Về tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ phương trình vi tích phân ngẫu nhiên

Mục lục Trang Lời nói đầu 3 Chơng I Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính. 5 1.1 Bài toán ổn định Lyapunov. 5 1.2 Tính ổn định của các hệ tuyến tính 8 1.3 Vi phân Itô của hàm Lyapunov. 11 1.4 Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 13 Chơng II Về Tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ phơng trình vi -tích phân ngẫu nhiên. 21 2.1 Một số khái niệm cơ bản. 21 2.2 Các kết quả đã biết. 23 2.3 Các định lý về tính ổn định của hệ phơng trình vi tích phân ngẫu nhiên. 24 2.4 Tính ổn định của hệ vi - tích phân có quá trình Wiener Vectơ. 28 2.5 Tính ổn định của hệ vi-tích phân ngẫu nhiên chứa các tích phân bội. 29 Mở đầu Luận văn nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân-tích phân ngẫu nhiên dạng : d x(t)= + t dxAtAx 0 1 )()( dt + + t dxBtBx 0 1 )()( dw(t) Trong đó x(t) n R , A, A 1 , B ,B 1 nn R ì -là các ma trận hằng. W(t) là quá trình Wiener chuẩn một chiều. Sau đó nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ vi phân - tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình Wiener m-chiều: dx(t)= + t dxAtAx 0 1 )()( dt + = + m i t ii dxBtxB 1 0 1 )()()( dw i (t) trong đó W(t) = (w 1 (t), .,w m (t)) T là quá trình Wiener chuẩn véctơ có các thành phần độc lập; A, A 1 , A 2 , B, B 1 , B 2 nn R ì - các ma trận hằng Tiếp đến chúng tôi mở rộng việc nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 cho hệ vi phân - tích phân ngẫu nhiên dạng có tích phân bội : dx(t) = ++ t t o t o dtdxAdxAtxA 0 321 ' '.)()()( dt + ++ t tt dtdxBdxBtxB 0 0 3 0 21 ' '.)()()( dw(t) trong đó A 1 , A 2 , A 3 , B 1 , B 2 , B 3 nn R ì - các ma trận hằng. W(t) là quá trình Wiener tiêu chuẩn một chiều. Các phơng trình vi-tích phân dạng trên với các giả thiết thích hợp có thể xem nh mô hình toán học của các hệ động lực xuất hiện trong các hệ thống cơ học, điện cơ học . khi có mặt các tác động của các nhiễu tham số ngẫu nhiên. Chẳng hạn: các vật thể chuyển động trong các môi trờng chất khí, chất lỏng . ở đó thành phần 3 tích phân xuất hiện liên quan đến tính không dừng của các lực đàn hồi do có sự biến dạng của các thiết bị có liên quan. Xuất phát từ lý do đó chúng tôi nghiên cứu đề tài "Về tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ phơng trình vi - tích phân ngẫu nhiên". Luận văn gồm có hai chơng Chơng I. Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính. Chơng II. Tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ phơng trình vi tích phân ngẫu nhiên. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn khoa học của PGS. TS. Phan Đức Thành. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, ngời đã dành cho tôi nhiều thời gian, sự quan tâm nhiệt tình h- ớng dẫn giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Nguyễn Trung Hoà, TS. Trần Văn Sinh, các thầy cô giáo trong tổ Xác suất Thống kê và toán ứng dụng, khoa Toán, khoa Sau đại học và các bạn trong lớp Cao học khoá XII Toán đã nhiệt tình giúp đỡ, góp ý cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 12 năm 2006 Tác giả Chơng I. 4 Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ITÔ TUYếN TíNH. Nội dung chơng này giới thiệu sơ sở lý thuyết và các phơng pháp bài toán ổn định Lyapunov. Các tiêu chuẩn để một hệ là ổn định hoặc ổn định hoá cùng sự t- ơng quan giữa các bài toán ổn định và điều khiển sẽ đợc trình bày với các chứng minh và ví dụ minh hoạ. 1.1. Bài toán ổn định Lyapunov. Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình vi phân. x = f(t,x), t 0 (1.1) x(t 0 ) = x 0 Trong đó x(t) n R là véctơ trạng thái của hệ f: R + x R n R n là hàm véctơ cho trớc. Giả thiết f(t,x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 , t 0 0 luôn có nghiệm. Khi đó dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức: x(t)=x 0 + t t dssxsf 0 ))(,( Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi số >0, t 0 0 sẽ tồn tại số >0 (phụ thuộc vào ,t 0 ) sao cho bất kỳ nghiệm y(t), y(t 0 ) = y 0 của hệ thoả mãn 00 xy < thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức )()( txty < , t 0 t . Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần nó trong suốt thời gian t 0 t . Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có một số >0 sao cho với 00 xy < thì: 5 t lim )()( txty = 0 Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y 0 gần với giá trị ban đầu x 0 sẽ tiến tới gần x(t) khi t tiến tới vô cùng. Nhận xét rằng bằng phép biến đổi (x-y) z , (t-t 0 ) hệ phơng trình (1.1) sẽ đợc đa về dạng z = F( ,z) (1.2) Trong đó F( ,z) = 0, và khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.1) sẽ đợc đa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2). Để ngắn gọn, từ nay ta sẽ nói hệ (1.2) là ổn định thay vì nói nghiệm 0 của hệ là ổn định. Do đó từ bây giờ ta xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là f(t,0)=0, t + R . Ta nói:: - Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ >0,t 0 + R sẽ tồn tại số 0 > (phụ thuộc vào ,t 0 ) sao cho bất kỳ nghiệm x(t) : x(t 0 ) = x 0 thoả mãn : 0 x < thì )(tx < với mọi t 0 t . - Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số 0 > sao cho nếu 0 x < thì t lim )(tx = 0 Nếu số 0 > trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian ban đầu t 0 thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) đợc gọi là ổn định đều hay (ổn định tiệm cận đều). Định nghĩa 1.1.3 Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, 0 > sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1) với x(t 0 ) = x 0 thoả mãn: )(tx Me )( 0 tt , t 0 t . 6 là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ. Thí dụ:1 Xét phơng trình vi phân sau trong R x = a.x t 0 Nghiệm x(t), với x(t 0 ) = x 0 cho bởi công thức : x(t) = x 0 e at t 0 Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a<0. Nếu a=0 thì hệ là ổn định. Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số 0 > chọn đợc sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t 0 . Thí dụ 2: Xét phơng trình vi phân x (t) = a(t).x , t 0 . trong đó a(t): R + R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 cho bởi: x(t) = x 0 e t t da 0 )( . Do đó dễ kiểm tra đợc rằng hệ là ổn định nếu +< )()( 0 0 tda t t à là ổn định đều nếu số )( 0 t à là hằng số không phụ thuộc vào t 0 , là ổn định tiệm cận nếu t lim t t da 0 )( = - . 1.2. Tính ổn định của các hệ tuyến tính . Xét hệ tuyến tính x = A.x(t) t 0 (1.3) trong đó A là (n ì n)-ma trận .Nghiệm của hệ (2.1) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t 0 ) cho bởi 7 x(t) = x 0 e )( 0 ttA t 0 t . Định lý dới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.3), th- ờng gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov. Định lý 1. 2.1 Hệ (1.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là Re 0 < , với mọi )(A . Thí dụ Xét tính ổn định của hệ 22 11 2xx xx = = Ta thấy A = 20 01 Vậy giá trị riêng của A là =-1,-2. Hệ là ổn định tiệm cận. Định lý 1. 2.2 Giả sử đa thức đặc trng mà phơng trình vi phân (1.3) đã cho là : f(z) =z n +a 1 z 1 n + . +a n . khi đó nếu định thức tất cả các ma trận con D k , k =1,2, .,n là dơng thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) là âm, tức hệ đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó: det D 1 = a 1 , det D 2 = det 2 31 1 a aa . det D k = det k k k k a aaa aaa aaaa 000 0 1 3231 1242 12531 , k-2,3, .,n. và a r = 0, nếu r >n. Thí dụ Xét tính ổn định phơng trình vi phân: x ( ) 4 + 2x ( ) 3 + 9x ( ) 2 + x + 4 = 0 8 Ta có phơng trình đặc trng là: f( ) = 4 +2 3 +9 2 + +4 Dễ kiểm tra đợc rằng: det D 1 =2 det D 2 = 91 12 = 16 > 0 det D 3 = 920 491 012 =137 >0, det D 3 = 4000 0120 0491 0012 = 76 >0. Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận. Tính ổn định hệ tuyến tính dừng (1.3) có quan hệ tơng đơng với sự tồn tại nghiệm của một phơng trình ma trận, thờng gọi là phơng trình Lyapunov dạng A ' X+ XA =-Y. (LE) Trong đó X,Y là các ma trận (n ì n) chiều và gọi là cặp nghiệm của (LE). Xét hệ (1.3), từ bây giờ ta sẽ nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A là âm. Theo định lý (2.1), điều này tơng đơng hệ (1.3) là ổn định tiệm cận. Định lý 1. 2.3 Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dơng, phơng trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng xác định dơng X. Đối với các hệ tuyến tính không dừng x (t)=A(t).x(t), t 0. (1.4) thì việc nghiên cứu tính ổn định gặp khó khăn hơn vì nghiệm cơ bản của bài toán Cauchy lúc đó không tìm đợc dạng hiển qua ma trận A mà phải qua ma trận cơ bản (t,s) của hệ. Ta đã biết rằng hệ (1.4) có nghiệm x(t)= (t,t 0 )x 0 , trong đó (t,s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ. Nếu A(.) là hằng số thì hiển nhiên ta có (t,s)=e )( stA . và khi đó có thể nghiên cứu phổ của A để tìm điều kiện ổn định. Trong mục này ta xét một số tiêu chuẩn ổn định cho hệ hầu nh hằng số. 9 Định lý 1.2.4 Xét hệ (1.4) trong đó A(t)=A+C(t). Giả sử A là ma trận ổn định và giả sử C(t) là khả tích trên R + và: )(tC a , a>0. Khi đó hệ là ổn định tiệm cận với a>0 đủ nhỏ. Thí dụ Xét hệ phơng trình vi phân += += .sin 4 1 2 1 5 1 ,cos 4 1 3 1 2 212 2 11 txxx txx Ta có A= 2 1 5 1 0 3 1 , C(t)= t t 2 2 sin 4 1 cos 4 1 . A là ma trận ổn định vì: (A)= - 2 1 , - 3 1 , k = 1, = 2 1 . Mặt khác: 2 1 4 1 )( <= atC , nên hệ là ổn định tiệm cận . Định lý 1.2.5 Xét hệ (1.4) trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t . Giả sử tồn tại các số M >0, ,0 > k >0 sao cho : i) tsA e ).( t Ke . , 0, st . ii) + Rt sup .)( MtA Khi đó hệ là ổn định tiệm cận nếu M< K2 . 1.3. Vi phân Itô của hàm Lyapunov. 10 Định nghĩa 1.3.1 Quá trình W=(W t , t 0 ) xác định trên không gian xác suất ( ),, TF đợc gọi là quá trình Wiener nếu: i) W 0 = 0. ii) (W t ) là quá trình có số gia độc lập , tức là với mọi t 1 <t 2 <t 3 <t 4 các biến ngẫu nhiên W 4 t -W 3 t và W 2 t -W 1 t là độc lập. iii) Biến ngẫu nhiên W t -W s ( 0 s <t ) có phân phối chuẩn với trung bình 0 và phơng sai (t-s ). iv) Với hầu hết các quỹ đạo W t ( ) là hàm liên tục. Định lý 1.3.2 Cho X=(X t ) là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân dX t = A(t,X t ) + B(t, X t )dW t . trong đó (W t ) là quá trình Wiener một chiều. giả sử y = g(t,x) là hàm một lần khả vi liên tục theo biến t 0 , hai lần khả vi liên tục theo x R . Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y t = g(t,X t ) có vi phân Itô đợc tính theo công thức sau đây: dY t = dtB x g dX x g dt t g t . 2 1 . 2 2 2 + + Mệnh đề 1.3.3 Cho phơng trình vi phân ngẫu nhiên dx(t)= Ax(t)dt + Bx(t)dwt, 0 << tt 0 trong đó x(t 00 ) x = ; x n R ; A,B nn R ì là các ma trận hằng. Khi đó quy tắc vi phân Itô của hàm V=x T x là: d x T x = x T dx + dx BxdtBxx TT )(. + . Mệnh đề 1.3.4 Cho hệ vi phân tuyến tính dừng Dx =Axdt; A nn R ì ; x n R . Khi đó hàm Lyapunov V=x T Hx, với H là ma trận hằng, xác định dơng, đối xứng, có vi phân dV =x T (A T H+HA).xdt. Chứng minh Trớc hết ta chứng minh V= x T Hx=(x,Hx). Thật vậy 11