Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)

Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRĂNG VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRĂNG VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Danh sách kí hiệu ii Mở đầu Chương Về dãy số Fibonacci 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.2 Các tính chất dãy số Fibonacci 1.3 Về Định lí Zeckendorf 1.4 Một số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Fibonacci Chương Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát 13 2.1 Biểu diễn số nguyên thành tổng số Fibonacci phân biệt 13 2.2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát 23 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Danh sách kí hiệu { .} dãy số nguyên ( .) vector có tọa độ nguyên [ .] ma trận mà phần tử số nguyên V tập hợp bao gồm vector có dạng (i1 , i2 , , id ) với d 1, thành phần iν số nguyên với ≤ i1 ≤ i2 ≤ id Thông thường ta viết I thay cho (i1 , i2 , , id ) n k M m ∑ bi i=1 ∞ ∑ bn n=1 tổ hợp chập k n ma trận [uµ , ν] m (tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm i=1 ∞ (chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · · n=1 Mở đầu Dãy Fibonacci dãy vô hạn số tự nhiên bắt đầu hai phần tử và 1, phần tử sau thiết lập theo quy tắc phần tử ln tổng hai phần tử trước Dãy số Fibonacci đơn giản quy tắc thiết lập vẻ đẹp đặc biệt kho tàng Tốn học Dãy số Fibonacci vơ biến hóa với nhiều tính chất lí thú ứng dụng quan trọng Người ta tìm thấy nhiều vấn đề thú vị liên quan đến dãy số Fibonacci, toán học túy đến vấn đề khác tự nhiên Dãy Fibonacci đưa nhà toán học Ý tên Leonardo Pisano Bogollo (tên thường gọi Fibonacci) vào thời gian khoảng năm 1170 đến năm 1250 Dãy số Fibonacci bí ẩn lí thú đến mức, có tạp chí tốn học hồn tồn đăng kết nghiên cứu có liên quan nó, tạp chí The Fibonacci Quarterly Mục tiêu luận văn nghiên cứu kiện thú vị dãy Fibonacci, việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát Nội dung luận văn trình bày hai chương: • Chương Số Fibonacci Trong chương trình bày định nghĩa tính chất dãy số Fibonacci Một số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Fibonacci • Chương Việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát Mở rộng định lí Zeckendorf biểu diễn số tự nhiên số Fibinacci phân biệt Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn PGS.TS Nông Quốc Chinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập hồn thành khóa học Thái Ngun, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Trăng Chương Về dãy số Fibonacci 1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Dãy số Fibonacci dãy số vô hạn số tự nhiên bắt đầu hai phần tử và 1, phần tử sau thiết lập theo quy tắc phần tử tổng hai phần tử trước nó, un+1 = un + un−1 Ví dụ 1.1.2 Fibonacci lần để ý đến dãy số ơng xét tốn thỏ đẻ sau : Bắt đầu với thỏ đực thỏ cái, hỏi có cặp thỏ sinh năm? Bài toán giả sử với điều kiện sau: Bắt đầu với thỏ đực thỏ vừa chào đời Thỏ đạt tới tuổi thục sinh sản sau tháng Thời gian mang thai thỏ tháng Sau thục sinh sản, thỏ đẻ tháng Một thỏ sinh thỏ đực thỏ Không có thỏ chết Từ giả thiết suy rằng, từ cặp thỏ sơ sinh sau hai tháng có hai cặp thỏ Sau ba tháng, cặp thứ sinh cặp nữa, ta có ba cặp Tháng tiếp theo, cặp thứ hai sinh cặp mới, ta có cặp thỏ Kí hiệu qua u(n) số cặp thỏ sau tháng thứ n kể từ đầu năm Ta thấy sau tháng (n + 1) có u(n) cặp ban đầu, cộng thêm số cặp cặp có sau tháng thứ (n − 1) sinh Số u(n − 1) Vậy u(1) = 1, u(2) = 1, u(3) = 2, (1.1) u(4) = 3, , u(n + 1) = u(n) + u(n − 1) Theo giả thiết, u(1) = 1, u(2) = 1, nên ta có u(3) = 2, u(4) = 3, , u(12) = 144, u(13) = 233 Các số u(n) gọi số Fibonacci Xét dãy Fibonacci xác định u(n + 1) = u(n) + u(n − 1) Phương trình đặc trưng quan hệ (1.1) r2 − r − = Phương trình có nghiệm √ 1+ r1 = , √ 1− r2 = (1.2) Nghiệm tổng quát quan hệ (1.1) có dạng: u(n) = C1 √ 1+ n +C2 √ 1− n (1.3) Các số Fibonacci u(n) cho (1.3) với điều kiện u(0) = 1, u(1) = Khi số C1 , C2 tính từ hệ phương trình   C +C = √  (C −C ) = Giải ta C1 = √1 C2 = − √1 Vậy nghiệm tổng quát có dạng u(n) = √ n 1+ − √ √ n 1− Công thức gọi công thức Binet Dựa vào công thức Binet, ta có định lí sau cho tính chất thú vị số Fibonacci 1.2 Các tính chất dãy số Fibonacci Định lí 1.2.1 Số Fibonacci un số nguyên gần số √1 √ 1+ tức số hạng an cấp số nhân với từ √ √ 1+ bội √ n 1+ , công Chứng minh Rõ ràng cần chứng minh trị tuyệt đối hiệu hai số un an luôn bé 1/2 Ta có r1n − r2n r1n r1n − r2n − r1n |r2 |n √ |un − an | = √ − √ = = √ 5 5 Do nên |un − an | < 21 √ 1− 3−1 |r2 | = √ < =1 Sau ta chứng minh số tính chất dãy số Fibonacci Trong mệnh đề sau đây, un dùng để kí hiệu số Fibonacci thứ n xác định u1 = 0, u2 = 1, un+1 = un + un−1 Mệnh đề 1.2.2 u1 + u2 + + un = un+2 − Chứng minh Ta có u1 = u3 − u2 , u2 = u4 − u3 , un−1 = un+1 − un , un = un+2 − un+1 Cộng vế đẳng thức này, ta có u1 + u2 + + un = un + − u2 , mà u2 = nên ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2.3 u1 + u3 + u5 + + u2n−1 = u2n Chứng minh Ta có u1 = u2 , u3 = u4 − u2 , u5 = u6 − u4 , (1.4) ... dãy số Fibonacci Chương Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát 13 2.1 Biểu diễn số nguyên thành tổng số Fibonacci phân biệt 13 2.2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng. .. chất dãy số Fibonacci Một số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Fibonacci • Chương Việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát Mở rộng định lí Zeckendorf biểu diễn số tự nhiên số Fibinacci... HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRĂNG VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG