vận dụng bảng gợi ý của g. polya hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng

VẬN DỤNG BẢNG GỢI Ý CỦA G.POLYA HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ... nghiên cứu vận dụng bảng gợi ý của Polya trong hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -o0o -

PHẠM THỊ TRÀ MY

VẬN DỤNG BẢNG GỢI Ý CỦA G.POLYA HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS BÙI VĂN NGHỊ

THÁI NGUYÊN - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013

Phạm Thị Trà My

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TS Bùi Văn Nghị, đã tận

tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn:

- Phòng đào tạo sau đại học trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên

- Các thầy cô giáo ở trường ĐHSP Hà Nội, trường ĐHSP Thái Nguyên,

đã hướng dẫn chúng tôi học tập trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

- Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp ở tổ toán cùng với các em học sinh lớp 10A1, 10A2 trường THPT Việt Bắc tỉnh Lạng Sơn đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành đề tài của mình

- Bạn bè và gia đình đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013

Phạm Thị Trà My

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN vi

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích của đề tài 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc luận văn 3

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VIỆC DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 4

1.1 Kỹ năng giải toán 4

1.1.1 Kỹ năng 4

1.1.1.1 Khái niệm kỹ năng 4

1.1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng 5

1.1.1.3 Sự hình thành kỹ năng 5

1.1.2 Kỹ năng giải toán 6

1.1.2.1 Khái niệm 6

1.1.2.2 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT 6

1.1.2.3 Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán 7

1.2 Dạy học bài tập toán học 8

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 8

1.2.2 Các yêu cầu đối với lời giải 9

1.3 Bảng gợi ý của G.Polya 10

1.3.1 Quy trình bốn bước giải bài toán của G.Polya 10

1.3.2 Bảng gợi ý của G.Polya 10

1.4 Các bước giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 11

1.5 Thực tiễn dạy học Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 12

1.5.1 Mục đích yêu cầu của chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 12

1.5.2 Một số nhận xét về tình hình dạy học Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tại một số trường THPT ở tỉnh Lạng Sơn 12

1.6 Một số yêu cầu về bài tập của chương tọa độ trong mặt phẳng 13

1.7 Tóm tắt chương 1 13

Chương 2 VẬN DỤNG BẢNG GỢI Ý CỦA G.POLYA HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 15

2.1 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phương trình đường thẳng 15

2.2 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phương trình đường tròn 26

2.3 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán kết hợp phương trình đường thẳng và đường tròn 42

2.4 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phương trình ba đường cônic 49

2.5 Tóm tắt chương 2 57

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 58

3.1 Mục đích, nội dung, tổ chức thực nghiệm sư phạm 58

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 58

3.1.2 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 58

3.1.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 58

3.1.4 Các giáo án thực nghiệm sư phạm 59

3.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 73

3.2.1 Đánh giá về nội dung 73

3.2.2 Đánh giá về phương pháp dạy học khi thực nghiệm 73

3.2.3 Đánh giá về khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh 73

3.2.4 Kết quả kiểm tra 74

3.3 Tóm tắt chương 3 75

KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

[?] : Câu hỏi gợi ý của giáo viên

[!] : Dự đoán câu trả lời hoặc cách xử lý của học sinh

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Theo Luật Giáo dục Việt Nam năm 2005 [5]: phương pháp giáo dục cần phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Từ đó, mục tiêu dạy học môn Toán là: Trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực; Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS; Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên; Tạo cơ sở để HS tiếp tục học cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động

“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” là một cách nghiên cứu hình học

- Đại số hóa các bài toán hình học Nếu chỉ đơn giản là sử dụng các biểu thức tọa độ để tính toán hoặc chỉ đọc, viết và giải các phương trình đường thẳng, đường tròn thì không khó đối với HS Song nếu phải kết hợp giữa nghiên cứu hình học bằng phương pháp tiên đề (còn gọi là hình học tổng hợp) với phương pháp tọa độ thì không dễ đối với HS

G Polya là một nhà Toán học, nhà sư phạm nổi tiếng, tác giả của những cuốn sách "Giải bài toán như thế nào?", "Sáng tạo Toán học" và "Toán học và những suy luận có lý" Trong quyển sách "Giải bài toán như thế nào?" Ông đã

có nhiều gợi ý hay để tìm lời giải bài toán Những gợi ý đó đã giúp ích rất nhiều cho những người làm toán

Thực tiễn cho thấy có không ít giáo viên khi dạy giải bài tập toán học, chỉ đưa ra lời giải không có sự phân tích để học sinh thấy được người ta đã nghĩ như thế nào mà có được lời giải như thế Đó mới là điều cần cho người học

Đã có một số luận văn nghiên cứu về những đề tài xung quanh việc vận dụng bảng gợi ý của G.Polya Tuy nhiên việc vận dụng bảng gợi ý của G.Polya mỗi người áp dụng cho một nội dung dạy học khác nhau Chưa có đề tài nào

nghiên cứu vận dụng bảng gợi ý của Polya trong hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng

Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: Vận dụng bảng gợi ý của G

Polya hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng

2 Mục đích của đề tài

Đề xuất những hướng dẫn tìm lời giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng theo bảng gợi ý của Polya một cách thích hợp giúp cho HS lớp 10 THPT có kĩ năng giải toán tốt hơn, nâng cao chất lượng dạy học nội dung này ở trường THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận về kĩ năng giải toán, PPDH giải bài tập toán học

- Phân loại, hệ thống hóa các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng, nhằm thuận lợi cho việc đề xuất những hướng dẫn tìm lời giải bài toán theo bảng gợi

ý của Polya

- Đề xuất những hướng dẫn một cách thích hợp giúp cho HS lớp 10 THPT có kĩ năng giải toán về tọa độ trong mặt phẳng tốt hơn

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 Giả thuyết khoa học

Nếu hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng theo bảng gợi ý của Polya một cách thích hợp thì không những giúp HS có kĩ năng giải toán tốt hơn mà còn giúp HS học được cách suy nghĩ tìm phương pháp giải toán dạng này ở trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu các tài liệu lí luận về kĩ năng giải toán, PPDH giải bài tập toán học

- Phương pháp điều tra: Tiến hành tìm hiểu, điều tra về kĩ năng giải toán

về tọa độ trong mặt phẳng lớp 10 THPT

- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số giáo án tại một số trường THPT tỉnh Lạng Sơn nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

6 Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn việc dạy học phương pháp tọa độ

trong mặt phẳng

Chương 2: Vận dụng bảng gợi ý của G.Polya hướng dẫn học sinh tìm lời

giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Kết luận

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VIỆC DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Kỹ năng giải toán

1.1.1 Kỹ năng

1.1.1.1 Khái niệm kỹ năng

“Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn Trong đó khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì”.[1, tr.548]

Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi người để đạt được mục đích Kỹ năng còn có thể được đặc trưng như một thói quen nhất định và là khả năng làm việc có phương pháp

“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận được Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”.[19, tr.99]

Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng:

kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp,…) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động

Trong thực tế dạy học học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể Nguyên nhân là học sinh không nắm vững kiến thức về các khái niệm, các định lí, các quy tắc do đó không trở thành

cơ sở của kỹ năng Bởi vậy để hình thành kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh thì người thầy giáo cần tổ chức cho học sinh giải toán thông qua các hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo Từ đó học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”

1.1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng

Khái niệm kỹ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau:

- Kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức Bởi vì cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mục đích – biết cách thức đi đến kết quả – hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi đó kiến thức phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động

- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: kiến thức, kỹ năng và phương pháp

Trong thực tiễn giảng dạy chúng tôi nhận thấy có nhiều học sinh học thuộc lý thuyết nhưng không vận dụng được lý thuyết đó vào bài tập, không biết lựa chọn định lý nào phù hợp với bài toán mình cần giải Nguyên nhân của hiện tượng đó là kỹ năng chưa được hình thành

1.1.1.3 Sự hình thành kỹ năng

Việc hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài toán

Để hình thành kỹ năng cho học sinh (chủ yếu là kỹ năng học và kỹ năng tính toán) người thầy giáo cần giúp cho học sinh hình thành đường lối chung (khái quát) để giải quyết các đối tượng, các bài toán cùng loại; Xác lập được mối liên hệ giữa những bài toán khái quát và các kiến thức tương ứng

Ví dụ 1: Khi rèn luyện kỹ năng lập phương trình tổng quát (phương trình

tham số) của đường thẳng cần chú ý cho học sinh phải tìm được một điểm thuộc đường thẳng và vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ chỉ phương) của đường thẳng đó Chẳng hạn:

Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm A1 ; 2 và song song với đường thẳng 2x3y 3 0; b) Đi qua hai điểm M1 ; 1 ,  N 3 ; 2;

c) Đi qua điểm P2 ; 1 và vuông góc với đường thẳng x  y 5 0.

Những bài toán dạng này giúp cho học sinh củng cố kỹ năng tìm vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương để từ đó có thể lập được phương trình tổng quát,

phương trình tham số của đường thẳng

Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông, theo lý luận dạy học môn toán cần chú ý: “Trong khi dạy học môn toán cần quan tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khác nhau, đó là:

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán;

- Kỹ năng vận dụng tri thức môn toán vào những môn học khác;

- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống”.[6, tr.19]

1.1.2 Kỹ năng giải toán

1.1.2.1 Khái niệm

Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do

đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó Trong giải toán chúng tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh như sau: “Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)” [3, tr.12]

1.1.2.2 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT

Tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau Để thực hiện tốt môn toán ở trường THPT thì một trong những yêu cầu được đặt ra là: “Về tri thức kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương

pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng Chẳng hạn: tri thức và kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, tri thức và

kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm…”.[7, tr.41] Như vậy việc rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được những yêu cầu sau:

(1) Giúp học sinh hình thành, nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình phổ thông

Trong môn toán có thể kể đến các kiến thức cơ bản sau:

- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán

- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian

- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo (3) Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả các giờ học toán, gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ thị

(4) Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp

1.1.2.3 Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán

Hệ thống kỹ năng giải toán của học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể

Trong giải toán học sinh cần có nhóm kỹ năng sau:

- Nhóm kỹ năng chung

- Nhóm kỹ năng thực hành

- Nhóm kỹ năng về tư duy

1.2 Dạy học bài tập toán học

Nội dung mục này viết dựa theo tư liệu [6, tr.412-415]

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện cả trên

3 bình diện này

Thứ nhất trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:

+) Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ sảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

+) Phát triển năng lực trí tuệ; rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ;

+) Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất của người lao động mới

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác các bài tập như vậy sẽ góp phần

tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học; Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,… Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,…

1.2.2 Các yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt Như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:

i) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian

ii) Lập luận chặt chẽ

iii) Lời giải đầy đủ

iv) Ngôn ngữ chính xác

v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất

vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) là các yêu cầu cơ bản; (v) là yêu cầu về mặt trình bày, còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao

1.3 Bảng gợi ý của G.Polya

1.3.1 Quy trình bốn bước giải bài toán của G.Polya

"Giải bài toán", theo G Polya, không đơn thuần chỉ dừng lại ở việc tìm

ra đáp số, như nhiều học sinh thậm chí cả sinh viên vẫn thường hay hiểu, "Giải bài toán" ở đây bao quát toàn bộ quá trình suy ngẫm, tìm tòi lời giải cũng như

lý giải nguyên nhân phát sinh bài toán, và cuối cùng là phát triển bài toán vừa làm được, hoặc ít ra nêu ra những hướng đi mới trên cơ sở đã hiểu nguồn gốc

từ đâu bài toán phát sinh Đây là những ý chính trong quyển sách "Giải bài toán như thế nào?

Bước 1: Tìm hiểu bài toán

Bước 2: Tìm tòi lời giải bài toán

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Bước 4: Khai thác bài toán

1.3.2 Bảng gợi ý của G.Polya

Sau đây là những gợi ý cho việc tìm lời giải bài toán:

- Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi khác?

- Bạn có biết một định lý, một bài toán liên quan đến bài toán này không?

- Hãy xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ xem có bài toán nào có cùng cái chưa biết không?

- Đây là bài toán mà bạn đã có lần giải nó rồi, bạn có thể áp dụng được gì ở nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào mới áp dụng được?

- Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài toán và nếu cần hãy quay về các định nghĩa?

- Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn? Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào? Từ các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải bài toán? Với giả thiết nào thì bạn có thể giải được bài toán này?

- Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?

1.4 Các bước giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Để giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục tọa độ phù hợp

Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang tọa độ các điểm, phương trình đường thẳng…Ta có thể gọi bước này là bước "phiên dịch" từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ

Bước 3 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên

Bước 4 : Kiểm tra đánh giá kết quả, chuyển ngôn ngữ tọa độ về ngôn ngữ thông thường

Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải toán bằng phương pháp tọa độ

Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B cố định Tìm tập hợp các điểm M sao cho

2

MA MB

Hướng dẫn

Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp

Chọn hệ trục tọa độ Đề-Các vuông góc Oxy như sau : AO(0 ; 0); B(1 ; 0)

Bước 2: "Phiên dịch" bài toán sang ngôn ngữ tọa độ

Giả sử M x y( ; ), giả thiết MA = 2MB, tính MA và 2MB

1.5 Thực tiễn dạy học Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1.5.1 Mục đích yêu cầu của chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Theo sách giáo viên hình học 10 Nâng cao [12, tr.85]:

“Học chương này học sinh phải đạt được các yêu cầu sau:

- Lập được phương trình của đường thẳng, đường tròn, đường cônic khi biết các yếu tố xác định đường đó và ngược lại, từ phương trình của mỗi đường, xác định các yếu tố đặc trưng của nó

- Nhớ và vận dụng được các biểu thức tọa độ để biểu thị một cách chính xác các sự kiện hình học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc đường, vị trí tương đối giữa các đường, tính chất của đường cônic,… Từ tính chất và quan

hệ giữa các hình, củng cố được một số kiến thức đại số như bài toán biện luận

hệ phương trình bậc nhất, bậc hai,…” [12, tr.85]

1.5.2 Một số nhận xét về tình hình dạy học Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tại một số trường THPT ở tỉnh Lạng Sơn

Thực tiễn dạy học cho thấy còn một số học sinh chưa hứng thú học tập tọa độ trong mặt phẳng Khi hỏi về nguyên nhân, các em này cho rằng dạng toán này không có dạng hay, vì chỉ rập khuôn máy móc theo: các biểu thức tọa

độ, các phương trình đường thẳng, các công thức tính toán góc hoặc khoảng cách Cũng có những bài toán tổng hợp, nhưng với sự cho sẵn của hệ trục tọa

độ Oxy, nên chưa phát huy được khả năng sáng tạo cho bộ phận học sinh khá giỏi biết vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo phương pháp tọa độ Một số em chưa hứng thú học tập chương này vì ít thấy ứng dụng vào thực tiễn

Thực tiễn dạy học còn cho thấy: việc chỉ rõ qui trình chuyển hóa: ngôn ngữ tọa độ - ngôn ngữ hình học - ngôn ngữ tọa độ là cần thiết Nếu làm được điều này sẽ khiến cho học sinh thấy rõ hơn ý nghĩa và vai trò của phương pháp tọa độ, sử dụng được thế mạnh của đại số, gây hứng thú học tập cho học sinh

1.6 Một số yêu cầu về bài tập của chương tọa độ trong mặt phẳng

Bằng cách đưa vào mặt phẳng một hệ trục tọa độ, mỗi vectơ, mỗi điểm trên mặt phẳng đó đều được xác định bởi tọa độ của nó Khi đó chúng ta có thể chuyển nhiều bài toán hình học sang bài toán đại số và ngược lại, từ kết quả của đại số suy ra được một số tính chất và mối quan hệ giữa các hình hình học

“Nội dung của chương này bao gồm những kiến thức đơn giản nhất, cơ bản nhất của bộ môn Hình học giải tích phẳng Có thể tạm phân nội dung thành hai mảng:

+) Diễn đạt bằng tọa độ những đối tượng hình học quen thuộc: đường thẳng, đường tròn và biểu thị qua tọa độ các tính chất, quan hệ đơn giản giữa các hình đó

+) Lập phương trình chính tắc của elip, hypebol, parabol và từ các phương trình đó xét tính chất của mỗi đường SGK cũng đề cập đến một số tính chất chung của ba đường: elip, hypebol, parabol để đi đến khái niệm về đường cônic.” [12, tr.85- 86]

1.7 Tóm tắt chương 1

Môn toán là một môn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện óc tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ

Trong chương trình Toán phổ thông, các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng tương đối hay và tương đối khó Vì vậy việc tìm ra phương pháp dạy học tích cực phù hợp với nội dung dạy học sẽ giúp học sinh hứng thú học Toán hơn, hiểu sâu, hiểu kỹ vấn đề hơn

Quá trình giải bài tập toán nói chung, bài tập hình học nói riêng góp phần quan trọng vào việc rèn luyện tư duy độc lập, sáng tạo cũng như nhiều phẩm chất tốt đẹp của người học: tính tích cực, tinh thần kiên trì vượt khó

Thực tiễn dạy học nội dung “Phương pháp Tọa độ trong mặt phẳng” ở trường phổ thông cho thấy còn tồn tại nhiều vấn đề cần được giải quyết

Các nội dung được đề xuất ở chương sau sẽ góp phần khắc phục những vấn đề trên

Chương 2 VẬN DỤNG BẢNG GỢI Ý CỦA G.POLYA HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Bảng gợi ý của G.Polya rất tổng quát, có thể áp dụng chung cho mọi bài toán Những điều trình bày sau là những minh họa chỉ ra sự vận dụng trong những dạng toán cụ thể

2.1 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phương trình đường thẳng

Ví dụ 3: (Bài 20 – tr90 – SGK HH10 – Nâng cao)

Cho hai đường thẳng 1:x2y 3 0, 2: 3x  y 2 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P3 ; 1 và cắt 1, 2 lần lượt ở A , B sao

cho  tạo với 1, 2 một tam giác cân có cạnh đáy là AB

[?]: Sau khi đã dựng được đường thẳng ' 'A B thì đường thẳng  cần dựng,

thỏa mãn thêm điều kiện "đi qua P " sẽ dựng thế nào?

[!]:  qua P và //A B' ' hoặc có thể dựng đường thẳng đi qua P , vuông góc

với đường phân giác góc tạo bởi 1, 2 hoặc là dựng đường thẳng qua P , tạo

A  

  và tìm B x' ; 3x 2 2 sao cho

CA CB suy ra 'B

Đường thẳng qua P , có vectơ chỉ phương A B' '

có phương trình là:

      và ' : 1  2 x 3 y 1 0

Ví dụ 4: (Bài 13 – tr85 – SGK HH10 – Nâng cao)

Trên đường thẳng :x  y 2 0, tìm điểm M cách đều hai

điểm E0 ; 4 và F4 ;9

Hướng dẫn:

- Vẽ hình

[?]: M   thì tọa độ M có dạng gì? Liên hệ giữa tung độ và hoành độ của M ?

[!]: Tọa độ M x x ; 2 hoặc đưa phương trình đường thẳng  về dạng tham

[?]: Điều kiện MEMFgợi ra điều gì?

[!]: Sử dụng công thức khoảng cách hai điểm hoặc M thuộc đường trung trực của EF

t  t  t  t       t2 t2 4t 4 t2 8t 16 121 22  tt2

18t1330 133

18

  t

Tọa độ của điểm M là 133; 97

Ví dụ 5: (Trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A năm 2005)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d x1:  y 0 và

d x  y Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A

thuộc d , đỉnh C thuộc 1 d và các đỉnh B, D thuộc trục hoành 2

Hướng dẫn:

- Vẽ hình

[?]: Hãy phát hiện mối quan hệ giữa A và C với trục Ox Cụ thể hơn: Phép biến

hình nào biến A thành C ? Nếu biết tọa độ A thì có suy ra tọa độ C không?

[?]: Khi biết tọa độ A và C thì suy ra tọa độ B , D như thế nào?

[!]: B , D Ox và IAIBIC ID ; Hoặc B , D là giao điểm của Ox với

hai đường thẳng qua A, tạo với Ox góc 450

Sau khi tìm được A 1 ; 1 và C1 ; 1 

Đường thẳng qua A tạo với Oxgóc 450sẽ có hệ số góc 0

tan 45 1

k     , nên

có phương trình y   x 1 1

[?]: Tạm thời bỏ điều kiện " d cắt đường thẳng  d , 1  d ", viết phương trình 2

đường thẳng đi qua điểm P 3;0 như thế nào?

[!]: Nếu  d //Oy thì phương trình  d là x3, nếu  d có hệ số góc k thì phương trình của  d là : yk x 3

[?]: Sau khi viết được phương trình  d thì có thể giải tiếp bài toán như thế nào? [!]: Giải hệ phương trình để được tọa độ A, B rồi áp dụng công thức khoảng

cách giữa hai điểm?

Hướng dẫn 2:

[?]: Điều kiện A B, thuộc đường thẳng  d và PAPB được thể hiện bằng đẳng thức vectơ nào?

[!]: PA PB Trường hợp 1: PAPB suy ra A trùng B (loại vì A, B phân

biệt) Trường hợp 2: PA PB suy ra P là trung điểm của AB hay

Hướng dẫn 3:

- Vẽ hình

[?]: Nếu gọi I là giao điểm của hai đường thẳng  d , 1  d thì trong tam giác 2

IAB điều kiện PAPB gợi ra mối liên hệ với kiến thức quen thuộc nào?

[!]: Tính chất trung điểm; Đường trung bình tam giác

[?]: Nếu Q là giao điểm của  d với đường thẳng qua P và song song với 2

 d thì quan hệ giữa I , 2 Q và B như thế nào? Khi biết tọa độ I , Q thì có tìm

được tọa độ B không?

[?]: Tìm được tọa độ B vì Q là trung điểm của IB

[?]: Từ đó đã viết được phương trình đường thẳng  d chưa?

[!]: Phương trình đường thẳng  d đi qua hai điểm P và B

Tóm tắt lời giải:

Cách 1:

Trường hợp 1: Nếu  d //Oy thì phương trình  d là x 3, suy ra

3 ; 3 , 3 ; 6

A B  nên trung điểm của AB là M3 ; 1  khác P Vậy trường

hợp này không thỏa mãn

Trường hợp 2: Nếu  d có hệ số góc k thì phương trình của  d là

:yk x 3 Hoành độ giao điểm A của  d và  d là nghiệm của hệ 1

Gọi A a ; 2a2 , B b; b 3  Khi đó P là trung điểm của AB khi và chỉ

khi PA PB (vì A, B phân biệt nên chỉ xảy ra trường hợp này)

với đường thẳng qua P và song song với  d khi đó tọa độ 2

32

Ví dụ 7: (Trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B năm 2007)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2 ; 2) và các đường thẳng d x1:   y 2 0,d2:x  y 8 0 Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt

thuộc d và 1 d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A 2

Hướng dẫn 1:

- Vẽ hình

[?]: Tìm B d1 ,C d2 quy về tìm mấy ẩn?

[!]: Tìm hai ẩn B b ; 2b, C c( ; 8c)

[?]: Hai điểm B và C phải thỏa mãn điều kiện gì để tam giác ABC vuông cân tại A?

[?]: Tam giác ABC cần thỏa mãn những điều kiện nào?

[!]: Thỏa mãn bốn điều kiện sau:

[?]: Có mối liên hệ gì giữa tam giác ABC cần dựng và tam giác AB C' ' vừa dựng được?

[!]: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác AB C' '

[?]: Từ quan hệ trên có thể suy ra cách dựng điểm B (hoặc C) được không? [!]: Từ C' dựng đường thẳng vuông góc với AC', cắt  d tại 2 C Sau đó dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt  d tại B 1

Phương trình đường thẳng  d đi qua A và vuông góc với đường thẳng 4  d 3

Vậy có hai điểm thỏa mãn là C' 3 ; 1 ;  C'' 1 ; 3  

Dễ thấy tam giác ABC đồng dạng với tam giác AB C' '; AB C' '' Nên ta tìm

được điểm B , C thỏa mãn bài toán như sau:

Phương trình đường thẳng  d qua 5 C' 3 ; 1  và vuông góc với đường thẳng

 d là: 2 1.x 3 1 y     1 0 x y 2 0

Điểm C là giao điểm của đường thẳng  d với đường thẳng 5  d Tọa độ 2

điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

2.2 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phương trình đường tròn

Ví dụ 8 : (Bài 48 – tr108 – SBT HH10 – Nâng cao)

Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và

a) Đi qua A2 ; 1 ;

b) Có tâm thuộc đường thẳng 3x5y 8 0

Hướng dẫn:

[!]: Đường tròn  C tiếp xúc với Ox, Oy khi và chỉ khi | | | |a  b  R

[?]: Sau đó bài toán giải tiếp như thế nào?

[!]: Giải hệ điều kiện đường tròn đi qua A2 ; 1  và | | | |a  b  R ta sẽ tìm

được tọa độ tâm I , bán kính R

Hướng dẫn 2:

[?]: Đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ có đặc điểm gì?

[!]: Tâm đường tròn nằm trên đường thẳng y xhoặc y  x, tức là tọa độ tâm

[?]: Từ các dữ kiện đã biết đã viết được phương trình đường tròn chưa?

[!]: Sử dụng điều kiện IAR tìm được tọa độ I , viết được phương trình

Đường tròn  C tiếp xúc với các trục tọa độ có tâm nằm trên đường thẳng

y x hoặc y  x, tức là tọa độ tâm I a a hoặc  ;  I a ;a và bán kính

| |

R a

Vì điểm A2 ; 1  nằm trong góc tọa độ thứ tư nên tâm I cũng thuộc góc tọa

độ này suy ra I a ;a với a0

- Vẽ hình

Hướng dẫn 1:

[?]: Gọi I a b và R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn  ;   C Điều kiện

 C tiếp xúc với Ox, Oy là gì?

[!]: Đường tròn  C tiếp xúc với Ox, Oy khi và chỉ khi | | | |a  b  R

[?]: Tâm I của đường tròn  C thuộc đường thẳng nào?

[!]: Đường thẳng y x hoặc y  x

[?]: Kết hợp điều kiện tâm thuộc đường thẳng 3x5y 8 0 thì tọa độ tâm đường tròn xác định như thế nào?

[!]: Tọa độ tâm là nghiệm của hệ phương trình

[!]: Đường tròn  C tiếp xúc với Ox, Oy khi và chỉ khi | | | |a  b  R

[?]: Tọa độ tâm I thuộc đường thẳng 3x5y 8 0 có dạng như thế nào?

[!]: Đường tròn  C tiếp xúc với Ox, Oy khi và chỉ khi | | | |a  b  R

[?]: Có mối liên hệ nào giữa a và b không?

[!]: Vì I thuộc đường thẳng 3x5y 8 0 nên 3a5b 8 0

[?]: Có thể tìm được tọa độ I chưa?

[!]: Thay ab hoặc a b vào phương trình trên tìm được tọa độ I

Tóm tắt lời giải:

Cách 1:

Đường tròn  C tiếp xúc với Ox, Oy khi và chỉ khi | | | |a  b  R Do đó tâm I

của đường tròn  C thuộc đường thẳng y xhoặc y  x

Vì tâm I thuộc đường thẳng 3x5y 8 0 nên tọa độ tâm là nghiệm của hệ

Đường tròn  C tiếp xúc với Ox, Oy khi và chỉ khi | | | |a  b  R

Tọa độ tâm I thuộc đường thẳng 3x5y 8 0 có dạng 5 ; 3 8

.5

Ví dụ 9 : (Bài 49 – tr108 – SBT HH10 – Nâng cao)

Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm A6 ; 0 và đi qua điểm B9 ; 9

[!]: IAIB hoặc B9 ; 9   C , tìm được tọa độ tâm I , viết được phương

Đường tròn  C tâm I 6;a , bán kính R| |a có phương trình: