Nghiên cứu một số vấn đề về nội dung, phương pháp dạy học chủ đề giới hạn và đạo hàm thể hiện qua sáh giáo khoa đại số và giải tích lớp 11

Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh -o0o TrÇn thị hà nghiên cứu số vấn đề nội dung, phơng pháp dạy học chủ đề giới hạn đạo hàm thể qua sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 Chuyên ngành: Lý luận phơng pháp dạy học môn toán Mà số: 60.14.10 Luận văn thạc sỹ giáo dục học Ngời hớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Thuận Vinh, 2009 mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích nội dung khó lớp học sinh lớp 11 Trớc học sinh đà học nhiều năm Đại số; nhng Giới hạn, Hàm số liên tục, Đạo hàm em đợc làm quen từ đầu T vấn đề thuộc Giải tích kỹ thuật giải toán Giải tích có phần khác với Đại số Học sinh chuyển từ làm việc đối tợng hữu hạn sang đối tợng vô hạn, đòi hỏi trí tởng tợng t trừu tợng phải phong phú mức độ cao Sự thay đổi chơng trình sách giáo khoa môn Toán thời gian qua đà tạo thiếu ổn định gây nên khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp Mặc dù đà có đợt bồi dỡng thờng xuyên theo chu kỳ, đợt tập huấn chơng trình mới, nhng thực cha đủ để làm cho giáo viên có nhìn sâu sắc chất vấn đề, hình dung rõ điểm, lí mức độ thay đổi chơng trình nội dung sách giáo khoa Bản lĩnh, trình độ t phê phán giáo viên nhiều lúc cha thể giúp họ tự vợt qua, tìm lời giải đáp thoả đáng chỗ phân vân, cấn Nhiều kiến thức đà thay đổi cách trình bày, nhng giảng dạy, giáo viên cha kịp cập nhật theo chơng trình mới, có tình trạng cũ, xen kẽ Đổi phơng pháp dạy học theo hớng hoạt động hoá ngời học cần đợc tiến hành triển khai trình dạy Giới hạn Đạo hàm lớp 11 nhằm nâng cao khả lĩnh hội kiến thức cách vững vàng, chủ động cho học sinh Giới hạn Đạo hàm hai số chủ đề Giải tích trờng phổ thông Mặc dầu có nhiều thay đổi nội dung chơng trình, đòi hỏi có đối chiếu so sánh; phân tích bình luận; đề xuất kiến nghị số vấn đề nội dung phơng pháp dạy chủ đề này, nhng đến cha có công trình nghiên cứu đầy đủ vấn đề Vì lý đây, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: Nghiên cứu số vấn đề nội dung, phơng pháp dạy học chủ đề Giới hạn Đạo hàm thể qua sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu để tìm hiểu, làm sáng tỏ số thay đổi điều chỉnh cách trình bày kiến thức thuộc chủ đề Giới hạn phần mở đầu Đạo hàm SGK Đại số Giải tích 11 năm gần Từ đó, đa đánh giá nhận định thuận lợi khó khăn việc dạy kiến thức này, sở đó, đề xuất cải tiến nội dung phơng pháp dạy học cách phù hợp Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu; phân tích; so sánh, đối chiếu nội dung chủ đề Giới hạn phần mở đầu Đạo hàm sách giáo khoa Toán năm gần đây, nắm bắt quan điểm dụng ý tác giả, để: - Làm sáng tỏ mức độ xác, tính sáng ngôn ngữ diễn đạt; tính vừa sức, tính s phạm, tính hệ thống cách trình bày - Thể nhận định bình luận sở quan điểm tác giả luận văn; đề xuất kiến nghị chỗ cần chỉnh lí hoàn thiện - Đề xuất số vấn đề phơng pháp dạy học vận dụng trình dạy học chủ đề - Thực nghiệm s phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi hiệu kiến nghị, đề xuất Giả thuyết khoa học Nếu tiến hành phân tích, so sánh, đối chiếu chủ đề Giới hạn mở đầu Đạo hàm sách giáo khoa Toán hành năm gần đây, làm sáng tỏ số điểm cần điều chỉnh, hoàn thiện mặt nội dung; đề xuất đợc luận điểm phù hợp phơng pháp dạy học nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học chủ đề trờng phổ thông Phơng pháp nghiên cứu Các phơng pháp nghiên cứu đợc sử dụng bao gồm: 5.1 Nghiên cứu lý luận; 5.2 Tìm hiểu, điều tra thực tiễn; 5.3 Thử nghiệm s phạm; Đóng góp luận văn 6.1.Về mặt lý luận: Xây dựng thực nghiệm phơng thức s phạm thích hợp dạy học giải tích chủ đề giới hạn phần mở đầu đạo hàm 6.2.Về mặt thực tiễn: Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học trờng THPT Cấu trúc luận văn: Luận văn phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, có chơng: - Chơng 1: Nghiên cứu nội dung chủ đề Giới hạn phần mở đầu chủ đề Đạo hàm sách giáo khoa Toán THPT - Chơng 2: Một số vấn đề phơng pháp dạy học nội dung chủ đề Giới hạn phần mở đầu Đạo hàm (Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11) - Chơng 3: Thử nghiệm s phạm Chơng Nghiên cứu nội dung chủ đề Giới hạn phần mở đầu chủ đề Đạo hàm sách giáo khoa Toán Trung học phổ thông 1.1 Chủ đề Giới hạn mở đầu chủ đề Đạo hàm sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 (ban Cơ bản) hành: 1.1.1 Chủ đề Giới hạn: Đây xem chủ đề quan trọng Giải tích Giải tích đợc xây dựng sở Lý thuyết Giới hạn Đây chơng khó Giải tích trờng THPT Các khái niệm Giới hạn trừu tợng (định nghĩa dÃy số có giới hạn 0, định nghĩa giới hạn hàm số, giới hạn vô cực dÃy số hàm số,) Cách tiếp cận khái niệm khác với cách tiếp cận toán học khác trớc Mục tiêu chơng: chơng cung cấp cho học sinh kiến thức lý thuyết giới hạn Về kiến thức: Làm cho học sinh nắm đợc: - Định nghĩa dÃy số có giới hạn 0; - Định nghĩa dÃy số có giới hạn hữu hạn; - Định nghĩa dÃy số có giới hạn vô cực; - Định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực hàm số; - Các định lý quy tắc tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực giới hạn bên dÃy số hàm số; - Định nghĩa hàm số liên tục điểm, khoảng đoạn; - Một số tính chất hàm số liên tục; Về kỹ năng: - Giúp học sinh biết vận dụng linh hoạt định lý quy tắc tìm giới hạn dÃy số hàm số để từ số giới hạn đà biết tìm đợc giới hạn dÃy số hàm số khác - Biết tìm tổng cấp số nhân lùi vô hạn - Biết chứng minh hàm số liên tục điểm, khoảng đoạn Biết áp dụng định lý giá trị trung gian hàm số liên tục để chứng minh tồn nghiệm số phơng trình đơn giản Cấu tạo chơng: Chơng gồm hai phần, dự kiến đợc thực 20 tiết, phân phối cụ thể nh sau: A Giíi h¹n cđa d·y sè (6 tiÕt) §1 D·y sè cã giíi h¹n (1 tiÕt) §2 DÃy số có giới hạn hữu hạn (2 tiết) Đ3 DÃy số có giới hạn vô cực (1 tiết) Luyện tập (2 tiết) B Giới hạn hàm số Hàm số liên tục (11 tiết) Đ1 Định nghĩa số định lý giới hạn hàm số (3 tiết) Đ2 Giới hạn bên (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) Đ3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực (1 tiết) Đ4 Các dạng vô định (1 tiết) Luyện tập Đ5 Hàm số liên tục (1 tiết) (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Ôn tập kiểm tra chơng (3 tiết) Cách xếp học cách trình bày chơng Đại số Giải tích 11 có nhiều điểm khác với SGK sách Chỉnh lý hợp trớc - Sách Chỉnh lí hợp đà định nghĩa dÃy số có giới hạn (hữu hạn) mà không định nghĩa dÃy số có giới hạn - Trong SGK tác giả đà dành tiết cho khái niệm dÃy số có giới hạn - Sách chỉnh lí đà đa số dơng nhỏ tuỳ ý số nguyên dơng N vào định nghĩa dÃy số có giới hạn hữu hạn Sau đà áp dụng định nghĩa để chứng minh kết quả: lim =0, n lim c = c vµ lim 2n - = n - Trong SGK tác giả không đa kí hiệu , N cho điều làm rắc rối cho học sinh Về dÃy số dần đến vô cực, sách Chỉnh lí hợp năm 2000 đà giới thiệu dÃy số có giới hạn + - Trong SGK míi chØ giíi thiƯu d·y sè cã giíi h¹n +∞ dÃy số có giới hạn - mà không đề cập đến dÃy số có giới hạn Vì có thay đổi này? Điều đợc làm rõ Đ3 Đây thay đổi lớn cách trình bày SGK - Sau định nghĩa dÃy số có giới hạn vô cực hàm số có giới hạn vô cực, SGK trớc nh sách chỉnh lý hợp đà lu ý học sinh không đợc áp dụng định lý giới hạn dÃy số hàm số để tìm giới hạn vô cực dÃy số hàm số Tuy nhiên học sinh đà không đợc dẫn cách tìm giới hạn vô cực Trong sách chỉnh lý, sau Định lý: Nếu lim un= * ) lim = un Ngợc lại, lim un= th× lim = ”, un (un ≠ 0, ∀ ∈ N n cã ®a mét vÝ dơ: + n − 2n + n n3 = ∞ lim = lim (v× tư sè dần tới mẫu số dần tới 0) 2n − n + − 2+ n n n Dựa vào đâu mà học sinh có kết luận trên? với cách trình bày nh học sinh gặp khó khăn lúng túng giải tập tìm giới hạn vô cực Mục Đ3 Đ6 chơng VI SGK đà giới thiệu vài quy tắc tìm giới hạn vô cực dÃy số hàm số Đó sở lý thuyết mà học sinh vận dụng để tìm giới hạn vô cực dÃy số hàm số Đây điểm so với SGK sách chỉnh lý hợp trớc * Về định nghĩa Giới hạn hàm số: Sách Chỉnh lý hợp năm 2000 đà giới thiệu định nghĩa giới hạn hàm số điểm, định nghĩa hàm số có giới hạn vô cực định nghĩa giới hạn hàm số vô cực rải rác trang 117, 118, 121, 123 xen kẽ với định lý giới hạn hữu hạn Cách trình bày có phần tản mạn, thiếu tập trung Ta biết có hai định nghĩa giới hạn hàm số: định nghĩa Côsi định nghĩa Hainơ, hai định nghĩa tơng đơng Các định nghĩa SGK sách chỉnh lý hợp nh SGK đợc cho dới dạng Hainơ Trong chơng trình điều bắt buộc Nếu định nghĩa giới hạn hàm số cho dới dạng Côsi cách trình bày sách chỉnh lý hợp chấp nhận đợc Song dới dạng Hainơ, giới hạn hàm số điểm, vô cực giới hạn vô cực hàm số đợc định nghĩa thông qua giới hạn dÃy số Các định nghĩa đợc xây dựng hoàn toàn tơng tự Vì SGK nêu vài định nghĩa trờng hợp lại đợc giao cho học sinh tự xây dựng phát biểu Cách trình bày tiết kiệm đợc thời gian tránh đợc nhàm chán phải nhắc nhắc lại định nghĩa đợc xây dựng theo cách tiết học khác mà hợp lí định lí giới hạn hàm số cho trờng hợp giới hạn điểm lẫn giới hạn vô cực hàm số(và cho trờng hợp giới hạn bên hàm số) * Về tính chất hàm số liên tục đoạn: Khi đề cập đến tính chất hàm số liên tục đoạn, hầu hết SGK Toán cấp THPT giới thiệu định lý Bônxanô - Côsi (Bolzano Cauchy), tức định lí giá trị trung gian hàm số liên tục Một số SGK giới thiệu thêm định lí quan trọng nữa, định lí Vâyơxtrát (Weierstrass): Nếu hàm số liên tục đoạn [a; b] thì: a Hàm số bị chặn [a; b] b Hàm số đạt đợc giá trị lớn nhỏ đoạn Sách Chỉnh lí hợp đà giới thiệu hai định lí, đà nêu gộp chúng Định lí (trang 135) Đây lần đầu học sinh làm quen với hai định lí quan trọng Nên phát biểu chúng riêng rẽ, nh học sinh dễ tiếp thu Hệ định lí trang 136 sách Chỉnh lí hợp thật hệ Định lí giá trị trung gian hàm số liên tục SGK đà không đề cập đến định lí Vâyơxtrát, lí đơn giản: hàm số liên tục hay gặp thờng có đạo hàm khoảng, trừ số hữu hạn điểm Lập bảng biến thiên hàm số khoảng hay đoạn đợc xét, tìm đợc giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số khoảng đoạn 1.1.2 Chủ đề Đạo hàm Đạo hàm khái niệm quan trọng Giải tích Nó công cụ sắc bén để nghiên cứu tính chất hàm số Nhờ khái niệm đạo hàm, ta nghiên cứu: tính đơn điệu hàm số, vấn đề cực trị hàm số, khoảng lồi, lõm điểm uốn đồ thị hàm số, điều giúp ích nhiều cho việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số Đạo hàm công cụ hữu hiệu để giải số toán quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học (Cơ học, Điện học, Hoá học, ) Mục tiêu chơng: Về kiến thức: - Nắm vững định nghĩa ý nghĩa đạo hàm; - Nhớ công thức quy tắc tính đạo hàm; - Nắm đợc định nghĩa vi phân, công thức tính gần nhờ vi phân; 10 - Hiểu đợc định nghĩa đạo hàm cấp cao ứng dụng học đạo hàm cấp hai Về kĩ năng: Học sinh cần đạt đợc yêu cầu sau - Tính đợc đạo hàm hàm số điểm theo định nghĩa số hàm số đơn giản; - Vận dụng tốt quy tắc tính đạo hàm tổng hiệu tích thơng hàm số cách tính đạo hàm hàm số hợp; - Biết cách tính đạo hàm cấp cao số hàm thờng gặp; - Biết ứng dụng đạo hàm vi phân để giải số toán tiếp tuyến, vận tốc, Cấu tạo chơng: Gồm bµi, dù kiÕn thùc hiƯn 16 tiÕt, thĨ: Đ1 Khái niệm đạo hàm (3 tiết) Luyện tập (1 tiết) Đ2 Các quy tắc tính đạo hàm Luyện tập Đ3 Đạo hàm hàm số lợng giác Luyện tËp (3 tiÕt) (1 tiÕt) (2 tiÕt) (1 tiÕt) §4 Vi phân (1 tiết) Đ5 Đạo hàm cấp cao (1 tiết) Luyện tập Ôn tập kiểm tra chơng (1 tiết) (2 tiết) * Những điểm cấu trúc thời lợng: Trong chơng trình, SGK Chỉnh lí hợp năm 2000, nội dung phần Giải tích liên quan đến khái niệm Đạo hàm đợc dành 46 tiết đợc phân bố vào chơng đầu lớp 12: Chơng I: Đạo hàm (20 tiết) 80 Chẳng hạn, tổ hợp HĐ HĐ phơng trình bậc hàm số lơng giác (mục I, Đ4, chơng I SGK) hoạt động khám phá toàn phần Qua hoạt động HS tự phát phơng pháp giải dạng phơng trình HĐ đạo hàm tổng hiệu hai hàm số(mục 2, Đ2, chơng V SGK) thuộc dạng Hoạt động khám phá toàn phần kiểu hoạt động lÝ tëng cho phÐp HS lÜnh héi kiÕn thøc mét cách chủ động sáng tạo Tuy nhiên, thờng phức tạp đòi hỏi nhiều thời gian công sức GV HS Để khắc phục khiếm khuyết SGK trọng tới kiểu hoạt động khám phá phận mà ta đề cập dới * Hoạt động khám phá phận Dạng hoạt động không cho phép học sinh khám phá toàn vẹn kiến thức cần giảng dạy, mà phần cđa kiÕn thøc nµy hay mét kiÕn thøc cã tÝnh Địa phơng (nghĩa kiến thức hợp thức mét sè trêng hỵp thĨ) KiÕn thøc “bé phËn” điểm tựa cho việc đề cập khái niệm theo đờng quy nạp (chẳng hạn HĐ hàm số liên tục điểm) hay cho việc trình bày đoán, định lí, công thức (HĐ tính chất số hạng CSN) 2.4.3.Hoạt động củng cố vận dụng kiến thức: Quá trình hình thành kiến thức đòi hỏi vận dụng kiến thức cũ, việc không nhớ kiến thức nhớ mà không vận dụng gây khó khăn cho việc xây dựng kiến thức mới.Hoạt động củng cố vân dụng kiến thức đòi hỏi HS nhắc lại hay vận dụng số kiến thức mấu chốt đà học, từ tạo thuận lợi cho việc huy động chúng Chẳng hạn, HĐ công thức biến đổi tích thành tổng (mục 1, chơng I) yêu cầu HS nhắc lại giá trị lợng giác số cung để dẫn đến khái niệm hàm số lợng giác 81 2.4.4 Hoạt động củng cố vận dụng: Hoạt động dạng khác đòi hái HS ph¶i vËn dơng kiÕn thøc míi võa lÜnh hội vào giải vấn đề, qua nắm vững kiến thức hay rèn luyện kĩ vận dụng Chẳng hạn, HĐ (mục I, Đ2, chơng V) nhằm củng cố phơng pháp tính đạo hàm định nghĩa áp dụng vào việc chứng minh công thức đạo hàm 2.4.5.Hoạt động hợp thức hoá kiến thức mới: Đó hoạt động nh chứng minh định lí, công thức đà đợc phát biểu trớc Cũng cần lu ý rằng, phân loại dạng hoạt động nh có tính chất tơng đối Cùng hoạt động nhng liệt vào dạng khác ( chẳng hạn vừa tạo động lại vừa hoạt hoá kiến thức cũ ) (Tµi liƯu båi dìng GV- 2007 nxb GD) Cã nhiều tri thức môn giải tích mà học sinh đà biết qua học năm trớc Khái niệm giải tích Khái niệm học sinh đà biết Tiếp tuyến với đờng cong Tiếp tuyến với đờng tròn Vận tèc tøc thêi (chun ®éng VËn tèc (chun ®éng ®Ịu) thẳng không đều) Vận tốc trung bình Diện tích hình thang cong Diện tích hình chữ nhật, diịen tích hình tròn Khi dạy tri thức này, giáo viên cần dựa vào điều đà biết học sinh để làm sở cho việc hình thành tri thức Ví dụ: Dựa vào khái niệm vận tốc (vận tốc trung bình) mà học sinh đà biết, giáo viên tiến hành việc hình thành khái niệm đạo hàm nh sau: 82 Đối với chất điểm chuyển động thẳng vận tốc v= S t mô tả xác tính chất nhanh chậm chuyển động ë mäi thêi ®iĨm Nhng nÕu chÊt ®iĨm chun ®éng thẳng không v = S t vận tốc trung bình, không mô tả xác tính chất nhanh chậm chất điểm thời điểm Khi t nhỏ S t mô tả xác tính chất nhanh chậm chuyển động thời điểm cần xét; đó, xuất toán: tìm lim t S t Từ phân tích trên, học sinh thấy đợc nguồn gốc phát sinh khái niệm toán học giáo viên gây đợc động mở đầu cho việc học tập chơng đạo hàm Một cách tơng tự, dạy phần tích phân giáo viên gợi động mở đầu cách yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình bình hành cuối cùng, đặt vấn đề tính diện tích hình thang cong Một điều ý là: dạy học khái niệm đạo hàm, thiết giáo viên phải nêu ý nghĩa học ý nghĩa hình học Đây xem biện pháp giúp học sinh vợt qua chớng ngại khoa hoc luận khái niêm em hiểu đợc hai ý nghĩa khác khái niệm này.( luận án tiÕn sÜ Ngun Phó Léc trang 77, 78) 2.5 Dù đoán, phát nguyên nhân hớng khắc phục khó khăn sai lầm học sinh học chủ đề Giới hạn phần mở đầu đạo hàm Khi học chủ đề Giới hạn học sinh làm quen với đối tợng mới, kiểu t mang tính biện chứng Do học sinh gặp phải nhiều khó khăn sai lầm tránh khỏi Bởi vì, sai lầm có tác dụng tích cực, sai lầm có ích việc xây dựng tri thức, đặc biệt tạo nên xem xét lại tri thức đà biết trớc Vì trình dạy học Toán trờng THPT, việc tìm hiểu khó khăn, sai lầm chớng ngại mà học sinh phải vợt qua để chiếm lĩnh tri thức toán học đợc đa giảng dạy bớc đầu bỏ qua 83 trình tìm kiếm phơng pháp dạy học hiệu nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức Hơn nữa, việc phát triển biết khai thác tình sai lầm làm học sinh hay mắc phải học tập trình phát huy TTCNT học sinh + mức độ tri thức khoa học, giáo viên cần hiểu đợc lý phát sinh chất tri thức cần dạy, mặt khác trở ngại mà nhà khoa học đà gặp phải trình xây dựng phát triển tri thức Đây sở cho việc xác định nguồn gốc khoa học luận khó khăn mà học sinh phải vợt qua để nắm vững tri thức + mức độ tri thức cần dạy, thông qua việc phân tích chơng trình SGK làm sáng tỏ đặc trng việc dạy tri thức trình chuyển hóa s phạm Nghiên cứu giúp giáo viên xác định nguồn gốc s phạm khó khăn mà học sinh thờng gặp Từ việc phát khó khăn chớng ngại tri thức Toán học, giáo viên dự đoán đợc sai lầm thờng gặp học sinh lÜnh héi tri thøc nµy + Ta nãi r»ng cã chớng ngại vấn đề đợc giải sau ta đà cấu trúc lại quan niệm hay thay ®ỉi quan ®iĨm lý thut + Ta nãi có khó khăn vấn đề đợc giải mà không cần phải xem xét lại quan ®iĨm cđa lý thut ®ang xÐt hay thay ®ỉi quan niệm hành Nh ta đà biết, sai lầm hậu không biết, không chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ ngời theo chđ nghÜa kinh nghiƯm vµ chđ nghÜa hµnh vi, mµ hậu kiến thức ®· cã tõ tríc, nh÷ng kiÕn thøc ®· tõng cã ích việc học tập trớc nhng lại sai lầm đơn giản không phù hợp việc lĩnh hội kiến thức Những sai lầm kiểu không dự kiến trớc đợc, chúng đợc tạo nên từ chớng ngại Những sai lầm sinh từ chớng ngại thờng tồn dai dẳng tái xuất sau chủ thể đà có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm 84 khái hƯ thèng nhËn thøc cđa m×nh V× vËy giúp học sinh tìm sai lầm, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm tìm cách khắc phục khó khăn sai lầm trình lĩnh hội khái niệm việc làm mang nhiều ý nghĩa quan trọng trình dạy học theo hớng phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức học sinh góp phần nâng cao hiệu dạy học Thực tiễn cho thấy trình học tập học sinh thờng gặp phải khó khăn sai lầm: 2.5.1 Khó khăn sai lầm kiến thức, bao gồm: a Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm chất khái niệm, định lý Nếu xét Giải tích trờng THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng khó hình thành cho học sinh häc sinh cha nhËn thøc hÕt tÇm quan träng cịng nh khía cạnh tinh vi lập luận xung quanh vấn đề này, nh muốn nắm vững đợc chất đích thực vấn đề Còn lâu tìm Giới hạn hay xét tính liên tục, học sinh nặng thuật toán, nói cách khác thiên cú pháp mà coi nhẹ ngữ nghĩa, chẳng hạn sau học xong khái niệm giới hạn hàm số ( mà cha học đến định lý giới hạn hàm số f(x) liên tục) học sinh cho việc tìm giới hạn f(x) x a đơn giản: việc thay x = a tính f(a) Khi lim f(x) =f(a) điều xa phản ánh r»ng häc sinh cha hiĨu b¶n chÊt kÝ hiƯu: lim Ví dụ1: Tính lim x hạn thay x = vào đến cho lim x x −18 x + 81 x −9 x −18 x + 81 x −9 x −18 x + 81 x với cách nghĩ nh nên việc tìm giới kết quả, suy nghĩ kiểu nh dẫn không tồn Để cho học sinh xem xét đồng thời đối tợng thõa mÃn định nghĩa khái niệm định lí (qua ví dụ) đối tợng không thõa mÃn khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ ) qua làm sáng tỏ cho học sinh hiểu nắm vững chất khái niệm hay định lí, chẳng hạn: 85 Tính lim x ( 81 − x + x − ) (?): Häc sinh cho r»ng: lim x →9 ( 81 − x + x − ) = f(9) = ( VÝ dô2: vËy lim x →9 ( 81 − x + x − 81 − + − ) =0 ) =0 ) giới hạn x = (!): Thực hàm số f(x) = ( tập xác cđa hµm sè f(x):  81 − x2 ≥ x = , tức tập xác định K = {9} Do ®ã   x − ≥ 81 − x + x − áp dụng định nghĩa lim f(x) đợc kh«ng thĨ lÊy bÊt kú d·y { x n } x để thõa mÃn điều kiện định nghĩa là: xn K, xn mà { x n } 9, nên hàm số đà cho giới hạn x = b Khó khăn sai lầm hình thức (nh hiĨu sai c«ng thøc, kÝ hiƯu…) Víi SGK ë phỉ thông nớc ta sử dụng có kí hiệu để viết Giới hạn vô cực dÃy số Nên tùy vào trờng hợp mà kí hiệu này, đợc hiểu theo cách khác nh + - hay hỗn hợp hai + - , chẳng h¹n xÐt: VÝ dơ 3: - Víi lim n2 = , kí hiệu đợc hiểu + - Víi lim (-n) = ∞ , kÝ hiƯu đợc hiểu - - Với lim (-1)nn = , kí hiệu đợc hiểu - + Vì vậy, nên xét giới hạn vô cực dÃy số phải xét cụ thể rõ ràng, giới hạn + hay giới hạn - tức nlim un = + ∞ hc →+∞ lim un = - n →+∞ ∞ Do R lµ mét tËp hợp thứ tự nên kết luận chung chung giới hạn hay viết nlim un= Cụ thể, xét giới hạn vô cực + dÃy un = (-1)n theo nh phân tích thì: nlim (-1)nn không tồn + 86 Bản chất + - số thực cụ thể lớn đó, mà nói đến lân cận + tức khoảng ( a, + ) lân cận a - khoảng (- ; a) với R, thực qui tắc hay phép toán đại số chúng lim Chẳng hạn: x →a f ( x) =0 g( x) nÕu lim f ( x ) = L vµ lim g ( x ) = + ∞ x→a x →a f ( x ) lim f ( x ) L = x→ a = = x→ a g( x) lim g ( x ) + ∞ lim Nhng kh«ng thĨ viÕt: x a Nhng kết giới hạn ( có) dÃy số un là: Giới hạn hữu hạn ( 0, số L ) Giới hạn vô cực ( ), nên ta cã thĨ xem kÝ hiƯu + ∞ vµ - ∞ nh giới hạn dÃy số Nh vậy, thực hành giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' ''giới hạn vô hạn vô cực'', việc biến đổi phép toán giới hạn dẫn đến sai lÇm kÝ hiƯu nh: ( + ∞ ) - ( + ∞ ) = ?; ∞ = ? VÝ dô 4: TÝnh lim n → +∞ ( n2 +1 − n ( ) ( ) ) ) ( Häc sinh A: nlim n + − n = nlim n + − nlim n = (+∞) − (+∞) = ; →+∞ → +∞ → +∞ Häc sinh B: nlim n + − n = →+∞   lim n + −1 = ∞ ⋅ = ;   n →+∞ n   Häc sinh C: lim n →+∞ ( ) ( ) ( ) n + − n = lim n + + ( − n ) = lim n + + lim ( − n ) = ( + ∞ ) + ( − ∞ ) = n → +∞ n → +∞ n → + c Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác t Học sinh hay sai lầm áp dụng công thức, khái niệm cho trờng hợp suy biến Trong lịch sử điển hình sai lầm vận dụng phép tơng tự: Ví dụ 5: TÝnh tæng: S = 1- + – + 87 C¸ch 1: S = (1 - 1) + (1 - 1) + … = C¸ch 2: S = – (-1 + 1) – (1 - 1) + … = C¸ch 3: S = - + – + - = -1 + (1 -1) + (1 -1) + = -1 Cách 4: Nhà Toán học Gơviđơ - Gơzanđi ngời Italia nêu cách tính tổng nh sau: Với ba cách giải đầu đà áp dụng tính chất kết hợp tổng hữu hạn S = - + – + ⇒ S – = -1 + – + ⇒ - S = S - ⇒ S = số hạng cho tổng vô hạn số hạng Một tổng hữu hạn số hạng không phụ thuộc vào thứ tự số hạng 2.5.2 Khó khăn sai lầm kĩ năng, bao gồm: Hiện trờng THPT, nhìn chung tính tích cực, sáng tạo, học sinh yếu Học sinh trờng chuyên lớp chọn có ý thức tự học tự độc lập suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tòi lời giải cho toán, tự giải nhiệm vụ học tập, đại đa số học sinh ỷ lại thầy cô, sách giải tập, thiếu tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác định lý dạng tập bản, dẫn đến học tập cách máy móc, rập khuôn, không phát huy kỹ sáng tạo không rèn đợc kỹ kỹ xảo giải toán giải toán thờng gặp khó khăn sai lầm a Khó khăn sai lầm vận dụng: định nghĩa, định lý, công thức: Ví dụ 6: Tính lim x→ 1 x −1 (?): Häc sinh cho kÕt qu¶: lim x→ 1 x −1 =∞ (!): Nhng kết không tồn mà lúc ta phải phân biệt lim ra: x →1 − =x −1 ∞ vµ lim x→ + 1 = + ∞ , vËy lim kh«ng tån t¹i ë vÝ dơ x → x −1 x ta thấy: + Điểm a = điểm giáp ranh x tức dÃy 88 (xn 1) mang giá trị âm; x 1+ tức dÃy ( xn -1) mang giá trị dơng + §iĨm a ≠ c¸c d·y xn → a, (a ≠ 1) th× ta thÊy r»ng dï cho x → a+ hay x a- dÃy (xn -1) không đổi dấu Ví dụ 7: + + + n TÝnh nlim →+∞ n +2 + + + n (?): nlim = nlim 2 → +∞ → +∞ n +2 n +2 + lim n → +∞ n + + lim = 0+0+ +0=0 n → +∞ n + n +2 (!): Các định lý phép toán Giới hạn phát biểu cho hữu hạn số hạng Trong lời giải đà áp dụng cho giới hạn tổng vô hạn số hạng nên đà dẫn đến sai lầm Lời giải là: Ta cã: 1+2+….+n = n( n + 1) 1+ n( n + 1) + + + n n +n n Do ®ã: nlim = nlim n + = nlim = nlim = → +∞ → +∞ →+∞ →+∞ n2 + 2n + 2+ n ( ) (!): Nhận xét: Tổng vô hạn đại lợng có giới hạn cha đà có giới hạn (tức phép toán giới hạn tổng, hiệu, tích, thơng phát biểu đợc sử dụng cho hữu hạn số hạng ) Vì thờng sử dụng phép đánh giá kẹp phép biến đổi phân tích để tính toán tổng vô hạn đại lợng có giới hạn Ví dụ 8: TÝnh n lim + ( − 1) n→ +∞ n (?): Không tồn Giới hạn dÃy số ®ang xÐt cã: u1 = 1, u2 = , u3 = , không tăng không giảm (!): Lời giải đa không đúng, định lý dÃy đơn điệu bị chặn có giới hạn nêu lên điều kiện đủ mà điều kiện cần để dÃy số có giới hạn 89 Mặt khác cần lu ý rằng: Những số hạng dÃy số không ¶nh hëng tíi sù tån t¹i giíi h¹n cđa d·y số Chẳng hạn, kể từ số hạng thứ 10 2007 dÃy số bắt đầu tiến bị chặn dÃy số có giới hạn, số hạng từ ( 102007 -1) trở trớc không cần quan tâm Sự quan tâm tới số hạng dÃy giúp cho phán đoán mà thôi, lời giải nh sau: Vì + ( −1) n n VÝ dô 9: TÝnh ≤ (∀n ∈ N * ) n vµ n→ +∞ n lim = nªn nlim → +∞ + ( − 1) n n = ( − 1) n lim n2 +1 n + (?): Học sinh đà áp dơng sai, nhÇm lÉn tÝnh chÊt: un NÕu nlim un= L nlim vn= nlim v = → +∞ → +∞ →+∞ n Tøc: Víi un = (-1)n, = n +1 th× ( − 1) n lim n →+∞ n2 + = (!): Kết nhng nhầm lẫn lim (-1)n n + giới hạn, un = (-1)n dÃy bị chặn nhng giới hạn Vậy thờng sử dụng phép đánh giá kẹp hai đại lợng có giới hạn lµ: −1 −1 ≤ ≤ 2n n + n2 −1 n→ +∞ n lim = −1 n +1 n →+∞ n lim ≤ =0 ( − 1) n n +1 ≤ nªn n +1 lim n →+∞ ≤ n ( − 1) n n2 +1 = Khái niệm giới hạn hàm số khái niệm khó hiểu học sinh (thậm chí giáo viên), dạy khái niệm giới hạn giáo viên không quan tâm tới giải thích tập xác định hàm số có vai trò tính giới hạn nh nào? VÝ dô 10: TÝnh lim x →1 ( − x2 + x − ) Cã häc sinh lËp luËn: Ta cã lim − x = vµ lim x − = x →1 x Vậy theo định lí giới hạn tổng hai hàm số thì: 90 lim x ( ) − x + x − = Thực hàm số f(x) = x + x giới hạn t¹i x = bëi lÏ biĨu thøc − x + x − chØ cã nghÜa điểm x = nên tập xác định f(x) K= { 1} Do định nghĩa lim f(x) đợc, x lấy dÃy { x n } víi x n ∈ K , x n ≠ mà { x n } dần tới đợc Học sinh áp dụng định lí nhng không hiểu rõ phạm vi áp dụng định lí Ví dụ 11: Tìm giíi h¹n I = lim n →∞ (?): Ta cã ( n − 1) Π  1 Π 2Π sin + sin + + sin   n n n n    Π 2Π ( n − 1) Π sin sin n = , , lim n = 0, , lim n =0 n →∞ n →∞ n n n sin lim n →∞ Nªn I = + + + = (!): Định lí giới hạn tổng, hiệu, tích, thơng dÃy phát biểu cho số hữu hạn dÃy, dÃy phải có giới hạn, nhng học sinh đà áp dụng cho tổng vô hạn Lời giải là: Đặt A n = ( n − 1) Π  1 Π 2Π + + sin sin + sin , n n n n    ta cã: 2nAn sin ( n − 1) Π  Π Π Π 2Π Π Π  + + 2sin sin =  2sin sin + 2sin sin = 2n n 2n n 2n n 2n    ( 2n − 3) Π − cos ( 2n − 1) Π  Π 3Π   3Π 5Π   cos − cos +  cos − cos + +  cos   2n 2n   2n 2n  2n 2n      = 2sin ( n − 1) Π 2n 91 Nªn An = 2sin ( n − 1) Π 2n Π 2n.sin 2n Π ( n − 1) Π = 1.sin Π = , 2n ⇒ lim A n = lim sin n →∞ n →∞ Π Π 2n Π Π sin 2n chø nh lời giải sai cđa häc sinh NhiỊu vÝ dơ kh¸c xung quanh chđ đề giới hạn, xét tính liên tục, khả vi hàm số cho nhiều công thức, tập xác định chia thành nhiều khoảng, g(x) x a Ví dụ 12: Tìm giới hạn hàm số f(x) = h(x) a < x < b ϕ(x) x ≥ b  RÊt nhiÒu häc sinh suy nghÜ r»ng x ∈ ( −∞; a ] ®ã lim g(x) = g(a) x →a Thùc lêi giải phải xét giới hạn bên phải, bên trái x = a b Khó khăn sai lầm kĩ biến đổi Ví dụ 13: Tìm lim x x −1 x −1 (?): Häc sinh gi¶i: x −1 x −1 = x+1 ⇒ lim x→ x −1 x −1 = lim( x + 1) = 2, x Kết nhng thật sai lầm biến đổi đồng x = x xảy ra, chúng có tập xác định hoàn toàn khác (!): Ta hiểu chất chọn dÃy xn 1, xn ≠ , (∀n ∈N * ) ⇒ Khi ®ã VÝ dơ 14: lim x→ xn − = xn+1 xn − x −1 x −1 T×m = lim( x + 1) = x →1 lim x →∞ x + x + + 3x 16 x + + x + x+1 dÊu 92 (?): Häc sinh biÕn ®ỉi lµ:   2 x + + +  1+ + +   x x x + x + + 3x x x  lim = lim  = lim = x →∞ x→∞  x→∞ 1 1 16 x + + x + 16 + + + x 16 + + +    x x x x (!): Thực học sinh thờng hay nhầm lẫn đa biểu thức khỏi dấu dạng x2 = x , Ta có: kết x + nên phải biến đổi, x2 + x + = x + Khi®ã: + x x2 x + x + + 3x lim x →∞    lim  x→ +∞       xlim → −∞    16 x +1 + x +1 = vµ 16 x + = x 16 + x2  3x  x 1+ + +   x x x   lim  = x →∞    16 + 12 + x +  x x x x   1+ + + x x = 1 16 + + + x x 1+ + − −2 x x = 1 16 + − − x x Một sai lầm mà học sinh hay mắc phải đà định hớng phân chia hai trờng hợp x + x nhng biÕn ®ỉi chØ xÐt cã mét hai trờng hợp thờng với x + đến kết quả, lấy kết thay đổi dấu kết luận trờng hợp x , nhng qua ví dụ kết lại không nh Mặt khác không dùng kí hiệu dạng chung chung mà phân hai loại rõ ràng x + x chắnhọcsinhsẽđỡgặp khó khăn sai lầm nh c Khó khăn sai lầm định hớng kĩ tính toán Ví dụ 15: TÝnh lim n →+∞ 4n + − 2n − n + 4n − − n 93 (?): Thùc hiÖn: nlim →+∞   1 1  4+ −2−  n + − −    n n n n 4n + − n −   lim   = nlim = n → +∞ → +∞     4 n + 4n − − n  + − − 1 n + − − 1     n n n n đến gặp dạng vô định 0 học sinh tính toán tiếp để khử dạng vô định cách nhân chia tử mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng phân thức phức tạp, khó khăn tính toán, dễ đến kết (!): Khi tìm giới hạn, số học sinh thói quen định hớng xác định dạng, trớc biến đổi tính toán đại số, từ đầu xác định đợc n + tử số mẫu số có dạng vô định ( - ) ta phải khử dạng vô định trớc, cụ thÓ: TÝnh: nlim →+∞ lim n → +∞ [ 4n [ 4n + − n − n + 4n − − n ] [ + − ( 2n + 1) ( n + 4n + 1) − n2 × 2 ] [ ==    + + + 1   n n n + 4n + + n n ( − 4)  =−1 = lim ×  n → +∞  1   4n + + 2n + n 4 +   + + +    n  n n ] ] Khi tìm giới hạn, số học sinh thói quen xác định dạng thuộc lọai vô định trớc định hớng biến đổi tính toán đại số, xem dạng: (- ) + (- ), (+ ∞ ) + (+ ∞ ), (+ ∞ ) - (- ∞ ), (- ∞ ) - (+ ∞ ) thuộc dạng vô định ( ) - ( ), nên hay áp dụng kỹ thuật tính toán khử dạng vô định để giải Đôi việc áp dụng cho phép tính đợc kết giới hạn, nhng đa số trờng hợp khác dẫn tới dạng vô định loại khác nữa, chẳng hạn: Ví dụ 16: Tìm x2 = + lim (x2 – x) = lim x − x = lim x→ −∞ x→ ∞ − x→ −∞ 1 x2 + x + x x 1− 94 ; VÝ dô 17: ( ) x + − x = lim x → −∞ T×m x +1 + x lim x → −∞ ( = lim x → −∞ x2 + − x ) nÕu cø thùc hiƯn biÕn ®ỉi   − x  + − 1   x   = lim x → −∞ x (d¹ng ) − 1+ +1 x Nên dạng hiểu đợc chất kết hợp với bảng kết phép toán vô cực đà lập có đáp số: Ví dụ 18: lim (x2 x) = lim x2 - lim x = + ∞ x→ ∞ − x→ −∞ x→ −∞ ) ( VÝ dô 19: xlim x + − x = xlim ( → ∞ − → −∞ ) x +1 − xlim x → −∞ = +∞ Hc cã thĨ xÐt nh sau, thĨ: VÝ dơ 20: lim (x2 – x) = lim x 1 −  = +∞   x→ −∞ x→ −∞ (  ) VÝ dô 21 xlim x + − x = xlim → ∞ − → −∞ x    x x  + −  = lim − x + + 1 = +∞    x →−∞  x x x d Sai lầm giải tích quen với tính hữu hạn đại số: Các đối tợng môn đại số gắn liền với trình hữu hạn, vấn đề giải tích thờng liền với trình vô hạn Vì vậy, tính hữu hạn đại số khiến học sinh gặp khó khăn nhận thức hay sai sót xem xét vấn đề giải tích Ví dụ 22: Đối với toán: tính lim + + + n (Đại số giải tích 11n2 + sách chỉnh lí hợp 2000) Häc sinh cã thĨ gi¶i nh sau: lim + + + n n = lim + lim + + lim = n +2 n +2 n +2 n +2 Do đó, dạy định lí phép toán giới hạn giáo viên cần lu ý tính hữu hạn nêu định lí, định lí không áp dụng đợc cho biểu thức có số phép toán vô hạn ... đây, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: Nghiên cứu số vấn đề nội dung, phơng pháp dạy học chủ đề Giới hạn Đạo hàm thể qua sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu để... phạm Chơng Nghiên cứu nội dung chủ đề Giới hạn phần mở đầu chủ đề Đạo hàm sách giáo khoa Toán Trung học phổ thông 1.1 Chủ đề Giới hạn mở đầu chủ đề Đạo hàm sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 (ban... phần mở đầu chủ đề Đạo hàm sách giáo khoa Toán THPT - Chơng 2: Một số vấn đề phơng pháp dạy học nội dung chủ đề Giới hạn phần mở đầu Đạo hàm (Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11) - Chơng 3: