Tính kì dị chung của một số hệ ẩn của phương trình vi phân câp 1 trên mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— HÀ THỊ CHÚC TÍNH KÌ DỊ CHUNG CỦA MỘT SỐ HỆ ẨN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP TRÊN MẶT PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— HÀ THỊ CHÚC TÍNH KÌ DỊ CHUNG CỦA MỘT SỐ HỆ ẨN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP TRÊN MẶT PHẲNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH Thái Nguyên – 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hà Thị Chúc i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 22 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình TS Trịnh Thị Diệp Linh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy, khích lệ, động viên vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên, ủng hộ để hoàn thành tốt khóa học luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hà Thị Chúc i Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn i Mở đầu 1 Một số kiến thức 1.1 Một số khái niệm 1.2 Các điểm kì dị đơn giản 1.2.1 Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa 1.2.2 Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm 1.2.3 Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định 1.3 Phôi điểm kì dị 1.4 Các dạng chuẩn tắc 10 1.4.1 Các ánh xạ đối hợp tốt 11 1.4.2 Các điểm kì dị chuẩn tắc 15 1.4.3 Các điểm kì dị gấp lùi 17 1.4.4 Các tính kì dị gấp chuẩn tắc 18 ii Phân loại tính kì dị 2.1 20 Các phương trình dạng Clairaut lý thuyết kì dị Legendre 20 2.1.1 Legendrian không gấp 20 2.1.2 Tính tổng quát 21 2.2 Các tính kì dị trường hợp tổng quát 26 2.3 Phân loại trường hợp tổng quát 29 2.4 Phân loại trường hợp Clairaut 34 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Mở đầu Tính kì dị số hệ ẩn đóng vai trò quan trọng lý thuyết phương trình vi phân cấp mặt phẳng Đối với hệ ẩn phương trình vi phân cấp thông thường mặt phẳng, phân loại địa phương tính kì dị chung họ đường cong pha trình bày đầy đủ lên quỹ đạo trơn tương tương Bên cạnh đó, tính kì dị biết trường vectơ tổng quát mặt phẳng tính kì dị mô tả phương trình vi phân ẩn cấp tổng quát, tồn tính kì dị mô tả phương trình ẩn cấp cho bề mặt ô Whitney nhúng đến không gian hướng mặt phẳng Luận văn nghiên cứu tính kì dị điểm họ đường cong pha cho phôi bề mặt hệ giới thiệu tính kì dị chung mặt phẳng lên quỹ đạo trơn tương đương Đối với hệ đủ tổng quát, bề mặt hệ đa tạp n chiều trơn đóng không gian chùm tiếp xúc theo Định lý đường hoành Thom, gấp hệ ánh xạ liên tục đa tạp n chiều Ngoài ra, gấp hệ đủ tổng quát có tất tính kì dị chung ánh xạ đa tạp n chiều Trong thực tế hạch phép chiếu chùm n chiều theo Định lí Goryonov (xem [11]), số chiều hạch thừa nhận tất tính kì dị chung ánh xạ đa tạp n chiều Một hệ đủ tổng quát gần điểm quy gấp hệ giải cách lấy đạo hàm Trong trường hợp gần điểm vậy, lý thuyết kì dị họ nghiệm hệ ẩn nhận lý thuyết họ đường cong pha trường vectơ trơn tổng quát đa tạp n chiều (xem [2]) Đối với hệ đủ tổng quát, vận tốc không triệt tiêu điểm kì dị gấp hệ Một lần Định lý Goryunov 1−gấp hệ đủ tổng quát có tất tính kì dị ánh xạ tổng quát từ đa tạp n chiều đến đa tạp (2n − 1) chiều Đặc biệt trường hợp chiều, 1−gấp hệ đủ tổng quát có điểm quy điểm kì dị cho ô kì dị Whitney Đó phân loại điểm kì dị họ đường cong pha hệ ẩn tổng quát (xem Định lý 2.3.1, 2.3.4) Bên cạnh tính kì dị biết trường vectơ tổng quát mặt phẳng tính kì dị mô tả phương trình vi phân ẩn cấp tổng quát, có tính kì dị cho phương trình vi phân ẩn ô kì dị Whitney nhúng đến không gian hướng mặt phẳng (Hình 1, 3) Lên quỹ đạo trơn tương đương, họ tương ứng đường cong pha họ nghiệm hệ ẩn x˙ = ±1, (y) ˙ = x(x − y)2 gần gốc Hình 1: Điểm không kì dị, yên ngựa, nút gấp, tiêu điểm Hình 2: Yên gấp, nút gấp, tiêu điểm gấp Họ nghiệm phương trình ẩn (dy/dx) = x(x − y)2 nhận nghiên cứu Arnol’d V I.(xem [3],[7]) Tuy nhiên, trường hợp cuối trường hợp nghiên cứu luận văn khác Ở điểm thứ nhất, mặt phương trình không gian hướng mặt phẳng trơn theo lý thuyết phương trình kiểu giảm dư, có tính kì dị ô Whitney trường hợp hệ ẩn Ở điểm thứ hai, Hình 3: Điểm gấp chuẩn tắc, điểm kì dị xếp li điểm ô Whitney phân bố mặt phẳng không gian hướng mặt phẳng có tính kì dị cấu trúc tiếp xúc định lý phương trình kiểm giảm dư, cấu trúc tiếp xúc trường hợp hệ ẩn Tuy nhiên, đặt vào phép tương ứng đến phương trình kiểu giảm dư x˙ = εf (x, y, z) , y˙ = εg (x, y, z) , z˙ = h (x, y, z) + εr (x, y, z) (trong f, g, h, r hàm số ε tham số bé tùy ý), mặt x˙ − f (x, y, z) = 0, y˙ − g (x, y, z) = 0, h (x, y, z) = nên hạn chế phép chiếu (x, y, z, x, ˙ y) ˙ → (x, y, x˙ : y) ˙ đến mặt tương tự −gấp Trong trường hợp tổng quát, hạn chế xác định gần điểm tới hạn gấp, hạn chế phép chiếu (x, y, z) → (x, y) đến mặt h = Quy trường hợp Arnol’d đến trường hợp xét (Hình 4) Nội dung chủ yếu luận văn trình bày lại kết báo [8] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn chia thành chương: Chương Một số kiến thức Trong chương đưa số khái niệm, ví dụ minh họa tính chất liên quan đến vấn đề nghiên cứu Chương Chương Phân loại tính kì dị Ở Chương 2, trình bày dạng chuẩn tắc trường hợp tổng quát Hình 4: Điểm gấp Clairaut, điểm lùi Clairaut điểm mũ chéo Clairaut trường hợp Clairaut tổng quát Các chứng minh trình bày rõ ràng, đầy đủ sử dụng lý thuyết sơ đồ tích phân (xem [13]) nhân trường vectơ hàm dương trơn Nhận xét 2.3.3 Trong [2], dạng chuẩn tắc tương ứng bao gồm dạng sau: Điểm nút cộng hưởng với số mũ λ = n ∈ N (x˙ = x, y˙ = ny + εxn , ε ∈ {−1, 0, 1}), yên ngựa cộng hưởng với hệ số vài đơn thức cộng hưởng ban đầu x˙ = x ± uk + au2k , y˙ = λy, < k ∈ N , tiêu điểm suy biến tích phân đầu hình thức dạng toàn phương xác định dương (x˙ = y ± x r2k + ar4k , y˙ = −x ± y r2k + ar4k ) Các trường hợp khử nhiễu nhỏ hệ ẩn Định lý 2.3.4 Cho hệ ẩn tổng quát mặt phẳng có đạo hàm bị chặn địa phương điểm kì dị gấp hệ Khi đó, tương ứng điểm kì dị nhận dạng quy Bảng 2.2 gần gốc lên quỹ đạo trơn tương đương Để chứng minh Định lý 2.3.4 sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 2.3.5 ([3],[7]) Cho mặt phẳng (u, v) gần gốc hàm u + v a (u) + v b (u) + v c u, v với a, b c hàm liên tục, a (0) = = a (0) b (0) Khi hàm cho đưa dạng u + v u + v có vi đồng phôi liên tục bảo toàn gốc giao hoán với phép đối hợp (u, v) → (u, −v) Chứng minh Định lý 2.3.4 Theo Hệ 2.2.8, tính kì dị địa phương hệ ẩn tổng quát điểm kì dị gấp hệ mô tả tính kì dị chung phương trình vi phân cấp loại trừ điểm kì dị 1−gấp hệ dạng ô Whitney Nhưng ta cần xét điểm giới hạn hệ ẩn tổng quát không thuộc thiết diện chùm tiếp xúc theo Mệnh đề 2.2.5 Vì vậy, tính kì dị chung phương trình ẩn dạng điểm quy gấp, điểm kì dị gấp điểm xếp li đưa tính kì dị tính kì dị cuối Bảng 2.2 31 Phân loại tính kì dị Các dạng quy Điểm quy gấp x˙ = ±1; (y) ˙ 2=x Yên ngựa không cộng hưởng gấp với số mũ λ Yên ngựa x˙ = λ ∈ R− \Q (y) ˙ = y − kx2 (y) ˙ = y − kx2 x˙ = 1; (y) ˙ = y − kx2 a ∈ R; p, q ∈ N = p/q cộng hưởng gấp với số mũ −p/q Điểm nút Sự hạn chế +εx xp+q + ax2p+2q phân số không giảm x˙ = λ ∈ R+ \N (y) ˙ = y − kx2 k = λ/(2λ + 2)2 Tiêu điểm gấp x˙ = λ ∈ R+ với số mũ λ (y) ˙ = y − kx2 k = + λ−2 /16 (không cộng hưởng) gấp với số mũ λ Điểm ô Whitney x = ±1, (y) ˙ = x(x − y)2 ϕ hàm trơn Điểm kì dị xếp li x˙ = 1, x = yϕ ˙ (y, y) ˙ ϕ (0, 0) = ϕy˙ (0, 0) = ϕy (0, 0) ϕy˙ y˙ (0, 0) = Bảng 2.2: Theo Hệ 2.2.8, để chứng minh định lý cần có dạng chuẩn tắc phương trình vi phân ẩn cấp cho thay tổng quát ô Whitney đến không gian hướng mặt phẳng Đối với hệ đủ tổng quát vậy, thay cần tính chất sau: Tại đỉnh ô Whitney mặt phẳng tiếp xúc hướng thẳng đứng không tiếp xúc với ảnh 1−gấp hệ tổng quát tập điểm tới hạn gấp hệ Vì vậy, hệ tọa độ địa phương trơn u, v mặt hệ x, y không gian pha có gốc điểm nghiên cứu ảnh điểm 32 gấp hệ lựa chọn cho 1−gấp hệ có dạng x = v , y = u, dy = h (u, v) dx (2.1) dy Trong h hàm số trơn, h (0, 0) = dx tọa độ địa phương dọc theo trục hướng, tọa độ ô Whitney qua đường thẳng x − y = Gần gốc trục y đường thẳng {x − y = 0} ∪ {x > 0}, nghiên cứu dy dy phương trình ẩn cấp có hai trường hướng trơn dx = f1 (y) dx = f2 (y), f1 , f2 hàm số trơn, f1 (0) = f2 (0) = h (0, 0) = Theo Bổ đề Hadamard, hàm lấy dạng f1 (y) = yf˜1 (y), f˜1 , f˜2 hàm số trơn Trường hướng gần gốc có dạng dy = (y − x) f˜1 (y) + xf˜2 (y) dx đưa mở rộng trơn đồng thời hai trường Gần gốc, trường mở rộng có tích phân đầu dạng y+xI1 (x, y), I1 hàm trơn Nói đến tích phân hàm u+v I1 v , u giống tọa độ y u tương ứng, bảo toàn hai dạng đầu phương trình (2.1) tọa độ hàm h đồng trục u tập tương ứng đến ô Whitney Trong tọa độ gần gốc, tập cuối xác định phương trình u − v X1 v = 0, X hàm trơn, X (0) > Theo Bổ đề Hadamard, hàm dy h phương trình dx = h (u, v) từ (2.1) viết dạng h (u, v) = v u − v X1 v H (u, v), H hàm trơn, H (0, 0) = điểm nghiên cứu −gấp hệ có tính kì dị dạng ô Whitney Vì vậy, gần gốc v˜ = v X (v ) x˜ = xX (x) quy hệ (2.1) phương trình có dạng x = v , y = u, dy = v(u − v )H (u, v) dx (2.2) (“dấu ngã” kí hiệu tọa độ bỏ đi) với H hàm số trơn không triệt tiêu gốc Khi đó, trường hướng dy cho phương trình dx = v(u − v )H (u, v) nâng lên thành trường hướng trơn dạng du = 2v (u − v )H (u, v) dv 33 (2.3) dy Khi đó, trường hướng dx = v(u − v )H (u, v) có tích phân đầu dạng I (u, v) = u + v J1 u, v Đó điều kiện đủ để có dạng chuẩn tắc tích phân việc thay đổi tọa độ giao hoán với phép đối hợp (u, v) → (u, −v) xác định gấp hệ Lấy tọa độ u dạng (I (u, v) + I (u, −v)) /2, rút gọn tích phân dạng I (u, v) = u + v J1 (u, v) I (u, v) = u + v a (u) + v b (u) + v c u, v , a, b, c hàm trơn, a (0) = = a (0) b (0) v u số hạng bậc thấp vế phải phương trình (2.3), b (0) = H (0, 0) = Theo Bổ đề 2.3.5 định lý chứng minh Vậy hàm H phương trình (2.3) rút gọn (2.1) Khi 2 đó, phương trình có dạng du dv = 2v (u − v ) gần điểm dy phương trình xét nghĩa phương trình dx = v(u − v ) mặt hệ phương trình dy dx = x(y − x)2 mặt phẳng (x, y) Tất điều nhận tính kì dị thứ Bảng 2.2 Định lý 2.3.4 chứng minh Nhận xét 2.3.6 Các dạng chuẩn tắc tương đương quỹ đạo tôpô yên ngựa gấp, nút gấp tiêu điểm gấp x˙ = 1, (y) ˙ = y − kx2 gần gốc tương ứng với k = −1, 1/20 k = (xem [6], [17]) 2.4 Phân loại trường hợp Clairaut Kí hiệu chùm tiếp xúc mặt phẳng R2 T R2 , kí hiệu {0} thiết diện không mặt phẳng Phép chiếu tắc từ chùm tiếp xúc, mặt thiết diện {0} tới đa tạp phần tử tiếp xúc mặt phẳng, kí hiệu Π : T R2 \ {0} → P T ∗ R2 Ở P T ∗ R2 phép xạ ảnh fiber-wise chùm đường cong T ∗ R2 không gian R2 Phép 34 chiếu Π cảm sinh ánh xạ 1−gấp từ mặt T R2 \ {0} Chú ý rằng, không tồn phép đẳng cấu tắc chùm tiếp xúc T R2 chùm đường cong T ∗ R2 , tồn phép đẳng cấu tắc P T R2 P T ∗ R2 , giống đa tạp phần tử tiếp xúc mặt phẳng, xác định ánh xạ hướng tiếp tuyến R2 vào R2 có hướng hạch Khi đó, quỹ đạo trơn tương đương phân loại mặt T R2 \ {0} quy qua −gấp lên định hướng quỹ đạo tới phân loại vi đồng phôi tiếp xúc P T ∗ R2 bảo toàn phân thớ tắc π : P T ∗ R2 → R2 Xét hệ dạng Clairaut T R2 \ {0} 1−không gấp hệ P T ∗ R2 Gọi Σc quỹ tích điểm kì dị tiếp xúc, nghĩa quỹ tích mặt hệ bao gồm điểm mà dạng tiếp xúc triệt tiêu điểm tương ứng P T ∗ R2 Gọi Σπ quỹ tích điểm kì dị mặt hệ phép chiếu π : T R2 → R2 Khi đó, hệ dạng Clairaut ánh xạ gấp tới R2 hạng hầu hết hệ Σc = Σπ Dara L (xem [5]) đưa định nghĩa phương trình dạng Clairaut mặt trơn R3 ⊂ P T ∗ R2 với tọa x, y, p, p = y/ ˙ x˙ sau: Định nghĩa 2.4.1 Hệ ẩn G (x, y, p) = gọi có dạng Clairaut Gx + pGy = AG + BGp cố định, với A (x, y, p) B (x, y, p) phôi hàm Theo định nghĩa trên, hệ dạng Clairaut có Σc = Σπ Thực tế, [14] chứng minh rằng: Một hệ không suy biến G (x, y, p) = dạng Clairaut có hệ nghiệm đầy đủ gồm nghiệm (trơn) cổ điển Đặc biệt, phép chiếu quỹ đạo tới đường cong không suy biến gấp Điều ngược lại không trường hợp tổng quát Ví dụ 2.4.2 Hệ G (x, y, p) = y − 2p3 = không dạng Clairaut theo Định nghĩa 2.4.1 thỏa mãn điều kiện Σc = Σπ Hơn nữa, hệ có hệ nghiệm đầy đủ Γ (t, c) = (x, y, p) = 3t2 + c, 2t3 , t điểm lùi đường cong nghiệm tiếp xúc tới biệt thức π (Σπ ) = {y = 0} mặt phẳng (x, y) Do đó, thực tế, hệ dạng Crairaut Chú ý ví dụ này, quỹ tích suy biến ánh xạ gấp xác định 35 p2 = mặt hệ y = 2p3 = tích suy biến có thành phần bội x, 2p3 , p | (x, p) ∈ R2 , quỹ Định nghĩa 2.4.3 Một hệ dạng Clairaut gọi tối giản định thức Jacobian ánh xạ gấp thành phần bội Do đó, hệ tối giản dạng Clairaut xấp xỉ hệ Clairaut có tính chất phép chiếu quỹ đạo đến đường cong không suy biến qua gấp Khi có định lý sau: Định lý 2.4.4 Cho hệ tối giản tổng quát dạng Clairaut mặt phẳng có đạo hàm bị chặn địa phương Khi đó, nhận dạng chuẩn tắc Bảng 2.3 gần gốc lên quỹ đạo trơn tương đương Phân loại tính kì dị Các dạng chuẩn tắc Điểm không kì dị x˙ = 1, y˙ = Gấp Clairaut x˙ = 1, (y) ˙ 2=y Điểm lùi Clairaut x˙ = 1, y = yϕ ˙ (x, y) ˙ Ô Whitney Clairaut x˙ = 1, (y) ˙ = x2 y Sự hạn chế ϕ (0, 0) = ϕy˙ (0, 0) = ϕy˙ y˙ (0, 0) ϕx (0, 0) = Bảng 2.3: Có thể phân loại hệ dạng Clairaut việc xét mặt tham số P T ∗ R2 Một phôi phương trình vi phân cấp xác định phôi ánh xạ f : R2 , → J (R, R) ⊂ P T ∗ R2 Khi f hoàn toàn khả tích tồn phôi nhúng chìm µ : R2 , → R thỏa mãn dµ∧f ∗ θ = 0, θ = dy − pdx kí hiệu −dạng tiếp xúc tắc J (R, R) Gọi µ tích phân đầu không phụ thuộc f cặp (µ, f ) : R2 , → J (R, R) ⊂ R × P T ∗ R2 gọi hệ holonomic có tích phân đầu không phụ thuộc Chú ý f |µ−1 (t) nhúng chìm Legendrian có ảnh chứa ảnh f Nếu π ◦ f |µ−1 (t) ánh xạ không suy biến với t ∈ (R, µ (0)) f |µ−1 (t) t∈R họ sơ đồ nghiệm không suy 36 biến ảnh f argument trước Một hệ gọi phương trình dạng Clairaut Khi có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.4.5 Cho (µ, g) cặp phôi ánh xạ g : R2 , → R2 , phôi nhúng chìm µ : R2 , → (R, 0) Khi sơ đồ µ g (R, 0) ← − R2 , → − R2 , gọi sơ đồ tích phân tồn phương trình f : R2 , → P T ∗ R2 cho (µ, f ) phôi phương trình có tích phân đầu không phụ thuộc π ◦ f = g Khi đó, sơ đồ tích phân (µ, g) tối giản f Nếu f phương trình dạng Clairaut, (µ, π ◦ f ) gọi dạng Clairaut Khi đó, đưa vào quan hệ tương đương sơ đồ tích phân sau: Cho (µ, g) (µ , g ) sơ đồ tích phân, (µ, g) (µ , g ) tương đương sơ đồ µ g✲ (R, 0) ✛ (R2 , 0) (R , 0) ψ κ ❄ ❄ (R, 0) φ ✛ µ (R , 0) ✲ g ❄ (R , 0) giao hoán, với κ, ψ φ vi phôi Nếu vi phôi κ = idR (µ, g) (µ , g ) tương đương ngặt Định lý 2.4.4 trình bày phân loại chung phương trình dạng Clairaut theo khái niệm sơ đồ tích phân Định lý 2.4.6 Cho phương trình dạng Clairaut tổng quát (µ, f ) : (R2 , 0) → R × J (R, R) sơ đồ tích phân (µ, π ◦ f ) tương đương ngặt với sơ đồ tích phân mầm trường hợp đây: (1) µ = v, g = (u, v); Điểm không kì dị (2) µ = v − 21 u, g = (u, v ); Gấp Clairaut (3) µα = v + α ◦ g với α ∈ M(x,y) , g = (u, v + uv); Điểm lùi Clairaut (4) µ = v − 12 u2 , g = u, 14 v ; ô Whitney Clairaut 37 Chứng minh Giả sử (µ, f ) phương trình dạng Clairaut Legendrian không gấp (µ,f ) tương ứng Do argument trước, ta có mầm hàm F : (R × R, 0) → (R, 0) cho ảnh j11 F ảnh (µ,f ) Vì vậy, ta xét tính chất chung F (t, x) Theo định nghĩa, j11 F mầm nhúng chìm ∂ 2F ∂F (0) , (0) = ∂t ∂t∂x Với điều kiện này, ta có đặc trưng điểm gấp điểm lùi π ◦j11 F sau (xem [10],[12]): ∂2F i, π ◦ j11 F mầm gấp ∂F (0) = ∂t ∂t2 (0) = Khi j1 F không mầm nhúng chìm, ta có đặc tính mũ chéo: ∂2F ii, π ◦ j11 F mầm điểm lùi ∂F (0) = ∂t ∂t2 (0) = ∂2F ∂3F ∂t∂x (0) ∂t3 (0) = ∂2F iii, j11 F mầm mũ chéo ∂F (0) = ∂t ∂t∂x (0) = ∂3F ∂2F ∂t∂x2 (0) ∂t2 (0) = Ở điểm thứ nhất, đưa dạng chuẩn tắc với giả thiết điều kiện (i), (ii), (iii) Giả sử điều kiện (iii) giữ lại, trường hợp mầm hàm có dạng sau: F (t, x) = at2 + bx2 + ctx2 + h (t, x) a = 0, c = h (0, 0) = Khi F (t, 0) = at2 + h (t, 0) C −tương đương tới t2 , F (t, x) P − C −tương đương đến biến dạng t2 Do argument trước đó, C−sự biến dạng riêng lẻ t2 t2 + v1 t + v2 Vậy F (t, x) P − C −tương đương đến mầm hàm dạng: G (t, x) = t2 + tφ1 (x) + φ2 (x) j11 G mầm mũ chéo, ta có φ1 (x) = αx2 + số hạng có cấp cao hơn, với α = Do phép vi đồng phôi địa phương biến x, ta có φ1 (x) = x2 Điều có nghĩa F (t, x) P − C −tương đương tới mầm hàm dạng t2 + tx2 + φ (x) Vì thế, ta đặt F (t, x) = t2 + tx2 + φ (x) Trong trường hợp j F (t, x) = t, x, t2 + tx2 + φ (x) , 2t + x2 , 2tx + φ (x) 38 sơ đồ tích phân tương ứng g (u1 , u2 ) = u2 , u21 + u1 u22 + φ (u2 ) , mặt phẳng (x, y) có phôi vi đồng phôi Ψ : R2 , → R2 , xác định Ψ (x, y) = x, 41 y + 14 x4 − φ (x) Khi đó, nhận Ψ ◦ g (u1 , u2 ) = u2 , 41 u1 + 21 u22 Đây dạng (4) chuẩn tắc Định lý 2.4.6, sau đặt (u, v) = u2 , u1 + 12 u22 Đối với trường hợp (i), ta áp dụng hầu hết argument giống dạng chuẩn tắc (2) Định lý 2.4.6 Đối với trường hợp (ii), tình khác Trong trường hợp này, hàm F (t, 0) C−tương đương tới t3 C−biến dạng riêng lẻ t3 t3 + v1 t2 + v2 t + v3 , argument sử dụng trường hợp Tuy nhiên, C + −biến dạng riêng lẻ t3 t3 + v1 t + v2 Do áp dụng hầu hết argument sơ đồ tích phân tương ứng R+ −tương đương đến µ (u1 , u2 ) = u2 , g (u1 , u2 ) = u2 , u32 + u1 u2 Điều có nghĩa sơ đồ tương đương chặt đến dạng chuẩn tắc (3) Định lý 2.4.6 Khi đó, thấy tập hợp hàm F (t, x) thỏa mãn điều kiện (i), (ii), (iii) (R) điểm tổng quát không gian tất hàm (với tô pô Whitney C ∞ ) Ở điều kiện (R) ∂F ∂t (0) = Cho J (2, 1) tập −tia mầm hàm h : R2 , → (R, 0) Xét tập đại số sau J (2, 1): Σ1 = Σ2 = ∂h ∂ 2h ∂ 2h ∂ 3h j h (0) | (0) = (0) = (0) (0) = , ∂t ∂t∂x ∂t ∂t∂x2 j h (0) | ∂h ∂ 2h ∂ 2h ∂ 3h (0) = (0) = (0) (0) = ∂t ∂t ∂t∂x ∂t Xét hợp W = Σ1 ∪ Σ2 W tập đại số J (2, 1) Ta phân tầng tập đại số W đa tạp có số đối chiều nhỏ Do định lý đường hoành Thom, j F R2 ∩ R2 × R × W = φ hàm tổng quát F (t, x) Vì vậy, điều kiện (i), (ii), (iii) (R) thỏa mãn hàm F (t, x) Định lý 2.4.6 chứng minh đầy đủ trường hợp riêng có chứng minh Định lý 2.4.4 39 Chú ý dạng (1) (2) (4) Định lý 2.4.4 nhận từ Định lý 2.4.6 đây: (1) Phương trình cho f = (u, v, 0), nghĩa p = Đặt x˙ = 1, nhận y˙ = (2) Phương trình cho f = u, v , v , nghĩa p2 = y Đặt x˙ = nhận (y) ˙ = y (4) Phương trình cho f = u, 41 v , 12 uv , nghĩa p2 = x2 y Đặt x˙ = nhận (y) ˙ = x2 y Dạng (3) định lý 2.4.4 nhận từ dạng tham số (3) Định lý 2.4.6 sau: Ánh xạ −gấp cho (u, v) = (x, y, p) = u, v + uv, h (u, v) , p = xy˙˙ v − 3v + u ∂α ∂x u, v + uv h (u, v) = + uv) + (3v + u) ∂α (u, v ∂y Ta có dạng ẩn y = v + uv = v(x, p)3 + xv (x, p) =: ψ (x, p) Bằng việc sử dụng phép vi đồng phôi bảo toàn điểm lùi mà ánh xạ đường cong pha qua đỉnh điểm lùi tới trục x, giả sử ψ (x, 0) = Khi y = ψ (x, p) = pϕ (x, p) Bằng cách đặt x˙ = 1, nhận y = yϕ ˙ (x, y) ˙ Định lý 2.4.6 đưa phân loại tổng quát sơ đồ tích phân dạng Clairaut tương đương ngặt Chú ý rằng, mầm từ (1) tới (4) Định lý 2.4.6 sơ đồ tích phân không tương đương Do đó, vấn đề đưa việc phân loại mầm chứa họ (3) tương đương Họ tham số phôi hàm α gọi môđun hàm Trong [15] đưa tính chất môđun hàm tương đối tới tương đương Cho ánh xạ g : x = u, y = v + uv, xác định mặt phẳng (x, y) tập hợp ∆ điểm mà ánh xạ có nghịch ảnh khác tập D giống biên tập ∆ Trong [9], Dufour J P trình bày định lý sau Định lý 2.4.7 Giả sử (µα , g) sơ đồ tích phân, µα = v + α ◦ g với α ∈ M(x,y) , g = (u, v + uv) Khi với α bất kì, tồn phôi hàm α : (R2 , 0) → (R, 0) cho: (1) (µα , g) tương đương với (µα , g) (2) α |D = 40 Dufour J P tính môđun hàm tương đối tương đương Theo [18] ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.4.8 Cho α α phôi hàm Khi đó, α α tương đương môđun tồn a ∈ R\ {0} cho aα (x, y) = α a2 x, a3 y với (x, y) ∈ ∆ Định lý 2.4.9 Giả sử (µα , g) (µα , g) sơ đồ tích phân thỏa mãn α|D = α |D = Khi đó, (µα , g) tương đương với (µα , g) α α tương đương môđun Định lý khẳng định lớp tương đương môđun hàm α với α|D = bất biến hoàn toàn phân loại tổng quát phương trình dạng Clairaut quan hệ tương đương cho nhóm phép biến đổi điểm Ta định nghĩa M (D) = α ∈ M(x,y) |α|D = M −điểm lùi = (D) / ∼, ∼ có nghĩa quan hệ môđun Định lý khẳng định không gian môđun phương trình dạng Clairaut tổng quát M −điểm lùi Nhận xét 2.4.10 Trong luận văn này, trình bày phân loại phương trình vi phân ẩn cấp P T ∗ R2 đưa xuống với tích phân đầu không phụ thuộc Trong [13], điểm kì dị xếp li gọi điểm lùi quy dạng chuẩn tắc điểm cho dạng tham số (u, v) → u3 + uv, v , tham số hóa ánh xạ gấp với tích phân đầu µ = 43 u4 + 12 u2 v + α u3 + uv, v , α hàm với α (0, 0) = 0, ∂α ∂y (0, 0) = ±1 (xem [13]) Hơn nữa, theo định lý Kurokawa (xem [16]), lấy môđun hàm α tương đương thỏa mãn ∂ 2α (0, 0) y , (y ≤ 0) α (0, y) = ±y + 2 ∂y Hơn dấu ±1 χα = ∂∂yα2 (0, 0) giá trị bất biến phương trình (Xem [16]) Khi đó, ánh xạ 1−gấp cho (u, v) → (x, y, p) = u3 + uv, v, k (u, v) , p = xy˙˙ u + ∂α ∂x u + uv, v k (u, v) = ∂α u − ∂y (u + uv, v) 41 Chú ý hàm v k cho ta tham số hóa khác mặt hệ Do đó, nhận x = u3 + uv = u(v, k)3 + u (v, k) v = u(y, p)3 + u (y, p) y =: ψ (y, p) Quỹ tích p = xác định đường cong trơn tiếp xúc với trục y đỉnh điểm lùi mặt phẳng (x, y) Bằng cách sử dụng điểm lùi bảo toàn phép vi đồng phôi ánh xạ đường cong tới trục y, giả sử ψ (y, 0) = Do đó, nhận dạng x = pϕ (y, p) Bằng cách đặt x˙ = nhận dạng chuẩn tắc Bảng 2.2 Cho hệ có ánh xạ gấp (u, v) → u3 + uv, v Khi đó, tích phân đầu µα = 4 u + u v+α u + uv, v biến đổi thành tích phân đầu µα = u + u v+ α u3 + uv, v α (x, y) = α (x, y) α (x, y) = α (−x, y) miền mở chứa điểm lùi ∆ := y + 27 y < gần gốc (xem [13]) Không gian môđun điểm kì dị xếp li lại mở Đó lý tồn môđun hàm 3−lưới mặt phẳng đường cong nghiệm không gian mô đun trội không gian hàm ¯ : R2 , → (R, 0) , α (0, y) = ±y + ∂ α2 (0, 0) y , (y ≤ 0) α|∆|α ∂y 42 Kết luận Với mục đích nghiên cứu tính kì dị chung số hệ ẩn phương trình vi phân cấp mặt phẳng, luận văn trình bày vấn đề sau đây: Trình bày khái niệm bản, điểm kì dị họ đường cong pha cho phôi mặt hệ vẽ hình mô tả số trường hợp điểm kì dị đơn giản điểm nút, điểm yên ngựa, tiêu điểm , định lý sở dạng chuẩn Trình bày tính kì dị chung hệ ẩn cấp đa tạp 2− chiều lên quỹ đạo trơn tương đương cho trường hợp: trường hợp tổng quát trường hợp Clairaut tổng quát Từ đó, phân loại địa phương đưa đến hệ mặt phẳng R2 43 Tài liệu tham khảo [1] Arnol’d V I., Gusejn-Zade S M., Varchenko A N (1986), Singularities of differentiable maps Volume I: The classification of critical points, caustics and wave fronts, Monographs in Mathematics 82, Boston-Basel-Stuttgart, Birkh¨ auser [2] Arnol’d V I., Ilyashenko Yu S (1985), Ordinary Differential Equations, in Mordern Problems in Mathematics, Dynamical Systems 1, Springer, Berlin [3] Arnol’d V I (1988), “Contact structure, relaxational oscillations and singular points of implicit differential equations”, Global analysis – studies and applications II, Lect Note Math., 1334, pp 173 - 179 [4] Damon J (1984), The unfolding and determinacy theorems for subgroups of A and K, Memoirs Amer Math Soc., vol.50, No 306, Amer Math Soc [5] Dara L (1975), “Singularités générique des équations différentielles multiformes”, Bol Soc Brasil Mat 6, pp 95 - 128 [6] Davydov A A (1985), “Normal forms of differential equations unresolved with respect to derivatives in a neighbourhood of ist singular point”, Functional Analysis and its Applications 19, pp - 10 [7] Davydov A A (1988), “The normal form of slow motions of an equation of relaxation type and fibrations of binomial surfaces”, Math USSR, Sb., 60, No.1, pp 133 - 141 [8] Davydov A A., Ishikawa G., Izumiya S., Sun W -Z (2008), “Generic singularities of implicit systems of first order differential equations on the plane”, Japanese Journal of Mathematic, Vol Issue 1, 93 - 119 44 [9] Dufour J P (1989), “Modules pour le families de courbes planes”, Annl Inst Fourier 39, pp 225 - 238 [10] Gibson C G (1979), Singular points of smooth mappings, Research Notes in Mathematics, vol 25 Pitman [11] Goryunov V V (1990), “Projection of generic surfaces with boundaries”, Adv Sov Math., 1, pp 157 - 200 [12] Golubitsky M., Guillemin V (1980), Stable mappings and their singularities, Gradueate Texts in Mathematics, 14 New York, Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag [13] Hayakawa A., Ishikawa G., Izumiya S., Yamaguchi K (1994), “Classification of generic integral diagrams and first order ordinary diferential equations”, International J of Math., 5–4, pp 447 - 489 [14] Izumiya S.(1994), “On Clairaut-type equations”, Publ Math Debrecen, 45, pp 159 - 166 [15] Izumiya S and Kurokawa H (1995), “Holonomic systems of Clairaut type”, Differenl Geometry and Its Applications, 5, pp 219 - 135 [16] Kurokawa Y (1993), “On functional moduli for first order ordinary differential equations”, C.R Acad Sci Paries 317–3, pp 233 - 238 [17] Kuz’min A G.(1992), Nonclassical equations of mixed type and their applications to gas dynamics International Series of Numerical Mathematics, 109, Basel, Birkh¨ auser [18] Martinet J (1982), Singularities of Smooth Functions and Maps, London Math Soc Lecture Note Series, 58, Cambridge Univ Press [19] Mather J N (1973), “Generic projections”, Ann of Math., II Ser., 98, pp 226 - 145 [20] Whitney H (1955), “On singularities of mappings of Euclidean Spaces I Mappings of the plane into the plane”, Ann of Math., II Ser., 62, pp 374 - 410 45 ... 11 1. 4.2 Các điểm kì dị chuẩn tắc 15 1. 4.3 Các điểm kì dị gấp lùi 17 1. 4.4 Các tính kì dị gấp chuẩn tắc 18 ii Phân loại tính kì dị 2 .1 20 Các phương. .. vectơ tổng quát mặt phẳng tính kì dị mô tả phương trình vi phân ẩn cấp tổng quát, có tính kì dị cho phương trình vi phân ẩn ô kì dị Whitney nhúng đến không gian hướng mặt phẳng (Hình 1, 3) Lên quỹ... quan trọng lý thuyết phương trình vi phân cấp mặt phẳng Đối với hệ ẩn phương trình vi phân cấp thông thường mặt phẳng, phân loại địa phương tính kì dị chung họ đường cong pha trình bày đầy đủ lên