Tính ổn định mũ bình phương trung bình của nghiệm của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

Lời nói đầu Bất hệ thống dù hƯ thèng kü tht, hƯ sinh th¸i hay hƯ thèng xà hội, tồn phát triển trạng thái ổn định Đối với hệ thống điều chỉnh tự động ổn định tiêu mà ngời ta cần quan tâm Bởi hệ thống muốn sử dụng đợc trớc tiên phải ổn định Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phơng trình vi phân Vấn đề nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên toán quan trọng lý thuyết ổn định hệ động lực ngẫu nhiên Trong luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên nhờ phơng pháp thứ Liapunov thông qua hàm ngẫu nhiên Liapunov đợc phát biểu theo ngôn ngữ phơng trình ma trận Liapunov rời rạc Với mục đích luận văn đợc hình thành gồm hai chơng: Chơng Trình bày khái niệm ổn định hệ phơng trình vi phân tìm điều kiện cho hệ ổn định Trong chơng giới thiệu khái niệm lý thuyết ổn định số phơng pháp khảo sát điều kiện ổn định hệ phơng trình vi phân chứng minh kết cho số điều kiện ổn định hệ phơng trình vi phân Chơng Trình bày khái niệm ổn định mũ hệ phơng trình sai phân tìm điều kiện cho hệ ổn định mũ Trong chơng giới thiệu khái niệm ổn định mũ, đa chứng minh điều điều kiện cho tính ổn định mũ hệ phơng trình sai phân Luận văn đợc hoàn thành trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn tận tình PGS TS Phan Đức Thành Nhân xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc đến thầy thầy cô khoa Toán khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh, đặc biệt thầy cô tổ điều khiển đà giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2005 Tác giả Trần công thành mục lục Tr ang Lời nói đầu Chơng Một số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phơng trình vi phân 2 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.4 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính với ma trận 1.5 Phơng pháp hàm Liapunov Chơng Tính ổn định mũ bình phơng trung bình nghiệm 11 1.1 Bài toán lý thuyết ổn định hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên 2.1 Tính ổn định hệ phơng trình sai phân tất ®Þnh víi ma trËn h»ng 2.2 TÝnh ỉn ®Þnh cđa hệ phơng trình sau phân với ma trận dạng tổng quát 2.3 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên với ma trận 2.4 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên với ma trận dạng tổng quát 2.5 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân với nhiễu vectơ r - chiều ( 1, , r) 2.6 Tính ổn định hệ phơng trình sai phân tất định có trễ 2.7 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên có trễ kết luận tài liƯu tham kh¶o 11 13 15 18 20 22 24 30 31 Ch¬ng I Mét sè kiÕn thøc c¬ lý thuyết ổn định hệ phơng trình vi phân Trong chơng giới thiệu khái niệm lý thuyết ổn định số phơng pháp khảo sát điều kiện ổn định hệ phơng trình vi phân 1.1 Bài toán lý thuyết ổn định Xét hệ phơng trình vi phân viết dới dạng ma trận dY = F (t , Y ) dt (1) víi ®iỊu kiƯn Y(t0) = Y0  y1      Y =   = ( y1 , , y n )T ;      yn    Trong ®ã F (t , Y ) =[ f1 (t , y1 ), , f n (t , y n )]T ; dy dy dy dY = ( , , , n ) T dt dt dt dt Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm Z = Z(t) hệ (1) đợc gọi ổn định theo nghĩa Liapunov (gọi tắt ổn định) với ε > 0, tån t¹i δ = δ (t , ε ) > cho mäi nghiÖm Y = Y(t) tho¶ m·n Z ε Y (t ) −Z (t ) 0, tån t¹i δ = δ (ε ) > cho mäi nghiƯm Y = Y(t) tho¶ m·n Y (t ) −Z (t ) với > , tồn t¹i nghiƯm Y = Y(t) cho Y (t ) −Z (t ) 0, tån t¹i δ = δ (t , ε ) > cho mäi nghiÖm Y = Y(t) thoả mÃn Y (t ) < Y (t ) < ε , víi mäi t > t0 Định nghĩa 1.1.5 Nghiệm Z = Z(t) hệ phơng trình (1) đợc gọi ổn định tiệm cận thoả mÃn điều kiện sau i) Z = Z(t) nghiệm ổn định; ii) Với t t0, tån t¹i ∆ = ∆(t0) > cho nghiệm Y(t) thoả mÃn điều kiện Y (t ) −Z (t ) cho Y (t o ) tồn t¹i δ > cho víi nghiƯm bÊt kú Y = Y(t) cđa hƯ (2) th× Y (t ) − (t ) < Z ε Y (t ) Z (t ) < (*) Mặt khác ta cã dY = A(t )Y + F (t ) dt dZ = A(t ) Z + F (t ) dt Do ®ã d (Y − Z ) = A(t )(Y Z ) dt Đặt (Y-Z) = X ta có hệ phơng trình dX = A(t ) X dt Tõ ®iỊu kiƯn (*) suy víi mäi ε > 0, tån t¹i δ > cho X (t ) < hệ X (t ) < Điều có nghĩa nghiệm tầm thờng X(t) dX = A(t ) X dt ổn định Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thờng X(t) hệ dX = A(t ) X dt ổn định Khi đó, X = X(t) nghiệm bất kú cđa hƯ dX = A(t ) X dt cho nÕu || X (t ) ||< δ (t , ε) th× || X (t ) ||< ε víi mäi t ≥t0 Nh vËy, nÕu Z = Z(t) nghiệm hệ vi phân tun tÝnh (2) vµ Y(t) lµ nghiƯm bÊt kú cđa hệ từ bất đẳng thức Y (t ) − (t ) < Z ε Y (t ) −Z (t ) tån t¹i δ = M cho mäi nghiƯm Y = Y(t) tho¶ m·n Y (t ) vµ δ > vµ xÐt nghiƯm Y (t ) = Z (t ) δ Z (t ) NhËn thÊy r»ng || Y (t ) ||= || Z (t ) || δ δ = t0 Suy || Y (t1 ) ||= || Z (t1 ) || δ >ε || Z (t ) || Nh vËy, nghiƯm tÇm thờng Y0 hệ (3) không ổn định, theo Định lý 2.2 hệ (3) không ổn định, điều mâu thuẫn giả thiết Vậy nghiệm hệ (3) bị chặn Định lý 1.3.2 Hệ vi phân tuyến tính (3) ổn định tiệm cận t) tất nghiệm Y = Y(t) thoả mÃn điều kiện lim Y (+∞ = t→ Chøng minh.§iỊu kiƯn cần: Giả sử hệ (3) ổn định tiệm cận Khi tất nghiệm nó, kể nghiệm tầm thờng Y0 ổn định tiệm cận Do ®ã, ®èi víi nghiƯm Z = Z(t) bÊt kú cđa hƯ (3) ta cã lim Z (t ) = t →+∞ || Z (t ) ||< ∆, t ∈(a, ∞) tuú ý XÐt mét nghiÖm bÊt kú Y = Y(t) cđa hƯ (3) víi ®iỊu kiện ban đầu Y(t0) = Y0 Giả sö r»ng Y (t ) = Z (t ) || Y (t ) || ∆ ®ã Z (t ) = Y (t ) ∆ || Y (t ) || V× nghiƯm Z = Z(t) thoả mÃn điều kiện || Z (t ) ||= < nên nghiệm Z = Z(t) thoả t) m·n ®iỊu kiƯn lim Z (t ) = Do ®ã lim Y (+∞ = t →+∞ t Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm Y = Y(t) hệ (3) thoả mÃn điều kiện lim Y (t ) = Khi ®ã víi nghiƯm bÊt kú Y t →+∞ || Y (t ) || 0n x n), G cã thể chọn ma trận đơn vị Chứng minh Đối với hệ phơng trình (1) ta chọn hàm Liapunov dạng toàn phơng nh sau V(y(k)) = yT(k)H y(k) Nhận thÊy V(y(k)) > nªn ∆V ( y (k )) = { V ( y (k + 1)) − V ( y (k ))} = yT ( k + 1) Hy ( k + 1) − y T ( k ) Hy ( k ) = ( Ay ( k ) ) HAy ( k ) − y T ( k ) Hy ( k ) T ( ) = yT ( k ) AT HA − H y ( k ) Khi đó, ATHA-H =-G V(y(k)) = - yT(k)G(y(k)) hay V(y(k)) 0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trận Liapunov rời r¹c sau T A HA − H = −G p2 G ma trận xác định dơng, ®èi xøng cÊp n nµo ®ã (G = G T > 0nxn), G ma trận đơn vị Chứng minh Trong hệ phơng trình (1) ta sử dụng phÐp ®ỉi biÕn nh sau y(k) = pkZ(k) Khi ®ã y(k+1) = pk+1Z(k+1) Thay kết vào hệ (1) ta đợc pk+1Z(k+1) = A.pkZ(k) suy Z ( k +1) = A Z (k ) p Chän hàm Liapunov hệ (*) dạng toàn phơng sau V(Z(k)) = ZT(k)HZ(k) NhËn thÊy r»ng V(Z(k)) > Suy ∆V ( Z ( k ) ) = {V ( Z ( k + 1) ) − V ( Z ( k ) )} = Z T ( k + 1) HZ ( k + 1) − Z T ( k ) HZ ( k ) T A  A =  Z ( k )  H Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k ) p  p   T A A = ZT (k) H Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k ) p p = Z T ( k ) AT HAZ ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k ) p   = Z T ( k )  AT HA − H  Z ( k ) p    15 (*) Do ®ã, nÕu T A HA − H = −G p2 th× ∆V(Z(k)) = -ZT(k) GZ(k) < Suy hệ ph- ơng trình (*) ổn định mũ với biên p (0,1) kéo theo hệ (1) ổn định mũ với biên p (0,1) Do hệ (1) ổn định mũ với biên p (0,1) tồn ma trận H xác định dơng, ®èi xøng tho¶ m·n ®iỊu kiƯn T A HA H = G p2 2.2 Tính ổn định hệ phơng trình sau phân với ma trận dạng tổng quát Trong mục ta xét tính ổn định hệ phơng trình có dạng nh sau Dy(k+1) = Ay(k) (2) với A D ma trận hằng, D không suy biến Định lý 2.1.6 Nghiệm y = hệ phơng trình (2) ổn định tiệm cận tồn ma trận H xác định dơng, đối xứng (H = HT > 0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trận Liapunov rời rạc ATHA - DTHD = - G G ma trận xác định dơng, đối xứng cấp n tuỳ ý, G ma trận đơn vị Chứng minh Ta chän hµm Liapunov cđa hƯ (2) nh sau V(y(k)) = yT(k) DTHdy(k) Khi ®ã V(y(k)) > suy ∆V ( y ( k ) ) = {V ( y ( k + 1) ) − V ( y ( k ) ) } = y T ( k + 1) D T HDy( k + 1) − y T ( k ) D T HDy( k ) = ( Dy( k + 1) ) HDy( k + 1) − y T ( k ) D T HDy( k ) T = y T ( k ) AT HAy( k ) − y T ( k ) D T HDy( k ) NÕu ATHA - DTHD = - G th× V(y(k)) < 16 Định lý 2.1.7 Nghiệm y = hệ phơng trình (2) ổn định mũ với biên p (0,1) tồn ma trận H xác định dơng, đối xứng (H = HT > 0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trận Liapunov T A HA − DT HD = −G p2 ®ã G = GT > 0nxn, G cã thÓ chän tuú ý Ta chọn G ma trận đơn vị Chứng minh Trong hệ phơng trình (2) ta sử dơng phÐp ®ỉi biÕn nh sau y(k) = pkZ(k) Khi y (k+1) = pk+1Z(k+1) Thay kết vào hệ (2) ta đợc Dpk+1Z(k+1) = ApkZ(k) suy DZ(k +1) = A Z (k ) p (**) Chọn hàm Liapunov tơng ứng với hệ (**) V(Z(k)) = ZT(k) DTHDZ(k) Khi V(Z(k)) > ∆V ( Z ( k ) ) = {V ( Z ( k + 1) ) − V ( Z ( k ) ) } = Z T ( k + 1) D T HDZ ( k + 1) − Z T ( k ) D T HDZ ( k ) = ( DZ ( k + 1) ) HDZ ( k + 1) − Z T ( k ) D T HDZ ( k ) T AT A H Z ( k ) − Z T ( k ) D T HDZ ( k ) p p = Z T ( k ) AT HAZ ( k ) − Z T ( k ) D T HDZ ( k ) p = DT ( k )     = Z T ( k )  AT HA − DT HD  Z ( k ) p  NÕu T A HA − DT HD = −G p2 th× ∆V(Z(k)) < Do hệ phơng trình (**) ổn định mũ với biên p (0,1) kéo theo hệ (2) ổn định mũ với biên p (0,1) Định lý đợc chứng minh hoàn toàn 17 2.3 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên với ma trận Trong mục nghiên cứu tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân có dạng nh sau x(k+1) = [A + B ξ(k)] x(k) (3) víi A vµ B ma trận (k) = W(k+1) - W(k) ồn trắng, tiêu chuẩn thoả mÃn ®iỊu kiƯn E {ξ2(k)} = vµ E {ξ(k)} = víi k = k0, k0 + … , k0 > 0, x (k0) = x0; A vµ B Ă nxn Định nghĩa 2.2.1 Nghiệm x = hệ phơng trình (3) đợc gọi ổn định mũ bình phơng trung bình với biên p (0,1) tồn số N < p < độc lập với k0 x0 cho víi mäi k > k0vµ x0 ∈ ¡ { x (k, k0, x0) hệ thoả mÃn điều kiện E x( k , k0 , x0 ) } ≤ NP k −k0 x0 n th× nghiƯm Định lý 2.2.2 Nghiệm x = hệ phơng trình (3) ổn định mũ bình phơng trung bình với biên p (0,1), tồn ma trận H xác định dơng, đốixứng (H=HT>0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trËn Liapunov sau ( ) AT HA + B T HB − H = −G p2 ®ã G = GT > 0nxn vµ ta cã thĨ chän G ma trận đơn vị Chứng minh Trong hệ phơng trình (3) ta dùng phép đổi biến nh sau x(k) = pkZ(k) Khi x(k+1) = pk+1Z(k+1) Thay kết qủa vào hệ phơng trình (3) ta đợc pk+1Z(k+1) = [A + B ξ(k)] pkZ(k) 18 suy Z(k +1) = [ A + Bξ ( k )]Z ( k ) p (3.1) Chọn hàm Liapunov tơng ứng với hệ phơng trình (3) dạng toàn phơng sau V(Z(k)) = ZT(k) HZ(k) ®ã V (Z(x)) > vµ ∆V ( Z ( k ) ) = {V ( z ( k + 1) ) − V ( Z ( k ) )} = Z T ( k + 1) HZ ( k + 1) − Z T ( k ) HZ ( k ) T 1  =  [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k )  H [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k ) p  p   1 = Z T ( k ) AT + B T ξ ( k ) H [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k ) p p [ ] 1  = Z T ( k )  AT + B T ξ ( k ) H ( A + Bξ ( k ) ) − H  Z ( k ) p  ( ) Do ®ã     E ∆V ( Z ( k ) ) = E  Z T ( k )  AT + BT ξ ( k ) H ( A + Bξ ( k ) ) − H  Z ( k )  p        = E  Z T ( k )  AT HA − H ÷Z ( k )  + p    + E Z T ( k ) BT HBZ ( k ) ξ ( k ) + Z T ( k ) AT HB + BT HA Z ( k ) ξ ( k ) p { } ( ) { ( )     = E  Z T ( k )  AT HA − H ÷Z ( k )  + E Z T ( k ) B T HBZ ( k ) p    p { } (Do E{ξ2(k)} =1 vµ E {ξ(k)} = 0)   1  = E Z T ( k )  AT HA + B T HB − H  Z ( k )  p    ( NÕu ( ) AT HA + B T HB H = G p2 ) E{V(Z(k))} 0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trận Liapunov ( ) AT HA + BT HB − D T HD = −G p2 ®ã G = GT > 0nxn t ý, cã thĨ chän G lµ ma trËn đơn vị Chứng minh Trong hệ phơng trình (4) ta dïng phÐp ®ỉi biÕn nh sau x(k) =pkZ(x) Khi ®ã x(k+1) = pk+1Z(k+1) Thay kết vào hệ (4) ta đợc Dpk+1Z(k+1) = [A + B (k)]pkZ(k) suy DZ(k +1) = [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k ) p Chän hàm Liapunov tơng ứng với hệ phơng trình (4) V(Z(k)) = ZT(k) DTHDZ(k) Khi V(Z(k)) > 20 (4.1) ∆V ( Z ( k ) ) = {V ( Z ( k ) ) − V ( Z ( k ) )} = Z T ( k + 1) D T HDZ ( k + 1) − Z T ( k ) D T HDZ ( k ) = ( DZ ( k + 1) ) HDZ ( k + 1) − Z T ( k ) DT HDZ ( k ) T T 1  =  [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k )  H [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k ) − Z T ( k ) DT HDZ ( k ) p  p   = Z T ( k ) AT + B T ( k ) H [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k ) − Z T ( k ) DT HDZ ( k ) p [ ] 1  = Z T ( k )  AT + BT ξ ( k ) H ( A + Bξ ( k ) ) − DT HD  Z ( k ) p  ( ) Do ®ã   1  E = { ∆V ( Z ( k ) )} = E Z T ( k )  ( AT + B T ξ ( k ) ) H ( A + Bξ ( k ) ) − DT HD  Z ( k )  p        = E Z T ( k )  AT HA − D T HD Z ( k )  + p      + E {Z T ( k ) B T HBZ ( k )ξ ( k ) + Z T ( k ) ( AT HB + B T HA) Z ( k )ξ ( k )} p     = E Z T ( k )  AT HA − D T HD Z ( k )  + E {Z T ( k ) B T HBZ ( k )} p      p (Do E{ξ2 (k)} = vµ E {ξ(k)} = 0)   1  = E Z T ( k )  AT HA + B T HB − DT HD  Z ( k )  p    ( NÕu ( ) AT HA + BT HB − D T HD = −G p ) E{V(Z(k))} < Do nghiệm Z = hệ phơng trình (4) ổn định mũ bình phơng trung bình với biên p (0,1) suy nghiệm x = hệ (4) ổn định mũ bình phơng trung bình với biên p (0,1) 2.5 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân với nhiễu vectơ r - chiều (ξ 1, … , ξ r) Trong mơc nµy chóng nghiên cứu tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân với nhiễu vectơ r - chiều (1, ,r) dạng sau 21 r   x( k + 1) =  A + ∑ Biξ i ( k )  x( k ) i =1   (5) víi k = 0, 1, …, x(0) = x vµ A, Bi ∈ Rnxn Các i(k) thoả mÃn điều kiện E{i(k)} = 0; E {ξi2(k)} = vµ E{ξi(k) ξj(k); i ≠ j} = (i = 1, , r) Định lý 2.2.4 Nghiệm x = hệ phơng trình (5) ổn định mũ bình phơng trung bình với biên p (0,1) tồn ma trận H xác định dơng, đối xứng (H=HT> 0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trận Liapunov r  T   A HA + ∑ BiT HBi  − H = −G p  i =1  ®ã G = GT > 0nxn tuỳ ý G ma trận đơn vÞ (i = 1, …, r) Chøng minh Trong hƯ phơng trình (5) ta sử dụng phép đổi biến nh sau x(k) = pkZ(k) ®ã (k+1) = pk+1Z(k+1) Thay kết vào hệ (5) ta đợc r   p k +1Z(k + 1) =  A + ∑ Biξ i ( k )  p k Z ( k ) i =1   suy Z ( k + 1) = r 1  A + ∑ Biξ i ( k )  Z ( k )  p i =1  (5.1) Chän hàm Liapunov tơng ứng với hệ (5.1) V(Z(k)) = ZT(k) HZ(k) V(Z(k)) > Và 22 { ∆V ( Z ( k ) ) = V ( Z ( k + 1) ) − V ( Z ( k ) ) =Z T } ( k + 1) HZ ( k + 1) − Z ( k ) H ( k ) T T r r 1  1   =   A + ∑ Biξi ( k )  Z ( k ) ÷ H  A + ∑ Biξi ( k )  Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k ) p i =1 i =1    p  r r     = Z T ( k )  AT + ∑ BiT ξi ( k )  H  A + ∑ Biξi ( k )  Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k ) p  i =1 i =1    r r       = Z T ( k )   AT + ∑ BiT ξi ( k ) ÷H  A + ∑ Biξi ( k ) ÷− H  Z ( k ) i =1 i =1    p   Do ®ã { } E ∆V ( Z ( k ) ) = r r           = E  Z T ( k )   AT + ∑ BiT ξi ( k ) ÷H  A + ∑ Biξi ( k ) ÷− H  Z ( k )  i =1 i =1      p         = E  Z T ( k )  AT HA − H ÷Z ( k )  + p    r   T  r  T E  Z ( k ) ∑ BiT HBi Z ( k ) ξ ( k ) ( k )  ∑ AT HBi + BiT HA ÷Z ( k ) ξ ( k )  p  i =1  i =1   r       = E  Z T ( k )  AT HA − H ÷z ( k )  + E  Z T ( k ) ∑ BiT HBi Z ( k )  i =1  p    p  r         = E  Z T ( k )   AT HA + ∑ BiT HBi ÷− H  Z ( k )  i =1    p     ( + NÕu ) r  T   A HA + ∑ BiT HBi  − H = −G th× E {∆V(Z(k))} < p  i =1  Suy nghiÖm Z = hệ phơng trình (5.1) ổn định mũ bình phơng trung bình với biên p (0,1), nghiệm x = hệ phơng trình (4) ổn định mũ bình phơng trung bình với biên p (0,1) 2.6 Tính ổn định hệ phơng trình sai phân tất định có trễ Trong mục nghiên cứu tính ổn định hệ phơng trình sai ph©n sau 23 x(k+1) = Ax(k) + A1x(k-h) (6) A A1 ma trận hằng, h Ơ Định lý 2.2.5 Nghiệm x = hệ phơng trình (6) ổn định tiệm cận tồn ma trận H xác định dơng, đối xứng (H = HT > 0n x n) thoả mÃn điều kiện ATHA - H +AT1 HA1+ I +ATHA1AT1HA < I ma trận đơn vị Chứng minh Chọn hàm Liapunov tơng ứng với hệ (6) nh sau V(x(k)) = x T (k)Hx(k) = k-1 ∑ x ( i ) Qx ( i ) T i = k-h H Q ma trận xác dịnh dơng, đối xứng Khi ta có { ∆V ( x ( k ) ) = V ( x ( k + 1) ) − V ( x ( k ) ) = xT ( k + 1) Hx ( k + 1) + k ∑ i = k +1− h } xT ( i ) Qx ( i ) − xT ( k ) Hx ( k ) − k −1 ∑ x ( i ) Qx ( i ) T i=k −h =  Ax ( k ) + A1 x ( k − h )   A ( k ) + A1 x ( k − h )  − xT ( k ) hx ( k ) +     T T + x ( k ) Qx ( k ) − x ( k − h ) Qx ( k − h ) T = xT ( k ) AT Hx ( k ) + xT ( k − h ) A1T HA1T x ( k − h ) + xT ( k ) AT HA1 x ( k − h ) + + xT ( k − h ) A1T HAx ( k ) + xT ( k ) Qx ( k ) − xT ( k ) Hx ( k ) − xT ( k − h ) Qx ( k h ) Đặt x( k )  y( k ) =    x( k − h )  th× ta cã 24  A HA− H + Q A HA T ∆ V( ky ) = y ( k)  T T  y( k)  A HA1 A1 HA1 − Q  T T Khi ®ã nÕu Q = A1T HA1 + I (I ma trận đơn vị)  A HA− H + A HA + I ∆ V( ( ky ) = y ( k)  T  y( k)  A HA1 − I  T T T 1 ®ã nÕu  A HA − H + A HA + I A HA  T  0) Khi ®ã P T M M 