luận văn thạc sĩ Giải gần đúng phương trình phi tuyến và phương trình vi phân trên máy tính điện tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HỒN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 200 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HỒN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2007 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 2-3 Chương Giải gần phương trình phi tuyến máy tính điện tử………………… …… ………… .………4 Đ1 Giải gần phương trình Đ2 Các phương pháp f (x) 0 tìm …… ……………… ….…4 nghiệm gần phương trình f (x) 0 ……… ……………………………….…………….…………….……10 Đ3 Tìm nghiệm gần phương trình f (x) 0 máy tính điện tử……………… ……………………………….…………….……24 Chương Giải gần nghiệm toán Cauchy cho phương trình vi phân thường máy tính điện tử …48 Đ1 Phương pháp giải gần toán Cauchy cho phương trình vi phân thường……………………….….………………………… 48 Đ2 Phương pháp Euler ………… ………………………… …… ….…52 Đ3 Phương pháp Runge-Kutta ………… ……………………… ….…57 Đ4 Giải toán Cauchy cho phương trình vi phân máy tính điện tử ………… ………………….……… ……………………………… 64 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 83 LỜI NĨI ĐẦU Các tốn thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất,…) dẫn đến việc cần phải giải phương trình phi tuyến (phương trình đại số phương trình vi phân), nhiên, phương trình thường phức tạp, nói chung khó giải (đưa phương trình bản) biến đổi đại số Hơn nữa, cơng thức nghiệm (của phương trình phi tuyến phương trình vi phân) thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có cơng thức nghiệm, việc khảo sát tính chất nghiệm qua cơng thức gặp phải nhiều khó khăn Vì vậy, từ thời Archimedes, phương pháp giải gần xây dựng Nhiều phương pháp (phương pháp Newton-Raphson giải gần phương trình phi tuyến, phương pháp Euler phương pháp Runge-Kutta giải phương trình vi phân) trở thành kinh điển sử dụng rộng rãi thực tế Với phát triển công cụ tin học, phương pháp giải gần lại có ý nghĩa thực tế lớn Để giải phương trình tay giấy, có phải hàng ngày với sai sót dễ xảy ra, với máy tính điện tử, chí với máy tính điện tử bỏ túi, cần vài phút Tuy nhiên, việc thực tính tốn tốn học máy cách dễ dàng đòi hỏi người sử dụng có hiểu biết sâu sắc lí thuyết tốn học Mặt khác, nhiều vấn đề lí thuyết (sự hội tụ, tốc độ hội tụ, độ xác, độ phức tạp tính tốn,…) soi sáng thực hành tính tốn cụ thể Vì vậy, việc sử dụng thành thạo cơng cụ tính tốn cần thiết cho học sinh, sinh viên Cơng cụ tính tốn hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp thu kiến thức lí thuyết, giảng dạy lí thuyết gắn với thực hành tính tốn, giúp học sinh, sinh viên không tiếp thu tốt kiến thức khoa học, mà tiếp cận tốt với phương pháp cơng cụ tính tốn đại Nói chung, trường phổ thơng đại học nay, việc gắn giảng dạy lí thuyết với tính tốn thực hành chưa đẩy mạnh Điều hồn tồn khơng phải thiếu cơng cụ tính tốn, mà có lẽ việc phổ biến cách sử dụng cơng cụ tính tốn quan tâm Với mục đích minh họa khả sử dụng máy tính điện tử dạy học mơn Giải tích số, chúng tơi chọn đề tài luận văn Giải gần phương trình phi tuyến phương trình vi phân máy tính điện tử Luận văn gồm hai chương: Chương trình bày ngắn gọn phương pháp giải gần phương trình phi tuyến đặc biệt, minh họa so sánh phương pháp giải gần phương trình thơng qua thao tác thực hành cụ thể máy tính điện tử khoa học Casio fx570 ES Chương trình bày phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến phương pháp Runge-Kutta giải phương trình vi phân thường Các phương pháp so sánh minh họa qua thực hành tính tốn máy tính Casio fx-570 ES chương trình Maple Có thể coi qui trình chương trình luận văn chương trình mẫu để giải phương trình phi tuyến phương trình vi phân (chỉ cần khai báo lại phương trình cần giải) Điều chúng tơi thực nhiều phương trình cụ thể Tác giả xin chân thành cám ơn TS Tạ Duy Phượng (Viện Tốn học), người Thầy hướng dẫn tác giả hồn thành luận văn Xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả hồn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình Thầy Xin cám ơn Phòng Giáo dục Phổ Yên (Thái Nguyên), nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học luận văn Cuối cùng, xin cám ơn Gia đình động viên, giúp đỡ chia xẻ khó khăn với tác giả thời gain học tập Thái Nguyên, 20.9.2007 Trần Thị Hồn CHƢƠNG I GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Đ1 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH Phương trình f (x) 0 f (x) 0 thường gặp nhiều thực tế Tuy nhiên, số lớp phương trình đơn giản phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc ba bậc bốn phương trình có cơng thức nghiệm biểu diễn qua hệ số, vài lớp phương trình giải nhờ kĩ thuật đại số (phân tích thừa số, đặt ẩn phụ,…) để đưa phương trình bậc bậc hai, hầu hết phương trình phi tuyến khơng giải xác (khơng có cơng thức biểu diễn nghiệm qua hệ số phương trình), người ta thường tìm cách tìm nghiệm gần phương trình Và biết cơng thức nghiệm, tính phức tạp cơng thức, giá trị sử dụng cơng thức nhiều khơng cao Thí dụ, với lớp phương trình đơn giản phương trình đa thức bậc ba ax bx cx d 0 , có cơng thức Cardano để giải, cơng thức chứa nhiều thức cồng kềnh (xem, thí dụ: Eric W Weisstein: CRS Concise Encyclopedia of Mathematics, CRS Press, New York, 1999, mục Cubic Equation, trang 362-365), nên thực chất tìm nghiệm gần Hơn nữa, đa số phương trình, chí phương trình đơn giản mặt hình thức lại xuất phát từ tốn thực tế, thí dụ, phương trình x cos x khơng có cơng thức biểu diễn nghiệm thơng qua phép tốn (cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa), nói cách khác, khơng giải khó giải phép biến đổi đại số, giải gần đến độ xác dễ dàng nhờ phép lặp phím ) xn1  cos xn , máy tính điện tử bỏ túi (chỉ cần bấm liên tiếp Những phương trình xuất tốn thực tế (thí dụ, đo đạc,…) nói chung có thơng tin đầu vào (thể hệ số, công thức) gần (sai số đo đạc, đánh giá, tính tốn sơ bộ, ) Vì việc tìm nghiệm xác khơng có ý nghĩa thực tế lớn, với phương pháp giải gần phương trình, ta thường có cơng thức đánh giá độ xác nghiệm gần tìm nghiệm đến độ xác cho trước, nên phương pháp giải gần phương trình có ý nghĩa quan trọng giải toán thực tế Các phương pháp giải xác phương trình mang tính đơn lẻ (cho lớp phương trình), phương pháp giải gần phương trình mang tính phổ dụng: phương pháp dùng để giải cho lớp phương trình rộng, thí dụ, đòi hỏi hàm số liên tục chẳng hạn, khả ứng dụng giải gần cao Giải gần phương trình liên quan đến nhiều vấn đề quan trọng khác tốn học Thí dụ, theo điều kiện cần cực trị (Định lí Fermat), điểm trị (địa phương) hàm số y F(x) x0 điểm cực phải điểm dừng, tức y '(x0 ) F '(x0 ) 0 Như vậy, để tìm điểm cực trị, trước tiên ta phải giải phương trình y ' F '(x) : f (x) 0 để tìm điểm dừng (điểm nghi ngờ điểm cực trị) Trong thực tế để tìm nghiệm tối ưu, ta thường tìm điểm dừng (nghi ngờ cực trị) nhờ giải gần phương trình y ' F '(x) : f (x) 0 Bởi mạnh máy tính điện tử khả lặp lại công việc với tốc độ cao, mà giải gần phương trình thực chất việc thực dãy bước lặp, nên nhờ máy tính mà việc giải gần phương trình trở nên đơn giản, nhanh chóng thuận tiện Khơng thế, máy tính cho phép, thơng qua lập trình, mơ q trình thực bước lặp giải phương trình, cơng cụ tốt trợ giúp học sinh sinh viên tiếp thu kiến thức tốn học nói chung, phương pháp giải gần phương trình nói riêng Do thực hành giải gần máy tính điện tử có ý nghĩa định giảng dạy học tập mơn tốn trường phổ thông đại học Trong chương này, để giải gần phương trình, ln giả thiết rằng, f (x) hàm xác định liên tục đoạn đường thẳng thực Nhiều điều kiện đủ để xây dựng phương pháp giải gần Trong số phương pháp, ta giả thiết f (x) khả vi đến cấp cần thiết (có đạo hàm cấp có đạo hàm cấp hai) Nếu f (x ) điểm x gọi nghiệm không điểm 0 phương trình f (x) 0 Ta giả thiết nghiệm cô lập, tức tồn lân cận điểm x không chứa nghiệm khác phương trình Khoảng lân cận (chứa x ) gọi khoảng cách li nghiệm x Các bước giải gần phương trình Giải gần phương trình f (x) 0 tiến hành theo hai bước: Bước Tìm khoảng chứa nghiệm Một phương trình nói chung có nhiều nghiệm Ta cần tìm khoảng chứa nghiệm, tức khoảng (a,b) phương trình có nghiệm (có nghiệm), tiêu chuẩn sau Định lí (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm f (x) liên tục đoạn a,bvà thỏa mãn điều kiện f (a) f (b) 0 phương trình f (x) 0 có nghiệm khoảng (a,b) Ý nghĩa hình học Định lí rõ ràng: Đồ thị hàm số liên tục đường cong liên tục (liền nét), chuyển từ điểm B(b, f (b)) A(a, f (a)) sang điểm nằm hai phía khác trục hồnh, đường cong phải cắt trục hồnh điểm (có thể nhiều điểm) Thí dụ, hàm số y f (x) x 3x 1 có f (2)  f (1) 1; f (0)  3 ; 1  ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HỒN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn... điện tử dạy học mơn Giải tích số, chúng tơi chọn đề tài luận văn Giải gần phương trình phi tuyến phương trình vi phân máy tính điện tử Luận văn gồm hai chương: Chương trình bày ngắn gọn phương. .. nghiệm gần phương trình f (x) 0 máy tính điện tử …………… ……………………………….…………….……24 Chương Giải gần nghiệm toán Cauchy cho phương trình vi phân thường máy tính điện tử …48 Đ1 Phương pháp giải gần