một vài tiêu chuẩn mới cho tính ổn định và ổn định vững của các phương trình vi phân tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THẾ PHƯƠNG MỘT VÀI TIÊU CHUẨN MỚI CHO TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH C

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THẾ PHƯƠNG

MỘT VÀI TIÊU CHUẨN MỚI CHO TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG

CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

CHUYÊN NGÀNH LÝ THUYẾT TỐI ƯU

Mã số: 60 46 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS PHẠM HỮU ANH NGỌC

Tp Hồ Chí Minh - 2012

Lời cảm ơn

Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin chân thành gởi tới TS Phạm Hữu Anh Ngọc, Thầy đãhướng dẫn nhiệt tình, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luậnvăn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Lý Thuyết Tối Ưu Khoa Toán –Tin học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã giảng dạy, truyền thụ kiến thức vàgiúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trường

Tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Lý Thuyết Tối Ưu khóa 20 đã có nhữngđóng góp, trao đổi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người đã luôn ở bêncạnh động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, trong quá trình thực hiện, luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rấtmong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô và bạn đọc để bổ sung và hoàn thiện đềtài tốt hơn

Xin chân thành cảm ơn

Tp.HCM, ngày 11 tháng 06 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thế Phương

2 Ổn định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính

2.1 Ổn định tiệm cận mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụthuộc thời gian 222.2 Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịunhiễu bội phụ thuộc thời gian 272.3 Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịunhiễu affine phụ thuộc thời gian 31

x ∈ Rn, x  0 vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực dương;

x ∈ Rn, x ≥ 0 vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực không âm;

x ∈ Rn, x > 0 vectơ cột n chiều có các thành phần là số thực không âm

In ma trận thực cấp n × n có các phần tử nằm ngoài đường chéo

chính bằng 0 và các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng1;

A ≥ B A, B ∈ Rm×n và A − B ∈ Rm×n+ với m, n ∈ N;

σ (A) phổ của ma trận A (tập hợp tất cả các giá trị riêng của A)

σ (A) = {z ∈ C| det (zIn− A) = 0};

µ (A) hoành độ phổ của ma trận A, µ (A) =

max {Reλ : λ ∈ σ (A)};

ρ (A) bán kính phổ của ma trận A, ρ (A) = max {|λ| : λ ∈ σ (A)};

trị trong Rn;C(R, Rn×n) không gian vectơ các hàm liên tục trên R, nhận giá trị

trong Rn×n

Lời nói đầu

Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có lịch sử hơn 100 năm và bắtđầu với những công trình của nhà Toán học nổi tiếng người Nga Aleksandr Lyapunov(1857-1918):

- On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in 1884,Russian);

- General problem of the stability of motion (1892, in Russian)

Hơn 100 năm qua, được thúc đẩy bởi các ứng dụng trong các ngành kĩ thuật, cácbài toán ổn định và ổn định vững của các hệ động lực luôn là những vấn đề trung tâmtrong lí thuyết điều khiển của các hệ động lực và được các nhà Kĩ thuật, Toán học, Cơhọc, quan tâm nghiên cứu, xem [1]-[4], [9]-[21], [38]-[39], [41], [43]-[44]

Nói riêng, lí thuyết ổn định tổng quát của các hệ tuyến tính đã phát triển một cáchgần như hoàn chỉnh Khác với các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phântuyến tính dừng (khá đơn giản), các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phântuyến tính phụ thuộc thời gian khá phức tạp Các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổnđịnh và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời giankhông có nhiều và thường được cho bởi các điều kiện dưới dạng bất đẳng thức ma trậntuyến tính (Linear matrix inequalities) phức tạp và khó sử dụng, xem [1]-[2], [20]-[21],[26]-[27], [38]-[39] Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu các điều kiện đủ đơngiản cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thờigian và tìm các biên ổn định cho các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịunhiễu phụ thuộc thời gian

Các vấn đề được đặt ra trong luận văn này là mở và có ý nghĩa khoa học Các kếtquả mong đợi là mới và là một đóng góp có ý nghĩa trong lí thuyết ổn định của các hệphương trình vi phân

Luận văn gồm lời mở đầu và hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một vài kiến thức trong giải tích cổ điển và giải tích hàm được

sử dụng trong luận văn Đồng thời, chương này giới thiệu khái niệm ma trận Metzler,các tính chất của ma trận Metzler, hệ dương, khái niệm ổn định tiệm cận mũ và một

số điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định tiệm cận mũ của hệ dương

Chương 2 Ổn định và ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụthuộc thời gian

Chương này trình bày các kết quả chính của luận văn Chúng tôi cho một vài điềukiện đủ đơn giản cho tính ổn định tiệm cận mũ của các hệ phương trình vi phân tuyếntính phụ thuộc thời gian (Định lý 2.1.3) Ngoài ra, một vài điều kiện đủ đơn giản chotính ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính dương chịu nhiễu phụthuộc thời gian cũng được trình bày (Định lý 2.2.1 và 2.3.1) Bên cạnh đó, một vài ví

dụ cũng được cho để minh họa các kết quả thu được (Ví dụ 2.1.4, 2.2.2 và 2.3.2)

sẽ được sử dụng thường xuyên trong các phép chứng minh tính ổn định và ổn địnhvững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính ở chương 2.

Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn

Cho E là một không gian vectơ trên K, cho k.k là một ánh xạ từ E vào R, ta nóik.k là chuẩn trên E, nếu nó có các tính chất sau

(i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ E, kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0

(ii) ktxk = |t| kxk với mọi x ∈ E và t ∈ K

(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ E

Nếu k.k là một chuẩn trên E, ta nói (E, k.k) là một không gian vectơ định chuẩn.Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể viết tắt (E, k.k) là E

Không gian R2 hay R3 với chuẩn là độ dài vectơ, không gian các hàm số khả tíchtrên [0, 1] với chuẩn kf k =

và kxk∞ = maxi=1,2, ,n|xi| Chuẩn Euclide hay còn được gọi là chuẩn l2 thường được

sử dụng trong toán học chính là 2 - chuẩn

Định nghĩa 1.1.2 Tính đơn điệu của chuẩn trong Kn

Một chuẩn k.k trên Kn được gọi là đơn điệu nếu kxk ≤ kyk với mọi x, y ∈ Kn, |x| ≤

|y|

Định nghĩa 1.1.3 Chuẩn toán tử của các ma trận

Cho ma trận A ∈ Kl×q, giả sử trên Kl, Kq lần lượt được trang bị hai chuẩn đơn điệuk.kl, k.kq thì chuẩn của ma trận A được định nghĩa là

kAk = maxnkAykl: kykq = 1

o.Chuẩn toán tử của một ma trận gọi tắt là chuẩn của ma trận có một tính chất quantrọng sẽ được sử dụng thường xuyên trong các chứng minh ở chương 2 Tính chất đóđược phát biểu như sau:

Định lý 1.1.4 [42]Nếu A ∈ Kl×q, B ∈ Rl×q+ , |A| < B thì kAk ≤ k|A|k ≤ kBk

Định nghĩa 1.1.5 Hàm số liên tục tuyệt đối

Một hàm số F (x) được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b] nếu với mọi ε > 0cho trước đều có δ > 0 để cho với một số hữu hạn các khoảng con (a1, b1), ,(an, bn)rời nhau của đoạn [a, b] thỏa

i, j ∈ n, i 6= j

Từ định nghĩa hàm mũ của một số thực, chúng ta phát biểu một định nghĩa tương tựcho ma trận mũ

Định nghĩa 1.2.2 Cho A là một ma trận thực cấp n × n, khi đó

Định nghĩa 1.2.3 Hai ma trận A và B được gọi là giao hoán nếu AB = BA

Từ định nghĩa 1.2.2 và 1.2.3, ta có nhận xét sau đây

Nhận xét 1.2.4 (i) Nếu A, B là các ma trận giao hoán thì eA+B = eA.eB

(ii) A ∈ Rn×n+ ⇒ eA≥ In

Định lý 1.2.5 [5] Cho A := (aij) ∈ Rn×n, i, j ∈ n là ma trận Metzler thì

(i) Tồn tại s ∈ R và p > 0 sao cho eA = peA−sIn;

(ii) Tồn tại p > 0 sao cho eA≥ pIn;

(iii) eAx  0 nếu x  0 và eAx ≥ 0 nếu x ≥ 0;

Chứng minh

(i) Gọi s là số thực thỏa s ≤ min

1≤i≤n{aii, 0} thì A − sIn ≥ 0 Rõ ràng, theo định nghĩa1.2.3, sIn giao hoán với bất kì ma trận nào có thể nhân được với nó nên sIn giao hoánvới A − sIn Do đó,

eA= e[sIn +(A−sI n )] = esIn.e(A−sIn ).Hơn nữa, theo định nghĩa 1.2.2, esIn = esIn Vì vậy, chọn p = es > 0, ta có eA= peA−sIn.(ii) Với s ≤ min

1≤i≤n{aii, 0} thì A − sIn ≥ 0 Từ 1.2.4 (ii), thay thế A bởi A − sIn, ta

có eA−sI n ≥ In Điều này kéo theo eA≥ esIn Chọn p sao cho 0 < p ≤ es, chúng ta cóngay điều phải chứng minh

(iii) Dễ dàng kiểm tra (iii) đúng khi nhân x vào bên phải hai vế bất đẳng thức eA≥ pIn

Với x0 ∈ Rn cho trước, hệ (1) có duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu

Giả sử A ∈ Rn×n là ma trận Metzler, b ≥ 0 và x (0)  0 Theo định nghĩa 1.2.1,

At là ma trận Metzler với mọi t ≥ 0 Vì vậy, từ Định lý 1.2.5 (iii), ta có định lý sauĐịnh lý 1.2.6 Nếu A ∈ Rn×n là ma trận Metzler, b ≥ 0 và nghiệm của hệ phươngtrình vi phân tuyến tính (1) thỏa điều kiện đầu x(0) = x0  0 thì x (t)  0 với mọi

t ≥ 0

Định nghĩa 1.2.7 Ma trận A ∈ Rn×n được gọi là ổn định Hurwitz nếu nghiệm x (t)của hệ phương trình vi phân tuyến tính ˙x (t) = Ax (t) thỏa mãn x (t) → 0 khi t → ∞

Từ Định lý 1.2.6 và định nghĩa 1.2.7, chúng ta đưa ra hai định lý về ma trận Metzler

ổn định Một định lý trình bày tính chất của ma trận Metzler ổn định và một định lýtrình bày điều kiện đủ đơn giản để ma trận Metzler A là ổn định

Định lý 1.2.8 [5]Nếu A ∈ Rn×n là ma trận Metzler ổn định và Ay ≤ 0 với y ∈ Rn thì

y ≥ 0

Chứng minh

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ˙x (t) = A (x (t) − y) có điều kiện đầu

x (0)  0 Vì A là ma trận Metzler ổn định nên theo định nghĩa 1.2.7, lim

t→∞(x(t)−y) = 0kéo theo lim

t→∞x (t) = y Mặt khác, theo giả thiết Ay ≤ 0 nên −Ay ≥ 0 Lúc đó, vậndụng Định lý 1.2.6 với A là ma trận Metzler và b = −Ay ≥ 0, ta có x (t)  0 với mọi

Định lý 1.2.10 [5]Nếu A ∈ Rn×n là ma trận Metzler và tồn tại y > 0 sao cho Ay  0thì ma trận A ổn định.

Chứng minh

Xét hàm số f (y) = Ay Hàm f liên tục theo y nên từ giả thiết của định lý, ta suy

ra tồn tại y  0 sao cho Ay  0 Với mỗi y thỏa y  0 và Ay  0, ta luôn chọn được

0 < ξ (t) ≤ ξ (0) emtvới mọi t ≥ 0 và m < 0 Vì vậy, ξ (t) → 0 khi t → ∞ Trong khi đó, y (t)  0 và

x (t)  0 với mọi t ≥ 0 nên từ (5) ta có x (t) → 0 khi t → ∞

Vậy A là ma trận ổn định

Từ các định nghĩa và định lý đã trình bày trên đây, chúng ta đưa ra một định lýtổng hợp những tính chất cơ bản và quan trọng nhất của ma trận Metzler Những tínhchất được được xem là nền tảng và sẽ được sử dụng thường xuyên trong các chứngminh của luận văn này.

(iii) (tIn− A)−1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > µ (A)

(iv) Cho t1, t2 ∈ R thỏa t1 ≥ t2 > µ (A) thì (t2In− A)−1 ≥ (t1In− A)−1

(v) [42] Cho B ∈ Rn×n+ , C ∈ Cn×n và nếu |C| ≤ B thì µ (A + C) ≤ µ (A + B)

Chứng minh

(i) Với mỗi s > µ (A), A − sIn là ma trận Metzler, không suy biến và

µ (A − sIn) = µ (A) − µ (sIn) = µ (A) − s < 0

Vì vậy, A − sIn là ma trận Metzler và ổn định Ứng với mỗi vectơ cố định cho trước

c  0 và với mỗi s > µ (A), ta định nghĩa y (s) thỏa

Rõ ràng, với dãy {sn} được chọn thì lim

n→∞η (sn) = η ≥ 0 Trong (10), thay thế s bởi sn

và lấy giới hạn hai vế khi n → ∞, ta được

Giả sử η > 0 thì [A − µ (A) In] x  0 với A − µ (A) In là ma trận Metzler và

x ∈ R+n\{0} Do đó, ma trận A − µ (A) In ổn định theo Định lý 1.2.10 Mâu thuẫn xảy

ra vì

0 > µ [A − µ (A) In] = µ (A) − µ (A) = 0

Vậy η = 0 nên từ (11), ta có [A − µ (A) In] x = 0 Điều này kéo theo Ax = µ (A) x.(ii) Cho α ∈ R và µ (A) ≥ α thì với mọi vectơ x ∈ R+

Ngược lại, với mỗi số thực α, tồn tại vectơ x ∈ R+

n\{0} sao cho Ax ≥ αx Giả sửphản chứng rằng µ (A) < α thì với mọi vectơ x ∈ R+n\{0}, ta có

và giả sử tồn tại i0, j0 ∈ n sao cho ai0j0 < 0.

Đặt

y := (bj) ∈ Rn, j ∈ n

là vectơ có thành phần thứ j0 bằng −1 và tất cả các thành phần khác đều bằng 0 Rõràng, y < 0 và

µ(A − tIn) = µ(A) − t < 0nên theo 1.2.9 (i), tồn tại x ∈ Rn+\{0} sao cho (A − tIn)x = y Điều này kéo theo

x = (A − tIn)−1y Mâu thuẫn xảy ra vì 0 > −ai0j0bj0 = xi0 ≥ 0

Ngược lại, giả sử (tIn− A)−1 tồn tại, không âm và t ≤ µ (A) Khi t = µ (A),theo Định lý 1.2.11 (i), tồn tại x ∈ R+n\{0} sao cho Ax = tx Điều này kéo theo(tIn− A) x = 0 Ma trận (tIn− A) vì vậy là ma trận suy biến nên mâu thuẫn với giảthiết của phản chứng Khi t < µ (A), theo Định lý 1.2.11 (ii), tồn tại vectơ x ∈ Rn

+\{0}sao cho tx < Ax kéo theo

Trong khi đó, theo giả thiết, (tIn− A)−1 tồn tại và không âm nên từ (17), ta có

x = (tIn− A)−1(tIn− A) x ≤ 0

Mâu thuẫn xảy ra vì x ∈ R+n\{0}

(iv) Vì t1 ≥ t2 nên t1− t2 ≥ 0 Điều này kéo theo

(18) (t1In− A) − (t2In− A) ≥ 0

Do t1 ≥ t2 > µ (A) nên theo Định lý 1.2.11 (iii), (t1In− A)−1 và (t2In− A)−1 tồn tại

và không âm Lúc đó, nhân (t1In− A)−1 vào bên trái hai vế (18) ta được

(19) In− (t1In− A)−1(t2In− A) ≥ 0

Nhân (t2In− A)−1 vào bên phải hai vế (19), ta được

(20) (t2In− A)−1− (t1In− A)−1 ≥ 0

Vậy (t2In− A)−1 ≥ (t1In− A)−1 nếu t1 ≥ t2 > µ (A)

(v) Giả sử A := (aij) ∈ Rn×n và giả sử các giả thiết của định lý đều được thỏa mãn.Đặt

Ad:= diag (a11, a22, , ann)

c (A) := − min

1≤i≤n{aii; 0} = min {t ≥ 0 : tIn+ A ≥ 0} Gọi λ là giá trị riêng của ma trận A+C thì tồn tại x ∈ Rn\ {0} sao cho (A + C) x = λx.Lúc đó, với mọi t > c (Ad), ta có

Điều này kéo theo Reλ |x| ≤ (A + B) |x|, với λ là giá trị riêng bất kì và x ∈ Rn\ {0}

là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ của ma trận A + C Do đó, theo Định lý1.2.11 (ii), Reλ ≤ µ (A + B), với λ là giá trị riêng bất kì của ma trận A + C

Vậy µ (A + C) ≤ µ (A + B)

1.3 Hệ dương và ổn định tiệm cận mũ của hệ dương

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng

trong đó A ∈ Rn×n cho trước

Với bất kỳ x0 ∈ Rn cho trước, hệ (21) có duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu

0, ∀t ≥ 0 Điều này có nghĩa là hệ (21) là hệ dương nếu

∀x0 ∈ Rn

+ ⇒ x (t, x0) ≥ 0, ∀t ≥ 0

Định lý 1.3.2 Hệ (21) là một hệ dương khi và chỉ khi A là ma trận Metzler.

Chứng minh

Giả sử A là ma trận Metzler thì A − sIn ≥ 0 với s = min

1≤i≤n{aii, 0} Điều này kéotheo (A − sIn) t ≥ 0 với mọi t ≥ 0 Vì vậy từ 1.2.4(ii), ta có e(A−sI n )t ≥ 0 với mọi t ≥ 0.Lúc đó,

(24) eAt = e(A−sIn +sI n )t= e(A−sIn )test ≥ 0,

với mọi t ≥ 0 Từ (23) và (24), ta có nghiệm x (t, x0) của hệ (21) thỏa x (t, x0) =

eAtx0 ≥ 0 với mọi t ≥ 0 và x (0) = x0 ≥ 0 Vậy (21) là hệ dương

Giả sử (21) là hệ dương Điều đó có nghĩa là với bất kỳ điều kiện đầu x0 ≥ 0 thìnghiệm x (t, x0) của hệ thỏa x (t, x0) = eAtx0 ≥ 0 với mọi t ≥ 0 Chọn điều kiện đầu

x0 ≥ 0 lần lượt là e1, e2, , en, chúng ta thu được kết quả eAt ≥ 0 Vậy ma trận A là

ma trận Metzler

Định nghĩa 1.3.3 Hệ (21) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại các số dương

K, β sao cho với bất kì x0 ∈ Rn cho trước, nghiệm duy nhất x (t, x0) của bài toán giátrị đầu (21) - (22) thỏa mãn điều kiện

kx (t, x0)k ≤ Ke−βtkx0k , ∀t ≥ 0

Định lý 1.3.4 Hệ (21) là ổn định tiệm cận mũ khi và chỉ khi

det (λIn− A) 6= 0, ∀λ ∈ C+.Định lý 1.3.5 Giả sử rằng hệ (21) là dương Khi đó, các mệnh đề sau đây là tươngđương

(i) Hệ (21) ổn định tiệm cận mũ;

(ii) µ (A) < 0;

(iii) Tồn tại p ∈ Rn, p  0 sao cho Ap  0;

(iv) Tồn tại p, r ∈ Rn, p  0, r  0 sao cho Ap + r = 0;

(v) A−1 ≤ 0;

(vi) Với bất kì x ∈ Rn+\ {0}, vectơ hàng xTA có ít nhất một thành phần âm;

(vii) Tồn tại ma trận đường chéo dương P ∈ Rn×n sao cho PTA + ATP xác định âm;(viii) Cho ma trận Q ∈ Rn×n xác định âm, tồn tại ma trận xác định dương P ∈ Rn×nsao cho PTA + ATP = Q.

ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11(i), t0 = µ (A) là giá trị riêng của A, tức làdet (t0In− A) = 0 Theo Định lý 1.3.4, hệ (21) không ổn định tiệm cận mũ Điều nàymâu thuẫn với giả thiết của chứng minh

Giả sử µ (A) < 0 và giả sử phản chứng rằng hệ (21) không ổn định tiệm cận mũtức là tồn tại λ0 ∈ C+ sao cho det (λ0In− A) = 0 Theo định nghĩa của µ(A), ta cóReλ0 ≤ µ(A) Mâu thuẫn xảy ra vì 0 ≤ Reλ0 ≤ µ (A) < 0

Các tiểu chuẩn từ (ii) đến (v) là tương đương theo Định lý 1.2.11

(i) ⇔ (vi)

Giả sử µ (A) < 0 và giả sử phản chứng rằng tồn tại x ∈ Rn

+\ {0} sao cho vectơ hàng

xTA ≥ 0 Do A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.3.5 (iv), tồn tại p, r ∈ Rn, p 

0, r  0 sao cho Ap = r Điều này kéo theo xTAp = xTr Tuy nhiên, do x ∈ Rn+\ {0},

xTA ≥ 0, p, r ∈ Rn, p  0, r  0 nên 0 > xTr = xTAp ≥ 0 Mâu thuẫn xảy ra

Ngược lại, giả sử với mọi x ∈ Rn

+\ {0}, vectơ hàng xTA có ít nhất một thành phần

âm và µ (A) ≥ 0 Do A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11 (i), tồn tại p ∈

Rn+\ {0} sao cho Ap = µ (A) p Với µ (A) ≥ 0 và p ∈ Rn

+\ {0}, ta có Ap = µ (A) p ≥ 0.Điều này kéo theo pTA ≥ 0 nên mâu thuẫn với giả thiết của phản chứng

(i) ⇔ (vii)

Giả sử tồn tại ma trận đường chéo dương P ∈ Rn×n sao cho PTA + ATP xác định

âm và giả sử phản chứng rằng µ (A) ≥ 0 Ma trận PTA + ATP xác định âm nên vớimọi x ∈ Rn\ {0}, ta có xT PTA + ATP
x < 0 Hơn nữa, do A là ma trận Metzler nêntheo Định lý 1.2.11(i), tồn tại x ∈ Rn

+\ {0} sao cho Ax = µ (A) x Do đó,

xT PTA + ATP
x = xTP Ax + xTATP x = 2µ (A) xTP x < 0

Tuy nhiên, theo giả thiết P là ma trận đường chéo dương kéo theo P cũng là ma trậnxác định dương, tức là xTP x > 0 với mọi x ∈ Rn\ {0} Điều này mâu thuẫn với kết

quả thu được ở trên là 2µ (A) xTP x < 0 khi µ (A) ≥ 0.

Giả sử µ (A) < 0 và giả sử phản chứng rằng với mọi ma trận đường chéo dương

P ∈ Rn×n thì PTA + ATP không xác định âm, tức là tồn tại vectơ x ∈ Rn\ {0} saocho xT PTA + ATP
x ≥ 0 Vì A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11(i), tồntại x ∈ Rn

+\ {0} sao cho Ax = µ (A) x Do đó,

xT PTA + ATP
x = xTP Ax + xTATP x = 2µ (A) xTP x ≥ 0

Tuy nhiên, theo giả thiết, P là ma trận đường chéo dương kéo theo P cũng là ma trậnxác định dương, tức là xTP x > 0 với mọi x ∈ Rn\ {0} Vì vậy, 0 > 2µ (A) xTP x ≥ 0khi µ (A) < 0 Mâu thuẫn xảy ra

Chú ý rằng trong phát biểu (vii), ta có thể mở rộng điều kiện P là ma trận đườngchéo dương thành điều kiện P là ma trận xác định dương với chứng minh hoàn toàntương tự

(i) ⇔ (viii)

Cho ma trận Q ∈ Rn×n xác định âm và µ (A) < 0 Giả sử với mọi ma trận P ∈ Rn×nxác định dương thì PTA + ATP 6= Q, có nghĩa là PTA + ATP − Q 6= 0 Điều này kéotheo

xT PTA + ATP − Q
x = xTPTAx + xTATP x − xTQx 6= 0

với mọi vectơ x ∈ Rn\{0} Do A là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.2.11(i), tồn tại

x ∈ Rn+\ {0} sao cho Ax = µ (A) x Vì vậy,

Ngược lại, cho Q ∈ Rn×n là ma trận xác định âm, giả sử tồn tại ma trận xác địnhdương P ∈ Rn×n sao cho PTA + ATP = Q và giả sử phản chứng rằng µ (A) ≥ 0 Từgiả thiết PTA + ATP = Q, ta có PTA + ATP − Q = 0 Do đó, với ∀x ∈ Rn, ta có