Số mũ trung tâm và tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM MỸ LINH SỐ MŨ TRUNG TÂM VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM MỸ LINH SỐ MŨ TRUNG TÂM VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hồn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể Thầy, Cơ giáo khoa Tốn, đặc biệt chun ngành Tốn Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Tác giả Phạm Mỹ Linh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Số mũ trung tâm tính ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính tơi tự làm Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Tác giả Phạm Mỹ Linh Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Phương trình sai phân ẩn 1.1 Khái niệm số phương trình sai phân ẩn 1.2 Bài toán Cauchy 19 Số mũ trung tâm hệ phương trình sai phân thường 28 2.1 C - số mũ hệ rời rạc tuyến tính 28 2.2 Số mũ trung tâm cho hệ sai phân tuyến tính 34 2.3 Số mũ trung tâm hệ có nhiễu 36 Số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn 41 3.1 Số mũ trung tâm hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn 41 3.2 Số mũ trung tâm cho hệ có nhiễu 45 Tài liệu tham khảo 48 Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên N0 Tập số tự nhiên số R Tập số thực Rm Không gian véc tơ thực m-chiều x Chuẩn Euclid véc tơ x AT Chuyển vị ma trận A I Ma trận đơn vị cấp m O Ma trận không vuông cấp m diag(M, N ) Ma trận đường chéo khối span {v1, , vn} Không gian sinh véc tơ v1 , ✷ Kết thúc chứng minh Mở đầu Lí chọn đề tài Khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình vi phân thường R E Vinograd xây dựng [6] nhằm nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân thường Tương ứng, Đồn Trịnh Ninh [3] xây dựng khái niệm số mũ trung tâm ứng dụng khái niệm số mũ trung tâm nghiên cứu ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính Trong [1] Lê Cơng Lợi trình bày nghiên cứu nhóm giáo sư Phạm Kỳ Anh, Lê Cơng Lợi, tính chất định tính phương trình sai phân ẩn Trong [2] Hồng Nam xây dựng khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình vi phân đại số Một câu hỏi tự nhiên đặt là: Liệu xây dựng khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn, tương tự [2] cho hệ phương trình vi phân đại số mở rộng [3] cho hệ phương trình sai phân tuyến tính hay khơng? Mục đích nghiên cứu 1) Trình bày khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân thường 2) Xây dựng khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân ẩn 3) Ứng dụng số mũ trung tâm nghiên cứu tính ổn định phương trình sai phân thường phương trình sai phân ẩn Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày khái niệm ứng dụng số mũ trung tâm nghiên cứu phương trình sai phân Xây dựng khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu Số mũ trung tâm tính ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính Phương pháp nghiên cứu 1) Thu thập tài liệu liên quan tới số mũ trung tâm tính ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính 2) Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan đến đề tài nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn Cố gắng xây dựng Luận văn tổng quan số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng Hy vọng Luận văn làm rõ khả mở rộng khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn ứng dụng khái niệm nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn Chương Phương trình sai phân ẩn Chương trình bày kiến thức hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn, chủ yếu dựa theo tài liệu [1] số tài liệu khác với diễn giải chi tiết có bổ sung thêm số ví dụ 1.1 Khái niệm số phương trình sai phân ẩn Xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính An xn+1 = Bn xn + qn , n (1.1) Giả sử An ma trận suy biến, khác khơng, có hạng hằng, tức rank An = r với n ∈ N0 , < r < m Khi xét khai triển kì dị An An = Un T n Vn , (1) n (2) ma trận đường chéo với giá trị kì dị σn ≥ σn ≥ ≥ (r) σn > đường chéo chính, hay (1) n n (2) có dạng (r) = diag(σn , σn , , σn , 0, , 0), 35 n ∈ N nghiệm x(n) hệ (2.1) Đối với hệ sai phân tuyến tính (2.1), khái niệm số mũ trung tâm xây dựng nhờ họ ℘ mà xây dựng thơng qua ma trận X(n, s) = X(n)X −1 (s), X(n) ma trận hệ (2.1), n ≥ s, n ∈ N, s ∈ N Thực vậy, với ý X(n, s) = max x x(n) x(0) (2.23) Từ (2.21), sở định nghĩa mục 2.1 ta suy định nghĩa sau Định nghĩa 2.2.1 Dãy vô hướng, dương R(n) gọi dãy hay C - dãy hệ (2.1) hồn tồn giới nội thỏa mãn đánh giá n−1 X(n, s) ≤ DR (2.24) R(υ) υ=s Tập R tất dãy gọi lớp hay C - lớp hệ (2.1) số Ω = Ω(A) = inf ln R R∈R(A) gọi số mũ trung tâm hay C - số mũ hệ (2.1) Theo Bổ đề 2.1.1 công thức (2.24), C - số mũ hệ (2.1) xác định đại lượng Ω2 (A), Ω3 (A): Ω = Ω2 (A) = Ω3 (A), Ω2 = Ω2 (A) = inf H>0 lim n→∞ nH n−1 ln X(υ + H, υ) υ=0 ; (2.25) 36 Ω3 = Ω3 (A) = lim H→∞ lim n→∞ nH n−1 ln X(υ + H, υ) (2.26) υ=0 Một cách tương tự, số mũ trung tâm hệ (2.1) xác định qua ma trận X(n, s) sau Vì x x(n) = x(s) 1 = −1 x(s) X (n, s) max x x(n) nên lớp χ(A) hệ (2.1) xác định tập dãy vơ hướng, dương, hồn tồn giới nội r(n) thỏa mãn đánh giá ≥ dr X −1 (n, s) tức n−1 r(υ), (2.27) υ=s n−1 X −1 (n, s) ≤ Dr r−1 (υ) υ=s Còn số mũ trung tâm hay C - số mũ hệ (2.1) số ω = ω(A) = sup ln r r∈χ(A) 2.3 Số mũ trung tâm hệ có nhiễu Xét hệ có nhiễu y(n + 1) = A(n)y(n) + f (n, y(n)), (2.28) nhiễu phi tuyến f (n, y(n)) p - véc tơ thỏa mãn: f (n, y(n)) ≤ δ(n) y(n) , δ(n) ≤ δ (2.29) 37 Định lý 2.3.1 Với ε > cho trước luôn tồn δ > đủ bé cho f (n, y(n)) thỏa mãn (2.29), ta có bất đẳng thức: y(n) ≤ Dε y(0) e(Ω+ε)n (2.30) nghiệm y(n) hệ (2.28), Ω C - số mũ hệ tuyến tính (2.1), Dε số dương phụ thuộc ε Chứng minh Giả sử R(n) dãy hệ (2.1), xác định C - số mũ Ω Theo định nghĩa, ma trận X(n, s) thỏa mãn đánh giá (2.24) n−1 X(n, s) ≤ DR (2.31) R(υ) υ=s Nghiệm y(n) hệ (2.28) biểu diễn dạng: n−1 y(n) = X(n, 0)y(0) + X(n, υ + 1)f (υ, y(υ)) υ=0 Do đó, theo (2.20) ta có A−1 (υ) ≤ m, ∀υ > nên n−1 y(n) ≤ X(n, 0) y(0) + n−1 ≤ DR y(0) X(n, υ) A−1 (υ) υ=0 n−1 R(υ) + υ=0 f [υ, y(υ)] n−1 DR mδ(υ) y(υ) υ=s υ=0 Đặt −1 n−1 z(n) = y(n) R(υ) , υ=0 ta có n−1 z(n) ≤ DR y(0) + DR mδ(υ)z(υ) υ=0 R(s) 38 Áp dụng Bổ đề Bellman (Bổ đề 1.1 [3]) ta có n−1 z(n) ≤ DR y(0) [1 + DR mδ(υ)] , υ=0 hay n−1 y(n) ≤ DR y(0) (1 + ε )R(υ) (2.32) υ=0 với ε = ε δ(n) đủ bé δ(n) ≤ δ ≤ ε DR m Mặt khác, theo định nghĩa Ω = sup ln R R∈R nên ln R ≤ Ω + ε Vì lim ln n→∞ n n−1 (1 + ε )R(υ) < Ω + ε + ln(1 + ε ) υ=0 với Ω + 2ε = Ω + ε Kết hợp điều với (2.32) ta có chứng minh định lý Định lý 2.3.2 Nếu C - số mũ Ω hệ sai phân tuyến tính (2.1) âm nghiệm tầm thường hệ (2.28) ổn định tiệm cận với nhiễu cấp q > 1, nghĩa f (n, y(n)) ≤ k y(n) q , k > 0, q > 1, (2.33) 39 f (n, 0) ≡ Chứng minh Chọn λ > cho Ω1 = Ω+λ < Tác động vào hệ (2.28) phép đổi biến y(n) = eλn z(n) (2.34) z(n + 1) = eλ A(n)z(n) + ϕ(n, z(n)), (2.35) ta hệ ϕ(n, z(n)) = eλ(n+1) f (n, e−λ(n+1) (n)) Dễ thấy hệ sai phân tuyến tính u(n + 1) = eλ A(n)u(n) có số mũ trung tâm Ω + λ = Ω1 , ϕ(n, z(n)) = eλ(n+1) f (n, e−λn (n)z(n)) = Keλ(n+1) e−λn z(n) q = Keλ[1−(q−1)n] z(n) q−1 δ(n) = Keλ[1−(q−1)n] z(n) q−1 z(n) , thỏa mãn điều kiện δ(n) ≤ δ n đủ lớn với z(n) nhỏ, z(n) < L, L số dương Áp dụng định lý 2.4.1, n lớn ta có z(n) ≤ Dε z(0) e(Ω+λ+ε)n 40 nghiệm z(n) hệ (2.35) Nói cách khác, với nghiệm y(n) hệ (2.28), (2.34) n lớn ta có y(n) ≤ Dε y(0) e(Ω+ε)n , Ω + ε < Chứng tỏ nghiệm tầm thường hệ (2.28) ổn định tiệm cận mũ Định lý chứng minh 41 Chương Số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn Chương đưa khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn, tương tự hóa số mũ trung tâm cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính [2] [6] , có kết hợp với khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính [3] chương 3.1 Số mũ trung tâm hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn Cho hệ sai phân tuyến tính ẩn A(n)x(n + 1) = B(n)x(n), x ∈ Rm , (3.1) detA(n) = 0, ∀n rankA(n) = const, ∀n B(n) ma trận hoàn toàn giới nội sup B(n) = M < ∞, sup B −1 (n) = m < ∞ n n (3.2) 42 Trong chương ta giả thiết hệ (3.1) quy số (xem chương 1) Ta xét họ ℘ dãy vô hướng dương xác định sau: ℘= x(n + 1) x(n) px (n), px (n) = , x(n) nghiệm hệ (3.1), x = (x, x) chuẩn véc tơ x, điều kiện (3.2), họ ℘ hoàn toàn giới nội phụ thuộc liên tục vào tham số x Định nghĩa 3.1.1 Dãy vơ hướng, dương, hồn tồn giới nội R(n) gọi dãy họ ℘x n−1 n−1 px (n) ≤ DR υ=0 R(υ), υ=0 DR số chung cho px DR ∈ R, tổng quát mà nói, phụ thuộc vào việc chọn R(n) Tập hợp tất dãy gọi C - lớp họ ℘x kí hiệu R = R(℘x ) Định nghĩa 3.1.2 Ta gọi Ω = Ω(℘x ) = inf ΩR , R∈R ΩR = lim n→∞ n n−1 ln R(υ) υ=0 số mũ trung tâm trên, hay C - số mũ họ ℘x 43 Một cách tương tự, dãy vơ hướng, dương, hồn tồn giới nội r(n) gọi dãy họ ℘x ta có n−1 n−1 px (υ) ≥ dr υ=0 r(υ) υ=0 Với số dr chung cho px dr ∈ R Tập hợp tất dãy gọi lớp hay C - lớp họ ℘x , kí hiệu χ = χ(℘x ), số ω = ω(℘x ) = sup lim r∈χ H→∞ n n−1 ln r(υ) υ=0 gọi số mũ trung tâm hay C - số mũ họ cho Đối với hệ sai phân tuyến tính ẩn (3.1), khái niệm số mũ trung tâm xây dựng nhờ họ ℘ mà xây dựng thơng qua ma trận X(n, s) = X(n)X −1 (s), X(n) ma trận nghiệm cực đại hệ (3.1), n ≥ s, n ∈ N, s ∈ N Nhận xét với hệ phương trình sai phân ẩn (3.1) ma trận Cauchy X(n, s) có hạng nhỏ m Xét X(n) gọi ma trận nghiệm cực đại chứa số cột nghiệm lớn độc lập tuyến tính Với ý X(n, s) = max x ta có định nghĩa sau x(n) x(0) 44 Định nghĩa 3.1.3 Dãy vô hướng, dương R(n) gọi dãy hay C - dãy hệ (3.1) hồn tồn giới nội thỏa mãn đánh giá n−1 X(n, s) = DR R(υ) υ=s Tập R tất dãy gọi lớp hay C - lớp hệ (3.1) số Ω = Ω(R) = inf ln R R∈R gọi số mũ trung tâm hay C - số mũ hệ (3.1) Một cách tương tự, số mũ trung tâm hệ (3.1) xác định qua ma trận X(n, s) sau Vì x x(n) = x(s) 1 = x(s) X −1 (n, s) max x x(n) nên lớp χ hệ (3.1) xác định tập dãy vơ hướng, dương, hồn tồn giới nội r(n) thỏa mãn đánh giá ≥ dr X −1 (n, s) tức n−1 r(υ), υ=s n−1 X −1 r−1 (υ) (n, s) ≤ Dr υ=s Còn số mũ trung tâm hay C - số mũ hệ (3.1) số ω = ω(χ) = sup ln r r∈χ 45 3.2 Số mũ trung tâm cho hệ có nhiễu Xét hệ có nhiễu sau A(n)x(n + 1) + B(n)x(n) + f (n, x(n)) = 0, (3.3) với điều kiện ban đầu P0 (x0 − x0 ) = nhiễu f (n, x(n)) giả thiết nhỏ theo nghĩa sau f (n, x(n)) ≤ δ(n) x(n) (3.4) với n ∈ N, x(n) ∈ Rm , với hàm δ : N → N sau ta giả thiết δ(n) ≤ δ, ∀n ∈ N, δ > Thêm vào đó, giả thiết hàm f (n, x(n)) có đạo hàm riêng liên tục x fx (n, 0) đủ nhỏ Định lý 3.2.1 Giả sử f hàm số liên tục theo hai biến khả vi theo x, thỏa mãn (3.4) đồng thời thỏa mãn fx (n, 0) ≤ G−1 (n) α Q(n) T (n) với T (n) = Vn−1 VnT số < α < cố định Khi nghiệm không tầm thường x(n) hệ (3.3) nghiệm hệ tuyến tính có dạng A(n)x(n + 1) + B(n)x(n) + F (n)x(n) = 0, (3.5) F (n)x(n) đủ nhỏ f (n, x(n)), tức F (n) ≤ δ(n), ∀n ∈ N 46 Chứng minh Từ (3.4) kéo theo f (n, 0) = 0, ∀n ∈ N Do x(n) = nghiệm tầm thường (3.3) Ta có A(n) + B(n)T (n)Q(n) + fx (n, 0)T (n)Q(n) = (A(n) + B(n)T (n)Q(n)) I + [A(n) + B(n)T (n)Q(n)]−1 fx (n, 0)T (n)Q(n) (3.6) Theo giả thiết fx (n, 0) ≤ Suy fx (n, 0) G−1 (n) G−1 (n) Q(n) α Q(n) T (n) T (n) ≤ α < Vì I + [A(n) + B(n)T (n)Q(n)]−1 fx (n, 0)T (n)Q(n) khả nghịch Vì A(n)x(n + 1) + B(n)x(n) = q(n) quy số 1, G(n) = A(n) + B(n)T (n)Q(n) khả nghịch Do (3.6) khả nghịch Suy phương trình (3.3) quy số N Chứng tỏ nghiệm toán giá trị đầu (3.3) tồn nên nghiệm không tầm thường x(n) (3.3) với điều kiện ban đầu x(0) không bị triệt tiêu ∀n ∈ N Đặt F (n, x(n)) = x(n), x(0) x(0) f (n, x(0)) Rõ ràng F (n, x(n)) tuyến tính theo biến thứ nên F (n, x(n)) = F (n)x(n) với F (n) đó, ngồi ∀n ∈ N ta có F (n, x(n)) = F (n, x(n)) ≤ x(n) x(0) x(0) x(n) ≤ δ(n) x(0) = δ(n) x(n) f (n, x(0)) x(0) 47 Suy F (n) ≤ δ(n) Hơn F (n)x(0) = F (n, x(0)) = x(n), x(0) x(0) f (n, x(0)) = f (n, x(0)) Do x(n) nghiệm không tầm thường (3.5) Từ Định lý 3.3.1, tương tự [3] ta chứng minh định lý sau Định lý 3.2.2 Với ε > cho trước luôn tồn δ > đủ bé cho f (n, y(n)) thỏa mãn (3.4), ta có bất đẳng thức: x(n) ≤ Dε x(0) e(Ω+ε)n nghiệm x(n) hệ (3.3), Ω C - số mũ hệ tuyến tính ẩn (3.1), Dε số dương phụ thuộc ε Từ Định lý 3.3.1 Định lý 3.3.2, tương tự [3] ta có định lý ổn định tiệm cận mũ hệ có nhiễu dựa C - số mũ hệ sai phân tuyến tính ẩn sau Định lý 3.2.3 Giả sử hệ (3.3) có nhiễu f (n, x(n)) cấp q > 1, nghĩa f (n, x(n)) ≤ k x(n) q , k > 0, q > 1, (3.7) f (n, 0) ≡ Khi C - số mũ Ω hệ sai phân tuyến tính ẩn (3.1) âm nghiệm tầm thường hệ (3.3) ổn định tiệm cận 48 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Lê Công Lợi (2004), Phương trình sai phân ẩn tuyến tính khơng dừng số 1, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội (Luận án tiến sĩ) [2] Hoàng Nam (2004), Lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân đại số tuyến tính qui số 1, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (Luận án tiến sĩ) [3] Đoàn Trịnh Ninh (1979), Về việc phát triển phương pháp thứ A M Lyapunov cho hệ sai phân hữu hạn, Đại học Tổng hợp Hà Nội (Luận án Phó Tiến sĩ) [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Andirianova (1995), Introduction to Linear Systems of Defferential Equations, American Mathematical Society, USA 49 [5] Hoang Nam (2006), "The Central Exponent and Asymptotic Stability of Linear Differential Algebraic Equation of Index 1", Vietnam Journal of Mathematics, Vol.34, No1, pp - 16 [C] Tài liệu tiếng Nga [6] Bylov B F., Grobman B M., Nemyckii V V and R E Vinograd (1966), The Theory of Lyapunov Exponents, Nauka, Moscow ... niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân thường 2) Xây dựng khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân ẩn 3) Ứng dụng số mũ trung tâm nghiên cứu tính ổn định phương trình sai. .. rạc tuyến tính 28 2.2 Số mũ trung tâm cho hệ sai phân tuyến tính 34 2.3 Số mũ trung tâm hệ có nhiễu 36 Số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính. .. Số mũ trung tâm hệ phương trình sai phân thường Chương trình bày khái niệm số mũ trung tâm hệ sai phân tuyến tính (2.1) x(n + 1) = A(n)x(n), sử dụng khái niệm vào việc nghiên cứu ổn định hệ sai