1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

định lí kall và ứng dụng trong nghiên cứu quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn luận văn thạc sĩ toán học

37 404 0
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 37
Dung lượng 5,65 MB

Nội dung

Trang 1

trang

ANY Coe 210 222222022 n 2n nh 5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị ĩ 1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ĩ

1.1.1 Dịnh nghĩa .ẶẶẶ 7 1.1.2 Một số tính chất chung 8

1.2.3 Phương pháp dơn hình 13 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 13 1.2.1 Bài tốn cc cece cece tenet eee ee 13 1.2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhién 2 giai doan 14

1.3 Một số khái niệm cơ bản của xác suất 16

1.3.1 Các dịnh nghĩa - 222k xy 16

1.3.2 Một số tính chất của biến ngẫu nhiên 18 Chương 2 Định lý Kall và ứng dụng trong quy hoạch

tuyến tính ngẫu nhiên 2 giai đoạn 21 2.1 Định lý Kall Q.2 k 21 2.1.1 Giới thiệu - 22222 yy 21 2.1.2 Dịnh lý Q2 QQQ ng nh vn 21 2.2 Mối quan hệ giữa dinh ly Kall va ma trận hiệu chỉnh hợp lý 24 2.3 Ung dụng định ly Kall 25

Trang 2

MỞ ĐẦU

Quy hoạch tuyến tính bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà tốn học

Nga, Viện sĩ L.V Kantorovich, về bài tốn kế hoạch hố sản xuất, cơng bồ

năm 1938 Vào những năm 40 của thế kỷ 20, hàng loạt các kết quả nghiên cứu và ứng dụng được cơng bố Đặc biệt năm 1947, Dantzig, nhà tốn học Mỹ, cơng bố phương pháp đơn hình để giải bài tốn quy hoạch tuyến tính

Năm 1952, phương pháp đơn hình đã được chạy trên máy tính điện tử ở Mỹ Về cơ bản, bài tốn quy hoạch tuyến tính với dữ liệu tất định cĩ thể xem được nghiên cứu trọn vẹn cả về lý thuyết lẫn thực hành

Tuy nhiên, dữ liệu của bài tốn quy hoạch tuyến tính, xuất phát từ thực tiễn và áp dụng vào thực tiễn, thường phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên

Bài tốn quy hoạch tuyến tính với sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên được gọi là bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Các hướng tiếp cận nhằm tìm lời giải cho bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên đã và đang được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm Việc nghiên cứu lớp bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhằm phát hiện những tính chất của nĩ và tìm ra thuật tốn giải đang là vấn đề thời sự, cĩ ý nghĩa khoa

học và ý nghĩa thực tiễn rộng lớn

Gần đây một số cơng trình của các nhà tốn học nghiên cứu các hướng tiếp cận giải bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên đã thu được những kết quả quan trong (chang han: Leen Stougie, Peter Kall, Xin Chen, .)

M6

khi tiếp cận với một số kết quả đã cĩ, chúng tơi thấy cĩ những mối liên hệ

cơng trình được tiếp cận theo các hướng đặc thù riêng Tuy nhiên,

Trang 3

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tơi trình bày

sơ lược lý thuyết quy hoạch tuyến tính và bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Đồng thời để làm cơng cụ nghiên cứu cho đề tài, chúng tơi nêu một số khái niệm thuộc lý thuyết xác suất

Chương 2: Định lý Kall và ứng dụng Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này, trước hết chúng tơi phát biểu và chứng minh

hồn chỉnh định lý Kall (mà trong tài liệu chúng tơi cĩ được việc phát biểu

và chứng mỉnh cịn nhiều thiếu sĩt) Sau đĩ, sử dụng định lý Kall, nghiên cứu hai mơ hình thực tế, đĩ là bài tốn "lưu chuyển hàng" mà trong [1]

đã trình bày và bài tốn "Lập kế hoạch sản xuất" mà trong [7] đã nêu ra làm ví dụ

Luận văn được thực hiện và hồn thành dưới sự hướng dẫn khoa học

của PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy dối với tác giả trong suốt thời gian

học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn

Quang, PGS TS Phan Dức Thành, TS Nguyễn Trung Hồ, các thầy cơ

giáo trong tổ Xác suất thống kê, khoa Tốn, khoa Sau Dại học Dồng thời,

tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình và các bạn bè, đã quan tâm, gĩp ý và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi những sai sĩt Tác giả mong nhận được những đĩng gĩp của quý thầy cơ giáo và các bạn

để luận văn được hồn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Trang 4

KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính

1.1.1 Định nghĩa Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát cĩ dạng n min(max){ f(x) = » cjx;} (1.1) j=l Y aye; (S,2,=) b;, ¡=1,2, ,n với điều kiện 4 j=1 xj > 0, j=1,2, ,n

Chú ý rằng bài tốn (1.1) cĩ thể chuyển về một trong hai dạng bài tốn

đơn giản như sau: a) Dạng chính tắc n min { f(x) = » cjx;} (1.2) j=l n » đG¿j1j — bj, i= 1, 2, ee với điều kiện ¢ j=1 >0, j=1,2, ,n ) b) Dạng chuẩn tắc min { f(x) = > ejx;} (1.3) n ))ay#j < bị, i=1,2, ,m với điều kiện ¢ 7=1 xj = 0, j=1,2, ,n

Ham ƒ(z) trong bài tốn đã nêu được gọi là hừm rmục tiêu Các điều

kiện của bài tốn gọi là điều kiện buộc Điểm z = (z;) thoả mãn điều kiện buộc gọi là phương án Phương ấn z làm cực trị hàm mục tiêu dược gọi là

Trang 5

1.1.2 Một số tính chất chung

Sau dây chúng tơi sẽ phát biểu và chứng minh một số định lý diễn hình,

các định lý khác cĩ thể thấy trong các tài liệu tham khảo

1.1.2.1 Định lý Tập hợp tất cả các phương án của một bài tốn quy hoạch tuyến tính là một tập lồi

Trang 6

t) >0,xzŒ) >0,0<a<1

suy ra

at > 0, (— œ)z2) >0 Do cách xác định z thi x > 0

Vay x lA phương án của bài tốn quy hoạch tuyến tính, hay tập các

phương án là tập lồi Đĩ là điều phải chứng minh đ

1.1.2.2 Định lý Nếu hàm mục tiêu của bài tốn quy hoạch tuyến tính

bị chặn dudi (vdi bai todn min f(x) va bi chan trén vdi bai todn max f (x))

trên tập phương án khác rỗng thà tồn tại phương án tối tưu

Chứng minh Trước hết, ta viết các bất dẳng thức xác dịnh trên tập hợp

phương án Ù dưới dạng như sau: D={z: Br>d}, trong đĩ A B= 1 , trong đĩ ƒ là ma tran don vi con d? = (b,0,0, ,0) Kí hiệu L¿ = { z: (Bz— đ), =0} Khi đĩ m+n r= ( U Li) x i=l

là biên của tập hợp D, đồng thời 4 , bởi vì 2 # ƒ là tương giao của tập hợp lồi đĩng { z: ø > 0} cĩ điểm biên với tập hợp lồi déng { 7: Ax > b }

Trang 7

Chứng minh sẽ tiến hành bằng qui nạp theo số chiều + của khơng gian IR" Đối với JR! (trường hợp một chiều) tập hợp chấp nhận dược Ð cĩ thể là một điểm, hoặc là một đoạn thẳng, hoặc nửa đường thang va dinh ly hoan

toan ding

Giả sử rằng dinh ly dang déi véi R!,R?, ,.R*-! ta chitmg minh dinh lý đúng với IR*

Vì L;ƒ\D c R*'!, (¡ = 1,s) thì theo giả thiết qui nạp với bất kì

¿, (= 1,s) tìm được z;€ L¡ƒ}D, sao cho é, mi) = cet, éc, x) Từ định nghĩa của T suy ra tồn tại z* € T sao cho

(e,z*) = min | (c,2;) = "` Ác,z) = min (c, 2)

Ta cịn phai chttng minh rằng

éc, z = min (c, 2) = min {e, z)

Muốn vay chỉ cần chứng tỏ rằng đối với điểm bất kì z € D tồn tại điểm

biên z“ € T sao cho

(c,2") < (c,z)

Xét diém F = z—Àe,Ầ > 0 Vì z là điểm trong của D nénF = x— rc €

D it ra 1a đối với A đủ nhỏ Theo giả thiét (c,Z) bi chặn dưới nên (c3) =(ezÈ —Al|clf > ø Do đĩ < ằœ ~ Tepe °° Khi đĩ tồn tại 2 2

min{(c,x) — Allell"} = (ex) — d'llell’, (*)

trong đĩ cực tiểu lấy theo giới nội À sao cho

Trang 8

Ro rang la 2’ = x — Ac ET That vay, néu 2’ 1a diém trong cia D thi tim được À“ > À7 > 0 sao cho # — À“e € D Nhưng khi đĩ

(c,x) — A"“Ie|lỦ < (—e,z)— X'Icll: Điều này trái với (*) Vậy

z € T và (e,z) < (ce, x)

Dinh ly da dược chứng mình xong oO

Tính chất được nêu ở định lý 1.1.2.2 chỉ đúng với bài tốn quy hoạch tuyến tính Cĩ thể dưa ra ví dụ cho thấy khi hàm mục tiêu khơng tuyến tính thì định lý khơng cịn đúng Chẳng hạn bài tốn

1

min{ /(z) =— :#> 0} x

Rõ ràng hàm mục tiêu f(x) > 0, véi moi x > 0 (bi chan dưới trên miền xác định), nhưng khơng cĩ phương án tối ưu

1.1.2.3 Dinh lý Nếu bài tốn quy hoạch tuyến tính cĩ phương án tối

tu thì tồn tại một phương án cực biên tối uu

Chứng mưnh Ký hiệu D là tập phương án của bài tốn Xét hàm mục

tiêu hn

f(x) = So ejay j=l

Gia st 2 1a phuong dn téi ưu Khi đĩ

F(a) < f(a), Var € D

Nếu z) là điểm cực biên thì định lý dược chứng minh

Trang 9

Mat khác, do ƒ(z) tuyến tính nên ta cĩ

P 8 -

Ale) = Sr aif le) + ofr) i=1 j=l

Néu moi p; =0,j =1, ,8 thi chon

f(a) = min f(a)

1<i<p

Do ƒ(z) tuyến tính nên dễ dàng nhận dược phuong an cyte bién 2 1a

phương án tối ưu

Nếu tồn tại ø; > 0, khi đĩ ƒŒØ)) > 0, với mọi ø; > 0, (vì giả sử ngược

lai f(r) < 0 thi ƒ(z)) —› —œ mâu thuẫn với giả thiết +) là phương án tối ưu) Vậy Pp f(x) > Vaif(e®) i=l Pp 2 » aif (2) i=l = fe), Ta suy ra f(e) > fe) Tit dé cho thay f(a) = f(x)

Dinh lý dược chứng minh Oo

1.1.2.4 Dinh ly Phuong dn x la cuc bién khi va chỉ khi tương ứng tới toa dé x; > 0 la hé vecta {A;} độc lập tuyến tính (Trong đĩ A; = (aj) la

0ectở cột thú j của ma trận A = (aij))

Chú ý rằng từ định lý 1.1.2.4 cho ta thấy số phương án cực biên của bài

tốn quy hoạch tuyến tính là hữu hạn và mỗi phương án cực biên cĩ thể cho tương ứng với một hệ cơ sở, ta thường gọi là cơ sở liên kết với phương

Trang 10

1.1.2.5 Dinh ly Néu ham muc tiéu dat gid tri cuc tiéu tai hai diém khác nhau của tập lồi D thà nĩ sẽ đạt giá trị cực tiểu tại những điểm là tổ

hợp lồi của các điểm dĩ

1.1.3 Phương pháp giải bài tốn: phương pháp đơn hình

Đường lối chung: Phương pháp đơn hành dựa trên hai nhận xét sau:

- Nếu bài tốn quy hoạch tuyến tính cĩ phương án tối ưu thì ít nhất

một dỉnh của D là phương án tối ưu

- Tap phương án D cĩ một số hữu hạn dỉnh (diểm cực biên)

Như vậy tồn tại một thuật tốn hữu hạn, thuật tốn gồm ba giai đoạn:

Giai doạn 1: Tìm một phương án cực biên (một dỉnh) xuất phát

Giai đoạn 2: Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án mới

Nếu điều kiện tối ưu được thoả mãn thì phương án đĩ là phương án tối

ưu cần tìm

Giai đoạn 3: Nếu ngược lại, ta xây dựng phương ấn cực biên mới sao cho

giá trị hàm mục tiêu giảm dần (với bài tốn min ƒ(2)) Trở lại giai doan 2 Ta thực hiện một dãy các vịng lặp như vậy cho đến khi nhận được câu

trả lời cĩ hay khơng cĩ phương án tối ưu thì dừng

Như vậy, phương pháp đơn hình thực chất là đi kiểm tra giá trị hàm

mục tiêu trên hữu hạn các đỉnh (phương án cực biên) Dể thuật tốn sớm

kết thúc thì phải tìm cách xây dựng dược dãy các phương án cực biên tốt dần (giá trị hàm mục tiêu giảm dần) Dĩ cũng chính là phương pháp hay dùng trong lý thuyết quy hoạch, được gọi là phương pháp tạt

Trang 11

trong đĩ +” là chuyển vị của z,

— Tp T —

c= (eị CQ Cn) ,b — (bị bạ mm bn) ,A — (ij) mxn-

Bài tốn quy hoạch tuyến tính trên cĩ các phan ttt cia ma tran A, b,c xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu

nhiên

Để nghiên cứu bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu

cầu thực tế của bài tốn mà cĩ nhiều cách tiếp cận khác nhau Thơng

thường, người ta xét tới các lớp bài tốn:

1.2.1.1 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên một giai đoạn Đĩ là lớp bài

tốn dược giải với thơng tin về dữ liệu ban dầu xác dịnh nào đĩ Trên cơ

sở phương án tối ưu đã giải, khi chịu ảnh hưởng của đại lượng ngẫu nhiên,

người ta sử dụng các phương pháp trực tiếp (chẳng hạn phương pháp quy hoạch tham số, phương pháp tái tối ưu .) điều chỉnh phương án tối ưu để

cho phù hợp với thực tế

1.2.1.2 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai doạn Đĩ là lớp bài

tốn được giải ở giai đoạn một, với thơng tin về dữ liệu ban dầu xác định

nào đĩ

Trên cơ sở phương án tối ưu dã giải, khi chịu ảnh hưởng của đại lượng

ngẫu nhiên, người ta điều chỉnh lại phương án tối ưu để cho phù hợp với

thực tế thơng qua gi4¿ đoạn hai, bằng việc tìm lượng "phạt" bé nhất cĩ thể, do độ lệch tạo nên từ giai đoạn một Giai đoạn hai cần dến việc xử lý đữ liệu thơng qua khái niệm kỳ vọng tốn

1.2.1.3 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai doạn Đĩ là lớp bài

tốn được giải ở giai đoạn một, với thơng tin về dữ liệu ban đầu xác định nào đĩ Sau đĩ được điều chỉnh phương án tối ưu theo nhiều giai đoạn tiếp

theo, tuỳ thuộc vào ảnh hưởng của dại lượng ngẫu nhiên

1.2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn

Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn cĩ dạng là

Trang 12

Ar <b œ>0, với điều kiện trong đĩ Q(x, 2) = min 4” A(2)a + Dy = b(2) y = 0

với điều kiện

Ham Q(z, Z) dược gọi là hàm hiệu chỉnh, với Z € IR" là vectơ ngẫu nhiên, E(Q(z,Z)) biểu diễn kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Q(x, 2); vectd x va y

tương ứng là biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai; D là ma

trận cấp m x rm (thơng thường cĩ thé lay ma tran don vị): = (0i m)T; Dụ thể hiện độ lệch giữa Az với b và q = (@i, ,g„) thường gọi la vectd phạt bởi tác động của dại lượng ngẫu nhiên Z

Giai đoạn thứ nhất biến z là nghiệm thu được trên cơ sở thơng tin cĩ được từ thực nghiệm

Giai đoạn thứ hai biến ÿ là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm sơ

Trang 13

1.2.2.1 Các định nghĩa liên quan bài tốn quy hoạch tuyến tính

ngẫu nhiên hai giai đoạn

Định nghĩa hiệu chỉnh đầy đủ Bài tốn (1.4) dược gọi là hiệu chỉnh

đầy đủ nêu với bất cứ z € {a : Ax = b,x > 0} thì Z(Q(z,Z)) < œ

Nhận xét Bài tốn hiệu chỉnh dầy đủ đảm bảo bài tốn giai doạn thứ 2 luơn thực hiện được với bất cứ phương án # nào của giai doạn thứ nhất

Định nghĩa hiệu chỉnh hợp lý Ma trận A trong bài tốn (1.4) được gọi là hiệu chỉnh hop lý nêu Q(z,Z) < œ, tức là với mọi £ € R™ tồn tại y€Y CR”, y>0 sao cho Ay =t

1.2.2.2 Nhận xét Bài tốn hiệu chỉnh đầy đủ là hiệu chỉnh hợp lý

Định nghĩa hiệu chỉnh nửa hợp lý Ma trận A trong bài tốn (1.4) được gọi là hiệu chỉnh nửa hợp lý nếu tồn tại r với r¡ > 0, Vi € T sao cho

Ar =0

1.2.2.3 Mệnh đề Hiệu chỉnh hợp lú là hiệu chỉnh nửa hợp lý

Chứng mình Giả sử A là ma trận thoả mãn hiệu chỉnh hợp lý Với vectơ v > 0 nao dé thoa man Av = to, tp € R”

Khi đĩ do A thoả mãn hiệu chỉnh hợp lý nên theo định nghĩa tồn tại vectd u € Y,u > 0 sao cho Au = —to

R6 rang néu dat r = u+v thir là một vectơ thoả mãn r; > 0, V¿ € 7 và

Ar = Av+ Âu = tạ — fạ =0

Trang 14

A3) A,BeE A, > AUBEA, (hoic ANBE A)

e Lớp ZC 7(©) dược gọi là ø- đạ¿ số nếu nĩ là dại số và ngồi ra A4) A›€ 7, Vn = 1,2, > Aner n=1 (hoặc () An € F) n=1

1.3.1.2 Khơng gian đo Cặp (O,Z) dược gọi là một khơng gian đo,

trong đĩ © # bất kỳ, Z là một ø- đại số các tập con của ©

Tồn bộ Q được gọi là biến cĩ chắc chắn Tập Ú gọi là biến cố khơng

AecZ A gọi là biến cĩ đối của biến cỗ A Nếu AnB = 0 thì ta nĩi A va B là các biến cố xưng khắc

1.3.1.3 Độ đo xác suất Hàm tập P xác định trên đại số 4 được gọi là độ đo xác suất ø-cộng tính nêu Pl) P(A) >0,AEA, P2) P(O) =1, P3) nếu 4; € 4,¿ = 1,2, ,.4;fn14; = 0,¡ # 7U; 4; e A thi P( Ua) = > P(A), i=1 i=1

1.3.1.4 Biến ngẫu nhiên

Giả sử (Ĩ,.Z) 1a khong gian do, R = [—90; too]

Ham thuc X = X(w) xdc dinh trén 2 lay gid tri trên R gọi là ham F-do

Trang 15

1.3.1.5 Ham Borel

Ham ¢ : (R”,B(R")) ¬ (R,Ø(R)) dược gọi là hàm Borel, néu no 1a ư(R") - do dược, nghĩa là ¿~!(B) € 8(R"), với mdi B € B(R)

1.3.1.6 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (O,Z, P) nhận giá trị trên

R Ham số Ƒx(z) = P[X < z], (x € R) dược gọi là hàm phân phối của

biến ngẫu nhiên X

1.3.1.7 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

e Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản xác dịnh trên (O,Z, P), cĩ nghĩa

X= > xpla, k=l

với zy, € R, Ay € F, (k = 1,2, ,n) va Ap Ay = đ(k # 1) thì kỳ ọng của X, ky hiéu la EX được định nghĩa như sau

la

EX := 5° a,P(Ay)

k=1

e Nếu biến ngẫu nhiên X là giới hạn của dãy tăng các biến ngẫu nhiên đơn giản, khơng âm {X„}:0 < X;„ † X thì

EX :=lim EX,

n

e Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ, khi dĩ X cĩ thể biểu diễn dưới dang X = Xt — X~, véi X* = max{X,0}, X7 = max{—X, 0}

Néu min (EX*, EX~) < 00 thi

EX := EX*—EX-

1.3.2 Một số tính chất của biến ngẫu nhiên

1.3.2.1 Dinh lý G¡á sử X: O —IR Khi đĩ các mệnh đề sau là tương

đương:

Trang 16

b) {w: XW) <a} €F uới mỗi + ER c) {w: X(w) < e} © F v6i moi x ER d) {w:a< X(w) <b} © F tới a < b bat ky

1.3.2.2 Dinh ly Gid sử Ấy, , X„ là các biến ngẫu nhiên cùng vac dinh trén (Q,F) va @(H tạ) là ham Đorel giá trị thực Khi đĩ Y =

p(X), ., Xn) cũng là biến ngẫu nhiên

1.3.2.3 Hệ quả Giả sử X,Y là các biến ngẫu nhiên Khi đĩ

X+Y; X.Y; min(X,Y); max(X,Y);

X* = max(X,0); X7 = max(—X,0); |X| = X* + X7

citing la céc bién ngdu nhién Dac biét, néu Y khéng triét tiéu thi X|Y la biến ngẫu nhiên

1.3.2.4 Định lý Giá sử {X„,n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên tà Sup X„, Inf X„

n n

hữu han trén Q Khi dé

sup X,, inf Xn, lim sup X„, lim inf X„

là các biến ngẫu nhiên Đặc biệt nếu lm X„ = X hữu hạn thì X cũng là biến ngẫu nhiên

1.3.2.5 Bất đẳng thức Cauchy - Buniakowski Cho p > 0, ký hiệu Z? = /Z?(0, Z7, P) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X (xác định trên

(Q,F, P)) sao cho E|X|? < co Khi X € £?,p > 0, ta ký hiệu

IX II, = (EIXI)'”

Nĩ dược gọi là bậc p của X

Trang 18

Chương 2

DINH LY KALL VA UNG DUNG

TRONG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGAU NHIEN 2 GIAI DOAN

2.1 Dinh ly Kall

2.1.1 Giới thiệu Định ly Kall được tác giả Bùi Minh Trí trình bay

trong cuốn sách "Quy hoạch tốn học" [ð], là một trong bộ sách dược viết

nhân kỷ niệm 50 năm thành lập trường Dại học Bách khoa Hà Nội, do

NXB Khoa học Kỹ thuật ấn hành, 2005 Khi chúng tơi tiếp cận định lý,

thấy nội dung cĩ nhiều thú vị Sau một thời gian nghiên cứu, chúng tơi đã

chứng minh hồn chỉnh định lý Kall Dồng thời qua nghiên cứu, chúng tơi

đã vận dụng nĩ cải tiến một số chứng minh trong một số kết quả khác về

lý thuyết quy hoạch ngẫu nhiên đã được cơng bồ

Cho hệ phương trình Az = ở, trong đĩ A = (œ;),b = (b;),X = (z;) là

cdc ma tran cap mx n,1 x m,1 xn Ky hiéu A; 1a vecto cot thtt 7 cla ma tran A Gia stt A c6é hang m, khơng mất tính tổng quát cĩ thể coi zm cột

dau, hé Aj, Ao, ., 4„„, độc lập tuyến tính, lập nên hệ cơ sở 2.1.2 Định lý

2.1.2.1 Dinh ly Kall Dé ton tai z > 0 của phương trình A+ = b, tới tmợi cách chọn b thà điều kiện cần uà đủ là tồn tại các 86 thuc jj > 0,5 =

mm + 1,n tà số thực À¡ <0,7= l,m, sao cho

3 }AjAj= SO Ai, (2.1)

j=l j=m+1

ở đâu A¡ là cột thú j (j = 1,2 ,n) của ma trận A = (aj)

Chứng mình Điều kiện cần Với b nào đĩ, thì nĩ được biểu diễn duy

nhất qua cơ sở dạng

m

b=3 6/4 (2.2)

Trang 19

Khi đĩ theo (2.2) thì At=bs >> = > 8A; j=l j=l m n m @ So ajAjt SO 2jAj) = >0 54; j=l j=m+1 j=l m m n 35 = Ầ.`Ẻ j=l j=l j=m+1 m n @ 0(8;—2))Aj = Yo 2jAj j=l j=m+1

Chọn /; := #;, À¡ := đý — #; Theo giả thiết z; > 0, nên /; > 0 Đồng

thời cũng theo giả thiết thì 4z = b, với mọi cách chọn b, nên cĩ thể chọn

b sao cho À¡ := đ; — z; < 0, ta cĩ đẳng thức (2.1)

Điều kiện đủ Cho /; và À; thoả mãn điều kiện (2.1) (chú ý rằng /; > 0

và À; < 0) Ta cần chứng minh tồn tại # = (z;) > 0, sao cho thoả mãn Ax = b, v6i moi cach chon b

Với b đã chọn, ta biểu diễn qua cơ sở dạng

m

b= S054) (2.3)

j=l

Néu moi 6; > 0 thi dé dang chon x; = 6), 7 = 1, ,m; cịn z; =0, j=

mm + 1, ,m ta dược điều phải chứng mình

Trang 20

(gid stt max dat tai chi s6 m) Vi Bm va Am Am nén yo > 0 RO rang 9 = By — WAG = x( ~ ats 0,

(trong trường hợp đ; > 0 thì +; > 0 là hiển nhiên) Như vậy, với cách đặt

nêu trên ta c6 yo, > 0 Lúc này Bj = V+ Ys: 3m = Y0Am- Thay vào (2.3) ta được m m-1 b= $0 BjAj = BmAm + > BA; j=l j=l m-1 = BmAm + Soy + 0A;); j=l m m—1 = 70 » À;4; + » WAy j=l j=l n m-1 =10 3) H/4;+ D> wAi j=m+1 j=l n m-1 = De 20/4/13 3/4) j=m+1 j=\ Vi a AjAj = »„ Hj Aj, nên m-1 n b= So yAi+ SD wedi =o WA j=l j=m+1 jet trong dé

J ={i, ,m—-1,m+l, n};y > 0,7 = 1,m— 137 = you; > 0,7 =m+ In Diéu kiện đủ được chứng minh oO

2.1.2.2 Hệ quả Nếu hệ phương trình A+ = b, ma trận A = (I — ]),

Trang 21

Chứng mình Khi A = (I — 1), v6i 11a ma tran don vi ep m x m thi A là ma trận cấp rm x 2m K¥ hiéu Ay, Ag, ., Am la m vecto cét cla ma trận don vi I va Ami, Am42, -; Aam là rm vectơ cột của ma trận (—J) Rõ rang khi đĩ cĩ các số thực ¡ > 0,7 = zm + 1,” và số thực À¡ < 0,7 = 1,m, sao cho m n ` Aj Aj = › pj Aj j=l j=m+1 Đĩ là điều phải chứng mình Oo

2.1.2.3 Hệ quả Ma trận A trơng hệ A+ = b thoả mãn dinh ly Kall khi va chi khi tap hop {b : Ax = b,x > 0} trùng với tồn bộ khơng gian R™,

tức là

{b : Az=b,xz>0}=R"

Chứng mình Kết luận của hệ quả là hiển nhiên vì từ điều kiện định lý Kall da cho thấy b lay bat ky thudc R™ oO

2.2 Mối quan hệ giữa định lý Kall và ma trận hiệu chỉnh hợp lý

Chúng ta nhắc lại khái niệm ma trận hiệu chỉnh hợp lý và ma trận hiệu

chỉnh nửa hợp lý đã dược nêu trong chương 1

Ma tran A trong bài tốn (1.4) dược gọi là hiéu chỉnh hợp lý nếu

Q(x, 2) < ©, tức là Ví € R”" tồn tại € Y C R”, > 0 sao cho Ay =¢

Ma trận A trong bài tốn (1.4) dược gọi là hiệu chỉnh nửa hợp ly nếu

tồn tại r vi r; > 0,Vi € I sao cho Ar = 0

Trên cơ sở dịnh nghĩa chúng ta đã chitng minh rang ma tran A hiệu

chỉnh hợp lý thì là hiệu chỉnh nửa hợp lý

Định nghĩa nêu trên cho thấy tờ khái niệm hiệu chỉnh hợp lý cĩ thể suy

ra điều kiện cần của định lý Kall uà ngược lại

Cũng như vậy, cĩ thể thấy rằng hệ quả 2.1.2.2 cĩ liện hệ tương tự với

Trang 22

2.3 Ung dung Dinh ly Kall

2.3.1 Bài tốn lưu chuyển hàng

Trong [1], các tác giả đã nghiên cứu bài tốn lưu chuyển hàng thơng

qua khái niệm hiệu chỉnh nửa hợp lý và hiệu chỉnh hợp lý Trong mục này,

chúng tơi trình bày lại bài tốn theo cách tiếp cận bằng định lý Kall 2.3.1.1 Bài tốn Cĩ + kho chứa hàng với sức chứa mỗi kho là b; Số lượng hàng cần xác định ở kho thứ ¿ 1a x;,i = 1, 2, .,n Kinh phi bao quan

lưu giữ một đơn vị hàng ở kho thứ ¿ là s¿, ¿ = 1, 2, ,: Cước phí vận tải một đơn vị hàng từ kho thứ ¿ đến kho thứ 7 là qj, (¢ = 1,2, ,n; 7 = 1,2, ,n)

Cần vận chuyển để điều chỉnh lượng hàng ở các kho sao cho tổng chỉ phí lưu kho và vận chuyển là bé nhất Biết rằng giữa kho ¿ và kho 7 luơn cĩ cung đường vận tải và œ¡ = đj, (¡ = 1,2, ,n; j = 1,2 ,n)

2.3.1.2 Đặt bài tốn Ký hiệu z;; là số dơn vị hàng được chuyển từ

Trang 23

2.3.1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn

Trong thực tế, bài tốn đã nêu với biến f = (),z = (z) (7 =

1,2, ,m), cĩ sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên + Khi đĩ biến £ = (,) và biến z = (z/) sẽ được ký hiệu là t(w) = (ti(w)), 2 = (zj(w))

Lúc này ta cĩ bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai doạn min {> 8; + Sy BGy(w))} (2.5) i=1 i=1 j=l ti(w) =b +2; - 3) z¡;(00), i= 1,2, ,n, j=l với điều kiện ay < bi, i=1,2,,n x, >0,t(w) >0, %j(w) >0, 2=1,2, ,n; 7 = 1,2, ,n Ky hiéu D=(I A’),

trong đĩ 7 là ma trận đơn vị, tương ứng với hệ số của #;, (¡ = 1, ,n), A* là ma trận hệ số của z¡;, trong bài tốn (2.5), trên mỗi hàng chỉ cĩ 1 giá trị -1, cịn lại là số 0 Như vậy Ð là ma trận cĩ ø hàng và nˆ cột Khi đĩ

bài tốn (2.5) cĩ thể viết min {f(x,z) =s?x +c" E(z(w))} (2.5) t(w) — D(x, z(w)) = b, với diéu kién 4 x < b, x, t(w), z(w) > 0 Bài tốn vừa nêu cĩ thể viết khái quát như sau: Tìm x = (2;) € R” va z = (z;) € R®” sao cho

min {f(x,z) = s’a + E(dTt(u)) + E(g”z(m))} (2.6) với điều kiện

Bu =b, (2.7)

Trang 24

x, f(), z(0) >0, (2.9) trong đĩ , V là các ma trận hệ số đã xác định, D và các ký hiệu khác như đã nêu trên U() và h(¿) là các hàm affine dối với œ; (trong + = (w;)),

nghĩa là

k k

U(u) =U°+ » U'w;; h(w) = h° + » ha,

j=l j=l

với U0,*,hÐ, h* là các hệ số đã cho

2.3.1.4 Định lý Bà¿ tốn (2.6) — (2.9) uới ma trận D như đã nêu thì phương trình Du = t luơn luơn tồn tại nghiệm khơng âm u > 0 tới mợi

cách chon t

Chitng minh Nhu ching ta đã thấy ma tran D = (I A*), dược xác dịnh

như trên là thoả mãn điều kiện định lý Kall Từ đĩ suy ra điều kết luận của dịnh lý Oo

Ta giả thiết thêm rang ¢t(w), z(w) cting 1a ham affine déi vdi w;, nghia

la k k

t(w) = 0° + SO tiwi: 2(w) = 2° + YO aii i=1 I

(Chú ý rằng trong mơ hình (2.6)-(2.9), sự biéu dién dang affine cia U(w), h(w)

va t(w) 1a rất thực tế) Khi đĩ ta xấp xỉ bài tốn (2.6)-(2.9) bởi bài tốn sau đây min{F(+, z) = s + + T9 + gTz?} (2.10) với điều kiện Bu =b, (2.11) U'x + Vt + Dz =h', i=0,1,,k, (2.12) x,t(w), z(w) > 0 (2.13)

2.3.1.5 Định lý Mơi phương ứn của bài tốn (2.10) — (2.13) cũng là phương án của bài tốn (2.5) — (9.8) Dồng thời min f < min F

Chúng mình Cho +, z(0) là phương ấn của bài tốn (2.10)-(2.13), ta chi

Trang 25

diéu kién

U'e+Vt'+ Dz =h',i =0,1,,k, (2.12)

cộng k + 1 đẳng thức lại ta được diều kiện (2.8) Vậy mỗi phương án của bài tốn (2.10)-(2.13) cũng là phương án của bài tốn (2.6)-(2.9) Đồng thời từ biểu thức min{ f(x, z) = s?x + E(d't(w)) + E(g?z(w))}, ta thay k k t(w) = t°+ » tw;; 2(w) = 2° + »` zw} i=l i=l Từ đĩ suy ra

min{ f(x, z) = sf“+#+E(1(ø))+E(g”z(u))} < min{F(+, z) = sfz+dff9+gTz?},

Đĩ là điều phải chứng minh Oo

Định lý 2.3.1.5 cho ta cận trên của giá trị tối ưu hàm mục tiêu ƒ Sau

đây, chúng ta sẽ xét tới bài tốn khác, cĩ cận trên bé hơn

Ký hiệu g = (i,đ›,,g„z) Khi đĩ với mỗi 2(¡ = 1,2,,n?), xét bài tốn

quy hoạch tuyến tính 9; = min g”q (2.14) với điều kiện Dạ =0, Gg = 1, qj 29,9 AA,

trong đĩ ø là vectơ hệ số tương ứng

Vì D thỏa mãn định lý Kall nên tập phương án khác rỗng và bị chặn, do vậy cĩ phương án tối ưu đ Với mỗi ¿, ta được Ø; = gTg' Bởi vậy, với bất kỳ r(œ) (khơng dịi hỏi khơng am) va t(w) théa man

Trang 26

ta x¢t

z(w) =r(w)+ Seri(w) a, (2.16)

trong dé ky hiéu a~ = max{—a, 0}

Chúng ta thấy rằng

z(u) >0; Dz(u) = Dr(u)

Thật vậy, từ (2.16), nhân D hai về, vì r;(œ) là một số nên Dz(w) = Dr(0) + (r;(0)—) Di Vì Ø là nghiệm của (2.14) nên D7 = 0 Từ đĩ suy ra Dz(w) = Dr(w) Mặt khác, do q > 0 và gi = 1, nén tit (2.16) suy ra z(w) > 0 Béi vay, v6i m6i x cho trude nao dé thi t6n tai r(w) va t(w) thoa man (2.15)

Trang 27

2.3.1.7 Dinh ly Bai todn (2.6) — (2.9) vét moi x théa man Ba = b,x > 0, ton tai t(w),r(w) sao cho z(w) te (2.16) théa man điều kiện của

bài tốn

Chứng mình Chú ý rằng †(0) = 0 luơn thỏa mãn các ràng buộc Theo định lý 2.3.1.6, cùng với phương trình (2.16) cho thấy rang t(w) = 0 va z() từ (2.16) thỏa mãn điều kiện của bài tốn đã cho Đĩ là điều phải chứng minh Oo Từ (2.16) chúng ta cĩ gˆz(0) = gˆr(0) + gˆ(r()ˆ) Bây giờ ta xét bài tốn min{¿ = s7z + đT?9 + gTr? + E[gT (r(w)”)]} (2.17) Bxz=b với diều kiện 4 + + V†ữ + Dr’ = h',i =0,1, ,k z>0

2.3.1.8 Định lý Mỗi phương án của bài tốn (2.17) cững là phương

án của bài tốn (9.6) — (2.9) Đồng thời

min ƒ < min¿ < min È'

Chúng mình Với bài tốn (2.17), rõ ràng với mọi phương án dạng (x, t(w), z(w)), trong dĩ n 2(w) = r(w) + (ri) Ye i=l là thỏa mãn điều kiện của bài tốn (2.6)-(2.9) Lúc này chúng ta cĩ min ƒ < mm ¿

Ngồi ra, với mọi phương án dang (z, t(w), z(w)) cia bai toan (2.10)-(2.13), ching ta nhan thay rang

Trang 28

Do dé, véi r(w) = z(w) thi (x, t(w), z(w)) 1a phuong an ctia bai toan (2.17)

và ta cĩ

min ƒ < ming < min Đĩ là diều phải chứng minh Oo

Tir dinh ly 2.3.1.8, sit dung dang affine cia z(w) va cia t(w), ta 6 thé xấp xỉ bài tốn (2.6) -(2.9) bởi bài tốn (2.17) Trong trường hợp này, chúng ta rút bớt được cận trên của bài tốn cần giải

Như vậy, để giải bài tốn (2.6)-(2.9), ta giải bài tốn xấp xỉ (2.17)

Việc giải bài tốn (2.17) cĩ thể sử dụng một trong các phương pháp dã biết, chẳng hạn phương pháp xấp xỉ Monte - Carlo

2.3.2 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất

2.3.2.1 Bài tốn Cĩ n nguồn tài nguyên, ký hiệu bởi z = (z;) € JR", trong đĩ z; là số tài nguyên loại 7, (7 = 1,”) Một dơn vị tài nguyên loại 7 cĩ giá là c;, ký hiệu e = (c;) € IR* Sử dụng ø tài nguyên dã cho, một kế hoạch sản xuất được thực hiện với một tương lai bất định gồm zm loại sản phẩm Ký hiệu h¿ là số lượng sản phẩm loại ¿, (¿ = 1,m) và h = (h;) Trong

quá trình sản xuất, do lỗi kỹ thuật và sử dụng tài nguyên khơng hợp lý nên

đã sản xuất ra số lượng sản phẩm khơng đạt yêu cầu là H;z, (¡ = 1,m)

Việc sử dụng tài nguyên z dược ràng buộc bởi diều kiện Ax = b

Do tính bất định về tương lai và kỹ thuật sản xuất nên nĩ được thể hiện

bởi dại lượng ngẫu nhiên € € 2

Giả sử rằng dại lượng ngẫu nhiên £ dã biết phân phối của nĩ

Với mỗi loại sản phẩm loại ¡, nếu như h¿ > H,z thì số sản phẩm thiếu hụt h¿ — H;z dược mua từ một nhà cạnh tranh với giá gt? ; trén mot don

vị sản phẩm Từ một nguồn khác, do nhu cầu thiếu hụt dẫn đến chi phi (2

i

a= (qq) € Re dược goi la vecto phat

Như vậy, hàm hiệu chỉnh trong giai đoạn thứ hai sẽ là

cho việc tích trữ hàng hố tăng g ) trên một đơn vị sản phẩm Vectơ

Trang 29

với điều kiện J0) — 2) = h(§) — H(€)z, ụ= (0),9)) c R?", cc9 Từ đĩ ta cĩ bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn min{cfz + E[Q(,€)]} Ax = b, œ>0 với điều kiện

2.3.2.2 Định lý Đài fốn (2.18) thộ măn điều kiện định lý Kall

Chứng minh Thật vay, từ điều kiện của bài tốn (2.18) ta cĩ ma trận

hiệu chỉnh

W=[ -T]

trong đĩ 7 là ma trận đơn vị cấp rm x rm Từ đĩ, theo hệ quả 2.1.2.2, suy ra kết luận của định lý oO

Giả sử W cĩ hạng bằng ?m, tức là tồn tại m vectd cot Wi, Wo, ., Wn độc lập tuyến tính Khi đĩ ta cĩ định lý về điều kiện cần và đủ để W thoả

man dinh ly Kall

2.3.2.3 Dinh ly Dé ma tran W thoé man dinh ly Kall, diéu kiện cần va du la hệ sau đâu cĩ nghiệm

Wy=0

¡ > 1, ¡ = 1,2, ,1m

ụ = (yi) = 0

Chitng minh: Diéu kiện cần Giả sử W thoa man dinh ly Kall, ta can chứng minh hệ đã nêu trong định lý cĩ nghiệm Thật vậy, đặt

m

Trang 30

Khi d6 theo định ly Kall, hé sau đây cĩ nghiệm 7 > 0 W = b, = () >0 Với ÿ > 0 thoả mãn m m Wii + So wn =0=- 3-1 iii = 1,2 i=l i=m+1 m m n ÂẦ )„ Mũi +) + ` W7, =0, ÿ>0,i=1,2, n i=m+1 SH +1)+ Y” Mỹ, =0, ð, >0, = 1,2, (2.19) m i=m+1 Dat +1, với ¡ = 1,2, ,m Yis véi i > m Từ (2.19) ta cĩ m 2 Wa + " Wiyi = 0 i=m4+1

e Wy = 0, (Yt, Y2, «+ Ym) > 0

Diều kiện đủ Giả sử điều kiện nêu trong dịnh lý thực hiện, tức là tồn

tại nghiệm ?, ta cần chứng minh ma trận W thoả mãn giả thiết nội dung

định lý Kall

Thật vậy, ta lấy tuỳ ý b € IR"”", theo giả thiết W\, Wạ, , W2 độc lập

tuyến tính nên phương trình

m

À ` 1y =b i=1

cĩ nghiệm duy nhat 7 = (J, 92, +; Im):

Trang 31

Ngược lại, tồn tại ÿ, < 0, ta đặt

y= min{, ÿa, Im}: Từ sự tồn tại 7, ta cĩ Wy=0, yi > 1, ¡—= 1,2, ,m ỹ= (ÿ) >0 Ký hiệu ^ ¿ — Xi, với ¡ = Ì, m U¡ — —i: VỚI ? = ?m + Ì, ,? Do đĩ suy ra m WG= STW - 7H) + 3) Wi(T+8) i=1 i=m+1 >_ >5 mm mm Vì + < 0 và ÿ; > 1 nên 7> 0 Điều đĩ cĩ nghĩa là với tuỳ ý b € IR” đều tồn tại ƒ? > 0 sao cho Wy=b Dịnh lý được chứng minh [1 Bây giờ với mỗi ¿ ta xét bài tốn g; = min qÏp (2.20) Wp=0 với điều kiện 4 p, = 1 pj > 0,1 € T

Nếu bài tốn (2.20) cĩ Ø; = % thì bài tốn khơng cĩ phương ấn tối tru Ta giả sử rằng bài tốn cĩ phương án tối ưu 7;, với Ø, hữu hạn Ký hiệu

Trang 32

2.3.2.4 Định lý Nếu ma trận W thoả mãn dinh ly Kall thi I, = I

Chứng mình Ta cần chứng mình tồn tại vectơ r thoả mãn

r;>1,ViCTI

sao cho

Wr =0

That vay, tit dinh ly Kall va ménh dé 1.2.2.3 thi W là nửa đầy đủ Từ

đĩ suy điều phải chứng minh 1

2.3.2.5 Định lý Nếu W là rna trận thoả măn định lý Kall Khi đĩ tồn tại r(.) sao cho

Wr(€) = h(é) — H(Q)z

Chitng minh Theo gid thiét W thod man dinh ly Kall nén véi moi

kK”) — Ha €R™ sé ton tai r sao cho Wr =k — Hr Vk =0,1, ,N với N nao đĩ Điều đĩ cũng xảy ra khi và chỉ khi IV (r° + Ss rE) = (n° + ° WG.) — (m + » HG) x k=1 k=1 k=1 Từ đĩ suy ra Wz(€) = h(€) — H)z

Ta cĩ diều phải chứng minh Oo

2.3.2.5 Su biéu dién tuyén tinh

Cho

£=u(): RỲ — R"}

là khơng gian các hàm tuyến tính Khi đĩ với mỗi (.) € £ sẽ tồn tại các vectơ 0, !, Ÿ e RỶ sao cho

N

1(6) =w+ ` (1.21)

Trang 33

Ham mea ) dược gọi là guy tắc tuyến tính

Khái quát hố bài tốn lập kế hoạch sản xuất, chúng ta cĩ bài tốn cần giải là H= min{ cx + Eldfv(@]} (2.22) với điều kiện Ar =b Wy (6) = h() — W(x (€@ >0,7€ TC {1, ,m} œ>Ũ w(@)cY EER’,

trong do Y = {y(.) : RY > R"} la khong gian cdc hàm do được, £= (€) 1y là vectơ ngẫu nhiên

Trong các mục tiếp theo, ta luơn giả thiết rằng biến ngẫu nhiên {£} k-TN là độc lập, E(£x) = 0,k =1, N và €€ [—€,&]: Khi đĩ hàm H(€), A(€) được biểu diễn tuyến tính N H(€) = H°+S_ HN, (2.23) k=1 ~ N ~ h()=h"+Ð ` hệ, (2.24) k=l với A, HÌ, , HN € R™*" hÐ, hi, DN eR”

Bây giờ ta xét bài tốn Đ

Trang 34

với điều kiện Ax =b Wy = hh — H*z,k = 0.1, ,.N 1(9 >0,j€T€ {I, n} œ>0 1w() €£

Cĩ thể kiểm tra lại rằng mỗi phương án của bài tốn (2.25) cũng là phương án của bài tốn (2.22) Đồng thời cĩ F] < F›

Gia sit r(€) € R” là quy tắc tuyến tính thoả mãn

Wr(Ơ = h(@) — HE)

i) >O0,iEek

Trang 35

Bằng phương pháp tương tự như bài tốn "ưu chuyển hàng", người ta

đã chứng minh dược

H < F; < Hà

~ 2 ~ 2 2 x xe Z ^ A 2 A x tA soe

Trang 36

KET LUAN

Kết quả nghiên cứu, thực hiện đề tài luận văn đã giải quyết dược một số vấn đề như sau:

1 Trình bày được những khái niệm và kiến thức cơ sở: Bài tốn quy hoạch tuyến tính, Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, Một số khái niệm cơ sở về xác suất, Chuẩn trong khơng gian thực

2 Chứng minh hồn chỉnh định lý Kall

3 Phát biểu và chứng minh một số kết quả về các trường hợp dặc biệt của định lý Kall Chẳng hạn Hệ quả 2.1.2.2, Hệ quả 2.1.2.3 Từ đĩ suy ra mối liên hệ giữa định lý Kall với khái niệm hiệu chỉnh hợp lý (mà trong các tài liệu khác thường được sử dụng)

4 Sử dụng định lý Kall, trình bày lại hai bài tốn thực tế đặc biệt, cùng với các tính chất của nĩ Đĩ là

+ Bài tốn lưu chuyển hàng

+ Bài tốn lập kế hoạch sản xuất

Do thời gian và trình độ cĩ hạn nên một số vấn đề cần cĩ được tiếp tục

nghiên cứu bào gồm:

- Xây dựng thuật tốn giải cho hai bài tốn đã đề cập trong luận văn

- Khai thác và sử dụng hợp lý định lý Kall một cách trực tiếp nhằm tìm

Trang 37

TAI LIEU THAM KHAO

[1] Lê Thanh Hoa - Nguyễn Thị Thanh Hiền, (2007), Về một mơ hành bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên, Tạp chí Khoa hoc, Dai hoc Vinh, Tap XXXVI,

Số 3A, 27-34

[2] Phan Trong Hing, (2007), Quy hoạch ngẫu nhiên phá tuyến tà ứng dụng, Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, Đại học Vinh

[3] Trần Xuân Sinh, (2004), Quy hoạch tuyến tính, Tái bản, NXB Dại học Sư phạm, Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuuết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Bui Minh Tri, (2005), Quy hoach tốn học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, (Chương 9)

[6] Trần Anh Việt, (2007), Phép xấp xỉ qua các quy tắc tuyến tính trong quy hoạch ngẫu nhiên hai giai doạn, Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, Đại học

Vinh, 2007

[7] Xin Chen, Melvyn Sim, Peng Sun and Jiawei Zhang, (2006) A linear

- decsion based approximation approach to stochastic programming, Email: xinchen®uni.edu

[8] Dinh The Lue, (1989), Introduccion a la optimizacion no lineal, (Chap-

Ngày đăng: 10/10/2014, 16:15

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w