trang
ANY Coe 210 222222022 n 2n nh 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị ĩ 1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ĩ
1.1.1 Dịnh nghĩa .ẶẶẶ 7 1.1.2 Một số tính chất chung 8
1.2.3 Phương pháp dơn hình 13 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 13 1.2.1 Bài tốn cc cece cece tenet eee ee 13 1.2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhién 2 giai doan 14
1.3 Một số khái niệm cơ bản của xác suất 16
1.3.1 Các dịnh nghĩa - 222k xy 16
1.3.2 Một số tính chất của biến ngẫu nhiên 18 Chương 2 Định lý Kall và ứng dụng trong quy hoạch
tuyến tính ngẫu nhiên 2 giai đoạn 21 2.1 Định lý Kall Q.2 k 21 2.1.1 Giới thiệu - 22222 yy 21 2.1.2 Dịnh lý Q2 QQQ ng nh vn 21 2.2 Mối quan hệ giữa dinh ly Kall va ma trận hiệu chỉnh hợp lý 24 2.3 Ung dụng định ly Kall 25
Trang 2MỞ ĐẦU
Quy hoạch tuyến tính bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà tốn học
Nga, Viện sĩ L.V Kantorovich, về bài tốn kế hoạch hố sản xuất, cơng bồ
năm 1938 Vào những năm 40 của thế kỷ 20, hàng loạt các kết quả nghiên cứu và ứng dụng được cơng bố Đặc biệt năm 1947, Dantzig, nhà tốn học Mỹ, cơng bố phương pháp đơn hình để giải bài tốn quy hoạch tuyến tính
Năm 1952, phương pháp đơn hình đã được chạy trên máy tính điện tử ở Mỹ Về cơ bản, bài tốn quy hoạch tuyến tính với dữ liệu tất định cĩ thể xem được nghiên cứu trọn vẹn cả về lý thuyết lẫn thực hành
Tuy nhiên, dữ liệu của bài tốn quy hoạch tuyến tính, xuất phát từ thực tiễn và áp dụng vào thực tiễn, thường phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên
Bài tốn quy hoạch tuyến tính với sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên được gọi là bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Các hướng tiếp cận nhằm tìm lời giải cho bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên đã và đang được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm Việc nghiên cứu lớp bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhằm phát hiện những tính chất của nĩ và tìm ra thuật tốn giải đang là vấn đề thời sự, cĩ ý nghĩa khoa
học và ý nghĩa thực tiễn rộng lớn
Gần đây một số cơng trình của các nhà tốn học nghiên cứu các hướng tiếp cận giải bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên đã thu được những kết quả quan trong (chang han: Leen Stougie, Peter Kall, Xin Chen, .)
M6
khi tiếp cận với một số kết quả đã cĩ, chúng tơi thấy cĩ những mối liên hệ
cơng trình được tiếp cận theo các hướng đặc thù riêng Tuy nhiên,
Trang 3Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tơi trình bày
sơ lược lý thuyết quy hoạch tuyến tính và bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Đồng thời để làm cơng cụ nghiên cứu cho đề tài, chúng tơi nêu một số khái niệm thuộc lý thuyết xác suất
Chương 2: Định lý Kall và ứng dụng Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này, trước hết chúng tơi phát biểu và chứng minh
hồn chỉnh định lý Kall (mà trong tài liệu chúng tơi cĩ được việc phát biểu
và chứng mỉnh cịn nhiều thiếu sĩt) Sau đĩ, sử dụng định lý Kall, nghiên cứu hai mơ hình thực tế, đĩ là bài tốn "lưu chuyển hàng" mà trong [1]
đã trình bày và bài tốn "Lập kế hoạch sản xuất" mà trong [7] đã nêu ra làm ví dụ
Luận văn được thực hiện và hồn thành dưới sự hướng dẫn khoa học
của PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy dối với tác giả trong suốt thời gian
học tập và nghiên cứu
Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn
Quang, PGS TS Phan Dức Thành, TS Nguyễn Trung Hồ, các thầy cơ
giáo trong tổ Xác suất thống kê, khoa Tốn, khoa Sau Dại học Dồng thời,
tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình và các bạn bè, đã quan tâm, gĩp ý và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện luận văn này
Mặc dù đã cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi những sai sĩt Tác giả mong nhận được những đĩng gĩp của quý thầy cơ giáo và các bạn
để luận văn được hồn thiện hơn
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Trang 4KIEN THUC CHUAN BI
1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính
1.1.1 Định nghĩa Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát cĩ dạng n min(max){ f(x) = » cjx;} (1.1) j=l Y aye; (S,2,=) b;, ¡=1,2, ,n với điều kiện 4 j=1 xj > 0, j=1,2, ,n
Chú ý rằng bài tốn (1.1) cĩ thể chuyển về một trong hai dạng bài tốn
đơn giản như sau: a) Dạng chính tắc n min { f(x) = » cjx;} (1.2) j=l n » đG¿j1j — bj, i= 1, 2, ee với điều kiện ¢ j=1 >0, j=1,2, ,n ) b) Dạng chuẩn tắc min { f(x) = > ejx;} (1.3) n ))ay#j < bị, i=1,2, ,m với điều kiện ¢ 7=1 xj = 0, j=1,2, ,n
Ham ƒ(z) trong bài tốn đã nêu được gọi là hừm rmục tiêu Các điều
kiện của bài tốn gọi là điều kiện buộc Điểm z = (z;) thoả mãn điều kiện buộc gọi là phương án Phương ấn z làm cực trị hàm mục tiêu dược gọi là
Trang 51.1.2 Một số tính chất chung
Sau dây chúng tơi sẽ phát biểu và chứng minh một số định lý diễn hình,
các định lý khác cĩ thể thấy trong các tài liệu tham khảo
1.1.2.1 Định lý Tập hợp tất cả các phương án của một bài tốn quy hoạch tuyến tính là một tập lồi
Trang 6t) >0,xzŒ) >0,0<a<1
suy ra
at > 0, (— œ)z2) >0 Do cách xác định z thi x > 0
Vay x lA phương án của bài tốn quy hoạch tuyến tính, hay tập các
phương án là tập lồi Đĩ là điều phải chứng minh đ
1.1.2.2 Định lý Nếu hàm mục tiêu của bài tốn quy hoạch tuyến tính
bị chặn dudi (vdi bai todn min f(x) va bi chan trén vdi bai todn max f (x))
trên tập phương án khác rỗng thà tồn tại phương án tối tưu
Chứng minh Trước hết, ta viết các bất dẳng thức xác dịnh trên tập hợp
phương án Ù dưới dạng như sau: D={z: Br>d}, trong đĩ A B= 1 , trong đĩ ƒ là ma tran don vi con d? = (b,0,0, ,0) Kí hiệu L¿ = { z: (Bz— đ), =0} Khi đĩ m+n r= ( U Li) x i=l
là biên của tập hợp D, đồng thời 4 , bởi vì 2 # ƒ là tương giao của tập hợp lồi đĩng { z: ø > 0} cĩ điểm biên với tập hợp lồi déng { 7: Ax > b }
Trang 7Chứng minh sẽ tiến hành bằng qui nạp theo số chiều + của khơng gian IR" Đối với JR! (trường hợp một chiều) tập hợp chấp nhận dược Ð cĩ thể là một điểm, hoặc là một đoạn thẳng, hoặc nửa đường thang va dinh ly hoan
toan ding
Giả sử rằng dinh ly dang déi véi R!,R?, ,.R*-! ta chitmg minh dinh lý đúng với IR*
Vì L;ƒ\D c R*'!, (¡ = 1,s) thì theo giả thiết qui nạp với bất kì
¿, (= 1,s) tìm được z;€ L¡ƒ}D, sao cho é, mi) = cet, éc, x) Từ định nghĩa của T suy ra tồn tại z* € T sao cho
(e,z*) = min | (c,2;) = "` Ác,z) = min (c, 2)
Ta cịn phai chttng minh rằng
éc, z = min (c, 2) = min {e, z)
Muốn vay chỉ cần chứng tỏ rằng đối với điểm bất kì z € D tồn tại điểm
biên z“ € T sao cho
(c,2") < (c,z)
Xét diém F = z—Àe,Ầ > 0 Vì z là điểm trong của D nénF = x— rc €
D it ra 1a đối với A đủ nhỏ Theo giả thiét (c,Z) bi chặn dưới nên (c3) =(ezÈ —Al|clf > ø Do đĩ < ằœ ~ Tepe °° Khi đĩ tồn tại 2 2
min{(c,x) — Allell"} = (ex) — d'llell’, (*)
trong đĩ cực tiểu lấy theo giới nội À sao cho
Trang 8Ro rang la 2’ = x — Ac ET That vay, néu 2’ 1a diém trong cia D thi tim được À“ > À7 > 0 sao cho # — À“e € D Nhưng khi đĩ
(c,x) — A"“Ie|lỦ < (—e,z)— X'Icll: Điều này trái với (*) Vậy
z € T và (e,z) < (ce, x)
Dinh ly da dược chứng mình xong oO
Tính chất được nêu ở định lý 1.1.2.2 chỉ đúng với bài tốn quy hoạch tuyến tính Cĩ thể dưa ra ví dụ cho thấy khi hàm mục tiêu khơng tuyến tính thì định lý khơng cịn đúng Chẳng hạn bài tốn
1
min{ /(z) =— :#> 0} x
Rõ ràng hàm mục tiêu f(x) > 0, véi moi x > 0 (bi chan dưới trên miền xác định), nhưng khơng cĩ phương án tối ưu
1.1.2.3 Dinh lý Nếu bài tốn quy hoạch tuyến tính cĩ phương án tối
tu thì tồn tại một phương án cực biên tối uu
Chứng mưnh Ký hiệu D là tập phương án của bài tốn Xét hàm mục
tiêu hn
f(x) = So ejay j=l
Gia st 2 1a phuong dn téi ưu Khi đĩ
F(a) < f(a), Var € D
Nếu z) là điểm cực biên thì định lý dược chứng minh
Trang 9Mat khác, do ƒ(z) tuyến tính nên ta cĩ
P 8 -
Ale) = Sr aif le) + ofr) i=1 j=l
Néu moi p; =0,j =1, ,8 thi chon
f(a) = min f(a)
1<i<p
Do ƒ(z) tuyến tính nên dễ dàng nhận dược phuong an cyte bién 2 1a
phương án tối ưu
Nếu tồn tại ø; > 0, khi đĩ ƒŒØ)) > 0, với mọi ø; > 0, (vì giả sử ngược
lai f(r) < 0 thi ƒ(z)) —› —œ mâu thuẫn với giả thiết +) là phương án tối ưu) Vậy Pp f(x) > Vaif(e®) i=l Pp 2 » aif (2) i=l = fe), Ta suy ra f(e) > fe) Tit dé cho thay f(a) = f(x)
Dinh lý dược chứng minh Oo
1.1.2.4 Dinh ly Phuong dn x la cuc bién khi va chỉ khi tương ứng tới toa dé x; > 0 la hé vecta {A;} độc lập tuyến tính (Trong đĩ A; = (aj) la
0ectở cột thú j của ma trận A = (aij))
Chú ý rằng từ định lý 1.1.2.4 cho ta thấy số phương án cực biên của bài
tốn quy hoạch tuyến tính là hữu hạn và mỗi phương án cực biên cĩ thể cho tương ứng với một hệ cơ sở, ta thường gọi là cơ sở liên kết với phương
Trang 101.1.2.5 Dinh ly Néu ham muc tiéu dat gid tri cuc tiéu tai hai diém khác nhau của tập lồi D thà nĩ sẽ đạt giá trị cực tiểu tại những điểm là tổ
hợp lồi của các điểm dĩ
1.1.3 Phương pháp giải bài tốn: phương pháp đơn hình
Đường lối chung: Phương pháp đơn hành dựa trên hai nhận xét sau:
- Nếu bài tốn quy hoạch tuyến tính cĩ phương án tối ưu thì ít nhất
một dỉnh của D là phương án tối ưu
- Tap phương án D cĩ một số hữu hạn dỉnh (diểm cực biên)
Như vậy tồn tại một thuật tốn hữu hạn, thuật tốn gồm ba giai đoạn:
Giai doạn 1: Tìm một phương án cực biên (một dỉnh) xuất phát
Giai đoạn 2: Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án mới
Nếu điều kiện tối ưu được thoả mãn thì phương án đĩ là phương án tối
ưu cần tìm
Giai đoạn 3: Nếu ngược lại, ta xây dựng phương ấn cực biên mới sao cho
giá trị hàm mục tiêu giảm dần (với bài tốn min ƒ(2)) Trở lại giai doan 2 Ta thực hiện một dãy các vịng lặp như vậy cho đến khi nhận được câu
trả lời cĩ hay khơng cĩ phương án tối ưu thì dừng
Như vậy, phương pháp đơn hình thực chất là đi kiểm tra giá trị hàm
mục tiêu trên hữu hạn các đỉnh (phương án cực biên) Dể thuật tốn sớm
kết thúc thì phải tìm cách xây dựng dược dãy các phương án cực biên tốt dần (giá trị hàm mục tiêu giảm dần) Dĩ cũng chính là phương pháp hay dùng trong lý thuyết quy hoạch, được gọi là phương pháp tạt
Trang 11trong đĩ +” là chuyển vị của z,
— Tp T —
c= (eị CQ Cn) ,b — (bị bạ mm bn) ,A — (ij) mxn-
Bài tốn quy hoạch tuyến tính trên cĩ các phan ttt cia ma tran A, b,c xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu
nhiên
Để nghiên cứu bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu
cầu thực tế của bài tốn mà cĩ nhiều cách tiếp cận khác nhau Thơng
thường, người ta xét tới các lớp bài tốn:
1.2.1.1 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên một giai đoạn Đĩ là lớp bài
tốn dược giải với thơng tin về dữ liệu ban dầu xác dịnh nào đĩ Trên cơ
sở phương án tối ưu đã giải, khi chịu ảnh hưởng của đại lượng ngẫu nhiên,
người ta sử dụng các phương pháp trực tiếp (chẳng hạn phương pháp quy hoạch tham số, phương pháp tái tối ưu .) điều chỉnh phương án tối ưu để
cho phù hợp với thực tế
1.2.1.2 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai doạn Đĩ là lớp bài
tốn được giải ở giai đoạn một, với thơng tin về dữ liệu ban dầu xác định
nào đĩ
Trên cơ sở phương án tối ưu dã giải, khi chịu ảnh hưởng của đại lượng
ngẫu nhiên, người ta điều chỉnh lại phương án tối ưu để cho phù hợp với
thực tế thơng qua gi4¿ đoạn hai, bằng việc tìm lượng "phạt" bé nhất cĩ thể, do độ lệch tạo nên từ giai đoạn một Giai đoạn hai cần dến việc xử lý đữ liệu thơng qua khái niệm kỳ vọng tốn
1.2.1.3 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai doạn Đĩ là lớp bài
tốn được giải ở giai đoạn một, với thơng tin về dữ liệu ban đầu xác định nào đĩ Sau đĩ được điều chỉnh phương án tối ưu theo nhiều giai đoạn tiếp
theo, tuỳ thuộc vào ảnh hưởng của dại lượng ngẫu nhiên
1.2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn
Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn cĩ dạng là
Trang 12Ar <b œ>0, với điều kiện trong đĩ Q(x, 2) = min 4” A(2)a + Dy = b(2) y = 0
với điều kiện
Ham Q(z, Z) dược gọi là hàm hiệu chỉnh, với Z € IR" là vectơ ngẫu nhiên, E(Q(z,Z)) biểu diễn kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Q(x, 2); vectd x va y
tương ứng là biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai; D là ma
trận cấp m x rm (thơng thường cĩ thé lay ma tran don vị): = (0i m)T; Dụ thể hiện độ lệch giữa Az với b và q = (@i, ,g„) thường gọi la vectd phạt bởi tác động của dại lượng ngẫu nhiên Z
Giai đoạn thứ nhất biến z là nghiệm thu được trên cơ sở thơng tin cĩ được từ thực nghiệm
Giai đoạn thứ hai biến ÿ là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm sơ
Trang 131.2.2.1 Các định nghĩa liên quan bài tốn quy hoạch tuyến tính
ngẫu nhiên hai giai đoạn
Định nghĩa hiệu chỉnh đầy đủ Bài tốn (1.4) dược gọi là hiệu chỉnh
đầy đủ nêu với bất cứ z € {a : Ax = b,x > 0} thì Z(Q(z,Z)) < œ
Nhận xét Bài tốn hiệu chỉnh dầy đủ đảm bảo bài tốn giai doạn thứ 2 luơn thực hiện được với bất cứ phương án # nào của giai doạn thứ nhất
Định nghĩa hiệu chỉnh hợp lý Ma trận A trong bài tốn (1.4) được gọi là hiệu chỉnh hop lý nêu Q(z,Z) < œ, tức là với mọi £ € R™ tồn tại y€Y CR”, y>0 sao cho Ay =t
1.2.2.2 Nhận xét Bài tốn hiệu chỉnh đầy đủ là hiệu chỉnh hợp lý
Định nghĩa hiệu chỉnh nửa hợp lý Ma trận A trong bài tốn (1.4) được gọi là hiệu chỉnh nửa hợp lý nếu tồn tại r với r¡ > 0, Vi € T sao cho
Ar =0
1.2.2.3 Mệnh đề Hiệu chỉnh hợp lú là hiệu chỉnh nửa hợp lý
Chứng mình Giả sử A là ma trận thoả mãn hiệu chỉnh hợp lý Với vectơ v > 0 nao dé thoa man Av = to, tp € R”
Khi đĩ do A thoả mãn hiệu chỉnh hợp lý nên theo định nghĩa tồn tại vectd u € Y,u > 0 sao cho Au = —to
R6 rang néu dat r = u+v thir là một vectơ thoả mãn r; > 0, V¿ € 7 và
Ar = Av+ Âu = tạ — fạ =0
Trang 14A3) A,BeE A, > AUBEA, (hoic ANBE A)
e Lớp ZC 7(©) dược gọi là ø- đạ¿ số nếu nĩ là dại số và ngồi ra A4) A›€ 7, Vn = 1,2, > Aner n=1 (hoặc () An € F) n=1
1.3.1.2 Khơng gian đo Cặp (O,Z) dược gọi là một khơng gian đo,
trong đĩ © # bất kỳ, Z là một ø- đại số các tập con của ©
Tồn bộ Q được gọi là biến cĩ chắc chắn Tập Ú gọi là biến cố khơng
AecZ A gọi là biến cĩ đối của biến cỗ A Nếu AnB = 0 thì ta nĩi A va B là các biến cố xưng khắc
1.3.1.3 Độ đo xác suất Hàm tập P xác định trên đại số 4 được gọi là độ đo xác suất ø-cộng tính nêu Pl) P(A) >0,AEA, P2) P(O) =1, P3) nếu 4; € 4,¿ = 1,2, ,.4;fn14; = 0,¡ # 7U; 4; e A thi P( Ua) = > P(A), i=1 i=1
1.3.1.4 Biến ngẫu nhiên
Giả sử (Ĩ,.Z) 1a khong gian do, R = [—90; too]
Ham thuc X = X(w) xdc dinh trén 2 lay gid tri trên R gọi là ham F-do
Trang 151.3.1.5 Ham Borel
Ham ¢ : (R”,B(R")) ¬ (R,Ø(R)) dược gọi là hàm Borel, néu no 1a ư(R") - do dược, nghĩa là ¿~!(B) € 8(R"), với mdi B € B(R)
1.3.1.6 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (O,Z, P) nhận giá trị trên
R Ham số Ƒx(z) = P[X < z], (x € R) dược gọi là hàm phân phối của
biến ngẫu nhiên X
1.3.1.7 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
e Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản xác dịnh trên (O,Z, P), cĩ nghĩa
X= > xpla, k=l
với zy, € R, Ay € F, (k = 1,2, ,n) va Ap Ay = đ(k # 1) thì kỳ ọng của X, ky hiéu la EX được định nghĩa như sau
la
EX := 5° a,P(Ay)
k=1
e Nếu biến ngẫu nhiên X là giới hạn của dãy tăng các biến ngẫu nhiên đơn giản, khơng âm {X„}:0 < X;„ † X thì
EX :=lim EX,
n
e Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ, khi dĩ X cĩ thể biểu diễn dưới dang X = Xt — X~, véi X* = max{X,0}, X7 = max{—X, 0}
Néu min (EX*, EX~) < 00 thi
EX := EX*—EX-
1.3.2 Một số tính chất của biến ngẫu nhiên
1.3.2.1 Dinh lý G¡á sử X: O —IR Khi đĩ các mệnh đề sau là tương
đương:
Trang 16b) {w: XW) <a} €F uới mỗi + ER c) {w: X(w) < e} © F v6i moi x ER d) {w:a< X(w) <b} © F tới a < b bat ky
1.3.2.2 Dinh ly Gid sử Ấy, , X„ là các biến ngẫu nhiên cùng vac dinh trén (Q,F) va @(H tạ) là ham Đorel giá trị thực Khi đĩ Y =
p(X), ., Xn) cũng là biến ngẫu nhiên
1.3.2.3 Hệ quả Giả sử X,Y là các biến ngẫu nhiên Khi đĩ
X+Y; X.Y; min(X,Y); max(X,Y);
X* = max(X,0); X7 = max(—X,0); |X| = X* + X7
citing la céc bién ngdu nhién Dac biét, néu Y khéng triét tiéu thi X|Y la biến ngẫu nhiên
1.3.2.4 Định lý Giá sử {X„,n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên tà Sup X„, Inf X„
n n
hữu han trén Q Khi dé
sup X,, inf Xn, lim sup X„, lim inf X„
là các biến ngẫu nhiên Đặc biệt nếu lm X„ = X hữu hạn thì X cũng là biến ngẫu nhiên
1.3.2.5 Bất đẳng thức Cauchy - Buniakowski Cho p > 0, ký hiệu Z? = /Z?(0, Z7, P) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X (xác định trên
(Q,F, P)) sao cho E|X|? < co Khi X € £?,p > 0, ta ký hiệu
IX II, = (EIXI)'”
Nĩ dược gọi là bậc p của X
Trang 18Chương 2
DINH LY KALL VA UNG DUNG
TRONG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGAU NHIEN 2 GIAI DOAN
2.1 Dinh ly Kall
2.1.1 Giới thiệu Định ly Kall được tác giả Bùi Minh Trí trình bay
trong cuốn sách "Quy hoạch tốn học" [ð], là một trong bộ sách dược viết
nhân kỷ niệm 50 năm thành lập trường Dại học Bách khoa Hà Nội, do
NXB Khoa học Kỹ thuật ấn hành, 2005 Khi chúng tơi tiếp cận định lý,
thấy nội dung cĩ nhiều thú vị Sau một thời gian nghiên cứu, chúng tơi đã
chứng minh hồn chỉnh định lý Kall Dồng thời qua nghiên cứu, chúng tơi
đã vận dụng nĩ cải tiến một số chứng minh trong một số kết quả khác về
lý thuyết quy hoạch ngẫu nhiên đã được cơng bồ
Cho hệ phương trình Az = ở, trong đĩ A = (œ;),b = (b;),X = (z;) là
cdc ma tran cap mx n,1 x m,1 xn Ky hiéu A; 1a vecto cot thtt 7 cla ma tran A Gia stt A c6é hang m, khơng mất tính tổng quát cĩ thể coi zm cột
dau, hé Aj, Ao, ., 4„„, độc lập tuyến tính, lập nên hệ cơ sở 2.1.2 Định lý
2.1.2.1 Dinh ly Kall Dé ton tai z > 0 của phương trình A+ = b, tới tmợi cách chọn b thà điều kiện cần uà đủ là tồn tại các 86 thuc jj > 0,5 =
mm + 1,n tà số thực À¡ <0,7= l,m, sao cho
3 }AjAj= SO Ai, (2.1)
j=l j=m+1
ở đâu A¡ là cột thú j (j = 1,2 ,n) của ma trận A = (aj)
Chứng mình Điều kiện cần Với b nào đĩ, thì nĩ được biểu diễn duy
nhất qua cơ sở dạng
m
b=3 6/4 (2.2)
Trang 19Khi đĩ theo (2.2) thì At=bs >> = > 8A; j=l j=l m n m @ So ajAjt SO 2jAj) = >0 54; j=l j=m+1 j=l m m n 35 = Ầ.`Ẻ j=l j=l j=m+1 m n @ 0(8;—2))Aj = Yo 2jAj j=l j=m+1
Chọn /; := #;, À¡ := đý — #; Theo giả thiết z; > 0, nên /; > 0 Đồng
thời cũng theo giả thiết thì 4z = b, với mọi cách chọn b, nên cĩ thể chọn
b sao cho À¡ := đ; — z; < 0, ta cĩ đẳng thức (2.1)
Điều kiện đủ Cho /; và À; thoả mãn điều kiện (2.1) (chú ý rằng /; > 0
và À; < 0) Ta cần chứng minh tồn tại # = (z;) > 0, sao cho thoả mãn Ax = b, v6i moi cach chon b
Với b đã chọn, ta biểu diễn qua cơ sở dạng
m
b= S054) (2.3)
j=l
Néu moi 6; > 0 thi dé dang chon x; = 6), 7 = 1, ,m; cịn z; =0, j=
mm + 1, ,m ta dược điều phải chứng mình
Trang 20(gid stt max dat tai chi s6 m) Vi Bm va Am Am nén yo > 0 RO rang 9 = By — WAG = x( ~ ats 0,
(trong trường hợp đ; > 0 thì +; > 0 là hiển nhiên) Như vậy, với cách đặt
nêu trên ta c6 yo, > 0 Lúc này Bj = V+ Ys: 3m = Y0Am- Thay vào (2.3) ta được m m-1 b= $0 BjAj = BmAm + > BA; j=l j=l m-1 = BmAm + Soy + 0A;); j=l m m—1 = 70 » À;4; + » WAy j=l j=l n m-1 =10 3) H/4;+ D> wAi j=m+1 j=l n m-1 = De 20/4/13 3/4) j=m+1 j=\ Vi a AjAj = »„ Hj Aj, nên m-1 n b= So yAi+ SD wedi =o WA j=l j=m+1 jet trong dé
J ={i, ,m—-1,m+l, n};y > 0,7 = 1,m— 137 = you; > 0,7 =m+ In Diéu kiện đủ được chứng minh oO
2.1.2.2 Hệ quả Nếu hệ phương trình A+ = b, ma trận A = (I — ]),
Trang 21Chứng mình Khi A = (I — 1), v6i 11a ma tran don vi ep m x m thi A là ma trận cấp rm x 2m K¥ hiéu Ay, Ag, ., Am la m vecto cét cla ma trận don vi I va Ami, Am42, -; Aam là rm vectơ cột của ma trận (—J) Rõ rang khi đĩ cĩ các số thực ¡ > 0,7 = zm + 1,” và số thực À¡ < 0,7 = 1,m, sao cho m n ` Aj Aj = › pj Aj j=l j=m+1 Đĩ là điều phải chứng mình Oo
2.1.2.3 Hệ quả Ma trận A trơng hệ A+ = b thoả mãn dinh ly Kall khi va chi khi tap hop {b : Ax = b,x > 0} trùng với tồn bộ khơng gian R™,
tức là
{b : Az=b,xz>0}=R"
Chứng mình Kết luận của hệ quả là hiển nhiên vì từ điều kiện định lý Kall da cho thấy b lay bat ky thudc R™ oO
2.2 Mối quan hệ giữa định lý Kall và ma trận hiệu chỉnh hợp lý
Chúng ta nhắc lại khái niệm ma trận hiệu chỉnh hợp lý và ma trận hiệu
chỉnh nửa hợp lý đã dược nêu trong chương 1
Ma tran A trong bài tốn (1.4) dược gọi là hiéu chỉnh hợp lý nếu
Q(x, 2) < ©, tức là Ví € R”" tồn tại € Y C R”, > 0 sao cho Ay =¢
Ma trận A trong bài tốn (1.4) dược gọi là hiệu chỉnh nửa hợp ly nếu
tồn tại r vi r; > 0,Vi € I sao cho Ar = 0
Trên cơ sở dịnh nghĩa chúng ta đã chitng minh rang ma tran A hiệu
chỉnh hợp lý thì là hiệu chỉnh nửa hợp lý
Định nghĩa nêu trên cho thấy tờ khái niệm hiệu chỉnh hợp lý cĩ thể suy
ra điều kiện cần của định lý Kall uà ngược lại
Cũng như vậy, cĩ thể thấy rằng hệ quả 2.1.2.2 cĩ liện hệ tương tự với
Trang 222.3 Ung dung Dinh ly Kall
2.3.1 Bài tốn lưu chuyển hàng
Trong [1], các tác giả đã nghiên cứu bài tốn lưu chuyển hàng thơng
qua khái niệm hiệu chỉnh nửa hợp lý và hiệu chỉnh hợp lý Trong mục này,
chúng tơi trình bày lại bài tốn theo cách tiếp cận bằng định lý Kall 2.3.1.1 Bài tốn Cĩ + kho chứa hàng với sức chứa mỗi kho là b; Số lượng hàng cần xác định ở kho thứ ¿ 1a x;,i = 1, 2, .,n Kinh phi bao quan
lưu giữ một đơn vị hàng ở kho thứ ¿ là s¿, ¿ = 1, 2, ,: Cước phí vận tải một đơn vị hàng từ kho thứ ¿ đến kho thứ 7 là qj, (¢ = 1,2, ,n; 7 = 1,2, ,n)
Cần vận chuyển để điều chỉnh lượng hàng ở các kho sao cho tổng chỉ phí lưu kho và vận chuyển là bé nhất Biết rằng giữa kho ¿ và kho 7 luơn cĩ cung đường vận tải và œ¡ = đj, (¡ = 1,2, ,n; j = 1,2 ,n)
2.3.1.2 Đặt bài tốn Ký hiệu z;; là số dơn vị hàng được chuyển từ
Trang 232.3.1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn
Trong thực tế, bài tốn đã nêu với biến f = (),z = (z) (7 =
1,2, ,m), cĩ sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên + Khi đĩ biến £ = (,) và biến z = (z/) sẽ được ký hiệu là t(w) = (ti(w)), 2 = (zj(w))
Lúc này ta cĩ bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai doạn min {> 8; + Sy BGy(w))} (2.5) i=1 i=1 j=l ti(w) =b +2; - 3) z¡;(00), i= 1,2, ,n, j=l với điều kiện ay < bi, i=1,2,,n x, >0,t(w) >0, %j(w) >0, 2=1,2, ,n; 7 = 1,2, ,n Ky hiéu D=(I A’),
trong đĩ 7 là ma trận đơn vị, tương ứng với hệ số của #;, (¡ = 1, ,n), A* là ma trận hệ số của z¡;, trong bài tốn (2.5), trên mỗi hàng chỉ cĩ 1 giá trị -1, cịn lại là số 0 Như vậy Ð là ma trận cĩ ø hàng và nˆ cột Khi đĩ
bài tốn (2.5) cĩ thể viết min {f(x,z) =s?x +c" E(z(w))} (2.5) t(w) — D(x, z(w)) = b, với diéu kién 4 x < b, x, t(w), z(w) > 0 Bài tốn vừa nêu cĩ thể viết khái quát như sau: Tìm x = (2;) € R” va z = (z;) € R®” sao cho
min {f(x,z) = s’a + E(dTt(u)) + E(g”z(m))} (2.6) với điều kiện
Bu =b, (2.7)
Trang 24x, f(), z(0) >0, (2.9) trong đĩ , V là các ma trận hệ số đã xác định, D và các ký hiệu khác như đã nêu trên U() và h(¿) là các hàm affine dối với œ; (trong + = (w;)),
nghĩa là
k k
U(u) =U°+ » U'w;; h(w) = h° + » ha,
j=l j=l
với U0,*,hÐ, h* là các hệ số đã cho
2.3.1.4 Định lý Bà¿ tốn (2.6) — (2.9) uới ma trận D như đã nêu thì phương trình Du = t luơn luơn tồn tại nghiệm khơng âm u > 0 tới mợi
cách chon t
Chitng minh Nhu ching ta đã thấy ma tran D = (I A*), dược xác dịnh
như trên là thoả mãn điều kiện định lý Kall Từ đĩ suy ra điều kết luận của dịnh lý Oo
Ta giả thiết thêm rang ¢t(w), z(w) cting 1a ham affine déi vdi w;, nghia
la k k
t(w) = 0° + SO tiwi: 2(w) = 2° + YO aii i=1 I
(Chú ý rằng trong mơ hình (2.6)-(2.9), sự biéu dién dang affine cia U(w), h(w)
va t(w) 1a rất thực tế) Khi đĩ ta xấp xỉ bài tốn (2.6)-(2.9) bởi bài tốn sau đây min{F(+, z) = s + + T9 + gTz?} (2.10) với điều kiện Bu =b, (2.11) U'x + Vt + Dz =h', i=0,1,,k, (2.12) x,t(w), z(w) > 0 (2.13)
2.3.1.5 Định lý Mơi phương ứn của bài tốn (2.10) — (2.13) cũng là phương án của bài tốn (2.5) — (9.8) Dồng thời min f < min F
Chúng mình Cho +, z(0) là phương ấn của bài tốn (2.10)-(2.13), ta chi
Trang 25diéu kién
U'e+Vt'+ Dz =h',i =0,1,,k, (2.12)
cộng k + 1 đẳng thức lại ta được diều kiện (2.8) Vậy mỗi phương án của bài tốn (2.10)-(2.13) cũng là phương án của bài tốn (2.6)-(2.9) Đồng thời từ biểu thức min{ f(x, z) = s?x + E(d't(w)) + E(g?z(w))}, ta thay k k t(w) = t°+ » tw;; 2(w) = 2° + »` zw} i=l i=l Từ đĩ suy ra
min{ f(x, z) = sf“+#+E(1(ø))+E(g”z(u))} < min{F(+, z) = sfz+dff9+gTz?},
Đĩ là điều phải chứng minh Oo
Định lý 2.3.1.5 cho ta cận trên của giá trị tối ưu hàm mục tiêu ƒ Sau
đây, chúng ta sẽ xét tới bài tốn khác, cĩ cận trên bé hơn
Ký hiệu g = (i,đ›,,g„z) Khi đĩ với mỗi 2(¡ = 1,2,,n?), xét bài tốn
quy hoạch tuyến tính 9; = min g”q (2.14) với điều kiện Dạ =0, Gg = 1, qj 29,9 AA,
trong đĩ ø là vectơ hệ số tương ứng
Vì D thỏa mãn định lý Kall nên tập phương án khác rỗng và bị chặn, do vậy cĩ phương án tối ưu đ Với mỗi ¿, ta được Ø; = gTg' Bởi vậy, với bất kỳ r(œ) (khơng dịi hỏi khơng am) va t(w) théa man
Trang 26ta x¢t
z(w) =r(w)+ Seri(w) a, (2.16)
trong dé ky hiéu a~ = max{—a, 0}
Chúng ta thấy rằng
z(u) >0; Dz(u) = Dr(u)
Thật vậy, từ (2.16), nhân D hai về, vì r;(œ) là một số nên Dz(w) = Dr(0) + (r;(0)—) Di Vì Ø là nghiệm của (2.14) nên D7 = 0 Từ đĩ suy ra Dz(w) = Dr(w) Mặt khác, do q > 0 và gi = 1, nén tit (2.16) suy ra z(w) > 0 Béi vay, v6i m6i x cho trude nao dé thi t6n tai r(w) va t(w) thoa man (2.15)
Trang 272.3.1.7 Dinh ly Bai todn (2.6) — (2.9) vét moi x théa man Ba = b,x > 0, ton tai t(w),r(w) sao cho z(w) te (2.16) théa man điều kiện của
bài tốn
Chứng mình Chú ý rằng †(0) = 0 luơn thỏa mãn các ràng buộc Theo định lý 2.3.1.6, cùng với phương trình (2.16) cho thấy rang t(w) = 0 va z() từ (2.16) thỏa mãn điều kiện của bài tốn đã cho Đĩ là điều phải chứng minh Oo Từ (2.16) chúng ta cĩ gˆz(0) = gˆr(0) + gˆ(r()ˆ) Bây giờ ta xét bài tốn min{¿ = s7z + đT?9 + gTr? + E[gT (r(w)”)]} (2.17) Bxz=b với diều kiện 4 + + V†ữ + Dr’ = h',i =0,1, ,k z>0
2.3.1.8 Định lý Mỗi phương án của bài tốn (2.17) cững là phương
án của bài tốn (9.6) — (2.9) Đồng thời
min ƒ < min¿ < min È'
Chúng mình Với bài tốn (2.17), rõ ràng với mọi phương án dạng (x, t(w), z(w)), trong dĩ n 2(w) = r(w) + (ri) Ye i=l là thỏa mãn điều kiện của bài tốn (2.6)-(2.9) Lúc này chúng ta cĩ min ƒ < mm ¿
Ngồi ra, với mọi phương án dang (z, t(w), z(w)) cia bai toan (2.10)-(2.13), ching ta nhan thay rang
Trang 28Do dé, véi r(w) = z(w) thi (x, t(w), z(w)) 1a phuong an ctia bai toan (2.17)
và ta cĩ
min ƒ < ming < min Đĩ là diều phải chứng minh Oo
Tir dinh ly 2.3.1.8, sit dung dang affine cia z(w) va cia t(w), ta 6 thé xấp xỉ bài tốn (2.6) -(2.9) bởi bài tốn (2.17) Trong trường hợp này, chúng ta rút bớt được cận trên của bài tốn cần giải
Như vậy, để giải bài tốn (2.6)-(2.9), ta giải bài tốn xấp xỉ (2.17)
Việc giải bài tốn (2.17) cĩ thể sử dụng một trong các phương pháp dã biết, chẳng hạn phương pháp xấp xỉ Monte - Carlo
2.3.2 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất
2.3.2.1 Bài tốn Cĩ n nguồn tài nguyên, ký hiệu bởi z = (z;) € JR", trong đĩ z; là số tài nguyên loại 7, (7 = 1,”) Một dơn vị tài nguyên loại 7 cĩ giá là c;, ký hiệu e = (c;) € IR* Sử dụng ø tài nguyên dã cho, một kế hoạch sản xuất được thực hiện với một tương lai bất định gồm zm loại sản phẩm Ký hiệu h¿ là số lượng sản phẩm loại ¿, (¿ = 1,m) và h = (h;) Trong
quá trình sản xuất, do lỗi kỹ thuật và sử dụng tài nguyên khơng hợp lý nên
đã sản xuất ra số lượng sản phẩm khơng đạt yêu cầu là H;z, (¡ = 1,m)
Việc sử dụng tài nguyên z dược ràng buộc bởi diều kiện Ax = b
Do tính bất định về tương lai và kỹ thuật sản xuất nên nĩ được thể hiện
bởi dại lượng ngẫu nhiên € € 2
Giả sử rằng dại lượng ngẫu nhiên £ dã biết phân phối của nĩ
Với mỗi loại sản phẩm loại ¡, nếu như h¿ > H,z thì số sản phẩm thiếu hụt h¿ — H;z dược mua từ một nhà cạnh tranh với giá gt? ; trén mot don
vị sản phẩm Từ một nguồn khác, do nhu cầu thiếu hụt dẫn đến chi phi (2
i
a= (qq) € Re dược goi la vecto phat
Như vậy, hàm hiệu chỉnh trong giai đoạn thứ hai sẽ là
cho việc tích trữ hàng hố tăng g ) trên một đơn vị sản phẩm Vectơ
Trang 29với điều kiện J0) — 2) = h(§) — H(€)z, ụ= (0),9)) c R?", cc9 Từ đĩ ta cĩ bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn min{cfz + E[Q(,€)]} Ax = b, œ>0 với điều kiện
2.3.2.2 Định lý Đài fốn (2.18) thộ măn điều kiện định lý Kall
Chứng minh Thật vay, từ điều kiện của bài tốn (2.18) ta cĩ ma trận
hiệu chỉnh
W=[ -T]
trong đĩ 7 là ma trận đơn vị cấp rm x rm Từ đĩ, theo hệ quả 2.1.2.2, suy ra kết luận của định lý oO
Giả sử W cĩ hạng bằng ?m, tức là tồn tại m vectd cot Wi, Wo, ., Wn độc lập tuyến tính Khi đĩ ta cĩ định lý về điều kiện cần và đủ để W thoả
man dinh ly Kall
2.3.2.3 Dinh ly Dé ma tran W thoé man dinh ly Kall, diéu kiện cần va du la hệ sau đâu cĩ nghiệm
Wy=0
¡ > 1, ¡ = 1,2, ,1m
ụ = (yi) = 0
Chitng minh: Diéu kiện cần Giả sử W thoa man dinh ly Kall, ta can chứng minh hệ đã nêu trong định lý cĩ nghiệm Thật vậy, đặt
m
Trang 30Khi d6 theo định ly Kall, hé sau đây cĩ nghiệm 7 > 0 W = b, = () >0 Với ÿ > 0 thoả mãn m m Wii + So wn =0=- 3-1 iii = 1,2 i=l i=m+1 m m n ÂẦ )„ Mũi +) + ` W7, =0, ÿ>0,i=1,2, n i=m+1 SH +1)+ Y” Mỹ, =0, ð, >0, = 1,2, (2.19) m i=m+1 Dat +1, với ¡ = 1,2, ,m Yis véi i > m Từ (2.19) ta cĩ m 2 Wa + " Wiyi = 0 i=m4+1
e Wy = 0, (Yt, Y2, «+ Ym) > 0
Diều kiện đủ Giả sử điều kiện nêu trong dịnh lý thực hiện, tức là tồn
tại nghiệm ?, ta cần chứng minh ma trận W thoả mãn giả thiết nội dung
định lý Kall
Thật vậy, ta lấy tuỳ ý b € IR"”", theo giả thiết W\, Wạ, , W2 độc lập
tuyến tính nên phương trình
m
À ` 1y =b i=1
cĩ nghiệm duy nhat 7 = (J, 92, +; Im):
Trang 31Ngược lại, tồn tại ÿ, < 0, ta đặt
y= min{, ÿa, Im}: Từ sự tồn tại 7, ta cĩ Wy=0, yi > 1, ¡—= 1,2, ,m ỹ= (ÿ) >0 Ký hiệu ^ ¿ — Xi, với ¡ = Ì, m U¡ — —i: VỚI ? = ?m + Ì, ,? Do đĩ suy ra m WG= STW - 7H) + 3) Wi(T+8) i=1 i=m+1 >_ >5 mm mm Vì + < 0 và ÿ; > 1 nên 7> 0 Điều đĩ cĩ nghĩa là với tuỳ ý b € IR” đều tồn tại ƒ? > 0 sao cho Wy=b Dịnh lý được chứng minh [1 Bây giờ với mỗi ¿ ta xét bài tốn g; = min qÏp (2.20) Wp=0 với điều kiện 4 p, = 1 pj > 0,1 € T
Nếu bài tốn (2.20) cĩ Ø; = % thì bài tốn khơng cĩ phương ấn tối tru Ta giả sử rằng bài tốn cĩ phương án tối ưu 7;, với Ø, hữu hạn Ký hiệu
Trang 322.3.2.4 Định lý Nếu ma trận W thoả mãn dinh ly Kall thi I, = I
Chứng mình Ta cần chứng mình tồn tại vectơ r thoả mãn
r;>1,ViCTI
sao cho
Wr =0
That vay, tit dinh ly Kall va ménh dé 1.2.2.3 thi W là nửa đầy đủ Từ
đĩ suy điều phải chứng minh 1
2.3.2.5 Định lý Nếu W là rna trận thoả măn định lý Kall Khi đĩ tồn tại r(.) sao cho
Wr(€) = h(é) — H(Q)z
Chitng minh Theo gid thiét W thod man dinh ly Kall nén véi moi
kK”) — Ha €R™ sé ton tai r sao cho Wr =k — Hr Vk =0,1, ,N với N nao đĩ Điều đĩ cũng xảy ra khi và chỉ khi IV (r° + Ss rE) = (n° + ° WG.) — (m + » HG) x k=1 k=1 k=1 Từ đĩ suy ra Wz(€) = h(€) — H)z
Ta cĩ diều phải chứng minh Oo
2.3.2.5 Su biéu dién tuyén tinh
Cho
£=u(): RỲ — R"}
là khơng gian các hàm tuyến tính Khi đĩ với mỗi (.) € £ sẽ tồn tại các vectơ 0, !, Ÿ e RỶ sao cho
N
1(6) =w+ ` (1.21)
Trang 33Ham mea ) dược gọi là guy tắc tuyến tính
Khái quát hố bài tốn lập kế hoạch sản xuất, chúng ta cĩ bài tốn cần giải là H= min{ cx + Eldfv(@]} (2.22) với điều kiện Ar =b Wy (6) = h() — W(x (€@ >0,7€ TC {1, ,m} œ>Ũ w(@)cY EER’,
trong do Y = {y(.) : RY > R"} la khong gian cdc hàm do được, £= (€) 1y là vectơ ngẫu nhiên
Trong các mục tiếp theo, ta luơn giả thiết rằng biến ngẫu nhiên {£} k-TN là độc lập, E(£x) = 0,k =1, N và €€ [—€,&]: Khi đĩ hàm H(€), A(€) được biểu diễn tuyến tính N H(€) = H°+S_ HN, (2.23) k=1 ~ N ~ h()=h"+Ð ` hệ, (2.24) k=l với A, HÌ, , HN € R™*" hÐ, hi, DN eR”
Bây giờ ta xét bài tốn Đ
Trang 34với điều kiện Ax =b Wy = hh — H*z,k = 0.1, ,.N 1(9 >0,j€T€ {I, n} œ>0 1w() €£
Cĩ thể kiểm tra lại rằng mỗi phương án của bài tốn (2.25) cũng là phương án của bài tốn (2.22) Đồng thời cĩ F] < F›
Gia sit r(€) € R” là quy tắc tuyến tính thoả mãn
Wr(Ơ = h(@) — HE)
i) >O0,iEek
Trang 35Bằng phương pháp tương tự như bài tốn "ưu chuyển hàng", người ta
đã chứng minh dược
H < F; < Hà
~ 2 ~ 2 2 x xe Z ^ A 2 A x tA soe
Trang 36KET LUAN
Kết quả nghiên cứu, thực hiện đề tài luận văn đã giải quyết dược một số vấn đề như sau:
1 Trình bày được những khái niệm và kiến thức cơ sở: Bài tốn quy hoạch tuyến tính, Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, Một số khái niệm cơ sở về xác suất, Chuẩn trong khơng gian thực
2 Chứng minh hồn chỉnh định lý Kall
3 Phát biểu và chứng minh một số kết quả về các trường hợp dặc biệt của định lý Kall Chẳng hạn Hệ quả 2.1.2.2, Hệ quả 2.1.2.3 Từ đĩ suy ra mối liên hệ giữa định lý Kall với khái niệm hiệu chỉnh hợp lý (mà trong các tài liệu khác thường được sử dụng)
4 Sử dụng định lý Kall, trình bày lại hai bài tốn thực tế đặc biệt, cùng với các tính chất của nĩ Đĩ là
+ Bài tốn lưu chuyển hàng
+ Bài tốn lập kế hoạch sản xuất
Do thời gian và trình độ cĩ hạn nên một số vấn đề cần cĩ được tiếp tục
nghiên cứu bào gồm:
- Xây dựng thuật tốn giải cho hai bài tốn đã đề cập trong luận văn
- Khai thác và sử dụng hợp lý định lý Kall một cách trực tiếp nhằm tìm
Trang 37TAI LIEU THAM KHAO
[1] Lê Thanh Hoa - Nguyễn Thị Thanh Hiền, (2007), Về một mơ hành bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên, Tạp chí Khoa hoc, Dai hoc Vinh, Tap XXXVI,
Số 3A, 27-34
[2] Phan Trong Hing, (2007), Quy hoạch ngẫu nhiên phá tuyến tà ứng dụng, Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, Đại học Vinh
[3] Trần Xuân Sinh, (2004), Quy hoạch tuyến tính, Tái bản, NXB Dại học Sư phạm, Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuuết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Bui Minh Tri, (2005), Quy hoach tốn học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, (Chương 9)
[6] Trần Anh Việt, (2007), Phép xấp xỉ qua các quy tắc tuyến tính trong quy hoạch ngẫu nhiên hai giai doạn, Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, Đại học
Vinh, 2007
[7] Xin Chen, Melvyn Sim, Peng Sun and Jiawei Zhang, (2006) A linear
- decsion based approximation approach to stochastic programming, Email: xinchen®uni.edu
[8] Dinh The Lue, (1989), Introduccion a la optimizacion no lineal, (Chap-