Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân cấp 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————– * ————– LƯƠNG THANH HUẾ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————– * ————– Lương Thanh Huế TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS Trần Văn Tuấn Hà Nội - 2017 Lời cảm ơn Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Trần Văn Tuấn, người trực tiếp bảo, hướng dẫn tận tình, định hướng cho suốt trình làm khóa luận Đồng thời xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo tổ Giải tích, Thầy, Cô giáo khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Sau xin cảm ơn gia đình tất bạn bè động viên giúp đỡ suốt thười gian qua Trong trình thực Khóa luận, dù có nhiều cố gắng thời gian kinh nghiệm hạn chế nên đề tài không tránh khỏi sai sót định, kính mong giúp đỡ Thầy, Cô, bạn đọc để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Lương Thanh Huế Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp hoàn thành hướng, bảo dẫn nhiệt tình thầy giáo, ThS Trần Văn Tuấn với cố gắng học tập nghiên cứu thân Trong trình nghiên cứu, tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn, tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin cam đoan đề tài “Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân cấp một” trùng lặp với đề tài khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Lương Thanh Huế Mục lục Bảng kí hiệu Lời mở đầu Hệ phương trình vi phân cấp 1.1 Hệ phương trình vi phân cấp 1.2 Bất đẳng thức vi phân 11 1.3 Một số kiến thức bổ trợ 17 Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 2.1 2.2 21 Lý thuyết ổn định Lyapunov 21 2.1.1 Bài toán ổn định 21 2.1.2 Các tiêu chuẩn ổn định hệ tuyến tính 24 2.1.3 Phương pháp hàm Lyapunov ổn định hệ phi tuyến 31 Nguyên lý LaSalle 36 2.2.1 Tập giới hạn tập bất biến 36 2.2.2 Nguyên lý bất biến LaSalle 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Bảng kí hiệu R Tập số thực C Tập số phức C[a, b] Tập hàm liên tục đoạn [a, b] Rn Không gian Euclide n chiều, với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) phần tử Rn , 1/2 n |xi | chuẩn Euclide x = , i=1 n tích vô hướng x, y = xi yi i=1 M (n, K) Tập ma trận vuông cấp n với thành phần thuộc trường K AT Ma trận chuyển vị ma trận A n aj Tích a1 a2 an j=1 λ(A) λ Tập giá trị riêng ma trận A Phần thực giá trị riêng λ trace(A) Vết ma trận A clA Bao đóng tập A a.s Hầu chắn Kết thúc chứng minh Lời mở đầu Lí chọn đề tài Phương trình vi phân chuyên ngành thiết yếu toán học, có nhiều ứng dụng lĩnh vực kinh tế, khoa học-kĩ thuật- công nghệ Trong thực tiễn, xem tài liệu [1], [4], [5], nhiều toán đề cập tới vấn đề phân tích, thiết kế hệ thống kĩ thuật hay mô hình kinh tế thường mô tả hệ phương trình vi phân Do vậy, việc nghiên cứu phương trình vi phân tính ổn định nghiệm phương trình vi phân toán lí thuyết định tính phương trình vi phân Từ công trình toán học xuất sắc nhà toán học Lyapunov vào cuối kỉ 19, đến tính ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng thực tế Xuất phát từ nhận thức trên, hướng dẫn Thầy Trần Văn Tuấn mong muốn nghiên cứu sâu phương trình vi phân tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân, góc độ sinh viên chuyên ngành Toán, phạm vi khoá luận tốt nghiệp chọn đề tài: “Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân cấp một” Mục tiêu nghiên cứu • Nghiên cứu hệ phương trinh vi phân cấp • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân cấp Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp nghiên cứu lí luận • Phương pháp tổng hợp, phân tích, tài liệu kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu • Hệ phương trình vi phân cấp • Nghiệm hệ phương trình vi phân Phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình vi phân cấp Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương Chương Hệ phương trình vi phân cấp Chương Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Chương Hệ phương trình vi phân cấp Trước nghiên trình bày kiến thức hệ phương trình vi phân, nhắc lại số kiến thức giải tích hàm không gian metric đầy nguyên lý Banach ánh xạ co Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian metric tập X = ∅ với ánh xạ d : X × X −→ R thỏa mãn Tiên đề sau 1)(∀ x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y, 2)(∀ x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), 3)(∀ x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Ánh xạ d gọi metric X, số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x, y Không gian metric kí hiệu M = (X, d) Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric M = (X, d) Dãy điểm (xn ) ⊂ X gọi dãy M , (∀ ε > 0) (∃ n0 ∈ N∗ ) (∀ m, n ≥ n0 ) d(xn , xm ) < ε hay lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Định nghĩa 1.3 Không gian metric M = (X, d) gọi không gian đầy, dãy không gian hội tụ Ví dụ 1.0.1 Không gian C[a, b] với metric d(x, y) = max |x(t)−y(t)| a≤t≤b không gian metric đầy Chứng minh Xem [3, trang 25] Định nghĩa 1.4 Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ), M2 = (Y, d2 ) Ta nói ánh xạ A : M1 −→ M2 ánh xạ co, tồn số α ∈ [0, 1) cho d2 (Ax, Ax ) ≤ αd1 (x, x ), ∀ x, x ∈ X Định lý 1.1 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào có điểm bất động x¯ nhất, nghĩa x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯ x = x¯ Chứng minh Xem [3, Định lý 1.4.2] 1.1 Hệ phương trình vi phân cấp Định nghĩa 1.5 Hệ n phương trình vi phân cấp hệ có dạng  dx1   = f1 (t, x1 , x2 , , xn )    dt      dx2 = f (t, x , x , , x ) 2 n dt    ·····················        dxn = fn (t, x1 , x2 , , xn ) dt (1.1) phần thực lớn nên hệ cho không ổn định Một cách khác để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ (2.3) nghiên cứu tồn nghiệm phương trình ma trận, thường gọi phương trình Lyapunov (LE) dạng AT X + XA = −Y (LE) X, Y ma trận cấp (n × n) gọi cặp nghiệm phương trình (LE) Định lý 2.2 [4, Định lý 3.3.] Ma trận A ổn định với ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm ma trận đối xứng, xác định dương X Chứng minh Giả sử phương trình (LE) có nghiệm ma trận X đối xứng xác định dương, ta chứng minh ma trận A ổn định Giả sử x(t) nghiệm tùy ý (2.3) thỏa mãn x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, xét hàm số V (x(t)) = Xx(t), x(t) , ∀ t ≥ t0 Ta có d V (x(t)) = X x, ˙ x + Xx, x˙ dt = (XA + AT X)x, x = − Y x(t), x(t) Do t V (x(t)) − V (x(t0 )) = − Y x(s), x(s) ds t0 27 Vì X xác định dương nên V (x(t)) ≥ 0, ∀ t ≥ t0 t Y x(s), x(s) ds ≤ V (x0 ) = Xx0 , x0 t0 Mặt khác, Y xác định dương, theo định lý 1.4 tồn số α > cho Y x, x ≥ α x , ∀ x ∈ Rn Do t x(s) ds ≤ t0 Xx0 , x0 α Cho t → +∞ ta ∞ x(s) ds < +∞ (2.5) t0 λ < 0, ∀λ ∈ λ(A) Thật vậy, giả sử tồn Ta chứng minh số λ0 ∈ λ(A) mà λ0 ≥ Lấy x0 ∈ Rn véctơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ0 nghiệm hệ (2.3) cho công thức x1 (t) = eλ0 t x0 , Từ λ0 ≥ suy ∞ ∞ e2 x1 (t) dt = t0 λ0 t x0 dt = +∞, t0 điều điều mâu thuẫn với (2.5) Do λ < 0, ∀ λ ∈ λ(A), hay ma trân A ổn định Ngược lại, giả sử A ma trận ổn định, tức λ < 0, ∀ λ ∈ λ(A).Với ma trận Y đối xứng xác định dương, ta chứng minh 28 phương trình (LE) có nghiệm ma trận đối xứng, xác định dương Xét phương trình ma trận sau   ˙ Z(t) = AT Z(t) + Z(t)A, t ≥ t0 , (2.6)  Z(t0 ) = Y Hệ (2.6) có nghiệm riêng T Z(t) = eA t Y eAt Đặt t X(t) = Z(s)ds t0 Vì A ma trận ổn định nên ∞ Z(s)ds < ∞, X= t0 X xác định Y đối xứng nên X đối xứng Mặt khác, lấy tích phân hai vế phương trình (2.6) từ t đến t0 ta có Z(t) − Y = AT X(t) + X(t)A, ∀ t ≥ t0 Cho t → +∞ Z(t) → A ma trận ổn định, nên ta −Y = AT X + XA, hay là, ma trận đối xứng X Y thỏa mãn (LE) 29 Ta chứng minh X ma trận xác định dương Thật vậy, ta có ∞ Y eAt x, eAt x dt Xx, x = t0 Do Y xác định dương eAt không suy biến nên Xx, x > x = Định lý chứng minh Ví dụ 2.1.4 Cho ma trận  A=  −6 −5  , X =  p1 p2 p2 p3   X nghiệm phương trình Lyapunov dạng AT X + XA = −I2 Hãy xét tính ổn định ma trận A Thay ma trận A, X, I2 vào phương trình Lyapunov cho ta   −6 −5  ⇔  ⇔   p1 p2 p2 p3 −6p2   + −6p3 p1 − 5p2 p2 − 5p3 −12p2 p1 − 5p2 − 6p3  p1 p2 p2 p3  +   −6 −5   = −6p2 p1 − 5p2  −1  = −1 −6p3 p2 − 5p3    −1 p1 − 5p2 − 6p3 =  2p2 − 10p3 −1 Suy ta có hệ phương trình 30  −1  −1       −12p2 = −1    p1 − 5p2 − 6p3 =      2p2 − 10p3 = −1 Giải hệ phương trình ta     p1 =    p2 =       p3 = 67 60 12 60 Do ma trận X có dạng  67   A =  60 12  12 60  Ta thấy X ma trận đối xứng, xác định dương nên theo định lý 2.2 ma trận A ổn định 2.1.3 Phương pháp hàm Lyapunov ổn định hệ phi tuyến Để nghiên cứu toán ổn định cho hệ phi tuyến, nhà toán học Lyapunov đưa phương pháp dựa vào tồn lớp hàm trơn đặc biệt mà sau gọi hàm Lyapunov Tính ổn định hệ thử trực tiếp qua dấu đạo hàm dọc quỹ đạo theo vế phải hệ cho Trong phần này, trình bày chúng minh định lý ổn định 31 Lyapunov - kết quan trọng ổn định theo phương pháp hàm Lyapunov Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng x˙ = f (x), f (0) = 0, t ∈ [0, +∞) (2.7) Định nghĩa 2.4 Hàm V (x) : D −→ R, D lân cận mở tùy ý Rn , gọi hàm Lyapunov hệ (2.7) i) V (x) hàm khả vi liên tục D ii) V (x) hàm xác định dương ∂V iii) Df V (x) := (x)f (x) ≤ 0, ∀ x ∈ D ∂x Hàm Df V (x) xác định gọi đạo hàm Lyapunov V f Định nghĩa 2.5 Hàm V (x) gọi hàm Lyapunov chặt hàm Lyapunov bất đẳng thức điều kiện iii) thực âm với x nằm lân cận đó, xác hơn: ∃ c > : Df V (x) ≤ −c x < 0, x ∈ G \ {0} Với tồn hàm Lyapunov, Định lý quan trọng sau cho ta điều kiện đủ để hệ (2.7) ổn định, ổn định tiệm cận Định lý 2.3 [4, Định lý 3.14.] Nếu hệ (2.7) có hàm Lyapunov ổn định Hơn nữa, hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Chứng minh Giả sử hệ (2.7) có hàm Lyapunov V (x), ta chứng minh hệ ổn định 32 ¯ ε) ⊆ Lấy ε > bất kì, đủ nhỏ cho hình cầu đóng Vε (0) = B(0, D Với số k > xây dựng tập Dk sau Dk = {x ∈ D : V (x) < k} Khi đó, Dk tập mở Từ tính liên tục hàm V (x) V (0) = 0,thì tồn số k0 > đủ nhỏ cho Dk0 ⊆ Vε (0) Vì ∈ Dk nên ∈ intDk Khi ta chọn δ > đủ nhỏ ¯ δ) ⊆ Dk cho hình cầu đóng Vδ (0) = B(0, Lấy x0 ∈ Vδ (0) Giả sử x(t) nghiệm hệ (2.7) thỏa mãn x(t0 ) = x0 , theo giả thiết V (x) hàm Lyapunov nên d V (x(t)) ≤ dt Tích phân hai vế bất đẳng thức từ [t0 , t] ta có t t0 d V (x(t))dt = V (x(t)) − V (x0 ) ≤ 0, dt suy V (x0 ) ≥ V (x(t)), ∀ t ≥ t0 Mặt khác x0 ∈ Vδ (0) ⊆ Dk0 , nên V (x0 ) < k0 V (x(t)) < k0 , ∀ t > t0 Vậy x(t) ∈ Dk0 ⊆ Vε (0), 33 hay hệ cho ổn định Tiếp theo ta chứng minh hàm Lyapunov chặt hệ (2.7) ổn định tiệm cận Để chứng minh hệ (2.7) ổn định tiệm cận ta cần chứng minh nghiệm x(t) hệ tiến tới t −→ +∞ Vì V (x) hàm Lyapunov chặt, nghiệm x(t) thỏa mãn d V (x) ≤ −c||x||, c > 0, ∀ x ∈ D \ {0} dt (2.8) Vì hàm V (x(t)) giảm theo t nên tồn giới hạn limV (x(t)) = a Hơn V (x) hàm xác định dương nên a ≥ Theo tính chất liên tục V (x) để chứng minh định lý ta cần chứng minh a = Chứng minh phản chứng: Giả sử a > Khi ta có ∃ a > 0, ∃ T > : x(t) ≥ a > 0, ∀ t ≥ T Xét nghiệm x(t), x(T ) = x0 , từ bất đẳng thức (2.8), ta lấy tích phân hai vế từ T đến t, ta có V (x(t)) − V (x0 ) ≤ −ca(t − T ), ∀t ≥ T, V (x(t)) ≤ −ca(t − T ) + V (x0 ), ∀ t ≥ T Vì V (x(t)) ≥ 0, ∀ t ≥ T , cho t −→ +∞ bất đẳng thức nghiệm 34 ca(t − T ) ≤ V (x0 ) < +∞ Khi cho t tiến tới vô vế trái tiến tới vô cùng, điều mâu thuẫn Suy giả sử sai Định lý chứng minh Nhận xét 2.2 Chú ý rằng, điều kiện định nghĩa 2.5 ta thay vế phải hàm số không giảm γ(.) : R+ → R+ cho Df V (t, x) ≤ −γ( x ) < 0, ∀ t ∈ R+ , ∀ x ∈ D \ {0} Ví dụ 2.1.5 Xét hệ phương trình vi phân   x˙ = −x42 x1 , t ≥  x˙ = x4 x2 Chọn hàm V (x) = x41 + x42 ta có: Df V (x) = 4x31 x˙ + 4x32 x˙ = −4x41 x42 + 4x41 x42 =0 Mặt khác hàm V (x) khả vi liên tục, xác định dương Suy V (x) hàm Lyapunov hệ cho Dó hệ ổn định Tuy nhiên hệ không ổn định tiệm cận Df V (x) không thực âm 35 2.2 Nguyên lý LaSalle Chúng ta nghiên cứu ổn định theo nghĩa Lyapunov, sau tiếp tục nghiên cứu nguyên lý bất biết LaSalle ứng dụng nguyên lý cho ổn định tiệm cận 2.2.1 Tập giới hạn tập bất biến Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng x˙ = f (x) (2.9) Trong f hàm liên tục Lipschitz địa phương tập mở D ⊂ Rn Nghiệm x(t) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 kí hiệu x(t, x0 ) Nghiệm tồn khoảng cực đại J = (t− , t+ ) với −∞ ≤ t− < < t+ sinh quỹ đạo γ = x(t) Các tập hợp γ + = x([0, t+ )) γ − = x((t− , 0]) gọi tương ứng nửa quỹ đạo dương nửa quỹ đạo âm Định nghĩa 2.6 Một điểm a ∈ Rn gọi điểm ω−giới hạn nghiệm x(t) t+ = +∞ tồn dãy tk −→ +∞ cho lim x(tk ) = a k→∞ Tập hợp L+ gồm tất điểm ω−giới hạn gọi tập ω−giới hạn Định nghĩa 2.7 Một điểm a ∈ Rn gọi điểm α−giới hạn nghiệm x(t) t− = −∞ tồn dãy tk −→ −∞ cho 36 lim x(tk ) = a k→∞ Tập hợp L− gồm tất điểm α−giới hạn gọi tập α−giới hạn Nhận xét 2.3 Khi x(t) nghiệm hệ x(t + t0 ) nghiệm hệ Hai nghiệm có tập giới hạn, ta có L+ (x0 ) = L+ (γ(x0 )) L− (x0 ) = L− (γ(x0 )) Ta thường dùng kí hiệu ω(A) α(A) để tập ω−giới hạn tập α−giới hạn A Định nghĩa 2.8 Một tập M ⊂ D gọi bất biến dương (tương ứng bất biến âm, bất biến ) phương trình vi phân (2.9) γ + (M ) ⊂ M (tương ứng γ − (M ) ⊂ M, γ(M ) ⊂ M ) Ta kí hiệu dist(x, A) = inf{ x − a : a ∈ A} khoảng cách điểm tập hợp Ta có định lý quan trọng sau Định lý 2.4 [1, Định lý 2.2] Giả sử x(t) nghiệm (2.9) khoảng tồn cực đại J với ∈ J Nếu J + ⊂ K, với K tập Compact D t+ = +∞, tập ω−giới hạn L+ ⊂ K tập khác rỗng, Compact, liên thông, bất biến lim dist(x(t), L+ ) = t→+∞ Nói riêng, nghiệm x(t, x0 ), x0 ∈ L+ tồn đường thẳng thực 37 2.2.2 Nguyên lý bất biến LaSalle Xét hệ (2.9), với f hàm liên tục Lipschitz địa phương tập mở D ⊂ Rn chứa Nếu f (0) = điểm cân x = ổn định tiệm cận tập hợp η ∈ D cho nghiệm tướng ứng x(t, η) −→ t −→ +∞ lân cận gốc tọa độ Ta gọi tập miền hút Tổng quát hơn, ta có định nghĩa miền hút tập Định nghĩa 2.9 Cho M tập bất biến dương Ta gọi miền hút M tập hợp η ∈ D thỏa mãn dist(x(t, η), M ) −→ t −→ +∞ Định lý 2.5 (Nguyên lý bất biến LaSalle- [1, Định lý 2.4.]) Giả sử Ω ⊂ D tập Compact, bất biến dương phương trình x˙ = f (x) Hàm V : D −→ R hàm khả vi liên tục cho V˙ (x) ≤ Ω E tập điểm Ω mà V˙ (x) = M tập bất biến lớn E Khi Ω chứa miền hút M , tức lim dist(x(t, x0 ), M ) = 0, ∀x0 ∈ Ω t→+∞ Chứng minh Giả sử x(t) xác định Ω nghiệm phương trình cho Theo giả thiết V˙ (x) ≤ Ω nên V (x(t)) hàm không tăng Ω Mặt khác V (x) liên tục tập Compact Ω nên bị chặn Ω Giả sử V (x(t)) −→ a t −→ +∞ 38 Vì Ω tập đóng nên tập ω− giới hạn L+ nghiệm x(t) nằm Ω Do với p ∈ L+ , tồn dãy {tn } với tn −→ +∞ thỏa mãn n −→ ∞ x(tn ) −→ p Từ từ tính liên tục V (x) suy V (p) = lim V (x(tn )) = n→∞ a Khi ta có V (x) = a L + Ta có L+ bất biến V˙ (x) = L+ Do L+ ⊂ M ⊂ E ⊂ Ω Do x(t) bị chặn nên áp dụng định lý 2.4 ta x(t) −→ L+ t −→ +∞ Từ suy x(t) −→ M t −→ +∞ Định lý chứng minh Định lý sau cho ta kết quan trọng ứng dụng nguyên lý bất biến LaSalle vào chứng minh ổn định tiệm cận Định lý 2.6 (Định lý ổn định LaSalle- [1, Định lý 2.5.]) Giả sử f hàm liên tục Lipschitz địa phương D với f (0) = V ∈ C (D) hàm Lyapunov f Nếu M = {0} tập bất biến lớn tập N = {x ∈ D : V˙ (x) = 0}, điểm cân ổn định tiệm cận ¯ r) ⊂ D Chứng minh Lấy r > đủ nhỏ cho hình cầu đóng B(0, V (x) > γ > với x = r > Khi tập hợp Ω = {x ∈ B(0, r) : V (x) ≤ γ} thảo mãn giả thiết nguyên lý bất biến LaSalle Từ suy điều phải chứng minh 39 Kết luận Khoá luận tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Cụ thể, khoá luận, trình bày hai phương pháp để nghiên cứu tính ổn định Phương pháp hàm Lyapunov nguyên lý bất biến LaSalle Liên hệ nhiều kiện tưởng rời rạc đại số, giải tích thông qua tính toán luỹ thừa ma trận chứng minh số định lý Sau nghiên cứu đề tài này, hiểu sâu tính ổn định, tính chất quan trọng chủ yếu lý thuyết định tính hệ động lực qua làm quen với việc nghiên cứu khoa học Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến Thầy, Cô bạn để luận văn hoàn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo ThS Trần Văn Tuấn tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! 40 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2015 [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Thu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, phần NXB Giáo dục Việt Nam, 2003 [3] PGS TS Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2005 [4] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Zabczyk J, Mathematical Control Theory, Birkhauser, 1992 41 ... cho v(t) (t, v(t)), t [t0 , t1 ], (1. 9) v(t) (t, v(t)), t [t0 , t1 ], (1. 10) hoc 13 thỡ v(t) u(t), t [t0 , t1 ] (1. 11) v(t) u(t), t [t0 , t1 ], (1. 12) hoc tng ng ú u l mt nghim ca... gi s sai Vy (1. 11) c chỳng minh Tng t nh trờn, t (1. 10) ta chng minh c (1. 12) H qu 1. 1 Nu v(ã, ã) l mt hm liờn tc tuyt i trờn [t0 , t1 ] cho vi s R v(t) v(t), a.s trờn [t0 , t1 ] thỡ v(t)... thỏng 05 nm 2 017 Sinh vi n Lng Thanh Hu Mc lc Bng kớ hiu Li m u H phng trỡnh vi phõn cp mt 1. 1 H phng trỡnh vi phõn cp mt 1. 2 Bt ng thc vi phõn 11 1. 3 Mt s kin thc