MỤC LỤC
Lời nói đầu 4
Chương 1: Tính ổn định của các hệ rời rạc có trễ 6 1.1 Phương trình sai phân ằ 6 1.2 Cơ sở lý thuyết on định Lyapunov 7 1.3 Bài toán ổn định hoá 222222222222 2à 12
Chương 2: Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu
nhiên 16
B8 Ồ << 16
2.2 Một số khái niệm cơ bản 17 2.3 Một số cách tiếp cận để nghiên cứu tính ổn định tuyến tính 18 2.4 Ham Lyapunov cho phuong trinh sai phan ngau nhién 20
Kết luận 32
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Trong thực tiễn nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kĩ thuật, kinh tế, sinh thái, môi trường, thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình tốn học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng sau
dx(Ð dt
ăk+1)= f(k.ăt),u(t)), k=0,1,2
= f(t, c(t), u(t)), t>0
Trong đó z(.) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra và u(.) là biến điều khiến mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống
Ta hiểu một hệ thống điều khiển là một mơ hình tốn học được mơ tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào rạ Một trong những mục đích
chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều khiến "đầu vào" sao cho hệ thống "đầu ra" có những tính chất mà ta mong muốn.Ôn định là một trong những tính chất quan trọng của lí thuyết định tính các hệ động lực và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỉ thuật Chính vì vậy tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu nhiên.”
Nội dung luận văn gồm hai chương
Chương 1 Tính ổn định của các hệ rời rac có trễ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định và một số kết quả nghiên cứu tính ổn định, ổn định hoá của các hệ sai phân Nội dung của chương này trình bày theo báo cáo toàn văn hội thảo FTMath'06
Chương 2 Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn
định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu
Trang 3Là nội dung chính của luận văn Trong chương này, tơi trình bày phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ốn định tiệm cận bình phương trung
bình của hệ sai phân ngẫu nhiên Cơ sở để xây dựng phương pháp hai giai
đoạn là định lý "kiểu Liapunov” cho phương trình sai phân ngẫu nhiên (Dịnh
lý 2 4.1) sẽ được phát biểu và chứng minh đầy đủ
Luận văn được hoàn thành tại trường Dại học Vinh dưới sự hướng dẫn
khoa học của thầy giáo PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầỵ Tác giả cũng xin bày tổ lòng cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong tổ Xác Suất của Khoa Toán - Trường Dại học Vinh da tan tinh day dé, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứụ
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến quý Thày, Cô giáo khoa Sau đại học - Trường Dại học Vĩnh, Ban lãnh đạo trường Dại Vĩnh, các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên và giúp đỡ tác giả để tác giá hồn thành khóa học và thực hiện được luận văn nàỵ
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về mặt năng lực, kiến thức và thời gian nên luận văn không thể tránh khỏi các thiếu sót Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quý báu để luận văn được hoàn thiện hơn
Xin tran trong cam on!
Trang 4CHƯƠNG 1
TINH ON DINH CUA CAC HE ROI RAC CO TRE
1.1 Phuong trinh sai phan
Xét hệ phương trình
u(k + 1) = ƒ(k,#(E)),k = 0.1,3 (1)
trong đó ƒ(.) : Z! x R* —› R*? cho trước Khi đó với trang thai ban dau
(0) = zo hệ luôn xác định bởi hệ thức truy hồi
#1) = ƒ(0,o),#(2) = ƒ, ƒ(0,z+(0))
Trường hợp hệ (1) là tuyến tính dạng
ăk +1) = Ăk)ăk) + g(k),k € Z! (2) thì với điều kiện ban dau x(0) = x9 tuy ¥ và day
9 = {9(0), 9(1), -9(k — 1), }
nghiệm z(k) tại bước k > 0 cho bởi công thức Cauchy k-1
#(k) = F(k,0)zo + ` F(E, s + 1)g(s)
s=0
trong dé F(k,s) lA ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất z(k + 1) = Ăk)z(k),k € Z1
Ta có thể biếu diễn công thức của Ƒ(&, s) như sau,
Trang 5Nếu Ặ) là ma trận hằng số thì Ƒ(#,s) = A4*~*,k > s > 0 và khi đó nghiệm của hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc là
k-1
ăk) = Akay + ` AK s-lq(s)
s=0
Khi nghiên cứu tính ổn định và ổn định hoá được của hệ phương trình rời rạc ta cần sử dụng bất đăng thức saụ
Định lý 1 Với mọi ma trên P— (n x n) chiều, M — (m x m) chiéu
ta đều có
P M' —l 10
(7 "5) <0@P+MQUM' <0
Trong đó Q là ma trận đối xứng xác định duong m x n chiéụ
1.2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỒN ĐỊNH LYAPUNOV
1.2.1 Định nghĩa 1 Xét hệ (1) ở trên ta có định nghĩạ
Hệ (1) gợi là ổn định nếu uới mỗi e > 0, kọ c Zt ton taid > 0 (6
phụ thuộc £ , kọ ) sao cho mọi nghiệm +(k) của hệ mà ||xz(0)l| < ð thà
||z(k)|| < £ tới mợi k > ko Hé la ổn định tiệm cận nếu nó ổn định
uà có một số ð > 0 sao cho limy_;„ ||z(k)|| — 0 tới mọi nghiệm x(k) ma
lz(0)|| <
1.2.2 Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính Xét hệ rời rạc tuyến tính
ăk +1) = Ax(k), ke Zt (3) V6i «(0) = xo thi nghiém cua (3) cho bdi
ăk) = A*zọ
Dé x(k) -—> 0 khi k —> s theo định nghĩa ổn định tiêm cận thì hoặc
I4ll— q< 1 hoặc, A# — 0(k —> œ), do đó ta có định lí saụ
Trang 6Định lý 2 Hệ (3) là ổn định tiệm cận khi uà chỉ khả một trong hai điều kiện sau xấu ra
¡) Tồn tại một số q: 0 < q< 1 sao cho ||A||= 4< 1
) |A| < 1 tới mọi À € ð(A)
Bây giờ ta xét hệ tuyến tính khơng dừng
z(k+ 1) = Ăk)z(k) ke Z* (4)
Định lý 3 7w có khẳng định sau đối tới hé (4)
i) Nếu lồn tại q € (0,1) sao cho ||Ă)|| < q tới mọi b € Zt thi hệ ổn định tiệm côn
it) Néu Ăk) = A 4 C(k) trong đó A la ma tran ổn định tà |C(k)|| < a, thi hệ sẽ ổn định uới a đủ nhỏ Ví du 1 Xét hệ phương trình : —-_l1 +», —1 — #k+1 — 5(ETJtk T 111k Uk+1 = 2T trong đó Ăk) = (= wy keZt, 2(k-+1)
Dễ thấy ||Ăk)|| — TED < 3= q< 1 nên hệ ổn định tiệm cận 1.2.3 Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến
Xét hệ rời rạc phi tuyến
z(k + 1 = ƒ(k,z(k)), ke Z1 (5)
Trang 7Định lý 4 Với ƒ(k,z) = Ăk)+ + g(k,z), uà giả sử i) Ton tai q € (0.1) sao cho ||Ăk)|| < q, Vk € Z1
it) \|g(k, x)|| < L(k)|la||, Vk € Z* ới limạ ;„ sup L(k) = 0
Khi đó hệ (5) là ốn định tiệm cộn
Định lý dưới đây là một áp dụng phương pháp thứ hai cia Lyapunov cho
hệ rời rạc
Định lý 5(Lyapunov) Nếu tồn tại ham sé V(x) : R° +R thỏa
man:
i) Fy > 0,A2 > 0: Aglfa||? < V(x) < Aa|lz||Ê -
it) A\3 > 0 2A V(a) = V(ăk +1) — V(2(k)) < —Asllăk) IỈ -
Khi do hé (5) la ốn định tiệm can Néu vi pham mét trong hai diéu kiện trên thà hệ (5) là không ổn định
Đối với hệ tuyến tính dừng ta có hệ quả saụ Hệ quỏ 1 Xét hệ phương trành
z(k + 1) = Az(k), ke Z1
Nếu tồn tại hai ma trận đối xứng xác định dương P.Q sao cho
APA-PILQ=0
thà hệ trên ổn định tiệm cận
Ví dụ 2 Xét hệ phương trình
- 1 L1
Ley = ZUR gUk kez
Trang 8lay ma trận P = ( Ạ p ) rõ ràng ?> 0 5 , 3 —1 , Lj APA= Q=P-APA= > 0 _5 9 5 119 4 16 4 T6 Do đó hệ trên ổn định tiệm cận 1.2.4 Sự Ổn định của hệ tuyến tính có trễ Xét hệ rời rạc có trễ z(k + 1) = Az(k) + Bz(k — h),k e Z'! (6) Trong đó z(.) € R* A,Đ, là các ma trận hằng, b > 0 cho trước Diều kiện ban đầu của hệ có dạng
(0) = z(—1) = = #(—h) = z0
Như vậy với mỗi zo cho trước hệ ln có nghiệm xác định, nghiệm ở bước thứ k được truy hồi từ k — h bước trước đó
Định nghĩa 2 Hệ (6) gọ¿ là én định tiệm can uững nếu tới bat ki hb> 0 nào thà hệ cũng ổn định tiệm cận
Định lý dưới đây cho ta điều kiện đủ để (6) là ổn định tiệm cận Định lý 6 Nếu một trong hai điều kiện sưu xấu ra
i) Ton tại một bộ hai ma trận đối xứng xác đính dương P, IV
sao cho
X(P) BPA
A= < 0, (7)
APB —W
Trang 9¡i) Tồn tại một bộ hai ma trận đối xứng xác định dương TL, Z sao
X(T AIIB
A= <0 (8)
BIA -Z trong dé X(T) = BIIB+ Z + ATIA — IL
Thà hệ (6) ổn định tiệm cộn Vi du 2 Xét hệ phương trình ey = —~1#k + #k—h Ì 1Uk—h L1 = 1k + 1k + 1k—h Trong đó 1 1 ~+ 0 Tí A= , B= 1 1 1 14 0 4 0 16 21 r=(4 l6): o-(76) oo Sàn L1
ro rang P , Q xac định duong va B PB = 12):
Khidow =Q- BPR = ( 1) >0 nên tìm được , 10 , 10 \f=W = N=_-W5BPA= 0 2 0 -1 q -ll 2 Ta cd NN + ÁPA4+Q-P= ~ |< 2 —2 4
Vay ton tai cdc ma tran P,W thoa mãn định lý nên hệ phương trình trên
là Ổn định tiệm cận
Hệ qua 2 Nếu một trong hai điều kiện sau được xẩu rủ:
Trang 10¡) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P, R,A,Q nghiệm
đúng hệ
AA !A+OQ+R=P
BQ 1H +LA= P1
ii) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương II, S,T,3 nghiệm đúng hệ
(øs-'P:Tr+s=l
\ AI !IA+Đ=1r1
Thà hệ (6) ổn định tiệm cận
Hệ quả 3 Nếu A hoặc B không suy biến tà tồn tại hơi số ương p,q sao cho:
1 1
-4-=1
P sq
va cac na trận đối xứng xác định dương X.Q thõa mãn phương trình Lyapunov tong quat,
pAXA+qBXB+Q=X
Thi hé (6) ổn định tiệm cận
Hệ quả 4 Hệ (6) là ổn định tiệm cận nếu lồn tại số œ tưởng sao cho
AA+al <a[BB +al]7!
1.3 BÀI TOÁN ON ĐỊNH HOÁ
1.3.1 Định nghĩa tính Ổn định hoá
Xét hệ điều khiến rời rạc
Trang 11Định nghĩa 3 //£ (9) là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm u(k) = h(z(E)) : Rh —y Rm sao cho uới hàm điều khiển nàu hệ phương trình tí
phân
z(k + 1) — ƒ(k.z(k),h(k)),k € Z2" 2
là én định tiệm cận Hàm h(k) thường được gọi là hàm điều khiển ngược
1.3.2 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính Xét hệ phương trình
z(k +1) = Az(k) + Bu(k)), keZ! (10) trong d6A, là các ma trận hằng cấp (m= x n) va (n x m) tudng ting
Định lý 7 Hệ là 6n định hóa được nếu tồn tại ma trộn đối xứng xác định dương D sao cho
X(P) BPA
<0 (11)
APB BPD
Trong đó X(P) — APA-— P,uà u(k) = —(B'PB)7!B'PAz(k) la ham
điều khiển ngược
Ví dụ 4 Xét hệ phương trình
#1(k + = 3#1(E) + 3z2(E) + uị(E) + u2(k), b€ Z1
+2(E + 1) = 1z2(k) + uăk)
14 11
A= _ B=
0 2 0 1
Dễ thấy khả nghịch Lấy P — Q — T khi đó với điều khiển ngược u(k) = Kz(k) ỏ đó
Trong đó
J
en
Trang 12Nie ele
K=-B A= < 0 thì hệ trên ổn định hóa được
0 —
whe
1.3.3 Su 6n dinh héa cua hé có trễ
Trong mục này, chúng ta xét hệ phương trình
z(k 1 1) = Az(E) 1 Băk —h) + Cu(k), ke Zt (12) với điều kiện ban đầu của hệ là
(0) = #(—1) = = #(—h) = z0
trong đó 4, là các ma trận (ø x ø) chiều, Œ là ma trận (ø x m) chiều, x(.) € R®,u(.) € R™(m < ø ) là biến điều khiển
Bây giờ ta phải tìm một hàm điều khiển ngược ø(k) = h{(z(k)) sao cho
khi thay vào (12) thì hệ ổn định tiệm cận Nói một cách chính xác ta có định nghĩạ
Định nghĩa 4 /!ệ (12) là ổn định hóa được (khơng phụ thuộc độ chậm) nếu ton tai ham u(k) = Kz(k) tới K là ma trận (m x n) chiều sao cho hệ
z(E +1) =(A+LCK)#(k) 1 Bz(k— h), ke Z2' là ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ trễ
1.3.4 Sự ổn định của hệ có trễ với nhiễu phi tuyến Khi nghiên cứu hệ phương trình
#(k +1) = Az(k) + Bx(k — h)
Trang 13⁄ 4: At tA tA 4 ⁄ 2 : Mi ^ T_⁄ +x rẻ
khác nhau đôi với việc nghiên cứu tính ơn định của hệ có nhiễu phi tuyên,
dưới đây ta có định lý sau để hệ
ăk +1) = Az(E) + Bz(k — h) + ƒ(e(E).z(k—h)) — (13)
với điều kiện ban đầu
#(0) = z(—1) = = #(—h) = #0
trong đó hàm số ƒ(œ(k), z(k — h)) thõa mãn điều kiện tăng trưởng
F(x, y)|] < mal] + nly (14)
là ôn định tiệm cận
Định lý 8 Xét hệ phương trình (19) giả sử ƒ(.) thõa mãn điều kiện (14) ới m, n đủ bé, hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại ma trận đối zứng
xác định đương D sao cho
APA-P+LDPB+I APD
<0
BPA —I
Trang 14CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP HAI GIAI DOẠN DE NGHIÊN
CỨU TÍNH ƠN ĐỊNH TIỆM CẬN BÌNH PHƯƠNG
TRUNG BINH CUA HE SAI PHAN NGAU NHIEN
2.1 MO DAU
Cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên
dX(t) = f(t, X(t)dt+G(t, X())đW().teT,X() =Xụ, — (11)
với 7 = [fo,oo), ƒ: 7 x R" —› R"G:7xIR" -— R"x”,
Trong đó W() là quá trình Wiener ?w - chiều trên không gian xác suất (Q, P) với bộ loc (Fy) Giá trị đầu Xọ là biến ngẫu nhiên Z2¿—do được,
độc lập với quá trình Wiener và các moment bậc hai hữu hạn
Gia thiết rằng tồn tại một nghiệm duy nhất X — {X(f), € 7} của (1.1) và để chứng tỏ sự phụ thuộc của nghiệm này vào điều kiện ban đầu ta viết
X= X(t; tọ Xo)
Ta có hệ phương trinh réi rac véi h giai doan cho (1.1) c6 dạng
a2 Xj414+01X; + ap Xj-1
= h[2f (tis, Xin) + f(t Xi) + Bof (ti-1, Xi-1)]
+IŒ(, X¡)AM + +oG(fi—1, Xĩ-1)AW;~—l, (1.2)
Với ? —= 1,2, , f; —¿.b, ?— 0,1, ,AW/; — IW(t;+¡) — W(1;)
Từ (1.1) nếu có AX(f) = /(, X(0)) và „X() = G(t, X(t) ta c6 dang tuyến tính của (1.1),
Trang 15Từ (1.2) và (1.3) với ¿ > 1, œa = 1 ta có,
Xm + ay X; + œ0X;_1 = h[@»¿AX;¡1 + By AX; + BoAX;-1|
+ iuX;AM? + +o/X;_-1+AW;— (1.4)
2.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Bay giờ ta sẽ ta sé xét tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của
(1.1), với nhiễu 7g và dữ liệu ban đầu Xẹ, kí hiệu X'°() = XŒ;tfọ Xo +
Do)
Dinh nghia 1
Các nghiệm X của (1.1) được gọi là:
i) ổn định bình phương trưng bình nếu mỗi e > 0 tồn tại số ð > 0 để nghiệm X?°(t) „ác định uới Vi > tạ tà
Do 27 3 2
E|X”°( — X()|ˆ< s,Vt > to va B|Du|ˆ < 6,
it) ổn định tiệm cận bình phương trưng bành nếu nó ổn định bình phương trưng bình ồ nếu tồn lại ồ > 0 để mà khi E|Do|? < ồ ta có
E|X0(t) — X(t)|? 3 0 vdit > oọ
Với A,„€ € nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1.3) là
Xứ) = XgeQ~2w W0), (2.1)
Định lý 1
Nghiệm không của hệ phương trành (1.3) là ốn định tiệm cận bình
phương trưng bỳnh nếu
1
Re(A) < =5laP (2.2)
Trang 16Bây giờ ta xây dựng định nghĩa tương tự cho hệ phương trình rời rạc
(1.2) với nghiệm {X;}?°g
Ta kí hiệu {X;}#, = {X;(Xo,XI)}£a và {X”"”3#Sg = {Xi(Xư
Dạ, Xì + DỊ)??g} là một nghiệm của (1.2) khi giá tri ban đầu bị nhiễụ Định nghĩa 2 Nghiệm {X;}?Sg của (1.2) được gọi là
¡) ổn định bành phương trung bành nếu uới mỗi e > 0 tồn lựi giá
trị ồ > 0 sao cho néu E(|Do|? + |Di|?) < 6 thi
EXP?) — Xỉ <¢,i=1,2,3,
it) ổn định tiệm cận bình phương trung bình nếu nó ổn định bình phương trung bình tà nếu tồn tại một giá trị > 0 sao cho, nếu
E(|Do|? + |Di|?) <6 thi
B|XP~?) — x; + 0, khiit > sẹ
Tw phuong trinh (1.4) v6i y = 1, y = 1+ a1 phuong trinh (1.4) co dang Xiyt = (@Xj + cXj-1) + (OMG + dXj-1&)-1), (2.3) trong đó
— =œi +Àhƒ c— —90 + Ahf (2.4)
— 1A6 7 ~~ I—ÀAh@ :
b ph? de ph2(1 + ay) (25)
— 1—AhØ;' ~ I—AhØ
&-1 = hi AW)-1, va & = h72 AW; có phân phối N(0, 1)
2.3 MỘT SỐ CÁCH TIẾP CAN DE NGHIEN CUU TINH ON ĐỊNH TUYẾN TÍNH
Trang 17Xét hệ phương trình X;¡¡ = X;+ØhAX;¿i+(1—0)hAX;+ VAX iE; trong
do @ € [0.1] là một tham số ổn định, viết lại hệ phương trình này dưới dạng truy hồi một giai đoạn
Xin = (@ + OE) Xj (3.1)
Trong đó
1+(1— 0)Ah i ph?
1—OXh — 1—0Ạh`
Phép bình phương hai về của (3.1) và lấy kì vọng ta được
a=
EIX:¿i |” = (lã| + bP YELX;
Lấy bình phương hai về (2.3) ta được
|X¿¿i|? = la + 0G: P XP? + fe + dia PP [Xia P
+ 2Ø1{(a + bế¡) Ä;(c + d&i-1)Xi-1} (3.2)
Từ (3.2) ta thây rằng khơng trực tiếp tìm được điều kiện để nghiệm không ồn định tiệm cận bình phương trung bình như đối với hệ phương trình (3.1) 2.3.2 Cách tiếp cận đối với hệ phương trình hai bước tất định
Khi (1.2) được viết cho hệ phương trình sai phân tất định thông thường,
chúng được rút gọn để làm nổi bật phần tất định tuyến tính hai bước Với jt = 0 ta nhận được phương trình (2.3) với b = d = 0
Xiu = aX) + cXj-1 (3.3)
Với hệ số ø và e từ (2.4) Ta viết lại (3.3) dưới dạng
Xi ÌT— Xj
Ce oa Jon No ,3 , trong do A := ( 1 0 ) (3.5)
Trang 18Chúng ta quan sát giá trị riêng của ma trận A, chúng là các nghiệm của
đa thức đặc trưng /(C) = C2? — ac? — c Tất cả các nghiệm của hệ phương trình sai phân (3.3) dần tới 0 khi ¿ —> oo nếu và chỉ nếu nghiệm của đa thức đặc trưng nằm ớ phần trong của đường tròn đơn vị cúa mặt phẳng Viết (2.3) tương tự như (3.3)
Xin = (a + bE) Xi + (6 + d&~1) Xj-1, i = 1,2.3,
Từ hệ phương trình này thấy rằng hệ số của hệ phương trình sai phân phụ thuộc vào giá trị ngẫu nhiên é;,é;_¡ và phép biến đổi bước này sang bước kiạ Một mặt khó khăn khi nghiên cứu tính ổn định là sự phụ thuộc
của giá trị ngẫu nhiên và ma trận n
ll ( tụ ) „ = 1,2,3
i=l
Một trong những cách khắc phục khó khăn đó là sử dụng cách tiếp cận sau nhờ định lý kiểu Iyapunov áp dụng cho phương pháp nhiều bước để kiểm
tra tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ phân ngẫu nhiên
2.4 HAM LYAPUNOV CHO HE PHUGNG TRINH SAI PHAN NGAU NHIEN
Dinh lý sau đây cho ta một cách tiếp cận để nghiên cứu tính ổn định của
hệ phương trình sai phân nhờ phương pháp nhiều giai đoạn
2.4.1 Định lý 2
Gia ste X; = X;(Xo0, X1) là một nghiệm của (2.3) Nếu tồn tại một ham V (i, X;-1, X;) nhan gia tri dương uà các số dương c tà ca , sao cho
Trang 19cho tất cả ¡€6 Đ,¡ > 1, khi đó nghiệm không của (2.3) ổn định tiệm cận bành phương trưng bình Túc là:
lim E|X;|? = 0 (4.3)
io
Chitng minh Tit diéu kién (4.2) chúng ta dạt được
E[V(i+ 1, Xi, Xi)-V(1, Xo, X)]
= SCEIVG +1, Xj, Xj — VG, Xj-1 X9)] j=l a < -c2 ` 7= i 1 sọ
=> ` < 2 (EVA, Xo, X1) — EV(i +1, Xi, X;¿1))
j=l :
Từ (4.1) cho ta
i +
Ÿ^E|X; < _PV(, Xo, X1) < ^ max(E|XuJ,E|Xi )
2 2
=1
va E X; ? < & max (E|Xo|?, E|Xỉ) (4.4)
Bây giờ với mỗi ổ; > 0 tồn tai 6 = 61.2, sao cho E|IX;|# < ði nếu max(E|Xo|?, E|.X1|?) < 6 Ti(4.4) kéo theo ya E|X;|? < ov
Từ đó lim;_;~ E|X;|? = 0 Suy ra nghiệm không của (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình và định lý đã được chứng minh
Chi y: Dinh ly (2.4.1) có thể áp dụng cho hàm Lyapunov V với sự phụ
thuộc vào biến ngẫu nhiên V(¿, X;_1, X;,&-_¡&¿) Phép chứng mĩnh tương
tự
2.4.2 Giải hệ phương trình sai phân nhờ phương pháp một giai đoạn
Trang 20Phương pháp này xây dựng hàm Lyupunov V bao gồm tong hai ham V
và Ÿ, chúng ta bắt đầu với Ứ và phải tìm hàm cho phù hợp với định lý
2.4.2.1 Giả thiết V(, X;_¡, X;) = |X:}Ê
Chúng ta bất đầu với giả thiết đầu tiên
Ví, X¡_¡ Xi) = |X? i= 12,3 (4.5)
No là hàm lyapunov cho phương trình tất định dơn giản
Xin = aX; Xo = Xo (4.6)
hoặc cho phương trình ngẫu nhiên
Xin = (a+ b&)Xi, Xo = Xọ (4.7)
Gia thiét dau tien V théa man diéu kién (4.1) ctia dinh ly cho (4.6) hoic (4.7) nếu |ø| < 1 hoặc |a|? + |ö|? < 1 Bây giờ chúng ta áp dụng hàm số Ứ cho (2.3) và kiểm tra điều kiện (4.2) Chúng ta tính tốn cho ¿ = 1,2,3
EAV, = E[V(i + 1, Xị Xian) — VG Xi-1 Xi) =E(IX;¡ilÝ — |X¡|)
= E(\aX; +cX;_¡ + bÄ;&¡ + dX;_1@_1|P - |X;|*)
= ElaX; + cXj-1 + DNS + dXj-16-1|? — E|X;/? = ElaX; + Xj)? + ElbX 36 + dXj 161
+ 2m{E [(aX + cX;_1)(Ä;&; + dX;_1§¡—1)] } — E|X;[?
Qi = ElaX; + cXj-1P Q2 := ElbXig + dXj-16-1)?
Q3 := on{E[(ax + cXj-1)(Xi& + dX 16-1))}
Vay
Trang 21Ưóc lượng các số hạng ta thu được:
QỊ := ElaX; + cX;-1Í = Ellal?\X:F + |£|?IX;-¡l? + 2{aX;_eÄX;}|
< Ella[ IX:[” + |e”|X:-¡|” + 2|aX:—ieÄ¡:|]
*|Xi-aP? + lallel(|Xi]? + |Xi-1)?)] = (la| + |e) (JalELXỉ + [efE|Xi-1 7)
< E[lal’|Xỉ + |e
Qo = ElbXj& + dXj-1& 1]? = E[bP | Xi Pẻ + [dP |X) (PẺ ]
= |bÊE|X:|? + |d|°E|X; _¡|Ê
Qs = IA{EaXidXi 6-1}
< 2E|aXjdX;—1&-1| < |ad|(E|X;|? + EILX;- |2? ¡]|)
= |al|d|(E|X;[2 + E|X;—4)2)
Lấy tổng các về ta có :
EAV = Qi + Q2 + Qs — BỊX¡|Ÿ
< (la| + lel) (aE Xi)? + |elE|X:-¡”) + || EIX;l” + |dl”EIX;—:[ƒ + |a|ldl(E|X: + BIX;-Ï”) — EIX:
= ((la| + |eD|a| + lbỂ + |a|ldl — 1)EIX:Ƒ + ((a| + |e))Iel + |dl? + Jalldl)EIX;—¡Ï
:= KIEIX;|° + TE|X:—|Ÿ,
với K :— (|| + |e|)la| + |b|? + |a|ld| — 1
T == (lal + |el)lel + Ja)? + alld)
Trong bước tiếp theo chúng ta bổ sung Ÿ để nói về nhóm 7TEFIX:_1|? trong về phải của bất đẳng thức trên Nó được đặt bởi
Ví, X;_t, Xi) :— TỊX;-1ŸP (4.8)
Trang 22Đau đó chúng ta có
EAV; = EV (i +1, Xj Xin) — EV(i, Xi-1, Xi) = TE|X;|? — TE|X}-1)?
Gọi V := Ÿ + Ý thu được
EAV¡ := BA; + EAÙ < (K+ T)E|X;|Ê
Hơn nữa chúng ta có thể kiểm tra điều kiện ban đầu cho V := Ÿ + Ÿ Điều kiện này thõa mãn
EV (1, Xo, X1) = EX)? + TE|Xo/?
< (1+ 7) max(E|Xo|?, E|X4|’)
Do đó,V là ham Lyapunov réi rac cho (2.3), théa man diéu kién (4.1, 4.2) nếu K + 7 < 0, có
(lal + lel)? + OP + |đl? 1 2|a|ld| < 1 (4.10) Đây là diều kiện đủ nhưng không phải là điều kiện cần để đảm bao tinh on định tiệm cận bình phương trung bình của (2.3)
2.4.2.2 Giả thiét V (i, Xj_1, Xi) = |Xi + eX;_t? Ta viét (2.3) nhu sau
Xip1 = 0Ä; + cXj-1 + OX GE; Ð đá—1&¡—1
= (at c)Xj — eX; + cXi-1 + ONG + dXNj-1G-1 (4.11)
Xin = (at c)X¡, Xo = Xo (4.12)
2
Như phương trình sai phân phu, véi ham Lyapunov V(y) = ỷ (nếu
ø-+c< 1) Theo đó dầu tiên phiến hàm ƒ phải được chọn từ
Trang 23Chúng ta ứng dụng phiến hàm V cho (2.3) và kiểm tra điều kiện (4.2)
Dùng điều kiện (4.11) chúng ta tính toán cho ¿ = 1,2,3,
EAV; := E[V(i+ 1, Xi, Xi) — VG, Xi-1, Xi) =E[|Xiqi + eX)? — |X; + cXi-1)"]
= E||\(a + c)Xj + cXj-1 + ONG + dXNi-1G-1]? — [Xi + cXi-1)°|
=E[|(at+e)Xi + eX¡_1|Ÿ — LX: + eX;—1|?] + EOXiG + dXi-1G-1
+291{E|(a + c)Xị + Xia] PREF AK AG ]}
Qà := Ell(a + c)X; + ¢Xj-1|? — |X; + cX;_1|] Q¿ := ElbX;&i + dX;—1$:— |?
Qs = 2m{El(a +e©)Xịi +eX¿ 1] [biết + đX d6] }
Nhóm Q» đã đánh giá chính xác trước đó, một cách tương tự chúng ta
đánh giá
Q¿:= (la + c|? — 1)E|X;|? + 2E (« +c— eX; |
< (la + c|l? — 1)EIX;|? + |a + e— 1||c|(EIX;|? + EIX;—¡l?) Q; := 2|Ø{IE(ø + e)X;dX¡-t§ĩ1}| < la + el|d|l(EIX:|? + EIX;—¡ |”)
Lấy tổng chúng ta đi đến EAV; = Q4 + Qo + Qs
S (la + | — 1)E|X;:|Ÿ + la + e— 1||c|(EIX:Í° + EIX:-¡) + |bIƒEIX:[ + |d|ŸE|Xi-i|” + |a + c||dl(EIX:I + EX:—¡lŸ)
< ((|a + e[?)|a + e— 1||c| + |b|Ÿ + fa + e||dl)EIX,Í + (đa + |el)|dl + |đỂ + Ja + é— 1|le|)EIX:—i|?
< KE|X;|? + TE|X,_¡|Ê
Trang 24Trong đó
K := (la + c|?)|a + e— 1|le| + |b|Ê + |ø + e|ldl,
7 := (la| + |el)|d| + |đl? + |a + e— 1||cl:
Hàm Ÿ giữ nguyên như (4.8) và danh giá tương tự như (4.9) cho V = V +V, bay gid ta có
K+T :=la+el?—1+2|a + e— 1||e| + |b)? + |dl? + 2\a + eljd}
Hon nữa từ điều kiện ban đầu (4.1) danh gié cho V :-=V +V, tit dé
EV (1, Xo, X1) = E[|X1 + cXỏ + TX
< (2max(1, |c|?) + 7) max(E|X: È, E|Xo|?)
V := Ÿ +Ý là một hàm Lyapunov cho (2.3) thõa mãn diều kiện (4.1), (4.2) nếu K-+ 7 <0, nghĩa là:
la + cl? + [b|? + [dP + 2|ø + c|ld| L|a + e— 11+ |e] <1 (4.13) Điều kiện này là điều kiện đủ nhưng không phải là điều kiện cần để nghiệm không của (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình
2.4.2.3 Giả thiết Ví, Xj-1, Xi, &-1, &) = |Xj)4+cXj-14+d&-1Xj-1 ?
Bây giờ chúng ta viết (2.3) như sau Xip1 = aX; + X41 + BE Xi-1 + đẹ¿—1X¡—1
= (a+c)X; — cX; + cXj-1 4+ (b+ dE, X; — dG X; + d&§-1Xji-1 (4.14) Xóa = ((a +c) + (b+ d)&) Xj, Xo = Xo (4.15)
= E|Xj41|? = [(a +c)? + (b+) ]E|X;P
Như phương trình sai phân phụ, với ham Lyapunov u(y) = ỷ ( néu
(a +c)? + (b+ d)? <1) Ham Lyapunov phai dude chon
Trang 25Trong trường hợp này chọn hàm Lyapunov Ứ phụ thuộc giá trị ngẫu nhiên
Chúng ta ứng dụng hàm Ứ cho (2.3) và kiểm tra điều kiện (4.2) Dùng phép biểu diễn (4.14), chúng ta tính tố n cho ¿ = 1,2,
EAV = E[V(i4+1, Xj, Xia, & G1) — V, Xi-1, Xi, G-1&)]
= E[| Xin + (C+ dG) XiP = [Xi + (€ + dG) Xiả)
= E[|(a + ¢)Xj + eXy-1 + (b+ A) XG + dAXji-1G-1P — |X; + (c+ d&-1)Xj-17|
= E[|(a + e) Xj + eXi-1)? — |Xi + eX;—¡ |]
+ E\(b+ d)Xi6 + dXi-1G ả — |dXi-16-11
+ QRE[((a + e)Xj + cXj-1) ((b + d)XiGi + dXi-1'-1) |
— 2QRE[(X; + eXj)-1)(dXi-1&-1)] Q4:= E||(a +o)X)+cXj4)? — |X; + cX;~1|?] Q6 := El(b + đ)Xi§i + dXi—16)-1? — [4X16 1?
Qr — 2E [((a + e)Xị + eXị~1)((b + đ)X;&i + dXi-1&-1)]
Qs = 2QRE[(X; + cXj-1)(dXi-1&-1)]
Nhóm Q, da danh giá chính xác trước đó, tương tự chúng ta có:
Qe = |b + dPE|X;|? + |dPE|X;|? — |d|?EIX;|ˆ = |b + dPE|X;/?
Q7 — Qs = 2R{E[(a + c) XidXj-1G-1] } — 2R{ E[(XidXji-1&-1] }
= QR{E[(a +e—1)XjdXj1G-1 }
< la+e— 1||d|(E|X;| + E|X;~¡|?)
Trang 26EAV := Qị + Q6 + Qị — Qš
< (ja tc? — IE|X;i + |a + e— 1|lc|(ELX;l? + E|X;_|?) +(|b+ đ|Ÿ)E|X;l” + | + e— 1|Id|(EIX:” + EJX;—¡|?) = (la+ |? — 1+ |b + địẺ + (|e| + |đ|)|la + e— 1|)E|X:|
+ (lel + |d))\a + e— 1IE|X:-[Ÿ
= KE|X;)? + TELX;_1/°
Ta ki hiéu
K:= (latẻ —14 |b+d)? + (lel + |d)|a+e-1|
T := (lel + |đ|)|œ + e— 1|
Chúng ta lấy Ÿ như trong (4.8) với số không đổi 7 khác nhau trong biểu thức V = V + Cuối cùng, chúng ta kiểm tra điều kiện ban đầu (4.1):
EV (1, Xọ X1, £0.&1) = E[|X1 + (e + đXo)Xo|? + TỊXo|Ÿ]
< ?EIXI|” + 2E|(c + df) Xol? + TE|Xol?
< (2max(1, |e|Ÿ + |dl?) + 7) max(E|X: | , E|Xol?)
Vậy V := Ý + Ý là một hàm Lyapunov rời rạc cho (2.3) thõa mãn điều kiện (4.1), (4.2) nếu +7 <0, nghĩa là:
|ø + c|? + | + đl? + 2(|e| + |đ|)la + c— 1|< 1 (4.16)
Điều kiện này là điều kiện đủ nhưng không là cần để đảm bảo nghiệm không của (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình
2.4.3 Hệ phương trình sai phân và phương pháp hai bước tất định
Trong mục này chung ta sẽ xem xét hệ phương trình sai phân với phần
Trang 27của hệ phương trình (2.3)
Yiu = ayj + cyi-1- (4.17)
Và đặt 3; = (w¡,¡_L)T viết lại (4.17) như sau
3;¡i = A¿¡ trong đó A = ( 1 0 ) (4.18) Tiếp theo ta xác định hàm Lyapunov v cho (4.18) Ham v : R2 — IR† là mot ham Lyapunov cho (4.18) néu giá trị A0; := 0(3;;1) — 0(;) thõa mãn Av; < —col|¥;||? trong đó ||.|| là chuẩn trong R2 va cọ là số không đốị Ta có ø(3) = TQ với một ma trận dương xác định @ cho giá trị dương của
0 Và
Avi = Yih QVini — YF QY; = YI [ATQA — Q],,
trong đó ø là hàm Lyapunovy nếu ma trận AfQA— @ xác định âm Phải tìm một ma trận @ với các thuộc tính này chúng ta bắt đầu xác định ma tran P và tính tốn phương trình ma trận Lyapunov ATQA—@ = —P Đế đơn giản chúng ta chọn ma trận đường chéo P = diag(py, p22) cdc tham s6 dudng Pu, p22 © thể chọn tùy ý Tiếp đó các phần tử của ma trận Q = (4/)¡j=12 có thể tính tốn là, (giả sử e # —1, |ø| # |L— c|)
qi \ — l—c one dé 7 Pil + p22
( wm a ( ac » HONE CO Poe = TE OL — oP? — ø)
q2 = pr + Pq
Néu trong diéu kién
lc] <1 vala]}<1l-e (4.19)
ma tran Q 1a ma tran duong xac dinh véi q11, q22, Dac > 0 Tiép dé ham V
phải được chon
Ví, Xj-1, Xj) = XI QX; trong do X; = (Xj, Xi 1),
Trang 28Sau đó tính toan EAV; = EIA7194; — XI QA], chúng ta cần xác
định hàm V trong V = VV Chúng ta đạt được
EAV; = —puEX? = po2X7_1 + Qo + Quọ
trong đó
Qo = quE(bXi§; + dXi-16-1) Qio = 2(q2 + quia)EX;(dXj-1&-1)-
Dánh giá chúng ta được
Qo = Pae(1 — ©)( EX) + d”E X? ¡)
Qio < pae|ad|(EXỶ + EXỶ ¡) Chúng ta đạt được
EAV, < KEX? + TEX?.,
VỚI
K =*i—Pn +I = Pac(Ÿ( — c) + |ad|) (4.20)
T= 72- pm 42 = Pac(d?(1 — ¢) + |ad|) (4.21) Ham V dugc lấy như trong (4.8) với giá trị 7 ở trên , dé tho& man (4.2) cho ƒ = + Ÿ thì K+ 7 < 0 Cuối càng kiểm tra điều kiện (4.1) của định lý (2.4.1) Chúng ta đạt được với 4 = (XỊ, Xo)f
V(1 X0, X1) = AP QA + TXf
= qu XG + 2q12X0X1 + 2X? + TXổ
< qi XG + |ms|(XỶ + Xã) + øaXỶ + 7 Xổ
Trang 29Điều kiện (4.1) của định lý (2.4.1) được thoã mãn với số dương không đổi (1+ ẻ)øni +2|gi2 + +2| Chúng ba kết luận rằng V = Ứ + Ÿ là một hàm Lyapunov rời rạc cho (2.3), thỏa mãn điều kiện (4.1,4.2) nếu có (4.19) và K~+7 <0 giữ nguyên Bất đẳng thức cuối này có nghĩa
Vit 72 < Pir + p22
Pi + p22 2, 2
Se ră1=ø#=z3t |ad| + ( > (2 Jad b+ + d°)\(1—c)) < #3 ©)) 11 T722
2|ad| + (b2 + đ)(1 — c) +9(1=ø?=ø3 Vy ta cú <1 |\c|{<1, |ứ|<1ô 2lad|+02+d)0=â) “iăd=ef-a) (4.22)
Đây là điều kiện đủ nhưng không cần thiết để đảm bảo rằng nghiệm khơng của (2.3) ốn định bình phương trung bình tiệm cận
Trang 30KẾT LUẬN Luận văn đã đạt được các kết quả sau
1 Trình bày tương đối có hệ thống một số kiến thức cơ bản về tính ổn
định của các hệ rời rạc có trễ, trong đó có sự ốn định của hệ rời rạc tuyến tính, hệ rời rạc phi tuyến, hệ tuyến tính có trễ, và bài tốn ổn định hóa của
hệ có trễ và hệ có nhiễu phi tuyến
2 Trình bày phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm
cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu nhiên
Cơ sở để xây dựng phương pháp hai giai đoạn là định lý kiếu Liapunov cho phương trình sai phân ngẫu nhiên (Định lý 2 4.1) đã được phát biểu và chting minh day dụ
Nhờ phương pháp đó dễ dàng nghiên cứu được tính ổn định của phương trình sai phân khi ham Liapunov V := V +V có một số dạng đặc biệt như:
V(i, Xi-1, Xi) = |XiP va VG, Xia, Xs) := TỊX;-1
Vii, Xj 1; Xj) = |X; + cXj- 1? va V(i, X ?—1; Xi) := TỊX;- if
Trang 31TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyén Thé Hoan - Pham Phu (2000), Co sé phuong trinh vi phan va lý thuyết ốn định, Nhà xuất bản Giáo Dục
[2| Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lú thuyết điều khiển toán học, Nhà
xuất bản Dại học Quốc Gia Hà Nộị
[| Hy Dức Mạnh (2006), Bài toán ổn định của các hệ rời rạc có tré qua bát đẳng thúc ma trận tuyến tinh, Ky yéu hoi thao ITMath HVKTQS [4] Zidong Wang - Xiaohui Liu (2003), Robust Stability of Two- Dimen- sional Uncertain Discrete Systems, IEEE Signal Processing Letters
V.10, N.5
[5] Z.Wang and H.Qiao (2002), Robust filtering for bilinear uncertain
stochastic discrete- time systems, TEEE Trans Signal Processing V.50
[6] Haci Civeiv and Mehmet Akbulak (2007), A Note on the Exponen-
tial Stability of Noulinear Difference Systems, Applicd Math Sciences Vol.1 N.33
[7] D Krokavec - ẠFilasova (2008), Contrained control of discrele-lime
stochastic systems , Procedings of the 17th Wold congress The Inter Federation of Auto Control, Seoul Korea Juli 6- 11
[8] Diankim Wang and Fule Li (2011), Output- feedback Stabilization of
Discrete-time Systems with Multiple Time- varying delays, 2011-3rd International Conference on Computer and Automation Engineering
(ICCAE 2011)