Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN ĐÀO TH± HÃI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP HAI TRONG M¾T PHANG PHA KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chun ngành: Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG Hà N®i 14- 5- 2013 LèI CÃM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo TS Tran Văn Bang Ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khóa lu¾n cúa Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay cô to Giái tích thay khoa Tốn - Trưòng hoc S pham H Nđi 2, Ban chỳ nhiắm khoa Tốn tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot khóa lu¾n Trong khn kho có han cỳa mđt bi khúa luắn, ieu kiắn thũi gian, trình đ® có han lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc khơng tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa thay cô ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, ngày 14 tháng 05 năm 2013 Sinh viên ĐÀO TH± HÃI LèI CAM ĐOAN Khóa lu¾n ket nghiên cúu cúa bán thân em dưói sn hưóng dan t¾n tình cúa TS Tran Văn Bang Trong nghiên cúu hoàn thành đe tài nghiên cúu ny em ó tham khỏo mđt so ti liắu ó ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin khang đ%nh ket cúa đe tài “Phương trình vi phân cap hai m¾t phang pha” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cúa đe tài khác Hà N®i, ngày 14 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đào Th% Hái Mnc lnc Mé đau Chương Phương trình vi phân cap hai 1.1 Phương trình khuyet 1.2 Phương trình tuyen tính .4 1.3 Phương trình tuyen tính có h¾ so khơng đoi 1.4 Phương trình Euler .7 Chương Phương trình vi phân cap hai m¾t phang pha 2.1 Lưoc đo pha cúa phương trình lac đơn 2.2 Phương trình autonom m¾t phang pha .12 2.3 Mơ hình c hoc cỳa hắ đng lnc bỏo ton xă = f (x) 24 2.4 Dao đ®ng tat dan tuyen tính 33 2.5 Giám toc phi tuyen: chu trình giói han 37 2.6 M®t so úng dnng .46 2.7 H¾ báo tồn phn thu®c tham so .52 2.8 Bieu dien đo th% nghi¾m .55 Ket lu¾n 57 Tài li¾u tham kháo .58 Me ĐAU Phương trình vi phân m®t phương trình tốn hoc nham bieu dien moi quan hắ giua mđt hm cha biet (mđt hoắc nhieu bien) vói đao hàm cúa (có b¾c khác nhau) Phương trình vi phân xuat hi¾n só phát trien cúa khoa hoc kĩ thu¾t nhung u cau đòi hói cúa thnc te Do v¾y vi¾c nghiên cúu phương trình vi phân có ý nghĩa quan Trên thnc te so phương trình vi phân nói chung, so phương trình vi phân cap hai nói riêng giái đưoc khơng nhieu (xem m®t so lóp phương trình vi phân cap hai giái đưoc Chương 1) Do v¾y phái có m®t hưóng mói đe nghiên cúu phương trình vi phân, hưóng nghiên cúu đ%nh tính cúa phương trình vi phân Nghiên cúu đ%nh tính phương trình vi phân tìm cách suy đ¾c trưng quan cúa nghi¾m cúa phương trình vi phân mà khơng can giái chúng M®t nhung cơng cn hình hoc đe nghiên cúu đ%nh tính m¾t phang pha Qua m¾t phang pha ta nh¾n đưoc tính chat quan như: điem cân bang, tính tăng vơ han, tính on đ%nh m®t so ket q khác Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu ve phương trình vi phân cap hai hay cn the sú dnng m¾t phang pha nghiên cúu đ%nh tính phương trình vi phân cap hai, em manh dan chon đe tài: "Phương trình vi phân cap hai m¾t phang pha" Nđi dung e cắp khúa luắn oc trình bày hai chương: Chương trình bày khái ni¾m bán ve phương trình vi phân cap hai m®t so lóp phương trình vi phân cap hai giái đưoc ho¾c cap đưoc Chương trình bày ve khái ni¾m m¾t phang pha cách sú dnng m¾t phang pha đe nghiên cúu đ%nh tính cúa phương trình vi phân cap hai Do lan đau thnc t¾p nghiên cúu, thòi gian có han lnc bán thân han che nên chac chan nghiên cúu khó tránh khói nhung thieu sót Em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay ban đoc đe đe tài hồn đat ket cao Chương Phương trình vi phân cap hai Phương trình vi phân cap hai phương trình có dang F(x, y, yr, yrr) = (1.1) ó x bien đ®c l¾p, y(x) hàm chưa biet yr(x), yrr(x) đao hàm cúa Neu giái đưoc phương trình (1.1) đoi vói yrr, có dang yrr = f (x, y, yr) (1.2) Đ%nh lý 1.1 (Sn ton tai nhat nghi¾m) Cho phương trình (1.2) ∂f ∂ f (x, y, yr) liên tnc m®t mien D Neu f (x, y, r (x, y, y ) ∂ y yr), ∂y r R3 neu (x0, y0, 0yr ) m®t điem liên tnc thuđc D thỡ mđt lõn cắn no ú cỳa iem x = x0, ton tai mđt nghiắm nhat y = y(x) cúa phương trình (1.2) thóa mãn đieu ki¾n y|x=x0 = y0, yr|x=x0 = yr (1.3) Bài tốn tìm nghi¾m cúa phương trình (1.2) thóa mãn đieu ki¾n (1.3) đưoc goi tốn Cauchy cúa phương trình (1.2) Nghi¾m tong qt cúa phương trình (1.2) hàm y = ϕ(x,C1,C2), C1,C2 hang so tùy ý thóa mãn đieu ki¾n sau: (i) Nó thóa mãn phương trình (1.2) vói moi C1,C2, (ii) Vói moi (x0, y0, yr ) ó đieu ki¾n cúa đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m đưoc thóa mãn, có the tìm đưoc giá tr% xác đ %nh C1 = 0 C0 ,C2 = C2 cho hàm so y = ϕ(x,C1 ,C2 ) thóa mãn y|x=x0 = y0, yr|x=x0 = yr H¾ thúc Φ(x, y,C1,C2) = xác đ%nh nghi¾m tong qt cúa phương trình (1.2) dưói dang an đưoc goi tích phân tong quát cúa nú Nghiắm riờng cỳa phng trỡnh (1.2) l mđt hm so y = ϕ(x,C ,C0 ) nh¾n đưoc bang cách cho C1,C2 nghi¾m tong quát giá tr% xác đ%nh 0 C0 ,C2 H¾ thúc Φ(x, y,C1 ,C2 ) = đưoc goi tích phân riêng 1.1 Phương trình khuyet (i) Phương trình khuyet y : F(x, yr, yrr) = Đ¾t p = yr, ta tìm đưoc F(x, p, pr) = phương trình cap m®t đoi vói p (ii) Phương trình khuyet x : F(y, yr, yrr) = d dp dp p , ta xem p tham so = Đ¾t p = yr, Ta có yrr dx dy = p chưa = dy dy dx dp trình vi phân cap m®t đoi biet cúa y Phương trình tró thành F(y, p, vói p p d y ) = Đó m®t phương (iii) Phương trình khuyet y, yr : F(x, yrr) = Đ¾t yr = p, ta đưoc F(x, pr) = phương trình cap m®t đoi vói p 1.2 Phương trình tuyen tính Đó phương trình vi phân có dang yrr + p(x)yr + q(x)y = f (x) (1.4) p(x), q(x), f (x) nhung hàm so liên tnc Phương trình đưoc goi thuan nhat neu f (x) ≡ 0, không thuan nhat neu f (x) ƒ≡ (i) Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat yrr + p(x)yr + q(x)y = (1.5) Đ%nh lý 1.2 Neu y1(x) y2(x) hai nghi¾m cúa phương trình (1.5) C1y1(x) + C2y2(x), C1, C2 hai hang so, nghi¾m cúa phương trình Đ%nh nghĩa 1.1 Hai hàm so y1(x) y2(x) đưoc goi đ®c l¾p tuyen tính y2(x) đoan [a, b] neu tí ƒ= hang so đoan Trái lai hai hàm y1(x so ) đưoc goi phn thu®c tuyen tính Đ%nh nghĩa 1.2 Cho hàm so y1(x) y2 (x), đ%nh thúc y y = y1yr2 − y2 yr1 r r y y đưoc goi đ%nh thúc Wronsky cúa y1(x), y2(x) đưoc kí hi¾u W (y1, y2) Đ%nh lý 1.3 Neu hai hàm so y1(x) y2(x) phn thu®c tuyen tính đoan [a, b] W (y1, y2) = đoan Đ%nh lý 1.4 Neu W (y1, y2) cúa hai nghi¾m y1(x), y2(x) cúa phương trình tuyen tính thuan nhat (1.5) khác khơng tai moi giá tr% x = x0 cúa đoan [a, b], h¾ so p(x), q(x) liên tnc, khác khơng vói moi x Đ%nh lý 1.5 Neu nghi¾m y1(x), y2(x) cúa phương trỡnh (1.5) l đc lắp tuyen tớnh trờn oan [a, b], W (y1, y2) khác khơng tai moi điem cúa đoan Đ%nh lý 1.6 Neu y1(x), y2(x) l hai nghiắm đc lắp tuyen tớnh cỳa phng trỡnh (1.5) nghi¾m tong qt cúa (1.5) y = C1y1(x) + C2y2(x), (1.6) C1, C2 nhung hang so tùy ý Đ%nh lý 1.7 Neu biet mđt nghiắm riờng y1(x) = cỳa phng trỡnh (1.5) ta cú the tỡm mđt nghiắm riờng y2(x) cỳa phng trỡnh ú, đc lắp tuyen tớnh vúi y1(x), cú dang y2(x) = y1(x)u(x) (ii) Phương trình vi phân tuyen tính không thuan nhat yrr + p(x)yr + q(x)y = f (x) (1.7) Đ%nh lý 1.8 Nghi¾m tong quát cúa phương trình khơng thuan nhat (1.7) bang tong nghi¾m cúa nghi¾m tong quát cúa phương trình thuan nhat tương úng (1.5) vúi mđt nghiắm riờng no ú cỳa phng trỡnh khụng thuan nhat (1.7) Đ%nh lý 1.9 (Ngun lí chong nghi¾m) Cho phương trình yrr + p(x)yr + q(x)y = f1(x) + f2(x) Neu y1(x) l mđt nghiắm riờng cỳa yrr + p(x)yr + q(x)y = f1(x), y2(x) l mđt nghiắm riêng cúa yrr + p(x)yr + q(x)y = f2(x) y = y1(x) + y2(x) l mđt nghiắm riờng cỳa phương trình cho 1.3 Phương trình tuyen tính có h¾ so khơng đoi (i) Phương trình thuan nhat yrr + pyr + qy = (1.8) v¾y, neu bánh xe quay tn do, phương trình chuyen đ®ng cúa nú l Iă = F0 asgn( ), ú I mơmen cúa bánh xe a bán kính cúa bánh phanh Các đưòng cong pha là: dθ˙ ˙ Iθ˙ = −F0 asgn(θ ), dθ Iθ˙ = −F aθ + C θ > Iθ˙ = F0 aθ + C θ < Đây hai ho parabol Hình 2.25, điem (θ , 0) m®t điem cân bang vói moi θ Hình 2.24: Mơ hình phanh Hình 2.25: Lưoc đo pha mơ hình phanh ó Hình 2.24 (iii) Đong ho q lac: m®t chu trình giéi han Hình 2.26 cho thay đ¾c điem cúa đong ho lac " Bánh xe " m®t bánh xe cưa, đieu khien kim đong ho thơng qua m®t loat cưa Nó có m®t trnc cuon m®t soi dây vói đau oc treo mđt vắt tn Bỏnh xe thoỏt b% giu tùng đot bói m®t chiec "neo” có hai mau Neo đưoc gan vào trnc cúa lac đung đưa vói nó, kiem sốt vòng quay cúa bánh xe thoát Neo bánh xe thoát đưoc thiet ke cho m®t mau cúa neo mat liên lac vói cúa bánh xe mau se khóp vói m®t răng, cho phép bánh xe quay m®t góc nhó, đe quay kim đong ho Moi lan đieu xáy ra, neo nh¾n đưoc xung đ®ng nhó, khien ta nghe thay tieng ’tick’ cúa đong ho Nhung xung se trì dao đ®ng cúa lac, neu khơng đong ho se chet Sn mat the giám lưong lai cung cap đ%nh kì vào lac thơng qua che neo M¾c dù xung đay lac theo m®t hưóng tai moi lan cúa neo, hình dang neo đám báo rang chúng khác ve đ® lón Hình 2.26: Cơ che hoat đ®ng cúa đong ho lac đieu khien bói lưong Có the chúng minh rang h¾ se xác l¾p dao đng on %nh vúi biờn đ co %nh đc lắp vói nhieu lé té đieu ki¾n ban đau Neu lac đong đưa vói biên đ® q lón, sn mat lưong moi chu kỳ ma sát lón, xung sinh bói sn se khơng đú đe bù đap lai Do biên đ® lai giám Neu biên đ® q nhó, sn mat lưong ma sát nhó, nên xung cung cap m®t lưong lón can thiet biên đ® se lai tăng Cú v¾y đat tói trang thái cân bang, đieu se xuat hi¾n m¾t phang (θ , θ˙ ) (Hình 2.27) m®t đưòng cong C kớn cụ lắp Dao đng tuan hon cụ lắp, hay chu trình giéi han (xem Mnc 2.5) chí có the xáy h¾ đưoc mơ tá bói phương trình phi tuyen, mơ hình đơn gián sau cho thay v% trí xuat hi¾n phi tuyen Hình 2.27: Lưoc đo pha cho m®t mơ hình dao đ®ng tat dan đưoc đieu khien bói xung cúa đong ho q lac Chuyen đ®ng có the xap sí bang phng trỡnh Iă + k + c = f ( , θ˙ ), (2.62) I mơmen qn tính cúa lac, k m®t hang so giám toc nhó, c m®t hang so đưoc xác đ%nh bói lnc hap dan, θ đ® d%ch chuyen góc, f (θ , θ˙ ) mônmen cung cap hai lan moi chu kỳ bói che Mơmen f (θ , θ˙ ) se m®t hàm phi tuyen theo θ θ˙ Hàm đien hình f (θ , θ˙ ) = [(k1 + k2 ) + (k1 − k2 )sgn(θ˙ )]δ (θ ), ó δ (θ ) hàm ho¾c xung delta-Dirac k1, k2 dương, phân phoi xung cho lac θ = Neu θ˙ > 0, f (θ , θ˙ ) = k1 δ (θ ), neu θ˙ < 0, f (θ , θ˙ ) = k2 δ (θ ) Con lac se đưoc đieu khien đe vưot qua giám toc neu k2 > k1 2.7 Hắ bỏo ton phn thuđc tham so Giỏ sỳ x(t) thúa xă = f (x, ) (2.63) λ m®t tham so Điem cân bang cúa h¾ đưoc xác đ%nh bói f (x, λ ) = 0, nói chung v% trí cúa chúng phn thu®c λ Trong hoc, m®t phan tú có khoi lưong có đ® d%ch chuyen x, f (x, λ ) bieu dien lnc tác đ®ng cúa phan tú Xác đ%nh hàm V (x, λ ) tù f (x, λ ) = −∂V /∂ x vói moi giá tr% cúa λ ; V (x, λ ) the nng trờn mđt n v% khoi long cỳa hắ hoc tương đương điem cân bang tương úng vói giá tr% goc cúa the Như nêu ó Mnc 2.3, ta mong m®t giá tr% the cnc tieu tương úng vói m®t điem cân bang on đ%nh, giá tr% tĩnh khác (điem cnc đai điem uon) tương úng vói m®t điem cân bang không on đ%nh Thnc te, V cnc tieu tai x = x1 neu ∂V/∂x đoi dau tù âm sang dương qua x1; nghĩa f (x, λ ) đoi dau tù âm sang dương qua x = x1 Nó hoat đ®ng m®t lnc phnc hoi Hình 2.28: Phác hoa lưoc đo pha on đ%nh bieu dien đưòng cong on đ%nh cho điem cõn bang cỳa xă = f (x, ) Ton tai mđt nghiắm thũng bieu th% tớnh on %nh cỳa cỏc iem cõn bang cho mđt hắ phn thuđc tham so; cá giá tr% tính on đ%nh cúa điem cân bang khác vói moi λ Ta giá sú f (x, λ ) liên tnc tai x λ Ve đưòng cong f (x, λ ) m¾t phang chúa x, λ ; đưòng bieu th% cho điem cân bang Các mien đưoc bơi đ¾m the hi¾n f (x, λ ) > đưoc bieu hi¾n Hình 2.28 Neu mđt oan cỳa ũng cong oc tụ ắm ú bên dưói tương úng vói điem cân bang ó trang thái on đ%nh, λ co đ%nh, f đoi dau tù âm sang dương theo chieu x tăng Đoan in đ¾m giua A B tương úng vói điem cân bang on đ%nh A B không on đ%nh: C không on đ%nh f dương cá hai phía vói C; tính chat cúa điem cân bang tai m®t giá tr% λ có the de dàng thay đưoc tù đo th%; ví dn cho λ = λ0, tốn có điem cân bang, hai điem on đ%nh A, B C đưoc biet điem chia nhánh (nút) Vói giá tr% λ khác nhau, điem cân bang có the chia làm hai ho¾c nhieu hơn, hay m®t vài điem cân bang có the hop thành m®t điem đơn Ví dn 2.11 M®t chuoi chuoi hat m®t soi dây nhan bán kính a có the quay quanh mđt trnc thang ỳng vúi vắn toc gúc không đoi ω Xét sn on đ%nh cúa hat Hat cú mđt thnh phan vắn toc tiep tuyen vúi dõy a v mđt thnh phan vắn toc phỏp tuyen (vng góc) vói dây aω sin θ; θ đ® nghiêng cúa bán kính so vói phương thang đúng, Hình 2.29 Đ®ng T the V đưoc cho bói: T = ma2 (θ˙ + ω sin θ ), mga cos θ V = Khi hắ cú mđt ieu kiắn ve d%ch chuyen (đó v¾n toc cúa dây), lưong nói chung khơng đưoc giu lai Phương trình Lagrange cúa toán d ∂T ∂T ∂V ( )− = , dt vúi aă = aω sin θ cos θ − g sin θ Đ¾t aω2/g = λ d θ˙ = g sin ( cos ă 1) a = aθ θ dθ Sau tích phân ta đưoc phương trình đưòng cong pha aθ˙ = g(1 λ cos θ ) cos θ + C − 2 Tù (2.63), tù (i): f (θ , λ ) = g sin θ (λ cos θ − 1) a Các điem cân bang đưoc cho bói f (θ , λ ) = 0, thóa mãn sin θ = ho¾c cos θ = λ −1 Tù chu trình cúa tốn, θ = π; θ = −π trang thái cân bang cúa tốn Hình 2.29: Hat m®t dây quay Các mien f < 0; f > phân bói đưòng cong f = có the đ%nh v% Do đó, kiem tra đưoc dau cúa điem cn the; ví dn, f ( π, 1) = −g/a < Hình 2.30 bieu hi¾n tính on đ%nh hay khơng on đ%nh cúa v% trí cân bang cúa hat Điem A điem phân nhánh, cân bang on đ%nh Nó có hình dang m®t thìa phân nhánh (dĩa) Lưoc đo pha cúa tốn có the xây dnng Mnc 2.3 co đ%nh giá tr% cúa λ Hai trưòng hop đưoc bieu hi¾n Hình 2.31 Chú ý rang chúng khang đ %nh sn dn đốn tính on đ%nh cúa Hình 2.30 Hình 2.30: Lưoc đo pha on đ%nh cho m®t hat m®t soi dây quay Hình 2.31: Lưoc đo pha đien hình cho phương trình chuyen đ®ng cúa hat ă = (g/a) sin ( cos 1) cho trưòng hop (a) λ < 0; (b) λ > vói a = g cá hai trưòng hop 2.8 Bieu dien đo th% nghi¾m Các nghi¾m đưòng cong pha cúa h¾  x˙ = y y˙ = f (x, y) (2.64) có the đưoc bieu dien dưói dang đo th% bang m®t so cách Như thay, nghi¾m cúa dy/dx = f (x, y)/y có the đưoc bieu th% bang đưòng m¾t phang pha (x, y) Hình 2.32 the hi¾n cách khác đe bieu th% nghi¾m đưòng cong pha cúa phương trình lac Hình 2.32(a) bieu dien đưòng cong pha đien hình gom đưòng phõn lắp Neu cỏc nghiắm cỳa xă = f (x, x˙) biet, ho¾c xác ho¾c so lưong, thay đoi cúa x theo t có the đưoc the hiắn mđt o th% (x, t) nh Hỡnh 2.32(b) Ngồi ra, thòi gian t có the đưoc thêm vào trnc thú ba cúa m¾t phang pha Do đó, nghi¾m có the đưoc the hi¾n bang hình ve ba chieu bieu dien tham so (x(t), y(t)) Hình 2.32(c) the hi¾n khơng gian nghi¾m cúa phương trình lac Bieu dien đ¾c bi¾t thích hop cho m¾t phang pha thơng thưòng h¾ cưõng búc Neu f (x, x˙) tuan hoàn theo x, nghĩa neu ton tai m®t so C cho vói moi x có f (x + C, x˙) = f (x, x˙), đưòng cong pha khống x bat kỡ cú đ di C se lắp i lắp lai trưóc sau tùng chu kì C nên nghi¾m có the đuoc bao quanh bói m®t trn tròn chu vi C Hình 2.32(d) cho thay đieu Hình 2.32: Sn khác cúa nghi¾m cúa phương trình lac xă + sin x = ắc biắt, cỏc nghi¾m tuan hồn Lp nghi¾m xoan Lω đưoc bieu th% (a) Trong mắt phang pha; (b) Vớ dn mđt nghi¾m (x, t); (c) khơng gian nghi¾m (x, y,t); (d) Mắt phang pha trờn mđt be mắt hỡnh trn mà có the bieu th% cho phương trình vi phân tuan hồn tai x KET LU¾N Khóa lu¾n trỡnh by mđt cỏch hắ thong, rừ rng ve cỏc khái ni¾m liên quan tói phương pháp sú dnng m¾t phang pha nghiên cúu tính chat đ %nh tính cúa phương trình vi phân cap hai Đ¾c bi¾t tìm hieu ý nghĩa V¾t lý cúa ket q, tính chat cúa nghi¾m cúa phương trình vi phân cap hai Đieu làm rõ thêm vai trò quan cúa lý thuyet phương trình vi phân nói chung úng dnng thnc te Tài li¾u tham kháo [] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Hồng Huu Đưòng, Võ Đúc Tơn, Nguyen The Hồn (1970), Phương trình vi phân, Nxb hoc v trung hoc chuyờn nghiắp, H Nđi [2] Hồng Huu Đưòng (1975), Lý thuyet phương trình vi phân, Nxb hoc v trung hoc chuyờn nghiắp, H Nđi [3] Nguyen The Hồn, Pham Thu (2007), Có só phương trình vi phân lí thuyet on đ%nh, Nxb Giáo dnc [4] Nguyen Đình Trí, Ta Văn Đĩnh, Nguyen Ho Quỳnh (2003), Toán hoc cao cap, Nxb Giáo dnc [] Tài li¾u tieng Anh [5] D W Jordan, P Smith (2007), Nonlinear Ordinary Differential Equa- tions, Oxford University Press ... sâu ve phương trình vi phân cap hai hay cn the sú dnng m¾t phang pha nghiên cúu đ%nh tính phương trình vi phân cap hai, em manh dan chon đe tài: "Phương trình vi phân cap hai mắt phang pha" Nđi... v¾y vi c nghiên cúu phương trình vi phân có ý nghĩa quan Trên thnc te so phương trình vi phân nói chung, so phương trình vi phân cap hai nói riêng giái đưoc khơng nhieu (xem m®t so lóp phương trình. .. đưoc trình bày hai chương: Chương trình bày khái ni¾m bán ve phương trình vi phân cap hai m®t so lóp phương trình vi phân cap hai giái đưoc ho¾c cap đưoc Chương trình bày ve khái ni¾m m¾t phang pha