Luận văn phương pháp xấp xỉ galerkin đối với phương trình parabolic với điều kiện biên hỗn hợp dirchlet neumann

B GIO D C V O TO TR NG I HC s P H M H N I P H M TH HOA PH N G P H P X P X GALERK IN I VI PH N G T R èN H PARABO LIC VI IU K IN B Iấ N H N HP DIRICH LET - N E U M A N N L U N VN THC s TO N HC H N i, 2016 B G I O D C V O T O TRNG I HC s PHM H NI PH M TH HOA PH N G P H P X P X GALERK IN I VI PH N G T R èN H PARABOLIC VI IU K IN BIấ N H N HP DIRICH LET - N E U M A N N LUN VN TH C s TON HC C h u y n n g n h : T o ỏ n g i i tớc h M ó s : 60 46 01 02 N gi hng d n khoa hc TS N guyn T h n h A nh H N I, 2016 LI CM N Trc trỡn h by ni dung chớnh ca lun vn, tỏc gi xin chõn th n h cm n trng i hc S P hm H Ni 2, ni m tỏc gi ó hon th n h chng trỡn h cao hc di s ging dy nhit tỡn h v tõm huyt ca cỏc Thy, Cụ c bit, tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti T S N g u y n T h n h A n h , ngi T hy ó trc tip hng dn, ch bo t n tỡn h v giỳp tỏc gi cú th hon th n h lun ny Cui cựng, xin c gi li cm n ti gia ỡnh, cỏc bn, nhng ngi ó giỳp v chia s vi tỏc gi sut thi gian hc t p v hon th n h lun ca mỡnh H Ni, ngy thỏng nm 2016 Tỏc gi lun P ham T hi Hoa LI CAM O A N Tụi xin cam oan lun ny l kt qu nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca T S N g u y n T h n h A n h Trong quỏ trỡn h nghiờn cu, tụi ó k th a th n h qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõ n trng v bit n Cỏc kt qu trớch dn lun ny ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy thng nm 2016 Tỏc gi lun P ham T hi Hoa M c lc M u K i n th c c h u n b 1.1 Khụng gian S o b o lev 1.2 Khụng gian phn t hu hn 10 1.3 Mt s b t ng t h c 11 X p x G a le r k in i vi p h n g t r ỡ n h P a r a b o lic tu y n t n h vi i u k i n b iờ n D ir ic h le t - N e u m a n n 13 2.1 P h ỏ t biu bi t o ỏ n 13 2.2 Mt s ỏnh giỏ tiờn n g h i m 17 2.3 S hi t ca nghim xp x G alerkin na ri rc 21 2.4 S hi t ca nghim - xp x 27 K t lu n 36 T i li u t h a m k h o 37 M u Lý chn ti Phng trỡn h vi phõn cung cp cỏc c s ca nhiu mụ hỡnh toỏn hc cho cỏc ng dng thc t cuc sng Nhng tỡn h thc t cú th dn n nghiờn cu cỏc bi to ỏn biờn i vi phng trỡn h o hm riờng dng hoc ph thuc vo thi gian vi nhng iu kin biờn khỏc M t nhng phng phỏp tip cn quan trng bc n h t c v phng din lớ thuyt v ng dng i vi cỏc bi to ỏn ny l phng phỏp gii s Trong khuụn kh t i lun chỳng tụi quan tõm phng phỏp xp x G alerkin cho bi to ỏn biờn ban u i vi phng trỡn h parabolic vi iu kin biờn biờn hn hp Dirichlet Neum ann Bi vy, di s hng dn ca TS Nguyn T h n h Anh, tụi ó chn ti: " P h n g p h ỏ p x p x G a le r k in i v i p h n g t r ỡ n h P a r a b o lic v i i u k i n b iờ n h n h p D ir ic h le t - N e u m a n n " M c ớch nghiờn cu Nghiờn cu tớn h gii c, s hi t v c lng sai s ca dóy nghim xp x G alerkin na ri rc ca bi toỏn N him v nghiờn cu Nghiờn cu tớn h gii c ca bi to ỏn khụng gian Sobolev Nghiờn cu cỏc ỏnh giỏ tiờn nghim, s hi t v c lng sai s ca dóy nghim xp x G alerkin na ri rc ca bi toỏn i tng v phm vi nghiờn cu Bi to ỏn biờn ban u i vi phng trỡn h parabolic vi iu kin biờn hn hp Dirichlet N eum ann b chn Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu t i liu th am kho theo phng phỏp: H thng li cỏc kin thc cú liờn quan, phõn tớch, tng hp, tớn h cht ca phng trỡn h o hm riờng, khụng gian Sobolev v m t s b t ng thc Phng phỏp xp x Galerkin Chng K in thc chun b 1.1 K hụng gian Sobolev Cho l m t Mn (fỡ) = {u : f > R kh vi vụ hn } = n fc(f) Ê(fỡ) ký hiu cỏc hm vi giỏ com pact { Ê t ) = {u : r ằ M \u o c Lebesgue, ||u||i p(fỡ) < oo}, ú |MU*.(1) = ( f |w|prfa;>) L}oc{ớỡ) = {u : n (p > 1) R \u e L 1^ ' ) , Vfi' c c n } Cho trc m t a ch s a : ký hiu: iOla l7/(7*^ D au(x) = d x a ỡ = d x ? dx%-u K hụng gian Sobolev l m t lp khụng gian c dựng r t nhiu quỏ trỡn h nghiờn cu cỏc phng trỡn h o hm riờng i n nh ngha ca lp khụng gian ny, trc tiờn chỳng ta phi tỡm hiu khỏi nim "o hm yu" Gi s u l m t hm kh vi Khi ú vi mi "hm th" CÊ(f), s dng cụng thc tớch phõn tng phn ta th u c ng thc sau n n Lp li quỏ trỡn h ú |aớ| ln, tng t ta cú u D a dx Q ớỡ vi mi a ch s a Chỳng ta cú nh ngha ca o hm yu nh sau: n h n g h a 1.1 Vi mt hm u L]0C{Vt), ta núi rng yu ca u ng vi bin ký hiu Xj, V = D jU , nu V V o hm L]oc{Êl) v vi mi G ^(r2) Bng cỏch quy np, chỳng ta cng cú th nh ngha o hm yu cp cao nh sau: n h n g h a 1.2 Nu u, OL ca u, vit l V V L]oc{Êi) thỡ V c gi l o hm yu cp = D au, nu ! vdx = ( - i )w / tớD>dx ớỡ ớỡ vi mi (2) Da vo tớn h cht kh tớch ca o hm yu, ta cú th a nh ngha ca khụng gian Sobolev n h n g h a 1.3 Khụng gian Sobolev c nh ngha bi w kp{n) = { u : D au e {n), vi mi < H < k } , vi chun K hụng gian Sobolev w k,p{) c nh ngha nh trờn l khụng gian Banach kh ly Tng t nh khụng gian L 2(r}), cỏc khụng gian Sobolev w k,p(ự), trng hp p = c dựng nhiu n h t cỏc nghiờn cu Vỡ lý ú, sau õy chỳng ta s nghiờn cu ch yu khụng gian w k,2{) trờn c s L 2{Ti) Vỡ khụng gian c bit ny c dựng thng xuyờn hn cỏc khụng gian Sobolev khỏc nờn nú cú ký hiu riờng w k,2{) = H k() Ngi ta chn ký hiu ny vỡ H k{Ti) l m t khụng gian H ilbert vi tớch vụ hng c tran g b nh sau 0 t \ \ u ( t ) - u h(t)\\2 L2{ớỡ) + 2a \ \ u { s ) - u h{s)\\2 H1{ỗl)ds < C h 2rN { u ) ộ (2.23) 24 nh lớ c chng minh nh lớ sau õy vi cỏch chng m inh khụng s dng b t ng thc Gronwall nhn c ỏnh giỏ sai s tng t nh nh lớ trờn nhng b c nhõn t ộ bờn v phi: n h lý Gi s u L 2(K+ ; F ) n (M+ ; L 2(f)) l nghim yu ca bi toỏn (2.1) - (2. ) Gi thit thờm rng u ( t ) è7r+1(ớ2) vi mừi t M+ vi r l s nguyờn, r > Kh ú cú ỏnh giỏ sai s i vi nghim xp x Galerkin sau õy: t Chng minh Nu ta tr (2.6) t (2.5) v t E h = u Uh, (~^Vh) + a ^Eh Vh^= Vhe Vh ta cú > Ta xỏc nh to ỏn t chiu trc giao n ;, : V ^ : v V, a ( n u - ằ ,ằ * ) = Vi-1 vh (2.24) S dng cỏc kt qu ó cú t i liu [7, t r 50-51] ta cú th chng m inh rng t n ti m t hng s H^ớỡ) c > 0, 'èV +*_1lln ,h w w V n H r+1(r), < C h p\w\HP+iin) < p < r L 2{ớỡ) (2.25) ta t E h = h + eh = ( - [ rl hu j + ( [ \ ỡhu - u h^j 25 (2.26) Chỳ ý sai s phộp chiu trc giao h cú th b chn theo b t ng thc (2.25) v e/j l m t phn t ca khụng gian V Khi ú deh dt Vh \ + a (ehỡ vh) = - ( \/vh e vh, Vớ > vh ) - a (h, vh) dt Nu ta ly mi t > ,v h = eh(t), v thc hin nh ó thc hin mc 2.2 ỏnh giỏ tiờn nghim trờn nghim bỏn ri rc Uf J , ta c t \W ( t ) \\ lim + a \\V e h(t)\\l, (ô) (2.27) < Ia ( h( t) ,e h(t)) I + Q~t h{t),eh{t) S dng tớn h liờn t c ca dng song tuyn tớn h a(-, ) (M l hng s liờn tc) v b t ng thc Young ta cú ry M2 + l|V a \ \ u k+1 ( u k u k+1 < + \ \ u k + \\2 a \ ah Iah ) a \\a h \\v5 \ a h i ah ) \\Ulh \ \ L 2{ Q y '[Uh "L 2b ta cú \u k+1II2 i 2(n) + a A t\\u h+ IIy < ,k 112 llx, (ô) (2.29) Ly tng ch s k t n n ta suy 71 71 II h \ \ L 2() + 2aA t J ] K + || ^ &=0 I K J li2(fi)- Trong trng hp / 7^ 0, s dng b Gronwall ri rc ta cú th chng m inh bng cỏch tng t nhn c n \\uhlli2(fi) + 2a;Aớ / n Ilw/llv < C(tn) 1\\u0h\\2L2(ty + k= V At\\fk k= (2.30) Chỳ ý ||uj;+1||y ^ \\u h+1 ||i 2(fi)j ta suy t (2.29) vi mi A t > cho trc ta cú lim kƠ oo ||n||L2 (n) = Nh vy phng phỏp Euler lựi hon to n n nh m khụng cn hn ch v A t Trc phõn tớch trng hp chung, õy l m t th am s tự y ý b t kỡ gia v 1, ta gii thiu nh ngha sau 28 n h n g h a 2 Ta núi vụ hng X l mt giỏ tr riờng ca dng song tuyn tớnh a (,): 1/ X V I-ằ M v w Ê V hm riờng tng ng ca nú nu a ( w :v ) = A(w,v) Mv G V Do dng song tuyn tớn h a(-, ) l i xng v cng nờn nú cú vụ s giỏ tr riờng, t t c u l thc v dng, hn na cỏc vector riờng to th n h m t c s ca V Cỏc giỏ tr riờng v cỏc hm riờng ca (-, ) cú th xp x bng cỏch tỡm cp A/j G M v Wh G 14 th a m ón a{whỡvh) = Xh{wh, v h), \/vh G 14- (2.31) Theo quan im i s, bi to ỏn (2.31) c p h ỏt biu nh sau A w = A/jMw, ú A l m a tr n cng v M l m a tr n lng Dú ú ta x lý vi m t bi to ỏn giỏ tr riờng tng quỏt Cỏc giỏ tr riờng l dng v cú nhiu bng A4 (A4 cú s chiu ca khụng gian 14 ), sau ú t chỳng theo th t tn g dn, A^ < x < < A^h, ta cú X^h > 00, A4 > 00 Cỏc hm riờng tng ng to th n h c s ca khụng gian 14 v cú th chn chỳng to th n h c s trc chun i vi tớch vụ hng ca L 2(ớl) Ngha l biu th hm riờng vo tng ng n giỏ tr riờng x , cú { w ,w jh) = Sij, Vi, j = , , A4 T h t vy, \/vh G 14 cú th biu din nh sau Nh = J viwh(x)3= 29 V nh hm riờng trc chun, (2.32) IM IIn n ) = ' vr 3= Ta xột m t [0,1] b t kỡ G i s { w } biu th cỏc hm riờng ca a(-, ) Vỡ u Ê Vh, ta cú th vit Nh 3= Nu ta t F = (2.28) v ly t 3= Vh = w ih , ta thy K +1 - ô*] ( ằ < ) + H * + - ô) *] ( ằ i ằ = j=l vi mi i = 1, , 7Vft Vi mi cp 2, j = 1, , TVh ta cú a ( < x ) = K (wớ wi) = i ij = AL v ú vi mi = 1, , N h, u k+1 lớ? + [ fe +I + (1 - 9)ô ] , = At Gii i vi U+1, ta thy W*+1 = * k ( * + XAt ' Nhc li (2.32), ta kt lun phng phỏp l n nh tu y t i, ta cn th a m ón b t ng thc - (1 - 9)ýhA t + 9X [A t hay -1 - exAt < 1- (1 - 9)XAt < + ýhAt 30 Vỡ th XiAt - < -1 < B t ng thc th hai luụn ỳng, b t ng thc th n h t c vit li nh sau 20-1 Nu > A*Ai v trỏ i ca nú l khụng õm, v phi l õm nờn b t ng thc L i luụn ỳng vi mi A t Ngc li, nu < o b t ng thc th a m ón Li nu A < (2.33) (1 - 29)X iu ny phi ỳng vi mi giỏ tr riờng A^ ca dng song tuyn tớnh, nú yờu cu nú luụn ỳng vi cc i ca nú, m ta gi s l x ^ h Túm li ta cú: - Nu > - , phng phỏp l n nh vụ iu kin, nú n nh vi mi A t - Nu < - , phng phỏp on nh vi L i A < (1 - 20)A N h Nh nh ngha giỏ tr riờng (2.31) v tớn h liờn t c ca a(-, ), ta suy Ap = Hng s lli2(fi) lli2(n) < M (1 + C*h->) c > x u t hin bc cui x u t p h ỏt t b t ng thc nghch o sau: c > : ||Vv/ ||i 2(ớớ) < C h ^ \\vh ||l2(ớớ) Vu/j G Vh- Do vy, vi h nh, x ^ h < C h ~ Ta cú th chng m inh rng x ^ h 31 cựng bc vi h 2, ngha l X ^h m a X ý h ~ ch nu (2.34) A t < C (9 )h 2, õy C (9 ) biu th m t hng s dng ph thuc vo Vi < khụng c chn tự y ý nhng c gii hn chn h Tip theo chỳng tụi phõn tớch s hi t ca phng phỏp Ta cú th chng m inh nh lý hi t sau n h lý Vi gi thuyt rng u , f v nghim yu ca bi toỏn (2.1) - (2.) l trn thỡ ỏnh giỏ sai s tiờn nghim sau õy luụn ỳng Vn > 1, [...]... õm Khi ú x{t) < c 2 (1 + ie lớ) vi hu khp t, 0 < t < T B t ng thc Poincarộ Cho l m t t p b chn trờn khi ú t n t i m t hng s Cfỡ sao cho IMU2(fi) ^ CivIfi-I(n) 12 Vu H q(r) Chng 2 X p x Galerkin i vi phng trỡnh Parabolic tuyn tớnh vi iu kin biờn D irichlet - N eum ann 2.1 P hỏt biu bi toỏn Gi s 2 l m t min b chn trong M. ( d = l, 2, 3) vi biờn 2 n gin chỳng tụi gi th it 2 l min a din t Q t = 0... ||ô0hWIU2(n) + J ' ll/(s)IU2(n)^s {t > (2.18) 0) 0 2.3 S hi t ca nghim xp x Galerkin na ri rc Trong mc ny, chỳng tụi s chng m inh s hi t ca u h n u n h lý 2 3 Gi s U G L 2(M+ ; F ) n (M+ ; Z/2(f)) l nghim yu ca bi toỏn (2.1) - (2.) Gi thit thờm rng u ( t ) H r+1(tl) vi mi t K+ vi r l s nguyờn, r > 1 Khi ú cú ỏnh giỏ sai s i vi nghim xp x Galerkin sau õy: u{t) - u h{t)\\2 l2{ớỡ) + 2a ||u(s) - Mft(s)||^i(n)ds... \\f(r)\\m n)dr 0 d 1 ^ I I / MI I l^ r a è ds \ J \o Do ú ta kt lun ỏnh giỏ tiờn nghim ớllô( 0 lli.(n) + 2a llVM(s)llằ(n)dsj (2.16) t < IKII L 2 (fi) + ll/(s)IU2(n)ds {t > 0) 0 n h lý 2 2 Nghim xp x Galerkin u h ca bi toỏn (2.6) tha món cỏc ỏnh ớnh giỏ sau õy: t i) h hW W hiii) + a llv M s )ll2(fi)ds 0 t < lk *( 0 ll>(ớ,) + / ll/MII> (< > 0); 0 ii) (ớ > ) 0 Chng minh Tng t nh chng m inh ca... dv dx d xj dx Q vi mi u, V G V Trong lun vn ny chỳng tụi gi th it rng a(-, ) l cng trờn V, ngha l t n t i hng s a > 0 sao cho a(u ,u ) > a;||w||^, 'iu V Trong lun vn ny chỳng tụi xột cỏc phng trỡn h Parabolic dng: du ~ ^ + Lu = f ( ỡ G o , ớ > 0) dt (2.1) õy f = f ( x , t ) l m t hm cho trc, vi iu kin ban u w(x,0) = Uo(x) (x 0) (2-2) v cỏc iu kin biờn u(x, t) = 0 =0 (x E r D, t > 0 ), (2.3) (ierằ,(>... phi: n h lý 2 4 Gi s u L 2(K+ ; F ) n (M+ ; L 2(f)) l nghim yu ca bi toỏn (2.1) - (2. ) Gi thit thờm rng u ( t ) è7r+1(ớ2) vi mừi t M+ vi r l s nguyờn, r > 1 Kh ú cú ỏnh giỏ sai s i vi nghim xp x Galerkin sau õy: t Chng minh Nu ta tr (2.6) t (2.5) v t E h = u Uh, (~^Vh) + a ^Eh Vh^= Vhe Vh ta cú > Ta xỏc nh to ỏn t chiu trc giao n ;, : V ^ : v V, a ( n u - ằ ,ằ * ) = 0 Vi-1 6 vh (2.24) S dng