Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)

Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— LÊ THỊ NHUNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 04/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— LÊ THỊ NHUNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN Thái Nguyên, 4/2019 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 11 1.3 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ 13 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 16 Chương Tính ổn định hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát 17 2.1 Sự tồn nghiệm 17 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Mittag-Leffler toàn cục 22 2.3 Ví dụ minh họa 24 Chương Tính ổn định hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát 27 3.1 Sự tồn nghiệm 27 3.2 Tiêu chuẩn ổn định 30 3.3 Ví dụ minh họa 33 LỜI NĨI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 [7] Mơ hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [3, 8, 15] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [3] lần mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [3, 15] Do hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần (xem [15, 18, 19, 27] tài liệu tham khảo đó) Như biết, tính ổn định tính chất quan trọng hệ động lực hệ phương trình vi phân phân thứ khơng ngoại lệ Tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần (xem [2, 10, 12, 14, 17] tài liệu tham khảo đó) Đối với lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ, vài kết thú vị sâu sắc công bố năm gần [20, 22, 25, 26] Bằng cách sử dụng biến đổi Laplace sử dụng số tính chất đạo hàm phân thứ Caputo, H Wang cộng [20] nghiên cứu tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ Trong [25], tác giả nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt khơng liên tục Tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ phức nghiên cứu [26] Bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tác giả [27] nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ khơng có trễ với hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện Lipschitz Gần đây, tính ổn định hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát nghiên cứu [23] với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ So với cách tiếp cận sử dụng biến đổi Laplace tìm nghiệm đa thức đặc trưng báo [20, 25], cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính có ưu kiểm tra điều kiện ổn định phần mềm MATLAB Ngoài ra, với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tốn ổn định hóa cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ giải khơng khó khăn Luận văn tập trung trình bày tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần Luận văn gồm có chương Cụ thể: Trong chương 1, tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [10, 12, 13] Trong chương luận văn, tơi trình bày số điều kiện đủ cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23] Trong chương luận văn, tơi trình bày số điều kiện đủ cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23] Luận văn thực trường ĐH Khoa Học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Mai Viết Thuận.Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài Tôi xin trân trọng cảm ơn BGH trường ĐH Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy cô trường ĐH Khoa Học Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} A chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (A A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) x Rn×r chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn không gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số α số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [9, 10, 12, 13] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([13]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 +∞ Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lí sau Định lí 1.1 ([13]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([13]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có +∞ α t0 It x(t) −α =λ j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([13]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn := n dt n−α x(t) t0 It dn = Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := α số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= d } dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([13]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: n−1 f (t) = α t0 It ϕ(t) ck (t − t0 )k , + k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý α t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! Định lí sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lí 1.2 ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau n−1 RL α t0 Dt f (t) = k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết sau suy trực tiếp từ Định lí 1.2 t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 27 Chương Tính ổn định hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng qt 3.1 Sự tồn nghiệm Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát    C α t0 Dt x(t) = −Cx(t) + Af (x(t)) + Bg(x(t − τ )) + I,   x(s) = φ(s), t ≥ 0, (3.1) s ∈ [−τ, 0], α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) T ∈ Rn véc tơ trạng thái mạng nơ ron, C = diag{c1 , c2 , , cn } với ci > 0, B = (bij ) ma trận số, véc tơ I = [I1 , I2 , , In ]T ∈ Rn tín hiệu đầu vào; f (x) = T T (f1 (x1 ), , fn (xn )) ∈ Rn g(x) = (g1 (x1 ), , gn (xn )) ∈ Rn hàm kích hoạt mạng nơ ron; C = diag{c1 , , cn }, ci > 0, i = 1, 2, , n, A = (aij )n×n B = (bij )n×n ma trận số cho trước; τ độ trễ; φ(s) điều kiện ban đầu Các hàm kích hoạt f (.), g(.) thỏa mãn giả thiết Giả thiết 3.1 Các hàm kích hoạt fi (.) gi (i) thỏa mãn điều kiện với u, v ∈ R, u = v, i = 1, 2, , n: li− ≤ fi (u) − fi (v) ≤ li+ , u−v (3.2) 28 σi− ≤ fi (u) − fi (v) ≤ σi+ , u−v (3.3) li− , li+ , σi− , σi+ (i = 1, 2, , n) số cho trước Để thuận tiện cho việc trình bày tiếp theo, ta ký hiệu li = max{|li+ |, |li− |}, σi = max{|σi+ |, |σi− |}, L = diag{l1 , l2 , , ln }, Σ = diag{σ1 , σ2 , , σn }, L1 = diag{l1+ , l2+ , , ln+ }, L2 = diag{l1− , l2− , , ln− }, Σ1 = diag{σ1+ , σ2+ , , σn+ }, Σ2 = diag{σ1− , σ2− , , σn− } Các giả thiết đưa để nghiên cứu tính tồn nghiệm hệ (3.1) Giả thiết 3.2 Ma trận C ma trận không suy biến tồn số ≤ θ1 ≤ 1, ≤ θ2 ≤ cho AT (C −1 )T C −1 A ≤ θ1 (L−1 )2 , B T (C −1 )T C −1 B ≤ θ2 (Σ−1 )2 , (3.4) ≤ θ < 1, θ = θ1 + C −1 A C −1 B L Σ + θ2 Bằng cách tiếp cận sử dụng nguyên lý ánh xạ co, định lsy cho ta tiêu chuẩn cho tồn điểm cân cho hệ (3.1) Định lí 3.1 [23] Giả sử Giả thiết 3.1 Giả thiết 3.2 thỏa mãn Khi hệ (3.1) có điểm cân T Chứng minh Ta có điểm xˆ∗ = (ˆ x∗1 , xˆ∗2 , , xˆ∗n ) ∈ Rn điểm cân hệ (3.1) điều kiện thỏa mãn −C xˆ∗ + Af (ˆ x∗ ) + Bg(ˆ x∗ ) + I = Theo Giả thiết 3.2, ma trận C khơng suy biến Do ta xây dựng ánh xạ Ξ : Rn −→ Rn xác định Ξ(x) = C −1 Af (x) + C −1 Bg(x) + C −1 I, 29 T x = (x1 , , xn ) ∈ Rn Bây giờ, ta chứng tỏ Ξ ánh xạ co Rn Với µ, ν ∈ Rn , áp dụng bất đẳng thức Schwartz, Giả thiết 3.1 Giả thiết 3.2, ta có Ξ(µ) − Ξ(ν) = C −1 A(f (µ) − f (ν)) + C −1 B(g(µ) − g(ν)) 2 C −1 A(f (µ) − f (ν)) + C −1 B(g(µ) − g(ν)) ≤ = C −1 A(f (µ) − f (ν)) + C −1 B(g(µ) − g(ν)) ≤ C −1 A(f (µ) − f (ν)) + C −1 B(g(µ) − g(ν)) + C −1 A(f (µ) − f (ν)) C −1 B(g(µ) − g(ν)) + C −1 A C −1 B f (µ) − f (ν) g(µ) − g(ν) T = (f (µ) − f (ν)) AT (C −1 )T C −1 A (f (µ) − f (ν)) + C −1 A C −1 B f (µ) − f (ν) g(µ) − g(ν) T + (g(µ) − g(ν)) B T (C −1 )T C −1 B (g(µ) − g(ν)) T ≤ (f (µ) − f (ν)) θ1 (L−1 )2 (f (µ) − f (ν)) + C −1 A C −1 B f (µ) − f (ν) g(µ) − g(ν) T + (g(µ) − g(ν)) θ2 (Σ−1 )2 (g(µ) − g(ν)) n θ1 li−2 (fi (µ) − fi (ν)) + C −1 A ≤ C −1 B L Σ µ−ν i=1 n θ2 σi−2 (gi (µ) − gi (ν)) + i=1 ≤ θ1 + C −1 A C −1 B L Σ + θ2 µ − ν = θ|µ − ν (3.5) √ √ Từ (3.5) ≤ θ < 1, ta có Ξ(µ) − Ξ(ν) ≤ θ µ − ν Vậy Ξ ánh xạ co Rn , điều suy tồn điểm xˆ∗ ∈ Rn cho Ξ(ˆ x∗ ) = xˆ∗ , tức xˆ∗ = C −1 Af (ˆ x∗ ) + C −1 Bg(ˆ x∗ ) + C −1 I, điều suy −C xˆ∗ + Af (ˆ x∗ ) + Bg(ˆ x∗ ) + I = Định lý chứng minh hoàn toàn 30 3.2 Tiêu chuẩn ổn định T Cho xˆ∗ = (ˆ x∗1 , , xˆ∗n ) ∈ Rn điểm cân hệ (3.1) Bằng phép đổi biến x(t) = x(t) − xˆ∗ , ta chuyển điểm xˆ∗ điểm gốc Do để nghiên cứu tính ổn định điểm cân xˆ∗ ta nghiên cứu tính ổn định điểm cân gốc hệ Vì lý đó, ta xét tính ổn định điểm cân hệ C α t0 Dt x(t) = −Cx(t) + Af (x(t)) + Bg(x(t − τ )), ∀t ≥ t0 , (3.6) f (x(t)) = f (x1 (t)), f (x2 (t)), , f n (xn (t)) , g(x(t)) = (g (x1 (t)), g (x2 (t)), , g n (xn (t))) , với f i (xi (t)) = fi (xi (t) + xˆ∗i ) − fi (ˆ x∗i ), f i (0) = 0, g i (xi (t)) = gi (xi (t) + xˆ∗i ) − gi (ˆ x∗i ), g i (0) = 0, (i = 1, 2, , n) Các hàm f i (.) g i (.), i = 1, 2, , n thỏa mãn điều kiện li− ≤ f i (xi (t)) g (xi (t)) ≤ li+ , σi− ≤ i ≤ σi+ xi (t) xi (t) (3.7) ∀xi (t) = 0, i = 1, 2, , n, li+ , li− , σi+ , σi− (i = 1, 2, , n) số cho trước Chú ý điều kiện (3.7) tương đương với điều kiện xi (t)(f i (xi (t)) + li xi (t)) ≥ 0, xi (t)(li xi (t) − f i (xi (t))) ≥ 0, xi (t)(f i (xi (t)) + li+ xi (t)) ≥ 0, xi (t)(li− xi (t) − f i (xi (t))) ≥ 0, (3.8) xi (t)(g i (xi (t)) + σi xi (t)) ≥ 0, xi (t)(σi xi (t) − g i (xi (t))) ≥ Định lý cho ta tiêu chuẩn cho tính ổn định hệ (3.6) Định lí 3.2 [23] Giả sử Giả thiết 3.1 3.2 thỏa mãn Điểm cân gốc hệ (3.6) ổn định tồn hai ma trận đường chéo chính, xác định dương U = diag{u1 , u2 , , un }, D = diag{d1 , d2 , , dn } số δ > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính 31 thỏa mãn   Ψ11 Ψ12 QB    Ψ =  ∗ Ψ22  < 0,   ∗ ∗ −δI (3.9) Ψ11 = −CQ − QC − 2L1 DL2 + LU L + δQ, Ψ12 = QA + L1 D + L2 D, Ψ22 = −2D − U, Q = ΣT Σ Chứng minh Xét hàm Lyapunov V (t, x(t)) = xT (t)Qx(t), Q = ΣT Σ Vì Q ma trận đối xứng, xác định dương nên ta có đánh giá λmin (Q) x(t) ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (Q) x(t) Mặt khác, theo Bổ đề 1.3, ta thu đánh giá C α t0 Dt V α (t, x(t)) ≤ 2xT (t)Q C Dt x(t) = 2xT (t)Q −Cx(t) + Af (x(t)) + Bg(x(t − τ )) = xT (t) (−CQ − QC) x(t) + 2xT (t)QAf (x(t)) (3.10) + 2xT (t)QBg(x(t − τ )) Từ điều kiện (3.9), ta có ước lượng n di f i (xi (t)) − li+ xi (t) f i (xi (t)) − li− xi (t) ≤ −2 i=1 = −2 f (x(t)) − L1 x(t) T (3.11) D(f (x(t)) − L2 x(t)), n 0≤− ui f i (xi (t)) + li xi (t) i=1 T f i (xi (t)) − li xi (t) = − f (x(t))U f (x(t)) − xT (t)LU Lx(t) , (3.12) 32 n [g i (xi (t − τ )) + σi xi (t − τ )] [g i (xi (t − τ )) − σi xi (t − τ )] ≤ −δ (3.13) i=1 = −δ g T (x(t − τ ))g(x(t − τ )) − xT (t − τ )ΣT Σx(t − τ ) Chú ý V (s, x(s)) = V (t, x(t)), ∀t ≥ t0 Điều suy V (t + sup t0 −τ ≤s≤t s, x(t + s)) ≤ V (t, x(t)), s ∈ [−τ, 0] Suy xT (t − τ )Qx(t − τ ) ≤ xT (t)Qx(t), tức xT (t − τ )ΣT Σx(t − τ ) ≤ xT (t)ΣT Σx(t) (3.14) Từ điều kiện (3.10)–(3.14), ta thu đánh giá C α t0 Dt V (t, x(t)) − f (x(t)) − L1 x(t) T D(f (x(t)) − L2 x(t)) T − f (x(t))U f (x(t)) − xT (t)LU Lx(t) − δ g T (x(t − τ ))g(x(t − τ )) − xT (t − τ )ΣT Σx(t − τ ) = xT (t) (−CQ − QC) x(t) + 2xT (t)QAf (x(t)) + 2xT (t)QBg(x(t − τ )) − f (x(t)) − L1 x(t) T D(f (x(t)) − L2 x(t)) T − f (x(t))U f (x(t)) − xT (t)LU Lx(t) − δ g T (x(t − τ ))g(x(t − τ )) − xT (t − τ )ΣT Σx(t − τ ) ≤ xT (t) (−CQ − QC) x(t) + 2xT (t)QAf (x(t)) + 2xT (t)QBg(x(t − τ )) − f (x(t)) − L1 x(t) T D(f (x(t)) − L2 x(t)) T − f (x(t))U f (x(t)) − xT (t)LU Lx(t) − δ g T (x(t − τ ))g(x(t − τ )) − xT (t)ΣT Σx(t) = xT (t) (−CQ − QC) x(t) + 2xT (t)QAf (x(t)) + 2xT (t)QBg(x(t − τ )) − f (x(t)) − L1 x(t) T D(f (x(t)) − L2 x(t)) T − f (x(t))U f (x(t)) − xT (t)LU Lx(t) − δ g T (x(t − τ ))g(x(t − τ )) − xT (t)Qx(t) = ξ1T (t)Ψξ1 (t), (3.15) 33   x(t)     ξ1 (t) =  f (x(t))    g(x(t − τ )) Chú ý điều kiện (3.9) thỏa mãn, tức Ψ < η = λmax (Ψ) < T α Theo Bổ đề 1.4 (S-procedure), ta có C t0 Dt V (t, x(t)) ≤ ηx (t)x(t) = η x(t) < Theo Định lý 1.10, hệ (3.6) ổn định Nhận xét 3.1 Trong báo [21], tác giả xây dựng hàm Lyapunov có n |xi (t)| sử dụng phép biến đổi dạng hàm trị tuyệt đối, tức V (t) = i=1 Laplace, bất đẳng thức Bellman–Gronwall để nghiên cứu tính ổn định hệ (3.6) Định lý 3.2 nghiên cứu tính ổn định hệ (3.6) cách xây dựng hàm Lyapunov dạng toàn phương cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Chú ý rằng, bất đẳng thức ma trận tuyến tính giải số phần mềm MATLAB 3.3 Ví dụ minh họa Trong mục này, chúng tơi trình bày hai ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết mục trước Ví dụ 3.1 Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát (3.1) với n = tham số     0.25 −0.05 0.01 , A =  , C= 0.2 0.02 −0.01     −0.01 0.02 −0.1 , I =   , τ = 0.1 B= 0.02 0.01 0.4 Cho G(x) = 0.5 (|x + 1| − |x − 1|) Các hàm kích hoạt hệ cho f1 (x1 (t)) = 2.5G(x1 (t)), f2 (x2 (t)) = G(x2 (t)) g1 (x1 (t)) = 1.6G(x1 (t)), g2 (x2 (t)) = 2G(x2 (t)) 34 Khi hệ cho viết lại thành   C α   t0 Dt x1 (t) = −0.25x1 (t) − 0.05f1 (x1 (t)) + 0.01f2 (x2 (t))       −0.01g1 (x1 (t − τ )) + 0.02g2 (x2 (t − τ )) − 0.1,          C α t0 Dt x2 (t) (3.16) = −0.2x2 (t) + 0.02f1 (x1 (t)) − 0.01f2 (x2 (t)) +0.02g1 (x1 (t − τ )) + 0.01g2 (x2 (t − τ )) + 0.4 Rõ ràng hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết 3.1 với L = diag{3, 1.1}, Σ = diag{1.5, 2.1} Ngồi ra, tính tốn trực tiếp MATLAB, ta tính   0.0500 −0.0130 , AT (C −1 )T C −1 A =  −0.0130 0.0041   0.1600 , (L−1 )2 =  1.0000   0.0116 0.0018 , B T (C −1 )T C −1 B =  0.0018 0.0089   0.3906 , (Σ−1 )2 =  0.2500 C −1 A C −1 B L Σ = 0.26 Chọn tham số θ1 = 0.38 θ2 = 0.05, ta thấy điều kiện Giả thiết 3.2 thỏa mãn: AT (C −1 )T C −1 A ≤ θ1 (L−1 )2 , B T (C −1 )T C −1 B ≤ θ2 (Σ−1 )2 , θ = θ1 + C −1 A C −1 B L Σ + θ2 = 0.69 ∈ [0, 1) Vậy theo Định lý 3.1, xˆ∗ ≈ (−0.1279, 1.9976)T ∈ R2 điểm cân hệ (3.16) Ngoài ra, điều kiện Định lý 3.2 thỏa mãn với δ = 0.12     0.0308 0.0455 , U =   D= 0.1721 0.2286 35 Do theo Định lý 3.2 hệ (3.16) ổn định Ví dụ 3.2 Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát (3.1) với n = tham số     0.6 −0.02 0.01 , A =  , C= 1.4 0.23 −0.01     −0.01 0.12 −1.5 , I =   , τ = 0.4 B= 0.11 0.07 0.9 Các hàm kích hoạt chọn sau f1 (x1 (t)) = 1.28 1+e−x , f2 (x2 (t)) = (t) 1 g1 (x1 (t)) = 1+e−x , g2 (x2 (t)) = 1+e−x Khi hệ cho 12 1+e−x (t) (t) (t) viết lại dạng sau   C α   t0 Dt x1 (t) = −0.6x1 (t) − 0.02f1 (x1 (t)) + 0.01f2 (x2 (t))       −0.01g1 (x1 (t − τ )) + 0.12g2 (x2 (t − τ )) − 1.5,          C α t0 Dt x2 (t) (3.17) = −1.4x2 (t) + 0.23f1 (x1 (t)) − 0.01f2 (x2 (t)) +0.11g1 (x1 (t − τ )) + 0.07g2 (x2 (t − τ )) + 0.9 Các hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết 3.1 với L = diag{3.2, 3}, Σ = diag{2, 1.5} Ta tính   0.0281 −0.0017 , AT (C −1 )T C −1 A =  −0.0017 0.0003   0.0977 , (L−1 )2 =  0.1111   0.0065 0.0006 , B T (C −1 )T C −1 B =  0.0006 0.0425   0.2500 , (Σ−1 )2 =  0.4444 C −1 A C −1 B L Σ = 0.44 Như điều kiện Giả thiết 3.2 thỏa mãn với θ1 = 0.29, θ2 = 0.1 Theo Định lý 3.1, điểm xˆ∗ ≈ (−1.4997, 1.3100)T ∈ R2 điểm cân 36 hệ (3.17) Ngoài ra, điều kiện Định lý 3.2 thỏa mãn với δ = 0.39     0.0647 0.0937 , U =   D= 0.1079 0.1580 Do theo Định lý 3.2 hệ (3.17) ổn định 37 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày số tiêu chuẩn cho toán tồn nghiệm tính ổn định Mittag-Leffler tồn cục cho mạng nơ ron phân thứ Caputo với hàm kích hoạt tổng qt; • Trình bày số tiêu chuẩn cho tốn tồn nghiệm tính ổn định mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ với hàm kích hoạt tổng qt; • Đưa số ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Cường, Về tính ổn định số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ, Luận văn cao học, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên [2] Hoàng Thế Tuấn (2017), Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học Tiếng Anh [3] Boroomand A and Menhaj, M B (2008), “Fractional-order Hopfield neural networks”, In International Conference on Neural Information Processing (pp 883-890) Springer, Berlin, Heidelberg [4] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E and Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] Chen L.P., Chai Y., Wu R.C., Ma T.D and Zhai H.Z (2013), “Dynamic analysis of a class of fractional-order neural networks with delay”, Neurocomputing, 111, 190–194 [6] Chen B.S and Chen J.J (2015), “Razumikhin-type stability theorems for functional fractional-order differential systems and applications”, Appl Math Comput., 254, 63–69 [7] Chua L.O and Yang L (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1257–1272 39 [8] Chua L.O and Yang L (1998), “Cellular neural networks: Applications”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1273–1290 [9] Diethelm K (2010), The Analysis of Fractional Differential Equations An Application oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type, Lecture Notes in Mathematics, 2004, Springer - Verlag, Berlin [10] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A and CastroLinares R (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659 [11] Hilfer R (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Science Publishing, Singapore [12] Kaczorek T (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [13] Kilbas A.A., Srivastava H.M and Trujillo J.J (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [14] Li Y., Chen Y.Q and Podlubny I (2010), “Stability of fractional- order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag–Leffler stability”, Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1810–1821 [15] Shuo Z, Chen Y.Q and Yu Y (2017), “A Survey of Fractional-Order Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers [16] Sun C.Y., Zhang K.J., Fei S.M., Feng C.B (2002), “On exponential stability of delayed neural networks with a general class of activation functions”, Phys Lett A, 298(2–3), 122–132 40 [17] Thanh N.T., Trinh H and Phat V.N (2017) “Stability analysis of fractional differential time-delay equations”, IET Control Theory & Applications, 11(7), 1006–1015 [18] Thuan M.V., Binh T.N and Huong D.C (2018), “Finite-time guaranteed cost control of Caputo fractional-order neural networks”, Asian Journal of Control, DOI: 10.1002/asjc.1927 [19] Thuan M.V and Huong D.C (2018), “New results on stabilization of fractional-order nonlinear systems via an LMI approach”, Asian Journal of Control, 20(4), 1541–1550 [20] Wang H., Yu Y.G and Wen G (2014), “Stability analysis of fractionalorder Hopfield neural networks with time delays", Neural Networks, 55, 98–109 [21] Wang H., Yu Y.G., Wen G.G., Zhang S and Yu J.Z (2015), “Global stability analysis of fractional-order hopfield neural networks with time delay”, Neurocomputing, 154, 15–23 [22] Wang L., Song Q., Liu Y., Zhao Z., Alsaadi F.E (2017), “Global asymptotic stability of impulsive fractional-order complex-valued neural networks with time delay”, Neurocomputing, 243, 49–59 [23] Yang Y., He Y., Wang Y and Wu M (2018), “Stability analysis of fractional-order neural networks: An LMI approach”, Neurocomputing, 285, 82–93 [24] Zhang S, Yu Y.G and Wang H (2015), “Mittag-Leffler stability of fractional-order hopfield neural networks”,Nonlinear Anal Hybrid Syst., 16, 104–121 [25] Zhang S., Yu Y and Wang Q (2016), “Stability analysis of fractionalorder Hopfield neural networks with discontinuous activation functions”, Neurocomputing, 171, 1075–1084 41 [26] Zhang L., Song Q and Zhao Z (2017), “Stability analysis of fractionalorder complex-valued neural networks with both leakage and discrete delays”, Applied Mathematics and Computation, 298, 296–309 [27] Zhang S., Yu Y and Yu J (2017), “LMI conditions for global stability of fractional-order neural networks”, IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 28(10), 2423–2433 ... > i=1 17 Chương Tính ổn định hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát 2.1 Sự tồn nghiệm Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát    C Dα... ron phân thứ giải khơng khó khăn Luận văn tập trung trình bày tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần Luận văn. .. phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ Trong [25], tác giả nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt khơng liên tục Tính ổn định cho hệ