bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt p : // ww w . l rc - t nu . e du . v n 1 MỤC LỤC Trang Mở đầu 2 Ch ƣ ơng I Một số khái niệm về hệ ph ƣ ơng trình vi phân đại số 5 1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận 5 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng 7 1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số 10 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số 13 Ch ƣ ơng II Bán kinh ổn định của hệ ph ƣ ơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng 15 2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số 15 2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số 24 Ch ƣ ơng III Bán kính ổn định của hệ ph ƣ ơng trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động 34 3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định 37 3.3 Công thức bán kính ổn định 44 3.4 Các trường hợp đặc biệt 55 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt p : // ww w . l rc - t nu . e du . v n 2 MỞ ĐẦU Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của A.Poincaré, V.Rumyantsev, Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov). Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến phương trình vi phân dạng: A ( t ) x '(t) +B ( t ) x(t) = 0 ở đó, A ( ⋅ ) , B ( ⋅ ) ∈ C ( I , L ( R n ) ) , x : I → R n , I = ( a , +∞ ) , a là hằng số, det A ( t ) = 0 ∀ t ∈ I . Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt p : // ww w . l rc - t nu . e du . v n 3 người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra, cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng. Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006. Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này. Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm có ba chương: Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau. Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng A, B là các ma trận thực, det A = 0. A x '(t) - Bx(t) = 0 trong đó Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng: ∞ ∞ A ( t ) x ' ( t ) = B ( t ) x ( t ) ,t ≥ 0 trong đó A ( . ) ∈ L loc ( 0, ∞; K n × n ) , B ( . ) ∈ L loc ( 0, ∞;K n × n ) , ở đây công thức bán kính ổn định được đưa ra. Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập, nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008 Học viên cao học Lƣu Thị Thu Hoài n CHƢƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ( [ 9 ] ) Định nghĩa 1.1.1. Cho Nhận xét 1.1.2. P ∈ L (  ) . P được gọi là một phép chiếu nếu P 2 = P . i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có: KerP ⊕ Im P =  n . ii) Mỗi phân tích  = U ⊕ V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V. Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U. Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận) Cho A ∈ L (  n ) . Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà KerA k = KerA k + 1 . indA = min { k ∈  : KerA k = KerA k + 1 } Định lý 1.1.4. Với mọi A ∈ L (  n ) ta luôn có: imA k + KerA k ⊂  n với mọi k thoả mãn 0<k<indA. imA k + KerA k = imA k ⊕ KerA k =  n với k ≥ indA . Định nghĩa 1.1.5. Cho A, B ∈ L (  n ) . Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính quy nếu ∃c ∈  sao cho det ( cA + B ) ≠ 0 . Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà det ( cA + B ) ≠ 0 . Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu là của ma trận [ cA + B ] − 1 A . ind ( A, B ) = ind ( [ cA + B ] − 1 A ) (Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c). ind ( A, B ) , là chỉ số     k Định lý 1.1.7. Nếu Q ∈ L (  n ) không suy biến thì: ind ( QA,QB ) = ind ( AQ, BQ ) = ind ( A, B ) . Nếu A, B là giao hoán được thì ind ( A, B ) = ind ( A ) . Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy, c ∈ R sao cho cA + B khả nghịch, đặt Q = ( cA + B ) − 1 . Khi đó, QA và QB là giao hoán được. Định lý 1.1.9. Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và rank   ( c A + B ) − 1 A   = r thì tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao cho:   A = Pdiag ( I r ,U ) Q, B = Pdiag ( W ,U n − r ) Q ở đó ( ( l 1 ) ( l s ) ) ( l r ) ( ) ( l r ) U = diag U 1 , ,U s , ma x l i = k ,U r = u ij ∈ L   1 khi j = i + 1 với u ij =  0 khi ; U k = 0 còn U l ≠ 0 ∀ l < k .  j ≠ i + 1 Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương: 1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số 1. 2) x ∈ KerA và Bx ∈ ImA suy ra x = 0 3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B). 4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi W ∈ L (  n ) . 5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên KerA . 6) Với S : = { x ∈  n : Bx ∈ Im A } thì S ⊕ KerA =  n . 7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp E ∈ L (  n ) thoả mãn: EA =  A 1  ,  B 1  EB = ,   rankA = rankA , ta nhận được ma trận  0   B  1    2  không suy biến  A 1  ∈ L (  n ) .  B 2  x y x ' 1.2. Hệ ph ƣ ơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ( [ 2 ] , [ 3 ] , [ 9 ] ) Xét hệ phương trình vi phân dạng: F ( t, x ( t ) , x ' ( t ) ) = 0 (1.2.1) trong đó: x : I →  n , I = ( a, +∞ ) ⊂  F : I × D ×  n →  n ( t, x, y )  F ( t, x, y ) D là tập mở trong  n , F ∈ C ( I × D ×  n ,  n ) , F ' , F ' ∈ C ( I × D ×  n , L (  n ) ) . Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn với mọi ( t , x, x ' ) ∈ I × D ×  n . Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính: A ( t ) x ' ( t ) + B ( t ) x ( t ) = q ( t ) KerF ' ( t, x ( t ) , x ' ( t ) ) ≠ 0 (1.2.2) trong đó: A, B ∈ C ( I , L (  n ) ) , q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi t ∈ I , là hệ phương trình vi phân đại số. Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này. Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân đại số ([3], [9]). Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng: F ( t, x ( t ) , x ' ( t ) ) = 0 [...]... mọi t ≥ t0 n CHƢƠNG II BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ HẰNG Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax '(t) - Bx(t) = 0 , trong đó A, B, là các ma trận thực, detA = 0 Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa bán kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác... x0 < δ nếu thì x ( t;t , x ) < với mọi t ≥ t 0 0 0 ε Định nghĩa 1.4.5 Nghiệm tầm thường x ( t ) ≡ 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số δ (t ) > 0 sao cho nếu 0 0 P ( t0 ) P1 ( t0 ) < δ 0 ( t0 ) thì x ( t;t0 , x0 ) → 0 khi t → +∞ x0 Định nghĩa 1.4.6 Nghiệm tầm thường x ( t ) ≡ 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương λ và với mọi... n x0 ∈  thoả mãn P ( t0 ) x0 < δ Định nghĩa 1.4.2 Nghiệm tầm thường x ( t ) ≡ 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số δ (t ) > 0 sao cho nếu 0 0 P ( t0 ) x0 < δ 0 ( t0 ) thì x ( t;t0 , x0 ) → 0 khi t → +∞ Định nghĩa 1.4.3 Nghiệm tầm thường x ( t ) ≡ 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương λ và với mọi số ε > 0 cho trước n x0 ∈... không chính quy hoặc không ổn định tiệm cận} Nghĩa là, VK là tập các nhiếu “xấu” Kí hiệu dK = inf }, { ∆ :∆∈V K trong đó là một chuẩn ma trận tương thích với chuẩn vectơ, thông thường chuẩn Euclide được sử dụng Ta gọi d K là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F} Nếu K =  ta gọi d là bán kính ổn định phức, còn nếu K =  ta gọi d  là bán kính ổn định thực Tương tự như −1 phương... Vì vậy, (2.1.1) tương đương (2.1.5) và chỉ có nghiệm x = 0 Trong trường hợp này, ta quy ước (2.1.1) là ổn định tiệm cận với P = 0, Q = Im Bán kính ổn định phức với nhiễm cấu trúc Như trong trường hợp phương trình vi phân thường, ta cố định cặp ma trận ổn định tiệm cận {A,B} Giả sử E ∈K m× p ; F ∈K cố định, ta xét hệ q×m có nhiễu: Ax'( t ) − ( B + E∆F ) x (t ) = 0, (2.1.6) trong đó ∆∈ K p×q Ma trận E∆F... , x0 ) là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu n P ( t0 ) x ( t0 ) = P ( t0 ) x0 , t0 ∈ I , x0 ∈  Định nghĩa 1.4.1 Nghiệm tầm thường x ( t ) ≡ 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số ε > 0 cho trước và với mọi t0 ∈ I đều tồn tại δ = δ ( t0 , ε ) > 0 sao cho nếu thì x ( t;t , x ) < với mọi t ≥ t 0 0 0 ε n x0 ∈  thoả mãn P ( t0 ) x0 < δ Định nghĩa 1.4.2... vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2 Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và KerA( t ) trơn Các phép chiếu P ( t ) , P1 ( t như ở mục 1.3.2 Ký hiệu x ( t;t0 , x0 ) là nghiệm của (1.4.1) thoả ) mãn n điều kiện đầu P ( t ) P ( t ) x ( t ) = P ( t ) P ( t ) x , t ∈ I , x ∈  0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Định nghĩa 1.4.4 Nghiệm tầm thường x ( t ) ≡ 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với... 0 do đó, y  hệ trên trở thành    ' ( t ) - B1 y ( t ) = 0, z ( t ) = 0, trong đó y ( t ) ∈ K r , z ( t ) ∈ K m r − Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm tầm thường x = 0 của (2.1.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu có một phép chiếu P ∈ L ( K m ) và các hằng số dương α , c sao cho bài toán giá trị ban đầu (IVP):  Ax ' ( t ) − Bx ' ( t ) =  0   P x ( 0) − x0 = 0  ( ) có nghiệm x ( t ) duy nhất, thoả... phép chiếu lên KerA dọc theo S = { z ∈ : Bz ∈ ImA} Ký hiệu σ ( A, B ) là phổ của cặp {A,B}, nghĩa là σ ( A, là tập hợp tất B) cả các nghiệm của phương trình det ( λ A − B ) = 0 Trường hợp A = Im,ta viết σ ( B ) thay cho σ ( I m , B ) Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi giá trị riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng phức trái (xem[9]) Nếu σ ( A,... phức, chỉ ra những sự khác biệt cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân đại số Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn định thực và phức bằng nhau cũng được chứng minh 2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số Xét phương trình Ax '(t) - Bx(t) = 0 trong đó (2.1.1) x∈ m , A, B∈K m×m ,(K =  hoặc  ) , det A = 0, cặp ( A, B) là chính quy . công trình Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được. cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của. quan tâm tìm lời giải cho bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của A.Poincaré, V.Rumyantsev,