Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh -------------------------- Nguyễn thị vinh tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên Chuyên ngành : xác suất và thống kê toán Mã số : 60 46 15 luận văn thạc sĩ toán học -1- Vinh - 2007 Mục lục Trang Mục lục . 1 Mở đầu . 2 Chơng I. Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phơng trình vi phân 1.1. Bài toán cơ bản của lý thuyết ổn định . .4 1.2. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính .8 1.3. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 11 1.4. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng 15 1.5. Nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất . .17 1.6. Phơng pháp hàm Liapunốp .20 Chơng II. Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên 2.1. Tính ổn định nghiệm của hệ phơng trình sai phân 24 2.2. Về tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên . 28 2.3. Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên không đa đợc về dạng Cauchy . 32 2.4. Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ các phơng trình sai phân ngẫu nhiên . . . 33 Kết luận . . 36 -2- Tài liệu tham khảo . . 3 7 mở đầu ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực. Bởi vì khi phân tích và thiết kế các hệ thống kỹ thuật hoặc các mô hình kinh tế đợc mô tả bởi các phơng trình vi phân hay sai phân, trớc hết ng- ời ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó. Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên. Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình vi phân và sai phân ngẫu nhiên đã đợc nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm và nghiên cứu nh K.G.Korenevskij, Mitropolskij, R.S.Hasminskij Dựa vào các kết quả đã có và bằng cách sử dụng phơng pháp hàm Liapunốp luận văn đã đa ra một số điều kiện đủ để hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên bị chặn với xác suất 1. Luận văn gồm có hai chơng: Chơng I trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phơng trình vi phân. Chơng II nghiên cứu tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên. Là nội dung chính của luận văn. Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của Thầy giáo PGS.TS. Phan Đức Thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng tới ngời Thầy của mình. Tác giả xin cảm ơn GS. TS. Nguyễn Duy Tiến, PGS. TS. Trần Xuân Sinh, PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Nguyễn Trung Hòa đã trực tiếp giảng dạy cũng nh tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành chong trình học. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa -3- Toán, Khoa Đào tạo sau Đại học và các bạn trong Lớp cao học khoá 13 nói chung và Nhóm học viên cao học chuyên ngành Xác suất và Thống kê Toán nói riêng đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An, các thầy cô giáo trờng THPT Phạm Hồng Thái, các đồng nghiệp và bạn bè đã động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành khoá học. Cuối cùng tác giả xin ghi nhớ công lao to lớn của gia đình và ngời thân đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu. Vì thời gian có hạn, bản thân đã có nhiều cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn quan tâm về vấn đề này. Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả -4- -5- Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phơng trình vi phân Trong chơng này trình bày các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định và một vài phơng pháp khảo sát tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tất định cần thiết để sử dụng trong chơng sau. 1.1. bài toán cơ bản của lý thuyết ổn định Xét hệ phơng trình vi phân tất định sau: ( ) 1 2 , , , ., ,( 1,2, ., ) j j n dy f t y y y j n dt = = , (1.1) trong đó t là một biến độc lập, 1 2 , , ., n y y y là các hàm cần tìm, j f là các hàm xác định trong bán trụ ( ) , ; t y t T I D I a + + = ì = + , với y D là một miền mở trong n R và a là hằng số hoặc có thể bằng . Để ngắn gọn ta có thể viết hệ (1.1) dới dạng ma trận - vec tơ ( ) , dY F t Y dt = . (1.2) Trong đó 1 ( , ., ) T n Y y y= [ ] 1 1 2 ( , ) ( , ), ., ( , ) ( , , ., ) . T n T n F t Y f t Y f t Y dY dy dy dy dt dt dt dt = = Với giả thiết rằng hàm véc tơ ( ) ,F t Y trong miền T liên tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp một theo các biến 1 2 , , ., n y y y liên tục. -6- 1.1.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1 Nghiệm ( ) , ( )Z Z t a t= < < + của hệ (1.2) đợc gọi là ổn định theo Liapunốp khi t + (gọi tắt là ổn định) nếu với mọi ( ) 0 0, ;t a > + tồn tại ( ) 0 ,t = sao cho mọi nghiệm ( ) Y Y t= thỏa mãn ( ) ( ) 0 0 Y t Z t < thì ( ) ( ) Y t Z t < với mọi 0 t t . Định nghĩa 2 Nghiệm ( ) Z Z t= của hệ (1.2) đợc gọi là ổn định đều nếu với mọi 0 > tồn tại ( ) = sao cho mọi nghiệm ( ) Y Y t= thỏa mãn 0 0 ( ) ( )Y t Z t < thì ( ) ( )Y t Z t < với mọi 0 t t . Định nghĩa 3 Nghiệm ( ) ,( )Z Z t a t= < < + của hệ (1.2) đợc gọi là không ổn định theo Liapunốp nếu với 0 0, ( ; )t a > + nào đó và với mọi 0 > tồn tại nghiệm ( ) Y t và thời điểm ( ) 1 1 0 t t t = > sao cho 0 0 ( ) ( )Y t Z t < và 1 1 ( ) ( )Y t Z t . Nếu ở hệ phơng trình vi phân (1.2) có ( ) ,0 0F t thì nghiệm 0Y đợc gọi là nghiệm tầm thờng (hay trạng thái cân bằng). Nếu ( ) 0Z t là nghiệm tầm thờng của hệ phơng trình (1.2) thì các định nghĩa ở trên sẽ đơn giản hơn nh sau: Định nghĩa 3 Nghiệm tầm thờng ( ) ( ) 0,Z t a t < < + đợc gọi là ổn định nếu với mọi 0 > và ( ) 0 ;t a + , tồn tại 0 ( , )t = sao cho mọi nghiệm ( ) Y Y t = thỏa mãn 0 ( )Y t < thì ( )Y t < , với mọi 0 t t . -7- Định nghĩa 4 Nghiệm ( ) ( ) ,Z Z t a t= < < + đợc gọi là ổn định tiệm cận khi t + , nếu: i) ( ) Z Z t= là nghiệm ổn định theo Liapunốp ii) Với mọi ( ) 0 ;t a + , tồn tại 0 ( ) 0t = > sao cho mọi nghiệm ( ) Y t ( ) 0 t t < + thỏa mãn điều kiện 0 0 ( ) ( )Y t Z t < thì lim ( ) ( ) 0 t Y t Z t + = . Định nghĩa 4 Nghiệm tầm thờng ( ) 0Z t gọi là ổn định tiệm cận nếu: i) ( ) 0Z t là nghiệm ổn định theo Liapunốp ii) Với mọi ( ) 0 ;t a + , tồn tại 0 > sao cho 0 ( )Y t < thì lim ( ) 0. t Y t + = Hình cầu { } 0 ( ) n S x Y t = < Ă với 0 t cố định đợc gọi là miền hút (hay miền hấp dẫn) của trạng thái cân bằng 0.Y Định nghĩa 5 Giả sử hệ (1.2) xác định trong nửa không gian { } { } 0 t t Y = < < + ì < + . Nếu nghiệm ( ) Z Z t= ổn định tiệm cận khi t + và tất cả các nghiệm ( ) ( ) 0 0 , ,Y Y t t t t a= < + > đều thỏa mãn lim ( ) ( ) 0 t Y t Z t + = (tức là = + thì nghiệm ( ) Z t đợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cục. 1.1.2. Các ví dụ Ví dụ 1 Xét hệ phơng trình vi phân -8- 1 2 2 1 . dy y dt dy y dt = = Dễ thấy (0; 0) là một nghiệm của hệ đã cho. Bây giờ ta sẽ chứng minh nghiệm này ổn định theo nghĩa Liapunốp. Thật vậy, nghiệm tổng quát của hệ là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , cos , siny t y t A t A t = , trong đó ,A là các hằng số tuỳ ý. Với 0 0t = , khi đó với mọi 0 > chọn = , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 0 , 0 0 , 0 0 , 0y y z z y y A = = < . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , ,y t y t z t z t y t y t A = = < . Vậy theo định nghĩa 3 nghiệm (0;0) ổn định theo nghĩa Liapunốp. Ví dụ 2 Xét hệ phơng trình vi phân 1 1 2 2 2 3 . dy y dt dy y dt = = Dễ thấy (0; 0) là một nghiệm của hệ đã cho. Bây giờ ta sẽ chứng minh nghiệm này ổn định tiệm cận theo nghĩa Liapunốp. Thật vậy, với 0 0t = , đặt ( ) ( ) 1 2 0 , 0y a y b= = . Nghiệm tổng quát của hệ là ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 , , t t y t y t ae be = , khi đó với mọi 0 > chọn = , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 0 , 0 0 , 0y y z z a b = + < . -9- Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , ,y t y t z t z t y t y t = 2 2 , 0a b t + < = . Do đó nghiệm (0; 0) của hệ ổn định theo nghĩa Liapunốp. Mặt khác ( ) ( ) ( ) 2 4 2 6 1 2 lim , lim 0 t t t t y t y t a e b e + + = + = Vậy nghiệm (0; 0) của hệ ổn định tiệm cận theo nghĩa Liapunốp. 1.2. tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính Xét hệ phơng trình vi phân dạng ( ) ( ) ( ) 1 , 1,2, ., n j jk k j k dy a t y f t j n dt = = + = , (1.3) trong đó các hệ số ( ) jk a t và các số hạng tự do ( ) j f t liên tục trong khoảng ( ) ;a + , a là một hằng số có thể bằng . Viết dới dạng ma trận vec tơ hệ (1.3) có dạng ( ) ( ) dY A t Y F t dt = + (1.4) trong đó ma trận ( ) A t và vec tơ ( ) F t liên tục trong khoảng ( ) ;a + . 1.2.1. Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) đợc gọi là ổn định (hay ổn định tiệm cận, hay không ổn định) nếu tất cả các nghiệm ( )Y Y t= của nó tơng ứng là ổn định (hay ổn định tiệm cận, hay không ổn định) theo Liapunốp khi t + . 1.2.2. Các định lý Định lý 1 Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định với số hạng tự do bất kỳ ( ) F t là nghiệm tầm thờng ( ) ( ) ( ) 0 0 0, , ;X t t t t a < < + + -10-