Về tính ổn định bình phương trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ không giải ra đối với đạo hàm

mở đầu Bất hệ thống dù hệ thèng kü tht, hƯ sinh th¸i hay hƯ thèng kinh tế xà hội tồn phát triển trạng thái ổn định Trong thực tế trình lại diễn cách độc lập hoàn toàn Các kích động thờng tồn gây nhiễu đến phát triển trình làm cho trình không đợc bình thờng, từ nảy sinh khái niệm tính ổn định trình dới dạng định nghĩa mô tả sau Một trình bị nhiễu dới tác động kích động mà trì đợc phát triển bình thờng nh nhiễu đợc gọi trình ổn định Một trình bị kích động mà phát triển khác xa bình thờng đợc gọi trình không ổn định Khóa luận nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình theo nghĩa Liapunov hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ không giải đạo hàm Khóa luận gồm hai chơng: Chơng I: Trình bày khái niệm lý thuyết ổn định hệ vi phân tuyến tính theo nghĩa Liapunov Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình nghiệm tầm thờng hệ vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính có trễ không giải đạo hàm Khóa luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn nhiệt tình PGS-TS Phan Đức Thành Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - Ngời đà dành cho hớng dẫn nhiệt tình suốt khóa học nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp quý báu bổ ích thầy PGS-TS Nguyễn Văn Quảng, TS Trần Xuân Sinh thầy cô tổ Điều khiển - Khoa Toán - Trờng Đại Học Vinh Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình bạn bè đà tạo điều kiện thuận lợi cho thân suốt trình học tập nghiên cứu để hoàn thành tốt khóa luận Vinh, tháng năm 2005 Nguyễn Thị Lâm Chơng I Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính Đ1 toán ổn định Nh đà biết, phơng tiện để mô tả hệ thống phơng trình vi phân Phơng trình vi phân liên kết yếu tố quan trọng trình phân tích hệ thống nh: Tác động điều khiển, trạng thái tự nhiên kết chờ đợi (đầu ra) Xét hệ phơng trình vi ph©n thêng: dy j dt = f j ( t , y1 , y , , y n ) (j = 1, 2, , yn) (1 1) Díi d¹ng ma trËn vÐc t¬ ta cã: dy = F( t , Y ) = [f1 ( t , Y ), , f n ( t , Y)]T dt (1 2) §Þnh nghÜa1.1.1 NghiƯm z = z(t) (a < t < ) hệ (1.2) đợc gọi ổn định theo Liapunov t → ∞, nÕu ∀ε > vµ t0 ∈ (a, ∞), ∃δ = δ(ε, t0) > cho : i) Tất nghiệm Y = Y(t) hệ (1.2) thoả mÃn điều kiện: ||Y(t0) z(t0)|| < (1 3) xác định khoảng t0 < t < ∞ tøc lµ Y(t) ∈ DY t [t0, ) ii) Đối với nghiệm bất dẳng thức sau đợc thoả mÃn: ||Y(t) z(t)|| < (1 4) Trờng hợp đặc biệt, F(t, 0) ≡ nghiƯm tÇm thêng z(t) ≡ (0 < t < ) ổn định > vµ t0 ∈ (a, ∞) ∃ δ = δ(ε, t0) cho: ||Y(t0)|| < kéo theo đẳng thức : || Y(t)|| < ε t0 < t < ∞ §Þnh nghÜa 1.1.2 NÕu sè δ > cã thĨ chọn không phụ thuộc trờng hợp ban đầu t0 G, tức = () ổn định gọi ổn định miền G Định nghÜa 1.1.3 NghiÖm z = z(t) (0 < t < ) đợc gọi không ổn định theo Liapunov, > 0, t0 (a, ) > tồn nghiệm Y (t)và thêi ®iĨm t1 = t1(δ) > t0 cho: || Yδ (t0) – z(t0) || < δ vµ || Yδ (t1) z(t1) || Ngợc lại, z không thoả mÃn định nghĩa ta nói nghiệm tầm thờng z không ổn định §Þnh nghÜa 1.1.4 NghiƯm z = z(t) (0 < t < ) đợc gọi ổn định tiệm cận t nếu: i) Nó ổn định theo Liapunov vµ ii) ∀t0 ∈ (a, ∞), ∃∆ = ∆(t0) > cho mäi nghiÖm Y(t) (t0 ≤ t < ) thoả mÃn điều kiện || Y(t0) z(t0) || < ∆ sÏ cã tÝnh chÊt: lim Y ( t ) − z ( t ) = (1 5) t Định nghĩa 1.1.5 Giả sử hệ (1.2) xác định nửa không gian = {t0 < t < ∞}x{|| Y|| < ∞} nÕu nghiÖm z = z(t) (a < t < ) ổn định tiệm cận t tất nghiệm Y = Y(t) (t0 ≤ t < ∞, t0 > a) ®Ịu cã tÝnh chÊt (1 5) tøc lµ ∆ = ∞ z(t) đợc gọi ổn định tiệm cận toàn cơc Cïng víi hƯ (1 2) ta xÐt hƯ cã nhiễu sau: Định nghĩa 1.1.6 Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) hệ (1 2) đợc gọi ổn định dới tác động nhiễu ~ t , Y ) ( < δ ~ φ t , Y) ( nÕu ∀ε > vµ t0 ∈ (a, ∞), ∃δ = δ(ε, t0) > cho tất nghiệm xác định khoảng [t0, ) ~ Y(t ) hệ (1 6) thoả mÃn ®iỊu kiƯn ~ Y ( t ) −z ( t ) ≤δ víi t0 ≤ t < ∞ ~ Y ( t )   ∆ = a1 a >  a3 a2     ∆ n = an∆ n− >  (4) Đ6 ổn định hệ gần thứ Giả sử ta có hệ phần tử vi phân: dx i = f i ( t , x1 , x , , x n ) (i = 1, 2, , n) dt (1) Khai triĨn vÕ ph¶i cđa (6 1) theo công thức Taylor lân cận gốc toạ độ, ta có: n dx i = a ij ( t ) x j + R i ( t , x1 , , x n ) dt j =1 (i = 1, , n) (2) (Khai triÓn theo Taylor ®Õn bËc nhÊt) Tõ ®ã ta cã: n dx i = ∑a ij ( t ) x j (i = 1, n ) dt j =1 (3) Hệ (3) đợc gọi hệ phơng trình gần (hay xấp xỉ) thứ hệ (1) Định lý 1.6.1 Nếu: i) HƯ (2) lµ dõng theo xÊp xØ thø nhÊt ii) Tất số hạng Ri bị chặn theo t khai triển đợc thành chuỗi luỹ thừa n ®èi víi x1, x2, , xn mét miỊn ∑x i2 H tất khai triển i =1 số hạng không thấp bậc hai iii) Tất nghiệm phơng trình ®Ỉc trng: a11 − k a12 a1n a 21 a 22 - k a 2n a n1 a n2 a nn k =0 (4) có phần thực âm Thì nghiệm tầm thờng xi (i = 1, 2, , n) cđa hƯ (2) vµ hƯ (3) ổn định tiệm cận, tức trờng hợp nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ Định lý 1.6.2 Nếu: i) Hệ phơng trình (2) dừng theo xấp xỉ thứ ii) Tất hàm Ri thoả mÃn điều kiện định lý iii) Có nghiệm hệ phơng trình đặc trng (4) có phần thực dơng Thì điểm cân xi (i = 1, 2, , n) cđa hƯ (2) vµ (3) không ổn định, tức trờng hợp nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ 10 tầm thờng (vị trí cân bằng) X = kh«ng gian R n (kh«ng gian n chiỊu cđa biÕn x x) 7.2 Hµm cã dÊu xác định Xét hàm số V = V(t, X) liên tơc theo t vµ theo x1, , xn miỊn z0 = {a < t < ∞, ||X|| < h} Ta đa định nghĩa hàm có dấu xác định có dấu không đổi Định nghĩa7.2.1 Hàm thực liên tục V(t, X) đợc gọi có dấu không đổi (dơng âm) z0 nÕu: V(t, X) ≥ (hc V(t, X) ≤ 0) với (t, X) z0 Định nghĩa 7.2.2 Hàm V(t, X) đợc gọi hàm xác định dơng z0 tồn hàm W(X) C(||X|| < h) cho: V(t, X) ≥ W(X) > víi ||X|| (6) Hàm V(t, X) đợc gọi xác định âm z0, tồn hàm W(X) C (||X|| < h) cho: V(t, X) = W(X) < víi ||X|| ≠ Vµ V(t, X) = W(0) = Hàm xác định dơng âm đợc gọi hàm có dấu xác định Đôi W(X) cã thÓ lÊy: W ( X ) = inf | V (t , X ) | t Đặc biệt, V = V(X) hàm có dấu xác định (-1)α V(X) > víi ||X|| ≠ vµ X(0) = 0, hàm xác định dơng = 0, hàm xác định âm = Định nghĩa 7.2.3 Hàm V(t, X) đợc gọi hàm có giới hạn vô bé bậc cao → X → nÕu víi t0 > a ta có V (t , X )  trªn [t0, ∞) X → 0, tøc lµ t víi mäi ε > ∃δ = δ(ε) > cho: |V(t, X)| < ε (7) ||X|| < δ vµ t ∈ [t0, ∞) Tõ bÊt đẳng thức (7) kết luận hàm V(t, X) có giới hạm vô bé bậc cao X bị chặn bán trụ ®ã 12 t0 ≤ t < ∞, ||X|| < h Nếu hàm V(X) liên tục, không phục thuộc vào thời gian t V(0) = V(X) có giới hạn vô bé bậc cao X 7.3 Các định lý Liapunov tính ổn định ổn định tiệm cận nghiệm Cho hệ vi phân qui đổi: dX = G ( t, X) dt (8) với G(t, X) liên tục theo t đạo hàm riêng liên tục theo x1, x2, , xn Trong mét miÒn T (T = {a < t < ∞; ||X|| < H}) Gi¶ sư V = V(t, X) khả vi liên tục theo biến t, x1, , xn T0 = {a < t < ∞ ; ||X|| ≤ h < H} ⊂ T vµ G(t, X) = [G1(t, x1, , xn), , Gn(t, x1, , xn)]T o Định nghĩa Hàm số V (t , X ) = ∂V n ∂V +∑ G j (t , X ) t j =1 x j (9) đợc gọi đạo hàm (toàn phần) theo t hàm V(t, X) theo nghĩa hệ (8) Định lý thứ Liapunov Nếu hệ qui đổi (8) tồn hàm xác định dơng V(t, X) liên tục theo biÕn t, x1, …, xn ®ã T0 = {a < t < ∞ ; ||X|| ≤ h < H} T có đạo hàm dấu không dơng V(t,X) theo t nghĩa hệ nghiệm tầm thờng X ≡ (a < t < ∞) cđa hƯ ®· cho ổn định theo Liapunov t + Ví dụ: Xét tính ổn định nghiệm tầm thờng hệ:  dX = − (x − y)(1 − x − 3y )  dt    dy = − ( y + x)(1 − x 3y ) dt Giải: Chọn hàm V(t, x, y) = x2 + 2y2 Râ rµng V(t, x, y) hàm xác định dơng Đạo hàm hµm nµy theo t nghÜa cđa hƯ lµ: 13 dV ∂V ∂x ∂V dy = + dt ∂x dt ∂y dt = 2x(2y – x)(1 – x2 – 3y2) + 4y(x + y)(3y2 + x2 - 1) = -2(1 – x2 – 3y2)(x2 + 2y2) ≤ víi x, y ®đ bÐ Ta thÊy ®iỊu kiƯn cđa định lý đợc thoà mÃn, nghiệm tầm thêng X ≡ 0, Y ≡ cđa hƯ ®· cho ổn định Hệ Nếu hệ vi phân tuyến tính nhất: dX = A(t )X dt (A(t) C[t0, )) tồn hàm xác định dơng V(t, X) có đạo hàm nghĩa hệ V(t, X) tất nghiệm X(t) hệ đợc xác định bị chẵn nửa trục [t0, ) Chú ý: Trong định lý thứ Liapunov thay tính xác định dơng hàm V(t, X) tính xác định âm nhng đòi hỏi V(t, X) phải hàm không âm Định lý thứ hai Liapunov Giả sử hệ qui đổi (8) tồn hàm xác định dơng V(t, X) (liên tục theo biến t, x 1, , xn T0 = {a < t < ∞ ; ||X|| ≤ h < H} ⊂ o T) cã giới hạn vô bé bậc cao X có đạo hàm theo t xác định âm V (t, X) nghÜa cđa hƯ ®ã Khi ®ã nghiệm tầm thờng X hệ ổn định tiệm cận t + Hệ Nếu hệ vi phân tuyến tính dX = A(t )X dt tồn hàm xác định dơng V(t, X) thoả mÃn điều kiện định lý thứ Liapunov nghiệm hệ ổn định tiệm cận toàn cục Chú ý: Trong định lý ta thay điều kiện xác định dơng hàm V(t, X) điều kiện xác định âm nhng phải có điều kiện xác định dơng V(t, X) 14 Chơng II Tính ổn định bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ Đ1 Vi phân Itô hàm Liapunov Để nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên ta cần số khái niệm vi phân Itô đợc xây dựng theo trình Wiener I Quá trình Wiener Định nghĩa 2.1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt, t 0) xác định không gian xác suất (, f, p) đợc gọi trình Wiener nếu: i) W0 = ii) (Wt) cã gia sè ®éc lËp iii) Wt – Ws ∼ N(0, t - s) Tõ tÝnh chÊt iii) ta suy EdWt = 0, E(dWt)2 = Định lý sau đợc gọi qui tắc vi phân Itô Định lý 2.1.1.2 Cho X = (Xt) trình ngẫu nhiên có vi phân It«: d xt = A(t, xt) dt + B(t, xt)dWt Giả sử y = g(t, x) hàm lần khả vi liên tục theo biến t, hai lần khả vi liên tục theo biến x Khi trình ngẫu nhiên y t = g(t, Xt) có vi phân Itô đợc tính theo công thức: dy t = g ∂g ∂2g dt + dX t + B dt t x 2x 15 II Vi phân Itô hàm Liapunov 2.1.2.1 Xét hệ vi phân tuyến tính dõng dx = Ax dt hay dx = Axdt (1) A Rn xn ma trận hằng, x Rn Ta xây dựng hàm Liapunov hệ (1) díi d¹ng: V = xTHx = (x, Hx) Trong đó: H ma trận xác định dơng Khi ®ã: dV  dx dx    =  , Hx  +  x, H  = (Ax, Hx ) + ( x , HAx ) dt  dt dt    = (x, ATHx) + (x, HAx) = (x, (ATH + HA)x) = xT(ATH + HA)x 2.1.2.2 Xét hệ vi phân ngẫu nhiên dx = Axdt + BxdW(t) hay dx = [Adt + BdW(t)]x (2) A, B Rnxn ma trận Ta xây dựng hàm Liapunov hệ (2) có dạng toàn phơng V = xTHx Theo công thức vi phân Itô ta cã: dV = d(xTHx) = dxTHx + xTHdx + (Bx)THBxdt = (xTATdt+xTBTdW(t)) Hx + xTH(Axdt + BxdW(t))+ xTBTHBxdt = xT(ATH + HA + BTHB)xdt + xT(BTH + HB)xdW(t) Lêi kú väng hai vÕ ta cã: EdV = xT(ATH + HA + BTHB)xdt (v× EdW = 0) 2.1.2.3 XÐt hƯ sai phân ngẫu nhiên x(k + 1) = [A + Bξ(k)]x(k) ®ã ξ(k) = W(k + 1) – W(k) trình ồn trắng ngẫu nhiên V = Vx(k + 1)) – Vx(k) = xT(k + 1)Hx(k + 1) – xT(k)Hx(k) Thay x(k + 1) = [A + Bξ(k)]x(k) ta cã: ∆V = xT(k)[ATHA – H + (BTHA + ATHB)ξ(k) + BTHBξ2(k)]x(k) LÊy kú väng hai vÕ ta cã: E∆V= xT(k)(ATHA – H + BTHB)x(k).(V× Eξ(k) = Eξ2(k) = E(W(k + 1) – W(k))2 = 1) 16 §2 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân có trễ không giải đạo hàm I Xét hệ động lực véctơ - ma trận dừng n chiều có mô hình toàn học hệ phơng trình vi phân có trễ sau D dx ( t ) = Ax ( t ) + A1x ( t − τ) dt (1) víi ®iỊu kiƯn ban ®Çu ≤ t0 < t, x(θ) = x0 ≠ víi θ = t0, x(θ) = 0, t0 - τ ≤ θ < t0 τ = Const ≥ 0, t0 – τ ≤ θ ≤ t0 t0 lµ thêi ®iĨm gèc; x, x0 – vect¬ cét n – chiỊu; A, A1- ma trận Định nghĩa2.2.1.1 Nghiệm x = hệ (1) ổn định theo Liapunov ∀µ > bÐ tuú ý,∃δ > cho tõ ®iỊu kiƯn ||x0|| < δ suy ||x(t, t0, x0)|| < Trong trờng hợp trái lại không tồn ta nói x = không ổn định Định nghĩa 2.2.1.2 Nghiệm x = hệ (1) ổn định tiệm cận theo Liapunov ổn định theo định nghĩa thoả mÃn: lim || x ( t , t , x ) ||= với điều kiện gốc x0 mà ||x0|| < t Định nghĩa 2.2.1.3 Nghiệm x = hệ (1) ổn định mũ theo Liapunov với số mũ > ổn định tiệm cận thoả mÃn: ||x(t, t0, x0)|| < k||x0|| e β t ®ã k > 0, β > - số không phụ thuộc t0, x0 Định nghĩa2.2.1.4 Nghiệm x(t, t0, x0) hệ (1) bị chẵn tut ®èi nÕu ∃C > cho ||x0|| < ||x(t, t0, x0)|| < C Bài toán đặt với giả thiết chùm ma trận D A quy tìm điều kiện ổn định tiệm cận nghiệm hệ vi phân có trễ D dx ( t ) = Ax ( t ) + A1x ( t − τ) dt II Mét sè kÕt đà biết 17 (*) Chùm ma trận A D đợc gọi quy (hay không suy biến) nÕu det(A λD) ≠ (theo λ), muèn thÕ c¸c ma trận A D phải không suy biến Nếu detA = điều có nghĩa hệ: D dy ( t ) = Ay( t ) dt t0 t, y(t0) = x0 (2) đặt biên ổn định Về sau ta giả thiết detD Nếu hệ (2) ổn định tiệm cận theo Liapunov tøc lµ chïm ma trËn A – λD Hurwitz (hoặc phần thực giá trị riệng âm) ta có bổ đề sau đây: Bổ đề 2.2.2.1 Nếu chùm ma trận A D Hurwitz ồn ma trận xác định dơng đối xứng H0 cỡ nxn nghiệm phơng trình Sylvester T AT H D + D H A = −G (3) Trong G ma trận xác định dơng ®èi xøng chän tuú ý cì nxn chän tuú ý Mệnh đề ngợc đúng: Nếu ồn H0 = H T > phơng trình (3) chùm ma o trËn A − λ D Hurwitz Bỉ ®Ị 2.2.2.2 (Kalman, Bertram) NÕu Chïm ma trËn A − λD ổn định mũ với số mũ > tồn ma trận xác định dơng đối xứng cỡ nxn nghiệm phơng trình Sylverter (A + βD)TH0D + DTH0(A +βD) = - G (4) Trong G ma trận xác định dơng đối xứng chọn tuỳ ý cỡ nxn Mệnh đề ngợc ®óng: nÕu tån t¹i H0 = H T > phơng trình (4) chùm ma trận A D ổn định mũ với số 18 III Vì hệ (1) tuyến tính Ôtô môn nên phiếm hàm Liapunov Krasovski đợc tìm phếm hàm toàn phơng dạng t T T V(x(t+)) = xT(t)DT H0D x(t) + γ ∫ x (θ) D H Dx (θ)dθ t −τ (5) Tõ ®ã ta cã: dV ( x ( t , θ)) dt = [Ax(t) + A1x(t – τ)]TH0D x(t) + xT(t) DT H0[Ax(t) + A1x(t – τ)] + γ[xT(t) DT H0D x(t) – xT(t – τ) DT H0D x(t – τ)] (6) HÖ thøc (6) cã thĨ viÕt díi d¹ng ma trËn T T T T T dv ( x(t + θ ))  x (t )   A H D + D H A + γ D H D D H A1  =    T − γ DT H D  dt  x (t − τ )   A1 H D  x(t )   x(t − τ )    Ta thÊy dv ( x(t + θ )) < vµ chØ dt  AT H D + DT H A + γ DT H D DT H A1   T  − γ DT H D   A1 H D Xác định không dơng AT H D + DT H A + γ DT H D DT H A1  Tøc lµ  T  ≤ 02 nx n A1 H D − γ DT H D   T T T Xảy và chØ ma trËn  A H D + D H A + γ D H D xác định âm T T T ma trËn  A H D + D H A + D H D xác định ©m vµ chØ H0 lµ   nghiƯm phơng trình Sylvester 19 AT H D + DT H A + γ D T H D = −G 1 hay ( A + γ D)T H D + DT H ( A + γ D ) = −G 2 (8) (9) Muốn tồn > để phơng trình giải đợc lớp ma trận xác định dơng H0 cần đủ chùm ma trận A- D ổn định mũ với số chọn khoảng < < γ → 2β Do ®ã ta cã mƯnh ®Ị sau Định lý (điều kiện ổn định tiệm cận nghiệm ë hƯ (1)) NghiƯm tÇm thêng x = cđa hệ (1) ổn định tiệm cận theo Liapunov với độ trễ thoả mÃn điều kiện sau: i) Ma trận A D ổn định mũ (với số mũ ) chïm A + A1- λD Hurwitz ii) Tån t¹i ma trận xác định dơng H0 nghiệm phơng trình (9), G ma trận xác định dơng ®èi xøng chän tuú ý (G = G T > 0), sè d¬ng γ ∈ (0, 2β) víi γ → iii) Xảy bất đẳng thức ma trận: −G  T  A1 H D  DT H A1   -γ DT H D 02n x 2n (10) Bất đẳng thức cho ta ttính hạn chế ma trận A1 Đ3 Tính ổn định nghiệm hệ vi phân ngẫu nhiên Itô có trễ I Cùng với hệ tiện định phơng trình vi phân ta xét hệ phơng trình vi phân Itô có trễ sau Ddx(t) = [Axξ(t) + A1xξ(t) – τ]dt + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t – )]dW(t) (3.1) Với điều kiện ban đầu: t0 t, x(θ) = x0 ≠ víi θ = t x(θ) = víi t0 – τ ≤ θ < t0 20 (2) x, x - véctơ n chiều biến pha hệ không nhiễu có nhiễu tơng ứng giá trị ban đầu chóng trïng x(t0) = xξ (t0) B(0) = B1(0) = W(t) trình Wiener Định nghĩa 2.3.1.1 NghiƯm tÇm thêng (xξ = 0) cđa hƯ (3 1) đợc gọi ổn định bình phơng trung bình tuyệt ®èi nÕu ∀µ > tuú ý bÐ ∃δ > cho tõ ||x0|| < δ.Th× E{||xξ (t, t0, x0) ||2/ ||x0|| < } < với Định nghĩa2.3.1.2 Nghiệm tầm thờng (x = 0) hệ (1) đợc gọi ổn định tiệm cận bình phơng trung bình tuyệt đối ổn định theo định nghĩa ra: E{|| x ( t , t , x ) ||2 / || x ||< δ}  → (t ) Định nghĩa2.3.1.3 Nghiệm x (t, t0, x0) hệ (1) bị chẵn bình phơng trung bình tuyệt đối nÕu ∃C > cho tõ ||x0|| < δ suy ra: E{||xξ (t, t0, x0) ||2/ ||x0|| < δ} < C II Các điều kiện ổn định tiệm cận tuyệt đối Từ lý thuyết tổng quát phơng pháp thứ Liapunov lý thuyết ổn định nghiệm phơng trình vi phân suy rằng, hệ ( 1) tồn phếm hàm xác định dơng Liapunov krasovski V(x(t + ), t ) khả vi lần theo t, hai lần theo x cho kỳ vọng đạo hàm toàn phần dọc theo nghiệm hệ (1) âm nghiệm x = ổn định tiệm cận bình phơng trung bình Bây ta xét tính ổn định nghiệm hệ phơng trình ngẫu nhiên dạng: Ddx(t) = [Ax(t) + A1xξ(t – τ)]dt + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t – τ)]dW(t) Vì hệ tuyến tính dừng nên phiếm hàm Liapunov Krosovski thiết lập điều kiện cần đủ tính ổn định tiệm cận tuyệt đối bình phơng trung bình đợc tìm phiếm hàm toàn phơng dạng: ξ ξ ξ V ( x (t + θ )) = ( x (t )) D HDx (t ) + γ T T t ∫ (x ξ (θ ))T DT HDx ( )d t Trong đó: H ma trận đối xứng xác định dơng cỡ n x n 21 Hệ số xác định sau cần thiết áp dụng công thức Itô ta có: dV ( x ξ ) = d ( x ξ ( t )) T D T HDx ξ ( t ) + ( x ξ ( t )) T D T HDdx ξ ( t ) + + [B(ξ) x ξ ( t ) + B1 (ξ) x ξ ( t − τ)]H[B(ξ) x ξ ( t ) + B1x ξ ( t − τ)]dt + γ( x ξ ( t )) T D T HDx ξ ( t )dt − γ( x ξ ( t − τ)) T D T HDx ξ ( t − τ)dt ={[Axξ(t) + A1(xξ(t – τ))T]dt + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)(xξ(t – τ))T]dW(t) + (xξ(t))TDT H{[A xξ(t) + A1xξ(t – τ)]dt + B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t – τ)]dW(t)} + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t – τ)]TH[B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t – τ)]Tdt + γ(xξ(t))TDT HDxξ(t)dt - γ(xξ(t – τ))TDT HD xξ(t – τ)dt LÊy kú väng hai vÕ ta cã: dV ( x ξ )  E  dt     =[Ax(t)+A1x(t–τ)]THDx(t)+(x(t))TDTH[Ax(t)+A1x(t-τ)]+ ξ  x =x  γ(x(t))TDTHDx(t)–γ(x(t–τ)TDTHDx(t– τ) + [B(ξ)x(t)+B1(ξ)x(t– τ)]TH[B(ξ)x(t) + B1(ξ)x(t – τ)] (v× EdWt = 0) 22 = τT T T T T T t x( ) A HD+ D HA+ γ D HD+ B HB D HA1+ B HB1  x(t)   T T T T     x( − τ )t xB1+HD-γ D B H   ( − τ )t     A1HD+ A1HB Ta thÊy: dV ( x ξ )  E  dt     ξ  x =x  < vµ chØ  AT HD + DT HA + γ DT HD + BT HB DT HA1 + BT HB1    ≤ O2n x 2n A1T HD + A1T HB -γ DT HD + B1T HB   Điều kiện xẩy ma trận [ATHD + DTHA + DTHD + BTHB] xác định âm mà ma trận[ATHD + DTHA + DTHD + BTHB] xác định âm H nghiệm phơng trình Sylverter ATHD + DTHA + DTHD + BTHB =-G Trong G ma trận dơng lấy tuỳ ý, ®èi xøng cì nxn (G = GT > On xn) phơng trình ma trận viết dới d¹ng: T 1    T  T  A + γED  HD + D H A + γD  + B HB = −G 2 23 Khi thành phần nhiễu (B = On xn) phơng trình có nghiệm xn H > On vµ chØ A lµ ổn định mũ với số > (2 > > 0) (theo định lý Kelman Bertram (1960)) Bằng cách chọn khoảng < < 2β cho γ → 2β ta ®i ®Õn mệnh đề sau: Định lý (tiêu chuẩn ổn định tiệm cận tuyệt đối, bình phơng trung bình) Nghiệm tầm thờng (x = 0) hệ (3 1) ổn định tiệm cận tuyệt đối bình phơng trung bình với thoả mÃn điều kiện: i) Ma trận A ổn định mũ (với số β > 0) vµ ma trËn A + A1 Hurwitz ii) Tồn nghiệm xác định dơng H phơng tr×nh ma trËn: T 1    T  T  A + γD  HD + D H A + γD  + B HB = −G 2 G ma trận xác định dơng, đối xứng tuỳ ý chọn; số dơng lấy khoảng < < ( 2) iii) Xảy bất đẳng thức ma trËn:  −G  T T  A1 HD + B1 HB  DT HA1 + BT HB1   -γ DT HD + B1T HB1   ≤ O2n x 2n Bất đẳng thức phản ánh tính hạn chế ma trận A B1 dễ dàng nhận thấy nhiễu (B = B = On xn) từ định lý suy định lý hệ tiên định có trễ 24 kết luận Các vấn đề khóa luận đà trình bày 1.1 Các khái niệm tính ổn định theo Liapunov hệ phơng trình vi phân tuyến tính 1.2 Các tính chất ổn định theo Liapunov hệ phơng trinh vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến tính với ma trận 1.4 Phơng pháp thứ hai Liapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến tính Những đóng góp khóa luận: Nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên Itô có trễ không giải đạo hàm Thiết lập đợc điều kiện đủ để nghiệm tầm thờng hệ ổn định tiệm cận bình phơng trung bình biểu thị ngôn ngữ phơng trình ma trận Sylvester nhờ sử dụng phơng pháp hàm ngẫu nhiên Liapunov 25 tài liệu tham khảo Hasminski R.Z Stochastic Stability of Differential Equatios Sijthoff and Noordhoff Alphen (1980) Korenevskij D.G Cofficient criteria and Suffcient Couditions tor anyniptotic stability Stochactic difereutial equatios Soviet Math Dokl Vol 34(1987) N.2 Korenev D.G Stability criteria solutions of systems of Linear Deterministic of Stochactic Delay Differenke E quatios with continous Time Math Notes Vol 70 N.2(2001) NguyÔn Duy Tiến Các mô hình xác xuất ứng dụng Phần III Giải tích ngẫu nhiên NXB ĐHQG Hanoi 2001 26 ... ≡ cđa hệ vi phân tuyến tính tơng ứng (2) ổn định tiệm cận t + Hệ Hệ vi phân tuyến tính ổn định nghiệm ổn định không ổn định nghiệm không ổn định Hệ Hệ vi phân tuyến tính ổn định hệ vi phân tơng... ứng ổn định Hệ Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1) với số hạng tự F(t) ổn định tiệm cận hệ vi phân tuyến tính tơng ứng (2) ổn định Đ3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân. .. để nghiên cứu tính ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến tính Những đóng góp khóa luận: Nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên Itô có trễ không giải đạo hàm Thiết lập