Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân cấp 1

Trong quá trình thực hiện Khóa luận, dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏinhững sai sót nhất định, kính mong sự giúp đỡ của các

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

————– * ————–

LƯƠNG THANH HUẾ

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN CẤP MỘT

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

————– * ————–

Lương Thanh Huế

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này, tôi xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Trần Văn Tuấn, người đã trựctiếp chỉ bảo, hướng dẫn tận tình, định hướng cho tôi trong suốt quátrình làm khóa luận

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáotrong tổ Giải tích, cũng như các Thầy, Cô giáo trong khoa Toán -Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để tôihoàn thành khoá luận tốt nghiệp này

Sau cùng tôi xin cảm ơn gia đình cùng tất cả các bạn bè đã độngviên giúp đỡ tôi trong suốt thười gian qua

Trong quá trình thực hiện Khóa luận, dù đã có nhiều cố gắng nhưng

do thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏinhững sai sót nhất định, kính mong sự giúp đỡ của các Thầy, Cô, bạnđọc để đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của tôi được hoàn thành dưới sự hướng,chỉ bảo dẫn nhiệt tình của thầy giáo, ThS Trần Văn Tuấn cùng với

sự cố gắng học tập và nghiên cứu của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã tham khảo và kế thừa nhữngthành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứuvới sự trân trọng và biết ơn, cùng các tài liệu đã được ghi trong phầntài liệu tham khảo

Tôi xin cam đoan đề tài “Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình

vi phân cấp một” không có sự trùng lặp với các đề tài khác Nếu saitôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viênLương Thanh Huế

Mục lục

1 Hệ phương trình vi phân cấp một 51.1 Hệ phương trình vi phân cấp một 61.2 Bất đẳng thức vi phân 111.3 Một số kiến thức bổ trợ 17

2 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân 212.1 Lý thuyết ổn định Lyapunov 212.1.1 Bài toán ổn định 212.1.2 Các tiêu chuẩn cơ bản ổn định hệ tuyến tính 242.1.3 Phương pháp hàm Lyapunov ổn định hệ phi tuyến 312.2 Nguyên lý LaSalle 362.2.1 Tập giới hạn và tập bất biến 362.2.2 Nguyên lý bất biến LaSalle 38

Tài liệu tham khảo 41

Bảng kí hiệu

R Tập số thực

C Tập số phức

C[a, b] Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]

Rn Không gian Euclide n chiều,

với x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) là các phần tử trong Rn,chuẩn Euclide kxk =

λ(A) Tập các giá trị riêng của ma trận A

<λ Phần thực của giá trị riêng λ

trace(A) Vết của ma trận A

clA Bao đóng của tập A

a.s Hầu chắc chắn

 Kết thúc chứng minh

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phương trình vi phân là một chuyên ngành thiết yếu của toán học,

có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kinh tế, khoa học-kĩ thuật- côngnghệ Trong thực tiễn, xem các tài liệu [1], [4], [5], nhiều bài toán đềcập tới các vấn đề phân tích, thiết kế hệ thống kĩ thuật hay các môhình kinh tế thường được mô tả bằng các hệ phương trình vi phân

Do vậy, việc nghiên cứu phương trình vi phân và tính ổn định nghiệmcủa phương trình vi phân là một trong những bài toán cơ bản của líthuyết định tính các phương trình vi phân

Từ những công trình toán học xuất sắc của nhà toán học Lyapunovvào cuối thế kỉ 19, đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu và pháttriển như một lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng trongthực tế

Xuất phát từ nhận thức trên, dưới sự hướng dẫn của Thầy TrầnVăn Tuấn và mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về phương trình viphân và tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân, dưới góc

độ là một sinh viên chuyên ngành Toán, trong phạm vi của một khoáluận tốt nghiệp tôi đã chọn đề tài:

2 Mục tiêu nghiên cứu

• Nghiên cứu hệ phương trinh vi phân cấp một

• Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân cấpmột

3 Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp nghiên cứu lí luận

• Phương pháp tổng hợp, phân tích, các tài liệu và kiến thức phục

vụ cho mục đích nghiên cứu

4 Đối tượng nghiên cứu

• Hệ phương trình vi phân cấp một

• Nghiệm hệ phương trình vi phân

5 Phạm vi nghiên cứu

Hệ phương trình vi phân cấp một

6 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo,khoá luận gồm 2 chương

Chương 1 Hệ phương trình vi phân cấp một

Chương 2 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

Chương 1

Hệ phương trình vi phân cấp một

Trước khi nghiên trình bày các kiến thức cơ bản về hệ phương trình

vi phân, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức giải tích hàm về khônggian metric đầy và nguyên lý Banach về ánh xạ co

Định nghĩa 1.1 Ta gọi là không gian metric một tập X 6= ∅ cùngvới một ánh xạ d : X × X −→ R thỏa mãn các Tiên đề sau

(∀ ε > 0) (∃ n0 ∈ N∗) (∀ m, n ≥ n0) d(xn, xm) < ε

hay

lim d(x , x ) = 0

Định nghĩa 1.3 Không gian metric M = (X, d) gọi là không gianđầy, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này là hội tụ.

Ví dụ 1.0.1 Không gian C[a, b] với metric d(x, y) = max

a≤t≤b|x(t) − y(t)|

là không gian metric đầy

Chứng minh Xem [3, trang 25]

Định nghĩa 1.4 Cho hai không gian metric M1 = (X, d1), M2 =(Y, d2) Ta nói ánh xạ A : M1 −→ M2 là ánh xạ co, nếu tồn tại số

α ∈ [0, 1) sao cho

d2(Ax, Ax0) ≤ αd1(x, x0), ∀ x, x0 ∈ X

Định lý 1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co

A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào chính nó đều có điểmbất động ¯x duy nhất, nghĩa là ¯x ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯x = ¯x

Trong đó : t ∈ R là biến số độc lập,

x1 = x1(t), x2 = x2(t), , xn = xn(t) là các hàm ẩn cần tìm,Các hàm fi với i = 1, , n xác định trong miền I ⊂ Rn+1.Định nghĩa 1.6 Hệ n hàm khả vi x1 = ϕ1(t), x2 = ϕ2(t), , xn =

ϕn(t) xác định trên khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.1) nếuvới mọi t ∈ (a, b) điểm (t, ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕ(t)) ∈ I và khi thay chúngvào hệ (1.1) ta được hệ n đồng nhất thức theo t trên (a, b)

dxndt

thỏa mãn điều kiện ban đầu

Nếu điều kiện Lipschitz được thỏa mãn trên một tập con bị chặn bất

kì của Rn thì ta nói rằng hàm f thỏa mãn tính địa phương

Định lý 1.2 Định lý Picard- Lindeloff- [4, Định lý 1.23.]Xét hệ phương trình vi phân (1.3), trong đó giả sử hàm f (t, x) : G −→

Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x với hằng

Để chứng minh định lý ta đi chứng minh phương trình tích phân (1.4)

có nghiệm duy nhất trên

Lấy tập đóng H ⊂ G chứa điểm (t0, x0) sao cho hàm f bị chặntrong H Khi đó tồn tại số M > 0 sao cho

với khoảng cách giữa hai hàm được xác định bởi

kT x − x0k =

Z t

t 0

f (s, x(s))ds ≤ M |t − t0| ≤ M d,

từ đây T x ∈ C(J ) Tiếp theo ta chứng minh ánh T xác định như trên

là ánh xạ co trên C(J ) Thật vậy, với hai phần tử x1, x2 ∈ C(J) tuỳ

Do đó

d(T x1, T x2) = max

t∈J kT x1(t) − T x2(t)k

≤ Ldd(x1, x2), Ld < 1

Như vậy T là ánh xạ co trên không gian C(J ) Áp dụng Nguyên

lý Banach về ánh xạ co thì ánh xạ co T trong không gian metric đầyC(J ) vào chính nó sẽ có hàm bất động x∗(t) duy nhất sao cho

T x∗(t) = x∗(t),hay là có duy nhất hàm x∗(t) thỏa mãn

Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức Gr¨onwall - [5, Lemma 2.1.])

Cho k là hàm không âm, bị chặn, đo được Borel trên một đoạn [t0, t1]

và l là hàm không giảm Cho v là một hàm khả tích trên [t0, t1] saocho

v(t) ≤ l(t) +

Z t

t 0

k(s)v(s)ds, ∀ t ∈ [t0, t1] (1.5)Khi đó ta có

Các hàm u và w là liên tục tuyệt đối và với t ∈ [t0, t1]

Nếu l là hàm không giảm bất kì trên [t0, t1] và t2 ∈ (t0, t1) thì l(t) ≤l(t2) trên [t0, t2] Hơn nữa

Chứng minh của bổ đề được hoàn thành

Kết quả sau đây được biết đến như là nguyên lý so sánh cho phươngtrình vi phân thường

Định lý 1.3 [5, Theorem 1.2.]

Giả sử rằng ϕ : [t0, t1] × R −→ R là hàm liên tục sao cho số M > 0thỏa mãn

|ϕ(t, x) − ϕ(t, y)| ≤ M |x − y|, ∀ t ∈ [t0, t1], x, y ∈ R (1.8)Nếu v là một hàm liên tục tuyệt đối trên [t0, t1] sao cho

˙v(t) ≤ ϕ(t, v(t)), t ∈ [t0, t1], (1.9)hoặc

˙v(t) ≥ ϕ(t, v(t)), t ∈ [t0, t1], (1.10)

v(t) ≤ u(t), ∀ t ∈ [t0, t1] (1.11)hoặc tương ứng

v(t) ≥ u(t), ∀ t ∈ [t0, t1], (1.12)trong đó u là một nghiệm của phương trình

˙u(t) = ϕ(t, u(t)), t ∈ [t0, t1], (1.13)

với điều kiện ban đầu

u(t0) ≥ v(t0),hoặc tương ứng

u(t0) ≤ v(t0)

Trước khi chứng minh, ta nhắc lại Định lý Arzelà-Ascoli

Định lý 1.4 (Định lý Arzelà- Ascoli [4, Định lý 1.10.]) Cho X làkhông gian Compact và C(X) là không gian các hàm số f : X −→ Rliên tục Giả sử họ hàm {fn} = A trong C(X) thỏa mãn điều kiệni)fn(x) giới nội đều, hay là sup

n≥1

sup

x∈X

|fn(x)| < +∞,ii) {fn} là liên tục đều trên X theo nghĩa: với mỗi x0 ∈ X, ε > 0, tồntại số δ > 0 sao cho ||x − x0|| < 0 thì |fn(x) − fn(x0)| < ε, ∀f ∈ AKhi đó cl(A) là tập Compact trong C(X)

Sau đây ta chứng minh Định lý 1.3

Chứng minh Từ định lý 1.2 có tồn tại duy nhất một nghiệm của

phương trình (1.13) trên [t0, t1] Giả sử ˙v(t) ≤ ϕ(t, v(t)) , t ∈ [t0, t1],xét dãy un(·), n = 1, 2, của các hàm thỏa mãn

Mặt khác chúng cũng là đồng liên tục vì

|un(t) − un(s)| ≤

Z t s

|ϕ(τ, un(τ ))|dτ + 1

n)(t − s)

≤ (L + 1

n)(t − s),với t0 ≤ s ≤ t ≤ t1, hằng số L > 0, không phụ thuộc vào n Theo định

lý Arzelà-Ascoli, tồn tại một dãy con của (un(·)) liên tục đều tới hàmliên tục ˜u(·)

Trong (1.16) cho n −→ +∞, chúng ta thấy hàm ˜u(·) là nghiệm liêntục tuyệt đối của phương trình (1.13) và do đó nó đồng nhất với u(·)

ϕ(s, v(s))ds

≤ ϕ(˜t, v(˜t)) + 1

3m,và

ϕ(˜t, v(˜t)) + 1

2m ≤ um(t) − v(˜t)

t − ˜t .

Do đó um(t) > v(t), t ∈ (˜t, ˜t + δ), điều này mâu thuẫn Từ đó suy ragiả sử sai Vậy (1.11) được chúng minh.

Tương tự như trên, từ (1.10) ta chứng minh được (1.12)

Hệ quả 1.1 Nếu v(·, ·) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [t0, t1] saocho với số α ∈ R

Chứng minh Tham khảo [1, Định lý 2.1 trang 84].

Định nghĩa 1.11 Giả sử A = (aij), aij ∈ C là một ma trận vuôngcấp n Ta định nghĩa chuẩn của ma trận A như sau

Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là In (hay đơn giản là I nếu không

sợ nhầm lẫn) Đa thức det(λI − A) bậc n của λ gọi là đa thức đặctrưng của ma trân A, nghiệm của nó gọi là giá trị riêng của ma trận

Khi đó ta nói dãy ma trận {Ak} hội tụ.

A

Ta thấy kAkk ≤ kAkk nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi trên hội

tụ tuyệt đối với mọi ma trận A Xét hệ phương trình vi phân tuyếntính

˙x(t) = Ax(t), t ≥ 0, (1.17)trong đó A là ma trận hằng cấp (n × n)

Định lý sau đây cho ta biết dạng ma trận cơ bản của hệ này

là ma trận cơ bản của hệ (1.17) Khi đó hàm

= AetA

Do đó etA là một ma trận nghiệm của (1.17) Từ định lý Liouville tacó

det(etA) = ettrace(A) 6= 0nên etA là một ma trận cơ bản của (1.17)

Định lý 1.7 (Công thức Sylvester) Cho A là ma trận (n × n) chiềuvới các giá trị riêng λ1, λ2, , λn khác nhau Cho f (λ) =

n

X

k=0

ckλk làhàm đa thức bậc n Khi đó

Zk = (A − λ1I)(A − λ2I) · · · (A − λk−1I)(A − λk+1I) · · · (A − λnI)

(λk − λ1)(λk− λ2) · · · (λk − λk−1)(λk− λk+1) · · · (λk − λn) .Chứng minh Tham khảo [4, Định lý 1.3.]

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái tại thời điểm t của hệ, hàm

f : [t0, +∞) × Rn −→ Rn là hàm vectơ cho trước

Giả thiết hàm f thỏa mãn các điều kiện sao cho hệ (2.1) luôn cónghiệm duy nhất trên toàn [t0, +∞) Ta có các khái niệm về sự ổnđịnh của hệ (2.1) như sau

Định nghĩa 2.1 Nghiệm x(t) của hệ (2.1) gọi là ổn định nếu với mọi

số ε > 0, t0 ≥ 0 sẽ tồn tại số δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho bất kỳ nghiệm

y(t), y(t0) = y0 của hệ thỏa mãn ky0 − x0k < δ ta đều có

ky(t) − x(t)k < ε, ∀ t ≥ t0

Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ

có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần

nó trong suốt thời gian t ≥ t0

Định nghĩa 2.2 Nghiệm x(t) của hệ (2.1) gọi là ổn định tiệm cậnnếu nó ổn định và có một số δ > 0 sao cho với ky0 − x0k < δ thì

lim

t→∞ky(t) − x(t)k = 0

Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọinghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 sẽtiến gần tới x(t) khi t → ∞

Xét phép đổi biến sau (x − y) 7−→ z, (t − t0) 7−→ τ Khi đó hệ phươngtrình (2.1) sẽ được đưa về dạng:

˙z = F (τ, z) (2.2)

trong đó F (τ, 0) = 0 Khi đó sự ổn định nghiệm của hệ (2.1) đượcđưa về nghiên cứu sự ổn định nghiệm 0 của hệ (2.2) Do vậy ta nói hệ(2.2) là ổn định thay vì nói nghiệm 0 của hệ ổn định

Ta xét hệ (2.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là f (t, 0) = 0, t ≥ 0

Ta nói

• Hệ (2.1) gọi là ổn định nếu với bất kì ε > 0, t0 ≥ 0 sẽ tồn tại

số δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho bất kỳ nghiệm x(t) với điều kiện ban đầux(t0) = x0 của hệ thỏa mãn kx0k < δ thì ta đều có kx(t)k < ε, ∀ t ≥ t0.

• Hệ (2.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và có một số δ > 0sao cho nếu kx0k < δ thì lim

t→∞kx(t)k = 0

Nếu số δ > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc thời gianban đầu t0 thì ta nói hệ ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều).Định nghĩa 2.3 Hệ (2.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M >

0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (2.1) với x(t0) = x0 thỏa mãn

Ta có nghiệm của hệ được cho bởi công thức: x(t) = x0eat, t ≥ 0.Khi đó nếu a < 0 thì hệ đã cho là ổn định (mũ, tiệm cận), nếu a = 0thì hệ là ổn định

Sau đây chúng ta sẽ trình bày một số kết quả quan trọng cơ bản về

ổn định các hệ tuyến tính

2.1.2 Các tiêu chuẩn cơ bản ổn định hệ tuyến tính

Xét hệ tuyến tính

˙x(t) = Ax(t), t ≥ 0, (2.3)trong đó A là ma trận cấp (n × n) Nghiệm của hệ (2.3) với trạng tháiban đầu x(t0) = x0 cho bởi công thức biến thiên hằng số

x(t) = x0eA(t−t0 ), t ≥ t0

Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn quan trọng khi kiểm tra tính

ổn định của hệ (2.1), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov.Định lý 2.1 [4, Định lý 3.1.] Hệ (2.3) là ổn định mũ khi và chỉ khiphần thực của tất cả các giá trị riêng của ma trận A là âm, tức là

λk trong phương trình đa thức đặc trưng của A Zki là các ma trận

hằng xác định (theo Định lý 1.5.) Từ (2.4) ta có đánh giá sau

kx(t)k ≤ µkx0ke−δ(t−t0 ), ∀t ≥ t0, (*)

Bây giờ ta giả sử phản chứng rằng có một λ0 ∈ λ(A) sao cho

<λ0 ≥ 0 Khi đó với véctơ riêng x0 ứng với λ0 này ta có

Ax0 = λ0x0

và khi đó nghiệm của hệ với điều kiện ban đầu x0(t) = x0 là x0(0) =

x0eλ0 t Khi đó ta có

kx0(t)k = kx0ke<λ0 t.Vậy nghiệm x0(t) → +∞ khi t → +∞, điều này mâu thuẫn với vớiđiều kiện (*) Vậy giả sử sai Do đó Định lý được chứng minh

Nhận xét 2.1 Ta nói ma trận A là ổn định nếu tất cả các giá trịriêng của A có phần thực âm

−1 − λ 1

1 −3 − λ

= 0 ⇔λ2 + 4λ + 2 = 0

Phương trình này có các nghiệm là λ = −2 ±√

2 Ta thấy các giá trịriêng λ đều có phần thực <λ = −2 ±√

2 < 0 Vậy hệ đã cho là ổnđịnh mũ

= 0 ⇔ λ3 + λ2 − 18λ + 12 = 0

Đặt f (λ) = λ3+ λ2− 18λ + 12 Ta có f (0) = 12 > 0, f (−1) = −5 < 0,hàm f (λ) liên tục trên [0, 1] nên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng(0, 1) Như vậy phương trình đặc trưng có ít nhất một nghiệm với

phần thực lớn hơn 0 nên hệ đã cho không ổn định.

Một cách khác để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ (2.3) lànghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một phương trình ma trận, thườnggọi là phương trình Lyapunov (LE) dạng

ATX + XA = −Y (LE)

trong đó X, Y là các ma trận cấp (n × n) và gọi là cặp nghiệm củaphương trình (LE)

Định lý 2.2 [4, Định lý 3.3.] Ma trận A là ổn định khi và chỉ khivới bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình (LE) cónghiệm là ma trận đối xứng, xác định dương X

Chứng minh Giả sử phương trình (LE) có nghiệm là ma trận X đốixứng xác định dương, ta chứng minh ma trận A ổn định

Giả sử x(t) là một nghiệm tùy ý của (2.3) thỏa mãn x(t0) = x0, t0 ≥ 0,xét hàm số

... 31< /span>

phần thực lớn nên hệ cho không ổn định.

Một cách khác để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ (2.3) lànghiên cứu tồn nghiệm phương trình. .. λ3+ λ2− 18 λ + 12 Ta có f (0) = 12 > 0, f (? ?1) = −5 < 0,hàm f (λ) liên tục [0, 1] nên có nghiệm thuộc khoảng(0, 1) Như phương trình đặc trưng có nghiệm với