Chuong 1
Chương 2
MỤC LỤC
Lời nói đầu
MỘT SÓ KIÊN THỨC CƠ BẢN VỀ LÍ THUT ƠN ĐỊNH 1.1 Các khái niệm cơ bản
1.2 Tính n định của các hệ vi phân tuyến tính 1.3 Tính 6n định của hệ tuyến tính khơng dừng 1.4 Tinh 6n định của các hệ tựa tuyến tính 1.5 Tính ồn định của hệ với thời gian rời rạc
1.6 Tính ồn định của một lớp hệ phương trình sai phân - ngẫu nhiên
1.7 Tính ồn định tiệm cận bình phương trung bình của một lớp hệ phương trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên
TINH ON DINH MU CUA HE NGAU NHIEN CO TRE VOI BUOC NHAY MARKOV
2.1 Mé dau
2.2 Những ký hiệu
2.3 Tinh 6n định mũ bình phương trung bình của hệ đơn giản KET LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang 2LOI NOI DAU
Mơ hình hố ngẫu nhiên đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật Một lĩnh vực pho biển được quan tâm nhiều đó là điều khiển tự động của các hệ ngẫu nhiên, với tầm quan trọng của nó đang được quan tâm nghiên cứu nhằm phân tích sự ơn định của mơ hình ngẫu nhiên Chúng ta có thể kể đến các cơng trình của Arnold [6], Hale và Lunel, Has’minskii , Klomanovskii va Myshkis
Ngày nay, hệ chuyên đổi (hybrid systems) được điểu khiến bởi xích Markov liên tục đã được sử dụng để mô tả nhiều hoạt động thực tiễn, nơi mà chúng có thể trải qua những thay đổi đột ngột về cấu trúc và tham số Hệ chuyển đổi vừa có một phần trạng thái lấy giá trị liên tục, vừa có một phần trạng thái lấy giá trị rời rạc Hệ chuyên đổi đã được Willsky và Leve nghiên
cứu cho model của hệ năng lượng điện tử cũng như Sworder và Rogers nghiên cứu cho sự điều khiển của trung tâm nhiệt mặt trời (solar thermal central) Athans đã đề xuất rằng hệ chuyển đổi trở thành một bộ khung cơ bản trong việc đề xuất và giải quyết các mối quan hệ điều khiển nảy sinh trong việc tạo ra và giải quyết mối quan hệ điều khiển nảy sinh trong việc điều khiển khung (batle management), điều khiển và hệ thống truyền đạt thông tin (communications systems) Một lớp quan trọng của hệ chuyên đổi là hệ tuyến tính có bước nhảỵ
Một vấn đề quan trọng nảy sinh trong quá trình nghiên cứu hệ là chuyển đổi sự điều khiến tự động, với tầm quan trọng đang được thay thế trên sự phân
tích của tính 6n định Ji và Chizeck [4] đã nghiên cứu tính ồn định của hệ tuyến
tính có bước nhảy như vậỵ Basak cùng các đồng tác giả trong [3] đã miêu tả tính ơn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính với bước nhảy
Trang 3Markov, trong khi đó Mao đã nghiên cứu tính ồn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên với bước nhảy Markov Shaikhet đã đưa thời gian trễ vào nghiên cứu và đã quan tâm đến sự ổn định của hệ phương trình trễ vi phân nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, trong khi đó Mao và các đồng tác gia đã nghiên cứu tính ồn định của hệ phương trình vi phân có trễ phi tuyến với bước nhảy Markov
Sự thay đổi đột ngột của cấu trúc và tham số trong hệ chuyền đổi là thường xuyên bởi hiện hệ thống con nối liền với nhau, và sự nhiễu loạn môi
trường lai (abrupt) Vì vậy, khi chúng ta mơ hình hố những hệ như vậy, cần phải đưa tham số không chắc chắn và môi trường nhiễu giống như thời gian trễ vào tính tốn
Nếu chúng ta cũng lấy môi trường nhiễu vào tính tốn, thì hệ thống trở thành một phương trình trễ vi phân ngẫu nhiên với bước nhảy Markov
Cũng cần phải chỉ ra rằng, trong vài năm lại đây, rất nhiều nghiên cứu đã quan tâm đến việc ước lượng sự ồn định bình phương trung bình của hệ
Trong những năm gần đây, nhiều nghiên cứu đã quan tâm đến sự ồn định của hệ vi phân với bước nhảy Markov Tuy nhiên đang còn ít nghiên cứu quan tâm đến sự ồn định của hệ có trễ với bước nhảy Markov Lý thuyết được phát triển ở đây có thể ứng dụng vào nhiều tình huống khác nhau và do đó đễ thấy tầm quan trọng của chủ đề nàỵ Do đó, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Phan Đức Thành, chúng tôi đã chọn đề tài: “Tính ốn định mũ bình phương trung bình của hệ ngẫu nhiên có trễ với bước nháy Markov”
Trang 4Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh đưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy và Cô về sự quan tâm nhiệt tình mà Thầy và Cô đã dành cho tác
giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường
Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, TS Phan Lê Na, TS Lê Hồng Sơn, cùng các thầy cô giáo ở bộ môn Xác suất thống kê và ứng dụng, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Trường Đại học Vinh
Trang 5Chuong 1
MOT SO KIEN THUC CO BAN VE LY THUYET ON DINH
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản vé ly thuyét 6n dinh theo nghĩa Liapunov.Các kiến thức của chương này được trình bày theo các tài liệu [1] và [2] Ön định là một trong các tính chất quan trọng của các hệ thống đù cho hệ thơng đó là hệ kỹ thuật, hệ sinh thái, hệ kinh tế
Một hệ thống được gọi là ồn định tại một trạng thái cân bằng nào đó, nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ thống không làm thay đổi hệ thống quá nhiều so với trạng thái ban đầụ
1.1 Các khái niệm cơ bản
Xét một hệ thống mơ tả bởi phương trình vi phân
x(t) = f(t, x)
x(t g9) = Xq » 120 (1)
trong dé x(t)eR" la ham véc to cho truéc
Gia thiét f(t,x) 1a hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán cauchy hệ (1) với x(to) = Xo , to > 0 ln có nghiệm
Khi đó, dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức: t
x= Xx) [Ff (s, x(s))ds
to
Nếu giả thiét thém f(t,0)=0 thi x=0 là nghiệm tầm thường hay trạng thái
cân bằng của hệ
Trang 6Bây giờ ta xét hệ với f(t,0)=0, teR” Ta có các định nghĩa sau:
1.1.1 Định nghĩạ Hệ (1) là ổn định nếu Ve>0, teR*, 38 (phụ thuộc vào e, to) sao cho bắt kì nghiém x(t): x(to)=xọ thoả mãn ||xo||<ồ thì ||x(0||< e, Vt>tụ
1.1.2.Định nghĩạ Hệ (1) là ổn định tiệm cận nêu hệ là ôn định và 3 8>0 sao cho: nếu ||xo||<õ thì
Jm, |xứ)|= 0
Nếu số ö trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào tọ, thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều)
1.1.3 Định nghĩạ Hệ (1) là ổn định mũ nếu 3 M>0, Š>0 sao cho nghiệm của hệ (1) với x(to)=0 thoả mãn
—=ởŒ— ra)
|xứ)|< Me , VĐt (2)
Tức là nghiệm không của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ
Thí dụ: Xét phương trình vi phân
°
x(t) = ăt)x , pọ
Trong đó ă): RỶ—>R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu X(fo)=xo cho bởi
t
[ă)dr x(t) = xe
t
- Hé la 6n dinh néu_ Jăt)dt< My(ty) < +20,
Trang 7- Hệ là ồn định đều nếu _I(tạ) không phụ thuộc tụ
t
[aŒ)dr=—œ
¡
- Hé la 6n dinh tiém cận nêu
1.2 Tính ỗn định của các hệ vi phân tuyến tính
Xét hệ tuyến tính:
X(t) = Ax (f) ,œ0 (3)
Trong do: A 1a (nxn) — ma tran
Nghiệm của (3) xuất phát từ trạng thái ban dau x(t) cho bởi
Ăt - t) x(t) = xe , to, 1.2.1 Định lý 1 (tiêu chuẩn ồn định đại sé Lyapunov)
Hệ (3) là ổn định mũ khi và chỉ khi phân thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là
Re2<0, V AEX (A)
Thí dụ: Xét tính 6n định hệ:
ẩi=—
X2=-2%;
A=Ă 5]
Vậy giá trị riêng của A 1a 4 = -1, -2 Ta thay
= Hệ là ổn định tiệm cận
Trang 8Khi đó, nếu định thức tất cả các ma trận con Dạ của đường chéo chính, k=l,2, , n là dương thì phân thực của tắt cả nghiệm của ƒfz) là âm, tức hệ đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó:
DetD¡=ai a 4a, DetD, = det 1 a, a a; a; đ— 1 4, dc Ay y DetD, = det k=l,2, ,n 0 loạ Ay, 3 0 0 0 4 Và a,=0 nẾu r>n
Xét phương trình Lyapunov dạng A `X+XA=-Y (LE) X,Y la ma trận (nxn) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE)
Xét hệ (3), ta nói ma trận A la ổn định nếu phần thực tất cả gid trị riêng của A la dm khi và chỉ khi (3) ổn định tiệm cận
1.2.3 Định lý Ma đrận A là ổn định khi và chỉ khi mọi ma trận Y đối xứng,
xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dương ÄX
1.3 Tính ốn định cúa hệ tuyến tính khơng dừng
Bây giờ ta xét hệ được mô tả bởi phương trình vi phân
X(t) = Ăf)x(f) ,œ0 (4)
Hé (4) co nghiém
Trang 9Nếu Ặ) là hằng số thì
®(,s)= e2 =3)
1.3.1 Định lý Xé/ hệ (4) rong đó A@) =A+c() Giả sử A là ma trận ồn
định và giả sử c() là khả tích trên R` và:
Icœ)| <4 ,a>0
Khi đó, hệ ồn định tiệm cận với a>0 đủ nhỏ
Thí dụ: Xét hệ phương trình vi phân: oi 1 3 X1=—>X,+— cos" ¢ 3.4 x ly | td sin? t 21224 Ta có: 1 1 2 ~3, 0 4008 t 4=) 1 1], <)=| 1 5 2 4am t Vi ĂA) =-1/3, -1/2 <0 nên A là ma trận ồn định M=1, d5=1/2 1 1 ns t=a<5 nén hé 1a 6n dinh tiệm cận
1.3.2 Dinh lỵ Xét hé (4), trong do Ăt) la ma trén lién tuc theo t Gia su J M>0, d>0, k>0 sao cho:
c3 <ke Ot , Vts20
Trang 10
i) Sup) A@|<.M
teR
Hệ là ồn định tiệm cận nếu M < = 1.4 Tinh 6n dinh cia céc hệ tựa tuyến tính:
Xét hé x(t) = f(t, x(t)) ,&0 (5)
Trong dé f(t,x) : R*xR" >R" 1a hàm phi tuyến f(t.x) =0 VteR*
co nghiém thoa man x(to)=xo, t20
Trường hợp f(t,x) kha vi lién tục tại x=0 thì theo khai triển Taylo bậc một tại x=0 Ta có:
f(x)=Axtg(x)
Trong đó: A= a »8(x) = 0((|x|)
x
1.4.1 Định lý Xé/ hệ (5) trong do f(t.x) =A+g(x) Gia sir A la ma tran 6n
định và g(x) =O(\x|) thi hệ là on định tiệm cận
Nhận xéi: Thay điều kiện ø(x) = 0( x) bang diéu kién:
3 L>0: |g(x)| < Lx] , VxeX thi khẳng định trên vẫn đúng với L>0 thoả
L<— alo
Thi du: xét tính ơn định hệ
Trang 11Ta co: -1 0 „x sin / a-[ 8ữ-:*) =| Ị _ | Vi A là ma tran 6n định và 1 4, 4)o1) 92 ""' .ơƠƠƠƠ.Ơ = gứ.x) =0(|x|) => hệ là ồn định tiệm cận 1.4.2.Định lý Xé hệ phi yến X= Ă/)x(/)+ g(/,x(f)) ,eœ0 (5) Giả sử: "Ă xà | Yee s>0
ii) |g(4x)|<LO|x| , vee 0, vxer"
ổ ma) Sup|L(t)\<M <—
180SM</
Khi đó hệ là ồn định tiệm cận
1.5 Tính ấn định của hệ với thời gian rời rạc Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân
x(k+1) = f(k,x(k)), keZ* (6)
Trang 121.5.1 Các định nghĩa cơ bản
1.5.1.1 Định nghĩạ Hệ rời rạc (6) gọi là hệ ổn định nếu với Ve>0, koeZ”,3ö>0 (phụ thuộc vào kọ, €) sao cho mọi nghiệm x(k) của hệ với
lx(0)|< ở th
lxŒÖ|<£ , vk > k0
1.5.1.1 Định nghĩạ Hệ (6) là ổn định tiệm cận nêu hệ là ỗn định và có một số
ổ>0 sao cho:
lim |x()| =0
kem
với mọi nghiệm x(k) với |x(0)| <6
1.5.2 Tính ỗn định của các hệ tuyến tính rời rạc xeR"
Xét hệ rời rạc: x(k+1) = Ax(k), }K © 2° AeR™ 7)
Với x(0)= xạ thì nghiệm của (2) là:
x(k)=A*%g
1.5.2.1 Định lý Hệ rời rạc (7) là ổn định tiệm cận © I trong 2 điều kiện sau được thoã mãn:
j_ 30<q<I:|Al=q<l
ii) lr|<1, Vrer(A)
Chứng mình:
(*) Gia sử hệ (1) là ổn đinh tiệm cận
Trang 13= 3ổ >0:|x(0)|< ổ , Vk>ko
lim |x&)|= lim l2 =0,
k=»œ k— 0
| ky Jaye
Ta có: |Á x, -|4 | |}
+Néu At) |x,|>0 khi ko © 4k 0 khi kœ
oS 30<q<1:JAl=q<1=>| 4x _> 0 khi k>œ 0
+ Nếu A không suy biến, 3 ma trận T, det7| #0 sao cho
, K O T'AT=|MO M OA Lr r K 0 =>A=T|MO MIT" OA gx, i K 0
= [x)= 44a, =|T| MỌ MÍx,|>0<)r,|<1
A r > l <1, Vrer(A)
(+) Gia str 3 0< q <1 : sao cho IA| =q<l =| fe} smi
Trang 14Ak 0 Vi Ae 50 khiko [ahs 0 => hé la 6n dinh tiém cận
(+)Néu <1 , Vrer(A) thì theo trên
i KO
x(k) = A‘x,=T| MO) MIT"x,
0A ri
i K 0
=lx@jJ=lr| [MO M J1| Is|=lr| K li la|—>0 0 A r
Trang 15tiệm
x(k+1) = Ă9.x() (2)
i) Hệ 6n dinh tiém can néu 786 q€(0,1) sao cho
Ado | Sq kez’
i) Nếu Ă)=A+C(
Trong dé A là ma trận ôn định va \C(k)| <a Khi đó hệ sẽ ồn định
cận nếu a>0 đủ nhỏ nào đó Chứng mình:
i) Gia sử 3qe(0,1) sao cho: J4@)| <q, keZ
(2)<>x(k+1)= Ax(k)}+[Ăk)-A]x(k) (*) ; A 1d ma tran 6n định Nghiém cua hé (*) la:
k-1
yA TTL Ae)
x(k) = Ax +
° 7=0
k-I
=[upls|4"] fpf i= = lati! Ia@~4L [otal
k-1 :
< p*|x)|+ xP Pabst,
[=
Trong đó: |4@)| =p<l
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng rời rạc, ta có:
eas [slo a+ 2% , WkeZ" i=0 P
> Ixœ)| < xyj + p4)#
Trang 16ii) Giả sử Ăk)=A+C(Œ)
= Nghiệm của hệ (2) là:
x(k+1) = Ax(k+1)+C(Œ).x(k) Với x(0) = xạ là:
xŒ)= AẤx + =a ~~Ï c@)x(), iz
Dựa vào tính ổn định của A ta có đánh giá:
k-1
|xeo< pla] + vớ ~Í—]4|yg)J
I=
Sử dụng bắt đắng thức Gronwall đạng rời rạc với:
u(k) =4#|x(k) » =| ol > 2đ) _a
Ta có:
ina), TT 2) , VkeZ*
=> |x) < (+ at |x|
Vì qe(0,1) nên 3a>0 đủ nhỏ để 0<q+a<1 = ||x(k)|—> 0 khik—> +00 = hệ là ồn định tiệm cận
1.5.3 Tinh 6n định của hệ phi tuyến rời rạc
Xét hệ x(k+l)= fk,x(k)), keZ" @)
1.5.3.1 Định lý Xới hệ (3) trong đó /†k,x(k)) =Ax(k) +g (x(k)
Giá sử A là ma trận ổn định và g(x(k)) = a|x(k)|_ với a>0 đủ nh thì hệ ốn định tiệm cận
Chứng mình:
Trang 17Nghiệm của bài toán với f(k,x(k)) =Ax(k)+g(x(K)) với x(0) = xọ là: k-1 : x@)=4#x eS ARO g0), i=0 Vi A là ma tran 6n dinh nén |sa|sa* |x) + 4 _ k-1 <q* x |+ 5 gk! Male), i=0
Sử dụng bắt đắng thức Gronwall đạng rời rạc với:
u(k)=q c= lš ° , ăW)=“ q
ta CĨ:
Ix©|<|x,j## Maes , VkeZ"
k > |xœ)| <(q+4) lxj|
Vi qe(0,1) nén Ja>0 di nhé dé 0<qta<1 > |[x(x)| >0 khik— +o
= hệ là ồn định tiệm cận
1.6 Tinh ốn định của một lớp hệ phương trình sai phân - ngẫu nhiên Xét hệ phương trình sai phân h bước
Trang 18x +1 A A 1 A A 4 h |* k
x, _ỊE 0A A 0J*,.„
(1-2) | M “IA A A A AM
*, —=h+l 0 0 A E 0 *, -h
khi đó hệ (1-2) có dang yer = yx, AERO VOD (1-2)
Wx= (X,Xk, Xin) cRfDn Từ đó ta có :
1.6.1 Mệnh đề Nghiệm không của hệ phương trình (1-2) ổn định tiệm cận
Lyapounov khi và chỉ khi nghiệm không của (1-2) ổn định tiệm cận
Lyapounov ttc la r,(A) <1, voi:
A A A A 1
d- E 0A A 0
“JA A A A A
0 0A E 0
Xét hệ phương trình sai phân 2 bước Xu = AX, + Bx,
A,BeR"",x,eR" (2.2)
x(0) = Xp
1.6.2 Mệnh đề Nghiệm không của hệ phương trinh (2.2) 6n dinh tiém can nếu tôn tại một ma trận đối xứng xác định dương H>0 thoả mãn:
ATHA + BTHB —H + E + BTHAATHB < 0 (2.2) Chứng mình: Giả sử tồn tại ma trận H>0 thoả mãn điều kiện trong mệnh
Xây dựng hàm Lyapounov như sau:
Trang 19V(x.) = XH, + Xx1'QX,1 với Q = B'HB + Ẹ
Khi do:
Av(Xx) = V(Xx41)-V(Xq) = Xe AX + XK OX, - XTX, = Xe QXe1
;|ATHA+B HB-H+E A”HB
| BTHA _E b Ở đây yy = (Xụ; Xụ)” , mặt khác ta có: ATHA + BTHB -H + E+ BHAATHB < 0 ° am +BTHB-H+E vn <0 B'HA -E => Av(x¿) <0 suy ra (đpcm) Xét hệ phương trình sai phân h
Xp = AX, + AX „+ AzXku,
A,AI, , Á, € R"",x,eR"
x(0) =xụ (24)
1.6.3 Mệnh đề Nghiệm không của hệ phương trình (2.4) ồn định tiệm cận Lyapounov nếu tôn tại một ma trận đối xứng xác định dương H>0 thoả mãn:
P
ATHA- H+Ð.A;/HA, +pE A/HA A As,HA A,HA
i=l
ÁHA, ATHA, A A;,HA, A,HA,|<0 (2.4’)
AHA, ATHA, A A,,HA, -E
Trang 20Xây dựng hàm Lyapounov như sau: p_ Kk-l v(x,)=x;Hx, +) 3 x/Qx, j=l i=k-h, VỚI T -i— Q=A7HA,+E;j=l,p- Khi đó: Av(Xx) = V(Xk41)-V(Xx) T e T, T ¬ T =X AX, +» x Q;x; - x, Hx, ->, x Qjx,
jEL i=k+l=h, j=l i=k-h,
P
ATHA-H+)°ATHA,+pE A/HA A A, HA A,HA
i=l
=y, ÁHA, A}HA, A Aj,HA, AHA, ly,
T T T
ATHA, ATHA, A AHA, -E
Trong đó Vy = (Xp eX gree Xen, )
Từ giả thiết > Av(x,) <0
= hệ đã cho là ổn định tiệm cận Lyapounov Xét phương trình sai phân ngẫu nhiên đa bước
X;a = AX, + AX, + + A,X, + (Bx, + Buy ++ Bix ,)ốy (2.6)
Dé giai quyết bài toán (2.6) ta đưa về một bước
x | [A A, A A A,Jx, ] [B B, A B,Tx,
E 0A A 0 0 0A 0
@6©| * M |= M M M M MIM Met | M M M MIM Met
xua] [0 0 A E Ofx,,} [o 0 A ox,
Trang 21Khi đó hệ (2.6) có dạng:
Yeu = (A + BEY, (2.6)
Nếu nghiệm không của hệ (2.6) ổn định tiệm cận Lyapounov bình phương trung bình thì nghiệm khơng của hệ phương trình (2.6) ổn định tiệm cận bình phương trung bình
1.6.4 Định lý Nghiệm khơng của hệ phương trình (2.5) ổn định tiệm cận Lyapounov bình phương trung bình nếu ma trận A_ hội tụ và ton tai ma trận đối xứng xác định dương H>0 thoả mãn phương trình sylvester:
ÁHA+B'HB-H=-E (2.6’)
1.7 Tinh 6n dinh tiém cén binh phwong trung binh cia mét lép hé phiwong trình sai phân (PTSP) tuyến tính ngẫu nhiên
Trong phần này ta xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên k
Xi = Yax,,; +0X.)5; , ieZ
j=0 Với điều kiện ban đầu X=, 1€ Zọ Trong đó I là biến rời rac
i1€ZUZp voi Z={0,1,2, } Zo=={-h, ,0} h=max {k,]} Gia str (Q, F, P) là không gian xác xuất, (fF) ieZ là dãy các ơ đại số
Eo, €), la day các biến ngẫu nhiên độc lập
Trang 221.7.1 Định nghĩa: Nghiệm không của hệ phương trình (1) được gọi là ổn định
bình phương trung bình nếu Ve>0 3ồ>0 sao cho
Nếu lol’ = SupEg? <6=> Ex? <ẹ
ieZy
Néu ngoai ra Lim Ex? =0 thì nghiệm x=0 của (1) được gọi là ổn định
1—>%®
tiệm cận bình phương trung bình
Trong phần này trước hết chúng tôi sử dụng định lí sau:
1.7.2 Định lý Giá sứ ồn tại hàm không âm V; = V(i,x.ụ, ,x;) ¡eZ thoả mãn các điều kiện:
EV(0,x „ x,) < c, |ø|Ï
EAV;<-cEx” ieZ Trong đó AV; = V,.¡— Ứ; cị>0, ca>0
Khi đó phương trình (L) có nghiệm x=0 ổn định tiệm cận bình phương trung bình
Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập điều kiện đủ để nghiệm x=0 của hệ (L) ổn định tiệm cận bình phương trung bình
Đặt X( = (X¡ , XI, x)" b= (0, 0)"
là các véc tơ cột k+1 chiêụ
Đặt ma trận vuông
Trang 230 1 0 A 0
00 1 +A O
A=|M M M M M
00 0 At
a, a, 1 ay, 2 A đọ
Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng
x(i+ 1) = Ax(i) + bx (2)
Đặt U là ma trận vuông k+] chiều có phần fử M¿+ikvi = 1, COn các phan tử còn lại bằng 0
Trang 24Chuong 2
TINH ON DINH MU CUA HE NGAU NHIEN CO TRE VOI BUOC NHAY MARKOV
2.1 Mé dau
Trong những năm gần đây, nhiều nghiên cứu đã quan tâm đến sự ồn định của hệ vi phân với bước nhảy Markov Tuy nhiên đang cịn ít nghiên cứu quan
tâm đến sự ồn định của hệ có trễ với bước nhảy Markov Hé được miêu tả
trong chương này là hệ ngẫu nhiên có trễ với bước nhảy Markov
Lý thuyết được phát triển ở đây có thế ứng dụng vào nhiều tình huống khác nhau và đo đó đễ thấy tầm quan trọng của chủ dé naỵ
Mơ hình hố ngẫu nhiên đã đóng một vai trị quan trọng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật Một lĩnh vực phô biển được quan tâm nhiều đó là điều khiển tự động của các hệ ngẫu nhiên, với sự quan trọng của nó đang được thay thế trên sự phân tích sự ổn định của mơ hình ngẫu nhiên Ở đây chúng tôi quan tâm đến các cơng trình của Arnold [6], Hale và Lunel, Has’minskii, Klomanovskii và Myshkis , và các tác giả khác
Ngày nay, hệ chuyển đối (hybrid systems) được điểu khiển bởi xích Markov liên tục đã được sử dụng để mô tả nhiều hoạt động thực tiễn, nơi mà chúng có thể trải qua những thay đổi đột ngột về cấu trúc và tham số Hệ chuyển đổi vừa có một phần trạng thái lấy giá trị liên tục, vừa có một phần trạng thái lấy giá trị rời rạc Hệ chuyên đổi đã được Willsky và Leve nghiên cứu cho model của hệ năng lượng điện tử cũng như Sworder và Rogers nghiên cứu cho sự điều khiến của trung tâm nhiệt mặt trời (solar thermal central) Athans đã đề xuất rằng hệ chuyên đổi trở thành một bộ khung cơ bản trong việc đề xuất va giải quyết các mối quan hệ điều khiển nảy sinh trong trong việc
Trang 25tạo ra và giải quyết mối quan hệ điều khiển nảy sinh trong việc điều khiển khung (battle management), diéu khién va hé thong truyén đạt thông tin (communications systems) (BM/C) Một lớp quan trọng của hệ chuyển đối là
hệ tuyết tính có bước nhảy
+) = 4ữ())xứ) (1.1)
Ở đây một phần của trạng thái x(t) nhan gia tri trong R” trong khi phan khác của trạng thái r(t) là một xích Markov nhận giá trị trong S={1,2, .N} Một vấn đề quan trọng nảy sinh trong quá trình nghiên cứu hệ là chuyên đối sự điều khiển tự động, với tầm quan trọng đang được thay thế trên sự phân tích của tính ổn định Ji va Chizeck [4] da nghiên cứu tinh ồn định của hệ tuyến tính có bước nhảy như vậỵ Basak cùng các đồng tác giả trong [3] đã miêu ta tính én định của phương trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, trong khi đó Mao đã nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên với bước nhảy Markov Shaikhet đã đưa thời gian trễ vào nghiên cứu và đã quan tâm đến sự ồn định của hệ phương trình trễ vi phân nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, trong khi đó Mao và các đồng tác gia đã nghiên cứu tinh 6n định của hệ phương trình vi phân có trễ phi tuyến với bước nhảy Markov
Sự thay đổi đột ngột của cấu trúc và tham số trong hệ chuyên đổi là thường xuyên bởi hiện tượng giống như tình trạng khơng thích hợp bộ phận hay
phục hồi bộ phận, sự thay đổi của hệ thống con nối liền với nhau, và sự nhiễu
loạn môi truong lai (abrupt) Vi vay, khi chung ta mơ hình hoá những hệ như vậy, cần phải đưa tham số không chắc chắn và môi trường nhiễu giống như thời gian trễ vào tính tốn Nhắc lại về hệ tuyến tính có bước nhảy (1.1), nếu chúng ta quan tâm đến sự tác động của thời gian trễ, thì hệ cần phải được miêu tả bởi
Trang 26Nếu chúng ta cũng lấy môi trường nhiễu vào tính tốn, thì hệ thống trở
thành một phương trình trễ vi phân ngẫy nhiên với bước nhảy Markov
dx(@)=[AŒ()x()+BŒ@))xđ-đ)]d()+ [BŒ@))x@)+DŒ())x(-đ)]dø@) (1.3)
Cũng cần phải chỉ ra rằng, trong vài năm lại đây, rất nhiều nghiên cứu đã quan tâm đến việc ước lượng sự ổn định của hệ trung bình
x°)=(4+A4)xŒ)
2.2 Những ký liệu
Trong suốt chương này, nếu khơng có gì đặc biét, chúng tơi sẽ sử dụng những ký hiệu saụ | | là chuẩn Ơclit trong R" Nếu A là một véc tơ hoặc một ma trận thì dạng chuyên vị của nó được ký hiệu là AT Nếu A là một ma trận thi chuẩn vết của ma trận A được ký hiệu bởi | 4= ^lmrace(A” 4) trong khi đó chuẩn tốn tử của nó được ký hiệu là || 4 l|E sup{| 4x :x E l} Nếu A là ma trận đối xứng, ký hiệu 4„„ (4) và 2„„ (4) là giá trị riêng lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng Nếu A và B là các ma trận đối xứng, thì ký hiệu A > B và 4> 8 nghĩa là A - B là ma trận xác định dương hoặc ma trận xác định không âm tương ứng
R, =[0,0) va rz>0 C(-z,0];R") ký hiện cho họ các hàm liên tục ø từ [-z,0] đến R" với chuẩn || ø |I= sup „ |ø(Ø)| (khơng có sự lẫn lộn với chuân toán tử ||A|) ;#, ->[0,z] là hàm liên tục, cái mà sẽ viết tắt cho thời gian trễ
của những hệ được miêu tả trong bài báo nàỵ Như một giả thuyết có đỉnh, chúng ta sẽ luôn giả sử hàm ở ln khả tích và đạo hàm cau no bi chan boi một hằng số nhỏ hơn I
Nghĩa là
O(t) <6, <1, Vt=0
(O,F,{F},„„,P) là không gian xác suất đầy đủ với bộ lọc {Ƒ;},„ thỏa
mãn những điều kiện thong thường )nghĩa là liên tục trái vào Ƒ„ chứa tất cả các
Trang 27tập có độ đo khơng) Ký hiệu C°z([-z,0];#”) là họ tất cả các biến ngẫu nhiên bị chặn, ;—- đo được và nhận giá trịnh trong C([-z,0];R") Nếu x(t) 1a qua trình ngẫu nhiên liên tục nhận giá tri trong R" với /e[-r,s],
x„ ={xứ+Ø):-z<Ø<0} với >0 được xem như quá trinh ngẫu nhiên nhận giá trị trong C(-z,0];R”) w(),z>0 là chuyên déng Brownian 1 chiều xác định trên không gian xác suất z(/), >0 là xích Markov liên tục trái trên không gian xác suất nhận giá trị trên không gian trạng thái hữu hạn S={1,2, .N} với generator Í= (7„)„„ được xác định bởi
7„A+ o(A), ix]
Pina) jin a= 1 Ato(A), inf
với A >0 Ở đây 7, > 0 1a téc dé chuyền trạng thái từ ¡ đến j Nếu ¡ z / thì Vn = LM
Chúng ta giả sử răng xích Markov z) là độc lập với chuyển động Brown w(.) Ta biết rằng hầu hết mỗi phần của r(t) là một hàm bước nhảy liên tục trái với số bước nhảy hữu hạn trong một khoảng con vô hạn của R
Trong suốt chương này, nếu không có gì đặc biệt, chúng tôi sẽ bỏ t trong r(t) va 6(t) cho don gian
2.3 Tinh 6n dinh mii binh phiong trung bình của hệ đơn giản Trước hết chúng ta hãy quan tâm đến hệ đơn giản hóa sau
dx(t) =[(4,x(0) + B.x(t - d) dt +[(C,x() + D,x(t- 6)]dăt) (3.1)
trên z>0 với đữ liệu ban dau x, = € € C’x ([-7,0];R")
Trang 28Markov nhan gia tri trén C({-r,0];R")xS Toan tir v6 han chiéu ctia no L, tác động lên hàm Ƒ: C(-z,0];#")x x8, — R, được định nghĩa bởi
1
LV (48) = lim LEW Gnas r(t+A),t+A) x„r()=ЗV(x,.ị0)] (3.2)
Ví dụ nếu V(ø.¡,) = ø' (0)0,(0) (g.i,t) € C([-7,0];R")x Sx R, với Ó, là những ma trận đối xứng thì LV (x,,1,0) = 2x" (t)O,[(4,x(0 + B,xứ — )]+[(C,xứ)+ D,xứ - ö)]Ï O,[(C,xŒ)+ D,xứ — ở)] v +Ðz„x'()Øx(!) (3.3)
Khi nghiên cứu tinh ồn định, chúng ta sé lay ham Liapunov dang
0
V(ø.ịt)= | ø (9),p(0)dØ
dj (3.4)
(ø.¡.f) € c{[-z.0]:R")x SxR,
Với H; là những mà trận đối xứng Về sau này ta cần bồ đề
Bồ đề 3.1 Toán fử vô hạn chiêu tác động lên hàm xác định bởi (3.4) có
Trang 29EV (x THẢ r(t+A),t+A)|x,.7() =) 0 -| ÍXŒ+A+Ø)xH„„jx(+A +Ø)đ4Ø|x,,r(£)= j -ở = :| | x' (r+Ø)H,„.„)xứ +) đØ|x,.r (7) = | ~ð()
“LJ : T(r+tA+Ø)H,u,yx(t+A +9) dØ— Joop qosteoayds.rt)=i
=ŸP(r(+A)=/|r()=i)x Ï s7 w+9jx(r+8)4ø =I -ð() “| [+ 0+9, +8)40- i "(t+ O)H 5) sae) -ð() -ð() =Sy,A A [ x" (1+ OH x(1+0)d0+ [> tr+9)#0x(+8)4ø jel -#() -~ð(r) A So)
o4[ J COM eo oyae- ƒx ứ+9)xH äax + 6) 4Ø|x, 02
0 -6(r) N 0 =3 z,A [ x (I+9)H,x(t+9)4Ø+V(x,.ịt)+A* (0) Hx@) j=l -ð(r) -Ă1-6)x" (t-5(1))x H,x(t—5(1)) +0(A)
Thay vào công thức (3.2) ta đi đến công thức (3.5) là điều phải chứng
minh
Bây giờ ta có thể phát biểu kết quả đầu về tính ổn định mũ theo nghĩa bình phương trung bình:
Định lý 3.1 Giá sử rằng tôn tại 2 hằng số Â, và Â, sao cho A, > tA,
Trang 30v
„„„(Ø,4, + Á0,+2C0,C, + ø,Ø,+`z,Q, + H,) <A,
j=l N
Avex Vi Hj) $a
jal
với mọi ¡e S Khi đó, với mọi dữ liệu ban dau šceC?s([-r.0];R"), nghiệm của (3.1) có dạng
limsup log(E | x(t;}€)?)<-2 <0 (3.6) Nói cách khác, (3.1) là ổn định mũ theo bình phương trung bình Hơn thế nữa, số dương ^ là nghiệm duy nhất của
đÂ+(Â; +øÄ)re”” = Âi (3.7)
voi
œ =max „„(O,) œ, =max „„(H,),
Chứng minh: Đầu tiên chứng ta sẽ chứng tỏ rằng 2, >0 Chọn ¿ để A,,,(H,) mịn
trở thành nhỏ nhất của 4„„(77,) (1< j < N), nghĩa là min
‘min ý “min
„(H,) = min „ (H,,) </<
Và với v #0 là giá trị riêng tương ứng của H;, nghia la H,v = 4„(H,)v thì
VA, = Agi (Hi) | vl « Hơn thế nữa,
N N
vĩ [= „H, y= > Vi v Hv +y,v Hv
j=l jai
v
2 YL Arin (4, ) pf FV Amin (A)
jai
v
> Âu, (H,)|y| 3z, =0 fa
Trang 31an | St oP eM (Sir, veọ
Tu |v [> 0, ta thu dugc
y
An( St, 20
j=l
Vì vậy chúng ta có 24, >0 Từ 4, >z4, ching ta thấy rằng 4, >0 và do đó (3.7) có nghiệm duy nhất â > 0
Bây giờ ấn định một dữ liệu ban đầu bất kỳ ¿ và viết x(;¿) = x() Chúng ta định nghĩa hàm Liapunov ,:C([—z,0]^s : R —> R f,(ø,¡,t) =e“Y(ø.i,) VỚI 0 f(ø.¡,)=ø'(0)/0ø(0)+ [ø' (00 -ổ
Bằng công thức Ito tổng quát (xem [22]), chúng ta có
EV,(x,.r(t),t) = EV,(E,r(0),0)+E [LV(x,,r(s),s)ds : (3.8)
Dễ nhận thấy rằng
LV,(x,,i,0) = e“ [AV (x, 3 i,t) + LV,(x,,i,0)]
Trong khi đó, từ (3.3) và bể đề 3.1 ta có
LV,(x,,,0) = 2x" (t)OL[(A xO + Bx(t- dN] +1(C.x() + Dx) O[(C.x@) + Dix(t- 5)]
chư (t)O,x(t)+x" (t) H,x(t)-(1-6)x" (t- 6) H,x(t- 5)
yy, fe (1+0)H,x(t+0)M0 (3.9)
Trang 32Str dung bat dang thtre co ban
2x OBy <éx'Ox+ ,'ýB/OBy
như những giả thuyết, chúng ta tính tốn
N
LV,(x,,i,0) =x" (¢ l4 +4/0,+2C70Œ+eØ0,+3,z,0, + z,Ìx()
+x" (t-5)x(éB/ ỌB, + 2D! O,D, - (1-6) H,)x(t- 6)
0
+ f2"( (+Ø) [nw ‘Js (t+ 0)d0
-5 j=l
0
<-A, Rứ)'+2 [Ix+Ø)Ì dỌ
Cũng chú ý rằng
0
V(x„i,')<ø|x(П +ø, [|xứ+Ø)Ÿ d0
Thay vào (2.8) ta thu được
EV,(x,.r(t).t)< EV,(é,r(0),0)+(4, +aa)E fe* |x(s)| ds+
og ° (3.10)
(4 went fe[ [jo o)ae a
Tinh toan
:
fe" [ste ayiae a= = fe j II 0 Ja < Il Je 24m x (wf du <rte** fe" —r 2 x(z)[ dụ
Thay vào (3.10) cả sử dụng (3.7) ta thu được
EV, (x,,r(),t) < EV,(x,,r(0),0) + (A, + @,A)te“E ji £(Ø) dé
Trang 33Mặt khác, chúng ta chú ý rằng
EV,(x,,r0),!) > e*“E(x” @)O,„x@))> e*“E|minx” ()O,x(9)} ze“ min Â,„(@,)E | x0) Ï -
Và vì vậy, kéo theo khẳng định (3.6) là điều phải chứng minh
Nếu chúng ta cho e, =l với mọi i trong Định lý 3.1, chúng ta thu được kết quả sau
Hệ quả 3.1 Giá sứ rằng tôn tại 2 hằng số 2, va A, dé A, >TtA,
Cũng giá sứ rằng tôn tại các ma trận đối xứng Q_ >0, H, >0 và hằng
số e >0(1<¡<N) để 1
H, >¡-a (595 +2D/QD,)
Ana (OA +4 Q,+2C/06, +0,+ 40, +H)S~A Bow QIyH) SA
V6i moi ies thi (3.1) 1a ơn định mũ bình phương trung bình
Nó có ý nghĩa khi chỉ ra rằng hệ quả 3.1 được phát biểu mà khơng có mặt z,, vì vậy nó trơng có vẻ gọn gàng, nhưng định lý 3.1 là tổng quát hơn vì nó cho phép lựa chọn các e, khác nhau cho các tình huống khác nhau trong thự tế Ví dụ, trong chứng minh của định ly 4.1 ching ta sẽ chọn
Trang 34KET LUAN
Luận văn đã thu được các kết quá chính sau
1 Trình bày có hệ thống một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định
theo nghĩa Liapunov với các nội dung
- Các khái niệm về tính ổn định
- Tính ổn định của các hệ vi phân tuyến tính khơng đừng - Tính ồn định của các hệ tựa tuyến tính
- Tính ồn định của các hệ với thời gian rời rạc
2 Trình bày tính ốn định tiệm cận bình phương trung bình của một lớp hệ phương trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên có dạng
k
Xia = Vary +OX15; , ieZ
j=0
3 Thiết lập được điều kiện du để hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ với bước
nhảy Markov ồn định mũ bình phương trung bình của hệ có dạng sau
dx()=[Ă()x()+B(Œ())x(- ø)]d@)+ [BŒ())x()+DŒ())x(- ø)]dø()
Trang 35(1) [2] [3] [4] [5] [6]
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết
ổn định, Nhà xuất bản Giáo dục ( 2003)
Vũ ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội ( 2001)
G.K Basak, A, Bisi, M.K.Ghosh, “Stability of a random diffusion with linear drift”, J Math Anal Appl., Vol 202.pp 604 622.1996
Ỵ Jị HJ Chizeek (1990), Controllability, Stability and continuos — time Markovian jumb linear quadratie control, IEEE Trans, Automat, Control 35, 777-778
X Mao (1999), Stability of stochastic differential euqatuons with Markovian switching, Stoc Proc Appl 79 (1), 45- 67