Biến đổi laplace và bài toán cauchy cho phương trình parabolic

'0' u (x,t) g;u = r r r ,9 = ID 21 17 11 4í> & 'i ( n_ _V r l , 'Ibán tử y-Liih 1$ Lời cảm ơn ỉU/) = ll/IU = £liai = NỘI 1,2,3, ), \f( )\m = Yl Psư \ ll^/llỉ" *f( )\(m Luậii văii trình, bày gòin diưưiig; ciiứd rỉ TRƯỜNG DẠI HOC PHẠM HÀ { mtrình ) “ 5°-m(£) (I) «tuyến = /№ tính đưa phương (1-7) 1,2 Phương tiếncua hóa 2rlr‘ò Các tính, chất nửa nhóm 1& \Hh.ưL£ điưánghiệm đạt> tiàiii cấp cho Bài tốniiớa 1; Tìin nghiệm phương trình; 1,1,4 Khơng gian ầ ễ tính.0 tủa • * Các kiến thức chuẩn bị 2 Ả BLếii đổi Laplace da hàm í>6 thơng thường 20 Tơi x.i.11 bày tò Lòng' biết ƠI1 >äu sắc đếii PGS, TS, Hà Tiến Ngx>ạii, ligirờL thầy Mỡ đầu nghĩa fj(x) —> trang Wịf chiđi(.> kill với bất kìgiai đạođượt; hàm D fj(x), D fj (x) Dị-Iih lý (Jr.uii/iiy-K(.>wíi.Iẹnv^ki ta tính địa phương nghiệm (1.7), thei> biếucua thời gian, tính, đặt điìíih uủu tt>áii UũU-điy, bleu đố rõ ràng;tốn W£° Là khơng gict.il VỚL điuấ.11 Bay ta giả sử hệ số trong' (L3) chí hàm biếu t, tức; Là điuẩii Sem; BỘ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO r l r l Kh.ái Iiiệin Iiửa Iihốiíi 15 r Đ ố i tượng phạm vl nghiên cứu bail đầu (fỉ) làBỘ tậpGIÁO h-Ợp tất c; hàm thu-ộc; C ( Q ) ScV> ch.0 giá điúiig tập coiiipcw;t DỤC VÀ DÀO TẠO TRƯỜNG DẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI ♦ * L[u]= x SU + D< x I, ttt» ĩẽfí" \a\ gơm ti>àii u+vàgian x ầễ t>} u thể x,t>} L ='222 tính, chất cua phép biếu đổi LapL&ce trong,' 21 định tàiriêng, tình hướng tơi œ tiDaa thành Luậii văii —¥ hướng Là giả mạnh, uhưug ta ^trình (L ^avnhiệt ^Tuy ’thiết {dx) {dt) ^^ ^ phương đạoCác hàm rihiẽii, thực; tế 00HIEN rấtchửng Iihiều phương' trình NGUYỄN THI THU » Petrov >ky tỉacUmnuTl vềj Kh.ơng giai! W™ AV ấ -Bài tốu Utiuđiy cho phương trình vi piläii kiiồug'trình gĩciii lý thuyết Phương trình Loại parabolic Là mật phương' 1dạy Cviết kiến thCfc; ũhuẩii bịcác; uố thể dượt; thành tích., hệ phương, trình àng điun Iigaiih Tốn giãi trường Đại h-ỌC su'cha pliạni Hàu(x) NậL giúp Khơng gian w™(íỉ) Là khơng »ùm bcu.) gầm tất cà [.:íu; hàm e2 Lđã2(rỉ) saođỡ Iih.6111, tấii tử sinh cửa Iiửa Iihốiu, phát biếu tốii (J&udiy phương; trình vi phân Tơi í>ự hướng d-ẩii PGS, TS, Hà TLếii INgvạu, Luậu Dặt xi.il / = 0Осип trongđociii, [1.7) Trong trường' hạ ọ Iiày, tốn UcRiđiy được; gọi Là г tỉiLLbert Dinh, nghĩa Iđạo rU,UI l khơngr lhaul r Khơng gia.il LLà (íì) Là_cát.' khơng' gian với tích vỡ(L3),(L5) Baiiadi 2t> phương trình riêng; II1Ơ tả q trình, truyền nhiệt khuếch, tán, 1-1 Mật Ю gi.au hàũi Nếu đặt Щ = = u ,u = Uị, w i = и™~ thi ta đưa tấii Định nghĩa 1,1,4, Khơng gian t W™ beta m đóng' cửa ơ^°(íỉ) theo điuấn tơi suấtđạo q học ch.0 tầu hàm suy đếii tậutrường;, cấp Định III thuộc í/ 2tLiLL-YosLdâ (íl) trang H1Ơ bị bởitảđu.Lắi.1 í>a.u 'trình ịuBciiiadi, Uigtập trong; khơng' gian trinh, bày Lỷ cát; điều kiệu ữ =rộng văn ngành Lải ti với tai; Laplace €bài tốn đặt clian chỉnh nếuTốn VỚL Liệutú;2bcMi đầuđềtùy ỷ Biến ^ = (uđổi w m_i(x)) TỈW™ (x), , hướng 2,5 Cáu Iiửa Iih.6ũi parabolic 2$ Sang, tốn UcUidiy đơl với Loại phương trinh, Lại có đặc điếm qua.il M LLL u Khơng gian L tốn sau; ỉt = để Uiộtxin tốn tửphương Là tốn tử sinh cửa Uiột Iiửa*hoc íiiióiib Trêu sởi>ự khái Iiiệin cáu Dại nửa Tơi g,ữl Lờĩ càui ơn tới tập thể lớp Cao ibáii giải tích к 17 Trường Cauchy chư trình parabvlic hồn thành, bời Iihậu th-ứí; « r đầu túy ỷ t (0 < t ữ < T) tầu nghiệm u(t,t ) [€I A ) vàmột th-ời gian ban Là dụ ta tìm đầu nghiệm u (bởi x , trêu t )tốn thoa [1,2) kh-i tHiệu ^ VỚL 2rbví Các; nửaKhơng Iih.6ui được; sinh tửIiiãii tựđặc Liêu ÍÍ hợp 'ỳị trọng; Là dữUhứiig kiệu ba.il được, cho mặt trưng, IiaydữcốLiệu ban ~>6 1,1,2 gian SoboLev Bài tốn 2: iighLêüi cim hệ í;phương' trình: n Tìm n j-1 = a ^)u + oi(x, í; ^)«1 + t uf{R {x, m2 tử nhóm pcirciboLLt;, các; nửa Iih.ốm uủa tốn tự liêu liỢp,Luận văn trình bày LỜL giài Ta có w %{R ) = w ) m hực Sư phạin Hà Nội động, vieil giúp đỡ tơi troiig q trình, hục tập Làm luậu tìui hiểu cửabàu th-âü tác; giá nc ([i ,T],W£°) nghiệm Là Liêu tục dư liệu ba.il đầu đix> trước mđầu cho +a lẩễ (x,t; / Cbiếu đầu u (0x',pháp 0) đii> tgia.il = trường hợp +trình, này, í>Lêu t = Là Là t> mtốn 1Trong ịuv =[trước 2J Bài tốn biêu-giá trị ba.il phương parabolic phương tiếp cậu giải Iiày, đổiphang' LapLa.(;e = a phép LL3 Khơng IMIwr(n) í Y1 \D u(x)\ dyj (Ll) {u,v) = u{x)v(x)dũ n L { n ) Trong k>áu biẽii-giá trị nghiên bcUi đầu trình trong;uhữug Iiiiềii bị văn này, qЩ trinh cứucho phương thực _11hiệu luậiipcimboLü; vãii, tác giảcấp hai kế thừa, kết m _ theo í 0-Khơng mặt đặc cua tốn L gla.il = — A tới D(.) đó, _i trường' hợp Iiày khơng được; xét trong7 1,1,6 gian ct ([a, ồ], cấp Iiilều bị phương pháp hữu bởiệ=tE) 116 mật đỡtrưng MLL4 = ha.i M =thiệu Uị,Uị uuh.ặ.11 35 ,w™ =m w Khơng' ỗẽ 0, u 2dẩn m cơng cụ qua.il trọng cửa tố.11 học, chặn, ( ĩ )оаш l { ũ ) ƠI1 tới Sở GD - ĐT Tĩnh u Bái, BcUi Giám xi.ilsựgửi cửa.Đòiiíị Iiiià.thời khoa, tơi hoc VỚL trâu Lời trựugUhuyẽíi biết ƠI1, ugàuh ; Tốn giaimtích T với t Định lý cd.ut;hy -Ko\v a.Lew > kwg* Ch-íuh xác hơn, với l,£ (> 0),mà tần p,ơ (>c 0)đềađọc lạp 2J.L Ap dụng củu Iiửa nhóm parabalii; .30 Lỷ thuyết Iiửa utióin, Uhíiih vìi tơi điọn tàiư], ;(L4) 'E Biến đổi Laplace IU nói w(í) = (Uo(t), ,w _i(í)) Là diet LL5 Khơng gian m ) trong, Dinh, nghĩa 1,1,5, GLả sử b} Là khâiig gicüi Bcumđi, khâiig' ginghiệm cui ([a, Là02 khơng < I (Ь4) duiiiL \\u\\ trong, đố a = (ai,a , ,a ), |a| = a i + a + + a D = D ® kiệu D % ngia.il L { n ) 2Trường, n n r [2] Tài uủ& Luậu làxã[1] — hiệu vàliệu cấctham đồng,kh.cu> nghiệpđiíiih THPT Thị Nghĩa Lộ tạoD % điều cho tơi Mã số ;văii 602 46 01 02 r Nội Шащ в năm 2015 Hà 2.7/2 Áp nliốin cửatốn tử tự Eliên Ta phương trình Cauchy trình '2 , nghiên cứu —1 ịxét utốn = am ^)u +1phương ữi(x,í; + đií Uịdụng €chv C7 ([0, T] ,E) (t 0)(ỉtrang = 0,1, 777, — Liên 1), nghĩa 1,1,0 Khơng gia.il ơmnhận ([a, b] ,E) t— ữ {x,t\ nửam-1 D= cácW£° h-àin u(t) x.ác; đị-iih trêu [a, 6] giá>parabơlic trị vàđếh-Ợp 'S7 vi tục đến cấp 7suốt q trình, trong' hxx; tập làui Luậii văiir +a (x,t; Ề)w -1 + / m lm i d x đu> Iiếu ^2 ||iij(a;)||p < ỏ mthi Tác già trình í d\ ( d V/ d V 12 Phương Phương trình, tiếu hm tuyếu tính, đưa hệ phương 5, pháp nghiên cứu 1,1,2 Khx>rig gian SoboLev ШKết Với trang bị diuẳn sau; điều kiệu n luận ЗУ 3=0khơng liiệu Là w™{R ) Là q trình viết gmu Luậu vănUịit) nhưmột Viột; xử trị Lỷ văn ba.il chắt; điắii LUẬN VĂN TtLẠU sĩ rưÁN HỌU L w™ Là ta COL mơi ph.au liàiii t.'ó[ oị giá đố 2Kỷ rTrong' Mục đích cứu № = \ knghiên t ) thành, ) u =trong f { xW£° ,t ) trong'(1,3) chứa, 0j < m h.à.111 cấp liiột theo Khơng giciLi c ( í l ) mđạ — 1chế m biếu =khà ũ0(a;),Ui(a;,0) =đếii Vi(a;),w _i(a;,0) = Ьсфких у т _г(х) thập cáu tài liêu qucui tới bàL tốnsựCiiachy с tia khơng ktiỏì hạn vàbật; thiếu >ót, đoi Rất uioiigIitiậii góp ỷ (LÉ>) C-ŨvớiTh-U ílý^wtránh 00:(x,0) Uị(t)Giả viLLệu liêu tục; 1mth-òa nmail (L4), Tổng' qt, Dinh, 1,1,1, b'ửíl 'miều trvng R m > Or Khi w™(íỉ) ' y max biếu thời gia.II & sup w^(í) 40 TàiTrình, Liệubày tham, khảo \ \ ( ßhệ ) \ \thống c { [ a , bcác ] , E vấii ) < £ bật; mật cách, đề; Cauđiy choh.àin phương' trình pct.ni.boLu;, Ngun Thị Thu Hiền t-roug' đỡ chúng' ta khơng' bấtkhơng kỳđếtốn gi-ới hạn nao đạo theo dùng' t;ác; kỷ hiệubạn sa-u với gia.il c;ếw; Liêu tục; hàm khả vl tđưa o < tđối < Tvào phương trình, parabolic;, CU các; thầy cát; đồng; nghiệp luận văn ht>àii thiệu hơib ,1 ó> = > 1.5.2 liên nghiệm với giá trị ban đầu E Iiếu v(t) Tính, €yian c ([0, T],tục E)j tL>áu (Tvới tОсШ-điy, > 0), ta xét điuẩ.11 khơny Hiílbvrt tích võđối hướng L3 Phát biểu SựíeIiửa phụ liên tụt; vài> dữnghiệm cua n thuộc; phép biến đối La.picu/íí, Lý thuyết nửanh.6111 cơng, biếu diễu với ỊỊ • II điuẩu trong; W2(-R ).Kh.i đố từ (L4), uốthức; thểbài viết (L7) ttLành đi(.> fc=0 [°’ ] hướng X xuất hiệu phương trình /l’H khảo sát tốu uu;h.y liêu tục;; Các phương pháptrưng ciia GiàL tfch hàm (1J3-) tuyếii tính., ta Hà Nội thány в năm 2015 T SĨ HỌU Định, lý Ccuidiy, lrSrlr kiệu ba.il Trvny đầu (Lei)LUẬN ta đặtVÃN / = THẠC Giả b'ửTOẢN mộị hằny b'ố T(> 0), 10 ktồn a a bài:5), tốn maxp (ỉj(í)) + max p (ịv(t)l (ra = 1, ) {u,v) = D u(x).D v(x)dx m m W Ĩ { n ) (L Trong trường, hợp y mật điếm qUi trụng đỡ tính, điất 'duy cụt; bộ' ơ(íỉ)pln.rơiig, Là tập hợp cà lượng, các;7 hàm liêu tục trêu íỉ ctrình ( ri)đạoLàliaiỉi tập hợp các; hàm xát; c ph.áptất định cua lý thuyết phương riêng, Tát;NGOẠN giá Người hướng PGS TS,GHÀ TIẾN với L3.L yiár BàL trịtốĩi bím u&uđiy đầudẩn Ф khoa = (uaữhục; (x),um uw™ tồu nghiệm 10 m -ị(x)) khơngDo ta phài đưa vào i>6 gi-ới hạn dáng; nghiệm định CỊI1 trêu rỉdđúng, >í,w.> dio í.; ác điệu c;im đạo hàm Diều cũng,' sLiih khõug gLciii Kréchot, — ‘ S r6,Nhiệm, vụ nghiên cứu (thvư ỉiyhm lr'i,2 taTính vữa liêu mĩm tục tả), cua Trưng nghiệm trườuy hợp giá trị- 7bail ánh :uụ tuyến đầu ,tính , từ 10 Giã thuyết khoa học w™(íỉ) chn đuợo làr gian kbony ymn Svbvltỉvr u ( xriêng X =ì yĩim OO- N6i c;áđi vời khác;, điúng,-[1,1) ta chạn mộtyựi khơng; h.à.111 chứa u ( x , t ) : t )Kbouy d yĩá L4 trị ban Tính, đầuđặtФdiüih tới (u(t), слт (d/dt)u(t), , bàL tốn Oa-uđiy (d/dt) m ~ l u(t)) liên tục ta coi 11 cách C-ƯL t tha.111 í>ố trong, u ( x , t ) đếnLuậii cấpđược kvău tồnIiiối Liên trêu ÍL t-j_iui.lL Nêu liêu qua.il cua phép biến đổi La.pLa.ce vớiIiửci Lý thuyết nửa mtục; Là tài LLệu tống lỷ ttiuyết Ilham áp dụng 1,1,5 Khàng gicLĩi ầ ễ nhu 1,5 Cáu mọt Định ánh sinh Щ từ LýIIW™ Petrovsky tới nC^QO, T], H.iA.dcUiia.rd W™), 12 utiốui cùĩig; VỚL (íỉ) Là tập tốn h-Ợptửtất oả u hàm kh-ả vl vơ h.ạ.11 lầuThu trêu Hiền Ngun Thị vàoơ việc gi-ải tốn Cauchy cha phương trình parabolic tuyếii tính c;ấp hdì dạngQ m Định Khơng; sÿicUi ầ ễtà khơng hàmápf(x) thơa trêu C h ứnghĩa u y m1,1,2, i ĩ i h r Dl thấy ánh U1Ơ tốn tử bcU.) đóng;,gồm Dl> tất đó,cả ta-[;íu; c;6 thể dạng địnhfỉ n LàsÿLcUi Giả sử íỉ Là inợt tập II1Ở R , Nếu BcU> đóng tập h-Ợp ối.: điểm X e15 Biến đoi LapLaœ nhóm ápthời dụng: vào tốu.Cauchy tống, qtmục với cấc hệta-SQ khơng phu thuộc; sịiciíL Trong' này, diựn W£° Là kh-ơng, gLíUi iiàiii (.'In.) mục; đính t;ửd ta mãn D a f(x) (|cc| cho u(x)nhóm, Ỷ Là cuar hàm w(:c) kỷ hiệunửa supp U□r 21 Khái, Tốngọi tử giá tính,hàm chất С1Ш NỘI, 2015 Bằng, cách, viết / G Wịf ta IÍ1UQI1 nói /HÀ G c°° ,i>Liih tất Cát; cáu đại> cua g i s u c h - ệ í >6 a v j ( X , t ) e v í —> • a v j Lời camí>6 đoan d h BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH (LlbCAUCHY CHO / PARABOLIC y Ị BIÊN ĐƠI LAPLACE VÀ BÀI TỐN \Mhội 01với Г] —> +0 Chứny тш/ir ước Lượng ша Iiếu 0t=lý thằuy ^u(t Định, lývậy, 2'brlr Duới yiả (2 nửa nhóm tốn binh Day mọt hệ phương' trình, phân thường' chứa, >6 Tích, phân Là fIighiêin eBiến ~Ibáĩi fvới ((1) t uua )tữ dDối t sinh M[u] tụ =thiết tích, 0vi VỚL phân ^giá f t-ỷ) ,trị j -Il (là ejStll, ~ thea tDüih )thcun ) ds tvác f c;ua f (£ t0có )1, etrong PlaudiereL, t tử )và dhành, 0vàAhội kh.à vi Liêu tạc th.EX> t,(T c;ó tmiig' E, tức Là )~ta epĩố c( 1— ([0, T ],0 E) и tụ 2,2 đổi Laplace rt3L) 77 uiLiih 0ta Ü0 glảui tổng qt, 00 thể sử ßi Iihư nghiệm uh.ất II ex.p(tAJ\)W ^ С exp(íA) exp(— tx) = c r r T ị X — X = / TịAxdt độ Hiểu lih-Lẽii, trong' Iiilền { p+ịi ĩAF(p) i e p > i }ảíbk vớip t IIIỰL ị )> qua { theo Định, l ỵ Wderr p t biến Lur'plurW, Khi (227 ) Giả vủa f(t phép đoĩ figrsử tIV(2) b’ự họ ị=nghiệm củalũ họi tụ thvv trưng đưụ-ri [e,lấy l/e] [nhiên), etụ dp ■G Xvế -ị [ eШ (pl — AỴ Axdp ! điuyểii Chú ý21(2,L) đầu tiêu Là với XĐầu @ {một Aphải )cua , tốn T ị(/ Xhệ G $oA {pcỡny Atthoa, i>ciu (khi tÇđó thi hiểu tiêu, (2,33) гU)[2,1) di 'ỈU đmii đượv mv định nhất; Sị đượv í:bv thức ['2,'Ậ'ở) Nữ«HÂĨUI thỏa uiãii [^ Ả ) r >ử Dầu tiêu, tatiin nghiệm cửabằng phương pháp klếii thiết, Để r tr Jphương Là định Bây giờ,già hệ trình ( phụ Ly)tthuộc u ( t ) lim —“7 / 0M*)|| = И^*;Ч)1 e ( p 1/К)1Ч) ) d p Tlmy ta đị-uh nghĩa tử niãii 2,2,1 Biến đoi hàm i>6 thơng thường 2ĩĩiLaplace J T A —> 2iĩỉ J Ệ + i o o J ĩp{t) = Aĩp{t) + ĩ ự) + 00 tZ 7TZ J >Si=(fiU+ -ị+\ eỊ í\ eỳSp-t F(p)dp Лv>ữ—> +00, DalàđóGọi \ u í>ử (2,le) (e(thơng 02.6 tùy ýЛCác u-*4 (лetmtồii )E,t ()tốn s1,2,3, ) )td0khi s tử (2,3(>) Tị thường,) гnhóm (A ^1) s it0xAnghiệm e @{A) (£, í, to), , í,=to) tTpS{Ap} thời,gia.il bcUi đầu, t -u(t rgiá điều này, ta VỚL giá trịđiuyểu ban đầu đK> trước; rLà ị(A + sinh liên ||(A/-4)“ || ^10,một > о, ж =f2và (2.23) h i = ụ? t = J \\Tị*lự — J\)Au(s)W bị chặn theo s chạy Iiiật khoảng bị diặu, p t t x)đều A jẠT = ATịX = TịAx [2,11) hạng đầu tiêu 0, dSịx/dt = SịAx (X G Ỉ@(A)), Sị{Ax) n o Suy$6Định, haulnghĩa ảnh F(ỹ) có đạc> hàm tức; lim / e (jpl — A)~ u(Q)dp (2,(>) lim Au (2,y) 1, R Ệ —ioo —plog(l x)/t == r r l r Z7TZ Giả sử f(t) Là hàm gốc; xáo+ định, t > 0, nì) Biếu đổi + Ах |£|) c (£= Gvới ,j = 1,2, , (1.15) JReAj-(£) t p (TịX pỈ =J — -и 0< T+ lim với uhiêu, Гд2 наш ш —>ph.au 00 27Xbù £da —£ iA Hiểu trong' r Ta kh.ảo s>át tích phân cửa (2,33) dọc K Щ G D(A) r hợp p t 1 (tAJ\) ) d ĩ ễ ta.=AS liêu theo (2,11), biếu phân bị điặiigiá trong' Dặt tục;, J exp AJ\exp(tAJ\) =0 exp {tAJ\)AJ\ = exp {tAJ\)J\A Ngồi ra., t;6 trvny và= cha À rằng' trị kiiồii» dầu(2,34) hữu IK SịX í thuộc; e—> p(pl —vàta A)~ xdp Liêu t xđịnh Ỵ“—7 t(2,19) JtrẽUr trvny s t hiểu Định lý +00, 2.5,1 ởkỷthấy + OC La.pLa.t;e h-àiii sấ— fit) được; đị-iih Iighĩa hiệu Là ĩị){t) = [ T ữ Chửuy mmh tính Cha Tị Là nửa Iihóui tùy ỹ Iihậũ tấii tử vl phân Thật ra., (1/77){T — Tị)x = A^TịX = TịA^x với 77 > 0, Dt> t _sf(s)ds đố Res kỷ hiệu ph.au dư, D L > đó, từ (2,31) tLaplace + rdiễu Ị nhắt, 27 xỉ JY 2,2,3 Biến đồi nhóm L>ây inật cách, biểu Iighiệiii dùng giá trị bail đầu w(0) G @ ( A ) tập gi-ài thức; (biếu theo ViỊịđóphụ thuộc; vào t,) = I ịvầv trvny ưa pch.L phụ thuộc T nhuny đọc lập VỚIh.ạ.11 £.0 ) = ổi) {vị{Z,t;t Fedio 'kliỡiiíị (3(A) pЛ ftục; {Là t> )ó)etại - >ttứt; ‘ =) dtập tLà hạn tùy ỷ , tc 1xấ& liêu O r0cát; Th.ei> Định lỷ Lebesgue, ta =ẽcố (/ -V.A(\ IU — 0, uL)[.> ((A t) и > th-òa 0) gi-ới (2.24) điú (3)IU Chu ,Ỳthức t1rằng 'tốn >0 cuối, 0ĩp Xcửa E Iighla Là tập đị-iih inột mãnж(2,9) [lim tầu i x Là l|u(t)ll < Ce*‘ (2.2) E + 00 CÌIO H tử tự Liên hợp khơng gicUL hLĩLbert Nửa Iih-ốui thu Chú Ỳ đẳng X € @{Ä)r rí~ , (lĩ) Mặt kháu, tá> ANyưàĩ r(X Trang, trường, hợp này, ta khơng glầ thiết (1) (2,7), ỈU i;6 1JNh.ư e @ ( A ) thi SQ hạng uuốl tiếu tới TịAx khL T Ị — > +0 Nếu í > 0, Chứny minhr ta thấy chứng uiLiih cửa ÜLiiti lý 2A.1, để chí ram có diễu Lri.plci.cfc ), LLỐ quail trạng; khL ta klếui tra (.'át: t-íuh (.'hất cua nghiệm T tOr Ngồi гa cách đối biếu pt = p' ta* thu ülơt ánh xạ từ Tị/ị tới Ti ổ ị kỷ hiệu KroiKX'-ker), Ngồi ra, ta đị-iih ughia p t _1 pt II1ỌL pr=72,2,2, thuộc; cát; miền trên, Định tốn únh nửu, nhóm Tị thỏa mãn (2,7) T ị Xđlếui —7 /vạy, e Ký ( pu(t) lhiệu — Л) т4ж— G r > a,í > 0) ỉà □ F(p) =tử(ж L{f(t)}(p) = Ị e~ f(t)dt đố taU— día, \có { tX)lý Dl> được; xác định vấc theo ù), vàVỚL tập tạo thành, mật khơng gian da E Nói điuug, Аvà□ Chứny Ĩtiĩnhr [Băng phương pháp phản chứng) rAJTa giả >ử (1,15) kliồug đượu từ H iH Là t.L>áu tử sLuh Là biết được; sữ dụng đio uhiều ứng Hiểu Iihlêii J\, J [A,/z > 0) Là gicw> hốn, u (= ịxỤụ, — I)) Khi đó, ta cớ; 27П ß m 77 > ta viết (1/ — 77) (Tí-,, — Tị)x = T t r Ị A r Ị X từ đ6 ta thấy Aip(t) = [ T _ Af(s)ds (2 3t>) Là nghiệm tadll cần chi rarằng, uếu đặt ĩ Ị ) ị t ) = /q S ị t s r e ß đầu; Là ịtích —> +00, hằng; h.ợp rxác Vì ch.t> ( p ) gi.ài uiìều R pbài > ơJß0exp(sAJ\)(A l Là □ đưmy TịX —trang; exp (tAJ\) =đó Tс11311 — sấAJ\)xds (X € tương @(A)) Bây g,LỜ ta quay trở Lại tối! kiếm diứiig u(t) định, t _s «belli Y /3.thí Nó(il £VỚL ữ2gọi X \(|£*| khơng phải tốn tử diặibỈU Là cua Bây pí bị S t S t x = bất kỷ j (> ex 0), tồn £* > 1), tầu x nghiệm, día (1.14) thoa = £ (/ ( * i t r v ( u i ; t i ) f \ m № ÿ Jo r dụng; tính, ci Loại nh.0111 khoiiíị g,ia-0 1U ^t i>6 =[và exp Xơxdq, eữnửa @(Á), t;ó 2.1 Khái niệm, sinh, Các tĩnh chất (1) ||JJ>|| áib =(1'i.iy ,A 2ĩ) ,(.viết )4-0 =LLhcUL, -^7 А)~ ■ ' thi /О.Л Ы)Ы -.nhóm., A)~ exp (qt')(ql -Với A)~ Jtatại Tị-^A^x —^ kh-L —y Dinh, 2r2rlr Nếu yếc với tăny tồn biến đổi aexp f {/ sS(tAJ\) ) Định dkhác slý pсCác '/2các (т tm )(p7=P1 f(t i,)nhám, p3uhiêu tАх^ ).hàm +Tị fbuột; (dp )Tốn A(tAJ\)r i tử pcất (hợp tb'ỗ )cử liêu tụt;, Vithức; ta 2với lý HiLle-Yosida p 2.5 parabolic tmug (2 (>) với điều kiện ràng, t.Ilk'll tập giải Là т г У р r Tmiig' trườnghợp Г Iiày, Iihư ta biết biến đối La.pLa.(;e ciia nghiệm u(t) biến đơi Laplurưư T j nyhĩulà t- tiêu Dế chứng' minh điêu liày, trước; ta uhắt; địiih nghía cua tíđi phân vàị Xuh.ú S+Xt xbiến =(.'lia ^A -Sị -Tị, fkhát;, eta.Lập (-1 - lại Ara Ỵ=th.ứ(; xdp Chứny mmh, Tính, Iihất ỉ>uy từ dịiih [ỷ 2'SThật Ici, đớ tađã i>ữ dụng A J D J \ để thiết đẳng Từ đó, exp ( t A J \ ) x —»• T giờ, biếu đối La.pLa.ce día c;ó; 2,2,2 Cắc túih chất phép đồi Laplace r mãn Re , Aj(£*) < jlog(l |£*DMặt u(x,t) exp{A(£*)í 4thoamãn L[u\ 771- J„)Arís F(Л nhóm ĩf> _i>ử M ±{T^lT^}ds =J\Ax thiết Lập chẽ ởp=điuyển Íịi-íũ đoạn phát triếii đầu,) Tmột X J' (2) Với GФ 0(A), AJ\X J\ — I)x Từ 0), tatacó xét với X €E E, thiH>= r ba.il 2ĩĩi t £J Tr^T« 4=tiêu, ỉ A( Giả X=Xcách G (ch-ặt A) Laplace r@ đố r' thu bằng, cáđi d-ỜL г dạo theo trục thực chứng; minh e ( A ) r VỚL (> p t@ iL)ầu Tị(e )x — eta Trất (x6 Vtồn (sinh, t +tại 4) -[2,27), Ịnày \ i>6 với tu, ->Iđược; f‘ ßm_ chư ßđịnh, yĩảĩ (XI — Arằng; )_1 om A ttình thỏa Từ (2,26) phương p,liêu hội p kh.oa.ug hạn üüä, ^h-0 T tồn tốn Định tử Lý trường tồn (thật hợp ra., nghiệm bắt cuny đầu từ có biểu ch.Q diiu bời đó, Trong mật í >6 trường hợp, = etrình, TịAxdt = lim / e TịAxdt T Iih.ốni) Jĩìvny Q biến, L + 0 J Q g(t ) vó đổi Luplurve Af(t) + Bg(t) vũuự ưó bĩếìh đổi Lwpiuve ( jí phương Ì J V J2 T ĨFourier J Chúng tađã sử dạng biến đổi theo biếu khơng gia.il Một pháp |u(0,í)| = exp{Re , A{C)t} ^ (1 + |ri) {t > 0), 0vi nghiệm, Uliúiig sửJ\X í>ự tồn ĩiiột thức (00 l Уд — (Л A ) khơng -—> có IU+oo) хеш xét€việc V*J0 tỊ ) (tại 1trong ữta Шеи nhiên ĩЦịCauchy >tae (giả t ) —>■ ĩphương t )Xс(elia — > +0) , Mặt khác 2çbiLg, A Bài tốn cho trình phân gian lgiải L—> + lp —> (X E.) V V dấu (2^) tích phân / / exp(pí)exp(ợí')(p/ khà viulióni t, Do - AỴ + (2,34) {qI - A)~ đúng, Để ỷ cố Da [2,55), ta xét biểu ' lTa rЛ, ' ồtrong, Các tính chất mãn yLí —> +00 t cố ỷLại trang' (1.11), jptheo thể (.'hüll Lớnxdpdq tày vậy, sánh 1,5 Các Đinh lỹ Hadarnard 1£lý huốug, khát; vài tPetrovsky cố Định, cáđi tự nhiên, Ví í>t> dụ, u{v) — Ị íe~ (Re ,p = > >một ß) (2,3) Hta +th-ể i tu(t)dt xthu А, в m p = c b'ư,ư e u= e dE u ( u ễ / ) (2,37) me định VỚI số '[ỉhứo + ỈT chv ƠQ lim F(p) = khát.Là dùng biếu dổi La.pLa.cti đio biếu th-ỜL gi.au, Là phương pháp x Do khl 77 —>• +0,I p ' ( t ) = f ( t ) + A i p ( t ) , trong, đố s>6 hạng vế ph-ài \ l ( p l A r \ \ < _ p (m = , , , ) [2.18) + p i Banach { í i ekiện p ) m được; đit> trước, điều sau telnày có cliặt ch-ẽ liơib GLả sử=các Jo lim [(—(2.20) e~ —(T Ь Л+ OtJ0-Q< t x)dt Là, ОС diễu ước; Lượng trong' mệnh, đề 2,5,1, nghĩa VỚL trằng sta cố A ĩphương p/từ ) ll^íll A Snhiệt -ethuẫn sp t[Là f(1,2), sVỚL ) A) -uiật fgià )thiết ]\(íd(>A2>sßrbài AO1Smột s ỉ,dv ự ƠQ VỚI đạư tyĩảĩ ham biến phức ) nghiệm la tích trvny (tiơu tĩvny ký hiệu 3ba.il riyhia tươny ứny) tự khồug liữu hạu tF{p ^giải 0ta kỳ Xbài E đỡ, điều kLệii cầu được; điứug minh., ,Re p t với ,p— t Trẽn thựt; tế, với X €(L1D) @(A), œ (J\ I)x (1 /X)J\Ax —»• о(Л—>• +00), -rjd\p\ = ơ— H|t)|uy Su( , liêu dđịnh sđược; f (tục t ) Iighĩa , VỚL t 0) (2) Với X € @(A),T (e~ )(pI A)x = X Diều kiện vtw yiăi thứư trường' hợp chúng' Là >6, + 00 (L4),(Ltj) đặt chỉnh VỚI t e [0,T] tồn hằny số c p = {AJ\)u\{t) + f(t) l p i 0(A) làtrù mật, cb vậy, từ tính liêu tục; uũaTị t& шу ra, [2r‘ở2)với X € E Trong trường; hợp này, tađặt u(t) = TịU (t > 0) từ (2) Tị cố thể được; Tiếp theo, Iiếu t > о, X € 0(A) (pl — Á)~ x = [ e~ T xdt Re p > Ị3 hợp 2,2r2r TịPhép thỏa jbiến mãn (2,7) H t x bấtt đắng thức ta thấy nghiệm với giá trị tùy tỹr =óbị I {-t)e- sát a (0 < < r) Iíiiều A-ác; định spháp hiuh quạt điặii bởinằm hai u(t) =rpvà Au(t) + thi f(t), ОС Iiếu Thật ra., ta đặt (p) — / e~ u{t)dt, hiểu uhiêii, U —> U(p)r ntử n (p) Ngược Lại., viết s uiật tốn tử mà x.ấc định í>6 hạng; vế phái c;ủa UL>L Iihư tt>áu bị điặii л.ас; định trêu E Ngx>àL ra, tath-ấy rằng' L)ể khắc phụt; kh.6 khăn Iiày ta dùng phương 'Iiữa lứióiii' mà t _1 J S=Л= ịTX> — X!g)tính, =rú> —7 (3) Vớĩ ß■(qt ta đầu kh-ơng, ró liêu tục; đ6, (L15) Là điều kiệu cầu u(x,t-t ) J2 o)* Uj{x)+ я™ (г,т) * f{x,T)dr (1,13) (*) t (*) Nếuba.il F(p) (2) = T L{f(t)}(p) ị T với hằny bố X > ta có được; xác định, [ exp mật cách ^ = với 2ĩĩiexp(pt'), gi-á trị ba.il đầu [ exp cho (pt) trước ^ u vi A = J \ Là tốn tử□ t + S j=0 Jo Hệ 2r‘ỏrlr Trxmy Dink trẽn, t lý >ố Lấy đạo hàm Lầu= theo tlmni p, t'dcó ị 777, [1) Tsố ị, 777, Là ruột tốn tuyến tính thòa lỊTíll h.át q-p từ điểm (a, tạo J gót; —9 thei> điiều với Chứuy minhr Với mại p = ỈT dii> > (To uố T T Thêm vào đố, AU (p ) = / e~ Au(t)dt, da đố n (2,32), tức; Là phạ.111 trong; cùng, khái, niệm biếnhợp, đối La.pLa.wi, Ulio phương trình (2 ĩ) J 0V ßvlULà c sấ nghiệm phù j J tmiig 7Гbịđiặib Dặt uđó ( t)\ ) c, — \ ( t€ )2ĩĩi = \rằng, (гt ) choT], u (j=0 t )=cua (2,28), đố, ta œ cũng, X ị Vу •>ữ Dể chứng, uiLnh (2) ta Tị+ — Tị^Ts^x ЛKhi —>• +00, Ta uố L)ướL điều kiệu f(x, t) C7° ([о, th.ay (LL3) Là üiơt nghiệm СЛШ Stx^ 2t°°),tav (£,t;t ^mC(1 + ethấy \t\y (0m^ 1to ^VF T, j (1,10) XÍ TịXdt —У X G E (А — у -boo) p m - 1i>6 LLêii (2.13) (.'ũti biếu T = )TịTg đúng, (Dịiih t,1r s- A)^ tức Là lim nhóm Tta uiiLtci =thúX: uT0t xdt (u ülơt tham l,)í->+0 tục; t;6 thi t u{-t) 0cố 0( pei E) SDa f((Iphát tthực; )uiột [2) r0) $= + i ° ° d ĩ ì i{/()}(p) e ) trục; p-iiiặt m\{pl phang “ x = e~ giải — A thuộí; tập bù E, Lầu uủu l ý Fubiiii, (A > (2.21) với ((.'ủn A )t + S(-1 Là tti(x> inĩềiixác; định cua tốn tử A), ^u(t) pp= {ơữ ơ)t (21) J=ot-а t \ nAu(t), n có \f{t)e~ MeA)~ ~là Trong tnrờug {f pỉ — Ax— ( í >tử a )đóny từcó(2,33) pdt Định lý 2A'l' (Đị-Iih Lýíí^~ tồn A0,x tốn ,kiệu nghiệm), cil eCh x xdp T(1,7) =thòa X, cbüiâii đố điều Túih uh-ất nghiệm >uy kếttập QX Щ shợp —này —7 e (pl — A)~ (t > e E) t x p t[Định _pí p t (2,38) Với e @{A), biểu diêu dạng (2,37) Lý St-Qiie), Ngx>àL ГсЦ diL nửax{t) = (AJ\)v\(t) + {AAJ )u{t) Jịoo x+ p / p Dt> dớ, £và > +0, tính liêu tLaLder f ( t ) (2,35), AU (p) / if e~từ -j-u(t)dt = t[e0tục ií(i)]g e~cua u(t)dt n— tĩvny c-*-7 p=ẰTĨ% độv lập với □nối□v l x t dịch 27Г2 Tính chất rkết 2minh r 3đó r Phép biếu đơi Laplaœ có tính chun ảnh, Từ (2,7), tẳ> (2,1»), đớ A Là tử tuyến tính, đụiii khơng Btuid.di E, [Jtốn exp \p(t + t')]{pl -xác; A)~ xdp = sđược từ [1), liêu IU / e~ T € @ ( A ) r Da trù mật SU-У 06 J @(Á) gian t+ t ,x t xdt Chứny (1) Ta nhắc lại rằug tốn tử vi phân Ả xáu định bời Đặt Auv (2,23) =xsử (T r mo định trù mật thỏamãn điều kiệii ^£2‘ò) hưặc (2.21) Та силу giả [>5) TịX —У x :Định kh.L tlý—У “ЬО rằng; biếu đối Fourier û(£,t) t; ũ a iiíịiiLệiii u(x,t) Là Iimt nghiệm (.'lia M [ { , t )] tkì hết iuận cm 2JJ đúìiAjr (Tkật m trưng tncờny hợp Z7TZ Jp a ||ехр(Л)|| nhốui t;ó parabolic; «Lải( strong; IUỊU; trước;, Tf ị( 1t^ hội tụ, tích, /dIigồi f(t)e^ hội đối, giờ, Amà i ỊF(p) ) /sđ6 { t ta )dạng tiếu đến I mà Sị(T 'tel _00do ) lim — ph-âii )tu, ]exp(pll) sœAu + £, ( S~và — I ) ftụ ( ttuyệt ) ra, , L>l> ả Là tгướỉ s_1[0)fđó t ^dt = Щ = (2,8) Diếu = L{f(t)}(p ) Va £ с tu t= trong' già s>ử (pl — A) dượt; xác địiih (2,31) xảy Bây Vi thế, biử dạng kỷ hiệu giống; định Lý trước; t>; điiuiíị, tính bị I1Ĩ khơng cầu già định trước Tuy nhiên, uếu Athấy khơng bịr điặu, già p dt i Af(t) —nliắc ĩkiểm ỊVì T ị— (ĩ )điặu >và 0), trang )đuih Là mật tốn tử bị chặn IU IU Lại kết q dạng lỷ tồn nghiệm tương VỚL Đị-Iih l ỷ ta2,4.L t-^+o tliên —> f(t) œ vế ỹhảĩ tục với tthiđi eKhi Khi đój Chứny míuhr [Điều, kiện mu)r Già sử (LIU) khơng đúng, đố, VỚL bất kỳ□sơ 0t)0tụ tồn biếu đổi h.ỘL tới u(0) +dưới ptđi—> e ~chứng u đá ( t hệ )một dA t jtại ní>au; —>• +00, đámà A toấ.11 IU điứug (2,(>) Cuối taminh tốn tử sinh c-ũ-cu Tị Là A.[0,T] Dế làm điều = g(Ç,t) troug (1,0), □ thỏa mãUr) ptf(t) tmiig E dù , úug, từuố (1) [2) ta thấy T)t s(e~ ) c-h.iu.tL Là giải thức; cua A r Dí> Mặt; hiểu uhiêu, uhúiig tơi giải tliíđi trường h-Ợp liêu.queWi [2,‘il) tốn tử đóng, taœ ĩ Ị ) ( t ) € @ ( A số hạng A ĩ p ( t ) Bởi A ĩ Ị ) { t ) hLĩển uhiẽu, biểu diễu vế phải, điĩ x — X liêu tục với t ^ r e t LapLcv;e F(p) ■'О t ta óx Nếu A và, В gĩcw> hốn, ta Ф uhóm A cua.cấv i>ử tậpj, ẤÌu; định t;ủd Là gi tui WI1 trù E , điều Là tốn M (2.31) Nói ciiaiig, ta gựl {Tị}ị>0 uếu thoa, uiãu kiệu Trong trường hiệu lỷ q_ua.il đếii uh 6111 tương ph.á -11tửt С1ш иrằng e@ (Ì1Ợ[> H )(2 , rtức A ) ft ^(cZ[[Ỉ7a'^|| t2), )œ}nửa ( nykiêm =khơng Fvà(ra -AScu> )chúng, iiửci (2.14) này, ta viết tử vl ph.ân Tđịnh, Là A 'pliêu đrí 'aD A nửaTrên thực tế, từtrườnghợp Mệnh, 5< rtốn l t,VỚI với tử đỏng, 1tốn )và hLê Dưới điều kiện nhu trvuy Dịỉih lý 2.2,2 riếu X ẽ 0(A) T da rtn.4.) Mệnh, đề 2,5,1, ta thấy rằng, Sị Là uhốui thỏa Iiiãu điều kiện Do đỡ, (pl — AỴ bị điặu, kéa theo pi — A Là tấii tử đống, A cũng, Là p t p t C y m in hr Lỷw 2,'ò), =A — ßL Từ 'S> ), tauốta.tử hội tạ u A^ie-^x đếii ĩ(cm p-5(= T t Định ) trong' khoảng )x =bị- Aị /điặii e~ {Tcua )xdt[2,2 £ — +0, +A=00 +AJ\)u(s)ds 00Ch.L> + 00 t (et + r i - tT t V\(t) T (и G @(A) t _dưới s (A dấu J œ; /-M-ioo J đ6ii£\ (2.37) thể lấy đạo hàm theo t tíđi phân ta (1) (2) cua ( J ) Iiếu T u ( Щ € E ) h.à.111 LLêii tạc theo t p t t Ỉ T t t với hợp trước t Lieu ữ £ánh qua.!! đếii kỳ nửanh.óiii thỏamãn Mênh đềbất 2,5,1, т) trịlàkhi ban đầu V +Щ @(Á) 'ưà V \obất kkh.oj.ig Л >0trường' О, (X Ikỳ — y-oiig," tủa @{A') trêu Do thea thuyết \F{p)\ / Ị3) e t~ —trêu T¥t xudE(tt.p)Vì( tvậy, í“+0 / (2,23) hay t xd t(£ Ễ_ TịX =0)lim (p A)~ xdp (2-iy) (1)Ta, \\s \\ X cua ta., (XI — А)b'ố ánh củ-ci ( á-iih A ) С □ cua mệnh đề 2.5,1, ta.và cờ A' D A Nếu Re ,pt _sf(s)ds, đủLỚI ( p icó - Artốn !J) vàtử ( p sinh l — AtừAr )1 @ Là Nếu T Bây mọt F(p) = L{f(t)}(p) ta có1,Tị giờ, gi-ả í>ử toil tầu nửa Iihớui Trang í->+0 < 7° Me^-^dt W-» = MỂ^L + OC = J«_ J u(t) = T + T (2,30) t u2lĩỉ ữmột r j J r , ì = A ĩị)(t) + f ( t ) r Dt> vậy, u ( t ) xác định, (2 3í>) thuộc Ơ ([0,T], cửa r (pI-A)U(p) = u(0) (2.5) =Ü, £Aexp(tA) —củai o o =phải exp (tA)A Nếu £ lim —»■ +00 thi Lân vế Аж phải d-ầii Ih túihqt, bị điặii Là(2) trong’ cạiivexp(tA) định £*.vếKhâiig’ glàui tổng ta ró thể già Pớu Vi _Iihất f 00 cb Гtính ) Từ ((5^ —Smật ^(^4), í-»+0 minh A' D ịA Г @ ( Atuyếii 'kh-ác;, ) tacố 0x)/í) ỉsong { Á=ró )áuh =tliể @tương (chứng' A 'X1) reứng Để ch-ứug, ta tiếu i>a.u Với p{s>ự t A ' ) tail p t hành, Mặt liêu ta iiiLuh ша Iiửa Iih.6111 s œ tốn Ấ.ỈỊ tính từ S l ( A ) tới E Do đố, @ { A )Iiiật ) tử t r = / e~ T xdt — e~ T xdt Định trường; lýr hợp 2,5,2, này, (Định ta CQ Lý thể viết tồn biểu Iig-hiệiu dĩlu L&plctue íiiọ (2,19) phương theo trình ốđi í>a.u parabolic), Nếu £ >'Chơ 0=và@ A tr( A >là 0, I Mặt kháo, A J \ = A( J \ — I ) Là tốn tử bị chặn, từ t t r = s L (P(A;ỉ) T = A”4-^a„j(iO”V p Thợp nay, (3) »Ss+Í »S’e'S’i )£ ^ 0)K.Ì1Ĩ đó, tađặt g = Triêng trường ta áp dụng biếu đối Kourier vào £ ) (0 < t < T ) r = (1.14) □ tĩvny Tị nửa nhóm ì ĩ khắn-y định tồn thvơ Định lý НШ{f(t )}(p) = e~ F(p) (2.15) í>ử\\s d ỉts\\, ( với , u ) X> €||£*| maxdzs(0,£) ^ 2|£*| Nếu /(£) r ĩ] J ĩ) J v ữ l dia E, lim s x — X t ßt XTrong, @(Ä) ta.và œ hợp Iiếu giải thức; (pl — A)~ tầu th-òcitại khi.uiãii Re ,pấ >c điều ß, thi bởicua 2ra vĩ.A€có Aị, Iiếu \\s ^(2,31) с,= thi Tị ecua sm0,txác hiểu uhiêu kiệu Ngồi ralim = 11/(0 0này, SU-Y F(p) = t \\IU 'phân =$0 Atrường, thỏa, ta tũáĩir tử đóny thỏa mãn œ=«lri.il, tập định trù mật, kỳ yiá tri h-àin mãn 1lim tựa Ii6 thuật; ũ, đỡ Với vbất j +0 aToo «o-r ' (L8) [.■át; biếu trong' khơng; IU t;6 exp(tAJ\) = exp— /)} = exp(iAJ\) exp(—txi) IU(2)ciiú ỷ Nếu tta >vlœ; 0liêu u(t) Là khả tụcl bật; œ sử thểb'ử thiết Lậphệ câng; C h ú ý r Trong; Dị-Iih ý ƯỬI Iiàymột, ta +rbất 00 già giá trịcác ba.il đầu Mo /thức; ■ €của @ +00 ( Ánghị-đi ) , Iihưiig' >6 ỉà định Ì Ỵ Bây Định, lý I r 5r 2r (H.a.da.nicud) Giả b'ổ ỹhươỉiy trình (L3) bu,n đầu u ữ e @{A) ịục Hiïïdvr thwtrong' t T mật i t x kỳp t hàm f(t ) liên i1t x (S x) = s' —7 [ pe (pl — A) xdp (X £ E) dE\u = ỈH / e dE u tM[v(£,t)] t x ==i\e x A(t,2iri£)v(t,t) = ũ —> p / ■'о d thai J T đủIighlệui trường; hợp, ta í>ử u ữ/kiệu e E để trình, parabolic;, kill hằny,Khĩ ta g,ià œ điều cần đê bàipliươiig; tữán Cíiuohự (_L3)T(LŨ>) uctií e Z7T dt itH = iHe u (u С / M / M l ỉ s 1 f 1 f • \ r f ~ ĩ ĩ - / ■ 00 Tt_sj(s)ds x d p w(0) = u Tầu — g tr ềĩlỵ ị 2r2rlr Ttr p J Ỵl T - I I f >s «4 í IKA/-^)-“!!^ (A>0) f A' ƠQ — e (2.22) ƠQ — v YvbidtẤr (M) = I ’“V(í,M;)/m C'ihTlW?) АцТ^е~р*)х -00 e~ptTtxdt — X — 00 о ‘S7 x.át; địiih vấii đề Iiày ó> thể được; glái th-íc-h theo phép tính toếui tử uủa tốn tử tự tmiig, đ ó А = —А 4- с ( х ) , @ ( А ) = W^iỵ) п w|(Г2)т{гАг(ж)} Là t;ơ sở trực trong' Liêu h.ợp Để dLÍuh xáu>ta rrằng' ta thấy 0,cát; Au(t) Liêu tục СЛШ tmiig' A., L (fỉ) từ [2,43) ó> и Liêu r Da đá, điuẩu trong' LVỚL (Q) tgồm veotơ riêng, Th.et> (2,38), VỚL U ta Q e ( A ) ta Q,Q Là2 t xmiềii ph.ầ.11 trang hoặi; ph-ầii Iigồi cua siêu phang tục; tiLHig, — + f ° i \ơe i([0, d ET\ U] ,=í Tì ) r Vi tel Iih.ậii được; định lý tồii tạiiAevà «A cua thấy ÍỂ d\\E x u\;2 n »9 s tiii.iíx: lớp c [.:i.>ni[>íU.'t R , Bài tốn t;ủci ta- là;tìm mộtnghiệm, tốn (_2,40)-(_2,42) ; +-00 iA ưỊỊ uB( w|| 7° ỊAỊt A(2|| +oo Aji)(w 0, u ị ) u ị { x ) €E @ { A ) t< ) =Mcác; exp(— uỄ0; =U ỊỊSciu; ^ i.ều kiện biêu; Là h.à.111 œ giá trị w|(íì) liêu tục; theo í ^ biểu diều nghiệm mà số hạng dầu l) IIIỌÌ điềm h —>ỡ Do vậy,2 theo Đị-Iih Lỷ topo cua L (íì)r vi Liêu tục tcấp theo t th.fx> + ơ(x)u = í(x—> € S) (2-41) —> м(ж, du/dn í) G ([0, X], Г2), j^-u(x, t) G L (íỉ) c/I/ Lebesgue, ta thấy rằng; tích ph.â.11 tự tiến (X — — — 00 00 — — 00 J A A 00 Kết b) ĐLều luận kiệu đầu; ỉiẽn tục với bcUl b'ẽthấy tồntốn tử vàsinh cua Iiửa nhóm Tị = e Theo ta itH thật w(x,0) = u ữ (x) (2A2) Iiiột mờ rộng cua iH Ta chi phép II1Ở rạng IIày trùng; với ỈH IU d-ùug, biếu t^0 nhấtr ♦ Ap dụng nữadụng liliQUi đổi tức Áp Renữa , pparabolic >0 ta- có r T2,7,1 r LapLace, uLióni tốn tử tự liêĩi hợp Luậii văii trình, cáo vấii ỉ>a,u đây; p t bày tH p t đề điíuh itx / e~ é udt = / e- dt / e dExu •'o •'o 00 f ( x , t ) = m0 щ { х ) = 0, IU xét tốn tửtử AAđược; xác định bởi.; Ta xétí>6 tốn hàui;L tốn (2,4[))-(2r42) vớiw™(fỉ), giả—th.Lết - Một khơng gian (íĩ), w™(fỉ), , c ([a, 6], E); n d A = A +tốn ^ tử d i ( x )^—xác + cđịnh, ( x ) sửVidụng lý t trường' ubiuL =- Ph-át 1,2,nĐịnh, r Trong' h-Ợp biểu tốii UcLuoiiy đặc; trưng;Acho phương; trình tiếu hóa.; i =1 д + Ф), 0và ( AtL&dcưiicUTL ) = wị(fì) п С các; diều kiệu c;ầu - 'rành bày cấc địnhАlý= Peti\>ví>ki Là tốn tự liêu L)ấi vớitửtốn tử hợp A rngười ta- đà thiết lập cát; kết sau; đủ đề tốn Cciuđiy đặc trưng Là đặt điíiih đều; Người diứiigmột iniiih rằng; tốn( pgiá -XUU (1) Tồnta đãtại tốn tử Greeu l —trịAriêng )~l = G p trong, Iiilều định, + 00 o - Trình, bày c;ơ sở Lý thuyết íiửci nhóm, tốn tử sinh, Dịiih Lỷ hLi.lL+ c(x)u = Xu, X G íỉ + Au 00 uủa p, th.ò& mãn điều Iй- kiệu + { x(2r31)r ) ud,E\u = о, X= €(pl ỡfi— iH) -1 u l^4ü>) Yosida vi-ệc giải tốn Cu.ucliy cho piiươiiịị trình vĩ phân thường; p — iX (2) Ta có c;6 mậtbằng í>6 đếm được; giá trị liêng Aj với Aj —>■ +00 j o o t.:ác.: h.à.111 riêng; uỡriịị uụ nửanh.6111; p 00 /■00 // r + oc no 0về ( Atính, ) = {w; € 2([0, T ] , tốn Q ) , du/dn -\-trịơu — 0} U j (-xTrình ) tương, bàyứuggiải ueđược giá> itH ù {của j p I — i H ) 1wbiên (Re ,p 0) ban đầu đối VỚL phương, Trougtrinh, ìiỢp này, iiiLềii tốn đưỢí.: đưa- việt; sử dạng uửu nh 0111 c;ủci tấii tử pcini.boin; bị iặri, vàđây với.vàutrường, ẽ 3(A) Từ Định lýr 2,2.2, tốn tử í>i.iih cua e iF thật dúuh ỈH w tự Liên h.ợp r tức; llta œ (0llw^(ii) — ^ (II-^IIl^íĩ) + IMIi 2(íĩ))ự£A'ở) H Nội T thấny năm 2015 IU r ĩ Bài trị với bancát; đầu trìnhTát; parabolic cấp áp tốn dụng; biên-giá Dụih Lý 252 giảcho thiếtphương Sciu; già v x i ) bi = chặn ^{у,щ)щ{х) (v e L (ÍÌ)), hai miền /(1) í244v i 1(2) ll/OM) - /0M')lli*(n) i c\t-t'\ (0 < a sỉ 1) = Trong' trường trinh tiỢp y, Định 1lý ph-át biếu tồn mộtThị nghiệm u(x,t) e Nguyễn Thu Hiền Xét phương, [->y.RiJx>LLí; 00 @{A) r Nhưng từ Av(x) = ^2 \{v,Ui)Ui{x) (v G ( A ) ) , i= Au {t) = - f{t)