÊN CỨU Xã hội nhân văn Giáo dục Kỹ thuật Nông Lâm-Ngƣ Y dƣợc Môi trƣờng       Cơ  ứng dụng  Triển khai  Từ 24 tháng năm 2007 đến 20 tháng năm 2009 THỜI GIAN THỰC HIỆN CƠ QUAN CHỦ TRÌ Tên quan : Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM Địa chỉ: 280, An Dƣơng Vƣơng, Q.5, Tp.HCM Điện thoại: 08 352 020 Fax : E-mail : CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI Họ tên : NGYỄN ANH TUẤN Học vị, chức danh KH :PGS.TS Chức vụ :Phó trƣởng khoa Địa NR -220/150/35 Lê văn Sỹ Q.3.Tp Hồ Chí Minh Địa CQ :280 An Dƣơng Vƣơng Q.5.Tp Hồ Chí Minh Điện thoại CQ 08.8330124 :08.8437519 E-mail : Fax : Di động : 0908651144 Điện thoại NR NHỮNG NGƢỜI THAM GIA THỰC HIỆN ĐỂ TÀI Họ tên Đơn vị công tác lĩnh vực chuyên môn Nội dung nghiên cứu cụ thể đƣợc giao GS TS Bedrich Puza Masazyk university, Czech Republic Cùng hợp tác nghiên cứu viết chung Chữ ký ĐƠN VỊ PHÔI HỢP CHÍNH Tên đơn vị nƣớc Department of Mathematics Masaryk University Nội dung phối hợp Cùng phối hợp nghiên cứu vấn đề nêu Họ tên ngƣời đại diện GS.TS Bedrich.Puza 10 TÌNH HÌNH NGHIÊN cứu TRONG VÀ NGOÀI NƢỚC 10.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Lý thuyết toán biên cho phƣơng trình vi phân thƣờng đời từ kỷ 18 nhƣ công cụ để giải toán vật lý, học Tuy nhiên phát triển mạnh nhờ ứng dụng rộng rãi to lớn lĩnh vực sống nhƣ vật lý, học kỹ thuật nông nghiệp, kinh tế sinh học, Song nghiên cứu phát triển theo hƣớng thực phát triển mạnh thu đƣợc nhiều kết năm 1997 nhóm nhà toán học Grudia Czech dƣới dẫn dắt giáo sƣ viên sỹ Ivan Kiguradze, viện trƣởng viện toán học Tbilisi Trong năm gần vấn đề đạt đƣợc nhiều kết công trình tác giả nhƣ: I.Kigurade, B.Puza R.Hakl, A.Lomatatidze, , báo ví dụ nhƣ [4], [5],[8],[9], 10.2 Danh mục công trình liên quan (Họ tên tác giả ; Nhan đề báo, ấn phẩm ; Các yếu tố xuất bản) a) Của chủ nhiệm đề tài ngƣời tham gia thực đề tài 1.Nguyễn Anh Tuấn, On one class of sovable boundary value problems for ordinary differential equation of n-th orcler, Comment Univ Carolin 35, (1994), 299-309 Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 4(38), 2004 Nguyễn Anh Tuấn, On an effective criterion of solvability oịboundry value problems for ordinary differential equation of n-th order Arch Math 41 (2005) No 451460 Nguyễn Anh Tuấn Điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm hệ phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP.TP.HCM số 20,1998 I.Kisurade and B.Puza On boandary value problems for systems ọf linear functional differential equations Czechslovak Math J , 47 (1997) No.2, 341-373 b) Của ngƣời khác I.Kigurade and B Puza, On the sovability of nonlinear boundary value problems for fuctional differential equations Georgian Math J (1998) No.3, 251 -262 E.Barvyi, A.Lomtatidze, B.Puza A not on the theorem on differential inequalities, Georgian Math, J, 7(2000), No.4, 627-631 R.Hakl, On bounded solutions of systems of linear functional differential equations, Georgian Math J (1999) No.5 429-440 R.Hakl, On some boundary value problems for systems of linear functional differential equations, E.IQualitative Theory of Diff.Equ (1999) No 10 1-16 10 R.Hakl I.Kigurade.B.Puza, Upper and lower solutions of boundary valueproblems for functional differenial equatons and theorems on functional clifferential inequalities, Georgian Math , J, 7(2000),No.3.489-512 11 R.Hakl, A.Lomatatidze, B.Puza, On periodic solutions of first order linear functional dịfferential equations, Nolin.Anal: Theory, Meth&Appl 49(2002) 929-945 12 I.Kigurade, B.Puza, On boundary value problems for functional differential equations Mem Differential Equutions Math.Phy.12 (1997) 106-113 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Bài toán biên nhiều điểm cho phƣơng trình vi phân đƣợc nghiên cứu từ lâu đƣợc nghiên cứu tác giả nhƣ Kigurade, Puza, Bắt đầu từ năm 1989 tác giả nhƣ Puza, Tuan, bắt đầu có kết cho toán biên với điều kiện biên dạng hàm, ví dụ nhƣ báo [1] [2] [3] [4] Đặc biệt từ năm l998 tác giả nhƣ I Kigurade, B.Puza, có kết cho lý thuyết toán biên cho hệ phƣơng trình hàm tuyến tính phi tuyến, việc mở rộng kết cho tuyến biên nhiều điểm hay toán biên với điều kiện biên dạng hàm cần thiết lý thú Từ có kết cho phƣơng trình vi phân với đối số chậm hay đối số lệch MỤC TIÊU ĐỀ TÀI: Mục tiêu đề tài : Nghiên cứu tồn nghiệm lớp phƣơng trình vi phân hàm với điều kiện biên dạng hàm Ngoài xem xét tính xấp xỉ nghiệm toán Nội dung gồm ba vấn đề sau đây: a Nghiên cứu tồn nghiệm phƣơng trình vi phân hàm bậc cao phi tuyến mạnh với điều kiện biên dạng hàm đặc biệt (tiếp tục toán nghiên cứu) b Nghiên cứu điều kiện đủ cho Sự tồn nghiệm cho hệ phƣơng trình hàm dạng tổng quát từ áp dụng kết cho hệ phƣơng trình vi phân với đối số chậm hay đối số lệch với điều kiện biên khác c Xem xét tồn nghiệm cho lớp hệ phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm đặc biệt.Từ xây dựng dƣợc tiêu chuẩn hiệu cho tồn nghiệm Tiếp tục xem xét tính xấp xỉ nghiệm toán CÁCH TIẾP CẬN, PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Áp dụng kết tác giả nhƣ: I Kigurade.B Puza,A.Lomatizace, cho phƣơng trình vi phân hàm tuyến tính hay phi tuyên tính để nghiên cứu tồn nghiệm hệ phƣơng trình vi phân hàm hay phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm Từ xây dụng tiêu chuẩn hiệu cho phƣơng trình vi phân với đối số chậm hay đối số lệch Áp dụng phƣơng pháp đánh giá tiệm cận phƣơng pháp điểm bất động cho vấn đề NỘI DUNG NGHIÊN cứu VÀ TIẾN ĐỘ THỰC HIỆN STT Các nội dung, công việc thực Sản phẩm phải Thời gian (bắt chủ yếu đạt đầu - kết thúc) Bài toán biên cho hệ phƣơng Hai báo 2007-2008 trình vi phân với điều kiện đăng tạp chí biên dạng hàm có uy tín nƣớc Bài toán biên cho hệ phƣơng Hai báo 2008-2009 trình vi phân hàm hay đăng tạp chí phƣơng trình vi phân hàm có uy tín bậc cao với điều kiện biên danh hàm nƣớc SẢN PHẨM VÀ ĐỊA CHỈ ỨNG DỤNG Mẫu  Vật liệu  Giống trồng  Giống gia súc  Tiêu chuẩn  Qui phạm   Đề án    GS.TS B.Puza PGS.TS.Nguyễn Anh Tuấn PGS.TS.Nguyễn Anh Tuấn Dây chuyền công nghệ Phƣơng pháp   Báo cáo phân  tích Chƣơng trình  máy tính Luận chứng kinh  tế Bản kiến nghị  Sản phẩm khác: Bài báo đăng tạp trí • Tên sản phẩm, số lƣợng yêu cầu khoa học sản phẩm STT Tên sản phẩm Số lƣợng Yêu cầu khoa học Bài báo đƣợc đăng hay có giấy 04 Đăng tạp chí chuyên ngành có nhận đăng uy tín • Số học viên cao học nghiên cứu sinh đƣợc đào tạo : hai ba học viên cao học • Số báo công bố: • Địa ứng dụng (tên địa phƣơng, đơn vị ứng dụng): Tài liệu dự báo  Thiết bị máy móc Qui trình công nghệ Sơ đồ Ngƣời thực Dùng làm đề tài nghiên cứu cho học viên cao học nghiên cứu sinh khoa Toán Tin trƣờng Đại học sƣ phạm Tp.Hồ Chí Minh KINH PHÍ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Tống kinh phí: 40.000.000 đ (Bốn mƣơi triệu đồng Việt Nam) Trong : Kinh phí nghiệp khoa học : 40.000.000 đ (Bốn mƣơi triệu đồng Việt Nam) Các nguồn kinh phí khác (cơ sở hỗ trợ, tài trợ cá nhân, tổ chức): Không có Nhu cầu kinh phí năm : - Năm 2007 :25.000.000 đồng - Năm 2008 : 15.000.000 đồng Dự trù kinh phí theo mục chi Kinh phí văn phòng phẩm, photo : 600.000 đ Kinh phí viết bài: 20.000.000 đ Kinh phí gửi bài, bƣu điện : 1.000.000 đ Kinh phí cho in ấn: 3.000.000 đ Phụ cấp chủ nhiệm đề tài : 2.400.000 đ Kinh phí cho bảo vệ: 5.000.000 đ Kinh phí cho :Seminare: 7.000.000 đ Ngày 13 tháng 04 năm 2007 Chủ nhiệm đề tài Ngày 16 tháng năm 2007 Cơ quan chủ quản duyệt TL BỘ TRƢỞNG BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VỤ TRƢỞNG VỤ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ [...]... ordinary differential equation of n-th order Arch Math 41 (2005) No 451460 20 12 Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 4(38), 2004 13 Nguyễn Anh Tuấn, Một tiêu chuẩn hiệu quả về tính giải đƣợc của bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 8 (42), 2005 14 B Puza and Nguyen Anh Tuan,... của định lý 5 Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm Trong phần hai của đề tài chúng ta nghiên cứu tính giải đƣợc của phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên nhƣ trên Xét phƣơng trình vi phân hàm bậc cao sau : 14 với điều kiện biên dạng hàm: Trong đó toán tử f: C(n-1)([a,b]) →L([a,b]) , (i = l,2, ,n) thỏa mãn điều kiện Carathéodory Với mỗi i ∈ {l, ,n} phiếm hàm Φi trong (2) là tuyến...9 Các bài toán (1), (5) đã đƣợc nghiên cứu trong [16], [17], Bài toán (1), (3) đã đƣợc nghiên cứu trong [16], [17] Tƣơng tự bài toán (1), (4) đã đƣợc nghiên cứu trong [17], Các kết quả chính cho bài toán biên (1), (2) đƣợc đăng tải trong các bài báo [14], [15] Sau đây ta nhắc lại một số kết quả chính mà tác giả đạt đƣợc trong bài báo [14] Định nghĩa 1 Giả sử G= (gi)ni=1 : C([a,b]) → Rn , là toán tử... minh đầy đủ trong hai bài báo sau [12], [13] đƣợc đăng trên tạp chí khoa học của trƣờng.Tuy nhiên các kết quả còn đúng hay không cho bài toán biên dạng vall-Pussil hay bài toán biên không chính qui đến nay vẫn còn chƣa đƣợc tiếp tục xem xét Các kết quả trên cho phƣơng trình vi phân cũng đƣợc tác giả xem xét trong [10], [11] 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 I.Kiguradze and B.Puza, On boundary value problems for... nhất dƣơng không giảm Ta nói nếu hệ bất phƣơng trình vi phân với điều kiện biên chỉ có nghiệm tầm thƣờng Định lý 1 Giả sử đƣợc thực hiện Và Với mọi và các bất đẳng thức sau 10 Trong đó ωi: [a, b] xR+→ R+ là hàm số đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biên thứ hai,ri : R+ → R+ là hàm số không giảm và thỏa: Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm Định lý 2 Giả sử các bất đẳng thức... phiếm hàm Φi chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hẹp đối với đoạn [ai, bi] và đoạn này có thể suy biến thành một điểm) Ta luôn có thể giả thiết Φi (1) = 1 Trong điều kiện (2) các phiếm hàm φi (i= 1, 2, , n) là liên tục trong không gian Cn-1 ([a, b]) Các trƣờng hợp riêng của điều kiên biên (25) là: Điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoleti hay điều kiện biên dạng tuần hoàn Nghiệm của bài toán (24), (25) là hàm số... b1, , bn) và f,φ1, ,φn của bài toán (24), (25) thực hiện các điều kiện sau : với mọi an ≤ t ≤ b, u ∈ Cn-1 ([a,b]) với mọi a < t < bn, u ∈ Cn-1 ([a,b]) với mọi u ∈ Cn-1 ([a,b]) , (i = 1,2 n) Trong đó hàm số ω : [a, b] x R+ →R+ là đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biến thứ hai, hàm số r: R+→R+ là không giảm và thỏa Khi đó bài toán biên (24), (25) có ít nhất một nghiệm Định lý 8: Giả... là đơn điệu và 17 Trong đó Và Khi đó bài toán (24), (25) có ít nhất một nghiệm Định lý 10 Giả sử các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện: và trong C(n-1)([a,b]) 18 Trong đó các hàm số hi, ki và các hằng số rịj ,Si Và δi (i,j=l,2, ,n) thỏa các điều kiện trong định lý 9 Khi đó bài toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm Các kết quả trên đƣợc chứng minh đầy đủ trong hai bài báo sau [12], [13] đƣợc đăng trên... đó thỏa các điều kiện của định lý 3 Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm Định lý 5 Giả sử trên [a,b] x Rn ta có: và trên Cn ([a,b]) ta có Trong đó thỏa các điều kiện trong định lý 1 và là các phiếm hàm không giảm, thuần nhất dƣơng Hơn nữa bán kính phổ của các ma trận 13 và có bán kính bé hơn 1 Trong đó (i=1, ,n) Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm Định lý 6 Giả sử trên [a, b] x... kiện biên dạng tuần hoàn Nghiệm của bài toán (24), (25) là hàm số có đạo hàm đến cấp (n-1) liên tục tuyệt đối trên đoạn [a,b] và thỏa phƣơng trình (24) hầu khắp nơi trên đoạn [a,b] và thỏa điều kiện biên (25) Định nghĩa 2 : Giả sử là các toán tử không giảm, liên tục và thuần nhất dƣơng, g(t) ∈ L([a,b]) Nếu hệ bất phƣơng trình vi phân với điều kiện chỉ có nghiệm tầm thƣờng, chúng ta nói rằng: Sản phẩn ... TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO NGUYỄN ANH TUẤN* Trong báo [1] đƣa số kết tồn nghiệm lớp toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao Song kết chƣa... [10] Bài toán biên cho phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm năm gần đạt đƣợc số kết [10], [11 ], II Nội dung đề tài Nội dung đề tài gồm hai phần: toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân. .. Tuấn, Một lớp toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 4(38), 2004 13 Nguyễn Anh Tuấn, Một tiêu chuẩn hiệu tính giải đƣợc toán biên cho phƣơng trình vi