một vài tiêu chuẩn mới cho tính ổn định và ổn định vững của các phương trình vi phân tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THẾ PHƯƠNG MỘT VÀI TIÊU CHUẨN MỚI CHO TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHUYÊN NGÀNH LÝ THUYẾT TỐI ƯU Mã số: 60 46 20 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC Tp. Hồ Chí Minh - 2012 Lời cảm ơn Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin chân thành gởi tới TS. Phạm Hữu Anh Ngọc, Thầy đã hướng dẫn nhiệt tình, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Lý Thuyết Tối Ưu Khoa Toán – Tin học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã giảng dạy, truyền thụ kiến thức và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trường. Tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Lý Thuyết Tối Ưu khóa 20 đã có những đóng góp, trao đổi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người đã luôn ở bên cạnh động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, trong quá trình thực hiện, luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô và bạn đọc để bổ sung và hoàn thiện đề tài tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn. Tp.HCM, ngày 11 tháng 06 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thế Phương 2 Mục lục Lời cảm ơn 2 Bảng kí hiệu 3 Lời nói đầu 6 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Nhắc lại một số kiến thức trong giải tích cổ điển và giải tích hàm . . . 8 1.2 Ma trận Metzler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Hệ dương và ổn định tiệm cận mũ của hệ dương . . . . . . . . . . . . . 16 2 Ổn định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian 22 2.1 Ổn định tiệm cận mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu nhiễu bội phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu nhiễu affine phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 KẾT LUẬN 35 Tài liệu tham khảo 36 5 Bảng kí hiệu N tập hợp số tự nhiên; R tập hợp số thực; C tập hợp số phức; K tập hợp số thực R hoặc tập hợp số phức C; m {1, 2, , m} với m ∈ N; m 0 {0, 1, 2, , m} với m ∈ N; C + {z = a + bi ∈ C|Rez = a > 0}; R n tập hợp tất cả các vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực; R n + tập hợp tất cả các vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực không âm; x, y ∈ R n , x ≥ y x −y ∈ R n + với n ∈ N; x, y ∈ R n , x > y x − y ∈ R n + \{0} với n ∈ N; x ∈ R n , x T vectơ hàng n chiều có các thành phần là số thực; x ∈ R n , x  0 vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực dương; x ∈ R n , x ≥ 0 vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực không âm; x ∈ R n , x > 0 vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực không âm trong đó có ít nhất một thành phần khác 0; e i ∈ R n , i ∈ n vectơ cột n chiều có thành phần thứ i bằng 1 và các thành phần khác đều bằng 0; R m×n tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n có các phần tử là số thực; C m×n tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n có các phần tử là số phức; R m×n + tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n có các phần tử là số thực không âm; I n ma trận thực cấp n ×n có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0 và các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1; A ≥ B A, B ∈ R m×n và A − B ∈ R m×n + với m, n ∈ N; σ (A) phổ của ma trận A (tập hợp tất cả các giá trị riêng của A) σ (A) = {z ∈ C|det (zI n − A) = 0}; 3 µ (A) hoành độ phổ của ma trận A, µ (A) = max {Reλ : λ ∈ σ (A)}; ρ (A) bán kính phổ của ma trận A, ρ (A) = max {|λ| : λ ∈ σ (A)}; x = (x i ) ∈ R n , |x| (|x i |) ∈ R n + , i ∈ n; P = (p ij ) ∈ R l×q , |P | (|p ij |) ∈ R l×q + , i ∈ l, j ∈ q; P = (p ij ) ∈ R l×q , P T ma trận chuyển vị của P , P T = (p ji ) , i ∈ l, j ∈ q; C([a, b], K n ) không gian Banach các hàm liên tục trên đoạn [a, b], nhận giá trị trong K n ; C(R + , R n ) không gian vectơ các hàm liên tục trên [0, +∞), nhận giá trị trong R n ; C(R, R n×n ) không gian vectơ các hàm liên tục trên R, nhận giá trị trong R n×n . 4 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có lịch sử hơn 100 năm và bắt đầu với những công trình của nhà Toán học nổi tiếng người Nga Aleksandr Lyapunov (1857-1918): - On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in 1884, Russian); - General problem of the stability of motion (1892, in Russian). Hơn 100 năm qua, được thúc đẩy bởi các ứng dụng trong các ngành kĩ thuật, các bài toán ổn định và ổn định vững của các hệ động lực luôn là những vấn đề trung tâm trong lí thuyết điều khiển của các hệ động lực và được các nhà Kĩ thuật, Toán học, Cơ học, quan tâm nghiên cứu, xem [1]-[4], [9]-[21], [38]-[39], [41], [43]-[44]. Nói riêng, lí thuyết ổn định tổng quát của các hệ tuyến tính đã phát triển một cách gần như hoàn chỉnh. Khác với các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng (khá đơn giản), các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian khá phức tạp. Các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian không có nhiều và thường được cho bởi các điều kiện dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) phức tạp và khó sử dụng, xem [1]-[2], [20]-[21], [26]-[27], [38]-[39]. Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu các điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian và tìm các biên ổn định cho các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu nhiễu phụ thuộc thời gian. Các vấn đề được đặt ra trong luận văn này là mở và có ý nghĩa khoa học. Các kết quả mong đợi là mới và là một đóng góp có ý nghĩa trong lí thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân. Luận văn gồm lời mở đầu và hai chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6 Chương này nhắc lại một vài kiến thức trong giải tích cổ điển và giải tích hàm được sử dụng trong luận văn. Đồng thời, chương này giới thiệu khái niệm ma trận Metzler, các tính chất của ma trận Metzler, hệ dương, khái niệm ổn định tiệm cận mũ và một số điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định tiệm cận mũ của hệ dương. Chương 2. Ổn định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian Chương này trình bày các kết quả chính của luận văn. Chúng tôi cho một vài điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định tiệm cận mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian (Định lý 2.1.3). Ngoài ra, một vài điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu nhiễu phụ thuộc thời gian cũng được trình bày (Định lý 2.2.1 và 2.3.1). Bên cạnh đó, một vài ví dụ cũng được cho để minh họa các kết quả thu được (Ví dụ 2.1.4, 2.2.2 và 2.3.2). 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhắc lại một số kiến thức trong giải tích cổ điển và giải tích hàm Phần này giới thiệu một vài định nghĩa và định lý trong giải tích như khái niệm không gian định chuẩn, tính đơn điệu của chuẩn trong K n , chuẩn toán tử, chuẩn toán tử của các ma trận, hàm số liên tục tuyệt đối trên một đoạn, Các định nghĩa và định lý này sẽ được sử dụng thường xuyên trong các phép chứng minh tính ổn định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính ở chương 2. Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn Cho E là một không gian vectơ trên K, cho . là một ánh xạ từ E vào R, ta nói . là chuẩn trên E, nếu nó có các tính chất sau (i) x ≥ 0 với mọi x ∈ E, x = 0 khi và chỉ khi x = 0. (ii) tx = |t|x với mọi x ∈ E và t ∈ K. (iii) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ E. Nếu . là một chuẩn trên E, ta nói (E, .) là một không gian vectơ định chuẩn. Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể viết tắt (E, .) là E. Không gian R 2 hay R 3 với chuẩn là độ dài vectơ, không gian các hàm số khả tích trên [0, 1] với chuẩn f =  1  0 |f (t)| 2 dt  1 2 là các không gian định chuẩn. Ngoài ra, ta còn có thể kể đến p - chuẩn trên R n với chuẩn x p = (|x 1 | p + |x 2 | p + + |x n | p ) 1 p , 1 ≤ p < ∞ 8 và x ∞ = max i=1,2, ,n |x i |. Chuẩn Euclide hay còn được gọi là chuẩn l 2 thường được sử dụng trong toán học chính là 2 - chuẩn. Định nghĩa 1.1.2 Tính đơn điệu của chuẩn trong K n Một chuẩn . trên K n được gọi là đơn điệu nếu x ≤ y với mọi x, y ∈ K n , |x| ≤ |y|. Định nghĩa 1.1.3 Chuẩn toán tử của các ma trận Cho ma trận A ∈ K l×q , giả sử trên K l , K q lần lượt được trang bị hai chuẩn đơn điệu . l , . q thì chuẩn của ma trận A được định nghĩa là A = max  Ay l : y q = 1  . Chuẩn toán tử của một ma trận gọi tắt là chuẩn của ma trận có một tính chất quan trọng sẽ được sử dụng thường xuyên trong các chứng minh ở chương 2. Tính chất đó được phát biểu như sau: Định lý 1.1.4 [42]Nếu A ∈ K l×q , B ∈ R l×q + , |A| < B thì A ≤ |A| ≤ B. Định nghĩa 1.1.5 Hàm số liên tục tuyệt đối Một hàm số F (x) được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b] nếu với mọi ε > 0 cho trước đều có δ > 0 để cho với một số hữu hạn các khoảng con (a 1 , b 1 ), ,(a n , b n ) rời nhau của đoạn [a, b] thỏa n  i=1 (b i − a i ) < δ thì n  i=1 |F (b i ) −F (a i )| < ε. Định lý 1.1.6 [40]Nếu F (x) là một hàm số liên tục tuyệt đối thì F (x) có đạo hàm hầu khắp nơi. Đồng thời, đạo hàm F  (x) của nó khả tích và ta có F (x) = F (a) + x  a F  (t). 1.2 Ma trận Metzler Định nghĩa 1.2.1 Một ma trận thực cấp n × n được gọi là ma trận Metzler nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều không âm. Điều đó có nghĩa là ma trận A := (a ij ) ∈ R n×n , i, j ∈ n được gọi là ma trận Metzler nếu a ij ≥ 0 với mọi i, j ∈ n, i = j. Từ định nghĩa hàm mũ của một số thực, chúng ta phát biểu một định nghĩa tương tự cho ma trận mũ. 9 Định nghĩa 1.2.2 Cho A là một ma trận thực cấp n × n, khi đó e A = ∞  n=0 A n n! . Chú ý rằng chuỗi được cho trong định nghĩa 1.2.2 hội tụ tuyệt đối. Định nghĩa 1.2.3 Hai ma trận A và B được gọi là giao hoán nếu AB = BA. Từ định nghĩa 1.2.2 và 1.2.3, ta có nhận xét sau đây Nhận xét 1.2.4 (i) Nếu A, B là các ma trận giao hoán thì e A+B = e A .e B . (ii) A ∈ R n×n + ⇒ e A ≥ I n . Định lý 1.2.5 [5] Cho A := (a ij ) ∈ R n×n , i, j ∈ n là ma trận Metzler thì (i) Tồn tại s ∈ R và p > 0 sao cho e A = pe A−sI n ; (ii) Tồn tại p > 0 sao cho e A ≥ pI n ; (iii) e A x  0 nếu x  0 và e A x ≥ 0 nếu x ≥ 0; Chứng minh. (i) Gọi s là số thực thỏa s ≤ min 1≤i≤n {a ii , 0} thì A − sI n ≥ 0. Rõ ràng, theo định nghĩa 1.2.3, sI n giao hoán với bất kì ma trận nào có thể nhân được với nó nên sI n giao hoán với A −sI n . Do đó, e A = e [sI n +(A−sI n )] = e sI n .e (A−sI n ) . Hơn nữa, theo định nghĩa 1.2.2, e sI n = e s I n . Vì vậy, chọn p = e s > 0, ta có e A = pe A−sI n . (ii) Với s ≤ min 1≤i≤n {a ii , 0} thì A − sI n ≥ 0. Từ 1.2.4 (ii), thay thế A bởi A − sI n , ta có e A−sI n ≥ I n . Điều này kéo theo e A ≥ e s I n . Chọn p sao cho 0 < p ≤ e s , chúng ta có ngay điều phải chứng minh. (iii) Dễ dàng kiểm tra (iii) đúng khi nhân x vào bên phải hai vế bất đẳng thức e A ≥ pI n trong (ii). Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (1) ˙x(t) = Ax(t) + b, t ≥ 0, trong đó A ∈ R n×n , b ∈ R n , x(·) ∈ C(R + , R n ). 10 [...]... của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương Từ đó, chúng tôi phát biểu một vài điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định tiệm cận mũ của hệ dương Kết quả chính của luận văn được trình bày trong chương 2 Cụ thể là, chúng tôi chứng minh một vài điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định tiệm cận mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian Xa hơn nữa, chúng tôi trình bày hai biên ổn. .. hai biên ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu nhiễu bao gồm nhiễu bội và nhiễu affine phụ thuộc thời gian Các kết quả thu được trong luận văn là mới và là một đóng góp có ý nghĩa trong lí thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân Nói riêng, các kết quả về ổn định vững của các hệ dương chịu nhiễu bội và nhiễu affine phụ thuộc thời gian là một mở rộng của các kết quả... Metzler nên theo Định lý 1.2.11, hệ đã cho không phải là hệ dương Tiêu chuẩn Ap 0 với p 0 vừa được kiểm tra vì vậy không đủ để kết luận hệ (26) ổn định tiệm cận mũ Thật vậy, hệ (26) không ổn định tiệm cận mũ vì µ (A) = 1 > 0 21 Chương 2 Ổn định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian 2.1 Ổn định tiệm cận mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời... trọng của D Hinrichsen và N K Son (xem [42]) ra cho lớp nhiễu phụ thuộc thời gian Cách tiếp cận trong luận văn này là mới và có thể mở rộng để nghiên cứu các bài toán tương tự cho các lớp hệ tổng quát hơn, chẳng hạn như các phương trình vi phân tuyến tính có chậm, các phương trình vi phân phiếm hàm, các phương trình vi phân Volterra, Xa hơn nữa, các kết quả chính trong luận văn này có thể mở rộng cho các. .. vi phân tuyến tính (1) thỏa điều kiện đầu x(0) = x0 0 thì x (t) 0 với mọi t ≥ 0 Định nghĩa 1.2.7 Ma trận A ∈ Rn×n được gọi là ổn định Hurwitz nếu nghiệm x (t) của hệ phương trình vi phân tuyến tính x (t) = Ax (t) thỏa mãn x (t) → 0 khi t → ∞ ˙ Từ Định lý 1.2.6 và định nghĩa 1.2.7, chúng ta đưa ra hai định lý về ma trận Metzler ổn định Một định lý trình bày tính chất của ma trận Metzler ổn định và một. .. −4e−2t ≤ 4, ∀t ≥ 0 ∈ R2×2 có các giá trị riêng λ1 = −2, λ2 = −8 nên µ (A) = 2 −6 −8 < 0 Ma trận A(t), t ≥ 0 và ma trận A thỏa mãn các điều kiện (H1 ), (H2 ) nên hệ (33) ổn định tiệm cận mũ theo Định lý 2.1.3 2.2 Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu nhiễu bội phụ thuộc thời gian Giả sử hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng (21) là dương và ổn định tiệm cận mũ Xét hệ chịu... −2 3 = −1 0 −2 Vì vậy, theo Định lý 1.2.11, hệ (25) ổn định tiệm cận mũ Điều kiện A là ma trận Metzler là không thể thiếu khi vận dụng các tiêu chuẩn khá đơn giản trong Định lý 1.2.11 để kiểm tra tính ổn định tiệm cận mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng Thật vậy, ta xét ví dụ sau đây để minh chứng cho nhận định trên Ví dụ 1.3.7 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng x (t) = Ax (t) ,... dương K, β sao cho với bất kì t0 ∈ R+ và x0 ∈ Rn cho trước, nghiệm duy nhất x (t, t0 , x0 ) , t ≥ t0 ≥ 0 của bài toán giá trị đầu (27) - (28) thỏa mãn điều kiện x (t, t0 , x0 ) ≤ Ke−β(t−t0 ) x0 , 22 ∀t ≥ t0 ≥ 0 Khác với các hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng (21), ổn định tiệm cận mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian (27) không được quyết định bởi phổ của các ma trận... t≥0 t≥0 1 . toán ổn định của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian khá phức tạp. Các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ. MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THẾ PHƯƠNG MỘT VÀI TIÊU CHUẨN MỚI CHO TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHUYÊN NGÀNH LÝ THUYẾT TỐI ƯU Mã số: 60 46. chính của luận văn này là nghiên cứu các điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian và tìm các biên ổn định cho các hệ phương trình vi