Vận dụng phép biện chứng duy vật vào việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán

1. Lý do chọn đề tài Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII khẳng định: “... Phải đổi mới phương pháp Giáo dục Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học...”. Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: “... Tiếp tục nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phương pháp dạy và học...”. Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998) quy định: “... Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn...”. Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tăng cường hoạt động của học sinh là một trong những giải pháp quan trọng nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo. Hoạt động giải toán là hoạt động đặc thù, chủ yếu của học sinh trong dạy học môn toán. Học sinh là đối tượng giáo dục, là chủ thể của quá trình giáo dục, đồng thời thể hiện sản phẩm giáo dục. Đánh giá học sinh là đánh giá hiệu quả dạy học môn toán chủ yếu thông qua khả năng tìm lời giải các bài toán. Kiến thức Đại số lớp 10 có vị trí quan trọng trong chương trình THPT vì nó giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục trung học cơ sở Việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải các bài toán là công việc thường xuyên có ảnh hưởng đến chất lượng dạy học. Phép biện chứng duy vật có vai trò quan trọng trong hoạt động nhận thức. Giáo viên chưa có ý thức lồng ghép vào giờ toán giáo dục tư duy biện chứng để giúp học sinh phát triển nhận thức. Việc vận dụng phép biện chứng duy vật vào tìm lời giải các bài toán có tác dụng lớn trong các khâu định hướng, lựa chọn phương pháp, lựa chọn tri thức công cụ, phát triển các bài toán để có bài toán mới. Đã có một số công trình nghiên cứu việc giải toán và sử dụng kiến thức về phép biện chứng duy vật vào tìm lời giải các bài toán như: G.Polya 36, 37 38; Nguyễn Thái Hoè 20; Nguyễn Cảnh Toàn 53. Nhận thấy đây là một vấn đề có tác dụng lớn đối với dạy học môn toán và còn cần phải tiếp tục nghiên cứu nên chúng tôi chọn đề tài luận văn là “Vận dụng phép biện chứng duy vật vào việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán (thể hiện qua giải toán Đại số lớp 10 THPT)”. 2. Mục đích nghiên cứu Đề xuất các biện pháp sư phạm để hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng hợp một số kiến thức về phép biện chứng duy vật có thể vận dụng trong dạy học môn toán. Nghiên cứu các định hướng, vận dụng kiến thức về phép biện chứng duy vật vào việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số lớp 10 THPT. 4. Phương pháp nghiên cứu 4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phép biện chứng duy vật, một số tài liệu sách, báo về toán học và dạy học môn toán. 4.2. Phương pháp nghiên cứu thực tế Điều tra, khảo sát thực tế dạy học toán trung học phổ thông. 4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất. 5. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở chương trình sách giáo khoa hiện hành, nếu trong dạy học giải toán giáo viên vận dụng kiến thức về phép biện chứng duy vật hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập toán thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học và góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy toán ở trường trung học phổ thông. 6. Những đóng góp của luận văn 6.1. Về mặt lý luận Hệ thống hoá cơ sở khoa học của việc vận dụng các kiến thức về phép BCDV vào việc tìm lời giải bài toán nhằm nâng cao chất lượng dạy học. Đưa ra các biện pháp luyện tập hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán thể hiện qua dạy học giải toán đại số 10 THPT. 6.2. Về mặt thực tiễn Xây dựng được một tài liệu hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số lớp 10 THPT . 7. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương. Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2. Một số biện pháp nhằm vận dụng phép BCDV Vào việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số lớp 10 THPT Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

bïi thÞ thanh thñy

VËn dông phÐp biÖn chøng duy vËt vµo viÖc

híng dÉn häc sinh t×m lêi gi¶i bµi to¸n (thÓ hiÖn qua gi¶i to¸n §¹i sè líp 10 THPT)

luËn v¨n th¹c sÜ gi¸o dôc häc

Vinh - 2009

bïi thÞ thanh thñy

VËn dông phÐp biÖn chøng duy vËt vµo viÖc

híng dÉn häc sinh t×m lêi gi¶i bµi to¸n (thÓ hiÖn qua gi¶i to¸n §¹i sè líp 10 THPT)

Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn khoa học của Thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, đã trực tiếp giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán, trờng

Đại Học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện Luận văn.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô, Khoa Sau đại học, Đại Học Vinh Sở Giáo dục và Đào tạo

Hà Tĩnh, Ban Giám Hiệu cùng các bạn bè đồng nghiệp trờng THPT Bán công Thạch Hà, đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin gửi tới tất cả ngời thân và các bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đợc và biết ơn các ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn.

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

Mở đầu 1

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 4

1.1 Những định hớng đổi mới phơng pháp dạy học môn toán 4

1.2 Các hoạt động t duy phổ biến trong quá trình giải toán 7

1.2.1 Phân tích tổng hợp 8

1.2.2 Khái quát hóa và trừu tợng hóa 15

1.2.2.1 Khái quát hóa 15

1.2.2.2 Trừu tợng hóa 17

1.2.2.3 Đặc biệt hóa 20

1.2.2.4 So sánh, tơng tự 21

1.3 Hoạt động giải toán của học sinh 26

1.3.1 Chức năng của bài toán 26

1.3.2 Hoạt động giải toán của học sinh 28

1.4 Một số kiến thức về phép biện chứng duy vật 36

1.4.1 Các khái niệm 36

1.4.2 Các cặp phạm trù và vai trò của phép biện chứng duy vật trong hoạt động nhận thức 38

1.4.2.1 Cái riêng, cái chung và cái đơn nhất 38

1.4.2.2 Nguyên nhân và kết quả 41

1.4.2.3 Tất nhiên và ngẫu nhiên 42

1.4.2.4 Nội dung và hình thức 43

1.4.2.5 Bản chất và hiện tợng 44

1.4.2.6 Khả năng và hiện thực 44

1.5 Thực trạng dạy học giải toán ở trờng THPT 45

1.6 Kết luận chơng 1 47

2.1 Tổng quan về chơng trình môn toán lớp 10 THPT 48

2.1.1 Các mục tiêu dạy học toán lớp 10 THPT 48

2.1.2 Hệ thống kiến thức Đại số lớp 10 THPT 49

2.1.3 Các loại toán điển hình về Đại số lớp 10 THPT 50

2.1.3.1 Loại toán có sẵn thuật toán 50

2.1.3.2 Loại toán phức hợp 57

2.1.3.3 Loại toán không mẫu mực 60

2.2 Vận dụng kiến thức phép biện chứng duy vật vào việc hớng dẫn học sinh tìm lời giải toán Đại số 10 THPT 64

2.2.1 Định hớng chung 64

2.2.1.1 Định hớng 1 64

2.2.1.2 Định hớng 2 65

2.2.1.3 Định hớng 3 66

2.2.1.4 Định hớng 4 67

2.2.2 Các biện pháp s phạm 69

2.2.2.1 Biện pháp 1: Trong quá trình giải toán hớng dẫn học sinh thấy nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và bản chất của đối t-ợng trong bài toán, tìm ra mối quan hệ biện chứng giữa chúng .69

2.2.2.2 Biện pháp 2: Xét bài toán theo những cách nhìn khác nhau để tìm ra cách giải khác nhau nhằm vận dụng linh hoạt các cặp phạm trù của phép BCDV 77

2.2.2.3 Biện pháp 3: Phân tích làm rõ sự phát triển lời giải các bài toán .80

2.2.2.4 Biện pháp 4: Tập cho học sinh biết tìm tòi phát hiện lời giải các bài toán dựa vào các quy luật, các cặp phạm trù của phép BCDV .84

2.2.2.6 Biện pháp 6: Trong quá trình dạy học giải bài tập toán cần coi

trọng việc phân tích những sai lầm mà học sinh thờng mắc

phải để góp phần điều chỉnh thế giới quan duy vật biện chứng

cho học sinh 96

2.3 Vận dụng kiến thức về phép biện chứng duy vật vào việc bồi dỡng một số yếu tố t duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán Đại số 10 THPT 101

2.3.1 Bồi dỡng t duy linh hoạt 101

2.3.2 Bồi dỡng t duy độc lập 107

2.3.3 Bồi dỡng t duy phê phán 108

2.3.4 Bồi dỡng khả năng phát triển bài toán 109

2.4 Kết luận chơng 2 116

Chơng 3 Thực nghiệm s phạm 117

3.1 Mục đích thực nghiệm 117

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 117

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 117

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 117

3.3 Kết quả thực nghiệm 120

3.3.1 Đánh giá định tính 120

3.3.2 Đánh giá định lợng 121

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 122

Kết luận chung của luận văn 123

Tài liệu tham khảo 124

mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết Trung ơng 2 khóa VIII khẳng định: “ Phải đổi mới phơngpháp Giáo dục - Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thànhnếp t duy sáng tạo cho ngời học, từng bớc áp dụng các phơng pháp tiên tiến,hiện đại vào quá trình dạy học ”

Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: “ Tiếptục nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phơng pháp dạy

và học ”

Luật Giáo dục nớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)quy định: “ Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tựgiác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thứcvào thực tiễn ”

Đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng tăng cờng hoạt động của họcsinh là một trong những giải pháp quan trọng nhằm nâng cao hiệu quả giáodục và đào tạo

Hoạt động giải toán là hoạt động đặc thù, chủ yếu của học sinh trongdạy học môn toán Học sinh là đối tợng giáo dục, là chủ thể của quá trìnhgiáo dục, đồng thời thể hiện sản phẩm giáo dục Đánh giá học sinh là đánhgiá hiệu quả dạy học môn toán chủ yếu thông qua khả năng tìm lời giải cácbài toán

Kiến thức Đại số lớp 10 có vị trí quan trọng trong chơng trình THPT vì

nó giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục trung họccơ sở

Việc hớng dẫn học sinh tìm lời giải các bài toán là công việc thờngxuyên có ảnh hởng đến chất lợng dạy học

Phép biện chứng duy vật có vai trò quan trọng trong hoạt động nhậnthức Giáo viên cha có ý thức lồng ghép vào giờ toán giáo dục t duy biệnchứng để giúp học sinh phát triển nhận thức

Việc vận dụng phép biện chứng duy vật vào tìm lời giải các bài toán cótác dụng lớn trong các khâu định hớng, lựa chọn phơng pháp, lựa chọn tri thứccông cụ, phát triển các bài toán để có bài toán mới

Đã có một số công trình nghiên cứu việc giải toán và sử dụng kiến thức

về phép biện chứng duy vật vào tìm lời giải các bài toán nh: G.Polya [36],[37] [38]; Nguyễn Thái Hoè [20]; Nguyễn Cảnh Toàn [53]

Nhận thấy đây là một vấn đề có tác dụng lớn đối với dạy học môn toán

và còn cần phải tiếp tục nghiên cứu nên chúng tôi chọn đề tài luận văn là

Vận dụng phép biện chứng duy vật vào việc h

bài toán (thể hiện qua giải toán Đại số lớp 10 THPT)”.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất các biện pháp s phạm để hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toánnhằm góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tổng hợp một số kiến thức về phép biện chứng duy vật có thể vậndụng trong dạy học môn toán

- Nghiên cứu các định hớng, vận dụng kiến thức về phép biện chứngduy vật vào việc hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số lớp 10 THPT

4 Phơng pháp nghiên cứu

4.1 Phơng pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phép biện chứng duy vật, một sốtài liệu sách, báo về toán học và dạy học môn toán

5 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở chơng trình sách giáo khoa hiện hành, nếu trong dạy họcgiải toán giáo viên vận dụng kiến thức về phép biện chứng duy vật hớng dẫnhọc sinh tìm lời giải bài tập toán thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học và góp phần

đổi mới phơng pháp giảng dạy toán ở trờng trung học phổ thông

6 Những đóng góp của luận văn

6.1 Về mặt lý luận

- Hệ thống hoá cơ sở khoa học của việc vận dụng các kiến thức về phépBCDV vào việc tìm lời giải bài toán nhằm nâng cao chất lợng dạy học.

- Đa ra các biện pháp luyện tập hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toánthể hiện qua dạy học giải toán đại số 10 THPT

6.2 Về mặt thực tiễn

Xây dựng đợc một tài liệu hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại sốlớp 10 THPT

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có

3 chơng

Chơng 1 Cơ sở lý luận v thực tiễn à thực tiễn

Chơng 2 Một số biện pháp nhằm vận dụng phép BCDV Vào

việc hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số lớp

10 THPT Chơng 3 Thực nghiệm s phạm

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Những định hớng đổi mới phơng pháp dạy học môn toán

Nghị quyết Trung ơng 2 khóa VIII khẳng định: “ Phải đổi mới phơngpháp Giáo dục - Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thànhnếp t duy sáng tạo cho ngời học, từng bớc áp dụng các phơng pháp tiên tiến,hiện đại vào quá trình dạy học ”

Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: “ Tiếptục nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phơng pháp dạy

và học ”

Luật Giáo dục nớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:

"Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tduy sáng tạo của ngời học; bồi dỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ýchí vơn lên" (Luật Giáo dục 1998, Chơng I, Điều 4)

"Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,chủ động, t duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thứcvào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập củahọc sinh" (Luật Giáo dục 1998, Chơng I, Điều 24) [28, tr.113]

ở nớc ta, t tởng chỉ đạo công cuộc đổi mới phơng pháp dạy học từ mộtvài năm gần đây đợc phát biểu với nhiều thuật ngữ nh: Tích cực hoá hoạt độnghọc tập, hoạt động hoá ngời học, lấy ngời học làm trung tâm Với t tởng đó,

định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho ngời học họctập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo

Định hớng đó bao hàm các ý tởng đặc trng sau:

- Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, bảo đảm tính tự giác, tích cực, chủ

động và sáng tạo của hoạt động học tập đợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lu.

Ngời học là chủ thể kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái

độ chứ không phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo lệnh của thầy giáo.Với định hớng “hoạt động hoá ngời học”, vai trò chủ thể của ngời học đợckhẳng định trong quá trình họ học tập trong hoạt động và bằng hoạt động củabản thân mình [28, tr.115]

- Tri thức đợc cài đặt trong những tình huống có dụng ý s phạm

Theo chủ nghĩa kiến tạo trong tâm lý học, học tập là một quá trìnhtrong đó ngời học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với môitrờng sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và những sự mất cân bằng

Tuy nhiên, nh nhiều nhà lý luận dạy học của pháp khẳng định, một môitrờng không có dụng ý s phạm là không đủ để chủ thể (học sinh) kiến tạo đợctri thức theo yêu cầu mà xã hội mong muốn Vì vậy, điều quan trọng là thiếtlập những tình huống có dụng ý s phạm để ngời học học tập trong hoạt động,học tập bằng thích nghi [28, tr.117]

- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.

Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trìnhhọc tập, ở tri thức và kỹ năng bộ môn, mà điều quan trọng hơn là ở bản thânviệc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quátrình học tập một cách hiệu quả [28, tr.117-118]

- Tự tạo và khai thác những phơng tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng

sức mạnh của con ngời

Phơng tiện dạy học, từ tài liệu in ấn và những đồ dùng dạy học đơn giảntới những phơng tiện kĩ thuật tinh vi nh thiết bị nghe nhìn, công nghệ thông tin

và truyền thông, giúp thiết lập những tình huống có dụng ý s phạm, tổ chứcnhững hoạt động và giao lu của thầy và trò [28, tr.119]

- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân ngời học

Hoạt động học tập tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo một mặt đòi hỏi

và mặt khác tạo ra niềm vui Niềm vui này có đợc bằng nhiều cách khác nhau

nh động viên, khen thởng v.v , nhng quan trọng nhất vẫn là niềm lạc quandựa trên lao động và thành quả lao động và thành quả học tập của bản thân ng-

ời học Giải đợc một bài tập, phát hiện ra một điều mới khơi nguồn cảm hứngcho học sinh Cho nên tổ chức cho học sinh học tập tự giác, tích cực, chủ động

và sáng tạo gắn liền với việc tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động vàthành quả của bản thân ngời học [28, tr.120]

- Xác định vai trò mới của ngời thầy với t cách ngời thiết kế, uỷ thác,

điều khiển và thể chế hoá.

Hoạt động hoá ngời học dễ dẫn tới việc ngộ nhận về sự giảm sút vai tròcủa ngời thầy

Một mặt, cần phải hiểu rằng hoạt động hoá ngời học, sự xác lập vị tríchủ thể của ngời học không hề làm suy giảm, mà ngợc lại còn nhằm nâng caovai trò, trách nhiệm của ngời thầy

Mặt khác, sẽ là bảo thủ nếu cho rằng tính chất, vai trò của ngời thầy vẫn

nh xa Trong khi khẳng định vai trò của thầy không suy giảm, cần phải thấyrằng tính chất của vai trò này đã thay đổi: Thầy không phải là nguồn phát tinduy nhất, thầy không phải là ngời ra lệnh một cách khiên cỡng, thầy khôngphải là ngời hoạt động chủ yếu ở hiện trờng Vai trò, trách nhiệm của thầy bâygiờ quan trọng hơn, nặng nề hơn, nhng tế nhị hơn, cụ thể là:

+) Thiết kế: Lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học về mặt mục tiêu,nội dung, phơng pháp, phơng tiện và hình thức tổ chức

+) Uỷ thác: phải biến đợc ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ tự nguyện,

tự giác của trò, là chuyển giao cho trò không phải những tri thức dới dạng cósẵn mà là những tình huống để trò hoạt động và thích nghi

+) Điều khiển: Động viên, hớng dẫn trợ giúp và đánh giá

+) Thể chế hoá: đánh giá hoạt động học tập của học sinh, xác định vị tríkiến thức trong hệ thống tri thức đã có và hớng dẫn khả năng vận dụng kiếnthức đó [28, tr.122]

1.2 Các hoạt động t duy phổ biến trong quá trình giải toán

Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn, hoạt động t duychỉ diễn ra trong tình huống có vấn đề, khái niệm mà ta thờng dùng để chỉ cácmâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét một cách nôm na, ta thờng gọi làbài toán Bài toán bao gồm hai hệ thống thông tin, hai bộ phận luôn mâu thuẫnvới nhau nhng luôn có những liên hệ gắn bó với nhau Bộ phận thứ nhất là

điều kiện

“ ” bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách t ờng minhhoặc tiềm ẩn Tức là điều kiện có liên quan đến bài toán sẽ biểu hiện sau

những biến đổi nhất định Bộ phận thứ hai là yêu cầu“ ” gồm những thông tin

mà bài toán đòi hỏi phải tìm Quá trình giải bài toán là hoạt động trí óc gồmnhững thao tác đa dạng, phức tạp nhng xét đến cùng luôn là sự phân tích,tổng hợp, so sánh, đối chiếu các điều kiện với các yêu cầu của bài toán; phântích, lý giải các mối liên hệ đã có để giải quyết những mâu thuẫn giữa điềukiện và yêu cầu Quá trình phân tích, lý giải này sẽ dẫn t duy đến những mốiliên hệ mới Cứ nh thế mà dần dần làm sáng tỏ yêu cầu cần đạt của bài toán

Thông tin cần cho việc giải bài toán còn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc

lý giải thông qua các thao tác t duy, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện ờng minh hay tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán Việc khám phá dần dầncác điều kiện tiềm ẩn cũng chính là quá trình chứng minh, bổ sung hoàn chỉnhhoặc bác bỏ giả thuyết ban đầu, bởi vì nhờ các hoạt động đó mà t duy có thểnhìn thấy rõ hơn mối liên hệ thực giữa điều kiện và yêu cầu Nó sẽ giúp tathấy đợc con đờng đi tới mục đích mà yêu cầu đặt ra là đúng hớng

t-“Tiêu biểu cho t duy là quá trình phân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đềxuất những giả thuyết, những ý niệm, kết quả của quá trình t duy bao giờcũng là một ý nghĩ nào đó Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của

t duy đợc biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgic chứng minh của con ời” Hoạt động t duy của con ngời luôn hớng vào giải quyết một vấn đề, hoặclàm sáng tỏ điều nào đó mà họ có mong muốn cần hiểu biết

ng-Trong quá trình dạy học, việc rèn các hoạt động trí tuệ cho học sinh cầntập trung chú ý tới việc rèn luyện các hoạt động t duy cơ bản Đó là nhữnghoạt động trí tuệ thờng gặp trong dạy học Toán ở nhà trờng phổ thông

Xuất phát từ yêu cầu thời gian và phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi đi sâu vào việc tìm hiểu các hoạt động trí tuệ cơ bản sau:

1.2.1 Phân tích và tổng hợp

Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác t

duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng

khác nhau của các quá trình đó Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua

bộ môn Toán, giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả

năng phân tích và tổng hợp.

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận Tổng hợp là nhìn

bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các

bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trờng xung quanh.Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phơng h-ớng cho sự phân tích tiếp theo [53, tr 122]

Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán họccủa học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp HSnắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [8, tr 15]

Theo M N Sácđacốp thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ

phận của những sự vật hoặc hiện tợng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộctính của chúng, cũng nh các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hớngnhất định Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng

đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính nh vậy mới nhận thức đợc một cách trọn vẹn

các sự vật và hiện tợng Tổng hợp (cộng) là sự tổng hợp sơ đẳng, nhờ đó mà

các bộ phận của một toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các

bộ phận đó Ông cho rằng; sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kếtmáy móc các bộ phận thành một chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổngcộng các bộ phận của một toàn thể Sự tổng hợp chân chính là một hoạt động

t duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biếtmới nào đó về hiện thực

Nh vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngợc nhng lại

là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bảncủa quá trình t duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảngcủa phân tích và tổng hợp Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không tầmthờng) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện và giảiquyết vấn đề

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau Chúng là hai

mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổnghợp, phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó Vì phântích cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên

hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy Phân tích một cái toàn thể là con đờng đểnhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn Sự thống nhất của quá trình phân tích -tổng hợp còn đợc thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hớngcho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phântích là cái toàn thể ban đầu đợc nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2) Nh vậy,

phân tích và tổng hợp theo con đờng: tổng hợp 1 - phân tích - tổng hợp 2 Các

thao tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ của con ngời

Trong giải toán, học sinh thờng phải thực hiện các thao tác phân tích,

tổng hợp xen kẽ với nhau Bằng gợi ý của G Pôlya viết trong tác phẩm Giải“

bài toán nh thế nào” đã đa ra quy trình 4 bớc để giải bài toán Trong mỗi bớc

tác giả đã đa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liêntiếp, đan xen nhau để thực hiện đợc 4 bớc của quá trình giải toán Có thể thấytrong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thờng gắn bó khăng khít với

Định h ớng tìm tòi lời giải bài tập

Nội dung và hình thức của bài toán

Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng và kinh nghiệm giải

Nhận thức đềđPhân tích kđ chọn lựa hoặc bác bỏ

H ớng thứ k

Chọn lựa đ ợc h ớng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đa ra lời giải của

bài tập

nhau Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) và trong quátrình tổng hợp phải có sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic và tính định hớngcủa quá trình tổng hợp) Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cầnphải giải (Bài tập này do thầy giáo đặt ra, do chơng trình học tập yêu cầu, dohọc sinh biết đợc trong quá trình tự học vv ) chỉ có hữu hạn các phơng phápgiải, các phơng pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiếnthức đã đợc học, kiến thức tự tích luỹ ) của học sinh vì thế bản chất của thaotác giải một bài tập toán của học sinh thờng là:

Do vậy việc rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh qua việc giải bàitập nhất thiết phải đợc tiến hành thông qua sự phân loại học sinh Không có

một cách rèn luyện“ ” nào phù hợp cho mọi đối tợng, thậm chí có những quátrình phân tích - tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh

này nhng lại vô nghĩa “ ” với học sinh khác Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tợng, nghiêncứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự giáo viên phải phân tích kĩ một bài tập trớckhi hớng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán làrất quan trọng Dới đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:

cosA + cosB + cosC

2

3

Định h ớng tìm tòi lời giải bài tập

Nội dung và hình thức của bài toán

Vốn kiến thức Toán học,

kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán

Nhận thức đềđPhân tích kđ chọn lựa hoặc bác bỏ

H ớng thứ k

Chọn lựa đ ợc h ớng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đ a ra lời giải

của bài tập

- Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos

Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức

cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos

- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải:

Theo G Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là 2 động tác quan trọng của trí

óc Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy Những chi tiết quá nhiều vàquá nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩ, không tập trung vào điểm căn bản Đó là tr-ờng hợp của một ngời chỉ thấy cây mà không thấy rừng Trớc hết, phải hiểubài toán nh một cái toàn bộ Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xemxét những điểm chi tiết nào là căn bản Ta phải nghiên cứu thật sát và phânchia bài toán thành từng bớc và chú ý, không đi quá xa khi cha cần thiết” [36,

tr 74]

Khi bài toán cần giải đã đợc hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõgiả thiết kết luận), đã tìm hiểu đợc mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vào chitiết Đặc biệt nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện xahơn nữa việc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn

Ví dụ 2 Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:

x2  2mx m 2  4 2  x 2 (1)

Đây là bài toán tìm m để bất phơng trình thỏa mãn yêu cầu bài toánkhông mấy dễ dàng đối với học sinh mới học, mà đòi hỏi một khả năng vận

dụng thành thạo kỹ năng phân tích bằng cách vận dụng ''

2

0 0

đúng  x 1, tức là (2) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2  1 Điều đó xảy

Đối với một bài toán trong đó có giả thiết và kết luận thì sự phân tíchphải hớng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lôgic nối giả thiết với kếtluận Trong Toán học, thờng đợc sử dụng hai phép phân tích:

* Phép phân tích đi lên (suy ngợc lùi): Tức là muốn chứng minh A thì ta

chỉ cần chứng minh A1, muốn chứng minh A1 thì ta chỉ cần chứng minh A2,…,,cuối cùng muốn chứng minh An-1 thì ta chỉ cần chứng minh An Khi A n là điều

đã biết (tiên đề, định nghĩa, định lí…,) thì dừng lại Theo tam đoạn luận có

điều kiện vì An đúng nên A đúng (thực tế là cả một dãy tam đoạn luận có điềukiện)

Ta có sơ đồ sau:

Phép phân tích đi lên thờng đợc dùng để tìm lời giải

Về phép phân tích đi lên, loài ngời đã biết từ cách đây từ 300 năm trớc

Công nguyên, bắt đầu từ Hy lạp, với phát biểu của Pappus trong cuốn “Nghệ

thuật giải toán”, Pappus nói: “Ta muốn đạt đợc kết quả mong muốn thì phải

đi từ kết quả đó, rồi muốn đạt đợc kết quả này thì phải đi từ kết quả trớc nữa … cho đến cuối cùng ta tìm đ cho đến cuối cùng ta tìm đ ợc một điều đã biết hay đã đợc công nhận là

đúng” Ta gọi đó là quá trình phân tích đi lên hay lí luận giật lùi (suy ngợc

lùi) Để vận dụng phép phân tích đi lên, Platon đề ra bài toán: Làm thế nào“

để mang 6 lít nớc từ sông về nếu trong tay chỉ có 2 loại thùng, một thùng 4 lít

Trong A còn

6 lít mang về

Trong giải Toán, phân tích là một bớc hết sức quan trọng Qua phân tích

ta tìm đợc phơng án giải bài toán Trong bớc phân tích, ta cần xác định đợcmối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố phải tìm

* Phép phân tích đi xuống (suy ngợc tiến): Đợc diễn đạt nh sau:

Giả sử có A, từ A ta suy ra A1, tức là A  A1, từ A1 ta suy ra A2 tức là

A1  A2, , An  An-1  An Khi gặp An là phán đoán sai thì dừng lại vì khi

liên t ởng liên t ởng

đó chắc chắn là A sai theo bảng chân lí của phán đoán có điều kiện Còn An

đúng thì cha có thể kết luận gì đợc vì A có thể sai hoặc đúng

Trong quá trình dạy học giáo viên cần hớng dẫn học sinh dùng phép suyngợc để tìm lời giải, dùng phép suy xuôi để trình bày lời giải

Ví dụ 3 CMR: a3 + b3 > a2b +ab2 với a, b R+ và a b

Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a3 + b3 suy

ra nó lớn hơn a2b + ab2 là điều không dễ Do đó giáo viên có thể hớng dẫn họcsinh kết hợp với phép phân tích để tìm lời giải:

a3 + b3 = (a+b) (a2 - ab +b2) = (a+b)[ (a - b)2 + ab]

= (a+b) (a - b)2 + (a+b)ab > (a+b)ab = a2b +ab2 (đpcm)Khi giải toán, trớc tiên phải nhìn bao quát xem bài toán thuộc loại gì,phải phân tích cái đã cho, cái phải tìm Đó là việc xem xét, nghiên cứu bàitoán đã cho Mấu chốt vấn đề ở đây là cách nhìn bài toán Phải biết cách nhìnbài toán dới dạng chính quy mẫu mực Đây là cách nhìn chủ yếu vào đặc điểmchủ yếu của bài toán Cách nhìn này giúp ta phát hiện đợc các điểm cơ bản,

đơn giản nếu không bị che khuất bởi những hình thức rắc rối Tuy nhiên, lạiphải biết cách nhìn bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ Đồng thời cũng phảiluyện tập thờng xuyên, ngời giải mới biết cách khai thác hết mọi khía cạnhbiểu hiện tinh vi của bài toán, mới có đợc những điều muốn nói của các con

số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài toán Với bài toán đại

số nhng lại phải liên tởng đến chẳng hạn phạm vi lợng giác, hình học, và

ng-ợc lại

1.2.2 Khái quát hoá và trừu tợng hoá

1.2.2.1 Khái quát hoá

Theo G Pôlia, “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp

đối tợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợpban đầu” [37, tr 21]

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp

đối tợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một

số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [28, tr 46].

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đếnphơng pháp t duy khái quát Đúng nh Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói:

“Chỉ khi trí tuệ của con ngời tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì conngời mới có thể hiểu đợc nó” Không có khái quát thì không có khoa học;không biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát là khả nănghọc tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặcbiệt

Ví dụ, khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức sang việcnghiên cứu những đa thức bậc tuỳ ý Hoặc khái quát hoá khi chuyển từ việcnghiên cứu hệ thức lợng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu những hệthức lợng trong tam giác thờng

ở ví dụ 1, khái quát hoá đợc thực hiện bằng cách loại bỏ điều kiện mộtgóc của tam giác bằng 900 để nghiên cứu những tam giác với góc tuỳ ý

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì

những dạng khái quát hoá thờng gặp trong môn Toán đợc biểu diễn bằng sơ

đồ sau:

Với sự biểu diễn nh trên, ta thấy rằng có 2 con đờng khái quát: Con ờng thứ nhất trên cơ sở so sánh những trờng hợp riêng lẻ, con đờng thứ 2không dựa trên so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tợng trong mộtloạt hiện tợng giống nhau Có thể nói rằng, khái quát hoá là một thông sốquan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của t duy, là cơ sở duy nhất để phânbiệt giữa t duy lý luận và t duy kinh nghiệm, năng lực khái quát hoá ở mỗi conngời luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập, nghiên cứu; khi đợcphát triển đến mức độ cao chính năng lực này sẽ giúp mỗi con ngời tách đợccái chung, cái bản chất, những mối liên hệ bên trong của tài liệu nghiên cứu,học tập bằng con đờng phân tích chỉ một sự kiện điển hình mà thôi Bằng con

đ-Khái quát hoá

Khái quát hóa từ cái riêng

lẻ đến cái tổng quát quát đến cái tổng quát hơnKhái quát hoá từ cái tổng

Khái quát hoá tới cái

tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát ch a biết

đờng đó con ngời sẽ tiết kiệm thời gian sức lực của mình, biết cách khám phácác tri thức khoa học bằng những phơng pháp tối u.

Nh vậy, khái quát hoá là thao tác t duy nhằm phát hiện những quy luậtphổ biến của một lớp các đối tợng hoặc hiện tợng từ một số các trờng hợpriêng lẻ Với nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý nên cáckết luận đợc rút ra từ khái quát hoá thờng mang tính chất giả thuyết, dự đoán.Bởi nếu khẳng định chắc chắn thì đã là chứng minh rồi

Chúng ta thờng khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đốitợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tợng đó Tổng quát hoámột bài toán thông thờng là sự mở rộng bài toán đó

Trở lại ví dụ 1 từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của

một tam giác thì: cosA + cosB + cosC

  

 ( a i o; với mọi i = 1,2,…,,n).Trong dạy học toán có nhiều tình huống liên quan đến hoạt động kháiquát hoá

Ví dụ:

- Khái quát hoá để hình thành khái niệm;

- Khái quát hoá để hình thành định lý;

- Khái quát hoá các bài toán Toán học;

- Khái quát hoá để hình thành phơng pháp giải lớp các bài toán;

- Khái quát hoá hớng suy nghĩ giải bài tập toán.

1.2.2.2 Trừu tợng hoá

Theo Nguyễn Bá Kim: “Trừu tợng hoá là sự nêu bật và tách những đặc

điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất” Chẳng hạn trừu tợnghoá mệnh đề: “Bình phơng của một số âm là một số dơng” học sinh phải tách

đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2 để đợc mệnh đề: “luỹ thừabậc chẵn của một số âm là một số dơng”

Hoàng Chúng cho rằng: Trừu tợng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽvới nhau Nhờ trừu tợng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sựvật sâu sắc hơn Và ngợc lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách đ-

ợc những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã

trừu tợng hoá Trừu tợng hoá là một hoạt động của t“ duy”, hoạt động này của

bộ não con ngời có thể hớng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung vànói riêng là của Toán học ở đây chúng ta chỉ bàn đến việc trừu tợng hoá mộtbài tập Đại số trong quá trình rèn luyện các thao tác t duy thông qua việc giảibài tập nh thế nào mà thôi

Không có khái quát hoá và trừu tợng hoá thì không thể có kiến thức vàtri thức lí thuyết đợc Khi trừu tợng hoá, chúng ta tách ra cái chung trong các

đối tợng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cáiriêng phân biệt đối tợng này với đối tợng khác, không chú ý tới những cáiriêng này Chẳng hạn từ những kết quả cụ thể: Hình chữ nhật có giao của 2 đ-ờng chéo là trung điểm của mỗi đờng Hình vuông cũng có 2 đờng chéo giaonhau tại trung điểm của mỗi đờng Hình thoi cũng có kết quả tơng tự Tất cả 3hình kể trên đều là hình bình hành Từ đó ta có thể tách một đặc điểm chung

của các hình trên và có mệnh đề khái quát sau: “Trong một hình bình hành

các đờng chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đờng”.

Học sinh cũng thờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những

điều kiện cụ thể mới, thờng là do phải chuyển từ t duy cụ thể sang t duy trừu ợng, tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất làm mờnhạt, che lấp cái chung, tạo ra cái hố ngăn cánh giữa cái cụ thể và cái trừu t-ợng Có thể giúp học sinh khắc phục khó khăn đó bằng cách dùng sơ đồ, hình

t-vẽ Nhờ sự kết hợp đợc cả hai mặt cụ thể và trừu tợng trong bản thân nó, sơ đồ

có thể giúp làm cầu nối“ ” khi chuyển từ t duy cụ thể sang t duy trừu tợng vàngợc lại

Chẳng hạn ta xét bài toán: Một con cá nặng bao nhiêu, nếu đuôi của“

nó nặng 4kg, đầu nặng bằng đuôi cộng với một nửa thân, thân nặng bằng đầu cộng với đuôi?”.

Mối quan hệ giữa khối lợng của đuôi, đầu và thân cá khá rối đối với họcsinh Tuy nhiên, bài toán có thể giải khá gọn bằng cách dùng sơ đồ đoạn thẳng

Gọi Đ, đ và T lần lợt là khối lợng của đầu cá, đuôi cá và thân cá, ta có:

Nhìn vào sơ đồ dễ thấy rằng: T = đ x4 = 16 kg

và: Đ = đ x3 = 12 kgVậy con cá nặng 32kg

Để giúp học sinh phát triển t duy trừu tợng trong sự tác động qua lại với

t duy cụ thể, lại cần phải kết hợp với việc sử dụng hình vẽ, kí hiệu với pháttriển ngôn ngữ, giúp cho kiến thức của học sinh đợc chính xác mà không hìnhthức

Trong khi đòi hỏi học sinh khái quát hoá những mệnh đề để đợc nhữngmệnh đề tổng quát hơn

1.2.2.3 Đặc biệt hoá

Theo G Pôlia: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tậphợp đối tợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tậphợp đã cho”

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đagiác sang việc nghiên cứu đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từviệc nghiên cứu đa giác đều n cạnh (n3) sang việc nghiên cứu tam giác

Đặc biệt hoá có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích nhữngkhái niệm, định lý tổng quát bằng những trờng hợp riêng lẻ, cụ thể.

Trong hoạt động giải Toán đặc biệt hoá là chuyển việc nghiên cứu từ trờnghợp chung sang trờng hợp riêng Chẳng hạn, ở ví dụ 1 từ bài toán xuất phát:

“CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC

Một bài toán khó thờng dễ giải hơn nếu ta xét nó trong một trờng hợp

đặc biệt vì khi đó ta đã bổ sung thêm giả thiết, tăng thêm dữ kiện cho bài toán.Sau khi giải quyết các bài toán đặc biệt chúng ta có thể rút ra đợc các kết luận,

tìm đợc cái chốt“ ” giúp cho việc giải quyết các bài toán tổng quát Các trờnghợp riêng đôi lúc gợi ý cho các chứng minh tổng quát Chẳng hạn, trớc khi

học sinh đợc học khảo sát hàm số y = ax2 + bx + c (a  0), họ đã đợc nghiên

cứu về hàm số

y = ax2 (a  0) Do đó, để khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ, ta tìm cách

đa về trờng hợp đặc biệt Y = aX2 (bằng phép đổi trục tọa độ)

Ví dụ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x a  x b (a<b)

Đề bài toán cho toàn bằng chữ, đối với học sinh quả là quá trừu tợng,học sinh sẽ rất khó tìm ra mối liên quan giữa giả thiết và kết luận

Ta đặc biệt hoá bài toán trên với a = 1; b = 2 Lúc này ta tìm giá trị nhỏnhất của hàm số: y = x 1  x 2

1.2.2.4 So sánh, tơng tự

a So sánh

So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiệntợng Muốn so sánh hai sự vật (hiện tợng) ta phải phân tích các dấu hiệu, cácthuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồitổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tợng) có cái gì giống và khác nhau

Trong hoạt động Toán học, so sánh giữ một vai trò quan trọng.Usinxki chỉ ra: “Nếu anh muốn hiểu rõ một sự vật nào đó của thiên nhiênbên ngoài thì anh hãy phân biệt nó với các sự vật giống nó nhất và tìm trong

nó những dấu hiệu giống với sự vật xa lạ với nó nhất; chỉ khi ấy anh mớihiểu rõ tất cả các dấu hiệu bản chất của sự vật, chính điều đó mới có nghĩa làhiểu sự vật” [55, tr 111]

Sự so sánh các sự vật và hiện tợng của hiện thực khách quan diễn ratheo một góc độ nhất định, xuất phát từ một quan điểm nào đó, nhằm giảiquyết một vần đề nhất định I M Xêtsênốp viết: “Ngời ta đối chiếu và so sánhcác sự vật, nhằm đánh giá sự giống nhau và khác nhau của chúng trong tất cảcác mối quan hệ có thể có” [55, tr 111]

Trong giảng dạy và học tập, so sánh luôn luôn phục vụ một nhận thứcnào đó, nó luôn luôn có mục đích Do đó các sự vật và hiện tợng có thể giốngnhau theo quan điểm này và khác nhau theo quan điểm khác Chẳng hạn khi

dạy về các phép biến đổi tơng đơng của bất phơng trình, chúng ta có định lý:

Cho bất ph

số xác định trên D Khi đó, trên D bất phơng trình (1) tơng đơng với bất

ph-ơng trình f (x)+h (x) > g (x)+ h (x) (2)”.

Để học sinh nắm chắc định lí này giáo viên có thể cho học sinh so sánh

với một định lí tơng tự trong phần phơng trình đó là: Cho ph“ ơng trình f (x) =

g (x) (1) có tập xác định D, y = h (x) là một hàm số xác định trên D Khi đó, trên D phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình f (x)+h (x) = g (x)+ h (x) (2)” Giáo viên có thể chỉ cho học sinh thấy:

Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng và hai bất phơng trình tơng đơng giống nhau ở chỗ: Chúng tơng đơng khi tập nghiệm trùng nhau.

Từ tính chất này của phơng trình và bất phơng trình đều suy ra đợc một

hệ quả cho phép có một phép biến đổi tơng đơng rất hay dùng trong biến đổi

phơng trình và bất phơng trình đó là: có thể chuyển một biểu thức từ vế này

sang vế kia và khi đã đổi dấu của nó.

Việc chứng minh hai định lí đều sử dụng định nghĩa: Nghĩa là lấy

x 0  D là nghiệm của phơng trình (1) chứng minh đợc x 0 là nghiệm của (2) và ngợc lại.

Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ hơn: Việc tìm nghiệm của

phơng trình f (x) = g (x) là tìm các giá trị của x 0 để giá trị của hàm f (x) tại

x 0 bằng giá trị của hàm g (x) tại x 0 Còn tìm nghiệm của bất phơng trình

f (x) > g (x) là tìm các giá trị x 0 để f (x 0 ) > g (x 0 ) (Tức các giá trị của x để giá trị của hàm f (x) lớn hơn giá trị của hàm g (x)).

Hoặc có thể dùng đồ thị để giải thích: Nghiệm của phơng trình

f (x) = g (x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y 1 = f (x) và y 2 = g (x) Còn nghiệm của bất phơng trình f (x)> g (x) là tập hợp các giá trị của x để đồ thị của hàm số y 1 = f (x) nằm phía trên đồ thị hàm số y 2 = g (x).

Bằng cách so sánh nh vậy sẽ làm cho học sinh nắm chắc bản chất về

định nghĩa các nghiệm của phơng trình và bất phơng trình hơn Chỉ khi nắmvững kiến thức cơ bản học sinh mới có thể t duy một cách linh hoạt, sáng tạokhi giải quyết vấn đề

b Tơng tự

Tơng tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói tơng tự là giốngnhau nhng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó đợc phản ánh bằng kháiniệm [37, tr 22]

Trong lôgic học“ ”, D Gorki viết: “Tơng tự là phép suy luận trong đó từchỗ hai đối tợng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đốitợng này giống nhau ở các dấu hiệu khác Nếu đối tợng A có dấu hiệu là a, b,

c, d và đối tợng B cũng có dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng

đối tợng B cũng có tính chất d Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận

t-ơng tự nh sau:

A có tính chất a, b, c, d

B có tính chất a, b,c -Kết luận B cũng có tính chất d” (Theo [14])

ở đây, chúng ta chỉ xét những phép tơng tự theo nghĩa là chuyển từ mộttrờng hợp riêng này sang một trờng hợp riêng khác của cùng một cái tổngquát.

Chẳng hạn, xét các Mệnh đề:

"Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình

nhân của chúng, tức là: 1 2

1 2 1 0, 2 02

lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng) (b); Trung bình cộng của n số

không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của nó (c)"

Việc chuyển từ mệnh đề (a) hay (b) sang (c) là khái quát hoá; việcchuyển từ (a) sang (b) là một phép tơng tự Phép tơng tự ở đây rất gần với kháiquát hoá; phép tơng tự có thể xem là tiền thân của khái quát hoá, bởi vì, việcchuyển từ một trờng hợp riêng này sang một trờng hợp riêng khác của cùngmột cái tổng quát là một bớc để đi tới những trờng hợp riêng bất kỳ của cáitổng quát đó

Đối với học sinh, tơng tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tduy sáng tạo của ngời học Để giải một bài toán, chúng ta thờng nghĩ về mộtbài toán tơng tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy Sau đó, để giải bài toánban đầu, ta lại dùng bài toán tơng tự dễ hơn đó làm mô hình

Ví dụ 5 Tính tổng: S (n) = 1.2 + 2.3+ +n (n+1).

Để tính tổng trên ta liên hệ nó với một tổng tơng tự đơn giản hơn

S1 (n) = 1 + 2 + 3 + + n Để cho tổng S1 (n) có dạng gần gũi với tổng S(n) hơn ta nhân S1 (n) với 2 ta có:

2 S1 (n) = 1.2 + 2.2 + 2.3 + + 2.n

Do đó: S (n) -2 S1 (n) = 1.2 + 2.3 + + (n-1).n Vế phải của đẳng thứcnày chính là: S (n)-n (n+1)

Vì vậy: S (n) - 2 S (n) = S (n) - n (n+1)

 S (n) =1 n(n +1)

2 .

Vậy S (n) cha tính đợc, nhng ta lại tính đợc S1 (n) nhờ liên hệ với S (n)

Điều đó gợi cho ta suy nghĩ rằng muốn tính S (n) lại phải liên hệ với một tổng

tơng tự mặc dù phức tạp hơn.

m  n  p  2 mà phải tìm tới ba số nguyên Vậy tại sao

ta không bắt đầu từ trờng hợp tơng tự đơn giản nhất:

"Tìm số nguyên m sao cho 1 1

Hiểu nh vậy sẽ áp dụng đợc trờng hợp tơng tự đã xét ở trên: m = 3 Và

bài toán đã cho quy về: Tìm hai số khác nhau n, p sao cho 1 1 1 1 1

Ta lại bắt đầu từ bài toán tơng tự: "Tìm số nguyên n sao cho 1 1

  bé nhất" và giải đợc kết quả n = 7.

Cuối cùng, ta còn phải tìm p nguyên sao cho 1 1 1 1

1.3 Hoạt động giải toán của học sinh

1.3.1 Chức năng của bài toán

Trong trờng phổ thông có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếucủa hoạt động toán học đối với học sinh Các bài toán là một ph ơng tiệnkhông thể thay thế đợc trong quá trình giúp học sinh nắm vững tri thức, pháttriển t duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giảiquyết các bài toán thực tế Hoạt động giải các bài toán là điều kiện để thựchiện tốt các mục tiêu dạy Toán ở trờng phổ thông Vì vậy, việc tổ chức giảicác bài toán có hiệu quả sẽ góp phần quan trọng đối với chất lợng dạy họcToán

Trong thực tiễn dạy học, các bài toán đợc sử dụng với những dụng ýkhác nhau Tất nhiên, các bài toán thờng không chỉ nhằm vào một mục đích

đơn nhất nào đó mà thờng bao hàm nhiều dụng ý khác nhau

Mỗi bài toán cụ thể đợc đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạyhọc đều chứa đựng một cách tờng minh hay ẩn tàng những chức năng khácnhau Những chức năng này đều hớng đến việc thực hiện các mục đích dạyhọc

Trong thực tiễn dạy học, bài toán mang các chức năng sau:

Chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành củng cố ôn tập hệ thốngcác kiến thức lý thuyết, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyếttrong chừng mực có thể, làm cho học sinh nhớ và khắc sâu những lý thuyết đãhọc Qua bài toán, học sinh có thể phải đào sâu một khía cạnh nào đó của kiếnthức hoặc phân tích, tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để giải Tất cả nhữngthao tác t duy đó sẽ góp phần củng cố, khắc sâu và mở rộng kiến thức cho họcsinh Đây là phơng tiện tốt để học sinh phát triển năng lực t duy sáng tạo, xây

dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quátrình dạy học.

Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển t duy của học sinh, đặcbiệt rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành và phát triển những phẩm chất của tduy Bồi dỡng cho học sinh phơng pháp nghiên cứu khoa học, bởi vì thông quaviệc giải bài tập sẽ rèn luyện cho học sinh thói quen và khả năng độc lập pháthiện và giải quyết các vấn đề có liên quan Trong môi trờng đó, t duy lôgic, tduy sáng tạo của các em sẽ từng bớc đợc phát triển, năng lực các em đợc nângcao

Bài tập toán cũng là phơng tiện nghiên cứu tài liệu mới, nhằm đảm bảocho học sinh lĩnh hội kiến thức một cách toàn diện, sâu sắc và vững chắc hơn

Là phơng tiện trong việc phát triển năng lực t duy của học sinh, ta có thể sửdụng kiến thức trung gian để nâng cao chất lợng học tập của học sinh

Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải các bài tập, sẽ tạo môi trờng

để rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ nh: tính sáng tạo, tính độc lập,tính linh hoạt, tính mềm dẻo, tính phê phán, Việc giải các bài tập sẽ giúphọc sinh làm quen với nhiều tình huống mới lạ Những tình huống đó cùng vớiphơng pháp dạy học thích hợp của giáo viên sẽ giúp học sinh rèn luyện tínhlinh hoạt, tính mềm dẻo của t duy - một yếu tố quan trọng của t duy sáng tạo

Chức năng kiểm tra đánh giá: Bài tập toán học là một ph ơng tiện

có hiệu quả để kiểm tra kiến thức, kiểm tra năng lực t duy, sáng tạocủa học sinh

Thông qua bài tập có thể kiểm tra đợc sự hiểu biết của học sinh phần lýthuyết cơ bản, lý thuyết mở rộng (hoặc kiến thức sâu hơn) Khả năng vận dụng

lý thuyết vào bài tập

Thông qua động thái của học sinh khi giải bài tập, bộc lộ đợc khả năng

về trí tuệ, tính nhanh, tính nhẩm, tính sáng tạo v.v Cũng thông qua hoạt

động này, phát hiện những khuyết điểm, những sai lầm và nguyên nhân dẫn đếnsai lầm của học sinh để kịp thời uốn nắn Từ đó đánh giá mức độ, kết quả dạy vàhọc, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Kiến thức trung gian mà chúng ta xây dựng cũng mang những chức năngtrên, ngoài ra nó còn đóng vai trò là “cầu nối” giữa những kiến thức mà học sinh

đợc học với những bài toán nâng cao, bài toán khó Để có thể giải đợc những bàitoán, đòi hỏi học sinh phải có khả năng liên tởng, huy động kiến thức đã biết đểvận dụng Việc vận dụng kiến thức trung gian để giải bài tập sẽ làm cho học sinh

phát huy khả năng dự đoán các vấn đề đặc biệt hóa, khái quát hóa, tơng tự Trongquá trình đó sẽ rèn cho học sinh tinh thần hoài nghi khoa học, tính độc lập, tínhphê phán của t duy, góp phần rèn luyện tính sáng tạo cho học sinh.

Tóm lại, nếu giáo viên có phơng pháp huy động và thiết kế các kiến thức trung gian một cách thích hợp thì sẽ tạo đợc điều kiện thuận lợi cho việc

phát triển các phẩm chất trí tuệ ở học sinh - điều này có ý nghĩa to lớn đối vớiviệc học tập, công tác và trong cuộc sống của các em

1.3.2 Hoạt động giải toán của học sinh

Công trình nghiên cứu của G Pôlia cũng đã khẳng định: "Giải Toán làkhả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con ngời; vì vậy giải toán

có thể xem nh một trong những biểu hiện đặc trng nhất trong hoạt động củacon ngời" [38, tr.5], do đó: “Ngời giải toán phải hiểu đợc trí tuệ của mình nhngời lực sĩ hiểu thân thể anh ta " và "Khát vọng và quyết tâm giải đợc bàitoán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài tập" [38, tr 305]

Theo Pôlia, dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ trong khigiải toán Ngay sau khi đọc kỹ một đầu bài toán, ngời giải cố gắng dự đoánphạm vi đi tìm lời giải, phạm vi này có thể còn mơ hồ, thậm chí có thể phần nàokhông đúng, mặc dầu thực ra không phải lúc nào cũng quá sai lầm Trên cơ sở

dự đoán ta có đợc cái toàn thể ban đầu (cái tổng hợp I) [19, tr.110]

Trong t duy, đã diễn ra hai hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổchức kiến thức “Động viên kiến thức là lấy ra, là tách ra từ trí nhớ những yếu

tố có liên quan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố

ấy lại với nhau Giải bài toán nh là xây dựng ngôi nhà; thoạt đầu phải thu nhậnnhững vật liệu cần thiết, sau đó phải cấu kết những vật liệu rời rạc thành mộtcái toàn thể" [19, tr 111].

Có thể xem vai trò của hoạt động này thông qua bài toán sau:

Ví dụ 7 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:

x2 - 4x - m = 0

(1)

Giáo viên đa ra cách giải:

Chuyển phơng trình về dạng: x2 - 4x = m (2)khi đó số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của Parabol (P):

y

viên phải "giúp đỡ" học sinh thông qua các câu hỏi hợp lí Chẳng hạn nh: Có

nhận xét gì về đặc điểm cấu tạo của phơng trình này? mục đích là để học sinh

phát hiện đợc phơng trình đợc tạo bởi hàm số

y = x2 - 4x và đờng thẳng (d): y = m Từ đó học sinh động viên và chắp nối

các kiến thức lại với nhau, phát hiện và xây dựng thành lời giải hoàn chỉnh

Cũng trên quan điểm này tác giả viết: " Hai hành động ấy bổ sung lẫnnhau nh hai mặt của một quá trình hoạt động trí tuệ rất phức tạp mà mục đíchcuối cùng là giải đợc bài toán Thao tác phân tích - tổng hợp là cơ sở của hành

động tổ chức động viên nhận biết và nhớ lại" [19, tr 111]

Trong tài liệu này, các tác giả khẳng định: "Hành động trí tuệ tổ chức kiếnthức bao hàm trong nó các thao tác bổ sung và nhóm lại" [19, tr 112]

- Bổ sung và nhóm lại:

"Thao tác bổ sung là một thao tác quan trọng trong hành động tổ chức kiếnthức, vì với thao tác ấy ngời giải có quan niệm càng ngày càng đầy đủ hơn vềbài toán" [19, tr 112]

"Việc thay đổi cách nhìn nhận các yếu tố của bài toán, nghĩa là thôikhông xem xét những mối quan hệ này giữa các yếu tố mà lại xem xét đến cácmối quan hệ khác giữa các yếu tố ấy (không cần thêm yếu tố nào mới), cũng

có thể làm cho quan niệm về bài toán của ngời giải thay đổi Theo hớng cókhả năng thích hợp đối với bài toán Đó là thao tác nhóm lại" [19, tr 113] Tiếptheo của các hoạt động này là hoạt động:

- Tách biệt và kết hợp: "Tách biệt là hành động trí tuệ tách một chi tiết,

một bộ phận cụ thể khỏi cái toàn thể bao quanh nó, tập chung mọi chú ý vàochi tiết bộ phận này Hành động trí tuệ tách biệt không thể diễn bên ngoàithao tác đối lập với nó

Hành động trí tuệ kết hợp sau khi đã nghiên cứu một loạt chi tiết, mộtloạt hành động kết hợp liên kết những chi tiết, nhng bộ phận đã đợc xem xétlại với nhau trong một cái toàn thể, cái toàn thể này đợc phản ánh đầy đủ hơntrớc, tính hài hoà và thống nhất của nó rõ nét hơn Hành động tách biệt dẫn

đến hành động kết hợp, hành động kết hợp lại dẫn đến những hành động táchbiệt mới, những bộ phận mới, đó là tiến trình suy nghĩ làm cho ngời giải hiểubài toán và giải đợc toán" [19, tr 114]

Từ những lí luận trên các tác giả đã khái quát bằng một sơ đồ và có sựgiải thích gọi là:

Sơ đồ hoạt động trí tuệ trong giải toán [19, tr 115].

Nhớ lại

Khi giải quyết một bài toán cụ thể thì những thao tác trí tuệ có dạng xác

định và những câu hỏi tơng ứng (tức là những nhiệm vụ nhận thức làm xuấthiện những thao tác ấy) nh sau:

Hãy sử dụng định nghĩa (thao tác nhận biết) [19, tr 115].

Ví dụ 8 Khi dạy về phơng trình và hệ phơng trình bậc nhất nhiều ẩngiáo viên cho học sinh làm bài tập: Giải hệ phơng trình [17, tr.68]

Đối với bài toán này việc giúp học sinh nhận biết và vận dụng định lý

về dấu của tam thức bậc hai chính là:''  x ,ax2 bx c > 0  0

Tuy nhiên việc giải bài toán đối với học sinh là không đơn giản, cần cónghệ thuật định hơng của giáo viên.

Với m = 2 thì f (x) = -2x + 1 lấy cả những giá trị âm (chẳng hạn f (1) = -1).

Do đó, giá trị m = 2 không thỏa mãn điều kiện đòi hỏi

Với m  2, f (x) là tam thức bậc hai với biệt thức thu gọn '

m m

Vậy với m < 1 thì đa thức f (x) luôn dơng.

Hãy nhớ lại định lí hay bài toán (thao tác nhớ lại) [19, tr 116].

Ví dụ 10 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:

ab (a + b - 2c) + bc (b +c - 2a) + ca (c + a - 2b)  0.

Để giải bài toán này bắt buộc học sinh phải thực hiện thao tác nhớ lại,

đó là phép biến đổi đại số để nhận đợc các phần tử không âm trong bất đẳngthức, từ đó sử dụng bất đẳng thức côsi, các bài toán liên quan mà học sinh đãtiếp cận trớc đó

Biến đổi bất phơng trình về dạng:

áp dụng bất đẳng thức côsi cho VT, ta đợc:

x x

Vậy, phơng trình có bốn nghiệm phân biệt

Hãy thêm vào những yếu tố phụ (ẩn phụ, đờng kẻ phụ) (thao tác bổ sung) [19, tr 116].

Ví dụ 12 Cho phơng trình: ( x  1) (4 x  3)4  2 m (1)Giải phơng trình với m = 1.

Sau khi tiếp cận đề toán học sinh t duy và thực hiện thao tác trí tuệ bổsung nh sau:

Để giải phơng trình (1) ta đa vào ẩn số mới: 1 3

2 2

Vậy, với m = 1 phơng trình có nghiệm x = -2.

Từ những thao tác cơ bản trên chúng ta có thể đa ra những dấu hiệu của sựtiến triển và sự đạt tới đích của hoạt động trí tuệ trong giải Toán nh sau:

Dấu hiệu nhận biết có kết quả những chi tiết: Có cảm giác hiểu đ ợcbài toán

Dấu hiệu tách biệt có kết quả những chi tiết: các chi tiết đợc tri giácmột cách rõ ràng, rành mạch

Dấu hiệu nhóm lại có kết quả các chi tiết: quan điểm về bài toán đã ổn

định, ngời giải không có cảm giác cần thiết phải nhóm lại các yếu tố nữa

Dấu hiệu nhớ lại có kết quả: có sự tơng hợp bên trong của bài toán,những liên hội thích hợp với tình huống của bài toán.

Dấu hiệu kết hợp có kết quả: quan niệm về bài toán có đợc tính hài hoà,cân đối tức là chứa đựng tất cả những chi tiết và ngoài ra những chi tiết ấy đềuquen thuộc

Dấu hiệu bổ sung có kết quả: quan niệm về bài toán có đợc tính đầy đủ,toàn vẹn, ngời giải có cảm giác không cần phải bổ sung thêm gì nữa

Dấu hiệu của dự đoán đúng: ngời giải cảm thấy rõ ràng là mình đã nắm

đợc t tởng chủ đạo để giải bài toán, cảm thấy tự tin, thoả mãn, sung sớngtrong niềm vui sáng tạo [19, tr 116]

1.4 Một số kiến thức về phép biện chứng duy vật

1.4.1 Các khái niệm

- Khái niệm về t duy:Theo từ điển triết học: “T duy, sản phẩm cao nhấtcủa cái vật chất đợc tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánhtích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận T duyxuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con ngời và bảo đảmphản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quyluật của thực tại

T duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt độnglao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngời Cho nên, tduy của con ngời đợc thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói, vànhững kết quả của t duy đợc ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho t duy lànhững quá trình nh trừu tợng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên nhữngvấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết,những ý niệm

Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó Khảnăng phản ánh thực tại một cách khái quát của t duy đợc biểu hiện ở khả năngcủa con ngời có thể xây dựng những khái niệm chung, gắn liền với sự trìnhbày những quy luật tơng ứng Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếpcủa t duy đợc biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgíc, chứng minh của conngời Khả năng này hết sức mở rộng khả năng nhận thức Xuất phát từ chỗphân tích những sự kiện có thể tri giác đợc một cách trực tiếp, cho phép nhậnthức đợc những gì không thể tri giác đợc nhờ các giác quan Những khái niệm

và những hệ thống khái niệm (những lí luận khoa học) ghi lại (khái quát hoá)kinh nghiệm của loài ngời, là sự tập trung tri thức con ngời và là điểm xuất

phát để tiếp tục nhận thức thực tại T duy con ngời đợc nghiên cứu trongnhững lĩnh vực khoa học khác nhau và bằng những phơng pháp khác nhau”

+ T duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

+ Khách thể trong t duyđợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể con ngời

- Khái niệm về t duy toán học: “T duy toán học đợc hiểu, thứ nhất làhình thức biểu lộ của t duy biện chứng trong quá trình con ngời nhận thứckhoa học toán học hay trong quá trình áp dụng toán học vào khoa học khác

nh kỹ thuật, kinh tế quấc dân Thứ hai, t duy toán học có tính chất đặc thù

đ-ợc quy định bởi bản chất của khoa học, bởi sự áp dụng các phơng pháp toánhọc để nhận thức các hiện tợng của thế giới hiện thực, cũng nh bởi chính cácphơng thức chung của t duy mà nó sữ dụng”

Nội dung của t duy toán học là những t tởng phản ánh hình dạng khônggian và những quan hệ số lợng của thế giới hiện thực [22, tr.7]

- Khái niệm về t duy biện chứng: Vấn đề trung tâm của lôgic học là vấn

đề chân lý, đó là sự phản ánh đúng đắn của t duy con ngời đối với hiện thực

Chủ nghĩa duy vật biện chứng dựa vào những quy luật còn gọi lànhững nguyên tắc của phép biện chứng trong việc nghiên cứu t duy để vạch

ra phép biện chứng của t duy Chính từ đó làm cho lôgic học trở thành khoahọc về sự phát triển của t duy con ngời, phản ánh sự phát triển của thế giớikhách quan, xem xét t duy và các hình thức của t duy một cách khoa học vàvạch ra con đờng phải đi để nhận thức đúng đắn thế giới bên ngoài, đi đếnchân lý [22, tr.7]

Từ đó, ta có thể nói: "T duy biện chứng là một dạng của t duy, xem xét

sự vật trong sự thống nhất và mâu thuẫn, trong sự vận động và phát triển,

trong mối liên hệ và phụ thuộc với các sự vật khác”

Tính chất biện chứng của t duy đợc đặc trng bởi nhận thức tính thay

đổi: Vận động và sự phát triển, tính hai mặt: Mâu thuẫn và sự thống nhất, tínhtoàn diện: Sự liên hệ tơng hỗ và phụ thuộc lẫn nhau của các khái niệm và cácquan hệ

1.4.2 Các cặp phạm trù và vai trò của phép biện chứng duy vật trong hoạt động nhận thức

1.4.2.1 Cái riêng và cái chung và cái đơn nhất

Theo quan điểm của phép BCDV, nhận thức bắt đầu từ sự phản ánhnhững sự vật, hiện tợng cụ thể của thế giới Nhng trong quá trình so sánh giữanhững sự vật, hiện tợng này với những sự vật, hiện tợng khác; phân biệt chỗgiống và khác nhau giữa chúng, nhận thức đi đến sự phân biệt cái riêng và cáichung Cái riêng là phạm trù dùng để chỉ một sự vật, một hiện tợng nhất định

và cái đơn nhất Cái chung là phạm trù dùng để chỉ những mặt, những thuộctính đợc lặp lại trong nhiều sự vật, nhiều hiện tợng Cái đơn nhất là phạm trùdùng để chỉ những mặt, những đặc điểm chỉ có ở một sự vật, hiện tợng nào đó

mà không lặp lại ở các sự vật, hiện tợng khác

Giữa cái riêng, cái chung và cái đơn nhất có mối quan hệ biện chứngvới nhau Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, biểu hiện thông qua cái riêng;ngợc lại, cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, bao hàm cáichung; cái riêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộphận nhng sâu sắc hơn cái riêng; cái đơn nhất và cái chung có thể chuyển hoálẩn nhau trong quá trình vận đông, phát triển của sự vật V.I.Lênin viết: "Cáiriêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ đa đến cái chung Cái chung chỉ tồn tạitrong cái riêng, thông qua cái riêng Bất cứ cái riêng nào cũng là cái chung( ) Bất cứ cái chung nào cũng chỉ bao quát một cách đại khái tất cả mọi vậtriêng lẻ Bất cứ cái riêng nào cũng không gia nhập đầy đủ vào cái chung, v.v Bất cứ cái riêng nào cũng thông qua hàng nghìn sự chuyển hoá mà liên hệ vớinhững cái riêng thuộc loại khác"[54, tr.324-325]

Toán học có lẽ là lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung vàcái riêng Sự sắp xếp chơng trình học Toán nói chung là dẫn dắt HS từ nhữngtrờng hợp riêng rồi khái quát dần lên những cái chung nh từ số tự nhiên rồi

đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam giác vuông rồi đến tam giác thờng, từtam giác rồi đến tứ giác, từ hàm lợng giác các góc nhọn rồi đến hàm lợng giáccác góc suy rộng v.v

Ví dụ 13 Giải phơng trình: 4 3 2