Luận văn xấp xỉ galerkin đối với phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên robinson

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THU PHƯONG XẤP xỉ GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBINSON Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN YĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Ngưòi hướng dẫn khoa học:TS NGUYỄN THÀNH ANH Hà Nội, 2016 Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, nơi mà tác giả hoàn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình tâm huyết Thầy, Cô Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Anh, ngưòi Thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để tác giả LỜI CẢM hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lòi cảm ơn tới gia đình, bạn bè, ngưòi giúp đỡ chia sẻ với tác giả suốt thòi gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Nguyễn Thu Phương Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiêm cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc LỜI CẢM Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Nguyễn Thu Phương MỤC Mỏ Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.2 Một số bất đẳng thức Xấp xỉ Galerkin dối với phương trình parabolic tuyến tính với diều kiện biên Robinson 2.1 Phát biểu toán 2.2 Đánh giá sai số xấp xì Galerkin nửa ròi rạc 2.2.1 Xây dựng nghiệm xấp xì 2.2.2 Ưổc lượng sai số chuẫn L 2.2.3 ưổc lượng sai số chuẫn H 2.3.1 Kết Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các toán biên ban đầu phương trình parabolic mô hình toán học nhiều ứng dụng thực tế khác Giải số toán thường dùng phương pháp phần tử hữu hạn không gian Trong khuôn khổ đề tài luận văn quan tâm đến giải số toán biên ban đầu phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên không thứ ba (điều kiện biên Robinson) Bởi vậy, hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh, chọn đề tài: “ Xấp xỉ Galerkin phương trình Parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson” Luận văn hoàn thành dựa báo [4]: "Galerkin Approximations for the Linear Parabolic Equation with the Third Boundary Condition" tác giả I Farago, s Korotov, p Neittaanmaki, công bố năm 2003 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hội tụ, ước lượng sai số dãy nghiệm xấp xỉ Galerkin toán biên ban đầu phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hội tụ, ước lượng sai số không gian L2, H l dãy nghiệm xấp xỉ Galerkin - ước lượng sai số nghiệm xấp xỉ ròi rạc theo thòi gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán biên ban đầu phương trình Parabolic với điều kiện biên Robinson miền bị chặn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: Hệ thống lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp Dự kiến đóng góp Luận văn đóng góp mặt khoa học KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Sobolev Cho Í7 miền Kd (d = 1, 2, 3) _ _ _ _ _ 00 M khả vi vô hạn } = n c k (Í2) , _ c°° (Í7) ={ u : Í7 —> fc CHƯƠN c%° (íì) kí hiệu hàm c°° (íì) với giá compact L\ o c (íĩ) = { u : n R| u e V (ữ)yữ cc n } (íì) = { u : íì —> K I u độ đo Lebesgue, ||'u|| i p(n) < 00 }, Cho trước đa số 1, a, kí hiệu Không gian = Sobolev \u\ p dx^ một%plớp không gian dùng nhiều \ p >đạoQhàm riêng Để đến định nghĩa trình LP nghiên cứu phương trình ỡ ki (s) D°u tiên (s) =chúng ta phải tìm= hiểu dx® 1khái niệm "đạo hàm lớp không gian này, trước dx® yếu" Giả sử u hàm khả vi Khi với "hàm thử" ệ G Ơ“(Í7), sử dụng công thức tích phân từng phân phần ta ta thu thu được đăng đẳng thức sau :h phân í^ệdx =-ín^dx Jn dXj JỊI ũXj Lặp lại trình |a| lần, tương tự ta có í D a uệ dx = (—1) Q í uD a ệ dx với đa số a Chúng ta có định nghĩa đạo hàm yếu sau: Định nghĩa 1.1.1 Với hàm u G L]0C{Vt), t a nói V đ o hàm yếu c ủ a u ứng với biến X j , ký hiệu V = DjU, V G Llloc{Vt) d ệ u^— ax vệ dx = — dXj với ệ G c™ (íì) Bằng cách quy nạp, định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao sau: Định nghĩa 1.1.2 Nếu u, V G L)0C{Vt) V đ ợ c gọi đ o hàm yếu c ấ p a c ủ a u, viết V = Dau, í vệ dx = (—1)'°' í uDaệ dx với ệ G Dựa vào tính chất khả tích đạo hàm yếu, ta đưa định nghĩa không gian Sobolev Định nghĩa 1.1.3 Không gian Sobolev định nghĩa wr ’p{n) = {u : Dau G Lp{n), VÓI < \a\ < r} , với chuẩn II u \ \ W < V T a p 0< |a| < r D u ll ^ = < y! Không gian Sobolev W’P(Í7) định nghĩa không gian Banach khả ly Tương tự không gian L 2(Í7), không gian Sobolev Ịyr’p(í7), trường hợp p = dùng nhiều nghiên cứu Vì lý đó, sau nghiên cứu chủ yếu không gian ỊVr, 2(íì) sở L 2(íì) Vì không gian đặc biệt dùng thường xuyên không gian Sobolev khác nên có ký hiệu riêng W’ 2(Í7) = i/r(í7) Ngưòi ta chọn ký hiệu H r (£l) không gian Hilbert với tích vô hướng trang bị sau Chúng giới thiệu nửa chuẩn Định nghĩa 1.1.4 Ta kí 0 HQ(ÇI) u : [0, T] —> X với := max ||it {t)\\ỵ < 00 Định nghĩa 1.1.7 Không gian Sobolev w l ' p (0,T;X) bao gồm tất hàm Il Ç Lp (0,T; X) cho đạo hàm yếu v! tồn thuộc Lp (0, T; X) Hơn nữa, Ta viếtess H sup (0, T; X) = w+1 ’||'u'(t)||x) (0, T; X) (||'u(t)||x (p = oo) CKi^T Từ sử dụng kí hiệu sau: Uh (t) - phu (í)||2 < IIuh (0) - phu (0)||2 Sử dụng kết bất đẳng thức T tam giác d r sup + } > ’ v Xh e (2.33 Vh (2.34) ) Gọi Xh = Uh — Ph (như (2.25) (2.34) có nghĩa ( c2\\uh - phu\\2 Cũng vậy, đồng thức sau (d \ 1d Vdt^Uh~ PhU' ’Uh ~ PhUJ ~ 2drUh ~ PhU'' ' Vì thế,Từ từ (2.35) thấy 2dt^Uh ~ PhU^2 = ^Uh ~ PhU^ ' dt ^Uh ~ PhU^ dr \\uh - p h u\\ > ì^l\u h - p h u\\ + c2\\uh P h u\\ — [u h (2.36) (2.35 từ (2.36) có Chúng ta ý d Cai > ^IIuh \\u h phu\\ p h u\\ = + ^c 2(eCỉt \\u h IIuh - p h u\\ ỳ [ u - + C2eCỉt e ^ I\uh - tphu\\ - phu\\) (2.38) (2.37 Phù\ Từ (2.38) (2.37) Hơn nữa„ tíchdhợp r (2.39) chúng > ^khoảng (e C2Í K (0,t) - p hUII) ta nhận (2.39 at[u PkUÌ \\u h (í) - p h u (í) II < e~ C ỉ t IIu h (0) - p h u (0)11 (2.40 Sử dụng dự đoán (2.40), (2.31) (2.14) cho việc biểu diễnd (2.30) nhận (2.33) 2.2.3 Ưổc lượng sai số chuẩn H l Trong mục lấy đánh giá sai số chuẩn H Định lý 2.2.3 Lâý u Uh nghiệm tương ứng (2.6) (2.16) Khi đó, ước lượng sau cho t G [0,T] II« - «hlli {t) < c \\u h (0) - ud(0)11! Chứng minh: Lâý X h = X [ U h — Phủ\ (2.34) Do đó, du L/ L c l + C\gh l«(*)lli + ll«(0)lli + ,2 {ítỉu-PhU]’mịUh-PkU]) = d r p = 7^ [u h - hU\ (2.42 (2.4 + a(^u h - p h u, [u h - Phu}^ Từ a (•, •) giả sử song tuyến tính, chắn có { d \ d , , (2 43) a V- d t V ) = J t a { V ’ V h ' Sau đó, với việc chọn V := U h — P h U , (2.42) kết d 1d ,x d d , + — (u h - p h u) m{u~ PkU) * — (u h - P h u) \dta(v'v)d , — {uh - phu) d a (v,v) > c2 m{u~ PkU) Nó kéo theo Tức là, \\uh - PhU\\i < \\uh - «ll! + IIu - phu\\i d , a (v, V) (í) < a (v, v) (0) + J m { u ~ PhU) ds ds Chúng ta có \\u h (0) - p h u (0)11! < IIu h (0) - u (0) 11! + \\u (0) - p h u (0) 11! \\u h (í) - p h u{t)\\l < -ịTừ Ơ15 \\Uh (0) — PhU (t)lli + jI Đó là, IK (0) - P K U (0) II? < (iK (0) - u (0) llỉ + ||ti (0) - p k u (0) II?) Hơn nữa, I\u h (í) - p h u (í)||J < Bây giò, (2.46) cho K(0)-ti(0)HỈ + ||ti(0)-p f c ti(0)HỈ+ r \ \ u h (í) - p h u (í)||, < c \ \ u h (0) - u (0)11, J [...]... Vi (2.78) Kết quả là, đối với lược đồ Euler ngược chúng ta phải sứ dụng T ị nhỏ hơn trên những khoảng mà \\u" (s)|| lớn Luận văn đã trình bày được những vấn đề chính sau: • Phát biểu bài toán (2.1) - (2.3) và xây dựng nghiệm xấp xỉ Galerkin cho phương trình Parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson • Nhận được ước lượng sai số trong chuẩn L 2 và H 1 của nghiệm xấp xỉ Galerkin nửa ròi rạc •... thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân t xịt) < C l J x(s)ds + c 2 0 với C l , C 2 là các hằng số không âm Khi đó x{t) < ơ 2 (1 + ơieCli) với hầu khắp t, 0 < t < T XẤP XỈ GALERKIN Đối VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYEN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBINSON 2.1 Phát biểu bài toán Giả sử Í7 là một miền đa diện bị chặn trong R d , d = 1 , 2 , v ớ i biên ỡíĩ, T > 0 Chúng ta xem xét các phương trình vi... infxc{x) và Cũ là hằng số từ điều i= 1 kiện xác định dương của A Từ (2.4) chúng ta có |o(u,v)| < C ^ ị ị u ị ị ^ ị v ^ (2.10) 2.2 Đánh giá sai số của xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc Trong phần này chúng tôi phân tích tốc độ của hội tụ đối với xấp xỉ nửa ròi rạc của bài toán 2.2.1 Xây dựng nghiệm xấp xỉ Để cho {Th} là một họ các phép tam giác phân của íì gồm các phần tử Kị với những tính chất tiêu chuẩn thông... phương trình vi phân từng phần dạng parabolic ỡu ^r- — div (Agrad u) + ò.grad u + cu = / trong (0,T) X íì (2.1) với điều kiện biên không thuần nhất thứ ba au + V T Agr&ảu = g trên (0,T)xỡíì (2.2) ở đây, V là véc tơ pháp tuyến đơn vị bên ngoài của Í7 = ữji vớii,j = 1, 2, ,d A = A(x) := b = b(x) := (61(1), ,b d (x)) c = c(x), với X € íì a = a(s) > 0, s € díì Điều kiện ban đầu đưa ra là u(x,0) = u°(x),... Chú ý 2.2.2 Điều kiện (2.14) là điển hình cho không gian hữu hạn chiều, chúng ta tham khảo ví dụ ở [8], [11] cho việc lập các điều kiện khi nó đúng Chú ý 2.2.3 Với giả thiết rằng, nghiệm yếuu(x,t ) của (2.1) —(2.3) thuộc Hl(íì) với bất kì hằng số t G (0,T); tức là, bằng hệ thức (2.12) chúng tôi có thể xác định hàm số Phu(t ) thuộc Vh với bất kì hằng số t G (0,T) Vì hệ số của dạng song tuyến tính a (•,... (2.62) đúng Cho số hạng sử dụng khai triển Taylor với phần dư tích phân, chúng ta được (2.69) c0 3 (2.70) Sử dụng tất cả các ước lượng này, chúng ta có thể tóm tắt kết quả như sau cưịcủa làmphương tương tựpháp ta có rời rạc hoàn toàn Galerkin với 6 G (0.5,1] ước lượng sau Định lý 2.3.2 Cho Với sai số hạng chung đúng Chú ýn2.3.3 Nếu 'Uh(o) là một xấp xỉ phù hợpl thì (2.71) có thể được viết, lại như sau... vàẺI (2.65) đẳng thức (2.75) suy ra (2.73) < c 3 6 h l I \ \ ú (s)||,ds + C + C (2.7 I 3thể= 1chứng minh định lý tiếp theo Rõ ràng, với cùng một3=3cách = 1 thức chúng ta có (2.75 Định lý 2.3.4 Đối với sai số của phương pháp rời rạc hoàn toàn Galerkin (với 9 E (0.5,1]) với bước thời gian Do (2.63) và (2.15) chúng ta có biến đổi, ước lượng sau đúng < 1“ \ \ ( P(lh + - III« ) u '(ín)llỉ ( s ) \ \ d+sII«... giả thiêt rằng nghiệm yếu này thuộc c k ([0, T], iií^íì)) với k > 1 , l > 2 trong mục 2.2 và k > 3, / > 2 trong mục 2.3 Trong phần tiếp theo, dạng ữ(-, •) được giả sử xác định dương a(v, V) > c(2.9 2 ||v| với mọi V E c 2 là hằng số dương Chú ý 2.1.1 Chúng ta chú ý rằng,thông thường dạng song tuyến tính bất đối xứng a(-, •) không thể đáp ứng điều kiện (2.9) Tuy nhiên,chúng ta có thể chỉ ra rằng nó thỏa... nghiệm xấp xỉ Galerkin nửa ròi rạc • Nhận được các đánh giá sai số về bước thòi gian cách đều và bước thòi gian thay đổi của nghiệm xấp xỉ Galerkin ròi rạc Chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn [1] Q Alfio (2009), Numerical Models for Differential Problems, Springer, Milan... Sau đó áp dụng phương pháp ô cho (2.16), cho ra hệ thức (ã, u\ x„) + o (eu n + (1-9) í/“-1, Xfc) = F Xk), (2.50) Vxd ev k ,n = 1, 2, ỏ đây u ữ = 11» (0) (2.51) Chú ý 2.3.1 Mục tiêu của chúng tôi để đạt được tính ổn định vô điều kiện (xem [7]), do đó chúng tôi hạn chế sự nghiên cứu của mình chỉ trong trường hợp ô G [0.5,1] trong những phần sau Nhớ lại rằng trong mục này chúng ta yêu cầu tính trơn theo